第一篇：數(shù)學(xué)分析中極限的求法總結(jié)

數(shù)學(xué)分析中極限的求法總結(jié)

1.1 利用極限的定義求極限

用定義法證明極限，必須有一先決條件，即事先得知道極限的猜測(cè)值A(chǔ)，這種情況一般較困難推測(cè)出，只能對(duì)一些比較簡(jiǎn)單的數(shù)列或函數(shù)推測(cè)分析出極限值，然后再去用定義法去證明，在這個(gè)過(guò)程中，放縮法和含絕對(duì)值的不等式總是密切相連的。

例：limf?x??A的ε-δ 定義是指：?ε＞0，?δ=δ(x0，ε)＞0，0＜|x-x0|x?x0

＜δ?|f(x)-A|＜ε 為了求δ 可先對(duì)x0的鄰域半徑適當(dāng)限制，如然后適當(dāng)放

大｜f(x)-A｜≤φ(x)(必然保證φ(x)為無(wú)窮小)，此時(shí)往往要用含絕對(duì)值的不等式：

｜x+a｜=|(x-x0)+(x0+a)|≤|x-x0|+|x0+a|＜｜x0+a｜+δ

1域|x+a|=|(x-x0)+(x0+a)|≥|x0+a|-|x-x0|＞|x0+a|-δ1

從φ(x)＜δ2，求出δ2后，取δ＝min(δ1，δ2)，當(dāng)0＜|x-x0 |＜δ 時(shí)，就有|f(x)-A|＜ε.x?x?...xn?a.例：設(shè)limxn?a則有l(wèi)im1

2n??n??n

??xn-a??于是當(dāng)證明：因?yàn)閘imxn?a,對(duì)???0，?N1?N1(?),當(dāng)n?N1時(shí)，n??2

x?x?...?xn?x?x?...?xn?na?12?a??12 n?N1nn

0????

其中A??x1?a???x2?a???xN1???是一個(gè)定數(shù),再由

解得n?2AA??，n2x?x?...?xn????2A?? ,故取N?max?N1,???當(dāng)n?N12???+=?。?n22?????

1.2 利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限

定理[1]：若極限limf(x)和limg(x)都存在，則函數(shù)f(x)?g(x)，f(x)?g(x)當(dāng)x?x0x?x0

x?x0時(shí)也存在且

①lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)x?x0x?x0x?x0

②lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)x?x0x?x0x?x0

limf(x)f(x)f(x)x?x

又若c?0，則在x?x0時(shí)也存在，且有l(wèi)im.?0

x?x0g(x)g(x)limg(x)

x?x0

利用該種方法求極限方法簡(jiǎn)單，但要注意條件是每項(xiàng)或每個(gè)因子極限存在，0?

一般情況所給的變量都不滿足這個(gè)條件，例如出現(xiàn)，??? 等情況，都

0?

不能直接運(yùn)用四則運(yùn)算法則，必須對(duì)變量進(jìn)行變形。變形時(shí)經(jīng)常用到因式分解、有理化的運(yùn)算以及三角函數(shù)的有關(guān)公式。

31（?）例：求lim x?11?x31?x

解：由于當(dāng)x?1時(shí)，與的極限都不存在，故不能利用“極限的和等3

1?x1?x

于和的極限”這一法則，先可進(jìn)行化簡(jiǎn)

313?(1?x?x2)(1?x)(2?x)(2?x)

這樣得到的新函數(shù)當(dāng)?=??

1?x31?x1-x3(1?x)(1?x?x2)(1?x?x2)

x?1時(shí)，分子分母都有極限且分母的極限不為零，可用商的極限法則，即

31(2?x)lim（?）=lim=1 x?11?x31?xx?1(1?x?x2)

1.3 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

定理[2]：一切連續(xù)函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)處都連續(xù)，即如果x0是函數(shù)f(x)的定義區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)，則有l(wèi)imf(x)?f(x0)。

x?x0

一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的，如果f(x)是初等函數(shù)，x0是其定義域內(nèi)一點(diǎn)，則求極限limf(x)時(shí)，可把x0代入f(x)中計(jì)算出函數(shù)值，即

x?x0

x?x0

limf(x)=f(x0)。

對(duì)于連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)有這樣的定理：若u??(x)在x0連續(xù)且u0??(x0)，y?f(u)在u0處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y?f[?(x)]在x0處也連續(xù)，從而

x?xo

limf???x???f???xo??或limf???x???flim??x?。

x?xo

x?xo

lnsinx 例：lim?

x?

