第一篇：高等數(shù)學(xué)極限總結(jié)

我的高等數(shù)學(xué) 學(xué)我所學(xué)，想我所想

【摘要】《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中對(duì)于極限部分的要求很高，這主要是因?yàn)槠涮厥獾牡匚粵Q定的。然而極限部分絕大部分的運(yùn)算令很多從中學(xué)進(jìn)入高校的學(xué)生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運(yùn)算過(guò)程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對(duì)學(xué)習(xí)者有所幫助。【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué) 極限 技巧

《高等數(shù)學(xué)》極限運(yùn)算技巧

《高等數(shù)學(xué)》的極限與連續(xù)是前幾章的內(nèi)容，對(duì)于剛?cè)敫咝５膶W(xué)生而言是入門部分的重要環(huán)節(jié)。是“初等數(shù)學(xué)”向“高等數(shù)學(xué)”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來(lái)講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當(dāng)函數(shù)的變量具有某種變化趨勢(shì)（這種變化趨勢(shì)是具有唯一性），那么函數(shù)的應(yīng)變量同時(shí)具有一種趨勢(shì)，而且這種趨勢(shì)是與自變量的變化具有對(duì)應(yīng)性。通俗的來(lái)講，函數(shù)值因?yàn)楹瘮?shù)變量的變化而無(wú)限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數(shù)在變量產(chǎn)生這種變化時(shí)的極限！

從數(shù)學(xué)式子上來(lái)講，逼近是指函數(shù)的變化，表示為。這個(gè)問(wèn)題不再贅述，大家可以參考教科書(shū)上的介紹。

二，極限的運(yùn)算技巧

我在上課時(shí)，為了讓學(xué)生好好參照我的結(jié)論，我夸過(guò)這樣一個(gè)?？冢艺f(shuō)，只要你認(rèn)真的記住這些內(nèi)容，高數(shù)部分所要求的極限內(nèi)容基本可以全部解決?，F(xiàn)在想來(lái)這不是什么?？?，數(shù)學(xué)再難也是基本的內(nèi)容，基本的方法，關(guān)鍵是技巧性。我記得blog中我做過(guò)一道極限題，當(dāng)時(shí)有網(wǎng)友驚呼說(shuō)太討巧了！其實(shí)不是討巧，是有規(guī)律可循的！今天我寫的內(nèi)容希望可以對(duì)大家的學(xué)習(xí)有幫助!

我們看到一道數(shù)學(xué)題的時(shí)候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時(shí)可以直接套用的。

我的高等數(shù)學(xué) 學(xué)我所學(xué)，想我所想

1，連續(xù)函數(shù)的極限

這個(gè)我不細(xì)說(shuō)，兩句話，首先看是不是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)的直接帶入自變量。

2，不定型

我相信所有學(xué)習(xí)者都很清楚不定型的重要性，確實(shí)。那么下面詳細(xì)說(shuō)明一些注意點(diǎn)以及技巧。

第一，所有的含有無(wú)窮小的，首先要想到等價(jià)無(wú)窮小代換，因?yàn)檫@是最能簡(jiǎn)化運(yùn)算的。等價(jià)代換的公式主要有六個(gè)：

需要注意的是等價(jià)物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運(yùn)算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問(wèn)題的話，必須要等價(jià)代換的時(shí)候，必須拆項(xiàng)運(yùn)算，不過(guò)，需要說(shuō)明，拆項(xiàng)的時(shí)候要小心，必須要保證拆開(kāi)的每一項(xiàng)極限都存在。此外等價(jià)無(wú)窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強(qiáng)調(diào)在運(yùn)算的之前，檢驗(yàn)形式，是無(wú)窮小的形式才能等價(jià)代換。

當(dāng)然在一些無(wú)窮大的式子中也可以去轉(zhuǎn)化代換，即無(wú)窮大的倒數(shù)是無(wú)窮小。這需要變通的看問(wèn)題。

在無(wú)窮小的運(yùn)算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無(wú)窮小比無(wú)窮小。比較常見(jiàn)的采用洛必答法則的是無(wú)窮小乘無(wú)窮大的情況。(特別說(shuō)明無(wú)窮小乘無(wú)窮大可以改寫為無(wú)窮小比無(wú)窮小或者無(wú)窮大比無(wú)窮大的形式，這根據(jù)做題的需要來(lái)進(jìn)行）。

我的高等數(shù)學(xué) 學(xué)我所學(xué)，想我所想

第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數(shù)形式的（包含冪函數(shù)四則運(yùn)算形式），可以找高次項(xiàng)，提出高次項(xiàng)，這樣其他一切項(xiàng)就都是無(wú)窮小了，只有高次項(xiàng)是常數(shù)。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項(xiàng)都是“0”，原來(lái)的x都是常數(shù)1了。當(dāng)然如果分式形式中，只有分子中含有高次項(xiàng)，那么該極限式極限不存在（是無(wú)窮大），如果只有分母中含有高次項(xiàng)，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項(xiàng)，我們可以直接去看高次項(xiàng)的系數(shù)，基本原理其實(shí)就是上面所說(shuō)的提高次項(xiàng)。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數(shù)形式，無(wú)法用提高次項(xiàng)的方法（提高次項(xiàng)是優(yōu)先使用的方法），使用洛必達(dá)也是一種很好的方法。需要強(qiáng)調(diào)的是洛必達(dá)是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴(yán)格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數(shù)時(shí)候我們優(yōu)先采用其他的方法來(lái)解決，這主要是考慮運(yùn)算量的問(wèn)題。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運(yùn)算，需要轉(zhuǎn)換形式，即轉(zhuǎn)換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉(zhuǎn)換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項(xiàng)解。（3）“ ”形式

