第一篇：求極限的方法三角函數(shù)公式
高數(shù)中求極限的16種方法——好東西
假如高等數(shù)學(xué)是棵樹(shù)木得話，那么 極限就是他的根，函數(shù)就是他的皮。樹(shù)沒(méi)有跟，活不下去，沒(méi)有皮，只能枯萎，可見(jiàn)這一章的重要性。
為什么第一章如此重要？ 各個(gè)章節(jié)本質(zhì)上都是極限，是以函數(shù)的形式表現(xiàn)出來(lái)的，所以也具有函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)的性質(zhì)表現(xiàn)在各個(gè)方面
首先 對(duì) 極限的總結(jié) 如下
極限的保號(hào)性很重要 就是說(shuō)在一定區(qū)間內(nèi) 函數(shù)的正負(fù)與極限一致極限分為 一般極限，還有個(gè)數(shù)列極限，（區(qū)別在于數(shù)列極限時(shí)發(fā)散的，是一般極限的一種）
2解決極限的方法如下：（我能列出來(lái)的全部列出來(lái)了?。。∧氵€能有補(bǔ)充么？？？）等價(jià)無(wú)窮小的轉(zhuǎn)化，（只能在乘除時(shí)候使用，但是不是說(shuō)一定在加減時(shí)候不能用 但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等價(jià)于Ax 等等。全部熟記
（x趨近無(wú)窮的時(shí)候還原成無(wú)窮?。㎜Hopital 法則（大題目有時(shí)候會(huì)有暗示 要你使用這個(gè)方法）
首先他的使用有嚴(yán)格的使用前提?。?！
必須是 X趨近而不是N趨近！?。。。ㄋ悦鎸?duì)數(shù)列極限時(shí)候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件
（還有一點(diǎn) 數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無(wú)窮的 不可能是負(fù)無(wú)窮?。?/p>
必須是 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在！?。。。偃绺嬖V你g（x）, 沒(méi)告訴你是否可導(dǎo)，直接用無(wú)疑于找死！）
必須是 0比0 無(wú)窮大比無(wú)窮大?。。。?！
當(dāng)然還要注意分母不能為0
LHopital 法則分為3中情況0比0 無(wú)窮比無(wú)窮 時(shí)候 直接用0乘以無(wú)窮 無(wú)窮減去無(wú)窮（應(yīng)為無(wú)窮大于無(wú)窮小成倒數(shù)的關(guān)系）所以 無(wú)窮大都寫(xiě)成了無(wú)窮小的倒數(shù)形式了。通項(xiàng)之后 這樣就能變成1中的形式了0的0次方 1的無(wú)窮次方 無(wú)窮的0次方
對(duì)于（指數(shù)冪數(shù)）方程 方法主要是取指數(shù)還取對(duì)數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來(lái)了，就是寫(xiě)成0與無(wú)窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無(wú)窮時(shí)候他的冪移下來(lái)趨近于0 當(dāng)他的冪移下來(lái)趨近于無(wú)窮的時(shí)候 LNX趨近于0）
3泰勒公式(含有e的x次方的時(shí)候，尤其是含有正余旋 的加減的時(shí)候要 特變注意?。。〦的x展開(kāi) sina 展開(kāi) cos 展開(kāi) ln1+x展開(kāi)
對(duì)題目簡(jiǎn)化有很好幫助
4面對(duì)無(wú)窮大比上無(wú)窮大形式的解決辦法
取大頭原則 最大項(xiàng)除分子分母?。。。。?！
看上去復(fù)雜處理很簡(jiǎn)單！?。。?！
5無(wú)窮小于有界函數(shù)的處理辦法
面對(duì)復(fù)雜函數(shù)時(shí)候，尤其是正余旋的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時(shí)候，一定要注意這個(gè)方法。
面對(duì)非常復(fù)雜的函數(shù) 可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來(lái)了?。?/p>
6夾逼定理（主要對(duì)付的是數(shù)列極限?。?/p>
這個(gè)主要是看見(jiàn)極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴(kuò)大。
7等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對(duì)付數(shù)列極限）（q絕對(duì)值符號(hào)要小于1）
8各項(xiàng)的拆分相加（來(lái)消掉中間的大多數(shù)）（對(duì)付的還是數(shù)列極限）
可以使用待定系數(shù)法來(lái)拆分化簡(jiǎn)函數(shù)
9求左右求極限的方式（對(duì)付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時(shí)一樣的，應(yīng)為極限去掉有限項(xiàng)目極限值不變化2 個(gè)重要極限的應(yīng)用。這兩個(gè)很重要?。?！對(duì)第一個(gè)而言是X趨近0時(shí)候的sinx與x比值。地2個(gè)就如果x趨近無(wú)窮大 無(wú)窮小都有對(duì)有對(duì)應(yīng)的形式
（地2個(gè)實(shí)際上是 用于 函數(shù)是1的無(wú)窮的形式）（當(dāng)?shù)讛?shù)是1 的時(shí)候要特別注意可能是用地2 個(gè)重要極限）還有個(gè)方法，非常方便的方法
就是當(dāng)趨近于無(wú)窮大時(shí)候
不同函數(shù)趨近于無(wú)窮的速度是不一樣的?。。。。。。。?/p>
x的x次方 快于 x！快于 指數(shù)函數(shù) 快于 冪數(shù)函數(shù) 快于 對(duì)數(shù)函數(shù)（畫(huà)圖也能看出速率的快慢）！??！當(dāng)x趨近無(wú)窮的時(shí)候 他們的比值的極限一眼就能看出來(lái)了換元法 是一種技巧，不會(huì)對(duì)模一道題目而言就只需要換元，但是換元會(huì)夾雜其中
13假如要算的話 四則運(yùn)算法則也算一種方法，當(dāng)然也是夾雜其中的14還有對(duì)付數(shù)列極限的一種方法，就是當(dāng)你面對(duì)題目實(shí)在是沒(méi)有辦法 走投無(wú)路的時(shí)候可以考慮 轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。
15單調(diào)有界的性質(zhì)
對(duì)付遞推數(shù)列時(shí)候使用 證明單調(diào)性?。?！
16直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求極限，（一般都是x趨近于0時(shí)候，在分子上f（x加減麼個(gè)值）加減f（x）的形式，看見(jiàn)了有特別注意）（當(dāng)題目中告訴你F(0)=0時(shí)候 f（0）導(dǎo)數(shù)=0的時(shí)候 就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義?。。?/p>
第一部分 三角函數(shù)公式
·兩角和與差的三角函數(shù)
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·和差化積公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
·積化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2
tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)
cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)
sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α)
csc(2α)=1/2*secα·cscα
·三倍角公式：
sin(3α)= 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)
cos(3α)= 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)
tan(3α)=(3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α)= tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)
·n倍角公式：
sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…
cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…·半角公式：
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
cot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)
sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))
csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))
·輔助角公式：
Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A）
Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B）
·萬(wàn)能公式
sin(a)=(2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
cos(a)=(1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
tan(a)=(2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
·降冪公式
sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
·三角和的三角函數(shù)：
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
·其它公式
·兩角和與差的三角函數(shù)
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·和差化積公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
·積化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2
tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)
cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)
sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α)
csc(2α)=1/2*secα·cscα
·三倍角公式：
sin(3α)= 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)
cos(3α)= 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)
tan(3α)=(3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α)= tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)
·n倍角公式：
sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…
cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…·半角公式：
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
cot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)
sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))
csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))
·輔助角公式：
Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A）
Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B）
·萬(wàn)能公式
sin(a)=(2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
cos(a)=(1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
tan(a)=(2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
·降冪公式
sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
·三角和的三角函數(shù)：
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
·其它公式
1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2
csc(a)=1/sin(a)sec(a)=1/cos(a)
cos30=sin60
sin30=cos60
·推導(dǎo)公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos^2α
1-cos2α=2sin^2α
1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^2
1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2
csc(a)=1/sin(a)sec(a)=1/cos(a)
cos30=sin60
sin30=cos60
·推導(dǎo)公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos^2α
1-cos2α=2sin^2α
1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^2
第二篇：三角函數(shù)、極限、等價(jià)無(wú)窮小公式
三角函數(shù)公式整合：
兩角和公式
sin(A+B)= sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)= sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B)= cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)= cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式
Sin2A=2SinA?CosA
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）
和差化積
sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ =-2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)積化和差
sinαsinβ =-1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)]
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]
誘導(dǎo)公式
sin(-α)=-sinα
cos(-α)= cosα
sin(π/2-α)= cosα
cos(π/2-α)= sinα
sin(π/2+α)= cosα
cos(π/2+α)=-sinα
sin(π-α)= sinα
cos(π-α)=-cosα
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tanA= sinA/cosA
tan（π/2＋α）＝－cotα
tan（π/2－α）＝cotα
tan（π－α）＝－tanα
tan（π＋α）＝tanα
誘導(dǎo)公式記背訣竅：奇變偶不變，符號(hào)看象限
萬(wàn)能公式
1.極限的概念
（1）數(shù)列的極限：???0，?N（正整數(shù)），當(dāng)n?N時(shí)，恒有xn?A??
n??limxn?A 或 xn?A(n??)
幾何意義：在(A??,A??)之外，?xn?至多有有限個(gè)點(diǎn)x1,x2,?,xN
（2）函數(shù)的極限
x??的極限：???0，?X?0，當(dāng)x?X時(shí)，恒有f(x)?A??
limf(x)?A 或 f(x)?A(x??)
x??幾何意義：在（?X?x?X)之外，f(x)的值總在(A??,A??)之間。
x?x0的極限：???0，???0，當(dāng)0?x?x0??時(shí)，恒有f(x)?A??
x?x0limf(x)?A 或 f(x)?A(x?x0)
幾何意義：在x?(x0??,x0)?(x0,x0??)鄰域內(nèi)，f(x)的值總在(A??,A??)之間。
（3）左右極限
左極限：???0，???0，當(dāng)x0???x?x0時(shí)，恒有f(x)?A??
