第一篇：極限的概念

2-1極限的概念

（1）x?口

n??limf（x）??的讀法，直觀含義 x?R,n?N

f(x)???f(x)??(x?口）

limf(x)??limf(x)與x??limf(x)limf(x)???當(dāng)x?口x?口（2）收斂或極限存在：x?口（3）無(wú)窮小：x?口limf(x)?Alimf(x)?0，無(wú)窮大：x?口

?????極限不存在（4）x?x

極限

（5）x?x0lim?f(x)?f(x0)0?、x?xlim?f(x)?f(x0)0? 稱為f(x)在點(diǎn)x的左、右limf(x)???f(x0)?f(x0)????；

。x??

2-2 函數(shù)的連續(xù)性 limf(x)???f(??)?f(??)??

x(1)定義：f(x)在點(diǎn)0連續(xù) <=> x?xlimf(x)?f(x0)

當(dāng) f(x)在區(qū)間 I 上連續(xù) <=> f(x)在 I 上的每一點(diǎn)都連續(xù)。

(2)初等函數(shù)都是連續(xù)的。另外，連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商以及它們的復(fù)合函數(shù)也都是連續(xù)的。

x?口（3）有等式

2-3 基本初等函數(shù)在開區(qū)間端點(diǎn)的極限值

（1）常C=C limf(?(x))f連續(xù)時(shí)x?口f(lim?(x))

（2）冪(0)

???正?0，(??)???正??(?),(0)?負(fù)???,(??)負(fù)?0；?（3）指e

（4）對(duì)???,e??0?ln0???,ln(??)???

（5）三sin(??)、cos(??)?不存在arctan(??)?(??

2)?

（6）反，arccot(??)?0,arccot(-?)??.?

2-4 各類函數(shù)做四則運(yùn)算后的極限（注意符號(hào) “?”= “存在”）

(1)??(或?`x)???，??(非0?)??，??(?0的?)??；

（非?不?）?不?；（2）??(不?）?不?，非0??不??不?，1?

1?01??（3）?，0，∞×a（a≠0）=∞，∞×∞=∞，∞+a=∞

（±∞）+（±∞）= ∞；

（4）0?有界=0，∞+有界=∞ ；

0??00，0??,???,以及1,0,?(5)不定式：0? ；

0?（不?）（6）不定式： 不??(或?`?`?）不?。

2-5 洛必達(dá)法則

lim

f(x)g(x)

limx?口當(dāng)代值結(jié)果為“00???時(shí) 2?xx2

例2—1 求 極限x?2x?2

分析：此題屬于極限計(jì)算類題型，由題型3-1所示，只需（1）代值，（2）定型 0

“0”，（3）洛必達(dá)法則，（4）再代值，(5)定式結(jié)束。即可。

lim2?xx2

解：x?2x?2“00lim(2?x)?x

(x?2)?xx2x?2= x?2lim2ln2?2x1x=2ln2?2?2?4ln2?4

例2-2求極限x?0lim?xlnx

分析：由題型

“?”2?1，第一步，代值，xlnx?0ln0?0????;第二步，變形為0“0”或?后用洛必達(dá)法則，由題型2?2(2)

有兩種變形方法：

xlnxxlnx?

①?ln1x?②xlnx??1

x?

(ln?)'由題型

(12?)'2(2)的解釋：變形要有利于洛必達(dá)法則的求導(dǎo)運(yùn)算。應(yīng)算，不應(yīng)算ln?。所以要選上面②的變形方法，最后用洛必達(dá)法則，再代值即可得定式結(jié)果（注：如選①的變形方法，用洛必達(dá)法則，將越算越繁，得不出結(jié)果）。

解:

x?0lim?xlnx “0??”

x?0 x'lim?lnx

“?

?”lim?(lnx)xx

x?1?x2x?0x?0lim????

