第一篇：【彈無虛發(fā)】2013高考數(shù)學(xué)秒殺必備：數(shù)列和不等式證明的交叉論文

高考中數(shù)列和不等式證明的交叉

數(shù)列和不等式是高考的兩大熱點也是難點，數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中一個重要的內(nèi)容，在高等數(shù)學(xué)也有很重要的地位，不等式是高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生思維能力的一個突出的內(nèi)容，它可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維中的很多方法，當(dāng)兩者結(jié)合在一起的時候，問題會變得非常的靈活。所以在復(fù)習(xí)時，我們在分別復(fù)習(xí)好兩類知識的同時，一定要注意它們的相互滲透和交叉，培養(yǎng)靈活的思維能力。

數(shù)列和證明不等式的交叉，是這兩大塊知識的主要交叉點，它在數(shù)列的特殊情景下，巧妙的融合了不等式的證明，它所涉及的問題往往是靈活的應(yīng)用了數(shù)列和不等式的知識，把這兩者完美的結(jié)合在了一起。

例1設(shè)?an?和?bn?分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，且a1?b1?0，a2?b2?0，若a1?a2，試比較an和bn的大小。

分析：這兩個通項大小的比較，它們的未知量比較多，比容易直接完成。因通過它們的項數(shù)n把他們組合在一起。設(shè)?an?的公差為d，?bn?的公比為q。顯然q?0，因為a2?b2?0，所以有，a1?d?a1q，即a1?q?1??d。

an?bn?a1??n?1?d?a1qn?1?a1?a1?n?1??q?1??a1qn?1。又因為a1?a2，所以

?1?qn?1?a2??n?1??= q??1。若q?1時，an?bn?a1?1?q??1??

=a1?1?q?1?q?q2???qn?2??n?1?。因為1?q?q2???qn?1?n?1，1?q?0，所以有：an?bn。若0?q?1時，1?q?q2???qn?1?n?1，1?q?0，所以也有： ????

an?bn。綜上所述，當(dāng)n?N，且n?2時，an?bn。在證明過程，對等比數(shù)列求和公式的逆用，是本題證明的一個轉(zhuǎn)折點，它避免了一些不必要的分類討論，時問題得以簡化。

例2已知遞增的等比數(shù)列?an?前三項之積為512，且這三項分別減去1，3，9后成等差數(shù)列，求證：1?2?3???n?1。123n

分析：要想證明這個不等式，首先要求出左邊的和式。根據(jù)題意，?an?是等比數(shù)列，所以左邊的和式可以利用錯位相減法來求和。先確定這個等比數(shù)列。由

23a1a3?a2?512，所以a2?8。再設(shè)等比數(shù)列?an?的公比為q?？傻茫琣1a2a3?a

2??則根據(jù)條件可得：?8?1???8q?9??2?8?3?，解得，q?2或q?1（舍去）。所以??

?a1?4??q?2Sn?，因此，an?2n?

1。令

1?2?3???n=1?2?3???n----------①，則123n2223242n?1

1S?1?2?3???n--------------②，n2222由①-②得，1S?1?1?1???1?n，即，n2223242n?12n?2

n=1?1?n?1 Sn?1?1?1???1?2222222例3在某兩個正數(shù)x，y之間，若插入一個數(shù)a，使x，a，y成等差數(shù)列；若另插入兩個數(shù)b，c，使x，b，c，y成等比數(shù)列，求證：?a?1?2??b?1??c?1? 分析：不等式左邊有字母a，右邊有不同字母b、c，要比較兩邊的大小，必須尋

x?y

c?3xy2。，b?3x2y，33m?nn??0，b?m2n，c?mn2，為計算方便，我們再令m??0，則a?，c三者之間的聯(lián)系，b、找a、利用數(shù)列的關(guān)系可得：a?

?m3?n3?2

那么，?a?1???b?1??c?1????1??m2n?1mn2?1=

???m3?n3?

=???m2?n2?m?n??0，得?a?1?2??b?1??c?1?。??

例4設(shè)an?0，且an?an?an?1，求證：對一切自然數(shù)n，都有an?。

????

??

?an?1?an?，由已知an?0，所以有，分析：因為an?an?an?1，所以an?1?an?an

an?1?an??0，即0?an?1。又因為an?1?an?1?an?，則有，1?

