第一篇：《推理與證明》知識點

《推理與證明》

知識結(jié)構(gòu)

一、推理

1.推理 ：前提、結(jié)論

2.合情推理:

合情推理可分為

歸納推理和類比推理兩類：

（1）歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理。簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理.（2）類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象具有的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.3.演繹推理:

從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理叫演繹推理，簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理。

重難點：利用合情推理的原理提出猜想，利用演繹推理的形式進行證明

題型1用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1、；?.對于任意正實數(shù)a,b，?成立的一個條件可以是____.點撥：前面所列式子的共同特征特征是被開方數(shù)之和為22，故a?b?222、蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂

巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂 巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖

有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以

f(n)表示第n幅圖的蜂巢總數(shù).則f(4)=_____;f(n)=___________.【解題思路】找出f(n)?f(n?1)的關系式

[解析]f(1)?1,f(2)?1?6,f(3)?1?6?12,?f(4)?1?6?12?18?37

?f(n)?1?6?12?18???6(n?1)?3n2?3n?

1【名師指引】處理“遞推型”問題的方法之一是尋找相鄰兩組數(shù)據(jù)的關系

題型2用類比推理猜想新的命題

[例]已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的【解題思路】從方法的類比入手

[解析]原問題的解法為等面積法，即S?1，把這個結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是______.3111ah?3?ar?r?h，類比問題的解法應為等體積法，22

31111V?Sh?4?Sr?r?h即正四面體的內(nèi)切球的半徑是高 334

4【名師指引】（1）不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比

（2）類比推理常見的情形有：平面向空間類比；低維向高維類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；實數(shù)集的性質(zhì)向復數(shù)集的性質(zhì)類比；圓錐曲線間的類比等

二、直接證明與間接證明

三種證明方法:

綜合法、分析法、反證法

反證法：它是一種間接的證明方法.用這種方法證明一個命題的一般步驟：

(1)假設命題的結(jié)論不成立；

(2)根據(jù)假設進行推理,直到推理中導出矛盾為止

(3)斷言假設不成立

(4)肯定原命題的結(jié)論成立

重難點：在函數(shù)、三角變換、不等式、立體幾何、解析幾何等不同的數(shù)學問題中，選擇好證明方法并運用三種證明方法分析問題或證明數(shù)學命題

考點1綜合法

在銳角三角形ABC中,求證:sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC

[解析]??ABC為銳角三角形，?A?B??

2?A??

2?B，?y?sinx在(0,)上是增函數(shù)，?sinA?sin(?B)?cosB 2

2同理可得sinB?cosC，sinC?cosA ??

?sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC

考點2分析法

已知a?b?0,求證a?b?a?b

[解析]要證a??a?b，只需證(a?b)2?(a?b)2

即a?b?2ab?a?b，只需證b?ab，即證b?a

顯然b?a成立，因此a??a?b成立

【名師指引】注意分析法的“格式”是“要證---只需證---”，而不是“因為---所以---”

考點3反證法已知f(x)?a?xx?2(a?1)，證明方程f(x)?0沒有負數(shù)根 x?

1【解題思路】“正難則反”，選擇反證法，因涉及方程的根，可從范圍方面尋找矛盾

[解析]假設x0是f(x)?0的負數(shù)根，則x0?0且x0??1且ax0??x0?2 x0?1

?0?ax0?1?0??1x0?2?1，解得?x0?2，這與x0?0矛盾，2x0?1

故方程f(x)?0沒有負數(shù)根

【名師指引】否定性命題從正面突破往往比較困難，故用反證法比較多

三、數(shù)學歸納法

一般地,當要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)N的所有正整數(shù)n都成立時,可以用以下兩個步驟:

(1)證明當n=n0時命題成立;

(2)假設當n=k（

第二篇：推理與證明知識點

第十二講推理與證明

數(shù)學推理與證明知識點總結(jié):

推理與證明：①推理是中學的主要內(nèi)容，是重點考察的內(nèi)容之一，題型為選擇題、填空題或解答題，難度為中、低檔題。利用歸納和類比等方法進行簡單的推理的選擇題或填空題在近幾年的中考中都有所體現(xiàn)。②推理論證能力是中考考查的基本能力之一，它有機的滲透到初中課程的各個章節(jié)，對本節(jié)的學習，應先掌握其基本概念、基本原理，在此基礎上通過其他章節(jié)的學習，逐步提高自己的推理論證能力。第一講 推理與證明