解：復(fù)合函數(shù)x=

??

在處是連續(xù)的，即有l(wèi)imlnsinx=lnsin?ln1?0

?22x?

1.4 利用無(wú)窮小的性質(zhì)求極限

我們知道在某一過(guò)程中無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量，有界變量乘無(wú)窮小是無(wú)窮小，對(duì)一些特殊的函數(shù)而言用其他方法很難求得，只能用這種方法來(lái)求。

4x-7

例：求lim2

x?1x?3x?2

解：當(dāng)時(shí)x?1，分母的極限為零，而分子的極限不為零，可先求處所給函數(shù)倒

4x-7x2?3x?2

=?。=0，故lim2數(shù)的極限lim

x?1x?1x?3x?24x-7

1.5 利用單調(diào)有界原理求極限

這種方法是利用定理:單調(diào)有界數(shù)列必有極限，先判斷極限存在，進(jìn)而求極限。

例：求

n解：令xn?

xn?1?

n?，即xn?1?xn，所

以數(shù)列?x

n?單調(diào)遞增，由單調(diào)有界定理知，A，limxn?1?，即

A?

n??

n，所以?

n1?。2

1.6 利用夾逼準(zhǔn)則求極限[3]

已知{xn},{yn},{zn}為三個(gè)數(shù)列，且滿足：（1）yn?xn?zn,(n?1,2,3,?)；（2）limyn?a，limzn?a。

則極限limxn一定存在，且極限值也是a，即limxn?a。利用夾逼準(zhǔn)則求極

n??

n??

n??

n??

限關(guān)鍵在于從xn的表達(dá)式中，通常通過(guò)放大或縮小的方法找出兩個(gè)同極限值的數(shù)列使得yn?xn?zn。

例：xn?

?...xn的極限

解：因?yàn)閤n單調(diào)遞減，所以存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng)

xn?

?...?

xn?

?...?

?

?xn??n

又因?yàn)閚，則limxn?1。

x??

第二篇：淺析極限的若干求法

科技信息 ○高校講臺(tái)○ SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION

2007 年第 23 期

淺析極限的若干求法

孟金濤

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)理系河南 鄭州 450015)

摘要: 極限理論是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ), 本文給出了極限的若干求法, 并用具體實(shí)例加以說(shuō)明。關(guān)鍵詞: 極限;表達(dá)式;等價(jià)無(wú)窮小

極限理論是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ), 極限問(wèn)題是高等數(shù)學(xué)中困難問(wèn)題之

a +a +?+a

xx

x n

一。中心問(wèn)題有兩個(gè): 一是證明極限的存在性, 二是求極限的值。兩個(gè) 問(wèn)題密切相關(guān): 若求出了極限的值, 自然極限的存在性也就證明了。反 之, 證明了存在性, 常常也就為求極限鋪平了道路。

利用定義證明極限的存在, 有一先決條件, 即事先要知道極限的 猜測(cè)值。通常情況下我們都不知道表達(dá)式的極限值, 那么如何根據(jù)表

→0

a1

+lim

x→0

+?+lim x a21 x→0 x→

1解】【(1)將根式有理化, 于是有原式為

x

解】令 t=-x,則 x→∞時(shí), t→∞。于是lim(1-)=lim(1+)= 【

x→∞ t→∞ x t e

x

-t

=1 lim x→0x

(enπ)=sin2 【π, 由于初等函數(shù)在有定義的地方都連續(xù),=sin

π

=sin項(xiàng)趨向于零求極限。1+

(1)利用收斂級(jí)數(shù)的通項(xiàng)趨向于零求極限。(2)利用收斂級(jí)數(shù)的余 2 π2lim =1。

原極限=sinn→∞ 2 +

1n

12×13×?×(n+10)例 9】求下列極限lim 【x, 其中(1)xn= 11×

十一、利用導(dǎo)數(shù)定義求極限n→∞ n

2×5×8?×(3n-1)

f(x-3h)-f(x0)例 11】設(shè) f(x)在 x0 處可導(dǎo), 求lim 0 【(2)xn=?+ h→0 2 2

2n)n+1 *(2n)