我的高等數(shù)學(xué) 學(xué)我所學(xué)，想我所想

這也是需要轉(zhuǎn)換的一種基本形式。因?yàn)闊o(wú)窮大與無(wú)窮小之間的倒數(shù)關(guān)系，所以這種轉(zhuǎn)換時(shí)比較簡(jiǎn)單也是比較容易解決的。轉(zhuǎn)換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。

第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如：道題的基本接替思路是，檢驗(yàn)形式是“式，最后直接套用公式。

這

”，然后選用公式，再湊出公式的形第二種是取對(duì)數(shù)消指數(shù)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，“ ”形式指數(shù)的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數(shù)就可以采用其他方法來(lái)解決了。比如上面那道題用取對(duì)數(shù)消指數(shù)的方法來(lái)解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點(diǎn)不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。三，極限運(yùn)算思維的培養(yǎng)

極限運(yùn)算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書(shū)的時(shí)候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學(xué)習(xí)事半功倍。而極限思維的培養(yǎng)則是對(duì)做題起到指導(dǎo)性的意義。如何培養(yǎng)，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運(yùn)算中體會(huì)，多做題多總結(jié)。

第二篇：高等數(shù)學(xué)極限總結(jié)

【摘 要】《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中對(duì)于極限部分的要求很高，這主要是因?yàn)槠涮厥獾牡匚粵Q定的。然而極限部分絕大部分的運(yùn)算令很多從中學(xué)進(jìn)入高校的學(xué)生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運(yùn)算過(guò)程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對(duì)學(xué)習(xí)者有所幫助。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué) 極限 技巧

《高等數(shù)學(xué)》極限運(yùn)算技巧

《高等數(shù)學(xué)》的極限與連續(xù)是前幾章的內(nèi)容，對(duì)于剛?cè)敫咝５膶W(xué)生而言是入門部分的重要環(huán)節(jié)。是“初等數(shù)學(xué)”向“高等數(shù)學(xué)”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來(lái)講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當(dāng)函數(shù)的變量具有某種變化趨勢(shì)（這種變化趨勢(shì)是具有唯一性），那么函數(shù)的應(yīng)變量同時(shí)具有一種趨勢(shì)，而且這種趨勢(shì)是與自變量的變化具有對(duì)應(yīng)性。通俗的來(lái)講，函數(shù)值因?yàn)楹瘮?shù)變量的變化而無(wú)限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數(shù)在變量產(chǎn)生這種變化時(shí)的極限！

從數(shù)學(xué)式子上來(lái)講，逼近是指函數(shù)的變化，表示為。這個(gè)問(wèn)題不再贅述，大家可以參考教科書(shū)上的介紹。

二，極限的運(yùn)算技巧

我在上課時(shí)，為了讓學(xué)生好好參照我的結(jié)論，我夸過(guò)這樣一個(gè)?？冢艺f(shuō)，只要你認(rèn)真的記住這些內(nèi)容，高數(shù)部分所要求的極限內(nèi)容基本可以全部解決?，F(xiàn)在想來(lái)這不是什么?？冢瑪?shù)學(xué)再難也是基本的內(nèi)容，基本的方法，關(guān)鍵是技巧性。我記得blog中我做過(guò)一道極限題，當(dāng)時(shí)有網(wǎng)友驚呼說(shuō)太討巧了！其實(shí)不是討巧，是有規(guī)律可循的！今天我寫的內(nèi)容希望可以對(duì)大家的學(xué)習(xí)有幫助!

我們看到一道數(shù)學(xué)題的時(shí)候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時(shí)可以直接套用的。

1，連續(xù)函數(shù)的極限

這個(gè)我不細(xì)說(shuō)，兩句話，首先看是不是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)的直接帶入自變量。

2，不定型

我相信所有學(xué)習(xí)者都很清楚不定型的重要性，確實(shí)。那么下面詳細(xì)說(shuō)明一些注意點(diǎn)以及技巧。

第一，所有的含有無(wú)窮小的，首先要想到等價(jià)無(wú)窮小代換，因?yàn)檫@是最能簡(jiǎn)化運(yùn)算的。等價(jià)代換的公式主要有六個(gè)：

需要注意的是等價(jià)物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運(yùn)算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問(wèn)題的話，必須要等價(jià)代換的時(shí)候，必須拆項(xiàng)運(yùn)算，不過(guò)，需要說(shuō)明，拆項(xiàng)的時(shí)候要小心，必須要保證拆開(kāi)的每一項(xiàng)極限都存在。

此外等價(jià)無(wú)窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強(qiáng)調(diào)在運(yùn)算的之前，檢驗(yàn)形式，是無(wú)窮小的形式才能等價(jià)代換。