?x'lim(?x)x?0

=0

第二篇：函數(shù)極限概念

一． 函數(shù)極限的概念

1.x趨于?時(shí)函數(shù)的極限

設(shè)函數(shù)f定義在??,???上，類似于數(shù)列情形，我們研究當(dāng)自變量x趨于+?時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值能否無(wú)線地接近于某個(gè)定數(shù)A.例如，對(duì)于函數(shù)f?x?=，從圖象上可見，當(dāng)無(wú)x限增大時(shí)，函數(shù)值無(wú)限地接近于x1

0；而對(duì)于函數(shù)g?x?=arctanx則當(dāng)x趨于+?時(shí)，函數(shù)值無(wú)限地接近于.2?我們稱這兩個(gè)函數(shù)當(dāng)x趨于+?時(shí)有極限.一般地，當(dāng)x趨于+?時(shí)函數(shù)極限的精準(zhǔn)定義如下：

定義1 設(shè)f為定義在??,???上的函數(shù)，A為定數(shù)。若對(duì)任給的??0，存在正數(shù)M????，使得當(dāng)x?M時(shí)有f?x??A??，則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于+?時(shí)以A為極限，記作lim

f?x??A或f ?x??A?x????.x???

在定義1中正數(shù)M的作用與數(shù)列極限定義中的N相類似，表明x充分大的程度；但這里所考慮的是比M大的所有實(shí)數(shù)x，而不僅僅是正整數(shù)n。因此，當(dāng)x???時(shí)函數(shù)f以A為極限意味著：A的任意小鄰域內(nèi)必含有f在+?的某鄰域內(nèi)的全部函數(shù)值.

第三篇：極限的概念 教案

【教學(xué)課題】：§1.2數(shù)列的極限（第一課時(shí)）

【教學(xué)目的】：使學(xué)生逐步建立起數(shù)列極限的??N定義的清晰概念。會(huì)應(yīng)用數(shù)列極限的??N定義證明數(shù)列收斂及有關(guān)命題，并能運(yùn)用??N語(yǔ)言正確表述數(shù)列不以某實(shí)數(shù)為極限等相應(yīng)陳述。

【教學(xué)重點(diǎn)】：數(shù)列極限的概念。

【教學(xué)難點(diǎn)】：數(shù)列極限的??N定義及其應(yīng)用。

【教學(xué)方法】：系統(tǒng)講授，問(wèn)題教學(xué)，多媒體的利用等。

一引言

通過(guò)介紹我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀(jì)）利用圓內(nèi)接正多邊形來(lái)推算圓面積的方法——割圓術(shù)，來(lái)介紹極限思想的最初萌芽。

二、數(shù)列極限的定義．定義（數(shù)列）：若函數(shù)f的定義域?yàn)槿w正整數(shù)集合N?，則稱

f:N??R或f(n),n?N ?

為數(shù)列。因?yàn)檎麛?shù)集可以由小到大排列，故數(shù)列f(n)也可以寫作

a1,a2,?,an,?

簡(jiǎn)記為{an}，其中an稱為該數(shù)列的通項(xiàng)。

2收斂數(shù)列描述性定義：一般地說(shuō)，對(duì)于數(shù)列?an?，若當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，an能無(wú)限地接近某一個(gè)常數(shù)a，則稱此數(shù)列為收斂數(shù)列，常數(shù)a稱為它的極限。不具有這種特性的數(shù)列就不是收斂的數(shù)列，或稱為發(fā)散數(shù)列。

如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把它精確地定義下來(lái)。還有待進(jìn)一步分析。數(shù)列極限的數(shù)學(xué)定義 以?1???11?a?1?n為例，可觀察出該數(shù)列具以下特性：①隨著的無(wú)限增大，無(wú)限?nnn?

n地接近1。②隨著n的無(wú)限增大，1?

|1?

1n?1|無(wú)限減少，也就是說(shuō)|1?

n?1|?1

101n與1的距離無(wú)限減少。③隨著n的無(wú)限增大，?1|會(huì)任意小，只要n充分大。如：要使|1?，只要n?10即可；

要使|1?

? 1n?1|?1100，只要n?100即可；

任給無(wú)論多么小的正數(shù)?，都會(huì)存在數(shù)列的一項(xiàng)aN，從該項(xiàng)之后(n?N)，|?1?

?

??

1?

??1|??。n?

?

1?

??1|??。n?

即???0,?N，當(dāng)n?N時(shí)，|?1?

綜上所述，數(shù)列?1?

?

?

111?的通項(xiàng)隨的無(wú)限增大，無(wú)限接近于1，即是對(duì)任1?1?n?

nnn?

意給定正數(shù)?，總存在正整數(shù)N，當(dāng)n?N時(shí)，有|?1?

?

?

1?1??

。此即?1|??1???以1為極?

n?n??

限的精確定義，記作lim?1?

n??

??

11?