一、考綱解讀：

本部分內(nèi)容主要包括：合情推理和演繹推理、直接證明與間接證明、數(shù)學歸納法等內(nèi)容，其中推理中的合情推理、演繹推理幾乎涉及數(shù)學的方方面面的知識，代表研究性命題的發(fā)展趨勢。新課標考試大綱將抽象概括作為一種能力提出，進一步強化了合情推理與演繹推理的要求，因此在復習中要重視合情推理與演繹推理。高考對直接證明與間接證明的考查主要以直接證明中的綜合法為主，結(jié)合不等式進行考查。

二、要點梳理：

1.歸納推理的一般步驟：(1)通過觀察個別事物，發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì);(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題。

2.類比推理的一般步驟：

(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性;(2)用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想)。

3.演繹推理

三段論及其一般模式：①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情況;③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況作出判斷。

4.直接證明與間接證明

①綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法。綜合法的思維特點是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論。

②分析法：證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法。分析法的思維特點是：執(zhí)果索因。

③反證法：要證明某一結(jié)論A是正確的，但不直接證明，而是先去證明A的反面(非A)是錯誤的，從而斷定A是正確的，即為反證法。一般地，結(jié)論中出現(xiàn)“至多”“至少”“唯一”等詞語，或結(jié)論以否定語句出現(xiàn)，或要討論的情況復雜時，?？紤]使用反證法。

主要三步是：否定結(jié)論 → 推導出矛盾 → 結(jié)論成立。

實施的具體步驟是：

第一步，反設：作出與求證結(jié)論相反的假設；第二步，歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；第三步，結(jié)論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立。

④數(shù)學歸納法：一般地，證明一個與自然數(shù)n有關的命題P(n），有如下步驟：（1）證明當n取第一個值n0時命題成立。n0對于一般數(shù)列取值為0或1，但也有特殊情況；（2）假設當n=k（k≥n0，k為自然數(shù)）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。綜合（1）（2），對一切自然數(shù)n（≥n0），命題P(n）都成立。/ 1

第三篇：初一數(shù)學知識點：推理與證明

數(shù)學題 http://dayi.dezhi.com/shuxue

初一數(shù)學知識點：推理與證明

按規(guī)律寫數(shù)

?

?[ 初一數(shù)學]題型:填空題

一列數(shù)：0，1，2，3，6，7，14，15，30，____, _____, ____，這串數(shù)是由小明按照一定規(guī)則寫下來的,他第一次寫下“0，1”,第二次按著寫“2，3”,第三次接著寫“6，7”第四次接著寫“14，15”，就這樣一直接著往下寫，那么這串數(shù)的最后三個數(shù)應該是下面的（）

A.31，32，64B.31，62，63C.31，32，33D.31，45，46

問題癥結(jié)：找不到突破口，請老師幫我理一下思路

考查知識點：

歸納與類比推理

難度:中

解析過程：

解：依題意得：接下來的三組數(shù)為31，62，63．

選B

同學你好如有疑問可以討論如我在線會及時回復。

祝你學習進步。

規(guī)律方法：

本題通過觀察可知下一組數(shù)的第一個數(shù)是前一組數(shù)的第二個數(shù)的兩倍，在同一組數(shù)中的前后兩個數(shù)相差

1．由此可解出接下來的3個數(shù)

找規(guī)律填數(shù)字

?

?[ 初三數(shù)學]題型:填空題

知識點總結(jié) http://004km.cn/knowledge

加過程，在證明中添加的輔助線可作為已知條件參與證明。
常見考法

（1）靈活運用基礎知識進行推理，運用綜合法、分析法，從條件和結(jié)論兩方面出發(fā)進行證明；（2）在中考中，考查類比推理，先設計一個條件、結(jié)論明確的問題，以此作為類比對象，然后再對其改造。比如，圖形的變式，添加某些新的屬性或改變某些屬性，通過與原有問題的比較，推測新問題的結(jié)論與解 決方法。
誤區(qū)提醒

（1）不能準確把握幾何公理、定理的內(nèi)容；（2）數(shù)學語言、符號語言、文字語言在相互轉(zhuǎn)化中出現(xiàn)表述錯誤。

以上內(nèi)容來自，轉(zhuǎn)載請注明出處。

知識點總結(jié) http://004km.cn/knowledge

第四篇：推理與證明

第3講 推理與證明

【知識要點】

1.歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或由個別事實概括出一般結(jié)論的推理

2．類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關系就越相關，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。3．類比推理的一般步驟：