?x?x0limf(x)?A 或 f?(x0)?f(x0?0)?A
右極限：???0，???0，當(dāng)x0?x?x0??時(shí)，恒有f(x)?A??
?x?x0limf(x)?A 或 f?(x0)?f(x0?0)?A
x?x0f(x)?A?lim?f(x)極限存在的充要條件：lim?x?x0（4）極限的性質(zhì)
唯一性：若limf(x)?A，則A唯一
x?x0保號(hào)性：若limf(x)?A，則在x0的某鄰域內(nèi)
x?x0A?0(A?0)? f(x)?0(f(x)?0)；f(x)?0(f(x)?0)? A?0(A?0)
有界性：若limf(x)?A，則在x0的某鄰域內(nèi)，f(x)有界
x?x02.無(wú)窮小與無(wú)窮大
（1）定義：以0為極限的變量稱(chēng)無(wú)窮小量；以?為極限的變量稱(chēng)無(wú)窮大量；同一極限 過(guò)程中，無(wú)窮小（除0外）的倒數(shù)為無(wú)窮大；無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小。
注意： 0是無(wú)窮小量；無(wú)窮大量必是無(wú)界變量，但無(wú)界變量未必是無(wú)窮大量。例如當(dāng)x??時(shí)，xsinx是無(wú)界變量，但不是無(wú)窮大量。
（2）性質(zhì)：有限個(gè)無(wú)窮小的和、積仍為無(wú)窮??；無(wú)窮小與有界量的積仍為無(wú)窮?。粁?x0limf(x)?A成立的充要條件是f(x)?A??（x?(x0??,x0??)，lim??0）
（3）無(wú)窮小的比較（設(shè) lim??0，lim??0）： 若lim?則稱(chēng)?是比?高階的無(wú)窮小，記為o(?)；特別?稱(chēng)為??????o(?)?0，?的主部
???，則稱(chēng)?是比?低階的無(wú)窮?。???若lim?C，則稱(chēng)?與?是同階無(wú)窮小；
??若lim?1，則稱(chēng)?與?是等價(jià)無(wú)窮小，記為?~?；
??若limk?C，（C?0,k?0）則稱(chēng)?為?的k階無(wú)窮??；
?若lim（4）無(wú)窮大的比較： 若limu??，limv??，且lim無(wú)窮大，記為o1(v)；特別u稱(chēng)為u?v?o1(v)?v的主部
3.等價(jià)無(wú)窮小的替換
u??，則稱(chēng)u是比v高階的v若同一極限過(guò)程的無(wú)窮小量?~??，?~??，且lim??存在，則 ??lim?f(x)??f(x)?lim?g(x)??g(x)???121?cos?~???2???1?1???1~???2 ?~? ?1??1??(1??)n?1~?n????a??1~?lna????????常用等價(jià)無(wú)窮小??(lim??0)??????sin?tan?arcsin?arctan?ln(1??)e??11???1??注意：（1）無(wú)論極限過(guò)程，只要極限過(guò)程中方框內(nèi)是相同的無(wú)窮小就可替換；
（2）無(wú)窮小的替換一般只用在乘除情形，不用在加減情形；
（3）等價(jià)無(wú)窮小的替換對(duì)復(fù)合函數(shù)的情形仍實(shí)用，即
若limf(?)?f(0)，?~??，則f(?)~f(??)
4.極限運(yùn)算法則（設(shè) limf(x)?A，limg(x)?B）（1）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)?A?B（2）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)?A?B
特別地，lim?Cf(x)??Climf(x)，lim?f(x)???limf(x)??An
nn（3）limf(x)limf(x)A??(B?0)g(x)limg(x)B5.準(zhǔn)則與公式（lim??0，lim??0）準(zhǔn)則1：（夾逼定理）若?(x)?f(x)??(x)，則
lim?(x)?lim?(x)?A ? limf(x)?A
準(zhǔn)則2：（單調(diào)有界數(shù)列必有極限）
若?xn?單調(diào)，且xn?M（M?0），則limxn存在（?xn?收斂）
n??準(zhǔn)則3：（主部原則）
lim??o(?)o(?)??o(?)??lim； lim111?lim11
?2?o1(?2)o1(?2)??o(?)?公式1： limsin?sinx? 1?1
? limx?0x?1??xlim(1?x)???x?0?公式2： ???e
?
1?lim(1?)n??n??n????1???lim(??1?lim(?1???1??)????e
??)??公式3： lim(1??)??elim???，一般地，lim(1??)f?elim??f
?0?anxn?an?1xn?1???a0anxn?an公式4：lim?lim??m?1x??bxm?bx??bxmx???bmm?10m?bm???6.幾個(gè)常用極限(a?0,a?1)（1）limnn?mn?m n?mn??a?1，limnn?1；（2）lim?xx?1，limxx???；
n??x?0x???（3）limex???，limex?0；（4）lim?lnx???； ??x?0x?0x?011?0q?11??lim?arctan???q?1x????0x2n（5）?；（6）limq??
