第一篇：用向量法證明正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)（推薦）

用向量法證明正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)目標(biāo)

1、知識與技能：掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運(yùn)用正弦定理解決一

些簡單的三角形度量問題。

2、過程與方法：讓學(xué)生通過向量方法證明正弦定理，了解知識之間的聯(lián)系，讓學(xué)生在應(yīng)用定理解決問題的過程中更深入地理解定理及其作用。

3、情感、態(tài)度與價值觀：通過正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明過程體驗(yàn)數(shù)學(xué)的探索

性與創(chuàng)造性，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅。

二、教學(xué)重難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：正弦定理的向量證明過程并運(yùn)用正弦定理解決一些簡單的三角形度量問

題。

難點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)并證明過程以及已知兩邊以及其中一邊的對角解三角形

時解的個數(shù)的判斷。

三、教學(xué)過程

1.借助Rt△ABC，中找出邊角關(guān)系。

在Rt?ABC中，設(shè)BC=a, AC=b, AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有sin A=,sinB=,sinC=, 則在這三個式子中，能得到c===從而在直角三角

abc形ABC中，??C sinsinsin2.那么在任意三角形中這個結(jié)論是否成立？通過向量進(jìn)行證明。

過點(diǎn)A作單位向量j?AC，由向量的加法可得AB?AC?CB

??????????????

則 j?AB?j?(AC?CB)

????????????????∴j?AB?j?AC?j?CB????????????????

??????????jABcos?900?A??0?jCBcos?900?C?

ac?∴csinA?asinC，即bc??????n同理，過點(diǎn)C作j?BC，可得從而

a

siAn?b?sBinsin c

從上面的研探過程，可得以下定理

3.正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

abc??sinAsinBsinC

4.總結(jié)正弦定理適用范圍

范圍a：已知三角形的兩邊及其中一邊的對角，求另外一邊的對角

范圍b：已知三角形兩角一邊求出另外一邊

5.定理變形：

a:b:c=sinA:sinB:sinC

6.例題講解

例1：在△ABC中，已知A=32.0°，B=81.8°，a=42.9cm，解三角形。

評述：此類問題結(jié)果為唯一解，學(xué)生較易掌握，先利用內(nèi)角和180°求出

第三角，再利用正弦定理.7.能力提升

例2：在△ABC中，°，a=2,求b,B,C。

評述：此類問題結(jié)果為多解，學(xué)生容易產(chǎn)生漏解的情況，在此題的解題過程

中，讓學(xué)生自主練習(xí)，然后在課堂上討論，通過相互交流，總結(jié)出存在多解的情況，應(yīng)與大邊對大角結(jié)合分情況討論，培養(yǎng)學(xué)生分類討論的思想。

8.課堂總結(jié)

總結(jié)本堂課的內(nèi)容：正弦定理、正弦定理適用范圍、正弦定理應(yīng)該注意的問題

9.課后作業(yè)

（1）在?ABC中，已知角

?B?45?，c?22,b???43，則角A的值是 ??A.15B.75C.105D.75或15

（2）在△ABC中,若A?30?,B?60?,則a:b:c?

?B?60，b?76,a?14，則A=?ABC（3）在中，若

?a?,b?2,B?45?ABC（4）在中，已知，解三角形。

第二篇：向量法證明正弦定理

向量法證明正弦定理

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎Φ膱A周角是直角,所以∠DAB=90度

因?yàn)橥∷鶎Φ膱A周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

2如圖1，△ABC為銳角三角形，過點(diǎn)A作單位向量j垂直于向量AC，則j與向量AB的夾角為90°-A，j與向量CB的夾角為90°-C

由圖1，AC+CB=AB(向量符號打不出)

在向量等式兩邊同乘向量j,得·

j·AC+CB=j·AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，過點(diǎn)C作與向量CB垂直的單位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

2步驟

1記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎Φ膱A周角是直角,所以∠DAB=90度

因?yàn)橥∷鶎Φ膱A周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式。

3用向量叉乘表示面積則s=CB叉乘CA=AC叉乘AB

=>absinC=bcsinA(這部可以直接出來哈哈，不過為了符合向量的做法)

=>a/sinA=c/sinC

2011-7-1817:16jinren92|三級

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,接著得到正弦定理其他步驟2.在銳角△ABC中，證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,4過三角形ABC的頂點(diǎn)A作BC邊上的高，垂足為D.(1)當(dāng)D落在邊BC上時，向量AB與向量AD的夾角為90°-B，向量AC與向量AD的夾角為90°-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有數(shù)量積的幾何意義可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的絕對值*向量AD的絕對值*COS(90°-B)=向量的AC絕對值*向量AD的絕對值*cos(90°-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)當(dāng)D落在BC的延長線上時，同樣可以證得

