第一篇：推理證明測(cè)試題

《推理與證明測(cè)試題》

試卷滿分100分，考試時(shí)間105分鐘

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.1、下列表述正確的是（）.①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；③演繹推理是由一般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理；⑤類比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤.2、下面使用類比推理正確的是（）.A.“若a?3?b?3,則a?b”類推出“若a?0?b?0,則a?b”

B.“若(a?b)c?ac?bc”類推出“(a?b)c?ac?bc”

C.“若(a?b)c?ac?bc” 類推出“a?b

c?a

c?b

c（c≠0）”

nnnnnnD.“（ab）?ab” 類推出“（a?b）?a?b”

3、有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線

平面?，直線b∥平面?，則直線b∥直線a”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤b??平面?，直線a??的，這是因?yàn)椋ǎ?/p>

A.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤D.非以上錯(cuò)誤

4、用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí)，反設(shè)正確的是（）。

(A)假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度；(B)假設(shè)三內(nèi)角都大于60度；

(C)假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度；(D)假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度。

5、在十進(jìn)制中2004?4?10?0?10?0?10?2?10，那么在5進(jìn)制中數(shù)碼2004折合成十進(jìn)制為（）

A.29B.254C.602D.20046、利用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋a＋a＋?＋a

成立時(shí)，左邊應(yīng)該是（）

(A)1(B)1＋a(C)1＋a＋a2(D)1＋a＋a2＋a37、某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)n?k(k?N?)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)n?k?

1時(shí)命題也成立.現(xiàn)已知當(dāng)n?7時(shí)該命題不成立，那么可推得

A．當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立 C．當(dāng)n=8時(shí)該命題不成立（）2n＋10123=1?an?21?a，(a≠1，n∈N)”時(shí)，在驗(yàn)證n=1B．當(dāng)n=6時(shí)該命題成立 D．當(dāng)n=8時(shí)該命題成立

8、用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n?1)(n?2)?(n?n)?2n?1?2???(2n?1)”（n?N?）時(shí)，從 “n?k到n?k?1”時(shí)，左邊應(yīng)增添的式子是

9、已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1?

12?13?14???

1n?

1?2（1n?

2?

1n?

4???

12n)時(shí)，若已假設(shè)n?k(k?2為偶

D．

2k?2k?1

（）

A．2k?1 B．2(2k?1)C．

2k?1k?1

數(shù)）時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證

A．n?k?1時(shí)等式成立 C．n?2k?2時(shí)等式成立

（）

B．n?k?2時(shí)等式成立 D．n?2(k?2)時(shí)等式成立

10、數(shù)列?an?中，a1=1，Sn表示前n項(xiàng)和，且Sn，Sn+1，2S1成等差數(shù)列，通過(guò)計(jì)算S1，S2，S3，猜想當(dāng)n≥1時(shí)，Sn=（）

A．

2?1

2n?1n

B．

2?12

n?

1n

C．

n(n?1)2

n

D．1－

n?1

二、填空題：本大題共4小題，每小題3分，共12分.11、一同學(xué)在電腦中打出如下若干個(gè)圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?若將此若干個(gè)圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前120個(gè)圈中的●的個(gè)數(shù)是。

12、類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC互相垂直，則三角形三邊長(zhǎng)之間滿足關(guān)系：AB?AC

?BC。若三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩

兩互相垂直，則三棱錐的側(cè)面積與底面積之間滿足的關(guān)系為.13、從1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),?,推廣到第n個(gè)等式為_________________________.14、設(shè)平面內(nèi)有ｎ條直線(n?3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn)．若用f(n)表示這ｎ條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)=；

當(dāng)ｎ＞４時(shí)，f(n)＝（用含n的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示）。

三、解答題：本大題共6題，共58分。

15、（8分）求證：

(1)a2?b2?3?ab?a?b);(2)6+7>22+5。

16、設(shè)a，b，x，y∈R，且錯(cuò)誤！未找到引用源。（8分）

17、若a,b,c均為實(shí)數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。,錯(cuò)誤！未找到引用源。,錯(cuò)誤！未找到引用源。,求證：a，b，c中至少有一個(gè)大于0。（8分）

18、用數(shù)學(xué)歸納法證明：（Ⅰ）

（Ⅱ）1?

12?13?14???

12?

1n

1?

3?

3?