或n??,1??1。?1?

nn?

定義 設(shè)?an?為數(shù)列，a為實(shí)數(shù),，若對(duì)???0，總?N?N?，使得當(dāng)n?N時(shí)有

|an?a|??

則稱數(shù)列?an?收斂于a,a稱為數(shù)列?an?的極限。并記作liman?a或an?a(n??)。

n??

由于n限于取正整數(shù)，所以在數(shù)列極限的記號(hào)中把n???寫成n??。

若數(shù)列?an?沒(méi)有極限，則稱?an?不收斂，或稱?an?為發(fā)散數(shù)列。

注意：關(guān)于?：① ?的任意性。?刻化an與常數(shù)a的接近程度，?越小，表示an與a越近；②?的固定性。盡管?有其任意性，但一經(jīng)給出，就暫時(shí)地被確定下來(lái)，以便依靠它

?

2來(lái)求出Ｎ；③?的多值性。?既是任意小的正數(shù)，那么,3?,?等等，同樣也是任意小的正數(shù)，因此定義１中的不等式|an?a|??中的?可用“|an?a|??”可用“|an?a|??”代替；

?,3??,等來(lái)代替。從而

關(guān)于N：相應(yīng)性。一般地，N隨?的改變而改變，因此常把N看作N(?)來(lái)強(qiáng)調(diào)N是依賴于?的，?一經(jīng)給定，就可以找到相應(yīng)的一個(gè)N。當(dāng)然N并不是唯一的，N之后的任意的項(xiàng)數(shù)都可以作為N。舉例說(shuō)明如何用??N定義來(lái)驗(yàn)證數(shù)列極限

例１ 證明 lim

n?(?1)

n

n

n??

?1。

n

證???0，考察

n?(?1)

n

?1?

1n

??，可得n?

?。

n?(?1)?1?

于是可取N?，則當(dāng)n?N時(shí)，便有：?1??。?1???n??

n

所以lim

n?(?1)

n

n

n??

?1。

例2 證明lim

3n

n??

n?

3?3。

9n?3

證考察

3n

n?3

9?3??

?

?

9n

(n?3)，因此對(duì)

???0，只要n?，n?3，上式就小于?，故取N?max{3,，則當(dāng)n?N時(shí)，總

??9

?9n

??，即lim

3n

有

3n

n?3

?3?

n?3

n

n??

n?3

?3。

例3證明limq?0(|q|?1)

n??

證若q?0，則結(jié)果顯然成立。

1q

現(xiàn)設(shè)0?q?1,記h?

?1?0,由qn?0?qn?

1(1?h)

n

?

11?nh

?

1nh

?，得

n?,因此取N??，所以???0,當(dāng)n?N時(shí)，便有qn?0??。??h??h?即limq?0(|q|?1)。

n??

n

?1?

例4證明lim

n??

a?1(a?0)。

證①a=1時(shí),，顯然成立。

n

②a?1時(shí)，令an?1??(??0)，則a?(1??)?1?n??????1?n??

a?1n

??

所以為了要使an?1??，只需

a?1n

?a?1?

??，可取N?。???

??

③0?a?1時(shí)，令a?

(b?1)，則由 an?1?()n?1?

bb

1?bn

?bn?1??,可得

bn

n?log??1b，可取N??log??1b?。

總之，當(dāng)

a?0時(shí)，總有l(wèi)im

n??

?1。

5．?dāng)?shù)列極限證明的步驟

(１)考察化簡(jiǎn)an?a；

(２)放大an?a，通常適當(dāng)放大或條件放大an?a??1(n)??2(n)????k(n)；(３)解?k(n)??，求出需要的N；(４)用??N語(yǔ)言再順著寫下來(lái)。

6．?dāng)?shù)列極限的幾何理解

在定義１中，“當(dāng)n?N時(shí)有|an?a|??”?“當(dāng)n?N時(shí)有a???an?a??” ?“當(dāng)n?N時(shí)有” ?所有下標(biāo)大于N的項(xiàng)an都落在鄰域U(a;?)內(nèi)；而在U(a;?)之外，數(shù)列?an?中的項(xiàng)至多只有N個(gè)（有限個(gè)）。反之，任給??0，若在U(a;?)之外數(shù)列?an?中的項(xiàng)只有有限個(gè)。

a??aa??