n??q?1?limarctan1????1??x2?x?0??不存在q??1
第三篇：求極限方法
首先說(shuō)下我的感覺(jué)，假如高等數(shù)學(xué)是棵樹(shù)木得話，那么 極限就是他的根，函數(shù)就是他的皮。樹(shù)沒(méi)有跟，活不下去，沒(méi)有皮，只能枯萎，可見(jiàn)這一章的重要性。
為什么第一章如此重要？各個(gè)章節(jié)本質(zhì)上都是極限，是以函數(shù)的形式表現(xiàn)出來(lái)的，所以也具有函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)的性質(zhì)表現(xiàn)在各個(gè)方面
首先對(duì)極限的總結(jié)如下
極限的保號(hào)性很重要就是說(shuō)在一定區(qū)間內(nèi)函數(shù)的正負(fù)與極限一致
1極限分為一般極限，還有個(gè)數(shù)列極限，（區(qū)別在于數(shù)列極限時(shí)發(fā)散的，是一般極限的一種）
2解決極限的方法如下：（我能列出來(lái)的全部列出來(lái)了！??！你還能有補(bǔ)充么？？？）1 等價(jià)無(wú)窮小的轉(zhuǎn)化，（只能在乘除時(shí)候使用，但是不是說(shuō)一定在加減時(shí)候不能用但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等價(jià)于Ax等等。全部熟記
（x趨近無(wú)窮的時(shí)候還原成無(wú)窮?。?/p>
2落筆他 法則（大題目有時(shí)候會(huì)有暗示要你使用這個(gè)方法）
首先他的使用有嚴(yán)格的使用前提！?。?/p>
必須是X趨近而不是N趨近?。。。。ㄋ悦鎸?duì)數(shù)列極限時(shí)候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件
（還有一點(diǎn)數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無(wú)窮的不可能是負(fù)無(wú)窮?。?/p>
必須是 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在！！?。。偃绺嬖V你g（x）,沒(méi)告訴你是否可導(dǎo)，直接用無(wú)疑于找死?。?/p>
必須是0比0無(wú)窮大比無(wú)窮大?。。。?！
當(dāng)然還要注意分母不能為0
落筆他 法則分為3中情況0比0無(wú)窮比無(wú)窮時(shí)候直接用
20乘以無(wú)窮無(wú)窮減去無(wú)窮（應(yīng)為無(wú)窮大于無(wú)窮小成倒數(shù)的關(guān)系）所以 無(wú)窮大都寫(xiě)成了無(wú)窮小的倒數(shù)形式了。通項(xiàng)之后這樣就能變成1中的形式了
30的0次方1的無(wú)窮次方 無(wú)窮的0次方
對(duì)于（指數(shù)冪數(shù)）方程 方法主要是取指數(shù)還取對(duì)數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來(lái)了，就是寫(xiě)成0與無(wú)窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無(wú)窮時(shí)候他的冪移下來(lái)趨近于0當(dāng)他的冪移下來(lái)趨近于無(wú)窮的時(shí)候LNX趨近于0）
3泰勒公式(含有e的x次方的時(shí)候，尤其是含有正余旋的加減的時(shí)候要 特變注意?。。?/p>
E的x展開(kāi)sina展開(kāi)cos展開(kāi)ln1+x展開(kāi)
對(duì)題目簡(jiǎn)化有很好幫助
4面對(duì)無(wú)窮大比上無(wú)窮大形式的解決辦法
取大頭原則最大項(xiàng)除分子分母?。。。。。?/p>
看上去復(fù)雜處理很簡(jiǎn)單?。。。?！
5無(wú)窮小于有界函數(shù)的處理辦法
面對(duì)復(fù)雜函數(shù)時(shí)候，尤其是正余旋的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時(shí)候，一定要注意這個(gè)方法。
面對(duì)非常復(fù)雜的函數(shù) 可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來(lái)了??！
6夾逼定理（主要對(duì)付的是數(shù)列極限?。?/p>
這個(gè)主要是看見(jiàn)極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴(kuò)大。
7等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對(duì)付數(shù)列極限）（q絕對(duì)值符號(hào)要小于1）
8各項(xiàng)的拆分相加（來(lái)消掉中間的大多數(shù)）（對(duì)付的還是數(shù)列極限）
可以使用待定系數(shù)法來(lái)拆分化簡(jiǎn)函數(shù)
9求左右求極限的方式（對(duì)付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時(shí)一樣的，應(yīng)為極限去掉有限項(xiàng)目極限值不變化2 個(gè)重要極限的應(yīng)用。這兩個(gè)很重要?。?！對(duì)第一個(gè)而言是X趨近0時(shí)候的sinx與x比值。地2個(gè)就如果x趨近無(wú)窮大 無(wú)窮小都有對(duì)有對(duì)應(yīng)的形式
（地2個(gè)實(shí)際上是 用于函數(shù)是1的無(wú)窮的形式）（當(dāng)?shù)讛?shù)是1 的時(shí)候要特別注意可能是用地2 個(gè)重要極限）還有個(gè)方法，非常方便的方法