當(dāng)然在一些無(wú)窮大的式子中也可以去轉(zhuǎn)化代換，即無(wú)窮大的倒數(shù)是無(wú)窮小。這需要變通的看問(wèn)題。

在無(wú)窮小的運(yùn)算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無(wú)窮小比無(wú)窮小。比較常見(jiàn)的采用洛必答法則的是無(wú)窮小乘無(wú)窮大的情況。(特

別說(shuō)明無(wú)窮小乘無(wú)窮大可以改寫為無(wú)窮小比無(wú)窮小或者無(wú)窮大比無(wú)窮大的形式，這根據(jù)做題的需要來(lái)進(jìn)行）。

第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：

（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數(shù)形式的（包含冪函數(shù)四則運(yùn)算形式），可以找高次項(xiàng)，提出高次項(xiàng)，這樣其他一切項(xiàng)就都是無(wú)窮小了，只有高次項(xiàng)是常數(shù)。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項(xiàng)都是“0”，原來(lái)的x都是常數(shù)1了。當(dāng)然如果分式形式中，只有分子中含有高次項(xiàng)，那么該極限式極限不存在（是無(wú)窮大），如果只有分母中含有高次項(xiàng)，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項(xiàng)，我們可以直接去看高次項(xiàng)的系數(shù)，基本原理其實(shí)就是上面所說(shuō)的提高次項(xiàng)。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數(shù)形式，無(wú)法用提高次項(xiàng)的方法（提高次項(xiàng)是優(yōu)先使用的方法），使用洛必達(dá)也是一種很好的方法。需要強(qiáng)調(diào)的是洛必達(dá)是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴(yán)格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數(shù)時(shí)候我們優(yōu)先采用其他的方法來(lái)解決，這主要是考慮運(yùn)算量的問(wèn)題。

（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運(yùn)算，需要轉(zhuǎn)換形式，即轉(zhuǎn)換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉(zhuǎn)換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項(xiàng)解。

（3）“ ”形式

這也是需要轉(zhuǎn)換的一種基本形式。因?yàn)闊o(wú)窮大與無(wú)窮小之間的倒數(shù)關(guān)系，所以這種轉(zhuǎn)換時(shí)比較簡(jiǎn)單也是比較容易解決的。轉(zhuǎn)換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。

第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如：

這道題的基本接替思路是，檢驗(yàn)形式是“式。

”，然后選用公式，再湊出公式的形式，最后直接套用公第二種是取對(duì)數(shù)消指數(shù)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，“ ”形式指數(shù)的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數(shù)就可以采用其他方法來(lái)解決了。比如上面那道題用取對(duì)數(shù)消指數(shù)的方法來(lái)解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點(diǎn)不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。

三，極限運(yùn)算思維的培養(yǎng)

極限運(yùn)算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書(shū)的時(shí)候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學(xué)習(xí)事半功倍。而極限思維的培養(yǎng)則是對(duì)做題起到指導(dǎo)性的意義。如何培養(yǎng)，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運(yùn)算中體會(huì)，多做題多總結(jié)。

第三篇：高等數(shù)學(xué)-極限

《高等數(shù)學(xué)》極限運(yùn)算技巧

(2009-06-02 22:29:52)轉(zhuǎn)載▼ 標(biāo)簽： 分類： 數(shù)學(xué)問(wèn)題解答

雜談 知識(shí)/探索

【摘 要】《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中對(duì)于極限部分的要求很高，這主要是因?yàn)槠涮厥獾牡匚粵Q定的。然而極限部分絕大部分的運(yùn)算令很多從中學(xué)進(jìn)入高校的學(xué)生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運(yùn)算過(guò)程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對(duì)學(xué)習(xí)者有所幫助?！娟P(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué) 極限 技巧

《高等數(shù)學(xué)》極限運(yùn)算技巧

《高等數(shù)學(xué)》的極限與連續(xù)是前幾章的內(nèi)容，對(duì)于剛?cè)敫咝５膶W(xué)生而言是入門部分的重要環(huán)節(jié)。是“初等數(shù)學(xué)”向“高等數(shù)學(xué)”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來(lái)講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當(dāng)函數(shù)的變量具有某種變化趨勢(shì)（這種變化趨勢(shì)是具有唯一性），那么函數(shù)的應(yīng)變量同時(shí)具有一種趨勢(shì)，而且這種趨勢(shì)是與自變量的變化具有對(duì)應(yīng)性。通俗的來(lái)講，函數(shù)值因?yàn)楹瘮?shù)變量的變化而無(wú)限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數(shù)在變量產(chǎn)生這種變化時(shí)的極限！

從數(shù)學(xué)式子上來(lái)講，逼近是指函數(shù)的變化，表示為。這個(gè)問(wèn)題不再贅述，大家可以參考教科書(shū)上的介紹。

二，極限的運(yùn)算技巧

我在上課時(shí)，為了讓學(xué)生好好參照我的結(jié)論，我夸過(guò)這樣一個(gè)海口，我說(shuō)，只要你認(rèn)真的記住這些內(nèi)容，高數(shù)部分所要求的極限內(nèi)容基本可以全部解決?，F(xiàn)在想來(lái)這不是什么?？?，數(shù)學(xué)再難也是基本的內(nèi)容，基本的方法，關(guān)鍵是技巧性。我記得blog中我做過(guò)一道極限題，當(dāng)時(shí)有網(wǎng)友驚呼說(shuō)太討巧了！其實(shí)不是討巧，是有規(guī)律可循的！今天我寫的內(nèi)容希望可以對(duì)大家的學(xué)習(xí)有幫助!我們看到一道數(shù)學(xué)題的時(shí)候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時(shí)可以直接套用的。1，連續(xù)函數(shù)的極限

