第一篇：數(shù)列不等式的證明舉例

?1.已知數(shù)列?an?滿足a1?1,an?1?2an?1n?N ??

（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若數(shù)列?bn?滿足4b1?14b2?14b3?1?4bn?1?(an?1)bn，證明：?bn?是等差數(shù)列；（Ⅲ）證明：1112??????n?N?? aa3an?13

2分析：本例（1）通過把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列；第（2）關(guān)鍵在于找出連續(xù)三項(xiàng)間的關(guān)系；第（3）問關(guān)鍵在如何放縮。

解：（1）?an?1?2an?1，?an?1?1?2(an?1)

故數(shù)列{an?1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。

?an?1?2n，an?2n?

1（2）?4b1?14b2?14b3?1?4bn?1?(an?1)bn，?4(b1?b2???bn?n)?2nbn

2(b1?b2???bn)?2n?nbn①

2(b1?b2???bn?bn?1)?2(n?1)?(n?1)bn?1②

②—①得2bn?1?2?(n?1)bn?1?nbn，即nbn?2?(n?1)bn?1③

?(n?1)bn?1?2?nbn?2④

④—③得2nbn?1?nbn?nbn?1，即2bn?1?bn?bn?1

所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列

11111（3）? ?n?1?n?1?an2?12?22an?1

11111111111設(shè)S?，則S??????(????)??(S?)a2a3an?1a22a2a3ana22an?1

21212S????? a2an?13an?1

3點(diǎn)評：數(shù)列中的不等式要用放縮來解決難度就較大了，而且不容易把握，對于這樣的題要多探索，多角度的思考問題。

2.已知函數(shù)f(x)?x?ln?1?x?,數(shù)列?an?滿足0?a1?1,an?1?f?an?;數(shù)列?bn?滿足b1?,bn?1?(n?1)bn, n?N*.求證:

（Ⅰ）0?an?1?an?1;1212

an2;（Ⅱ）an?1?2

（Ⅲ）若a1?則當(dāng)n≥2時(shí),bn?an?n!.分析：第（1）問是和自然數(shù)有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；第（2）問可利用函數(shù)的單調(diào)性；第（3）問進(jìn)行放縮。

*解：(Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明0?an?1,n?N.（1）當(dāng)n=1時(shí),由已知得結(jié)論成立;（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即0?ak?1.則當(dāng)n=k+1時(shí), 因?yàn)?

又f(x)在0,1上連續(xù),所以f(0)

x2x2

?ln(1?x)?x, 0

x2

?0,知g(x)在(0,1)上增函數(shù).由g?(x)?1?x

又g(x)在?0,1?上連續(xù),所以g(x)>g(0)=0.an2an2

?f?an?>0,從而an?1?.因?yàn)??an?1,所以g?an??0,即22

11n?1b

(Ⅲ)因?yàn)?b1?,bn?1?(n?1)bn,所以bn?0,n?1? ,222bn

bbb1

所以bn?n?n?1?2?b1?n?n!————① ,bn?1bn?2b12

an2aaaaaaaaa,知:n?1?n,所以n=2?3?n?12?n?1 , 由(Ⅱ)an?1?22an2a1a1a2an?122, n≥2, 0?an?1?an?1.2

a1n2?a121a1a2an?1

??a1

222222

由①② 兩式可知: bn?an?n!.因?yàn)閍1?

點(diǎn)評：本題是數(shù)列、超越函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的學(xué)歸納法的知識交匯題，屬于難題，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起注意。

3.已知數(shù)列?an?滿足a1?

（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式an；（Ⅱ）設(shè)bn?

an?1

1(n?2,n?N)．，an?n

4?1an?1?

21an，求數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)和Sn；

（Ⅲ）設(shè)cn?ansin

(2n?1)??，數(shù)列?cn?的前n項(xiàng)和為Tn．求證：對任意的n?N，2

Tn?

4． 7

分析：本題所給的遞推關(guān)系式是要分別“取倒”再轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列，對數(shù)列中不等式的證明通常是放縮通項(xiàng)以利于求和。解：（Ⅰ）?又?

1211，??(?1)n??(?1)n?(?2?(?1)n?1]，anan?1anan?1

?11n?