由此寫出數(shù)列極限的一種等價(jià)定義（鄰域定義）：

定義1?任給??0，若在U(a;?)之外數(shù)列?an?中的項(xiàng)只有有限個(gè)，則稱數(shù)列?an?收斂于極限a.由此可見：１）若存在某個(gè)?0?0，使得數(shù)列?an?中有無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)落在U(a;?0)之外，則?an?一定不以a為極限；２）數(shù)列是否有極限，只與它從某一項(xiàng)之后的變化趨勢(shì)有關(guān)，而與它前面的有限項(xiàng)無(wú)關(guān)。所以，在討論數(shù)列極限時(shí)，可以添加、去掉或改變它的有限項(xiàng)的數(shù)值，對(duì)收斂性和極限都不會(huì)發(fā)生影響。

a為定數(shù)。否定定義1 設(shè){an}為數(shù)列，若對(duì)??0?0，對(duì)?N?N?，總存在n0?N，且|an?a|??0，則稱數(shù)列{an}不收斂于a。

否定定義1' 若存在?0?0，使得數(shù)列{an}中有無(wú)窮多項(xiàng)落在U(a;?0)之外，則

{an}不以a為極限。

例５ 證明?n2?和?(?1)n?都是發(fā)散數(shù)列。

證(?xn?發(fā)散??a?R,??0?0,?N，?n0?N，使得xn?a??0)

?a?R,取?0?1,則在U(a,?0)之外所有滿足n?a?1的項(xiàng)有無(wú)窮多,顯然都落在U(a,?0)之外，所以?n2?不以任何a為極限。即數(shù)列?n2?發(fā)散。

例６設(shè)limxn?limyn?a，作數(shù)列：求證limzn?a。?zn?:x1,y1,x2,y2,?,xn,yn,?，n??

n??

n??

證 由limxn?limyn?a，故???0，數(shù)列xn和yn中落在U(a;?)之外的項(xiàng)至多只

n??

n??

有有限項(xiàng)，所以?zn?落在U(a;?)之外的項(xiàng)也至多只有有限項(xiàng)，故由定義1?得limzn?a。

n??

例７ 設(shè)?an?為給定的數(shù)列，減少或改變有限項(xiàng)之后得到的數(shù)列，?bn?為對(duì)?an?增加、求證：數(shù)列?bn?與?an?同時(shí)收斂或發(fā)散，且在收斂時(shí)兩者的極限相等。

證 設(shè)?an?為收斂的數(shù)列，且liman?a，按定義1?，???0，數(shù)列?an?中落在n??

U(a;?)之外的項(xiàng)最多只有有限項(xiàng)，而數(shù)列?bn?是對(duì)?an?增加、減少、改變有限項(xiàng)之后得

到的。故數(shù)列?bn?與?an?同時(shí)收斂或發(fā)散，且在收斂時(shí)兩者的極限相等。

三 小結(jié)

本課時(shí)的主要內(nèi)容要求：

① 使學(xué)生逐步建立起數(shù)列極限的??N定義的清晰概念。② 會(huì)應(yīng)用數(shù)列極限的??N定義證明數(shù)列的有關(guān)命題。③ 能運(yùn)用??N語(yǔ)言正確表述數(shù)列不以某實(shí)數(shù)為極限等相應(yīng)陳述。

第四篇：理論真空和極限真空的概念區(qū)分

理論真空和極限真空的概念區(qū)分

其實(shí)這兩個(gè)概念相差很遠(yuǎn)，只是有幾個(gè)同事都問(wèn)過(guò)我同樣的問(wèn)題，所以干脆寫幾句。

所謂“理論真空”就是指最理想的真空狀態(tài)，比如，某密閉容器中一個(gè)氣體分子都沒(méi)有，氣體壓力絕對(duì)等于零，這種狀態(tài)就是最理想的真空狀態(tài)，這就是平常說(shuō)的“理論真空”，僅在理論上存在，實(shí)際上不可能存在。

“極限真空”完整名稱是“極限真空度”，是指微型真空泵能達(dá)到的最大真空度。比如，某臺(tái)抽氣能力很弱的微型真空泵，它經(jīng)過(guò)無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間也只能把密閉容器內(nèi)的氣體壓力由常態(tài)的100KPa降到95KPa，那么95KPa就是這臺(tái)泵的極限真空度，比如成都?xì)夂９旧a(chǎn)的PM950.2。再比如，有一臺(tái)抽氣能力很強(qiáng)的微型真空泵，它可以把氣壓由100KPa降到10 KPa，那么10KPa就是這臺(tái)泵的極限真空度，比如成都?xì)夂９旧a(chǎn)的VCH1028。