這個(gè)我不細(xì)說(shuō)，兩句話，首先看是不是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)的直接帶入自變量。2，不定型

我相信所有學(xué)習(xí)者都很清楚不定型的重要性，確實(shí)。那么下面詳細(xì)說(shuō)明一些注意點(diǎn)以及技巧。

第一，所有的含有無(wú)窮小的，首先要想到等價(jià)無(wú)窮小代換，因?yàn)檫@是最能簡(jiǎn)化運(yùn)算的。等價(jià)代換的公式主要有六個(gè)：

需要注意的是等價(jià)物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運(yùn)算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問(wèn)題的話，必須要等價(jià)代換的時(shí)候，必須拆項(xiàng)運(yùn)算，不過(guò)，需要說(shuō)明，拆項(xiàng)的時(shí)候要小心，必須要保證拆開(kāi)的每一項(xiàng)極限都存在。此外等價(jià)無(wú)窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強(qiáng)調(diào)在運(yùn)算的之前，檢驗(yàn)形式，是無(wú)窮小的形式才能等價(jià)代換。

當(dāng)然在一些無(wú)窮大的式子中也可以去轉(zhuǎn)化代換，即無(wú)窮大的倒數(shù)是無(wú)窮小。這需要變通的看問(wèn)題。

在無(wú)窮小的運(yùn)算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無(wú)窮小比無(wú)窮小。比較常見(jiàn)的采用洛必答法則的是無(wú)窮小乘無(wú)窮大的情況。(特別說(shuō)明無(wú)窮小乘無(wú)窮大可以改寫為無(wú)窮小比無(wú)窮小或者無(wú)窮大比無(wú)窮大的形式，這根據(jù)做題的需要來(lái)進(jìn)行）。第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數(shù)形式的（包含冪函數(shù)四則運(yùn)算形式），可以找高次項(xiàng)，提出高次項(xiàng)，這樣其他一切項(xiàng)就都是無(wú)窮小了，只有高次項(xiàng)是常數(shù)。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項(xiàng)都是“0”，原來(lái)的x都是常數(shù)1了。當(dāng)然如果分式形式中，只有分子中含有高次項(xiàng)，那么該極限式極限不存在（是無(wú)窮大），如果只有分母中含有高次項(xiàng)，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項(xiàng)，我們可以直接去看高次項(xiàng)的系數(shù)，基本原理其實(shí)就是上面所說(shuō)的提高次項(xiàng)。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數(shù)形式，無(wú)法用提高次項(xiàng)的方法（提高次項(xiàng)是優(yōu)先使用的方法），使用洛必達(dá)也是一種很好的方法。需要強(qiáng)調(diào)的是洛必達(dá)是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴(yán)格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數(shù)時(shí)候我們優(yōu)先采用其他的方法來(lái)解決，這主要是考慮運(yùn)算量的問(wèn)題。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運(yùn)算，需要轉(zhuǎn)換形式，即轉(zhuǎn)換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉(zhuǎn)換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項(xiàng)解。（3）“ ”形式

這也是需要轉(zhuǎn)換的一種基本形式。因?yàn)闊o(wú)窮大與無(wú)窮小之間的倒數(shù)關(guān)系，所以這種轉(zhuǎn)換時(shí)比較簡(jiǎn)單也是比較容易解決的。轉(zhuǎn)換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如： 這道題的基本接替思路是，檢驗(yàn)形式是“式，最后直接套用公式。

第二種是取對(duì)數(shù)消指數(shù)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，“

”，然后選用公式，再湊出公式的形

”形式指數(shù)的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數(shù)就可以采用其他方法來(lái)解決了。比如上面那道題用取對(duì)數(shù)消指數(shù)的方法來(lái)解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點(diǎn)不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。三，極限運(yùn)算思維的培養(yǎng)

極限運(yùn)算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書(shū)的時(shí)候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學(xué)習(xí)事半功倍。而極限思維的培養(yǎng)則是對(duì)做題起到指導(dǎo)性的意義。如何培養(yǎng)，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運(yùn)算中體會(huì)，多做題多總結(jié)。

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第四篇：高等數(shù)學(xué)極限復(fù)習(xí)題

高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料二

川汽院專升本極限復(fù)習(xí)題

一 極限計(jì)算

二 兩個(gè)重要極限

三 用無(wú)窮小量和等價(jià)

第五篇：高等數(shù)學(xué)極限方法總結(jié)

摘要：數(shù)列極限的求法一直是數(shù)列中一個(gè)比較重要的問(wèn)題，本文通過(guò)歸納和總結(jié)，從不同 的方面羅列了它的幾種求法.關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)、數(shù)列極限、定義、洛比達(dá)法則、英文題目Limit methods summarize

Abstract:

The method of sequence limit has been in the series a more important problems, this paper summed up from different aspects and a few of its listing is also given.Key words:

Higher mathematics, sequence limit, definition, los than amounting to law，一.引言

高等數(shù)學(xué)第二章在整個(gè)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中都占有相當(dāng)重要的地位，特別是極限，原因就是后續(xù)章節(jié)本質(zhì)上都是極限。一個(gè)經(jīng)典的形容就是假如高等數(shù)學(xué)是棵樹(shù)木的話，那么極限就是它的根，函數(shù)就是它的皮。樹(shù)沒(méi)有根，活不下去，沒(méi)有皮，只能枯萎，可見(jiàn)極限的重要性。

極限一直是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，而對(duì)數(shù)列極限的求法可謂是多種多樣，通過(guò)歸納和總結(jié)，我們羅列出一些常用的求法。求數(shù)列極限的最基本的方法 還是利用數(shù)列極限的定義，也要注意運(yùn)用兩個(gè)重要極限，其中，可以利用等量代 換,展開(kāi)、約分，三角代換等方法化成比較好求的數(shù)列，也可以利用數(shù)列極限的 四則運(yùn)算法則計(jì)算。夾逼性定理和單調(diào)有界原理是很重要的定理，在求的時(shí)候要 重點(diǎn)注意運(yùn)用。泰勒公式、洛必達(dá)法則、黎曼引理是針對(duì)某些特殊的數(shù)列而言的。還有一些比較常 用的方法，在本文中都一一列舉了。

二.研究問(wèn)題及成果

一、極限定義、運(yùn)算法則和一些結(jié)果

1．定義：（各種類型的極限的嚴(yán)格定義參見(jiàn)《高等數(shù)學(xué)》函授教材，這里不一一敘述）。

說(shuō)明：（1）一些最簡(jiǎn)單的數(shù)列或函數(shù)的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴(yán)格定義證明，例如：

blim(3x?1)?5lim?0(a,b為常數(shù)且a?0)；；x?2n??an?0，當(dāng)|q|?1時(shí)limqn??；等等 n??

（2）在后面求極限時(shí)，（1）中提到的簡(jiǎn)單極限作為已知結(jié)果直接運(yùn)用，而不需再用極限嚴(yán)格定義證明。

2．極限運(yùn)算法則

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，極限值分別為A，B，則下面極限都存在，且有

（1）lim[f(x)?g(x)]?A?B

（2）limf(x)?g(x)?A?B（3）limf(x)A?,(此時(shí)需B?0成立)g(x)B當(dāng)|q|?1時(shí)?不存在，說(shuō)明：極限號(hào)下面的極限過(guò)程是一致的；同時(shí)注意法則成立的條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)，不能用。

3．兩個(gè)重要極限

（1）limx?0sinx?x 2

(1?1)x?e

(1?x)?e ； lim（2）limxx??x?01x說(shuō)明：(1)不僅要能夠運(yùn)用這兩個(gè)重要極限本身，還應(yīng)能夠熟練運(yùn)用它們的變形形式.（2）一定注意兩個(gè)重要極限成立的條件。一定注意兩個(gè)重要極限 成立的條件。

sin3x3lim?1，lim(1?2x)?2x?e，lim(1?)3?e；等等。例如：x?0xx??x?03x1x4．洛比達(dá)法則

定理2 無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無(wú)窮?。礃O限是0）。

定理3 當(dāng)x?0時(shí)，下列函數(shù)都是無(wú)窮小（即極限是0），且相互等價(jià)，即有：

x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1?x)～ex?1。

說(shuō)明：當(dāng)上面每個(gè)函數(shù)中的自變量x換成g(x)時(shí)（g(x)?0），仍有上面的等價(jià)

關(guān)系成立，例如：當(dāng)x?0時(shí)，e3x2?1 ～ 3x ；ln(1?x2)～ ?x。

定理4 如果函數(shù)f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是x?x0時(shí)的無(wú)窮小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，則當(dāng)limx?x0f1(x)f(x)lim存在時(shí)，x?x也存在且0g(x)g1(x)lim等于f(x)x?x0f1(x)f(x)f(x)lim1lim，即x=。

x?x?x00g(x)g1(x)g1(x)5．洛比達(dá)法則

定理5 假設(shè)當(dāng)自變量x趨近于某一定值（或無(wú)窮大）時(shí)，函數(shù)f(x)和g(x)滿足：（1）f(x)和g(x)的極限都是0或都是無(wú)窮大；

（2）f(x)和g(x)都可導(dǎo)，且g(x)的導(dǎo)數(shù)不為0；

（3）limf?(x)存在（或是無(wú)窮大）； g?(x)f(x)f?(x)=lim。g(x)g?(x)f(x)f?(x)il

則極限lim也一定存在，且等于lim，即mg(x)g?(x)說(shuō)明：定理5稱為洛比達(dá)法則，用該法則求極限時(shí)，應(yīng)注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛比達(dá)法則就不能應(yīng)用。特別要注意條件（1）是否滿足，即驗(yàn)證所求極限是否為“”型或“”型；條件（2）一般都滿足，而條件（3）則在求導(dǎo)完畢后可以知道是否滿足。另外，洛比達(dá)法則可以連續(xù)使用，但每次使用之前都需要注意條件。

6．連續(xù)性

定理6 一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點(diǎn)處都連續(xù)，即如果x0是函數(shù)f(x)的定義去間內(nèi)的一點(diǎn)，則有l(wèi)imf(x)?f(x0)。

x?x000??7．極限存在準(zhǔn)則

定理7（準(zhǔn)則1）單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

定理8（準(zhǔn)則2）已知{xn},{yn},{zn}為三個(gè)數(shù)列，且滿足：

（1）yn?xn?zn,(n?1,2,3,?)

