第一篇：求極限的方法及例題總結(jié)解讀
1．定義：
說明：（1）一些最簡單的數(shù)列或函數(shù)的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴格定義證明，例如：；x?2lim(3x?1)?5
（2）在后面求極限時，（1）中提到的簡單極限作為已知結(jié)果直接運用，而不需再用極限嚴格定義證明。
利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限
這種方法要求熟練的掌握導(dǎo)數(shù)的定義。
2．極限運算法則
定理1 已知limf(x)，limg(x)都存在，極限值分別為A，B，則下面極限都存在，且有（1）lim[f(x)?g(x)]?A?B（2）limf(x)?g(x)?A?B（3）limf(x)A?,(此時需B?0成立)g(x)B
說明：極限號下面的極限過程是一致的；同時注意法則成立的條件，當(dāng)條件不滿足時，不能用。.利用極限的四則運算法求極限
這種方法主要應(yīng)用于求一些簡單函數(shù)的和、乘、積、商的極限。通常情況下，要使用這些法則，往往需要根據(jù)具體情況先對函數(shù)做某些恒等變形或化簡。
8.用初等方法變形后，再利用極限運算法則求極限
limx?1
例1 3x?1?2x?1
(3x?1)2?223x?33lim?lim?x?1(x?1)(3x?1?2)x?1(x?1)(3x?1?2)4解：原式=。
注：本題也可以用洛比達法則。
例2 limn(n?2?n?1)n??
nn[(n?2)?(n?1)]分子分母同除以lim?n??n?2?n?1limn??31?21?1?nn?32解：原式=(?1)n?3nlimnn例3 n??2?3
。上下同除以3n?解：原式
1(?)n?1lim3?1n??2n()?13。
3．兩個重要極限
sinx?1x?0x（1）lim（2）x?0lim(1?x)?e1xlim(1?1)x?ex；x??
說明：不僅要能夠運用這兩個重要極限本身，還應(yīng)能夠熟練運用它們的變形形式，sin3x3lim?1lim(1?2x)?2x?elim(1?)3?ex例如：x?03x，x?0，x??；等等。
1x
利用兩個重要極限求極限
1?cosx2x?03x例5 limxx2sin22?lim2?1limx?0x?0x63x212?()22解：原式=。2sin2注：本題也可以用洛比達法則。例6 lim(1?3sinx)x?02x
1?6sinx??3sinxx解：原式=x?0 lim(1?3sinx)?lim[(1?3sinx)x?01?3sinx]?6sinxx?e?6。例7 lim(n??n?2n)n?1
n?1?3nn?1?3?3?lim(1?)n??n?1解：原式=?3?3n?1?lim[(1?)]?e?3n??n?1。
n?1?3n
4．等價無窮小
定理2 無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮?。礃O限是0）。定理3 當(dāng)x?0時，下列函數(shù)都是無窮?。礃O限是0），且相互等價，即有：
x～sinx～tanx～arcsin面的等價
x～arctanx～ln(1?x)～ex?1。
說明：當(dāng)上面每個函數(shù)中的自變量x換成g(x)時（g(x)?0），仍有上關(guān)系成立，例如：當(dāng)x?0時，e3x?1～3x；ln(1?x2)～?x2。
f1(x)f(x)limg1(x)存在時，x?x0g(x)也存在且定理4 如果函數(shù)f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是x?x0時的無窮小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，則當(dāng)x?x0limf1(x)f1(x)f(x)limlimlimx?xx?x0g(x)x?x0g(x)0g(x)f(x)11等于，即=。
利用等價無窮小代換（定理4）求極限
limx?0例9 xln(1?3x)arctan(x2)ln(1?3x)～3x，arctan(x2)～x2，解：?x?0時，limx?3x?3x2。? 原式=x?0ex?esinxlim例10 x?0x?sinx
esinx(ex?sinx?1)esinx(x?sinx)lim?lim?1x?0x?0x?sinxx?sinx解：原式=。
注：下面的解法是錯誤的：
(ex?1)?(esinx?1)x?sinxlim?lim?1x?0x?0x?sinxx?sinx原式=。
正如下面例題解法錯誤一樣：
limx?0tanx?sinxx?x?lim?0x?0x3x3。
1tan(x2sin)xlimsinx例11 x?0
解：?當(dāng)x?0時，x2sin111是無窮小，?tan(x2sin)與x2sin等價xxx，x2sin所以，原式=x?0
lim1x?limxsin1?0x?0xx。（最后一步用到定理2）
五、利用無窮小的性質(zhì)求極限
有限個無窮小的和是無窮小，有界函數(shù)與無窮小乘積是無窮小。用等價無窮小替換求極限常常行之有效。
例 1.x?01/21
lim(1?xsinx?1sinsin(x?1))lim2lnxex?1 2.x?0
5．洛比達法則
定理5 假設(shè)當(dāng)自變量x趨近于某一定值（或無窮大）時，函數(shù)f(x)和g(x)滿足：（1）f(x)和g(x)的極限都是0或都是無窮大；
（2）f(x)和g(x)都可導(dǎo)，且g(x)的導(dǎo)數(shù)不為0；
f?(x)limg?(x)存在（或是無窮大）（3）；
limf(x)f?(x)limmilg(x)也一定存在，g?(x)，且等于即
