第一篇：極限復(fù)習(xí)題

高二極限期末復(fù)習(xí)題

一、相關(guān)知識(shí)鏈接

1、數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟是：

（1）；（2）；在完成了這兩個(gè)步驟以后，就可以斷定命題對(duì)于從開(kāi)始的所有

2、數(shù)學(xué)的歸納法是用來(lái)證明與

3、函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則：如果limf(x)?a，limg(x)?b，那么

x?x0

x?x03、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

11113??????(n?1,且n?N)時(shí)，在證明n?k?1這一步n?1n?22n2

411111

3???????k?1k?32k2k?124

時(shí)，需要證明的不等式是（）

A.1?1????1?13B.k?

1k?

22k

C.111113 111113D.1

???????????????

k?2k?32k2k?12k?224k?2k?32k2k?124

2n?14、用數(shù)學(xué)歸納法證明：2?1?2?3?2?3????2?

3?3n?1。

（1）lim[f(x)?g(x)]?（2）lim[f(x)?g(x)]?；

x?x0

x?x0

（3）lim

x?x0

f(x)

； ?；（4）lim[C?f(x)]?C是常數(shù)）

x?x0

g(x)

n

?

1,(x?0)2??x5、已知f(x)??，求limf(x)。

x??

?(3)x,(x?0)??

2?x2?2x?2,(x?1)?

6、討論函數(shù)f(x)??x,(1?x?2)，（1）求當(dāng)x?1時(shí)的極限；（2）求當(dāng)x?2時(shí)的極限。

?2x?4,(x?2)?

7、下列結(jié)論正確的是（）

A．lim()?0B．lim10?0C．lim()?0D．lim2?0

x??

（5）lim[f(x)]?（n?N?）。

x?x0

這些法則對(duì)于x??的情況仍然成立。

4、函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則：如果liman?a，limbn?b，那么

n??

n??

（1）lim(an?bn)?；（2）lim(an?bn)?；

n??

n??

3xx

x???x???

2xx

x???

f(x)與limf(x)存在”是“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的極限limf(x)存在”

8、“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的左右極限lim??

x?x0

x?x0

x?x0

（3）lim

an

；（4）lim(C?an)?C是常數(shù)）； ?（b?0）

n??n??bn的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分與不必要條件

5、無(wú)窮

12、求下列的極限：

1）lim3x2?2x?12x?3x?

1（x2?3x?2，（2）xlim???3x?2x?1，x??

2x（3）lim2

2?1

x??

(x?1?x?1)，（4）xlim???3x?1，13、已知lim2x

2x??（x?

1?ax?b)=2，其中a,b?R,求a?b的值。

14、求下列極限：

n2?2n?32n?1?3n

（1）limn??3n2?

2（2）limn??2n?3n?

1（3）limn??(121

n2?n?1)，（4）lim。n??2n(n2?1?n2?1)

15、求lim1?3?5???(2n?1)的值。

n??n(2n?1)

2.5函數(shù)的連續(xù)性

16、函數(shù)在x?x0處有定義是函數(shù)f?x?在點(diǎn)x0處連續(xù)的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件

17、設(shè)f?x???

?x?1?0?x?1?

?2?x

?1?x?3?，（1）求f?x?在點(diǎn)x?1處的左右極限，并判斷在點(diǎn)x?1處f?x?的極限是否存在；

（2）f?x?在點(diǎn)x?1處是否連續(xù)？（3）求函數(shù)f?x?的連續(xù)區(qū)間。（4）求

limf?x?,limf?x?。

x?

1x?

2??ex

??x?0?

18、已知函數(shù)f?x???

a?x2?b

2?0?x?1?，在???,???上連續(xù)，求實(shí)數(shù)a、b的值。

?2??x

?x?1?

225254288.doc

第二篇：高等數(shù)學(xué)極限復(fù)習(xí)題

高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料二

川汽院專(zhuān)升本極限復(fù)習(xí)題

一 極限計(jì)算

二 兩個(gè)重要極限

三 用無(wú)窮小量和等價(jià)