就是當(dāng)趨近于無(wú)窮大時(shí)候
不同函數(shù)趨近于無(wú)窮的速度是不一樣的?。。。。。。?！
x的x次方 快于x！快于指數(shù)函數(shù)快于冪數(shù)函數(shù)快于對(duì)數(shù)函數(shù)（畫(huà)圖也能看出速率的快慢）?。?！
當(dāng)x趨近無(wú)窮的時(shí)候他們的比值的極限一眼就能看出來(lái)了換元法是一種技巧，不會(huì)對(duì)模一道題目而言就只需要換元，但是換元會(huì)夾雜其中
13假如要算的話四則運(yùn)算法則也算一種方法，當(dāng)然也是夾雜其中的14還有對(duì)付數(shù)列極限的一種方法，就是當(dāng)你面對(duì)題目實(shí)在是沒(méi)有辦法走投無(wú)路的時(shí)候可以考慮 轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。
15單調(diào)有界的性質(zhì)
對(duì)付遞推數(shù)列時(shí)候使用證明單調(diào)性?。?！
16直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求極限，（一般都是x趨近于0時(shí)候，在分子上f（x加減麼個(gè)值）加減f（x）的形式，看見(jiàn)了有特別注意）
（當(dāng)題目中告訴你F(0)=0時(shí)候f（0）導(dǎo)數(shù)=0的時(shí)候就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義?。。?/p>
一，求極限的方法橫向總結(jié)：
1帶根式的分式或簡(jiǎn)單根式加減法求極限：1）根式相加減或只有分子帶根式：用平方差公式，湊平方（有分式又同時(shí)出現(xiàn)未知數(shù)的不同次冪：將未知數(shù)全部化到分子或分母的位置上）
2）分子分母都帶根式：將分母分子同時(shí)乘以不同的對(duì)應(yīng)分式湊成完全平方式（常用到
2分子分母都是有界變量與無(wú)窮大量加和求極限：分子與分母同時(shí)除以該無(wú)窮大量湊出無(wú)窮小量與有界變量的乘積結(jié)果還是無(wú)窮小量。
3等差數(shù)列與等比數(shù)列和求極限：用求和公式。
4分母是乘積分子是相同常數(shù)的n項(xiàng)的和求極限：列項(xiàng)求和
5分子分母都是未知數(shù)的不同次冪求極限：看未知數(shù)的冪數(shù)，分子大為無(wú)窮大，分子小為無(wú)窮小或須先通分。
6運(yùn)用重要極限求極限（基本）。
7乘除法中用等價(jià)無(wú)窮小量求極限。
8函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)時(shí)，函數(shù)的極限等于極限的函數(shù)。
9常數(shù)比0型求極限：先求倒數(shù)的極限。
10根號(hào)套根號(hào)型：約分，注意別約錯(cuò)了。
11三角函數(shù)的加減求極限：用三角函數(shù)公式，將sin化cos
二，求極限的方法縱向總結(jié)：
1未知數(shù)趨近于一個(gè)常數(shù)求極限：分子分母湊出（x-常數(shù)）的形式，然后約分（因?yàn)閤不等于該常數(shù)所以可以約分）最后將該常數(shù)帶入其他式子。
2未知數(shù)趨近于0或無(wú)窮：1）將x放在相同的位置
2）用無(wú)窮小量與有界變量的乘積
3）2個(gè)重要極限
4）分式解法（上述）
第四篇：求函數(shù)極限方法的若干方法
求函數(shù)極限方法的若干方法
摘要： 關(guān)鍵詞：
1引言：極限的重要性
極限是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)分析中的基本概念來(lái)表述，都可以用極限來(lái)描述。如函數(shù)y=f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)的定義，定積分的定義，偏導(dǎo)數(shù)的定義，二重積分，三重積分的定義，無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的定義，都是用極限來(lái)定義的。極限是研究數(shù)學(xué)分析的基本公具。極限是貫穿數(shù)學(xué)分析的一條主線。學(xué)好極限是從以下兩方面著手。1：是考察所給函數(shù)是否存在極限。2：若函數(shù)否存在極限，則考慮如何計(jì)算此極限。本文主要是對(duì)第二個(gè)問(wèn)題即在極限存在的條件下，如何去求極限進(jìn)行綜述。
2極限的概念及性質(zhì)2.1極限的概念
2.1.1limn→∞
xn=A,任意的正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)就有 xn?A <。
2.1.2limx→∞f x =A??ε>0，任意整數(shù)X，使得當(dāng) x >時(shí)就有 f x ?A <。類(lèi)似可以定義單側(cè)極限limx→+∞f x =A與limx→?∞f(x)。2.2.3類(lèi)似可定義當(dāng)，整數(shù)，使得當(dāng)
時(shí)有
。，時(shí)右極限與左極限：。在此處鍵入公式。
2.2極限的性質(zhì)
2.2.1極限的不等式性質(zhì)：設(shè)若若，則，使得當(dāng)，當(dāng)
時(shí)有
。時(shí)有時(shí)有，則
；
。，則
與，使得當(dāng)
在的某空心鄰
時(shí)，時(shí)有，則。
。
2.2.1（推論）極限的保號(hào)性：設(shè)若若,則，使得當(dāng)，當(dāng)2.2.2存在極限的函數(shù)局部有界性：設(shè)存在極限域有
內(nèi)有界，即3求極限的方法
1、定義法