第三篇：用向量證明正弦定理

用向量證明正弦定理

如圖1，△ABC為銳角三角形，過點(diǎn)A作單位向量j垂直于向量AC，則j與向量AB的夾角為90°-A，j與向量CB的夾角為90°-C

由圖1，AC+CB=AB(向量符號打不出)

在向量等式兩邊同乘向量j,得·

j·AC+CB=j·AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，過點(diǎn)C作與向量CB垂直的單位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

2步驟

1記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎Φ膱A周角是直角,所以∠DAB=90度

因?yàn)橥∷鶎Φ膱A周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式。

3用向量叉乘表示面積則s=CB叉乘CA=AC叉乘AB

=>absinC=bcsinA(這部可以直接出來哈哈，不過為了符合向量的做法)

=>a/sinA=c/sinC

2011-7-1817:16jinren92|三級

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,接著得到正弦定理其他步驟2.在銳角△ABC中，證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,4過三角形ABC的頂點(diǎn)A作BC邊上的高，垂足為D.(1)當(dāng)D落在邊BC上時，向量AB與向量AD的夾角為90°-B，向量AC與向量AD的夾角為90°-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有數(shù)量積的幾何意義可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的絕對值*向量AD的絕對值*COS(90°-B)=向量的AC絕對值*向量AD的絕對值*cos(90°-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)當(dāng)D落在BC的延長線上時，同樣可以證得

第四篇：向量法證明正弦定理[最終版]

向量法證明正弦定理證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎Φ膱A周角是直角,所以∠DAB=90度 因?yàn)橥∷鶎Φ膱A周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 2 如圖1，△ABC為銳角三角形，過點(diǎn)A作單位向量j垂直于向量AC，則j與向量AB的夾角為90°-A，j與向量CB的夾角為90°-C 由圖1，AC+CB=AB(向量符號打不出)在向量等式兩邊同乘向量j,得· j·AC+CB=j·AB ∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)=│j││AB│cos(90°-A)∴asinC=csinA ∴a/sinA=c/sinC 同理，過點(diǎn)C作與向量CB垂直的單位向量j，可得 c/sinC=b/sinB ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC 2步驟1 記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c ∴a+b+c=0 則i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0 接著得到正弦定理 其他 步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC 步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎Φ膱A周角是直角,所以∠DAB=90度 因?yàn)橥∷鶎Φ膱A周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 類似可證其余兩個等式。

第五篇：向量證明正弦定理

向量證明正弦定理

表述：設(shè)三面角∠p-ABC的三個面角∠BpC，∠CpA，∠ApB所對的二面角依次為∠pA，∠pB，∠pC，則Sin∠pA/Sin∠BpC=Sin∠pB/Sin∠CpA=Sin∠pC/Sin∠ApB。

目錄

1證明2全向量證明

證明

過A做OA⊥平面BpC于O。過O分別做OM⊥Bp于M與ON⊥pC于N。連結(jié)AM、AN。顯然，∠pB=∠AMO，Sin∠pB=AO/AM;∠pC=∠ANO，Sin∠pC=AO/AN。另外，Sin∠CpA=AN/Ap，Sin∠ApB=AM/Ap。則Sin∠pB/Sin∠CpA=AO×Ap/(AM×AN)=Sin∠pC/Sin∠ApB。同理可證Sin∠pA/Sin∠BpC=Sin∠pB/Sin∠CpA。即可得證三面角正弦定理。

全向量證明

如圖1，△ABC為銳角三角形，過點(diǎn)A作單位向量j垂直于向量AC，則j與向量AB的夾角為90°-A，j與向量CB的夾角為90°-C

由圖1，AC+CB=AB(向量符號打不出)

在向量等式兩邊同乘向量j,得·

j·AC+CB=j·AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，過點(diǎn)C作與向量CB垂直的單位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

2步驟

1記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎Φ膱A周角是直角,所以∠DAB=90度

因?yàn)橥∷鶎Φ膱A周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式。

3用向量叉乘表示面積則s=CB叉乘CA=AC叉乘AB

=>absinC=bcsinA(這部可以直接出來哈哈，不過為了符合向量的做法)

=>a/sinA=c/sinC

2011-7-1817:16jinren92|三級

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,接著得到正弦定理其他步驟2.在銳角△ABC中，證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,4過三角形ABC的頂點(diǎn)A作BC邊上的高，垂足為D.(1)當(dāng)D落在邊BC上時，向量AB與向量AD的夾角為90°-B，向量AC與向量AD的夾角為90°-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有數(shù)量積的幾何意義可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的絕對值*向量AD的絕對值*COS(90°-B)=向量的AC絕對值*向量AD的絕對值*cos(90°-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)當(dāng)D落在BC的延長線上時，同樣可以證得