1?1?1，所以1?1?1?1。

n?1nnnnn?1nn

在上式中取n?1,2,?,n?1，得n?1個不等式，把它們相加得，1?1?n?1，n1

于是，1?n?1?1?n?1?1?n，因此，an?1。在此題的證明過程中，我們巧

n1

妙的利用了數(shù)列求和的累加法，時問題的解決有一種全新的感覺。本題由于和自

然數(shù)有關(guān)，也可以利用數(shù)學(xué)歸納法來證明。

例5 設(shè)a?2，給定數(shù)列?xn?，其中x1?a，且滿足xn?1

2xn

。?

n

求證：xn?2且

xn?1

?1。n

分析：這是1984年的高考題，當(dāng)時難倒了絕大部分的學(xué)生，大家覺得無從著手。它給定的是數(shù)列，求證的是不等式，而且都是和通項有關(guān)，所以我們可以考慮求出數(shù)列的通項再來觀察。因為

?xn??xn?1?xn?1

????2???2?n?1xn?4xn?4???xn?2??n?1

n?1

xn

?x?

又因為????1?，?1?

22n

xna??x1?a，所以有，???n??，則xn?

2a?2?1??????

。而a?2，則有，a?2?所以0?1??0?a?2?1，??

??

因此，xn?2且

2n?1

a?2?那么0?1???1，??

??

2n?1

a?2??1??????

2n

?1，xn?1

?1。n

1。例6求證：1?3?5?2n?1?

分析：這是一道不等式的證明題，若我們總是在不等式的圈子里轉(zhuǎn)悠，問題不能圓滿的解決。跳出這個圈子，我們不難發(fā)現(xiàn)這是一個自然數(shù)有關(guān)的命題，那么，解決它的方法不外乎兩種，一是利用數(shù)學(xué)歸納法；二是構(gòu)造數(shù)列。我們來構(gòu)造一

?2n?2?2??3n?1??an?1?1352n?1個數(shù)列?an?。令an????= ?3n?1，則???22n?1?3n?4?n?

12n?28n?20n?4?1。=所以，an?1?an，從而有，an?an?1?an?2???a1?1。12n3?28n2?19n?4

因此原不等式得證。

例7設(shè)?an?是正項的等比數(shù)列，Sn是其前n項的和.證明：

lgSn?lgSn?2

?lgSn?1。

分析：這是在數(shù)列情景下的不等式證明，所以要交叉使用數(shù)列的性質(zhì)和不等式的證明技巧。要證不等式等價于Sn?Sn?2?Sn?1，因為an?0，所以Sn?1?Sn?0。

由等比數(shù)列的定義可得：

aaa2a3

????n?1?n?2。12nn?1

再用等比定理得：

Sn?2?Sn?1an?2a2?a3???an?1Sn?1?a1Sn?1，因此????

n?1nn?112?nnn

有：Sn?Sn?2?Sn?1。

2例8 數(shù)列?an?和?bn?都是正項數(shù)列，對任意的自然數(shù)都有an，bn，an?1成等差數(shù)

22列，bn，an?1，bn?1成等比數(shù)列。

(1)問：?bn?是不是等差數(shù)列？為什么？

222(2)求證：對任意的自然數(shù)p和q（p?q），bp≥?b2b?qp?qp。

分析：對于第(1)題，我們不難證明它一定是等差數(shù)列。問題(2)的證明方法很多，我們可以直接利用等差數(shù)列的通項公式，通過作差比較來完成。但是若我們仔細

222

分析題意，觀察bp ?q，bp?q，bp的特點，我們不難發(fā)現(xiàn)它們?nèi)咧g有等量關(guān)系：

22bp?q?bp?q?2bp，所以bp?q?bp?q

?bp?q?bp?q?2

?2b2。此題充分體現(xiàn)了數(shù)列≥

p

和不等式知識的交叉運用。

例9數(shù)列?an?中，前n項之和為Sn?an2?bn，其中a和b為常數(shù)，且a?0，a?b?1，n?N。

(1)求數(shù)列?an?的通項公式an；并證明an?1?an?1。(2)若cn?loganan?1，試判斷數(shù)列?cn?中任意兩項的大小。

分析：此題的已知條件，前n項之和為Sn?an2?bn 告訴我們，數(shù)列?an?是一個等差數(shù)列，要證明an?1?an?1成立，只要證明該數(shù)列是一個遞增的數(shù)列，且a1?1即可。(1)由Sn?an2?bn可知，a1?S1?a?b?1，an?Sn?Sn?1?2an?a?b，所以an?1?an?2a?0，即數(shù)列?an?是一個單調(diào)遞增的數(shù)列，那么

an?1?an?a1?1。

(2)

由

(1)

可

知，=數(shù)

列

?cn?

各項都為正。則≤

cn?1logan?1an?2

?nann?1

logan?1an?2?logan?1an

?logan?1an?2?logan?1an????1logan?1?an?2?an?2?????

??

2??a?a??1?log?n?2n

??= an?1

??????

=1logan?1?an?1???