2、利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限，3、利用夾逼性定理求極限
4、利用兩個(gè)重要極限求極限，5、利用迫斂性求極限，6、利用洛必達(dá)法則求極限，7、利用定積分求極限，8、利用無(wú)窮小量的性質(zhì)和無(wú)窮小量和無(wú)窮大量之間的關(guān)系求極限
9、利用變量替換求極限，10、利用遞推公式求極限，11、利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限,12、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限，13、利用泰勒展開(kāi)式求極限，14、利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限
15、利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限
16、利用單側(cè)極限求極限
17、利用中值定理求極限 3.1定義法
利用數(shù)列極限的定義求出數(shù)列的極限.設(shè)的,總存在一個(gè)正整數(shù)
.，當(dāng)
是一個(gè)數(shù)列,是實(shí)數(shù),如果對(duì)任意給定,我們就稱(chēng)是數(shù)列
時(shí),都有的極限.記為例1 證明
證 任給，取，則當(dāng)時(shí)有
，所以。
3.2利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限 設(shè)，，則
。，例1求解 這是求
型極限，用相消法，分子、分母同除以
得。，其中3.3利用夾逼性定理求極限
當(dāng)極限不易直接求出時(shí), 可考慮將求極限的變量作適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小, 使放大與縮小所得的新變量易于求極限, 且二者的極限值相同, 則原極限存在,且等于公共值。特別是當(dāng)在連加或連乘的極限里,可通過(guò)各項(xiàng)或各因子的放大與縮小來(lái)獲得所需的不等式。3.3.1（數(shù)列情形）若則。，使得當(dāng)時(shí)有，且，3.3.2（函數(shù)情形）若，則，使得當(dāng)。
時(shí)有，又
例題
解 ：，其中，因此。
3.4利用兩個(gè)重要極限球極限 兩個(gè)重要極限是，或。
第一個(gè)重要極限可通過(guò)等價(jià)無(wú)窮小來(lái)實(shí)現(xiàn)。利用這兩個(gè)重要極限來(lái)求函數(shù)的極限時(shí)要觀察所給的函數(shù)形式，只有形式符合或經(jīng)過(guò)變化符合這兩個(gè)重要極限的形式時(shí)，才能夠運(yùn)用此方法來(lái)求極限。一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。例題1解：令t=故 例題23.5利用迫斂性求極限 ,且在某個(gè)。
內(nèi)有,那么
.則sinx=sin（t)=sint, 且當(dāng)
時(shí)
例 求的極限
解：因?yàn)?且 由迫斂性知
所以
3.6利用洛必達(dá)法則求極限
假設(shè)當(dāng)自變量和趨近于某一定值（或無(wú)窮大）時(shí)，函數(shù)
和
和
滿足：的導(dǎo)數(shù)不為0的極限都是或都是無(wú)窮大都可導(dǎo)，并且存在（或無(wú)窮大），則極限也必存在，且等于，即=。利用洛必達(dá)法則求極限，可連續(xù)進(jìn)行運(yùn)算，可簡(jiǎn)化一些較復(fù)雜的函數(shù)求極限的過(guò)程，但是運(yùn)用時(shí)需注意條件。
例題 求
解 原式=注：運(yùn)用洛比達(dá)法則應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
1、要注意條件，也就是說(shuō)，在沒(méi)有化為或時(shí)不可求導(dǎo)。
2、應(yīng)用洛必達(dá)法則，要分別求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個(gè)分式的導(dǎo)數(shù)。
3、要及時(shí)化簡(jiǎn)極限符號(hào)后面的分式，在化簡(jiǎn)以后檢查是否還是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用洛必達(dá)法則，否則會(huì)錯(cuò)誤。
3.7利用定積分求極限
利用定積分求和式的極限時(shí)首先選好恰當(dāng)?shù)目煞e函數(shù)f(x)。把所求極限的和式表示成f(x)在某區(qū)間 例
上的待定分法（一般是等分）的積分和式的極限。
解 原式=，由定積分的定義可知。
3.8利用無(wú)窮小量的性質(zhì)和無(wú)窮小量和無(wú)窮大量之間的關(guān)系求極限 利用無(wú)窮小量乘有界變量仍是無(wú)窮小量,這一方法在求極限時(shí)常用到。在求函數(shù)極限過(guò)程中,如果此函數(shù)是某個(gè)無(wú)窮小量與所有其他量相乘或相除時(shí), 這個(gè)無(wú)窮小量可用它的等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)代替,從而使計(jì)算簡(jiǎn)單化。例
解 注意時(shí)。
3.9利用變量替換求極限
為將未知的極限化簡(jiǎn)，或轉(zhuǎn)化為已知的極限，可以根據(jù)極限式特點(diǎn)，適當(dāng)?shù)囊胄伦兞?，?lái)替換原有變量，使原來(lái)的極限過(guò)程轉(zhuǎn)化為新的極限過(guò)程。最常用的方法就是等價(jià)無(wú)窮小的代換。
例 已知證 令
試證
則時(shí)，于是
當(dāng)時(shí)），故時(shí)第二、三項(xiàng)趨于零，現(xiàn)在證明第四項(xiàng)極限也為零。因有界，即，使得