原極限=lim= 0 =arctan1= π 20n→∞ n i=11+x 4 i)

九、利用收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)求極限,-

nπ

n+n +n

*)-

*

xn+1解】【(+當(dāng) x→∞時(shí)), 所以正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1)由于 +x

n 3n+2 3 n =

1收斂, 從而可得通項(xiàng) xn→0(當(dāng) n→∞時(shí))。

∞

∞

∞

解】由導(dǎo)數(shù)定義有【

f(x03h)-f(x0)

h→0

lim

h→0

=lim

h

·(1

=0

Mathematics of Computation,1995,64:1147-1170.[ 2] A.R.Conn and Ph.L.Toint.An algorithm using quadratic interpolation for unconstrained derivative free optimization[ A].In G.Di Pillo and F.Gianessi, editors,Nonlinear Optimization and Applications [ M] ,New York, Plenum Publishing, 1996,27-47.[ 3] A.R.Conn,K.ScheinbergandPh.L.Toint.Ontheconvergenceof derivative-free methods for unconstrained optimization[ A].In A.Iserles andM.Buhmann,editors,ApproximationTheoryandOptimization: Tributes to M.J.D.Powell [ C] , Cambridge,UK,Cambridge University Press, 1997,83-103.[ 4] J.J.More and D.C.Sorensen.Computing a trust region step [ J].SIAM J.Sci.Stat.Comput,1983,4(3):553-572.Kef

≤Kk

2Kef

max$△k,△ kKgk

△k

(上接第 480 頁(yè))實(shí)可行的財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)防范措施。

從單個(gè)企業(yè)來(lái)講, 收益不足是導(dǎo)致財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)的主要因素, 經(jīng)營(yíng)收 入扣除經(jīng)營(yíng)成本費(fèi)用稅金等經(jīng)營(yíng)費(fèi)用后是經(jīng)營(yíng)收益, 如果從經(jīng)營(yíng)收益 開(kāi)始就已經(jīng)虧損, 說(shuō)明企業(yè)已近破產(chǎn)倒閉, 即使總收益為盈利, 可能是 由于非主營(yíng)業(yè)務(wù)或營(yíng)業(yè)外收入所形成利潤(rùn)增加, 如出售手中持有有價(jià) 證券、固定資產(chǎn)等;如果經(jīng)營(yíng)收益為盈利, 而總收益為虧損, 問(wèn)題不太 嚴(yán)重的話,說(shuō)明已經(jīng)出現(xiàn)危機(jī)信號(hào), 但是可以正常經(jīng)營(yíng)的, 這是因?yàn)槠?業(yè)的資本結(jié)構(gòu)不合理, 舉債規(guī)模大,利息負(fù)擔(dān)重所致。企業(yè)必須針對(duì)財(cái)

務(wù)指標(biāo)的評(píng)價(jià)采取有效措施加以調(diào)整。

綜上所述,利用財(cái)務(wù)指標(biāo)的評(píng)價(jià), 找出企業(yè)的薄弱環(huán)節(jié), 制定出企 業(yè)的籌資活動(dòng)、投資活動(dòng)、資金回收、收益分配策略及措施, 防范規(guī)避 財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn),才能使企業(yè)長(zhǎng)久穩(wěn)定健康發(fā)展。

[ 1] 溫素彬, 薛恒新.基于科學(xué)發(fā)展觀的企業(yè)三重績(jī)效評(píng)價(jià)模型[J].會(huì)計(jì)

研究.[ 2] 王化成, 劉俊勇, 孫薇.企業(yè)業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)[M].北京: 中國(guó)人民大學(xué)出版

參考文社.獻(xiàn)

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第三篇：高數(shù)極限求法總結(jié)

首先說(shuō)下我的感覺(jué)，假如高等數(shù)學(xué)是棵樹(shù)木得話，那么 極限就是他的根，函數(shù)就是他的皮。樹(shù)沒(méi)有跟，活不下去，沒(méi)有皮，只能枯萎，可見(jiàn)這一章的重要性。