5???

n

(2n?1)(2n?1)

?

n(n?1)2(2n?1)

；（7分）

?n；（7分）

19、數(shù)學(xué)歸納法證明：錯(cuò)誤！未找到引用源。能被錯(cuò)誤！未找到引用源。整除,錯(cuò)誤！未找到引用源。.（8分）

20、已知數(shù)列{an}滿足Sn＋an＝2n＋1,(1)寫出a1, a2, a3,并推測(cè)an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論。

第四十一中學(xué)高二數(shù)學(xué)選修2-2《推理與證明測(cè)試題》答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.DCABBCABBB

二、填空題：本大題共4小題，每小題3分，共12分.11、1412、錯(cuò)誤！未找到引用源。

13、錯(cuò)誤！未找到引用源。

14、5；錯(cuò)誤！未找到引用源。

三、解答題：本大題共6題，共58分。

15、證明：（1）∵a2?b2?

2ab,a?3?, b?3?;

2將此三式相加得

2(a2?b2?3)?2ab??,∴a2?b2?3?ab?a?b).（2）要證原不等式成立，只需證（6+7）2>（22+5）2，即證242?240?！呱鲜斤@然成立,∴原不等式成立.16、可以用綜合法與分析法---略

17、可以用反證法---略

18、（1）可以用數(shù)學(xué)歸納法---略（2）當(dāng)n?k?1時(shí)，左邊?(1?

（1

2k

???

k

12?

1k)?（12

k

???

k?1

?1)?k?

?

k

???

k）?k?2?

k

?k?1=右邊，命題正確

2k項(xiàng)

19、可以用數(shù)學(xué)歸納法---略

20、解：(1)a1＝

158, a2＝

n, a3＝,猜測(cè) an＝2－

(2)①由（1）已得當(dāng)n＝1時(shí)，命題成立；

②假設(shè)n＝k時(shí),命題成立，即 ak＝2－

k,當(dāng)n＝k＋1時(shí), a1＋a2＋??＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,且a1＋a2＋??＋ak＝2k＋1－ak

∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,∴2ak＋1＝2＋2－

k,ak＋1＝2－

k?1,即當(dāng)n＝k＋1時(shí),命題成立.根據(jù)①②得n∈N+, an＝2－

n

都成立

第二篇：不等式、推理證明測(cè)試題

高三第五次月考數(shù)學(xué)（文）試題

命題人：王建設(shè)

一、選擇題（每題5分）1.不等式

x?

1?0的解集為（）2?x

A.{x|?1?x?2} B.{x|?1?x?2} C.{x|x??1或x?2} D.{x|x??1或x?2}

2、有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b??平面?，直線a?平面?，直線b∥平面?，則直線b∥直線a”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)椋ǎ?/p>

A.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤D.非以上錯(cuò)誤

3、下面幾種推理是類比推理的是（）A..兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果∠A和∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則∠A+∠B=1800

B.由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四邊形的性質(zhì)

C.某校高二級(jí)有20個(gè)班，1班有51位團(tuán)員，2班有53位團(tuán)員，3班有52位團(tuán)員，由此可以推測(cè)各班都超過(guò)50位團(tuán)員.D.一切偶數(shù)都能被2整除，2100

是偶數(shù)，所以2

能被2整除.4、用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：

②①

?

③

按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為（）

A．6n?2B．8n?

2C．6n?2D．8n?2

5.兩個(gè)球體積之和為12π，且這兩個(gè)球大圓周長(zhǎng)之和為6π，那么這兩球半徑之差是（）

A．B．1C．2D．

32?x?2y?

4?

6.在約束條件?x?y?1下，目標(biāo)函數(shù)z?3x?y（）

?x?2?0?

A.有最大值

3，最小值?3B.有最大值

5，最小值?3 C.有最大值5，最小值?9D.有最大值3，最小值?9 7.右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是………………………………………（）A．10πB．11πC．12πD．13?

238、在十進(jìn)制中2004?4?10?0?10?0?10?2?10，那么

俯視圖 正(主)視圖 側(cè)(左)視圖

在5進(jìn)制中數(shù)碼2004折合成十進(jìn)制為（）A.29B.254C.602D.2004 9.如果a?0且a?1，M?loga(a3?1),N?loga(a2?1)，則（）

A.M?NB.M?N C.M?ND.M,N的大小與a值有關(guān)

10.已知正數(shù)a,b滿足4a?b?30，則使得（）

1?取得最小值的有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)是ab

A.(5,10)B.(6,6)C.(7,2)D.(10,5)

11.如果一個(gè)水平放置的圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底面為450，腰和上底均為

1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是（）

A．2?2B．

1?22?

2C．D．1?2 22

12.半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐，則它的體積為（）

R3B．

R3C．

R3D．

R3248248

112,q?()x?2，其中a?2,x?R，則p,q的大小關(guān)系為（）a?22

A．

13.已知p?a?