f(x)f?(x)limg(x)=g?(x)。則極限說明：定理5稱為洛比達法則，用該法則求極限時，應(yīng)注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛比達法則就不能應(yīng)用。特別要注意條件
0?（1）是否滿足，即驗證所求極限是否為“0”型或“?”型；條件（2）一般都滿足，而條件（3）則在求導(dǎo)完畢后可以知道是否滿足。另外，洛比達法則可以連續(xù)使用，但每次使用之前都需要注意條件。
利用洛比達法則求極限
說明：當(dāng)所求極限中的函數(shù)比較復(fù)雜時，也可能用到前面的重要極限、等價無窮小代換等方法。同時，洛比達法則還可以連續(xù)使用。
1?cosx2x?03x例12（例4）limsinx1?x?06x6。解：原式=（最后一步用到了重要極限）limcos?x例13 limx?12x?1 ??2sin?x解：原式=x?1例14 limx?0lim2???12。
x?sinxx3 lim1?cosxsinx1lim?2x?0x?06x6。3x解：原式==（連續(xù)用洛比達法則，最后用重要極限）
sinx?xcosx2例15 x?0xsinx lim解：
原式?limsinx?xcosxcosx?(cosx?xsinx)?limx?0x?0x2?x3x2xsinx1?lim?x?03x23先用等價無窮小，再用洛必達法則
11lim[?]x?0xln(1?x)例18
11lim[?]?0解：錯誤解法：原式=x?0xx。
正確解法： 原式?limln(1?x)?xln(1?x)?x?limx?0xln(1?x)x?xx?01?1x1?lim1?x?lim?。x?0x?02x2x(1?x)2
應(yīng)該注意，洛比達法則并不是總可以用，如下例。例19 limx??x?2sinx3x?cosx
1?2cosx0lim解：易見：該極限是“0”型，但用洛比達法則后得到：x??3?sinx，此極限
不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下：
2sinxxlimx??cosx3?x（分子、分母同時除以x）原式=1?
1=3（利用定理1和定理2）
6．連續(xù)性
定理6 一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點處都連續(xù)，即如果x0是函數(shù) f(x)的定義去間內(nèi)的一點，則有x?x0limf(x)?f(x0)。利用函數(shù)的連續(xù)性（定理6）求極限
例4 limx2ex?21x
12x解：因為x0?2是函數(shù)f(x)?xe的一個連續(xù)點，所以原式=2e?4e。
7．極限存在準(zhǔn)則
定理7（準(zhǔn)則1）單調(diào)有界數(shù)列必有極限。
四、利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限
首先常用數(shù)學(xué)歸納法討論數(shù)列的單調(diào)性和有界性，再求解方程可求出極限。例1.設(shè)a?0，x1?a,x2?a?a?a?x1,?,xn?1?a?xn(n?1,2,?)212
求極限n??
limxn。定理8（準(zhǔn)則2）已知{xn},{yn},{zn}為三個數(shù)列，且滿足：（1）yn?xn?zn,(n?1,2,3,?)（2）n??則極限
10.夾逼定理 limyn?an??，n??limzn?a
n??limxn一定存在，且極限值也是a，即
limxn?a。
利用極限存在準(zhǔn)則求極限 例20 已知x1?2,xn?1?2?xn,(n?1,2,?)，求n??limxn
limxnx{x}解：易證：數(shù)列n單調(diào)遞增，且有界（0 xn?1?2?xn兩邊求極限，10 得： a?2?a，解得：a?2或a??1（不合題意，舍去）所以n??limxn?2lim(1。 ?1n?2?1n2?12例21 n??n?1n2???12n?n 1???1n2?n?nn2?1)2解：易見：n?n?n2?2limnn?n2因為n???1limnn?112，n??n??2?1 1n?22lim(所以由準(zhǔn)則2得： n?1????1n?n2)?1。 9.洛必達法則與等價無窮小替換結(jié)合法 對于一些函數(shù)求極限問題，洛必達法則和等價無窮小結(jié)合運用，往往能化簡運算，收到奇效。 11.泰勒展開法 12.利用定積分的定義求極限法 積分本質(zhì)上是和式的極限，所以一些和式的極限問題可以轉(zhuǎn)化為求定積分的問題。 8.利用復(fù)合函數(shù)求極限 十、利用級數(shù)收斂的必要條件求極限 級數(shù)收斂的必要條件是：若級數(shù)些極限n??limf(n)?un?1?n收斂，則n??limun?0，故對某，可將函數(shù) f(n)作為級數(shù)n?1?f(n)?的一般項，只須證明此技術(shù)收斂，便有n??limf(n)?0。 n!例n??nn lim 十一、利用冪級數(shù)的和函數(shù)求極限 當(dāng)數(shù)列本身就是某個級數(shù)的部分和數(shù)列時，求該數(shù)列的極限就成了求相應(yīng)級數(shù)的和，此時?？梢暂o助性的構(gòu)造一個函數(shù)項級數(shù)（通常為冪級數(shù)，有時為Fourier級數(shù)）。使得要求的極限恰好是該函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)在某點的值。 例求n??lim(1?133?2???n?1)333 7等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對付數(shù)列極限）（q絕對值符號要小于1） 8各項的拆分相加（來消掉中間的大多數(shù)）（對付的還是數(shù)列極限）可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù) 9求左右求極限的方式（對付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時一樣的，應(yīng)為極限去掉有限項目極限值不變化還有個方法，非常方便的方法 就是當(dāng)趨近于無窮大時候 不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的?。。。。。。。?