?1，所以cn?1?cn.2例10 已知數(shù)列?an?中，對一切自然數(shù)n，都有an??0,1?且an?an ?1?2an?1?an?0。

求證：(1)an?1?1an；

(2)若Sn表示數(shù)列?an?的前n項之和，則Sn?2a1。

2分析：從題目的結(jié)構(gòu)可以看出，條件an?an?1?2an?1?an?0是解決問題的關(guān)鍵，2必須從中找出an?1和an 的關(guān)系。(1)由已知an?an?1?2an?1?an?0，可得

an?

2an?12

0?1?a??，又因為，所以有，a?0,1n?1?1,因此an?2an?1，即n2

1?an?1

an?1?1an。

1a，即a?1a，于是有，(2)由結(jié)論(1)可知，an?1an?1?12an?2???n n?11n?11

?1?1?2

11Sn?a1?a2???an?a1?a1???n?1a1?a1??2??1????

??2a1，即Sn?2a1。???

從上面的一系列問題中，我們可以看出，數(shù)列和不等式證明是緊密相連互相滲透的，在復(fù)習(xí)中我們一定要注意它們的聯(lián)系，在知識的交叉點上思考分析，達到知識的融會貫通，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力。

第二篇：高中數(shù)學(xué) 高考中數(shù)列和不等式證明的交叉論文

高考中數(shù)列和不等式證明的交叉

數(shù)列和不等式是高考的兩大熱點也是難點，數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中一個重要的內(nèi)容，在高等數(shù)學(xué)也有很重要的地位，不等式是高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生思維能力的一個突出的內(nèi)容，它可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維中的很多方法，當(dāng)兩者結(jié)合在一起的時候，問題會變得非常的靈活。所以在復(fù)習(xí)時，我們在分別復(fù)習(xí)好兩類知識的同時，一定要注意它們的相互滲透和交叉，培養(yǎng)靈活的思維能力。

數(shù)列和證明不等式的交叉，是這兩大塊知識的主要交叉點，它在數(shù)列的特殊情景下，巧妙的融合了不等式的證明，它所涉及的問題往往是靈活的應(yīng)用了數(shù)列和不等式的知識，把這兩者完美的結(jié)合在了一起。

例1設(shè)?an?和?bn?分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，且a1?b1?0，a2?b2?0，若a1?a2，試比較an和bn的大小。

分析：這兩個通項大小的比較，它們的未知量比較多，比容易直接完成。因通過它們的項數(shù)n把他們組合在一起。設(shè)?an?的公差為d，?bn?的公比為q。顯然q?0，因為a2?b2?0，所以有，a1?d?a1q，即a1?q?1??d。an?bn?a1??n?1?d?a1qn?1?a1?a1?n?1??q?1??a1qn?1。又因為a1?a2，所以

?1?qn?1?a2q??1。若q?1時，an?bn?a1?1?q????n?1??= a1?1?q?

=a1?1?q?1?q?q2???qn?2??n?1?。因為1?q?q2???qn?1?n?1，1?q?0，所以有：an?bn。若0?q?1時，1?q?q2???qn?1?n?1，1?q?0，所以也有： ????an?bn。綜上所述，當(dāng)n?N，且n?2時，an?bn。在證明過程，對等比數(shù)列求和公式的逆用，是本題證明的一個轉(zhuǎn)折點，它避免了一些不必要的分類討論，時問題得以簡化。

例2已知遞增的等比數(shù)列?an?前三項之積為512，且這三項分別減去1，3，9后成等差數(shù)列，求證：1?2?3???n?1。a1a2a3an

分析：要想證明這個不等式，首先要求出左邊的和式。根據(jù)題意，?an?是等比數(shù)列，2所以左邊的和式可以利用錯位相減法來求和。先確定這個等比數(shù)列。由a1a3?a2可

得，a1a2a3?a2?512，所以a2?8。再設(shè)等比數(shù)列?an?的公比為q。則根據(jù)條件可

?a1?4??

得：?8?1???8q?9??2?8?3?，解得，q?2或q?1（舍去）。所以?，因此，q2???q?2123n

an?2n?1。令Sn?1?2?3???n=2?3?4???n?1----------①，則

a1a2a3an222

21S?1?2?3???n--------------②，2n2324252n?2由①-②得，1S?1?1?1???1?n，即，2n2223242n?12n?2

1?1?1???1?n1?1?n?

1= Sn?

222232n2n?12n2n?1

例3在某兩個正數(shù)x，y之間，若插入一個數(shù)a，使x，a，y成等差數(shù)列；若另插入兩個數(shù)b，c，使x，b，c，y成等比數(shù)列，求證：?a?1?2??b?1??c?1?