第三篇：極限歲月

極限歲月

我是一個(gè)平凡的人，我的故事也是平凡的故事。

很小的時(shí)候，我不知道什么叫優(yōu)秀和平庸。

但我，卻打心里認(rèn)為我跟別人不同。我不用努力學(xué)習(xí)，每次總是第一名。

連我的嗅覺(jué)，我很遠(yuǎn)就能聞到媽媽為我炒的辣椒炒肉。

我甚至以為，我是龍的傳人，我有一次皮膚

病，有些地方脫了皮。

但我以為那是龍?jiān)趽Q鱗。

我盲目的認(rèn)為自己是一個(gè)優(yōu)秀的人

換來(lái)的是自己的放縱和不羈。

我足足用了幾年來(lái)弄明白我和別人都是一樣的只不過(guò)是智商稍高一點(diǎn)而已

當(dāng)我意識(shí)到這一點(diǎn)后，我開(kāi)始努力做到和別人不同

抽煙，喝酒，打群架，在學(xué)校做老大

經(jīng)歷過(guò)兩次教訓(xùn)之后，我的目標(biāo)沒(méi)有變

我依然要做到和別人不同，但方向變了。

我總是渴望更高的目標(biāo)，不管會(huì)不會(huì)“孤獨(dú)的飛鷹總是愈來(lái)愈高”

我以為人生就是要實(shí)現(xiàn)自己的精彩。不管是高的好的還是低的壞的目標(biāo)

所以，當(dāng)我有了一次重大的決定自己的權(quán)利時(shí)，我選了軍校......

二

我踏進(jìn)學(xué)校的第一天我就想退學(xué)

但是懶慣了的我也懶的去退學(xué)

于是我就不得不去習(xí)慣這兒的一切

我是太懶了，懶得去掙拖束縛

懶得去擺拖每天的早操，軍姿和正步

懶得去卸下學(xué)員干部的重任

好多事懶得去想，只有去做

好多故事懶得以后回憶，只好現(xiàn)在寫(xiě)下來(lái)

三

“為什么要這樣啊？”征已經(jīng)在哭嚎了。

他們?cè)谝话嗟乃奚崂?，阿偉，凌云，小源，阿好都在，在桌上凌亂的擺著幾個(gè)空飯盒，里面裝著不知什么樣的殘羹剩汁，飯盒旁是幾個(gè)空空的“紅星二鍋頭”的瓶子和幾袋花生。此外，每個(gè)人的手上還拿著一瓶。

“大家別這樣，如果要開(kāi)我的話，讓我開(kāi)開(kāi)心心地走，不要為我留淚”凌云抬起了頭，自己的眼淚卻已經(jīng)掛在眼角。

“大家不要再喝了，我們還有很多事要做的?！卑ピ诎参縿⒄?。征把頭埋進(jìn)自己的懷里，好象也要把自己的悲傷埋進(jìn)心里一樣。阿偉伸出手去，撫摩著征的頭，卻驚愕地發(fā)現(xiàn)這個(gè)鐵漢子的淚水已經(jīng)留出來(lái)了。

小源嘴里也罵著什么，但眼水一樣不爭(zhēng)氣的留了下來(lái)。

阿偉也不知道是在跟誰(shuí)說(shuō)了，“凌云不會(huì)走的，凌云不會(huì)走的，大家怎么了，不要留這種不值錢(qián)的眼淚?！彼邅?lái)走去的，說(shuō)了一句，“我去買(mǎi)包煙?！?/P>

他走出房門(mén)，順手把門(mén)拉上，卻發(fā)現(xiàn)自己的眼淚已經(jīng)不爭(zhēng)氣的留了下來(lái)，他擦了擦臉，強(qiáng)迫自己的面部肌肉做了一個(gè)笑的動(dòng)作，義無(wú)返顧的朝著小賣(mài)部走去，他走的有點(diǎn)壯烈，因?yàn)樗ベI(mǎi)煙，口袋里卻一分錢(qián)也沒(méi)有。

四

當(dāng)全隊(duì)要重新整編的消息傳來(lái)的時(shí)候，所有的人的木了。

有誰(shuí)愿意跟以前拳腳相見(jiàn)的人同住一間房子，有誰(shuí)愿意離開(kāi)自己朝夕相處的弟兄。可是，有兩個(gè)人還是邪邪的笑。

一個(gè)是阿偉，他對(duì)他的好兄弟凌云邊說(shuō)邊笑邊動(dòng)手，“以后見(jiàn)了你，見(jiàn)一次打你一次，現(xiàn)在是各為其主了，不要怪我心狠手辣！”

另一個(gè)人是英侃，他居然在中隊(duì)長(zhǎng)面前口出狂言，“媽個(gè)*，又跟于雷一個(gè)班，真討厭”。

所有的人都顫抖了，他欺負(fù)人家還不夠，他們班的暗號(hào)就是“于雷吃屎！”可是中隊(duì)長(zhǎng)只是笑了笑，因?yàn)橛①?shí)在是太可愛(ài)了。