（2）limyn?a，limzn?a

n??n??

則極限limxn一定存在，且極限值也是a，即limxn?a。

n??n??

二、求極限方法舉例

1． 利用函數(shù)的連續(xù)性（定理6）求極限 x2e 例4 limx?2解：因?yàn)閤0?2是函數(shù)f(x)?xe的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)，所以

原式=22e?4e。2． 利用兩個(gè)重要極限求極限 例5 limx?01?cosx 3x2121x12xxx2sin22?lim2?1lim解：原式=x?0x?0x26。3x212?()22sin2注：本題也可以用洛比達(dá)法則。

(1?3sinx)例6 limx?0(1?3sinx)解：原式=limx?01?6sinx??3sinxx2x?lim[(1?3sinx)x?01?3sinx]?6sinxx?e?6。

(例7 limn??n?2n)n?1n?1?3nn?1?3?3?(1?)解：原式=limn??n?1?3?3n?1?lim[(1?)]?e?3。n??n?1n?1?3n注：兩個(gè)重要的極限分別為 limsin x 1 2 = 1 和 lim(1 +)x = e，對(duì)第一個(gè)而言是 x→0 x →∞ x xX 趨近0 時(shí)候的 sinx 與 x 比值。第2 個(gè)實(shí)際上如果 x 趨近無(wú)窮大和無(wú)窮小都有 對(duì)有對(duì)應(yīng)的形式。當(dāng)?shù)讛?shù)是 1 的時(shí)候要特別注意可能是用第2 個(gè)重要極限。3． 利用定理2求極限 x2sin 例8 limx?01x解：原式=0（定理2的結(jié)果）。4． 利用等價(jià)無(wú)窮小代換（定理4）求極限

這種方法的理論基礎(chǔ)主要包括：(1)有限個(gè)無(wú)窮小的和、差、積仍是無(wú)窮小.(2)有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.(3)非零無(wú)窮小與無(wú)窮大互為倒數(shù).(4)等價(jià)無(wú)窮小代換(當(dāng)求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，分子與分母都可用等價(jià)無(wú)窮小代替).設(shè)?~??、?~??且lim[3]

????lim；則：?與?是等價(jià)無(wú)窮小的充分必要條件為：??????0(?)．

常用等價(jià)無(wú)窮?。寒?dāng)變量x?0時(shí)，sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,ex?1~x,ln(1?x)~x,1?cosx~12x,21?x?1?x~x,(1?x)??1~?x．

例1 求limx?01?cosx．

xarctanx解 ?x?0時(shí),1?cosx~12x,arctanx~x，212x1 故，原式?lim22?

x?0x2例2 求lim(1?x)?1．

x?0cosx?1123123解 ?x?0時(shí),(1?x)?1~121x,1?cosx~x2,因此: 3212x23??． 原式?limx?0123x23例3 求 limx?01?3?1．

tanx1x1133解 x?0時(shí),1?x?1~x,tanx~x，故:原式=lim?．

x?0x33 例4 求limx?0?ex?1?22xln(1?x)．

解 x?0時(shí),ex?1~x,ln(1?x)~x,故: x21原式?lim2?．

x?02x2例5 試確定常數(shù)a與n，使得當(dāng)x?0時(shí)，ax與ln(1?x3)?x3為等價(jià)無(wú)窮?。?/p>

n?3x22?3x333ln(1?x)?x?3x51?x?1 而左邊lim解 lim，?limn?1n?1x?0x?0x?0axnnaxnax?3?31?1??1?a??． 故 n?1?5即n?6 ?limx?06a6a25.利用洛比達(dá)法則求極限

利用這一法則的前提是：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在；為0比0型或者

?型等未定式類型.?洛必達(dá)法則分為3種情況：（1）0比0，無(wú)窮比無(wú)窮的時(shí)候直接用.（2）0乘以無(wú)窮，無(wú)窮減去無(wú)窮（無(wú)窮大與無(wú)窮小成倒數(shù)關(guān)系時(shí)）通常無(wú)窮大都寫成無(wú)窮小的倒數(shù)形式,通項(xiàng)之后，就能變成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的無(wú)窮次方，無(wú)窮的0次方，對(duì)于（指數(shù),冪函數(shù)）形式的方法主要是取指數(shù)的方法，這樣就能把冪函數(shù)指數(shù)位置的函數(shù)移下來(lái)了，就是寫成0與無(wú)窮的形式了.洛必達(dá)法則中還有一個(gè)定理：當(dāng)x?a時(shí)，函數(shù)f(x)及F(x)都趨于0；在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)，f(x)﹑F(x)的導(dǎo)數(shù)都存在且F(x)的導(dǎo)數(shù)不等于0；limx?af?(x)存在，那么F?(x)limx?af(x)f?(x)[1]?lim.x?aF(x)F?(x)求極限有很多種方法如洛必達(dá)法則，夾逼定理求極限的秘訣是：強(qiáng)行代入，先定型后定法.[3]例12 limx?01?cosx（例4）3x2sinx1?。（最后一步用到了重要極限）6x6解：原式=limx?0 cos?x例13 limx?12 x?1??2sin?x解：原式=limx?1例14 limx?02???。