為什么第一章如此重要？ 各個(gè)章節(jié)本質(zhì)上都是極限，是以函數(shù)的形式表現(xiàn)出來(lái)的，所以也具有函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)的性質(zhì)表現(xiàn)在各個(gè)方面

首先 對(duì) 極限的總結(jié) 如下

極限的保號(hào)性很重要 就是說(shuō)在一定區(qū)間內(nèi) 函數(shù)的正負(fù)與極限一致 極限分為 一般極限，還有個(gè)數(shù)列極限，（區(qū)別在于數(shù)列極限時(shí)發(fā)散的，是一般極限的一種）

2解決極限的方法如下：（我能列出來(lái)的全部列出來(lái)了?。?！你還能有補(bǔ)充么？？？）1 等價(jià)無(wú)窮小的轉(zhuǎn)化，（只能在乘除時(shí)候使用，但是不是說(shuō)一定在加減時(shí)候不能用 但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等價(jià)于Ax 等等。全部熟記

（x趨近無(wú)窮的時(shí)候還原成無(wú)窮小）

2落筆他 法則（大題目有時(shí)候會(huì)有暗示 要你使用這個(gè)方法）

首先他的使用有嚴(yán)格的使用前提！??！

必須是 X趨近而不是N趨近?。。。。ㄋ悦鎸?duì)數(shù)列極限時(shí)候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件（還有一點(diǎn) 數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無(wú)窮的 不可能是負(fù)無(wú)窮?。?/p>

必須是 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在！?。。。偃绺嬖V你g（x）, 沒(méi)告訴你是否可導(dǎo)，直接用無(wú)疑于找死?。?/p>

必須是 0比0 無(wú)窮大比無(wú)窮大！?。。?！

當(dāng)然還要注意分母不能為0 落筆他 法則分為3中情況 0比0 無(wú)窮比無(wú)窮 時(shí)候 直接用 0乘以無(wú)窮 無(wú)窮減去無(wú)窮（應(yīng)為無(wú)窮大于無(wú)窮小成倒數(shù)的關(guān)系）所以 無(wú)窮大都寫(xiě)成了無(wú)窮小的倒數(shù)形式了。通項(xiàng)之后 這樣就能變成1中的形式了 3 0的0次方 1的無(wú)窮次方 無(wú)窮的0次方

對(duì)于（指數(shù)冪數(shù)）方程 方法主要是取指數(shù)還取對(duì)數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來(lái)了，就是寫(xiě)成0與無(wú)窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無(wú)窮時(shí)候他的冪移下來(lái)趨近于0 當(dāng)他的冪移下來(lái)趨近于無(wú)窮的時(shí)候 LNX趨近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的時(shí)候，尤其是含有正余旋 的加減的時(shí)候要 特變注意?。。?/p>

E的x展開(kāi) sina 展開(kāi) cos 展開(kāi) ln1+x展開(kāi) 對(duì)題目簡(jiǎn)化有很好幫助

4面對(duì)無(wú)窮大比上無(wú)窮大形式的解決辦法

取大頭原則 最大項(xiàng)除分子分母?。。。。?！看上去復(fù)雜處理很簡(jiǎn)單！?。。?！

5無(wú)窮小于有界函數(shù)的處理辦法

面對(duì)復(fù)雜函數(shù)時(shí)候，尤其是正余旋的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時(shí)候，一定要注意這個(gè)方法。

面對(duì)非常復(fù)雜的函數(shù) 可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來(lái)了?。?/p>

6夾逼定理（主要對(duì)付的是數(shù)列極限?。?/p>

這個(gè)主要是看見(jiàn)極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴(kuò)大。

7等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對(duì)付數(shù)列極限）（q絕對(duì)值符號(hào)要小于1）

8各項(xiàng)的拆分相加（來(lái)消掉中間的大多數(shù)）（對(duì)付的還是數(shù)列極限）可以使用待定系數(shù)法來(lái)拆分化簡(jiǎn)函數(shù)

9求左右求極限的方式（對(duì)付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時(shí)一樣的，應(yīng)為極限去掉有限項(xiàng)目極限值不變化2 個(gè)重要極限的應(yīng)用。這兩個(gè)很重要?。?！對(duì)第一個(gè)而言是X趨近0時(shí)候的sinx與x比值。地2個(gè)就如果x趨近無(wú)窮大 無(wú)窮小都有對(duì)有對(duì)應(yīng)的形式（地2個(gè)實(shí)際上是 用于 函數(shù)是1的無(wú)窮的形式）（當(dāng)?shù)讛?shù)是1 的時(shí)候要特別注意可能是用地2 個(gè)重要極限）還有個(gè)方法，非常方便的方法