A.p?qB.p?qCp?q.D.p?q 14.若實(shí)數(shù)x,y滿足

??1，則x2?2y2有（）22xy

A.最大值3?22B.最小值3?22C.最小值6D.最小值615.函數(shù)f(x)?

x的最大值為（）x?1

212A.B.C.D.1 522

16.若x1,x2是方程x?ax?8?0的兩相異實(shí)根，則有（）A.|x1|?2,|x2|?2B.|x1|?3,|x2|?

3C.|x1?x2|?

D.|x1|?|x2|?17.在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為a和b的線段，則a+b的最大值為（）A

．

B

．C．

4D

．

【解析】結(jié)合長(zhǎng)方體的對(duì)角線在三個(gè)面的投影來(lái)理解計(jì)算。如圖 設(shè)長(zhǎng)方體的高寬高分別為m,n,k，由題意得

???n?1 ?a?b，所以(a2?1)?(b2?1)?6

?a2?b2?8，∴(a?b)2?a2?2ab?b2?8?2ab?8?a2?b2?16 1?2b的等比中項(xiàng)，且ab?0，則18.若a是1?2b與

2|ab|的最大值為（）

|a|?2|b|

A.25252

B.C.D.15452

二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.19．體積為8的一個(gè)正方體，其全面積與球O的表面積相等，則球O20.設(shè)某幾何體的三視圖如下，則該幾何體的體積為4

．

21、一同學(xué)在電腦中打出如下若干個(gè)圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?若

將此若干個(gè)圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前120個(gè)圈中的●的個(gè)數(shù)是14。

22、設(shè)平面內(nèi)有ｎ條直線(n?3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同

一點(diǎn)．若用f(n)表示這ｎ條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則當(dāng)ｎ＞４時(shí)，f?n?＝

（用含n的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示）。

23、已知?1?x?y?1,1?x?y?3，則3x?y的取值范圍是?1,7? 24.直三棱柱ABC?A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若

AB?AC?AA1?2,?BAC?120?，則此球的表面積等于4?R2?20?

三、解答題：

25、（12分）求證：(1)6+7>22+5;(2)a2?b2?3?aba?b);

（3）若a,b,c均為實(shí)數(shù)，且a?x?2x?

?，b?y?2y?

?，c?z?2z?

?

求證：a，b，c中至少有一個(gè)大于0。

（8分）如圖，在四邊形ABCD中，?DAB?90，?ADC?135，00

AB?

5，CD?AD?2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積ACAE

27．(14分)在ΔABC中（如圖1），若CE是∠ACB的平分線，則 ＝BCBE

（Ⅰ）把上面結(jié)論推廣到空間中：在四面體A－BCD中（如圖2），平面CDE是二面角A－CD

－B的角平分面，類比三角形中的結(jié)論，你得到的相應(yīng)空間的正確結(jié)論是（Ⅱ）證明你所得到的結(jié)論.A G

E

B

B HC

圖

1圖

2C

A 11

28.設(shè)函數(shù)f(x)?x3?3bx2?3cx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2，且x1???1,0?,x2??1,2?.（1）求b,c滿足的約束條件，并在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出滿足這些條件的點(diǎn)（b,c）的區(qū)域；

（2）求證：?10?f(x2)??.答案：

25、證明：（2）∵a2?b2?2ab,（1）要證原不等式成立，a2?3?,只需證（+）2>（22+5）2，b2?3?;即證242?240。

將此三式相加得∵上式顯然成立,2(a2?b2?3)?2ab??,∴原不等式成立.∴a2?b2?3?aba?b).．(反證法).證明：設(shè)a、b、c都不大于0，a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，πππ22

2而a＋b＋c＝（x－2y＋）＋（y－2z＋）＋（z－2x＋

236

222222

＝（x－2x）＋（y－2y）＋（z－2z）＋π＝（x－1）＋（y－1）＋（z－1）＋π－3，∴a＋b＋c＞0，這與a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一個(gè)大于0.26．解：S表面?S圓臺(tái)底面?S圓臺(tái)側(cè)面?S圓錐側(cè)面

???52???(2?5)???

2??1)?

V

1??(r12?r1r2?r22)h??r2h

3?V圓臺(tái)?V圓錐

3148??3

27．結(jié)論:

SΔACDAESΔACDSΔAECSΔACDSΔAED

＝ 或＝ 或＝SΔBCDBESΔBCDSΔBECSΔBCDSΔBED

證明：設(shè)點(diǎn)E是平面ACD、平面BCD的距離分別為h1，h2，則由平面CDE平分二面角A－CD

－B知h1＝h2.SΔACDh1SΔACDVA－CDE

又∵ ＝ ＝SΔBCDh2SΔBCDVB－CDE

AESΔAEDVC－AEDVA－CDE

＝ ＝＝BESΔBEDVC－BEDVB－CDE

SΔACDAE∴ SΔBCDBE

A

A GC

B

B HC

圖

1圖

228、解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）

依題意知，方程f'（x）=0有兩個(gè)根x1、x2，且x1∈[-1，0]，x2∈[1，2]