①找出兩類事物之間的相似性或者一致性。

②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）【典型例題】

1、（2011?江西）觀察下列各式：7=49，7=343，7=2401，?，則7

34201

1的末兩位數(shù)字為（）

A、01 B、43 C、07 D、49

2、（2011?江西）觀察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，?，則5A、3125 B、5625 C、0625 D、8125

3、（2010?臨潁縣）平面內(nèi)平行于同一條直線的兩條直線平行，由此類比思維，我們可以得到（）A、空間中平行于同一平面的兩個平面平行 B、空間中平行于同一條直線的兩條直線平行 C、空間中平行于同一條平面的兩條直線平行 D、空間中平行于同一條直線的兩個平面平行

4、（2007?廣東）設S是至少含有兩個元素的集合，在S上定義了一個二元運算“*”（即對任意的a，b∈S，對于有序元素對（a，b），在S中有唯一確定的元素與之對應）有a*（b*a）=b，則對任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（）

A、（a*b）*a=a B、[a*（b*a）]*（a*b）=a C、b*（b*b）=b D、（a*b）*[b*（a*b）]=b

5、（2007?廣東）如圖是某汽車維修公司的維修點環(huán)形分布圖．公司在年初分配給A，B，C，D四個維修點某種配件各50件．在使用前發(fā)現(xiàn)需將A，B，C，D四個維修點的這批配件分別調(diào)整為40，45，54，61件，但調(diào)整只能在相鄰維修點之間進行，那么要完成上述調(diào)整，最少的調(diào)動件次（n件配件從一個維修點調(diào)整到相鄰維修點的調(diào)動件次為n）為（）

A、15 B、16 C、17 D、18

6、（2006?陜西）為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密規(guī)則為：明文a，b，c，d對應密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4對應密文5，7，18，16．當接收方收到密文14，9，23，28時，則解密得到的明文為（）A、4，6，1，7 B、7，6，1，4 C、6，4，1，7 D、1，6，4，7

7、（2006?山東）定義集合運算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，設集合A={0，1}，B={2，3}，則集合A⊙B的所有元素之和為（）

A、0 B、6 C、12 D、18

7201

1的末四位數(shù)字為（）

8、（2006?遼寧）設⊕是R上的一個運算，A是V的非空子集，若對任意a，b∈A，有a⊕b∈A，則稱A對運算⊕封閉．下列數(shù)集對加法、減法、乘法和除法（除數(shù)不等于零）四則運算都封閉的是（）A、自然數(shù)集 B、整數(shù)集 C、有理數(shù)集 D、無理數(shù)集

9、（2006?廣東）對于任意的兩個實數(shù)對（a，b）和（c，d），規(guī)定：（a，b）=（c，d），當且僅當a=c，b=d；運算“?”為：（a，b）?（c，d）=（ac-bd，bc+ad）；運算“⊕”為：（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），設p，q∈R，若（1，2）?（p，q）=（5，0），則（1，2）⊕（p，q）=（）A、（4，0）B、（2，0）C、（0，2）D、（0，-4）

10、（2005?湖南）設f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），?，fn+1（x）=fn′（x），n∈N，則f2005（x）=（）

A、sinx B、-sinx C、cosx D、-cosx

11、（2004?安徽）已知數(shù)列{an}滿足a0=1，an=a0+a1+?+an-1，n≥

1、，則當n≥1時，an=（）A、2 B、n

C、2 D、2-

1n-1n

12、若數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an=（n≥3且n∈N*），則a17=（）

A、1 B、2 C、D、2-987

13、如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，有，則運用歸納推理得到第11 行第2個數(shù)（從左往右數(shù)）為（）A、B、C、D、14、根據(jù)給出的數(shù)塔猜測1 234 567×9+8=（）

1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111．

A、11111110 B、11111111 C、11111112 D、11111113

15、將n個連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排成右表，根據(jù)規(guī)律，從2008到2010，箭頭方向依次是（）

A、B、C、D、16、下列推理過程利用的推理方法分別是（）（1）通過大量試驗得出拋硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5；（2）函數(shù)f（x）=x2-|x|為偶函數(shù)；

（3）科學家通過研究老鷹的眼睛發(fā)明了電子鷹眼． A、演繹推理，歸納推理，類比推理 B、類比推理，演繹推理，類比推理 C、歸納推理，合情推理，類比推理 D、歸納推理，演繹推理，類比推理

17、下列表述正確的是（）①歸納推理是由部分到整體的推理； ②歸納推理是由一般到一般的推理； ③演繹推理是由一般到特殊的推理； ④類比推理是由特殊到一般的推理； ⑤類比推理是由特殊到特殊的推理． A、①②③ B、②③④ C、②④⑤ D、①③⑤

18、在古希臘，畢達哥拉斯學派把1，3，6，10，15，21，28，?這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因為這些數(shù)對應的點可以排成一個正三角形，則第n個三角形數(shù)為（）A、n B、1、（2011?陜西）觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此規(guī)律，第五個等式應為 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．

2、（2011?陜西）觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?