然后大家就聚在一塊談?wù)撚①┑膲雅e：他82天不洗澡的隊(duì)記錄，他用來(lái)洗腳的牙膏的品牌，他怎樣一個(gè)下午花掉一千元，他能壓垮床的體重。

大家都樂(lè)著，好象都忘了整編一樣，沒(méi)有人去提，沒(méi)有人愿意去提！

五

英侃喝多了，他跟著劉征和志平一塊兒在五班喝的，三人都喝的暈頭了，劉征和志平躺在自己的床上就睡了，英侃也不行了，于是，他只有趴在阿堅(jiān)的床上睡了，哎喲！阿堅(jiān)的床沒(méi)有枕頭，好不舒服！天花板怎么在動(dòng)啊，我沒(méi)有喝多吧？

沒(méi)有枕頭好不爽啊，偷別人一個(gè)，拿誰(shuí)的，劉哥不能惹，小源也不行，他發(fā)火了不借給我錢(qián)吃飯?jiān)趺崔k，小寒吧，他丫整天笑的跟他媽賣(mài)*似的。肯定不會(huì)發(fā)火。我偷，我拿，我抽……

啊，枕頭拿過(guò)來(lái)了，小寒呢？

英侃看上去有些迷茫，剛才還在這的，怎么一眨眼就沒(méi)了，不管了，我睡覺(jué)，先。

他回過(guò)頭來(lái)，要上床睡覺(jué)，卻好象忘了一點(diǎn)，兔子也有咬人的時(shí)候。小寒就站在他的身后。

英侃不知道，他只是看見(jiàn)七，八個(gè)小寒

第四篇：極限證明

極限證明

1.設(shè)f(x)在(??,??)上無(wú)窮次可微，且f(x)??(xn)(n???)，求證當(dāng)k?n?1時(shí)，?x，limf(k)(x)?0． x???

2.設(shè)f(x)??0sinntdt，求證：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f(x)是以2?為周期的周期函數(shù)；當(dāng)n為

偶數(shù)時(shí)f(x)是一線性函數(shù)與一以2?為周期的周期函數(shù)之和． x

f(n)(x)?0．?{xn}?3.設(shè)f(x)在(??,??)上無(wú)窮次可微；f(0)f?(0)?0xlim求證：n?1，???

?n，0?xn?xn?1，使f(n)(xn)?0．

sin(f(x))?1．求證limf(x)存在． 4.設(shè)f(x)在(a,??)上連續(xù)，且xlim???x???

5.設(shè)a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,證明權(quán)限limn??xn存在并求極限值。

6.設(shè)xn?0,n?1,2,?.證明：若limxn?1?x,則limxn?x.n??xn??n

7.用肯定語(yǔ)氣敘述：limx???f?x????.8.a1?1,an?1?1,求證：ai有極限存在。an?

1t?x9.設(shè)函數(shù)f定義在?a,b?上，如果對(duì)每點(diǎn)x??a,b?,極限limf?t?存在且有限（當(dāng)x?a或b時(shí)，為單側(cè)極限）。證明：函數(shù)f在?a,b?上有界。

10.設(shè)limn??an?a,證明：lima1?2a2???nana?.n??2n

211.敘述數(shù)列?an?發(fā)散的定義，并證明數(shù)列?cosn?發(fā)散。

12.證明：若???

af?x?dx收斂且limx???f?x???，則??0.11?an?收斂。?,n?1,2,?.求證：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?

n

14.證明公式?k?11k?2n?C??n，其中C是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，limn???n?0.15.設(shè)f?x?在[a,??)上可微且有界。證明存在一個(gè)數(shù)列?xn??[a,?),使得limn??xn???且limn??f'?xn??0.16.設(shè)f?u?具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且limu???f'?u??A?0,D??x,y?|x2?y2?R2,x,y?0

??

?R?0?.I

?1?證明：limu??f?u????;?2?求IR???f'?x2?y2?dxdy;?3?求limR2

R??