/p> x的x次方快于 x！快于 指數(shù)函數(shù) 快于 冪數(shù)函數(shù) 快于 對數(shù)函數(shù)（畫圖也能看出速率的快慢）?。?！當(dāng)x趨近無窮的時候 他們的比值的極限一眼就能看出來了 換元法 是一種技巧，不會對模一道題目而言就只需要換元，但是換元會夾雜其中 16直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時候，在分子上f（x加減麼個值）加減f（x）的形式，看見了有特別注意） 讀書的好處 1、行萬里路，讀萬卷書。 2、書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟。 3、讀書破萬卷，下筆如有神。 4、我所學(xué)到的任何有價值的知識都是由自學(xué)中得來的?！_爾文 5、少壯不努力，老大徒悲傷。 6、黑發(fā)不知勤學(xué)早，白首方悔讀書遲。——顏真卿 7、寶劍鋒從磨礪出，梅花香自苦寒來。 8、讀書要三到：心到、眼到、口到 9、玉不琢、不成器，人不學(xué)、不知義。 10、一日無書，百事荒廢?！悏?/p> 11、書是人類進步的階梯。 12、一日不讀口生，一日不寫手生。 13、我撲在書上，就像饑餓的人撲在面包上?！郀柣?/p> 14、書到用時方恨少、事非經(jīng)過不知難?！懹?/p> 15、讀一本好書，就如同和一個高尚的人在交談——歌德 16、讀一切好書，就是和許多高尚的人談話。——笛卡兒 17、學(xué)習(xí)永遠不晚?！郀柣?/p> 18、少而好學(xué)，如日出之陽；壯而好學(xué)，如日中之光；志而好學(xué)，如炳燭之光。——劉向 19、學(xué)而不思則惘，思而不學(xué)則殆?！鬃?/p> 20、讀書給人以快樂、給人以光彩、給人以才干?！喔?/p> 首先說下我的感覺，假如高等數(shù)學(xué)是棵樹木得話，那么 極限就是他的根，函數(shù)就是他的皮。樹沒有跟，活不下去，沒有皮，只能枯萎，可見這一章的重要性。 為什么第一章如此重要？各個章節(jié)本質(zhì)上都是極限，是以函數(shù)的形式表現(xiàn)出來的，所以也具有函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)的性質(zhì)表現(xiàn)在各個方面 首先對極限的總結(jié)如下 極限的保號性很重要就是說在一定區(qū)間內(nèi)函數(shù)的正負與極限一致 1極限分為一般極限，還有個數(shù)列極限，（區(qū)別在于數(shù)列極限時發(fā)散的，是一般極限的一種） 2解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了?。?！你還能有補充么？？？）1 等價無窮小的轉(zhuǎn)化，（只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等價于Ax等等。全部熟記 （x趨近無窮的時候還原成無窮?。?/p> 2落筆他 法則（大題目有時候會有暗示要你使用這個方法） 首先他的使用有嚴格的使用前提！??！ 必須是X趨近而不是N趨近！?。。。ㄋ悦鎸?shù)列極限時候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件 （還有一點數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無窮的不可能是負無窮?。?/p> 必須是 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在?。。。。偃绺嬖V你g（x）,沒告訴你是否可導(dǎo)，直接用無疑于找死?。?/p> 必須是0比0無窮大比無窮大?。。。?！ 當(dāng)然還要注意分母不能為0 落筆他 法則分為3中情況0比0無窮比無窮時候直接用 20乘以無窮無窮減去無窮（應(yīng)為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關(guān)系）所以 無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項之后這樣就能變成1中的形式了 30的0次方1的無窮次方 無窮的0次方 對于（指數(shù)冪數(shù)）方程 方法主要是取指數(shù)還取對數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時候他的冪移下來趨近于0當(dāng)他的冪移下來趨近于無窮的時候LNX趨近于0） 3泰勒公式(含有e的x次方的時候，尤其是含有正余旋的加減的時候要 特變注意！?。?/p> E的x展開sina展開cos展開ln1+x展開 對題目簡化有很好幫助 4面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法 取大頭原則最大項除分子分母！?。。。。?/p> 看上去復(fù)雜處理很簡單?。。。?！ 5無窮小于有界函數(shù)的處理辦法 面對復(fù)雜函數(shù)時候，尤其是正余旋的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時候，一定要注意這個方法。 面對非常復(fù)雜的函數(shù) 可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來了??！ 