等價(jià)于f'（-1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0． 由此得b，c滿足的約束條件（略）（4分）

滿足這些條件的點(diǎn)（b，c）的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分．（6分）（Ⅱ）由題設(shè)知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0，則2bx2=-x22-c，故 ．f(x2)?x23?3bx22?3cx2?-x23?cx2（8

由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，故-4?3c?f(x2)???c． 又由（Ⅰ）知-2≤c≤0，（10分）所以?10?f(x2)??.232

1232

第三篇：2011推理與證明測(cè)試題

2011推理與證明、復(fù)數(shù)測(cè)試題

1一、選擇題（每題5分，共55分）

1.復(fù)數(shù)

53?4i的共軛復(fù)數(shù)是（）B．3?4i 5

5?nA．3?4i nC．3?4iD．3?4i 552.設(shè)f(n)=i?i(n∈N)，則集合{f(n)}中元素的個(gè)數(shù)為（）

A．4B．3C．2D．

13．設(shè)ｚ∈C，則方程|ｚ－ｉ|－|ｚ+ｉ|＝2所表示的圖形是（）

A．雙曲線B.線段C.一條射線D.兩條射線

4．設(shè)z=x+yi（x,y?R），且|z?4|?2,則y的最小值是（）x

A． B．?3C．?

3D．-1

5．命題：“有些有理數(shù)是分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是分?jǐn)?shù)”結(jié)論是錯(cuò)誤的，其原因是（）

A.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤D.以上都不是

6．在古臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3，6，10，15，21，28，?這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因?yàn)檫@些數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形

1361015 則第n個(gè)三角形數(shù)為（）

11n(n?1)C.n2?1D.n(n?1)2

21117．設(shè)a,b,c?(??,0),則a?,b?,c?（）bca

A．都不大于?2B．都不小于?2

C．至少有一個(gè)不大于?2D．至少有一個(gè)不小于?2 A.nB.8．若a，b，c是不全相等的實(shí)數(shù)，求證：a2?b2?c2?ab?bc?ca． 證明過(guò)程如下：∵a，b，c?R，∴a2?b2≥2ab，b2?c2≥2bc，c2?a2≥2ac，又∵a，b，c不全相等，∴以上三式至少有一個(gè)“?”不成立，∴將以上三式相加得2(a2?b2?c2)?2(ab?b?c?ac)，∴a2?b2?c2?ab?bc?ca．

此證法是（）Ａ．分析法

Ｂ．綜合法Ｃ．分析法與綜合法并用Ｄ．反證法

9．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1?2?3???(n?3)?時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是（）

Ａ．1Ｂ．1?2Ｃ．1?2?

3(n?3)(n?4)

第一步驗(yàn)證n?1(n?N?)時(shí)，2Ｄ．1?2?3?

410．用數(shù)學(xué)歸納法證明34n?1?52n?1(n?N)能被8整除時(shí)，當(dāng)n?k?1時(shí)，對(duì)于34(k?1)?1?52(k?1)?1可變形為（）

·34k?1?52·52kＣ．34k?1?52k?1Ｄ．25(34k?1?52k?1)Ａ．56·34k?1?25(34k?1?52k?1)Ｂ．34

11．觀察式子：1?（）Ａ．1?Ｃ．1?

131151117，?1???1????，?，則可歸納出式子為***

11111111

Ｂ．?????(n≥2)1??????(n≥2)222222

23n2n?123n2n?1

1112n?11112n?2???2?(n≥2)Ｄ．1?2?2???2?(n≥2)2

23nn23n2n?1

二、填空題（每題5分，共25分）

12.實(shí)數(shù)x、y滿足（1–i）x+(1+i)y=2,則xy的值是.1 13.復(fù)數(shù)Z滿足?1?2i??4?3i，那么Z=________.????????????

14.設(shè)O是原點(diǎn)，向量OA,OB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2?3i,?3?2i，那么向量BA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是____________.15．若復(fù)數(shù)z滿足1?z= i ,則z?1的值為

1?z

16．已知?ABC的三邊長(zhǎng)為a,b,c，內(nèi)切圓半徑為r（用S?ABC表示?ABC的面積），則

S?ABC?1r(a?b?c)；類比這一結(jié)論有：若三棱錐A?BCD的內(nèi)切球半徑為R，則三棱

錐體積VA?BCD?

三、解答題：70分

17.（本小題12分）用分析法證明： 已知a?b?0,求證a??a?b

18．（本小題14分）用反證法證明：已知a,b,c均為實(shí)數(shù)，且a?x?2y? 求證：a,b,c中至少有一個(gè)大于0

2?,b?y2?2z?