D

R

17.設(shè)f?x?于[a,??)可導(dǎo)，且f'?x??c?0?c為常數(shù)?,證明：

?1?limx???f?x????;?2?f?x?于[a,??)必有最小值。

18.設(shè)limn???an?a,limn???bn?b,其中b?0,用??N語(yǔ)言證明lim

ana?.n???bbn

?Sn?x??19.設(shè)函數(shù)列?Sn?x??的每一項(xiàng)Sn?x?都在x0連續(xù)，U是以x0為中心的某個(gè)開(kāi)區(qū)間，在U??x0?內(nèi)閉一致收斂于S?x?,又limn??Sn?x0????,證明：limS?x????.x?x0

20.敘述并證明limx???f?x?存在且有限的充分必要條件?柯西收斂原理?

??a

23.設(shè)?

f(x)= 0.證明xlimf(x)dx收斂,且f(x)在?a,???上一致連續(xù)，???

24.設(shè)a1>0，an?1＝an＋，證明＝1 nan25.設(shè)f?x?在a的某領(lǐng)域內(nèi)有定義且有界，對(duì)于充分小的h，M?h?與m?h?分別表示f?x?在?a?h,a?h?上的上、下確界，又設(shè)?hn?是一趨于0的遞減數(shù)列，證明：

1）limn??M?hn?與limn??m?hn?都存在；

2)limn?0M?h??limn??M?hn?,limn?0m?h??limn??m?hn?;

3)f?x?在x?a處連續(xù)的充要條件是llimn??M?hn??imn??m?hn?26設(shè)?xn?滿(mǎn)足：|xn?1?xn|?|qn||xn?xn?1|,|qn|?r?1|,證明?xn?收斂。

27.設(shè)an?a,用定義證明:limn???an?a

28.設(shè)x1?0，xn?1?

31?xn,(n?1,2,?)，證明limxn存在并求出來(lái)。

n??3?xn

??

29.用“???語(yǔ)言”證明lim30.設(shè)f(x)?

(x?2)(x?1)

?0

x?1x?3

x?2，數(shù)列?xn?由如下遞推公式定義：x0?1，xn?1?f(xn)，(n?0，x?1

n??

1，2，?)，求證：limxn?2。

31.設(shè)fn(x)?cosx?cos2x???cosnx，求證：

（A）對(duì)任意自然數(shù)n，方程fn(x)?1在[0,?/3)內(nèi)有且僅有一個(gè)正根；

（B）設(shè)xn?[0,1/3)是fn(x)?1的根，則limxn??/3。

n??

32.設(shè)函數(shù)f(t)在(a,b)連續(xù)，若有數(shù)列xn?a,yn?a(xn,yn?(a,b))使

Limf(xn)?A(n??)及Limf(yn)?B(n??)，則對(duì)A，B之間的任意數(shù)?，可找到數(shù)列xn?a，使得Limf(zn)??

33.設(shè)函數(shù)f在[a,b]上連續(xù)，且

f?0,記fvn?f(a?v?n),?n?

?exp{

b?a，試證明：n

1b

lnf(x)dx}(n??)并利用上述等式證明下?ab?a

式

2?

?

2?

ln(1?2rcosx?r2)dx?2lnr(r?1)

f(b)?f(a)

?K

b?a

34.設(shè)f‘(0)?K,試證明lim

a?0?b?0?

35.設(shè)f(x)連續(xù)，?(x)??0f(xt)dt，且lim

x?0

論?'(x)在x?0處的連續(xù)性。

f(x)，求?'(x)，并討?A（常數(shù)）

x

36． 給出Riemann積分?af(x)dx的定義，并確定實(shí)數(shù)s的范圍使下列極限收斂

i1

lim?()s。n??ni?0n

?x322,x?y?0?2

37.定義函數(shù)f?x???x?y2.證明f?x?在?0,0?處連續(xù)但不可微。

?0,x?y?0?

n?1

b

38.設(shè)f是?0,??上有界連續(xù)函數(shù)，并設(shè)r1,r2,?是任意給定的無(wú)窮正實(shí)數(shù)列，試證存在無(wú)窮正實(shí)數(shù)列x1,x2,?,使得：limn???f?xn?rn??f?xn???0.39.設(shè)函數(shù)f?x?在x?0連續(xù)，且limx?0

f?2x??f?x??A,求證：f'?0?存在且等于A.x

1n

40.無(wú)窮數(shù)列?an??,bn?滿(mǎn)足limn??an?a,limn??bn?b,證明:lim?aibn?1-i?ab.n??ni?1

41.設(shè)f是?0,??上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的正函數(shù)，且f'?x??0,f''有界，則limt??f'?t??0

42.用???分析定義證明limt??1

x?31

? x2?92

43.證明下列各題

?1?設(shè)an??0,1?，n?1,2,?,試證明級(jí)數(shù)?2nann?1?an?n收斂；

n?1

?