6夾逼定理（主要對付的是數(shù)列極限?。?/p> 這個主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴大。 7等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對付數(shù)列極限）（q絕對值符號要小于1） 8各項的拆分相加（來消掉中間的大多數(shù)）（對付的還是數(shù)列極限） 可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù) 9求左右求極限的方式（對付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時一樣的，應(yīng)為極限去掉有限項目極限值不變化2 個重要極限的應(yīng)用。這兩個很重要?。。Φ谝粋€而言是X趨近0時候的sinx與x比值。地2個就如果x趨近無窮大 無窮小都有對有對應(yīng)的形式 （地2個實際上是 用于函數(shù)是1的無窮的形式）（當(dāng)?shù)讛?shù)是1 的時候要特別注意可能是用地2 個重要極限）還有個方法，非常方便的方法 就是當(dāng)趨近于無窮大時候 不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的?。。。。。。?！ x的x次方 快于x！快于指數(shù)函數(shù)快于冪數(shù)函數(shù)快于對數(shù)函數(shù)（畫圖也能看出速率的快慢）?。?！ 當(dāng)x趨近無窮的時候他們的比值的極限一眼就能看出來了換元法是一種技巧，不會對模一道題目而言就只需要換元，但是換元會夾雜其中 13假如要算的話四則運算法則也算一種方法，當(dāng)然也是夾雜其中的14還有對付數(shù)列極限的一種方法，就是當(dāng)你面對題目實在是沒有辦法走投無路的時候可以考慮 轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。 15單調(diào)有界的性質(zhì) 對付遞推數(shù)列時候使用證明單調(diào)性?。?！ 16直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時候，在分子上f（x加減麼個值）加減f（x）的形式，看見了有特別注意） （當(dāng)題目中告訴你F(0)=0時候f（0）導(dǎo)數(shù)=0的時候就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義?。。?/p> 一，求極限的方法橫向總結(jié)： 1帶根式的分式或簡單根式加減法求極限：1）根式相加減或只有分子帶根式：用平方差公式，湊平方（有分式又同時出現(xiàn)未知數(shù)的不同次冪：將未知數(shù)全部化到分子或分母的位置上） 2）分子分母都帶根式：將分母分子同時乘以不同的對應(yīng)分式湊成完全平方式（常用到 2分子分母都是有界變量與無窮大量加和求極限：分子與分母同時除以該無窮大量湊出無窮小量與有界變量的乘積結(jié)果還是無窮小量。 3等差數(shù)列與等比數(shù)列和求極限：用求和公式。 4分母是乘積分子是相同常數(shù)的n項的和求極限：列項求和 5分子分母都是未知數(shù)的不同次冪求極限：看未知數(shù)的冪數(shù)，分子大為無窮大，分子小為無窮小或須先通分。 6運用重要極限求極限（基本）。 7乘除法中用等價無窮小量求極限。 8函數(shù)在一點處連續(xù)時，函數(shù)的極限等于極限的函數(shù)。 9常數(shù)比0型求極限：先求倒數(shù)的極限。 10根號套根號型：約分，注意別約錯了。 11三角函數(shù)的加減求極限：用三角函數(shù)公式，將sin化cos 二，求極限的方法縱向總結(jié)： 1未知數(shù)趨近于一個常數(shù)求極限：分子分母湊出（x-常數(shù)）的形式，然后約分（因為x不等于該常數(shù)所以可以約分）最后將該常數(shù)帶入其他式子。 2未知數(shù)趨近于0或無窮：1）將x放在相同的位置 2）用無窮小量與有界變量的乘積 3）2個重要極限 4）分式解法（上述） 首先 對 極限的總結(jié) 如下 極限的保號性很重要 就是說在一定區(qū)間內(nèi) 函數(shù)的正負與極限一致極限分為 一般極限，還有個數(shù)列極限，（區(qū)別在于數(shù)列極限時發(fā)散的，是一般極限的一種） 2解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了！?。∧氵€能有補充么？？？）等價無窮小的轉(zhuǎn)化，（只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用 但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等價于Ax 等等。全部熟記 （x趨近無窮的時候還原成無窮?。?/p> 2落筆他 法則（大題目有時候會有暗示 要你使用這個方法） 首先他的使用有嚴格的使用前提！??！ 必須是 X趨近而不是N趨近！?。。。ㄋ悦鎸?shù)列極限時候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件 （還有一點 數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無窮的 不可能是負無窮！） 必須是 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在！?。。。偃绺嬖V你g（x）, 沒告訴你是否可導(dǎo)，直接用無疑于找死?。?/p> 必須是 0比0 無窮大比無窮大?。。。?！ 