“極限真空”是真空泵的一個(gè)重要參數(shù)，是反應(yīng)泵抽氣能力的特性值，是與真空泵相關(guān)的一個(gè)數(shù)值，不同的真空泵可以有不同的“極限真空”度。而“理論真空”是理論研究時(shí)的一個(gè)概念，是排除各種實(shí)際因素的影響而提煉出的一種最理想的真空狀態(tài)。

第五篇：函數(shù)、極限、連續(xù) 易混淆概念總結(jié)

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考研數(shù)學(xué):微積分初步學(xué)習(xí)輔導(dǎo)重難點(diǎn)解析 考研數(shù)學(xué)之高等數(shù)學(xué)各部分常見的題型總結(jié)

《高等數(shù)學(xué)》易混淆概念

一、函數(shù)、極限、連續(xù)

1.1 無(wú)界變量一定是無(wú)窮大量嗎？

答：不一定是．

?x?X?D 無(wú)界變量：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在正數(shù)M，使得f(x)?M，則稱函數(shù)f(x)在X上有界，如果這樣的M不存在，就成函數(shù)f(x)在X上無(wú)界；也就是說(shuō)如果對(duì)于任何正數(shù)M，總存在x1?X，使f(x1)?M，那么函數(shù)f(x)在X上無(wú)界．

無(wú)窮大量：設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義（或x大于某一正數(shù)時(shí)有定義）．如果對(duì)于任意給定的正數(shù)M（不論它多么大），總存在正數(shù)?（或正數(shù)X），只要x適合不等式0?x?x0??（或x?X），對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)總滿足不等式f(x)?M，則稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x?x0（或x??）時(shí)的無(wú)窮大．

注意相互關(guān)系: 無(wú)窮大變量一定是無(wú)界變量, 無(wú)界變量不一定是無(wú)窮大變量.根據(jù)以上敘述, 很容易舉出無(wú)界變量不一定是無(wú)窮大變量的反例:

例1.1．f?x??x,g?x????x,????x?n，limf?x??limx??，即當(dāng) x??時(shí), x???0,?????x?nx??

f?x?是無(wú)窮大量；對(duì)于g?x?, 當(dāng)x??時(shí), g?x?的值總可以大于任何的正數(shù)M, 但是也總有可能等于0 g?n??0.所以當(dāng) x??時(shí), g?x?是無(wú)界變量但不是無(wú)窮大量.例1.2． 當(dāng) g?x?時(shí), f?x??xsin?x是無(wú)界變量, 不是無(wú)窮大量.1.2 當(dāng)a?0時(shí)，limf(x)?a，可以推出limf(x)?a成立；反之，若limf(x)?a，x?0??x?0x?0

可以推出成立limf(x)?a嗎？當(dāng)a?0的時(shí)候呢？

x?0

答：當(dāng)a?0時(shí)，反過(guò)來(lái)是不一定成立的．例如：若an??則此時(shí)an的絕對(duì)值極限為1，而本身極限不存在．

?1?????????n為偶數(shù),??1????????n為奇數(shù)

當(dāng)a?0時(shí)，limf(x)?a?limf(x)?a，并且對(duì)于任意的極限過(guò)程都是成立的．

x?0

x?0

1.3 設(shè)xn?zn?yn，且lim(yn?xn)?0,則limzn一定存在嗎？

n??

n??

答：不一定存在．

分析：若limxn?limyn?a?0，由夾逼定理可得limzn?a?0．取，n??

n??

n??

xn?(?1)n?,yn?(?1)n?,zn?(?1)n，則xn?zn?yn，且lim(yn?xn)?0，n??nn

但limzn不存在．遇到此類問(wèn)題一定要會(huì)用反例．

n??