分析：不等式左邊有字母a，右邊有不同字母b、c，要比較兩邊的大小，必須尋找

x?y，b?x2y，c?xy2。a、b、c三者之間的聯(lián)系，利用數(shù)列的關(guān)系可得：a?2為計算方便，我們再令m?x?0，n

?33

m?n則a?，b?m2n，c?mn2，y?0，?m3?n3?2

?1??m2n?1mn2?1= 那么，?a?1???b?1??c?1???

2???m3?n3?

=???m2?n2?m?n??0，得?a?1?2??b?1??c?1?。

2??

例4設(shè)an?0，且an?an?an?1，求證：對一切自然數(shù)n，都有an?。

????

??

n

22分析：因為an?an?an?1，所以an?1?an?an?an?1?an?，由已知an?0，所以有，an?1?an??0，即0?an?1。又因為an?1?an?1?an?，1?1?1，所以1?1?1?1。則有，1?

an?1an1?anan1?anan?1an1?an

在上式中取n?1,2,?,n?1，得n?1個不等式，把它們相加得，1?1?n?1，于

ana1

是，1?n?1?1?n?1?1?n，因此，an?1。在此題的證明過程中，我們巧妙的nana1

利用了數(shù)列求和的累加法，時問題的解決有一種全新的感覺。本題由于和自然數(shù)有關(guān)，也可以利用數(shù)學(xué)歸納法來證明。

例5 設(shè)a?2，給定數(shù)列?xn?，其中x1?a，且滿足xn?1

xn?1

?1。xn

2xn

。?

2xn?1求證：xn?2且

分析：這是1984年的高考題，當(dāng)時難倒了絕大部分的學(xué)生，大家覺得無從著手。它給定的是數(shù)列，求證的是不等式，而且都是和通項有關(guān)，所以我們可以考慮求出數(shù)列的通項再來觀察。

?xn?xn?1xn?1?x1??????因為?2????????，又因為2?xn?1?2xn?4xn?4?xn?2?x?2x?1?1??n?1??

xn

xna????x1?a，所以有，?xn?2?a?2?

n?1

2n，則xn?

2a?2?1?????a?

2n?1

。而a?2，則有，a?2?0?a?2?1，所以0?1????

a?a?因此，xn?2且

xn?1

?1。xn

2n?1

a?2??1，那么0?1?????a?

2n?1

a?2??1?????a?

2n

?1，1例6求證：1?3?5?2n?1?。

2462n3n?1

分析：這是一道不等式的證明題，若我們總是在不等式的圈子里轉(zhuǎn)悠，問題不能圓滿的解決。跳出這個圈子，我們不難發(fā)現(xiàn)這是一個自然數(shù)有關(guān)的命題，那么，解決它的方法不外乎兩種，一是利用數(shù)學(xué)歸納法；二是構(gòu)造數(shù)列。我們來構(gòu)造一個數(shù)列

a??2n?2???3n?1?=

?an?。令an?1?3?5?2n?1?n?1，則??n?1??

2462n2n?12?3n?4?an?

12n?28n?20n?4?1。所以，a?a，從而有，a?a?a???a?1。=n?1nnn?1n?2112n3?28n2?19n?4

因此原不等式得證。

lgSn?lgSn?2

?lgSn?1。

分析：這是在數(shù)列情景下的不等式證明，所以要交叉使用數(shù)列的性質(zhì)和不等式的證

例7設(shè)?an?是正項的等比數(shù)列，Sn是其前n項的和.證明：

明技巧。要證不等式等價于Sn?Sn?2?Sn?1，因為an?0，所以Sn?1?Sn?0。

由等比數(shù)列的定義可得：

aaa2a3

????n?1?n?2。a1a2anan?1

再用等比定理得：

Sn?Sn?2?Sn?1。

Sn?2?Sn?1an?2a2?a3???an?1Sn?1?a1Sn?1，因此有：????

Sn?1?Snan?1a1?a2???anSnSn

例8 數(shù)列?an?和?bn?都是正項數(shù)列，對任意的自然數(shù)都有an，bn，an?1成等差數(shù)列，22，an?1，bnbn?1成等比數(shù)列。

(1)問：?bn?是不是等差數(shù)列？為什么？

222(2)求證：對任意的自然數(shù)p和q（p?q），bp?q?bp?q≥2bp。

分析：對于第(1)題，我們不難證明它一定是等差數(shù)列。問題(2)的證明方法很多，我們可以直接利用等差數(shù)列的通項公式，通過作差比較來完成。但是若我們仔細分