?,c?z2?2x?

?

6，D?BC，B2?BDBC·19．（本小題14分）如圖（1），在三角形ABC中，AB?AC，若A則A；

若類比該命題，如圖（2），三棱錐A?BCD中，AD?面ABC，若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則有什么結(jié)論？命題是否是真命題．

5an

20.（本小題14分）數(shù)列{an}中，a1?,an?1?(n?N?)，用數(shù)學(xué)歸納法證

22(an?1)

明：an?2(n?N?)

21.（本小題16分）是否存在常數(shù)a、b、c，使等式

1?22?2?32???n(n?1)2?

結(jié)論

n(n?1)

(an2?bn?c)對(duì)一切正整數(shù)n都成立？證明你的1

5R(S?ABC?S?ABD?S?ACD?S?BCD

3?

?|?(?)|?2

16?(1,),??(3,3),sin?,???[解析]要證a??a?b，只需證(a?)2?(a?b)2即a?b?2ab?a?b，只需證b?

ab，即證b?a

顯然b?a成立，因此a??a?b成立 20(1)當(dāng)n=1時(shí), a1?

?2,不等式成立 2

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即ak?2(k?N?)，(ak?2)2ak

則ak?1?2??0，?ak?1?2 ?2?

2(ak?1)2(ak?1)

?當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立

綜合（1）（2），不等式對(duì)所有正整數(shù)都成立

19解：命題是：三棱錐A?BCD中，AD?面ABC，若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則有S△·S△BCD是一個(gè)真命題． ABC?S△BCM

證明如下：

在圖（2）中，連結(jié)DM，并延長(zhǎng)交BC于E，連結(jié)AE，則有DE?BC． 因?yàn)锳D?面ABC，所以AD?AE． 又AM?DE，所以AE2?EM·ED． 于是S

△ABC

?1??1??1???BC·AE???BC·EM?·?BC·ED??S△BCM·S△BCD． ?2??2??2?

21【解題思路】從特殊入手，探求a、b、c的值，考慮到有3個(gè)未知數(shù)，先取n=1,2,3,列方程組求得，然后用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)一切n?N，等式都成立

?

?a?b?c?24

?a?3?

[解析] 把n=1,2,3代入得方程組?4a?2b?c?44，解得?b?11，?

?9a?3b?c?70?c?10??

猜想：等式1?2?2?3???n(n?1)?

n(n?1)

(3n2?11n?10)對(duì)一切n?N?都成立 12

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，由上面的探求可知等式成立

（2）假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即1?2?2?3???k(k?1)?

222

k(k?1)

(3k2?11k?10)則12

1?22?2?32???k(k?1)2?(k?1)(k?2)2?

k(k?1)

(3k2?11k?10)?(k?1)(k?2)2

k(k?1)(k?1)(k?2)?(3k?5)(k?2)?(k?1)(k?2)2?[k(3k?5)?12(k?2)]

1212(k?1)(k?2)?[3(k?1)2?11(k?1)?10]

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立 綜合（1）（2），對(duì)n?N等式都成立

【名師指引】這是一個(gè)探索性命題，“歸納——猜想——證明”是一個(gè)完整的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的思維模式

?

第四篇：推理與證明測(cè)試題

《推理與證明測(cè)試題》

一、選擇題：

1、下列表述正確的是（）.①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；③演繹推理是由一般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理；⑤類比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤.2、下面使用類比推理正確的是（）.A.“若a?3?b?3,則a?b”類推出“若a?0?b?0,則a?b”

B.“若(a?b)c?ac?bc”類推出“(a?b)c?ac?bc”

a?bab” ??（c≠0）ccc

nnD.“（ab）?anbn” 類推出“（a?b）?an?bn” C.“若(a?b)c?ac?bc” 類推出“

3、有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線 b??平面?，直線a?平面?，直線b∥平面?，則直線b∥直線a”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤?的，這是因?yàn)椋ǎ?/p>

A.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤D.非以上錯(cuò)誤

4、用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí)，反設(shè)正確的是（）。

(A)假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度；(B)假設(shè)三內(nèi)角都大于60度；

(C)假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度；(D)假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度。

5、在十進(jìn)制中2004?4?100?0?101?0?102?2?103，那么在5進(jìn)制中數(shù)碼2004折合成十進(jìn)制為（）

A.29B.254C.602D.20046、利用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋a＋a＋?＋a2n＋11?an?