就是當(dāng)趨近于無(wú)窮大時(shí)候

不同函數(shù)趨近于無(wú)窮的速度是不一樣的?。。。。。。?！

x的x次方 快于 x！快于 指數(shù)函數(shù) 快于 冪數(shù)函數(shù) 快于 對(duì)數(shù)函數(shù)（畫(huà)圖也能看出速率的快慢）！?。‘?dāng)x趨近無(wú)窮的時(shí)候 他們的比值的極限一眼就能看出來(lái)了 換元法 是一種技巧，不會(huì)對(duì)模一道題目而言就只需要換元，但是換元會(huì)夾雜其中

13假如要算的話 四則運(yùn)算法則也算一種方法，當(dāng)然也是夾雜其中的

14還有對(duì)付數(shù)列極限的一種方法，就是當(dāng)你面對(duì)題目實(shí)在是沒(méi)有辦法 走投無(wú)路的時(shí)候可以考慮 轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。

15單調(diào)有界的性質(zhì)

對(duì)付遞推數(shù)列時(shí)候使用 證明單調(diào)性?。?！

16直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求極限，（一般都是x趨近于0時(shí)候，在分子上f（x加減麼個(gè)值）加減f（x）的形式，看見(jiàn)了有特別注意）

（當(dāng)題目中告訴你F(0)=0時(shí)候 f（0）導(dǎo)數(shù)=0的時(shí)候 就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義?。。?/p>

（從網(wǎng)上發(fā)現(xiàn)，謝謝總結(jié)者）

第四篇：淺談數(shù)列極限的求法

淺談數(shù)列極限的求法

龍門中小李海東

摘要：本文主要介紹了數(shù)列極限的幾種求法，并通過(guò)一個(gè)例題說(shuō)明利用函數(shù)極限的求法，幫助尋找數(shù)列極限的方法，幫助學(xué)生理解和掌握求極限的方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)列極限方（求）法說(shuō)明

引言：在初等代數(shù)，高等代數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)或多或少都涉及到數(shù)列極限的有關(guān)內(nèi)容，在數(shù)學(xué)分析中數(shù)列極限是極其重要的章節(jié)，數(shù)列極限是學(xué)習(xí)函數(shù)極限的基礎(chǔ)和鋪墊，數(shù)列極限的求法和函數(shù)極限求法在某種程度上是彼此相似的，所以可以對(duì)照學(xué)習(xí)，也可以用一種求極限的方法，求出另外一種極限，給解答習(xí)題帶來(lái)一定的靈活性。方法也是比較靈活的。下面就數(shù)列極限的求法略作淺談，且舉例說(shuō)明。

一 利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限

預(yù)備知識(shí)：若數(shù)列?an?收斂，則?an?為有界數(shù)列，即存在正數(shù)M，使得對(duì)一切正整數(shù)n，有 an?M.此方法的解題程序?yàn)椋?/p>

1、直接對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行分析或用數(shù)學(xué)歸納驗(yàn)證數(shù)列?an?單調(diào)有界；

2、設(shè)?an?的極限存在，記為liman?A代入給定的表達(dá)式中，則該式變?yōu)锳的代數(shù)方n??

程，解之即得該數(shù)列的極限。

舉例說(shuō)明：

例：若序列?an?的項(xiàng)滿足a1?a(a?0)且an?11?a????an??,(n?1,2,?),試證2?an??

?an?有極限并求此極限。

解由a1?a

21?a?1?a12?a?2a1aa1???aa2????2??a???a2?a1?1??1?

用數(shù)學(xué)歸納法證明ak?a需注意

22?a?2aka1?a?1?ak?ak??????a.ak??????2?ak?2?ak?ak

又an?an?12?a1?a?an???a???0 n??2?an?2an

??an?為單調(diào)減函數(shù)且有下界。

令其極限為A 由 an?1?

1?a?

?an??有： 2?an???

1?a?