222

析題意，觀察bp，bb?qp?qp的特點，我們不難發(fā)現(xiàn)它們?nèi)咧g有等量關(guān)系：

?bp?q?bp?q?≥

bp?q?bp?q?2bp，所以bp?q?bp?q

。此題充分體現(xiàn)了數(shù)列和?2bp

不等式知識的交叉運用。

例9數(shù)列?an?中，前n項之和為Sn?an2?bn，其中a和b為常數(shù)，且a?0，a?b?1，n?N。

(1)求數(shù)列?an?的通項公式an；并證明an?1?an?1。(2)若cn?loganan?1，試判斷數(shù)列?cn?中任意兩項的大小。

分析：此題的已知條件，前n項之和為Sn?an2?bn 告訴我們，數(shù)列?an?是一個等差數(shù)列，要證明an?1?an?1成立，只要證明該數(shù)列是一個遞增的數(shù)列，且a1?1即可。(1)由Sn?an2?bn可知，a1?S1?a?b?1，an?Sn?Sn?1?2an?a?b，所以an?1?an?2a?0，即數(shù)列?an?是一個單調(diào)遞增的數(shù)列，那么an?1?an?a1?1。

cn?1logan?1an?2

?(2)由(1)可知，數(shù)列?cn?各項都為正。則=logan?1an?2?logan?1ancnloganan?1

?logan?1an?2?logan?1an≤??2?=1logan?1?an?1?24

2???a?a??n

??1loga?an?2?an?2?1?logan?1?n?2??= n?1?424???????

??

??

?1，所以cn?1?cn.例10 已知數(shù)列?an?中，對一切自然數(shù)n，都有an??0,1?且an?an ?1?2an?1?an?0。

求證：(1)an?1?1an；

(2)若Sn表示數(shù)列?an?的前n項之和，則Sn?2a1。

分析：從題目的結(jié)構(gòu)可以看出，條件an?an?1?2an?1?an?0是解決問題的關(guān)鍵，必2須從中找出an?1和an 的關(guān)系。(1)由已知an?an可得an??1?2an?1?an?0，2an?1

1?an?1，12

又因為an??0,1?，所以有，0?1?an?1?1,因此an?2an?1，即an?1?an。2

1a1aa?(2)由結(jié)論(1)可知，an?1an?1?12an?2???n，即1n1，于是有，222?12n?1?1?1??2?11??2a1，即Sn?2a1。Sn?a1?a2???an?a1?a1???n?1a1?a1??

122??1?2????

從上面的一系列問題中，我們可以看出，數(shù)列和不等式證明是緊密相連互相滲透的，在復(fù)習(xí)中我們一定要注意它們的聯(lián)系，在知識的交叉點上思考分析，達到知識的融會貫通，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力。

第三篇：用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式

【例1】（2012全國大綱卷理22）函數(shù)f(x)?x2?2x?3，定義數(shù)列?xn?如下：x1?2，xn?1是過兩點P(4,5)、Qn(xn,f(xn))的直線PQn與x軸交點的橫坐標(biāo).（1）證明:2?xn?xn?1?3；（2）求數(shù)列?xn?的通項公式.【證】（1）證：直線PQn的方程為y?5?f(xn)?5(x?4)，即y?5?(xn?2)(x?4)，xn?44x?35令y?0，解得xn?1?4?.?nxn?2xn?2下用數(shù)學(xué)歸納法證明2?xn?3：

① 當(dāng)n?1時，x1?2，所以2?x1?3.② 假設(shè)當(dāng)n?k時結(jié)論成立，即2?xk?3，則當(dāng)n?k?1時，由xk?1?4?11555?xk?1?3，故?xk?1?4?，得4?，即42?23?2xk?2*2?xk?1?3.由①②知，對一切n?N都有2?xn?3.4xn?3?xn2?2xn?3(3?xn)(xn?1)從而xn?1?xn??xn???0，故xn?1?xn.xn?2xn?2xn?2綜上，2?xn?xn?1?3.4x?3x?35(xn?1)（2）解：由（1）知，xn?1?n，則 xn?1?3?n ①，xn?1?1? ②，xn?2xn?2xn?