當(dāng)然還要注意分母不能為0 落筆他 法則分為3中情況0比0 無窮比無窮 時候 直接用0乘以無窮 無窮減去無窮（應(yīng)為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關(guān)系）所以 無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項之后 這樣就能變成1中的形式了0的0次方 1的無窮次方 無窮的0次方 對于（指數(shù)冪數(shù)）方程 方法主要是取指數(shù)還取對數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時候他的冪移下來趨近于0 當(dāng)他的冪移下來趨近于無窮的時候 LNX趨近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的時候，尤其是含有正余旋 的加減的時候要 特變注意?。。〦的x展開 sina 展開 cos 展開 ln1+x展開 對題目簡化有很好幫助 4面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法 取大頭原則 最大項除分子分母?。。。。。?/p> 看上去復(fù)雜處理很簡單?。。。?！ 5無窮小于有界函數(shù)的處理辦法 面對復(fù)雜函數(shù)時候，尤其是正余旋的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時候，一定要注意這個方法。 面對非常復(fù)雜的函數(shù) 可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來了！！ 6夾逼定理（主要對付的是數(shù)列極限?。?/p> 這個主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴大。 7等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對付數(shù)列極限）（q絕對值符號要小于1） 8各項的拆分相加（來消掉中間的大多數(shù)）（對付的還是數(shù)列極限） 可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù) 9求左右求極限的方式（對付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時一樣的，應(yīng)為極限去掉有限項目極限值不變化 10 2 個重要極限的應(yīng)用。這兩個很重要?。。Φ谝粋€而言是X趨近0時候的sinx與x 比值。地2個就如果x趨近無窮大 無窮小都有對有對應(yīng)的形式 （地2個實際上是 用于 函數(shù)是1的無窮的形式）（當(dāng)?shù)讛?shù)是1 的時候要特別注意可能是用地2 個重要極限）還有個方法，非常方便的方法 就是當(dāng)趨近于無窮大時候 不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的！?。。。。。?！ x的x次方 快于 x！快于 指數(shù)函數(shù) 快于 冪數(shù)函數(shù) 快于 對數(shù)函數(shù)（畫圖也能看出速率的快慢）?。?！ 當(dāng)x趨近無窮的時候 他們的比值的極限一眼就能看出來了換元法 是一種技巧，不會對模一道題目而言就只需要換元，但是換元會夾雜其中13假如要算的話 四則運算法則也算一種方法，當(dāng)然也是夾雜其中的14還有對付數(shù)列極限的一種方法，就是當(dāng)你面對題目實在是沒有辦法 走投無路的時候可以考慮 轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。 15單調(diào)有界的性質(zhì) 對付遞推數(shù)列時候使用 證明單調(diào)性?。?！ 16直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時候，在分子上f（x加減麼個值）加減f（x）的形式，看見了有特別注意） （當(dāng)題目中告訴你F(0)=0時候 f（0）導(dǎo)數(shù)=0的時候 就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義！?。?/p> (0) 回復(fù) 1樓2014-03-19 20:22舉報 |來自Android客戶端 張806788364 舉人5 函數(shù)的性質(zhì)也體現(xiàn)在積分 微分中 例如他的奇偶性質(zhì) 他的周期性。還有復(fù)合函數(shù)的性質(zhì) 1奇偶性，奇函數(shù)關(guān)于原點對稱 偶函數(shù)關(guān)于軸對稱 偶函數(shù)左右2邊的圖形一樣（奇函數(shù)相加為0） 2周期性也可用在導(dǎo)數(shù)中 在定積分中也有應(yīng)用 定積分中的函數(shù)是周期函數(shù) 積分的周期和他的一致復(fù)合函數(shù)之間是 自變量與應(yīng)變量互換 的 關(guān)系 4還有個單調(diào)性。(再求0點的時候可能用到這個性質(zhì)?。?/p> （可以導(dǎo)的函數(shù)的單調(diào)性和他的導(dǎo)數(shù)正負相關(guān)） :o 再就是總結(jié)一下間斷點的問題（應(yīng)為一般函數(shù)都是連續(xù)的 所以 間斷點 是對于間斷函數(shù)而言的） 間斷點分為第一類 和第二類剪斷點第一類是左右極限都存在的（左右極限存在但是不等 跳躍的的間斷點 或者 左右極限存在相等但是不等于函數(shù)在這點的值 可取的間斷點 地二類 間斷點是 震蕩間斷點 或者是 無窮極端點 （這也說明極限即是 不存在也有可能是有界的） :o 下面總結(jié)一下 求極限的一般題型求分段函數(shù)的極限 當(dāng)函數(shù)含有絕對值符號時，就很有可能是有分情況討論的了！?。。?