。所以
（當(dāng)
原式得證。
3.10利用遞推公式求極限
用遞推公式計(jì)算或者證明序列的極限，也是一常見(jiàn)的方法，我們需要首先驗(yàn)證極限的存在性。在極限存在前提下，根據(jù)極限唯一性，解出我們所需要的結(jié)果，但是驗(yàn)證極限的存在形式是比較困難的，需要利用有關(guān)的不等式或?qū)崝?shù)的一些性質(zhì)來(lái)解決。
例 設(shè)，對(duì)，定義
且
。證明 時(shí)，解 對(duì)推出遞推公式解得,，因?yàn)?，因此，序?/p>
中可以得出
是單調(diào)遞增且有界的，它的極限，設(shè)為，從，即。
3.11利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限 所謂的無(wú)窮小量即，例如 求極限 解 本題屬于有
型極限，利用等價(jià)無(wú)窮小因子替換
=
=,，稱(chēng)
與
是
時(shí)的無(wú)窮小量，記作
注：可以看出，想利用此方法求函數(shù)的極限必須熟練掌握一些常用的 等價(jià)無(wú)窮小量，如：由于，故有又由于故有。
另注：在利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限時(shí)，應(yīng)注意：只有對(duì)所求極限中相乘或相除的因式才能利用等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)代換，而對(duì)極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換。
小結(jié):在求解極限的時(shí)候要特別要注意無(wú)窮小等價(jià)代換,無(wú)窮小等價(jià)代換可以很好的簡(jiǎn)化解題。
3.12利用函數(shù)的連續(xù)性求極限
在若處連續(xù)，那么且
在點(diǎn)連續(xù)，則。
例 求的極限
解：由于
及函數(shù)在處連續(xù)，故
3.13利用泰勒展開(kāi)式求極限 列舉下 例題
3.14利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限
3.14.1函數(shù)極限迫斂性（夾逼準(zhǔn)則）：若一個(gè)正整數(shù)，并且例題
3.14.2單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限，并且極限唯一。,當(dāng)時(shí)，則
則。
利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限，關(guān)鍵是要證明數(shù)列的存在，然后根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)遞推公式求極限。例題
3.15利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限
利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件：若級(jí)數(shù)收斂，則，首先判定級(jí)數(shù)收斂，然后求出它的通項(xiàng)的極限。例題
3.16利用單側(cè)極限求極限
1）求含的函數(shù)
趨向無(wú)窮的極限，或求含的函數(shù)
趨于的極限;2）求含取整函數(shù)的函數(shù)極限;3）分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限;4）含偶次方根的函數(shù)以及
或的函數(shù)，趨向無(wú)窮的極限.這種方法還能使用于求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限，首先必須考慮分段點(diǎn)的左，右極限，如果左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限存在，否則極限不存在。例題
3.17利用中值定理求極限 3.17.1微分中值定理： 3.17.2積分中值定理
第五篇：求極限的方法小結(jié)
求極限的方法小結(jié) 要了解極限首先看看的定義哦 A.某點(diǎn)處的極限與該點(diǎn)處有無(wú)定義和連續(xù)無(wú)關(guān)，但在該點(diǎn)周?chē)?數(shù)列除外）的必 某點(diǎn)處的極限與該點(diǎn)處有無(wú)定義和連續(xù)無(wú)關(guān)，某點(diǎn)處的極限與該點(diǎn)處有無(wú)定義和連續(xù)無(wú)關(guān) 但在該點(diǎn)周?chē)?數(shù)列除外）須連續(xù) B.了解左右極限的定義 了解左右極限的定義 C.極限的四則和乘方運(yùn)算 D.區(qū)別數(shù)列極限與函數(shù)極限的不同之處 D.區(qū)別數(shù)列極限與函數(shù)極限的不同之處 E.注意自變量在趨近值的微小范圍內(nèi) 注意自變量在趨近值的微小范圍內(nèi)，E.注意自變量在趨近值的微小范圍內(nèi)，可以利用它同 B 一起去絕對(duì)值
1、代入法——在極限點(diǎn)處利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 ——在極限點(diǎn)處利用函數(shù)的連續(xù)性求極限、代入法—— Lim(x+1)=2(x->1)2.約分法——分解因式 Lim(x2-1)/(x-1)=2(x->1)約分法—— ——分解因式 這只是最簡(jiǎn)單的約分法，同時(shí)還有分母，分子有理化。通分后在用約分法）（這只是最簡(jiǎn)單的約分法，同時(shí)還有分母，分子有理化。通分后在用約分法）3.利用圖象——反比例函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)。。。利用圖象——反比例函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)。。?！幢壤瘮?shù) Lim1/x=0(x->∞),limax=0(1