2①?②，得

?x?3?11xn?1?31xn?3???，故數(shù)列?n是首項為，公比為的等比數(shù)列.?53xn?1?15xn?1x?1?n?n?19?5n?1?1xn?31?1?*

因此，(n?N).?????，解得：xn?n?13?5?1xn?13?5?【例2】已知函數(shù)f(x)?ln(2?x)?ax在開區(qū)間(0，1)內(nèi)是增函數(shù)．

(Ⅰ)求實數(shù)a的取值范圍；

(Ⅱ)若數(shù)列?an?滿a1?(0,1),an?1?ln(2?an)?an(n?N*)，證明：0?an?an?1?1．(Ⅰ)解：f?(x)??1?a，由于f(x)在(0，1)內(nèi)是增函數(shù)，2?x1?a?0在x∈∴ f?(x)?0，即 ?(0，1)時恒成立． 2?x1∴ a?? 恒成立，x?2而

－2＜x－2＜－1，11??，x?2211?1，即 ??2x?2∴

a?1即為所求． ∴ ?1?(Ⅱ)證明：① 當(dāng)n=1時，由題設(shè)知a1∈(0，1)． ② 假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式成立，即ak∈(0，1)，則 當(dāng)n=k+1時，由(Ⅰ)知，f(x)=ln(2－x)+x在(0，1)上是增函數(shù)

∴0?f(0)?ln(2?0)?0?ak?1?ln(2?ak)?ak?f(ak)?f(1)?ln(2?1)?1?1，即ak+1∈(0，1)，故n=k+1時命題成立.根據(jù)① ② 知0＜an＜1，n∈N*． 又 ∵ an?1?an?ln(2?an)?ln(2?1)?0，∴ 0?an?an?1?1．

【例3】已知函數(shù)f(x)?x?sinx,數(shù)列{an}滿足：0?a1?1,an?1?f(an),n?1,2,3,證明：，13an.6證明：(Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明0?an?1,n?1,2,3,?(Ⅰ)0?an?1?an?1；(Ⅱ)an?1?① 當(dāng)n=1時，由已知，結(jié)論成立.② 假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，即0?ak?1，因為0?x?1時，f?(x)?1?cosx?0，所以f(x)在(0，1)上是增函數(shù)，又f(x)在[0，1]上連續(xù)，從而f(0)?f(ak)?f(1)，即0?ak?1?1?sin1?1，故當(dāng)n=k+1時，結(jié)論成立.由①②可知，0?an?1對一切正整數(shù)都成立.又因為0?an?1時，an?1?an?an?sinan?an??sinan?0，所以an?1?an，綜上所述0?an?1?an?1.(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)?sinx?x?13x,0?x?1，6由(Ⅰ)可知，當(dāng)0?x?1時，sinx?x.x2x2x2x22x??2sin???2()??0, 從而g?(x)?cosx?1?22222所以g(x)在（0，1）上是增函數(shù).又g(0)?0，所以當(dāng)0?x?1時，g(x)>0成立.13于是g(an)?0，即sinan?an?an?0，613故an?1?an．

【例4】已知函數(shù)f(x)?x?ln?1?x?,數(shù)列?an?滿足0?a1?1, an?1?f?an?;數(shù)列?bn?滿足b1?11,bn?1?(n?1)bn, n?N*.求證: 22（Ⅰ）0?an?1?an?1;

an2;（Ⅱ）an?1?22,則當(dāng)n≥2時,bn?an?n!.(n!?n?(n?1)?（Ⅲ）若a1?2*解:(Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明0?an?1,n?N.（1）當(dāng)n=1時,由已知得結(jié)論成立;

?2?1)（2）假設(shè)當(dāng)n=k時,結(jié)論成立,即0?ak?1.則當(dāng)n=k+1時,因為0g(0)=0.由g?(x)?1?xan2an2?f?an?>0,從而an?1?.因為0?an?1,所以g?an??0,即2211n?1b(Ⅲ)因為 b1?,bn?1?(n?1)bn,所以bn?0,n?1? ，222bnbbb21 所以bn?n?n?1 ?b1?n?n!

————①bn?1bn?2b12 an2aaaaa,知:n?1?n, 所以n=2?3由(Ⅱ)an?1?2a1a1a2an2因為a1?anaa?12an?122an?1 , 22, n≥2, 0?an?1?an?1.2a1a2an?1a1n2?a121?a1

所以 an?.222222 由①② 兩式可知: bn?an?n!.【例5】

設(shè)函數(shù)f(x)與數(shù)列?an?滿足以下關(guān)系：

① a1??，其中?是方程f(x)?x的實根； ② an?1?f(an)；

1).③ f(x)的導(dǎo)數(shù)f?(x)?(0，(Ⅰ)求證：an??；

(Ⅱ)判斷an與an?1的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(Ⅰ)證：① 當(dāng)n?1時，a1??，不等式成立.② 假設(shè)當(dāng)n?k時不等式成立，即ak??，則n?k?1時，∵f?(x)?0，則f(x)遞增.∴ak?1?f(ak)?f(?)??，即n?k?1時不等式也成立.由①、②知，an??對一切n?N都成立.(Ⅱ)解：an?1?an?f(an)?an，設(shè)F(x)?f(x)?x，則F?(x)?f?(x)?1?0，∴F(x)遞減，而an??，∴F(an)?F(?)?f(?)???0，即f(an)?an?0，亦即an?1?an?0，*∴an?1?an.【例6】（2005江西）已知數(shù)列{an}的各項都是正數(shù),且滿足:

1an(4?an),n?N.2（1）證明an?an?1?2,n?N;a0?1,an?1?（2）求數(shù)列{an}的通項公式an.解：（1）方法一 用數(shù)學(xué)歸納法證明：

13a0(4?a0)?,∴a0?a1?2，命題正確.222°假設(shè)n=k時有ak?1?ak?2.1則n?k?1時,ak?ak?1?ak?1(4?ak?1)?ak(4?ak)

221?2(ak?1?ak)?(ak?1?ak)(ak?1?ak)

21?(ak?1?ak)(4?ak?1?ak).2而ak?1?ak?0.4?ak?1?ak?0,?ak?ak?1?0.112又ak?1?ak(4?ak)?[4?(ak?2)]?2.22∴n?k?1時命題正確.由1°、2°知，對一切n∈N時有an?an?1?2.1°當(dāng)n=1時，a0?1,a1?方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1°當(dāng)n=1時，a0?1,a1?

2°假設(shè)n=k時有ak?令f(x)?13a0(4?a0)?,∴0?a0?a1?2； 22?ak?2成立，1x(4?x)，f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增，所以由假設(shè) 2111有：f(ak?1)?f(ak)?f(2),即ak?1(4?ak?1)?ak(4?ak)??2?(4?2)，222也即當(dāng)n=k+1時

ak?ak?1?2成立，所以由1°、2°知，對一切n?N,有ak?ak?1?

2（2）下面來求數(shù)列的通項：an?1?11an(4?an)?[?(an?2)2?4],所以 222(an?1?2)??(an?2)2

1211221122211?2???2n?12n令bn?an?2,則bn??bn??(?b)???()b????()bn?1n?2n?1222222，2又bn=－1，所以bn??()12n?11n,即an?2?bn?2?()2?1

【拓展題】

【例】、數(shù)列?an?滿足an?12a?3an??，且a1?1.（1）當(dāng)??1時，求數(shù)列?an?的?nan?12通項公式；

（2）若不等式an?1?an對一切n?N恒成立，求?的取值范圍；

（3）當(dāng)?3???1時，證明：

*1111?????1?n.1?a11?a21?an2解：（1）當(dāng)??1時，an?1?2an?1?an?1?1?2(an?1)???an?2n?1.(an?1)2???1*（2）an?1?an?①，要使an?1?an對一切n?N恒成立，an?1(a1?1)2???1??3至少需使a2?a1???0成立????3.a1?12下面先用數(shù)歸法證明：當(dāng)???3時，an?1(略)，再由①知an?1?an恒成立.所以??[?3,??)為所求.（3）當(dāng)?3???1時，由(2)知an?1，則由

2a(a?1)?(an?1)???1??1an?1?nn?2an?1??2an?1

an?1an?1?an?1?1?2(an?1)?22(an?1?1)???2n(a1?1)?2n?111?0?an?1?2n??n，1?an21111111從而??????2???n?1?n，等號當(dāng)且僅當(dāng)n?11?a11?a21?an2222時成立.（2009安徽理21）首項為正數(shù)的數(shù)列?an?滿足an?1?為奇數(shù)，則對一切n?2,an都是奇數(shù)；（2）若對一切n?N都有an?1?an，求a1的取值范圍.略解：（1）已知a1是奇數(shù)，假設(shè)ak?2m?1是奇數(shù)，其中m為正整數(shù)，*12(an?3),n?N*.（1）證明：若a14ak2?3?m(m?1)?1是奇數(shù).（因為m(m?1)是偶數(shù)）則由遞推關(guān)系得ak?1?4*根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對任何n?N，an都是奇數(shù).1（2）（方法一）由an?1?an?(an?1)(an?3)知，an?1?an當(dāng)且僅當(dāng)an?1或an?3.41?332?3?1；若ak?3，則ak?1??3.另一方面，若0?ak?1,則0?ak?1?44根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，0?a1?1,?0?an?1,?n?N*;a1?3?an?3,?n?N*.綜合所述，對一切n?N都有an?1?an的充要條件是0?a1?1或a1?3.*a12?3?a1,得a12?4a1?3?0,于是0?a1?1或a1?3.（方法二）由a2?4an2?3an2?3an?12?3(an?an?1)(an?an?1), an?1?an???，因為a1?0,an?1?4444所以所有的an均大于0，因此an?1?an與an?an?1同號.根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，?n?N，an?1?an與a2?a1同號.*因此，對一切n?N都有an?1?an的充要條件是0?a1?1或a1?3.*