??a?n??2?an?

liman?1?

n??

即A?

1?a?

?A?? 2?A?

?A?a?A?

a(A?0)

n??

從而liman?

a.二 利用數(shù)列極限的定義求數(shù)列的極限

大家知道，數(shù)列極限的定義是這樣的：設(shè)?an?為數(shù)列，a為定數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)?，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n?N時(shí)，有an?a??，則稱數(shù)列收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列

an?an?的極限，記作：limn??

?a，當(dāng)數(shù)列不單調(diào)時(shí)，我們就用此定義來(lái)求極限，其步驟：

1、先根據(jù)數(shù)列極限的唯一性求出極限；

2、再去證明極限的存在性。舉例說(shuō)明：

例：設(shè)x1?2, xn?1?2?解1.令limxn?t

n??

(n?1)求:：limxn.n??xn

則limxn?1?lim??2?

n??

n??

??

xn

??? ?

即t?2??t?1?2?xn?2

?t?2? t?1?2(t?1?2舍去)

1t

2.證明其極限的存在性對(duì)???0xn?t?(2?)?(2?)xn?1t

xn?1?txn?2?t1xn?1?t???? tt?xn?1442

?

2?4n?1

??(當(dāng)n足夠大)

?

1xn?1

?

x1?44n?1

由極限的下定義可得：lim?xn?t??0

n??

?limxn?t?1?

n??

2.三 利用數(shù)列夾逼準(zhǔn)則求數(shù)列極限

回顧一下：設(shè)收斂數(shù)列?an??數(shù)列{cn}滿足：存在正數(shù)N0，當(dāng)n?N0，bn?都以a為極限，時(shí)，有：an?cn?bn.則數(shù)列{cn}收斂，且limcn?a.n??

此方法一般通過(guò)放大或縮小分母來(lái)找出兩邊數(shù)列的通項(xiàng)，從而達(dá)到求極限的目的。

舉例說(shuō)明：

?11?

例：求 lim?1??2?.n??

?nn?

?1??11??n?1?

解由?1????1??2???1?2?

n??n??nn??

??n?1?n?11???

?1??1???1?2????? ?(n?1)(n?1)?n?1n?1??????

n

n

n

n

nnn

?1?

顯然 lim?1???e

n??

?n?

nn?1

??1?1?1?????lim1??1?并且 lim?1???????e ??n??n??

?n?1??n?1?????n?1??

n

?11?

?lim?1??2??e.n??

?nn?

四 利用重要公式求極限或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限

此方法必須在牢記重要極限的形式和其值的基礎(chǔ)上，對(duì)所求式子作適當(dāng)變形，從而達(dá)到求其極限的目的，這種方法靈活，有相當(dāng)?shù)募记尚浴?/p>

舉例說(shuō)明：

n

n?1

?n?1?1

例：求 limsin.n??

nnn

n?1

?n?1?1

解limsin

n??

nnn

=lim?

?n?1?

?n??n??

n?1

sin?1

nsin?1n1n

=lim?1?

?n??

?1??n?

n?1

=lim?1?=e?1?1=e

?n??

?

1??1????1???n??n?1

n

n

sin

例：求極限lim?

?sinx?

?x?asina??

x?a

1x?a

.解lim?

?sinx?

?x?asina???

x?a

?

1x?a

=lim?1?

sinx?sina?

?sina?

1sinacosa

?x?acosasina

x?ax?a??2cossin??=lim?1??x?asina???????

x?a????2cosasin?

??=lim?1?x?a??sina????????

sina

cosa?(x?a)

???????

cosasina

sina

??cosa?(x?a)x?a????2cosasin?????=lim?1??x?a??sina???????????

ctga

=e

ctga

?sin

?

?x?ax?a?

~? 22?

五 利用數(shù)列極限與函數(shù)的極限等值關(guān)系來(lái)求極限

此方法把數(shù)列極限化成函數(shù)形式的極限，而后回代，從而求出數(shù)列極限的一種方法。

舉例說(shuō)明：

?a?b?c?

?.例：若 a,b,c?0,求lim???n???3??

解先考慮：

?1

?ax?bx?cx

ln?

3??

n

??

??xln??

x

?1

?ax?bx?cx?

3????? ??

?1

?ax?bx?cx

而limxln?

x???3?