照此規(guī)律，第n個等式為 n+（n+1）+（n+2）+?+（3n-2）=（2n-1）2 ．

C、n-1 D、2

第五篇：推理與證明

推理與證明

學生推理與證明的建立，是一個漫長的過程，這個過程的開始可以追溯到小孩牙牙學語時候起，小孩在爸爸媽媽跟前不停的問為什么，可以看做推理的雛形。接著到幼兒園、小學，教材里也有簡單的說理，小學教材里有簡單地說理題，意在培養(yǎng)學生的邏輯思維。

初中新教材對推理與證明的滲透，也是從說理開始的，但內(nèi)容比較少，也就是教材中的直觀幾何內(nèi)容。很快便轉(zhuǎn)向推理，也就是證明。剛開始推理的步驟，是簡單的兩三步，接著到四五步，后面還一定要求學生寫清楚為什么。在學習這一部分內(nèi)容的時候，好多學生在后面的括號里不寫為什么，我便給他們舉例小孩子學走路的過程，一個小孩剛開始學走路的時候，需要大人或其他可依附的東西，漸漸地，她會脫離工具自己走。學習證明的過程亦如此，起先在括號里寫清為什么，并且只是簡單的幾步，然后證明比較難一點的，步驟比較多的。

隨著社會的進步，中學教材加強了解析幾何、向量幾何，傳統(tǒng)的歐式幾何受到?jīng)_擊，并且教材對這一部分的編排分散在初中各個年級，直觀幾何分量多了還加入了變換如平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、對稱變換，投影等內(nèi)容。老師們對內(nèi)容的編排不太理解，看了專家的講座，漸漸明白了：這樣編排不是降低了推理能力，而是加強了推理能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了逐步發(fā)展的過程，把變換放到中學，加強了中學和大學教材的統(tǒng)一，但一個不爭的事實是，對演繹推理確實弱了。

關于開展課題學習的實踐與認識

新課程教材編排了課題學習這部分內(nèi)容，對授課的老師，還是學生的學習都是一個全新的內(nèi)容，怎樣上好這部分內(nèi)容，對老師、對學生而言，都是一個創(chuàng)新的機會。至于課題學習的評價方式，到現(xiàn)在為止，大多數(shù)省份還是一個空白，考不考?怎樣考?學習它吧，學習的東西不能在試卷上體現(xiàn)出來，于是，好多老師對這部分采取漠視的處理方法;不學習吧，課本上安排了這部分內(nèi)容。還有一部分老師覺得，課題學習是對某一個問題專門研究，很深!老師不知講到什么程度才合理，學生不知掌握到什么程度。

經(jīng)過幾年的實踐與這次培訓的認識，我覺得課題學習是“實踐與綜合應用”在新課課程中的主要呈現(xiàn)形式，是一種區(qū)別于傳統(tǒng)的、全新的，具有挑戰(zhàn)性的學習，課本的編寫者安排的主要目的是：

1.希望為學生提供更多的實踐與探索的機會。

2.讓學生通過對有挑戰(zhàn)性和綜合性問題的解決，經(jīng)歷數(shù)學化的過程。

3.讓學生獲得研究問題地方法和經(jīng)驗，使學生的思維能力、自主探索與合作交流的意識和能力得到發(fā)展。

4.讓學生體驗數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系，以及解決問題的成功喜悅，增進學生學習數(shù)學的信心。

5.使數(shù)學學習活動成為生動活潑的、主動的和富有個性的過程。

課題學習首先提出一個主問題(問題是一個載體)，然后給出資料，利用資料挖掘知識。在這個過程中，多關注知識的價值，淡化數(shù)學術語，讓學生充分經(jīng)歷數(shù)學化的過程，激發(fā)學生參與的熱情，使其體會到學習數(shù)學的樂趣，始終以學生為主體，明白課題學習是為學習服務的。