/p> 當(dāng)X趨近無窮時候 存在e的x次方的時候，就要分情況討論 應(yīng)為 E的x次方的函數(shù)正負無窮的結(jié)果是不一樣的?。。。O限中含有變上下限的積分 如何解決類？？？？ 說白了 就是說 函數(shù)中現(xiàn)在含有積分符號，這么個符號在極限中太麻煩了 你要想辦法把它搞掉?。。。。。。。?/p> 解決辦法 ： 1求導(dǎo)，邊上下限積分求導(dǎo)，當(dāng)然就能得到結(jié)果了 這不是很容易么？ 但是?。?！有2個問題要注意?。?/p> 問題1 積分函數(shù)能否求導(dǎo)？ 題目沒說積分可以導(dǎo)的話，直接求導(dǎo)的話是錯誤的?。栴}2 被積分函數(shù)中 既含有T又含有x的情況下如何解決？？？？？？ 解決1的方法： 就是方法2 微分中值定理?。。。?！ 微分中值定理是函數(shù)與積分的聯(lián)系！更重要的是他能去掉積分符號?。?！ 解決2的方法 ： 當(dāng)x與t的函數(shù)是相互乘的關(guān)系的話，把x看做常數(shù)提出來，再求導(dǎo)數(shù)?。?！ 求函數(shù)極限方法的若干方法 摘要： 關(guān)鍵詞： 1引言：極限的重要性 極限是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)分析中的基本概念來表述，都可以用極限來描述。如函數(shù)y=f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)的定義，定積分的定義，偏導(dǎo)數(shù)的定義，二重積分，三重積分的定義，無窮級數(shù)收斂的定義，都是用極限來定義的。極限是研究數(shù)學(xué)分析的基本公具。極限是貫穿數(shù)學(xué)分析的一條主線。學(xué)好極限是從以下兩方面著手。1：是考察所給函數(shù)是否存在極限。2：若函數(shù)否存在極限，則考慮如何計算此極限。本文主要是對第二個問題即在極限存在的條件下，如何去求極限進行綜述。 2極限的概念及性質(zhì)2.1極限的概念 2.1.1limn→∞ xn=A,任意的正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時就有 xn?A <。 2.1.2limx→∞f x =A??ε>0，任意整數(shù)X，使得當(dāng) x >時就有 f x ?A <。類似可以定義單側(cè)極限limx→+∞f x =A與limx→?∞f(x)。2.2.3類似可定義當(dāng)，整數(shù)，使得當(dāng) 時有 。，時右極限與左極限：。在此處鍵入公式。 2.2極限的性質(zhì) 2.2.1極限的不等式性質(zhì)：設(shè)若若，則，使得當(dāng)，當(dāng) 時有 。時有時有，則 ； 。，則 與，使得當(dāng) 在的某空心鄰 時，時有，則。 。 2.2.1（推論）極限的保號性：設(shè)若若,則，使得當(dāng)，當(dāng)2.2.2存在極限的函數(shù)局部有界性：設(shè)存在極限域有 內(nèi)有界，即3求極限的方法 1、定義法 2、利用極限的四則運算性質(zhì)求極限，3、利用夾逼性定理求極限 4、利用兩個重要極限求極限，5、利用迫斂性求極限，6、利用洛必達法則求極限，7、利用定積分求極限，8、利用無窮小量的性質(zhì)和無窮小量和無窮大量之間的關(guān)系求極限 9、利用變量替換求極限，10、利用遞推公式求極限，11、利用等價無窮小量代換求極限,12、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限，13、利用泰勒展開式求極限，14、利用兩個準(zhǔn)則求極限 15、利用級數(shù)收斂的必要條件求極限 16、利用單側(cè)極限求極限 17、利用中值定理求極限 3.1定義法 利用數(shù)列極限的定義求出數(shù)列的極限.設(shè)的,總存在一個正整數(shù) .，當(dāng) 是一個數(shù)列,是實數(shù),如果對任意給定,我們就稱是數(shù)列 時,都有的極限.記為例1 證明 證 任給，取，則當(dāng)時有 ，所以。 3.2利用極限的四則運算性質(zhì)求極限 設(shè)，，則 。，例1求解 這是求 型極限，用相消法，分子、分母同除以 得。，其中3.3利用夾逼性定理求極限 當(dāng)極限不易直接求出時, 可考慮將求極限的變量作適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小, 使放大與縮小所得的新變量易于求極限, 且二者的極限值相同, 則原極限存在,且等于公共值。特別是當(dāng)在連加或連乘的極限里,可通過各項或各因子的放大與縮小來獲得所需的不等式。3.3.1（數(shù)列情形）若則。，使得當(dāng)時有，且，3.3.2（函數(shù)情形）若，則，使得當(dāng)。 時有，又 例題 解 ：，其中，因此。 3.4利用兩個重要極限球極限 兩個重要極限是，或。 第一個重要極限可通過等價無窮小來實現(xiàn)。利用這兩個重要極限來求函數(shù)的極限時要觀察所給的函數(shù)形式，只有形式符合或經(jīng)過變化符合這兩個重要極限的形式時，才能夠運用此方法來求極限。一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。例題1解：令t=故 例題23.5利用迫斂性求極限 ,且在某個。 內(nèi)有,那么 .則sinx=sin（t)=sint, 且當(dāng) 時 例 求的極限 解：因為.且 由迫斂性知 所以 3.6利用洛必達法則求極限 假設(shè)當(dāng)自變量和趨近于某一定值（或無窮大）時，函數(shù) 和 和 滿足：的導(dǎo)數(shù)不為0的極限都是或都是無窮大都可導(dǎo)，并且存在（或無窮大），則極限也必存在，且等于，即=。