???? ??

?1?xxx??ln?a?b?c??ln3??=lim

x???1

x

?2?axlna?2?bx?lnb?2?cx?lnc=lim

x???

1?2x

1x

1x

1x

1x1x1x

=lim

alna?b?lnb?c?lnc

a?b?c

1x

1x

1x

x???

=lnabc

???c?

? ?lim??n????3??

n

?1

?ax?bx?cx

=lim?

n???3?

???? ??

n

=lime

n???

??111??ax?bx?cxxln???????

???????

=e??

?lnabc??

?3?

=e

ln?abc?3

=?abc?

通過(guò)上面簡(jiǎn)單的對(duì)求數(shù)列極限的一般方法加以歸納，并舉例說(shuō)明，就可以在我們大腦中造成深刻的印象，更好地掌握函數(shù)和數(shù)列極限的求法。但數(shù)列極限的求法并不限于這幾種方法，或許還有很多種，希望大家在學(xué)習(xí)過(guò)程中善于歸納總結(jié)求數(shù)列極限的方法，以便我們共勉。

參考文獻(xiàn)：

[1]程其襄.數(shù)學(xué)分析第三版[M].高等教育出版社，1981（4）[2]謝惠民.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義[M].高等教育出版社，2003（7）

[3]周建瑩 李正元.高等數(shù)學(xué)解題指南[M].北京大學(xué)出版社，2002.（10）[4]王汝發(fā).高等數(shù)學(xué)解題方法[M].蘭州大學(xué)出版社，1994.（3）

第五篇：淺談函數(shù)極限的求法

淺談函數(shù)極限的求法

摘要：函數(shù)極限是數(shù)學(xué)分析的基本內(nèi)容之一，也是解決其它問(wèn)題的基礎(chǔ)。如何求出已知函數(shù)的極限是學(xué)習(xí)微積分必須掌握的基本技能。本文系統(tǒng)地介紹了利用定義、兩個(gè)重要極限、無(wú)窮小量代換、洛必達(dá)法則、夾逼準(zhǔn)則等求極限的方法，并結(jié)合具體的例子，指出了在解題中常遇見(jiàn)的一些問(wèn)題。

關(guān)鍵詞: 函數(shù)極限夾逼準(zhǔn)則等價(jià)無(wú)窮小量洛必達(dá)法則泰勒展開(kāi)式無(wú)窮小量

引言

極限研究的是函數(shù)的變化趨勢(shì)，在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限解決某個(gè)確定的數(shù)，那這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的極限了。極限是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)非常重要的概念，是貫徹?cái)?shù)學(xué)分析的一條主線，它將數(shù)學(xué)分析的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)連在一起，所以，求極限的方法顯得尤為重要的，我們知道，函數(shù)是數(shù)學(xué)分析研究的對(duì)象，而極限方法則是數(shù)學(xué)分析中研究函數(shù)的重要方法，因此怎樣求極限就非常重要。

數(shù)學(xué)分析中所討論的極限大體上分為兩類：一類是數(shù)列的極限，一類是函數(shù)的極限。兩類極限的本質(zhì)上是相同的，在形式上數(shù)列界限是函數(shù)極限的特例。因此，本文只就函數(shù)極限進(jìn)行討論。函數(shù)極限運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基本運(yùn)算，一部分函數(shù)的極限可以通過(guò)直接或間接的運(yùn)用“極限四則運(yùn)算法則”來(lái)求解，而另一部分函數(shù)極限需要通過(guò)特殊方法解決。求函數(shù)極限的方法較多，但是每種方法都有其局限性，都不是萬(wàn)能的。對(duì)某個(gè)具體的求極限的問(wèn)題，我們應(yīng)該追求最簡(jiǎn)便的方法。在求極限的過(guò)程中，必然以相關(guān)的概念、定理以及公式為依據(jù)，并借助一些重要的方法和技巧。本文給出了十七種求極限的方法，每種方法都是以定理或簡(jiǎn)述開(kāi)頭，然后以例題來(lái)全面展示具體的求法。下面我們通過(guò)對(duì)一元函數(shù)和二元函數(shù)極限的求法來(lái)進(jìn)行分類討論

一元函數(shù)極限的求法

1.1利用函數(shù)定義求極限

利用函數(shù)極限的???定義驗(yàn)證函數(shù)的極限。設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)x0的某空心鄰域，使得當(dāng)U0(x0;??)內(nèi)有定義,A為定數(shù)。若對(duì)任給的??0，存在正數(shù)?（???）

0?x?x0??時(shí)，有f(x)?A??成立，則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于x0時(shí)以A為極限，記作limf(x)?A或f(x)?A(x?x0)。x?x0

x2?4例1設(shè)f(x)?,證明limf(x)?4.x?2x?