1.4 和函數(shù)的極限一定等于函數(shù)的極限和嗎？答：不一定．

例1.3： lim（12n

??...?)22n??n2?n?1n?n?2n?n?n12n

?lim2?lim2?...?lim2 n??n?n?1n??n?n?2n??n?n?n?0?0?...?0?0，對(duì)嗎？顯然不對(duì)．原因在于：錯(cuò)用了極限的運(yùn)算法則中“和的極限等于極限的和”，這一法則只適用于有限項(xiàng)的和，不適用無(wú)限項(xiàng)的和．

正確答案：因?yàn)椋?2n12n

??...????...? 222222

n?n?nn?n?nn?n?nn?n?1n?n?2n?n?n

12n?2?2?...?2所以，n?n?1n?n?1n?n?1

?

n(n?1)12nn(n?1)

???...?? 22222

2(n?n?n)n?n?1n?n?2n?n?n2(n?n?1)n(n?1)n(n?1)1

?lim?，故由夾逼準(zhǔn)則得，n??2(n2?n?n)n??2(n2?n?1)2

lim（n??

而，lim

12n1

??...?)?

n2?n?1n2?n?2n2?n?n2

例1.4：求極限lim

1n??n

...2

解答：因?yàn)?，lim1n??n

...?lim

n??

?

k?n

n

k??1

?lim?f()?xk

nn?n??k?1

其中，f(x)??xk?所以，原式?

?

n，?

?

?

?

?

?

?

x cosdx?

2?

如何求此類函數(shù)的極限值呢？通常有兩種方法：

①用“夾逼準(zhǔn)則”，適當(dāng)?shù)摹胺糯蟆焙汀翱s小”所求的式子，求出其極限．如例1.3； ②用“定積分定義”，把所求的式子看做是某個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的積分，利用積分求出其極限值．如例1.4．

1.5 函數(shù)乘積的極限等于各個(gè)函數(shù)極限的乘積嗎？

答：不一定．只有當(dāng)各個(gè)函數(shù)的極限都存在時(shí)，該命題才成立．

x2sin

例1.5：lim

x?0

sinx

?limx

x?0

limsin?0，對(duì)嗎？ x?0xlimx?0x

這樣做的錯(cuò)誤在于limsin

x?0

不存在，從而不能利用“函數(shù)乘積的極限等于極限的乘積”x

這一結(jié)論．正確的做法：

因?yàn)閘imxsin

x?0

1sinx=0，（無(wú)窮小量與有界函數(shù)的乘積仍為無(wú)窮小量）．而lim=1，所

x?0xx

以，原函數(shù)極限為0.雖然結(jié)果一樣，但是也要運(yùn)用正確的求解方法求解．

1.6 含參數(shù)的數(shù)列極限中常見的問(wèn)題.例1.6： lim

1?e

?n???1，這樣做對(duì)嗎？ ?nxn??1?elim(1?e?nx)

n??

?nx

lim(1?e?nx)

這樣做是不對(duì)的，錯(cuò)誤在于，忽視了對(duì)參數(shù)取值范圍的討論.?e?nx)1?e?nxlim(1n??

正確解答，當(dāng)x?0時(shí), lim??1.?nxn??1?e?nxlim(1?e)

n??

當(dāng)x?0時(shí), lim

1?e

?n???nxnx??1 ?nxn??1?elime(e?1)

n??

?nx

lime?nx(enx?1)

注：含參數(shù)數(shù)列或函數(shù)求極限時(shí)，注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論．

1.7 如果函數(shù)極限不存在，那么極限一定是無(wú)窮大嗎？答：不一定．

當(dāng)x?x0（或x??）時(shí)的無(wú)窮大的函數(shù)f(x)，按函數(shù)極限定義來(lái)說(shuō)，極限是不存在的，但是為了便于敘述函數(shù)的性態(tài)，我們也說(shuō)“函數(shù)的極限是無(wú)窮大”．但極限不存在并不代表其極限是無(wú)窮大．

?x?1?

例1.7：函數(shù)f(x)??0

?x?1?

x?0x?0x?0，當(dāng)x?0時(shí)f(x)的極限不存在．

1.8如果limf(x)?0，那么是否有l(wèi)im

x?x0

x?x0

??？ f(x)

答：不一定．

?x

例1.8：f(x)??