12x?sinx x31?cosxsinx1lim?。=（連續(xù)用洛比達(dá)法則，最后用2x?06x63x解：原式=limx?0重要極限）例15 limx?0解： sinx?xcosx

x2sinx原式?limsinx?xcosxcosx?(cosx?xsinx)?limx?0x?0x2?x3x2

xsinx1?lim?2x?033x11lim[?] 例18 x?0xln(1?x)11lim[解：錯(cuò)誤解法：原式=x?0?]?0。

xx正確解法：

原式?limln(1?x)?xln(1?x)?x?limx?0xln(1?x)x?xx?01 ?1x1?lim1?x?lim?。x?0x?02x2x(1?x)2應(yīng)該注意，洛比達(dá)法則并不是總可以用，如下例。例19 limx?? x?2sinx

3x?cosx8

lim解：易見(jiàn)：該極限是“”型，但用洛比達(dá)法則后得到：x??001?2cosx，3?sinx此極限

不存在，而原來(lái)極限卻是存在的。正確做法如下：

2sinxx原式=lim（分子、分母同時(shí)除以x）x??cosx3?x1?

=（利用定理1和定理2）

注：使用羅比達(dá)法則必須滿足使用條件，要注意分母不能為零，導(dǎo)數(shù)存在。羅比達(dá)法則分為三種情況（1）0 比0 和無(wú)窮比無(wú)窮時(shí)候直接分子分母求導(dǎo)；（2）0 乘以無(wú)窮，無(wú)窮減去無(wú)窮（應(yīng)為無(wú)窮大于無(wú)窮小成倒數(shù)的關(guān)系）所以無(wú)窮大都 寫成了無(wú)窮小的倒數(shù)形式了。通項(xiàng)之后這樣就能變成 1 的形式；（3）的 0 次方，0 1 的無(wú)窮次方，無(wú)窮的 0 次方，對(duì)于（指數(shù)冪數(shù)）方程，方法主要是取指數(shù)還取 對(duì)數(shù)的方法，這 樣就能把冪上的函數(shù)移下來(lái)了，就是寫成 0 與無(wú)窮的形式了，（這就是為什么只有 3 種形式的原因，）6.利用極限存在準(zhǔn)則求極限 13xn 例20 已知x1?2,xn?1?2?xn,(n?1,2,?)，求limn??xn解：易證：數(shù)列{xn}單調(diào)遞增，且有界（0

a?2?a，解得：a?2或a??1（不合題意，舍去）

xn?2。所以 limn??(例21 limn??1n?1n2?1n?2?12???1n?n1n?222)

1n?n2解： 易見(jiàn)：因?yàn)?limn??n?n2n?12?????nn?12

nn?n2?1，limn??nn?1?2?1

1???1n?n2(所以由準(zhǔn)則2得：limn??7.直接使用求導(dǎo)的定義求極限

1n?12n?22)?1。

當(dāng)題目中告訴你F(0)?0時(shí)，F(xiàn)(x)的導(dǎo)數(shù)等于0的時(shí)候，就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義：（1）設(shè)函數(shù)y?f?x?在點(diǎn)x0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得增量?x（點(diǎn)?x?x0仍在該領(lǐng)域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)取得增量?y?f??x?x0??f?x0?；如果?y與?x之比?x?0時(shí)的極限存在，則稱函數(shù)y?f?x?在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)y?f?x?在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)y?f?x?在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f??x0?，即

f??x0??limf??x?x0??f?x0??y?lim；

?x?0?x?x?0?x（2）在某點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等.例36 f?x???x?1??x?e??x???，求f''???.解 f??? =limx??f?x??f????lim?x?1??x?e???x?1??x?e?.x??x??'例37 若函數(shù)f?x?有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)且f?0?=0，f?0?=1，f''?0?=-2，f?x??x??則 limx?0x2?.A:不存在 B：0 C：-1 D：-2 f?x??xf'?x??11f'?x??f'?0?1''?f?0???1.?lim?lim解 lim2x?0x?0x?02x2x2x?0所以，答案為D.10 例38 若f(x)?x(x?1)(x?2)?.....(x?2010)，求f?(0).f(x)?f(0)

x?0xx(x?1)(x?2)?.....(x?2010)?lim

x?0x解 f?(0)?lim ?limx(x?1)(x?2)?.....(x?2010)

x?0 ?2010!.8.求數(shù)列極限的時(shí)候可以將其轉(zhuǎn)化為定積分[1]

例33 已知f?x??1?x ,在區(qū)間?0,1?上求lim2??0?f????x（其中將?0,1?分為n個(gè)小

iii?1n區(qū)間?xi?1,xi?,xi?1??i?xi，?為?xi中的最大值）.解 由已知得: lim??0?f??i??xi??f?x?dx

i?10n1 ??101?x2?dx

??4.（注釋：由已知可以清楚的知道，該極限的求解可以轉(zhuǎn)化為定積分,求函數(shù)f?x?在區(qū)間?0,1?上的面積）.在有的極限的計(jì)算中，需要利用到如下的一些結(jié)論、概念和方法：