4、比值法、Lima n/n!(n->∞,a>0)因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)椋╝ n+1 /（n+1）!）/（a n/n!）=a/(n+1)(n->∞,a>0)（）））n+1 n 所以 0<（a /（n+1）!）/（a /n!）=a/(n+1)<1 所以 Lima n/n!=0（（）））n 2(求 limn /n!=_(n->∞)求
5、極限與導(dǎo)數(shù) —— 利用導(dǎo)數(shù)的定義 Lim(e x-1)/x=（ex）、（x=0）=1(x->0)——利用導(dǎo)數(shù)的定義、極限與導(dǎo)數(shù)——（）6.有界函數(shù)與無(wú)窮小的積仍為無(wú)窮小 Limsinx/x=0(x->-∞)7.利用等價(jià)無(wú)窮小 X~sinx~tanx~arctanx ~ e x-1~ln(x+1),1-cosx~1/2*x 2 ,(1+ax)b-1~abx, a x-1~xlna< x->0> Limtan 2 x/(1-cosx)=2(x->0)（在利用無(wú)窮小時(shí)注意它不是充分必要的即應(yīng)用無(wú)窮小轉(zhuǎn)化后若極限不存 不能得到原極限不存在）在，不能得到原極限不存在）8.利用重要極限 利用重要極限____lim(1+x)1/x=e(1 ∞)利用重要極限 Lim(1+sin2x)x2=elim sin2x/x2(解釋 sin2x/x2)=e(中間的配湊略 中間的配湊略)解釋 中間的配湊略 1/f(x)limg(x)/f(x)Lim(1+g(x))=e(g(x),f(x)都是無(wú)窮小 都是無(wú)窮小)都是無(wú)窮小 ∞(1 是很重要的一個(gè)極限，它可以用取對(duì)數(shù)法，還有就是上面的 取對(duì)數(shù)法是冪指 是很重要的一個(gè)極限，它可以用取對(duì)數(shù)法，還有就是上面的.取對(duì)數(shù)法是冪指 函數(shù)的通法，時(shí)上述方法就顯得更簡(jiǎn)單了恩）函數(shù)的通法，當(dāng)看見(jiàn) 1∞時(shí)上述方法就顯得更簡(jiǎn)單了恩）9.利用洛比達(dá)法則 可轉(zhuǎn)化
為 0/0, ∞/∞型)利用洛比達(dá)法則(可轉(zhuǎn)化為 Lim=x/sinx(x->0)利用洛比達(dá)法則 型 洛比達(dá)法則哈只需稍微的轉(zhuǎn)化哈。（對(duì)于未定式都可用 洛比達(dá)法則哈只需稍微的轉(zhuǎn)化哈。同時(shí)它同 7 一樣都不是 充要的哦)充要的哦)10.利用泰勒公式 利用泰勒公式 Lim(sinx-xcosx)/sinx 3(x->0)=lim(x-x 3 /3!+o(x 3)-x+x 2 /2!-0(x 3))/x 3 =lim(x 3 /3+o(x 3))/ x 3 =1/3(在極限中很少用，但可以解決一些特殊的高數(shù)上有哈）在極限中很少用，在極限中很少用 但可以解決一些特殊的高數(shù)上有哈）11.極限與積分 ___就是利用積分的定義 極限與積分 就是利用積分的定義 _______
解:
=
12.利用柯西準(zhǔn)則來(lái)求！12.利用柯西準(zhǔn)則來(lái)求！利用柯西準(zhǔn)則來(lái)求 柯西準(zhǔn)則： 要使{xn} {xn}有極限的充要條件使任給 ε>0,存在自然數(shù) 柯西準(zhǔn)則 ： 要使 {xn} 有極限的充要條件使任給 ε>0, 存在自然數(shù) N，使 得當(dāng) n>N 時(shí)，對(duì)于 |xn任意的自然數(shù) m 有 |xn1)/(x^1/n-1)：＝n/m.可令 x=y^mn 得 ：＝ n/m.14.利用單調(diào)有界必有極限來(lái)求 14.利用單調(diào)有界必有極限來(lái)求 證明： x1＝。。。）存在極限 存在極限，證明：數(shù)列 x1＝2^0.5 ,x(n+1)=(2+xn)^0.5(n=1,2,。。。）存在極限，并求出極限值 x1=√2＜2,設(shè) xn＜2,則 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜ 由歸納法 x1=√2＜2,設(shè) xn＜2,則 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞ 2,xn 有 界.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞√xn*√xn=xn,∴xn 有 界,∴xn 有極限 a,在 x(n+1)=(2+xn)^0.5 兩邊取極限 a,在 :a∧2-2=0,a=2,(a=得:a∧2-a-2=0,a=2,(a=-1 舍).15.利用夾逼準(zhǔn)則求極限 15.利用夾逼準(zhǔn)則求極限 16.求數(shù)列極限時(shí) 可以先算出其極限值，然后再證明。求數(shù)列極限時(shí)，16.求數(shù)列極限時(shí)，可以先算出其極限值，然后再證明。17.利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限 17.利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限 18.利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求極限 18.利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求極限
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