?0

x為有理數(shù)lim，則x

?x0

x為無(wú)理數(shù)

f(x)?0，但由于1

f(x)

在x?0的任一

鄰域的無(wú)理點(diǎn)均沒(méi)有定義，故無(wú)法討論

在x?0的極限． f(x)

結(jié)論：如果limf(x)?0，且f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)滿足f(x)?0，則

x?x0

x?x0

li11

??．反之，f(x)為無(wú)窮大，則為無(wú)窮?。?f(x)f(x)

1.9 求函數(shù)在某點(diǎn)處極限時(shí)要注意其左右極限是否相等，求無(wú)窮大處極限要注意自變量取正無(wú)窮大和負(fù)無(wú)窮大時(shí)極限是否相等，遇到間斷點(diǎn)求極限要注意左右極限是否相等．

例1.9：求極限lime,lime

x??

x?0x

1x

解：limex???,limex?0，因而x??時(shí)ex極限不存在．

x???

x???1x

lime?0,lime???，因而x?0時(shí)e極限不存在．

x?0?

x?0?

1x1x

1.10 利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題．

tanx?sinx

x?0x3

tanx?sinxx?x

?lim?0解：lim33x?0x?0xx

例1.10：求極限lim

利用等價(jià)無(wú)窮小代換．這樣計(jì)算對(duì)嗎？計(jì)算的錯(cuò)誤在于在運(yùn)算過(guò)程中利用了未加證明的命題．

若?~?',?~?',則???~?'??'.考察這個(gè)命題，????????????

???????????lim?lim?lim，當(dāng)?1時(shí),這個(gè)命題是真命題；當(dāng)

?????1?1??

時(shí),命題是假命題． ?1

?

?

對(duì)于例1.10，因?yàn)椋??sinx,??tanx,?'??'?x，lim所以，證明的結(jié)論是錯(cuò)誤的．正確解答:

?sinx?lim?1 x?0?x?0tanx

x2x

tanx?sinxtanx(1?cosx)?1.limlim?limx?0x?0x?0x3x3x32

sin(x2sin 例1.11：求lim

x?0x

sin(x2sin)x2sin

?lim?limxsin1?0 錯(cuò)誤解答: lim

x?0x?0x?0xxx

錯(cuò)誤的原因在于在運(yùn)算中錯(cuò)誤的運(yùn)用了等價(jià)無(wú)窮小代換：

1?1?

sin?x2sin??x2sin,???x?0?

x?x?

而根據(jù)無(wú)窮小的比較的定義，當(dāng)x取所以不能用等價(jià)無(wú)窮小的代換．

正確解答：當(dāng)x?0時(shí)，111(n?Z)時(shí)，sin(x2sin)和x2sin均為0，n?xx

11sin(x2sin)x2sin

11??x?0(x?0)sin(x2sin)?x2sin?x2，xxxx

所以，由夾逼準(zhǔn)則知原函數(shù)極限為0．

sinx

x??x

解：本題切忌將sinx用x等價(jià)代換，導(dǎo)致結(jié)果為1．

sinxsin?

應(yīng)該為：lim??0.x??x?

例1.12：求極限lim

注意：

（1）乘除運(yùn)算中可以使用等價(jià)無(wú)窮小因子替換，加減運(yùn)算中由于用等價(jià)無(wú)窮小替換是有條件的，故統(tǒng)一不用．這時(shí)，一般可以用泰勒公式來(lái)求極限．

（2）注意等價(jià)無(wú)窮小的條件，即在哪一點(diǎn)可以用等價(jià)無(wú)窮小因子替換．

1.11 函數(shù)連續(xù)性的判斷

（1）設(shè)f(x)在x?x0間斷，g(x)在x?x0連續(xù)，則f(x)?g(x)在x?x0間斷．而

f(x)?g(x),f2(x),f(x)在x?x0可能連續(xù)．

?0

例如，設(shè)f(x)??

?1

x?0，g(x)?sinx，則f(x)在x?0間斷，g(x)在x?0連續(xù)，x?0

f(x)?g(x)?f(x)?sinx?0在x?0連續(xù)．

?1

若設(shè)f(x)??

??1

x?0，f(x)在x?0間斷，但f2(x)?f(x)?1在x?0均連續(xù)． x?0

（2）“f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)”是“f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)”的充分不必要條件．

x?a”可得“如果limf(x)?f(x0)，則分析：由“若limf(x)?a，則limf（x?x0

x?x0x?x0

x?x0

limf(x?fx(0)”，因此，f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)，則f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)．f(x)

在x0點(diǎn)連續(xù)并不能推出f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)．

（3）?(x)在x?x0連續(xù)，f(u)在u?u0??(x0)連續(xù)，則f(?(x))在x?x0連續(xù)．其余結(jié)論均不一定成立．

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