????1，數(shù)列?(?1)?3???是首項(xiàng)為3，公比為?2的等比數(shù)列．

a1?an?

(?1)n?11nn?1

.?(?1)?3(?2)，即an?n?1an3?2?1

（Ⅱ）bn?(3?2n?1?1)2?9?4n?1?6?2n?1?1．

1?(1?4n)1?(1?2n)Sn?9??6??n?3?4n?6?2n?n?9．

1?41?2(2n?1)?

?(?1)n?1，（Ⅲ）?sin

2(?1)n?11

．?cn??n?1nn?1

3(?2)?(?1)3?2?1

1111?????當(dāng)n?3時(shí)，則Tn? 2n?1

3?13?2?13?2?13?2?1

n?21

[1?(1]1111111)???????23n?11

473?2281?3?23?2111111147484??[1?()n?2]?????． 286228684847

?T1?T2?T3，?對任意的n?N?，Tn?．

7點(diǎn)評：本題利用轉(zhuǎn)化思想將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成我們熟悉的結(jié)構(gòu)求得數(shù)列?an?的通項(xiàng) 4.已知函數(shù)f(x)=

5?2x，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列?an?滿足a1=l，an?1?f?an?．

16?8x

(1)寫出a2、a3的值;(2)試比較an與的大小，并說明理由；

4n

51n

(3)設(shè)數(shù)列?bn?滿足bn=－an，記Sn=?bi．證明：當(dāng)n≥2時(shí),Sn＜(2－1)．

44i?

1分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。

5?2an7

3解：(1)an?1?，因?yàn)閍1?1,所以a2?,a3?.16?8an84（2）因?yàn)閍n?0,an?1?0,所以16?8an?0,0?an?2.5

548(an?)an?

55?2an5?3?, an?1????

416?8an432(2?an)22?an

因?yàn)??an?0,所以an?1?與an?同號，44

515555

因?yàn)閍1????0，a2??0,a3??0,?，an??0,即an?.444444

531531

?(?an?1)???bn?1（3）當(dāng)n?2時(shí)，bn??an??

422?an?1422?an?1

31???bn?1?2bn?1，22?4

所以bn?2?bn?1?22?bn?2???2n?1b1?2n?3，(1?2n)

111?1?

所以Sn?b1?b2???bn???????????(2n?1)

421?24?2?

點(diǎn)評：本題是函數(shù)、不等式的綜合題，是高考的難點(diǎn)熱點(diǎn)。

3?n

第二篇：數(shù)列不等式的證明

數(shù)列和式不等式的證明策略

羅紅波洪湖二中高三

（九）班周二第三節(jié)（11月13日）

數(shù)列和式不等式的證明經(jīng)常在試卷壓軸題中出現(xiàn)，在思維能力和方法上要求很高，難度很大，往往讓人束手無策，其實(shí)，這類不等式的證明，是有一定的規(guī)律的，利用S1

n?

a1?q

來證明也能事半功倍，下面用幾個(gè)例子來簡述數(shù)列和式不等式的證明

S1

n?

a1?q

常用策略。

一、基礎(chǔ)演練：

1、等比數(shù)列{an}，公比為q，則{an}的前n項(xiàng)和Sn為（）

?na1(q?1A．?)

?an

a?1(1?q)1(1?qn)a?

1?q(q?1)B.na1C.1?qD.11?q2、正項(xiàng)等比數(shù)列{an}，公比為q，0?q?1，{an}的前n項(xiàng)和Sn，以下說法正確的是（）A．S1n?

a11?qB.S?a11?qC.Saa

nn?1?qD.Sn?11?q3、正項(xiàng)數(shù)列{a}，{a的前n項(xiàng)和Sa

nn}n，要證明S1n?1?q，其中0?q?1，可以去證明（）A．

an?1?qB.an?1a?qC.an?1?qD.a

n?1a?q nnanan

二、典例精講：

例

1、等比數(shù)列{a1

n}，a1?1,q?2，{an}的前n項(xiàng)和Sn，求證：Sn?2

變式

1、正項(xiàng)等比數(shù)列{an}，{a1n}的前n項(xiàng)和Sn，a1?1,Sn?2恒成立，求證：0?q?