2x2?4?4?x?2?4?x?2，證明: 由于當(dāng)x?2時(shí)，f(x)?4?x?2

故對(duì)給定的??0，只要取???，則當(dāng)0?x?2??時(shí)，有f(x)?4??.這就證明了limf(x)?4.x?2

(1)定義中的正數(shù)?，相當(dāng)于數(shù)列極限??N定義中的N，它依賴于?，但也不是由?所惟一確定。一般來(lái)說(shuō)，?愈小，?也相應(yīng)地要小一些，而且把?取得更小一些也無(wú)妨，如在題1中可取???

2或???

3等等。

(2)定義中只要求函數(shù)f在點(diǎn)x0的某個(gè)空心領(lǐng)域內(nèi)有定義，而一般不考慮f在點(diǎn)x0處的函數(shù)值是否有定義，或者取什么值。這是因?yàn)?，?duì)于函數(shù)極限我們所研究的是當(dāng)x趨于x0過(guò)程中函數(shù)值的變化趨勢(shì)。如在題1中函數(shù)f在點(diǎn)x?2是沒(méi)有定義的，但當(dāng)x?2時(shí),f的函數(shù)值趨于一個(gè)定數(shù)。

1.2 利用單側(cè)極限求函數(shù)極限

這種方法適用于求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限。首先必須考慮分段點(diǎn)處的左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限存在，否則極限不存在。如符號(hào)函數(shù)sgnx，由于它在x?0處的左、右極限不相等，所以limsgnx不存在。x?0

f(x)?limf(x)?A.定理1 limf(x)?A?lim??x?x0x?x0x?x0

?2xx?0?例2 ： f(x)??0 x?0,求f(x)在x?0處的極限.?1?x2x?0?

f(x)?lim2x?1，解: lim??x?0x?0

f(x)?lim1?x?1，lim??x?0x?0

2f(x)?limf(x)?1，? lim??x?0x?0

? limf(x)?1.x?0

1.3 利用函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則求極限

定理2 若極限limf(x)和limg(x)都存在，則函數(shù)f(x)?g(x)，f(x)?g(x)，x?x0x?x0

當(dāng)x?x0時(shí)也存在極限，且有

①limx?x0

x?x0?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)； x?x0x?x0x?x0x?x0②lim?f(x)?g(x)?=limf(x)?limg(x)；

limf(x)f(x)f(x)x?x0③又若limg(x)?0，則在x?x0時(shí)也存在極限，且有l(wèi)im.?x?x0x?x0g(x)g(x)limg(x)

x?x0

利用函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則求極限，條件是每項(xiàng)或每個(gè)因子極限都存在，一般所給的變量都不滿足這個(gè)條件，如?0，等情況，都不能直接用四則運(yùn)算法?0

則，必須要對(duì)變量進(jìn)行變形，設(shè)法消去分子、分母中的零因子，在變形時(shí)，要熟練掌握因式分解、有理化運(yùn)算等恒等變形。

(xtanx?1).例3：求lim?x?4

解: 由xtanx?xsinx?2及l(fā)imsinx?sin??limcosx，有 ??x?x?cosx42lim(xtanx?1)=limx???x?4limsinx?x?4x?limcosx?x??lim1??x??4?1.1.6 利用函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)極限

參考文獻(xiàn):

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.[2] 陳傳璋,朱學(xué)炎等.數(shù)學(xué)分析(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1998.[3] 張?jiān)僭疲愊鏃澋?，極限計(jì)算的方法與技巧[J].湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,22(2):16-19.[4]歐陽(yáng)光中.數(shù)學(xué)分析[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2002.[5]錢吉林.數(shù)學(xué)分析解題精粹[M].武漢：崇文書(shū)局出版社，2001