?2?設(shè)?an?為單調(diào)遞減的正項(xiàng)數(shù)列，級(jí)數(shù)?n2000an收斂，試證明limn2001an?0;

n??

n?1

?

?3?設(shè)f?x?在x?0附近有定義，試證明權(quán)限limx?0f?x?存在的充要條件是：對(duì)任何趨于0的數(shù)列?xn??,yn?都有l(wèi)imn???f?xn??f?yn???0.?1?44.設(shè)?an?為單調(diào)遞減數(shù)列的正項(xiàng)數(shù)列，級(jí)數(shù)?anln?1?an?0???收斂，試證明limn??n?n?1?

a?1。45.設(shè)an?0，n=1,2，an?a?0,(n??),證 limn

n??

?

46.設(shè)f為上實(shí)值函數(shù)，且f（1）＝1，f?（x）＝〔1，＋?〕

limf（x）存在且小于1＋。

x?＋?4，證明x?1）2

x2＋f（x）

?

47.已知數(shù)列{an}收斂于a，且

a?a???aSn?，用定義證明{Sn}也收斂于a

n

48.若f?x?在?0,???上可微，lim

n??

f(x)

?0，求證?0,???內(nèi)存在一個(gè)單

x??x

調(diào)數(shù)列{?n}，使得lim?n???且limf?(?n)?0

n??

x??e?sinx?cosx?,x?0

49.設(shè)f?x???2,確定常數(shù)a,b,c,使得f''?x?在???,??處處存在。

??ax?bx?c,x?0

第五篇：高等數(shù)學(xué)-極限

《高等數(shù)學(xué)》極限運(yùn)算技巧

(2009-06-02 22:29:52)轉(zhuǎn)載▼ 標(biāo)簽： 分類(lèi)： 數(shù)學(xué)問(wèn)題解答

雜談 知識(shí)/探索

【摘 要】《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中對(duì)于極限部分的要求很高，這主要是因?yàn)槠涮厥獾牡匚粵Q定的。然而極限部分絕大部分的運(yùn)算令很多從中學(xué)進(jìn)入高校的學(xué)生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運(yùn)算過(guò)程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對(duì)學(xué)習(xí)者有所幫助?！娟P(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué) 極限 技巧

《高等數(shù)學(xué)》極限運(yùn)算技巧

《高等數(shù)學(xué)》的極限與連續(xù)是前幾章的內(nèi)容，對(duì)于剛?cè)敫咝５膶W(xué)生而言是入門(mén)部分的重要環(huán)節(jié)。是“初等數(shù)學(xué)”向“高等數(shù)學(xué)”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來(lái)講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當(dāng)函數(shù)的變量具有某種變化趨勢(shì)（這種變化趨勢(shì)是具有唯一性），那么函數(shù)的應(yīng)變量同時(shí)具有一種趨勢(shì)，而且這種趨勢(shì)是與自變量的變化具有對(duì)應(yīng)性。通俗的來(lái)講，函數(shù)值因?yàn)楹瘮?shù)變量的變化而無(wú)限逼近某一定值，我們就將這一定值稱(chēng)為該函數(shù)在變量產(chǎn)生這種變化時(shí)的極限！

從數(shù)學(xué)式子上來(lái)講，逼近是指函數(shù)的變化，表示為。這個(gè)問(wèn)題不再贅述，大家可以參考教科書(shū)上的介紹。

二，極限的運(yùn)算技巧

我在上課時(shí)，為了讓學(xué)生好好參照我的結(jié)論，我夸過(guò)這樣一個(gè)?？?，我說(shuō)，只要你認(rèn)真的記住這些內(nèi)容，高數(shù)部分所要求的極限內(nèi)容基本可以全部解決。現(xiàn)在想來(lái)這不是什么?？?，數(shù)學(xué)再難也是基本的內(nèi)容，基本的方法，關(guān)鍵是技巧性。我記得blog中我做過(guò)一道極限題，當(dāng)時(shí)有網(wǎng)友驚呼說(shuō)太討巧了！其實(shí)不是討巧，是有規(guī)律可循的！今天我寫(xiě)的內(nèi)容希望可以對(duì)大家的學(xué)習(xí)有幫助!我們看到一道數(shù)學(xué)題的時(shí)候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時(shí)可以直接套用的。1，連續(xù)函數(shù)的極限