2=，(a≠1，n∈N)”時(shí)，在驗(yàn)證n=11?a

成立時(shí)，左邊應(yīng)該是（）

(A)1(B)1＋a(C)1＋a＋a2(D)1＋a＋a2＋a37、某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)n?k(k?N?)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)n?k?1時(shí)命題也成立.現(xiàn)已知當(dāng)n?7時(shí)該命題不成立，那么可推得

8、用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n?1)(n?2)?(n?n)?2?1?2???(2n?1)”（n?N?）時(shí)，n（）A．當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立 C．當(dāng)n=8時(shí)該命題不成立 B．當(dāng)n=6時(shí)該命題成立 D．當(dāng)n=8時(shí)該命題成立

從 “n?k到n?k?1”時(shí)，左邊應(yīng)增添的式子是

9、已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1?

A．2k?

1B．2(2k?1)

C．

D．

（）

2k?1

k?12k?

2k?1

1111111??????2(????)時(shí)，若已假設(shè)n?k(k?2為偶 234n?1n?2n?42n

（）

B．n?k?2時(shí)等式成立 D．n?2(k?2)時(shí)等式成立

數(shù)）時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證

A．n?k?1時(shí)等式成立 C．n?2k?2時(shí)等式成立

10、數(shù)列?an?中，a1=1，Sn表示前n項(xiàng)和，且Sn，Sn+1，2S1成等差數(shù)列，通過(guò)計(jì)算S1，S2，S3，猜想當(dāng)n≥1時(shí)，Sn=

（）

2n?

1A．n?1

22n?1B．n?1

'

C．

'

n(n?1)

n

D．1－

'

2n?1

11.設(shè)f0(x)?sinx,f1(x)?f0(x)，f2(x)?f1(x),?,fn?1(x)?fn(x)，n∈N，則

f2007(x)?

A.sinx

B.－sinx

C.cosx

D.－cosx

12.用反證法證明命題“若整系數(shù)一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)有有理根，那么

a,b,c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”時(shí)，下列假設(shè)中正確的是（）

（A）假設(shè)a,b,c不都是偶數(shù)（B）假設(shè)a,b,c都不是偶數(shù)（C）假設(shè)a,b,c至多有一個(gè)是偶數(shù)（D）假設(shè)a,b,c至多有兩個(gè)是偶數(shù)

13.若直線y＝m與y＝3x－x3的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A．－2＜m＜2B．－2≤m≤2 C．m＜－2或m＞2

2D．m≤－2或m≥2

二、填空題：本大題共4小題，每小題3分，共12分.14、一同學(xué)在電腦中打出如下若干個(gè)圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?若將此若干個(gè)圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前120個(gè)圈中的●的個(gè)數(shù)是。

15、類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC互相垂直，則三角形三邊長(zhǎng)之間滿足關(guān)系：AB2?AC2?BC2。若三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則三棱錐的側(cè)面積與底面積之間滿足的關(guān)系為.16、從1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),?,推廣到第n個(gè)等式為_________________________.17、設(shè)平面內(nèi)有ｎ條直線(n?3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn)．若用f(n)表示這ｎ條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)=；

當(dāng)ｎ＞４時(shí)，f(n)＝（用含n的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示）。

18、（8分）求證：

(1)a2?b2?3?ab?a?b);(2)6+7>22+

19、若a,b,c均為實(shí)數(shù)，且a=x2?2y+, b=y2?2z+, c=z2?2x+,6π

π

π

求證：a，b，c中至少有一個(gè)大于0。（20.證明：2，不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng).21、用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1222n2n(n?1)?????（Ⅰ）； 1?33?5(2n?1)(2n?1)2(2n?1)

22、已知數(shù)列{an}滿足Sn＋an＝2n＋1,(1)寫出a1, a2, a3,并推測(cè)an的表達(dá)式；

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論。（12分）

23．（本題共3小題，每題10分，共30分）（1）求證：當(dāng)a、b、c為正數(shù)時(shí)，(a?b?c)（111

??)?9.abc

n?1?n

（2）已知n?0,試用分析法證明n?2?n?1?

（3）已知x?R，a?x?1，b?2x?2。求證a,b中至少有一個(gè)不少于0。

24.已知a,b,c為不全相等的正實(shí)數(shù)，求證：

b?c?ac?a?ba?b?c

???3abc

25.已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bln x在x＝1處有極值.2(1)求a，b的值；

(2)判斷函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性并求出單調(diào)區(qū)間．

26．已知二次函數(shù)f(x)= ax＋bx+c滿足：①在x=1時(shí)有極值；②圖象過(guò)點(diǎn)(0,-3)，且在該點(diǎn)處的切線與直線2x+y=0平行． ⑴求f(x)的解析式；