第四篇：數(shù)列不等式的證明

數(shù)列和式不等式的證明策略

羅紅波洪湖二中高三

（九）班周二第三節(jié)（11月13日）

數(shù)列和式不等式的證明經(jīng)常在試卷壓軸題中出現(xiàn)，在思維能力和方法上要求很高，難度很大，往往讓人束手無策，其實，這類不等式的證明，是有一定的規(guī)律的，利用S1

n?

a1?q

來證明也能事半功倍，下面用幾個例子來簡述數(shù)列和式不等式的證明

S1

n?

a1?q

常用策略。

一、基礎(chǔ)演練：

1、等比數(shù)列{an}，公比為q，則{an}的前n項和Sn為（）

?na1(q?1A．?)

?an

a?1(1?q)1(1?qn)a?

1?q(q?1)B.na1C.1?qD.11?q2、正項等比數(shù)列{an}，公比為q，0?q?1，{an}的前n項和Sn，以下說法正確的是（）A．S1n?

a11?qB.S?a11?qC.Saa

nn?1?qD.Sn?11?q3、正項數(shù)列{a}，{a的前n項和Sa

nn}n，要證明S1n?1?q，其中0?q?1，可以去證明（）A．

an?1?qB.an?1a?qC.an?1?qD.a

n?1a?q nnanan

二、典例精講：

例

1、等比數(shù)列{a1

n}，a1?1,q?2，{an}的前n項和Sn，求證：Sn?2

變式

1、正項等比數(shù)列{an}，{a1n}的前n項和Sn，a1?1,Sn?2恒成立，求證：0?q?

2例

2、已知數(shù)列{an}，an?1

2n

?1，{an}的前n項和S5n，求證：Sn?2(Sn?3?)

aann變式

2、數(shù)列{n?1n}，a?3?23?2n?1，a1?1，{a3

n?1n}的前n項和Sn，求證：Sn? n

2例

3、（09四川理22）數(shù)列{an}的前n項和Sn，對任意正整數(shù)n，都有a4?an

n?5Sn?1成立，記bn?1?a(n?N?).n

(1)求數(shù)列{bn}的通項公式；

(2)記c?

n?b2n?b2n?1(n?N)，{c3

n}的前n項和Tn，求證：Tn?

2變式

3、已知a1n?

?2，求證Sn?(?1)a1?(?1)2a2????????(?1)nan?1

(?2)n?

3三、小結(jié)

四、課后作業(yè)：

1、等比數(shù)列{a1

n}，a1?2,q?

3，{an}的前n項和Sn，求證：Sn?3

2、已知數(shù)列{an}，an?

14n?2，{an}的前n項和Sn，求證：S2

n

?3

第五篇：數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法·用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法·用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式·教案

證明：（1）當(dāng)n=1時，左=2，右=2，則等式成立．（2）假設(shè)n=k時（k∈N，k≥1），等式成立，即 2+4+6+…+2k=k（k+1）． 當(dāng)n=k+1時，2+4+6+…+2k+（k+1）

所以n=k+1時，等式也成立．

根據(jù)（1）（2）可知，對于任意自然數(shù)n，原等式都能成立． 生甲：證明過程正確．

生乙：證明方法不是數(shù)學(xué)歸納法，因為第二步證明時，沒有應(yīng)用歸納假設(shè)．

師：從形式上看此種證明方法是數(shù)學(xué)歸納法，但實質(zhì)在要證明n=k+1正確時，未用到歸納假設(shè)，直接采用等差數(shù)列求和公式，違背了數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)特點遞推性，所以不能稱之為數(shù)學(xué)歸納法．因此告誡我們在運用數(shù)學(xué)歸納法證明時，不能機械套用兩個步驟，在證明n=k+1命題成立時，一定要利用歸納假設(shè)．

（課堂上講評作業(yè)，指出學(xué)生作業(yè)中不妥之處，有利于鞏固舊知識，為新知識的學(xué)習(xí)掃清障礙，使學(xué)生引以為戒，所謂溫故而知新）

（二）講授新課

師：在明確數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)的基礎(chǔ)上，我們來共同研究它在不等式證明中的應(yīng)用．（板書）例1已知x＞-1，且x≠0，n∈N，n≥2．求證：（1+x）n＞1+nx． 師：首先驗證n=2時的情況．

（板書）證：（1）當(dāng)n=2時，左邊=（1+x）2=1+2x+x2，右邊=1+2x，因x2＞0，則原不等式成立．

（在這里，一定要強調(diào)之所以左邊＞右邊，關(guān)鍵在于x2＞0是由已知條件x≠0獲得，為下面證明做鋪墊）