這個(gè)我不細(xì)說(shuō)，兩句話，首先看是不是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)的直接帶入自變量。2，不定型

我相信所有學(xué)習(xí)者都很清楚不定型的重要性，確實(shí)。那么下面詳細(xì)說(shuō)明一些注意點(diǎn)以及技巧。

第一，所有的含有無(wú)窮小的，首先要想到等價(jià)無(wú)窮小代換，因?yàn)檫@是最能簡(jiǎn)化運(yùn)算的。等價(jià)代換的公式主要有六個(gè)：

需要注意的是等價(jià)物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運(yùn)算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問(wèn)題的話，必須要等價(jià)代換的時(shí)候，必須拆項(xiàng)運(yùn)算，不過(guò)，需要說(shuō)明，拆項(xiàng)的時(shí)候要小心，必須要保證拆開(kāi)的每一項(xiàng)極限都存在。此外等價(jià)無(wú)窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強(qiáng)調(diào)在運(yùn)算的之前，檢驗(yàn)形式，是無(wú)窮小的形式才能等價(jià)代換。

當(dāng)然在一些無(wú)窮大的式子中也可以去轉(zhuǎn)化代換，即無(wú)窮大的倒數(shù)是無(wú)窮小。這需要變通的看問(wèn)題。

在無(wú)窮小的運(yùn)算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無(wú)窮小比無(wú)窮小。比較常見(jiàn)的采用洛必答法則的是無(wú)窮小乘無(wú)窮大的情況。(特別說(shuō)明無(wú)窮小乘無(wú)窮大可以改寫(xiě)為無(wú)窮小比無(wú)窮小或者無(wú)窮大比無(wú)窮大的形式，這根據(jù)做題的需要來(lái)進(jìn)行）。第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數(shù)形式的（包含冪函數(shù)四則運(yùn)算形式），可以找高次項(xiàng)，提出高次項(xiàng)，這樣其他一切項(xiàng)就都是無(wú)窮小了，只有高次項(xiàng)是常數(shù)。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項(xiàng)都是“0”，原來(lái)的x都是常數(shù)1了。當(dāng)然如果分式形式中，只有分子中含有高次項(xiàng)，那么該極限式極限不存在（是無(wú)窮大），如果只有分母中含有高次項(xiàng)，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項(xiàng)，我們可以直接去看高次項(xiàng)的系數(shù)，基本原理其實(shí)就是上面所說(shuō)的提高次項(xiàng)。比如上面的例子，可以直接寫(xiě)1/2。

如果不是純冪函數(shù)形式，無(wú)法用提高次項(xiàng)的方法（提高次項(xiàng)是優(yōu)先使用的方法），使用洛必達(dá)也是一種很好的方法。需要強(qiáng)調(diào)的是洛必達(dá)是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴(yán)格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數(shù)時(shí)候我們優(yōu)先采用其他的方法來(lái)解決，這主要是考慮運(yùn)算量的問(wèn)題。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運(yùn)算，需要轉(zhuǎn)換形式，即轉(zhuǎn)換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉(zhuǎn)換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項(xiàng)解。（3）“ ”形式

這也是需要轉(zhuǎn)換的一種基本形式。因?yàn)闊o(wú)窮大與無(wú)窮小之間的倒數(shù)關(guān)系，所以這種轉(zhuǎn)換時(shí)比較簡(jiǎn)單也是比較容易解決的。轉(zhuǎn)換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如： 這道題的基本接替思路是，檢驗(yàn)形式是“式，最后直接套用公式。

第二種是取對(duì)數(shù)消指數(shù)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，“

”，然后選用公式，再湊出公式的形

”形式指數(shù)的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數(shù)就可以采用其他方法來(lái)解決了。比如上面那道題用取對(duì)數(shù)消指數(shù)的方法來(lái)解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點(diǎn)不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。三，極限運(yùn)算思維的培養(yǎng)

極限運(yùn)算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書(shū)的時(shí)候依賴(lài)的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學(xué)習(xí)事半功倍。而極限思維的培養(yǎng)則是對(duì)做題起到指導(dǎo)性的意義。如何培養(yǎng)，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運(yùn)算中體會(huì)，多做題多總結(jié)。

（本文著作權(quán)歸個(gè)人所有，如需轉(zhuǎn)載請(qǐng)聯(lián)系本人。）