（1）定積分中值定理：如果函數(shù)f?x?在積分區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則在?a,b?上至少有一個(gè)點(diǎn)，使下列公式成立：?f?x?dx???x??b?a? ?a???b?ab；

（2）設(shè)函數(shù)f?x?在區(qū)間?a,???上連續(xù)，取t?a，如果極限 lim此極限為函數(shù)f?x?在無(wú)窮區(qū)間?a,???上的反常積分，記作

t???a?f?x?dx存在，則稱

t???0f(x)dx，即???af(x)dx?lim?f(x)dx；

t???at設(shè)f?x?在區(qū)間?a,b?上連續(xù)且f?x??0，求以曲線y?f?x?為曲線，底為?a,b?的曲邊梯形的面積A，把這個(gè)面積A表示為定積分：A=?f?x?dx 的步驟是：

ab首先，用任意一組的點(diǎn)把區(qū)間?a,b?分成長(zhǎng)度為?xi(i?1,2,...n)的n個(gè)小區(qū)間，相應(yīng)地把曲 線梯形分成n個(gè)窄曲邊梯形，第i個(gè)窄曲邊梯形的面積設(shè)為?Ai，于是有A?其次，計(jì)算?Ai的近似值 ?Ai?f然后，求和，得A的近似值 A?n??A；

ii?1n??i??xi?xi?1??i?xi?；

nii?f????x；

i?1最后，求極限，得A?lim??0?f(?i)?xi??f(x)dx.i?1ax02xb?x?t?f?t?dt???..例34 設(shè)函數(shù)f?x?連續(xù)，且f?0??0，求極限 limx?f?x?t?dtx?00解 limx?0?0?x?t?f?t?dtx?f?x?t?dt0xx =limx?0?x0xf?t?dt??tf?t?dt0xx?f?u?du0x，f?t?dt+xf?x??xf?x??由洛必達(dá)得：lim?f?u?du?xf?x?，0x?0x0x?其中f?x?t?dx,令u?x?t,得?f?u?du,0x?

再由積分中值定理得:limx?0xf???

?在0到x之間??xf????xf?x??limx?0f???f?0?1??f????f?x?f?0??f?0?2dx???1?x2.??.例35 計(jì)算反常積分: 解 ??dx????arctanx?(?)??.limarctanx?limarctanx ===?????1?x2??x???x?-?229.用初等方法變形后，再利用極限運(yùn)算法則求極限

利用如下的極限運(yùn)算法則來(lái)求極限：(1)如果limf?x??A,limg?x??B，那么lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?A?B

lim??f?x??g?x????limf?x??limg?x??A?B

若又有B?0，則limf(x)limf(xg(x)?)limg(x)?AB（2）如果limf(x)存在，而c為常數(shù)，則lim[cf(x)]?climf(x)（3）如果limf(x)存在，而n為正整數(shù)，則lim[f(x)]n?[limf(x)]n（4）如果?(x)??(x)，而lim?(x)?a,lim?(x)?b，則a?b（5）設(shè)有數(shù)列?xn?和?yn?，如果limn???xn?yn??A?B;

那么，limn???xn?yn??A?B;limn??xnyn?A?B

當(dāng)yn?0?n?1,2,...?且b?0時(shí)，limxnAn??y? nB 例1 lim3x?1?2x?1x?1

解：原式=(3x?1)2?22lim3x?33x?1(x?1)(3x?1?2)?limx?1(x?1)(3x?1?2)?4。注：本題也可以用洛比達(dá)法則。

例2 limn??n(n?2?n?1)n[(n?2)?(n?1)]分子分母同除以n解：原式=limn??n?2?n?1?lim3n??1?2?32n?1?1n例3 lim(?1)n?3nn??2n?3n(?1)n?1解：原式上下同除以?3nlim3n???1。(23)n?1三，極限運(yùn)算思維的培養(yǎng)

。極限運(yùn)算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書(shū)的時(shí)候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學(xué)習(xí)事半功倍。而極限思維的培養(yǎng)則是對(duì)做題起到指導(dǎo)性的意義。如何培養(yǎng)，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運(yùn)算中體會(huì)，多做題多總結(jié)。

四.結(jié)束語(yǔ)

上面對(duì)求極限的常用方法進(jìn)行了比較全面的總結(jié)，由此可以看出，求極限方法靈活多樣，而且許多題目不只用到一種方法，因此，要想熟練掌握各種方法，必須多做練習(xí)，在練習(xí)中體會(huì)。另外，求極限還有其它一些方法，如用定積分求極限等，由于平時(shí)練習(xí)中不經(jīng)常使用，這里不作一一介紹了。

[參 考 文 獻(xiàn)] [1] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系 高等數(shù)學(xué) 1997

[2] 吉米多維奇.數(shù)學(xué)分析[M].濟(jì)南:山東科技文獻(xiàn)出版社1995.[3] 陳紀(jì)修,等.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,1999.[4] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)組.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1996.第3期張宏達(dá):高

等數(shù)學(xué)中求極限的常用方法

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