利用洛必達法則求極限，可連續(xù)進行運算，可簡化一些較復(fù)雜的函數(shù)求極限的過程，但是運用時需注意條件。 例題 求 解 原式=注：運用洛比達法則應(yīng)注意以下幾點： 1、要注意條件，也就是說，在沒有化為或時不可求導(dǎo)。 2、應(yīng)用洛必達法則，要分別求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個分式的導(dǎo)數(shù)。 3、要及時化簡極限符號后面的分式，在化簡以后檢查是否還是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用洛必達法則，否則會錯誤。 3.7利用定積分求極限 利用定積分求和式的極限時首先選好恰當(dāng)?shù)目煞e函數(shù)f(x)。把所求極限的和式表示成f(x)在某區(qū)間 例 上的待定分法（一般是等分）的積分和式的極限。 解 原式=，由定積分的定義可知。 3.8利用無窮小量的性質(zhì)和無窮小量和無窮大量之間的關(guān)系求極限 利用無窮小量乘有界變量仍是無窮小量,這一方法在求極限時常用到。在求函數(shù)極限過程中,如果此函數(shù)是某個無窮小量與所有其他量相乘或相除時, 這個無窮小量可用它的等價無窮小量來代替,從而使計算簡單化。例 解 注意時。 3.9利用變量替換求極限 為將未知的極限化簡，或轉(zhuǎn)化為已知的極限，可以根據(jù)極限式特點，適當(dāng)?shù)囊胄伦兞?，來替換原有變量，使原來的極限過程轉(zhuǎn)化為新的極限過程。最常用的方法就是等價無窮小的代換。 例 已知證 令 試證 則時，于是 當(dāng)時），故時第二、三項趨于零，現(xiàn)在證明第四項極限也為零。因有界，即，使得 。所以 （當(dāng) 原式得證。 3.10利用遞推公式求極限 用遞推公式計算或者證明序列的極限，也是一常見的方法，我們需要首先驗證極限的存在性。在極限存在前提下，根據(jù)極限唯一性，解出我們所需要的結(jié)果，但是驗證極限的存在形式是比較困難的，需要利用有關(guān)的不等式或?qū)崝?shù)的一些性質(zhì)來解決。 例 設(shè)，對，定義 且 。證明 時，解 對推出遞推公式解得,，因為，因此，序列 中可以得出 是單調(diào)遞增且有界的，它的極限，設(shè)為，從，即。 3.11利用等價無窮小量代換求極限 所謂的無窮小量即，例如 求極限 解 本題屬于有 型極限，利用等價無窮小因子替換 = =,，稱 與 是 時的無窮小量，記作 注：可以看出，想利用此方法求函數(shù)的極限必須熟練掌握一些常用的 等價無窮小量，如：由于，故有又由于故有。 另注：在利用等價無窮小代換求極限時，應(yīng)注意：只有對所求極限中相乘或相除的因式才能利用等價無窮小量來代換，而對極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換。 小結(jié):在求解極限的時候要特別要注意無窮小等價代換,無窮小等價代換可以很好的簡化解題。 3.12利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 在若處連續(xù)，那么且 在點連續(xù)，則。 例 求的極限 解：由于 及函數(shù)在處連續(xù)，故 3.13利用泰勒展開式求極限 列舉下 例題 3.14利用兩個準(zhǔn)則求極限 3.14.1函數(shù)極限迫斂性（夾逼準(zhǔn)則）：若一個正整數(shù)，并且例題 3.14.2單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限，并且極限唯一。,當(dāng)時，則 則。 利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限，關(guān)鍵是要證明數(shù)列的存在，然后根據(jù)數(shù)列的通項遞推公式求極限。例題 3.15利用級數(shù)收斂的必要條件求極限 利用級數(shù)收斂的必要條件：若級數(shù)收斂，則，首先判定級數(shù)收斂，然后求出它的通項的極限。例題 3.16利用單側(cè)極限求極限 1）求含的函數(shù) 趨向無窮的極限，或求含的函數(shù) 趨于的極限;2）求含取整函數(shù)的函數(shù)極限;3）分段函數(shù)在分段點處的極限;4）含偶次方根的函數(shù)以及 或的函數(shù)，趨向無窮的極限.這種方法還能使用于求分段函數(shù)在分段點處的極限，首先必須考慮分段點的左，右極限，如果左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在分界點處的極限存在，否則極限不存在。例題 3.17利用中值定理求極限 3.17.1微分中值定理： 3.17.2積分中值定理 求極限的方法小結(jié) 要了解極限首先看看的定義哦 A.某點處的極限與該點處有無定義和連續(xù)無關(guān)，但在該點周圍(數(shù)列除外）的必 某點處的極限與該點處有無定義和連續(xù)無關(guān)，某點處的極限與該點處有無定義和連續(xù)無關(guān) 但在該點周圍(數(shù)列除外）須連續(xù) B.了解左右極限的定義 了解左右極限的定義 C.極限的四則和乘方運算 D.區(qū)別數(shù)列極限與函數(shù)極限的不同之處 D.區(qū)別數(shù)列極限與函數(shù)極限的不同之處 E.注意自變量在趨近值的微小范圍內(nèi) 注意自變量在趨近值的微小范圍內(nèi)，E.注意自變量在趨近值的微小范圍內(nèi)，可以利用它同 B 一起去絕對值 1、代入法——在極限點處利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 ——在極限點處利用函數(shù)的連續(xù)性求極限、代入法—— Lim(x+1)=2(x->1)2.