⑵求函數(shù)g(x)=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間。

第五篇：《推理與證明》測(cè)試題

《推理與證明》測(cè)試題

一、選擇題：（每題5分，共50分）

1．下列表述正確的是(D)①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；

③演繹推理是由一般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理；

⑤類比推理是由特殊到特殊的推理．

A．①②③B．②③④

C．②④⑤D．①③⑤

2、有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線

b??平面?，直線a?平面?，直線b∥平面?，則直線b∥直線a”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)椋ˋ）

A.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤D.非以上錯(cuò)誤

3、下面使用類比推理正確的是（C）.A.“若a?3?b?3,則a?b”類推出“若a?0?b?0,則a?b”

B.“若(a?b)c?ac?bc”類推出“(a?b)c?ac?bc”

a?bab??（c≠0）” ccc

nn（ab）?anbn” 類推出“（a?b）?an?bn” D.“C.“若(a?b)c?ac?bc” 類推出“

4、用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí)，反設(shè)正確的是（B）。

A.假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度；B.假設(shè)三內(nèi)角都大于60度；C.假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度；D.假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度。

5、如圖，這是三種化合物的結(jié)構(gòu)及分子式，請(qǐng)按其規(guī)律，寫出后一種化合物的分子式是

（B）

A.B.C.D.6、對(duì)“a,b,c是不全相等的正數(shù)”，給出兩個(gè)判斷：

222①(a?b)?(b?c)?(c?a)?0；②a?b,b?c,c?a不能同時(shí)成立，下列說(shuō)法正確的是（A）

A．①對(duì)②錯(cuò) C．①對(duì)②對(duì)

B．①錯(cuò)②對(duì)

D．①錯(cuò)②錯(cuò)

7、有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手，甲說(shuō)：“是乙或丙獲獎(jiǎng)”，乙說(shuō)：“甲、丙都未獲獎(jiǎng)”，丙說(shuō)：“我獲獎(jiǎng)了”，丁說(shuō)：“是乙獲獎(jiǎng)”。四位歌手的話只有兩名是對(duì)的，則獎(jiǎng)的歌手是（C）

A．甲B．乙C．丙D．丁

8．計(jì)算機(jī)中常用的十六進(jìn)制是逢16進(jìn)1的計(jì)數(shù)制，采用數(shù)字0?9和字母A?F共16個(gè)計(jì)

例如，用十六進(jìn)制表示,則（A）A．6EB．72C．5FD．B0

?x(x?y)

9、定義運(yùn)算:x?y??的是（C）例如3?4?4,則下列等式不能成立．．．．

?y(x?y),A．x?y?y?xB．(x?y)?z?x?(y?)z

C．(x?y)2?x2?y2D．c?(x?y)?(c?x)?(c?y)（其中c?0）10． 如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=，CD=b(>b)．若EF∥AB，EF到CD與到AB的距離之比為m：n，則可推算出：EF=，試用類比的方法，推想

出下述問(wèn)題的結(jié)果．在上面的梯形ABCD中，延長(zhǎng)梯形兩腰AD、BC相交于o點(diǎn)，設(shè)△OAB、△OCD的面積分別為S1、S2，EF∥AB，且EF到CD與到AB的距離之比為m：n，則△OEF的面積S0 與S1、S2 的關(guān)系是（D）A.B.C.D.二、填空題：（每題5分，共35分）

11、一同學(xué)在電腦中打出如下若干個(gè)圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?若

將此若干個(gè)圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前120個(gè)圈中的●的個(gè)數(shù)是_14___。

12、在平面幾何里有射影定理：設(shè)△ABC的兩邊AB⊥AC，D是A點(diǎn)在BC邊上的射影，則AB2=BD.BC.拓展到空間,在四面體A—BCD中，DA⊥面ABC，點(diǎn)O是A在面BCD內(nèi)的射影，且O在面BCD內(nèi)，類比平面三角形射影定理，△ABC，△BOC，△BDC三者面積之間關(guān)系為（S△ABC）= S△BOC S△BDC。

13、從1?1，1?4??(1?2),1?4?9?1?2?3，1?4?9?16??(1?2?3?4)，?,廣到第n個(gè)等式為_____1?22?32?42???(?1)n?1?n2?(?1)n?1?(1?2?3?????n)____________________.14、已知a1?3，an?1?

.3an，試通過(guò)計(jì)算a2，a3，a4，a5的值，推測(cè)出an＝an?

3___________.n

15.如圖，命．題：點(diǎn)P，Q是線段AB的三等分點(diǎn)，則有+=+，把此命題推廣，設(shè)點(diǎn)A1，A2，A3，??An-1是AB的n等分點(diǎn)(n?3且n∈N*)，則有1+OA2+?+OAn?1=__________(+)．

16、方程f(x)＝x的根稱為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，若函數(shù)f(x)＝xn＋1＝

n∈N*)，則x2 013＝_2006_______.1fxna11＋a12＋?＋a20a1＋a2＋?＋a30

{bn}中，會(huì)1030

b1b2?b30____.x

有唯一不動(dòng)點(diǎn)，且x1＝1 000，a?x＋2?

n?