約分法——分解因式 Lim(x2-1)/(x-1)=2(x->1)約分法—— ——分解因式 這只是最簡單的約分法，同時還有分母，分子有理化。通分后在用約分法）（這只是最簡單的約分法，同時還有分母，分子有理化。通分后在用約分法）3.利用圖象——反比例函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)。。。利用圖象——反比例函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)。。?！幢壤瘮?shù) Lim1/x=0(x->∞),limax=0(1 4、比值法、Lima n/n!(n->∞,a>0)因為（因為（a n+1 /（n+1）!）/（a n/n!）=a/(n+1)(n->∞,a>0)（）））n+1 n 所以 0<（a /（n+1）!）/（a /n!）=a/(n+1)<1 所以 Lima n/n!=0（（）））n 2(求 limn /n!=_(n->∞)求 5、極限與導(dǎo)數(shù) —— 利用導(dǎo)數(shù)的定義 Lim(e x-1)/x=（ex）、（x=0）=1(x->0)——利用導(dǎo)數(shù)的定義、極限與導(dǎo)數(shù)——（）6.有界函數(shù)與無窮小的積仍為無窮小 Limsinx/x=0(x->-∞)7.利用等價無窮小 X~sinx~tanx~arctanx ~ e x-1~ln(x+1),1-cosx~1/2*x 2 ,(1+ax)b-1~abx, a x-1~xlna< x->0> Limtan 2 x/(1-cosx)=2(x->0)（在利用無窮小時注意它不是充分必要的即應(yīng)用無窮小轉(zhuǎn)化后若極限不存 不能得到原極限不存在）在，不能得到原極限不存在）8.利用重要極限 利用重要極限____lim(1+x)1/x=e(1 ∞)利用重要極限 Lim(1+sin2x)x2=elim sin2x/x2(解釋 sin2x/x2)=e(中間的配湊略 中間的配湊略)解釋 中間的配湊略 1/f(x)limg(x)/f(x)Lim(1+g(x))=e(g(x),f(x)都是無窮小 都是無窮小)都是無窮小 ∞(1 是很重要的一個極限，它可以用取對數(shù)法，還有就是上面的 取對數(shù)法是冪指 是很重要的一個極限，它可以用取對數(shù)法，還有就是上面的.取對數(shù)法是冪指 函數(shù)的通法，時上述方法就顯得更簡單了恩）函數(shù)的通法，當(dāng)看見 1∞時上述方法就顯得更簡單了恩）9.利用洛比達法則 可轉(zhuǎn)化 為 0/0, ∞/∞型)利用洛比達法則(可轉(zhuǎn)化為 Lim=x/sinx(x->0)利用洛比達法則 型 洛比達法則哈只需稍微的轉(zhuǎn)化哈。（對于未定式都可用 洛比達法則哈只需稍微的轉(zhuǎn)化哈。同時它同 7 一樣都不是 充要的哦)充要的哦)10.利用泰勒公式 利用泰勒公式 Lim(sinx-xcosx)/sinx 3(x->0)=lim(x-x 3 /3!+o(x 3)-x+x 2 /2!-0(x 3))/x 3 =lim(x 3 /3+o(x 3))/ x 3 =1/3(在極限中很少用，但可以解決一些特殊的高數(shù)上有哈）在極限中很少用，在極限中很少用 但可以解決一些特殊的高數(shù)上有哈）11.極限與積分 ___就是利用積分的定義 極限與積分 就是利用積分的定義 _______第二篇：求極限方法
第三篇：求極限總結(jié)
第四篇：求函數(shù)極限方法的若干方法
第五篇：求極限的方法小結(jié)
解:
=
12.利用柯西準(zhǔn)則來求！12.利用柯西準(zhǔn)則來求！利用柯西準(zhǔn)則來求 柯西準(zhǔn)則： 要使{xn} {xn}有極限的充要條件使任給 ε>0,存在自然數(shù) 柯西準(zhǔn)則 ： 要使 {xn} 有極限的充要條件使任給 ε>0, 存在自然數(shù) N，使 得當(dāng) n>N 時，對于 |xn任意的自然數(shù) m 有 |xn1)/(x^1/n-1)：＝n/m.可令 x=y^mn 得 ：＝ n/m.14.利用單調(diào)有界必有極限來求 14.利用單調(diào)有界必有極限來求 證明： x1＝。。。）存在極限 存在極限，證明：數(shù)列 x1＝2^0.5 ,x(n+1)=(2+xn)^0.5(n=1,2,。。。）存在極限，并求出極限值 x1=√2＜2,設(shè) xn＜2,則 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜ 由歸納法 x1=√2＜2,設(shè) xn＜2,則 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞ 2,xn 有 界.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞√xn*√xn=xn,∴xn 有 界,∴xn 有極限 a,在 x(n+1)=(2+xn)^0.5 兩邊取極限 a,在 :a∧2-2=0,a=2,(a=得:a∧2-a-2=0,a=2,(a=-1 舍).15.利用夾逼準(zhǔn)則求極限 15.利用夾逼準(zhǔn)則求極限 16.求數(shù)列極限時 可以先算出其極限值，然后再證明。求數(shù)列極限時，16.求數(shù)列極限時，可以先算出其極限值，然后再證明。17.利用級數(shù)收斂的必要條件求極限 17.利用級數(shù)收斂的必要條件求極限 18.利用冪級數(shù)的和函數(shù)求極限 18.利用冪級數(shù)的和函數(shù)求極限
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