117.已知等差數(shù)列{an}中，有有類似的結(jié)論：____

b11b12?b20＝

三、解答題：（12+13+13+13+14）

18.證明：2，不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng).18.證明：假設(shè)2、3、5為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)，則存在整數(shù)m,n滿足

3=2+md①5=2+nd②

①?n-②?m得：n-m=2(n-m)兩邊平方得： 3n+5m-2mn=2(n-m)

左邊為無(wú)理數(shù)，右邊為有理數(shù)，且有理數(shù)?無(wú)理數(shù) 所以，假設(shè)不正確。即、3、5不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)19．用分析法證明：若a＞0，則

19(分析法).a2＋22≥a＋2.aa

1a2＋2≥a＋－2，只需證aa

a2＋＋2≥a＋2.aa

∵a＞0，∴兩邊均大于零，因此只需證（1

2只需證a2＋4＋

4a2＋2＋2）2≥（a＋＋2）2，aa

a

a2＋2≥a2＋22＋22（a＋，aaa

a2＋2（a＋，只需證a＋2（a＋2＋2），a2aa2a

即證a＋2≥2，它顯然是成立，∴原不等式成立.a

20.通過(guò)計(jì)算可得下列等式：

22?12?2?1?1 32?22?2?2?1 42?32?2?3?1

┅┅

(n?1)2?n2?2?n?1

將以上各式分別相加得：(n?1)2?12?2?(1?2?3???n)?n 即：1?2?3???n?

n(n?1)

2222332

類比上述求法：請(qǐng)你求出1?2?3???n的值.（提示：(n?1)?n?3n?3n?1））

332332

19.[解] 2?1?3?1?3?1?13?2?3?2?3?2?1

43?33?3?32?3?3?1┅┅

(n?1)3?n3?3?n2?3?n?1

將

以

上

各

式

分

別

相

加

得

：

(n?1)3?13?3?(12?22?32???n2)?3?(1?2?3??n)?n

2222

所以： 1?2?3???n?

11?n[(n?1)3?1?n?3n] 32

?

n(n?1)(2n?1)6

21.（13分）自然狀態(tài)下魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其

再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚群總量的影響，用xn表示某魚群在第n年年初的總量，n?N?，且x1＞0.不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與

xn成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a,b,c.（Ⅰ）求xn?1與xn的關(guān)系式；

（Ⅱ）猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)x1，a,b,c滿足什么條件時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）

21.解（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為

22cxn,因此xn?1?xn?axn?bxn?cxn,n?N*.(*)

即xn?1?xn(a?b?1?cxn),n?N*.(**)

（II）若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1，n∈N*，從而由（*）式得xn(a?b?cxn)恒等于0,n?N*,所以a?b?cx1?0.即x1?所以a>b.猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)a>b，且x1?

a?b

.因?yàn)閤1>0，c

a?b

時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變.c

ACBC

AEBE

A

22．(14分)在ΔABC中（如圖1），若CE是∠ACB的平分線，則＝.其證明過(guò)程：作EG⊥AC于點(diǎn)G，EH⊥BC于點(diǎn)H，CF⊥AB于點(diǎn)F

A

∵CE是∠ACB的平分線，G ∴EG＝EH.ACAC·EGSΔAEC

又∵ ＝ ＝，BCBC·EHSΔBEC

B

2hC 圖2

AEAE·CFSΔAEC

＝＝，BEBE·CFSΔBEC

∴ ＝ACBCAEBE

B HC

圖1

（Ⅰ）把上面結(jié)論推廣到空間中：在四面體A－BCD中（如圖2），平面CDE是二面角A－CD－B的角平分面，類比三角形中的結(jié)論，你得到的相應(yīng)空間的結(jié)論是＿＿＿＿＿＿

（Ⅱ）證明你所得到的結(jié)論.SΔACDAESΔACDSΔAECSΔACDSΔAED

21．結(jié)論:＝或 ＝ 或＝

SΔBCDBESΔBCDSΔBECSΔBCDSΔBED

證明：設(shè)點(diǎn)E是平面ACD、平面BCD的距離分別為h1，h2，則由平面CDE平分二面角A－CD－B知h1＝h2.SΔACDh1SΔACDVA－CDE

又∵＝＝

SΔBCDh2SΔBCDVB－CDE

A

A G

B

2B HC

圖1

hC

AESΔAEDVC－AEDVA－CDE

＝ ＝BESΔBEDVC－BEDVB－CDE

SΔACDAE∴＝SΔBCDBE