2例

2、已知數(shù)列{an}，an?1

2n

?1，{an}的前n項(xiàng)和S5n，求證：Sn?2(Sn?3?)

aann變式

2、數(shù)列{n?1n}，a?3?23?2n?1，a1?1，{a3

n?1n}的前n項(xiàng)和Sn，求證：Sn? n

2例

3、（09四川理22）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，對任意正整數(shù)n，都有a4?an

n?5Sn?1成立，記bn?1?a(n?N?).n

(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)記c?

n?b2n?b2n?1(n?N)，{c3

n}的前n項(xiàng)和Tn，求證：Tn?

2變式

3、已知a1n?

?2，求證Sn?(?1)a1?(?1)2a2????????(?1)nan?1

(?2)n?

3三、小結(jié)

四、課后作業(yè)：

1、等比數(shù)列{a1

n}，a1?2,q?

3，{an}的前n項(xiàng)和Sn，求證：Sn?3

2、已知數(shù)列{an}，an?

14n?2，{an}的前n項(xiàng)和Sn，求證：S2

n

?3

第三篇：放縮法證明數(shù)列不等式

放縮法證明數(shù)列不等式

基礎(chǔ)知識回顧:

放縮的技巧與方法：

（1）常見的數(shù)列求和方法和通項(xiàng)公式特點(diǎn)：

① 等差數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）

② 等比數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。的指數(shù)類函數(shù)）③ 錯(cuò)位相減：通項(xiàng)公式為“等差錯(cuò)誤！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式可拆成兩個(gè)相鄰項(xiàng)的差，且原數(shù)列的每一項(xiàng)裂項(xiàng)之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項(xiàng)

（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：

① 在數(shù)列中，“求和看通項(xiàng)”，所以在放縮的過程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手

② 在放縮時(shí)要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項(xiàng)公式是放大還是縮?。☉?yīng)與所證的不等號同方向）

③ 在放縮時(shí)，對通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，常見的是向等比數(shù)列與可裂項(xiàng)相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。

④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個(gè)方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項(xiàng)不動，其余項(xiàng)放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個(gè)方法就是推翻了原有放縮，重新進(jìn)行設(shè)計(jì)，選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)行嘗試。

（3）放縮構(gòu)造裂項(xiàng)相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：

① 裂項(xiàng)相消：在放縮時(shí)，所構(gòu)造的通項(xiàng)公式要具備“依項(xiàng)同構(gòu)”的特點(diǎn)，即作差的兩項(xiàng)可視為同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)（或等距離間隔項(xiàng)）

② 等比數(shù)列：所面對的問題通常為“錯(cuò)誤！未找到引用源。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，如果題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯(cuò)誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再與原通項(xiàng)公式進(jìn)行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。例如常數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數(shù)列的首項(xiàng)為錯(cuò)誤！未找到引用源。，公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。，即通項(xiàng)公式為錯(cuò)誤！未找到引用源。

注：此方法會存在風(fēng)險(xiǎn)，所猜出的等比數(shù)列未必能達(dá)到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進(jìn)行放縮，受數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)影響

（4）與數(shù)列中的項(xiàng)相關(guān)的不等式問題：

① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進(jìn)行變形

② 在有些關(guān)于項(xiàng)的不等式證明中，可向求和問題進(jìn)行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯(cuò)誤！未找到引用源。或錯(cuò)誤！未找到引用源。（累乘時(shí)要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為錯(cuò)誤！未找到引用源。，另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明 應(yīng)用舉例:

類型一：與前n項(xiàng)和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。）．

（1）求錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。對任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍．

例2.記錯(cuò)誤！未找到引用源。.對數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。和錯(cuò)誤！未找到引用源。的子集錯(cuò)誤！未找到引用源。，若錯(cuò)誤！未找到引用源。，定義錯(cuò)誤！未找到引用源。；若錯(cuò)誤！未找到引用源。，定義錯(cuò)誤！未找到引用源。.例如：錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.錯(cuò)誤！未找到引用源。

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）設(shè)，求證：.類型

二、與通項(xiàng)運(yùn)算相關(guān)的不等式 例3.設(shè)函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。）．

例4.已知錯(cuò)誤！未找到引用源。是數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和，且對任意錯(cuò)誤！未找到引用源。，有錯(cuò)誤！未找到引用源。.其中錯(cuò)誤！未找到引用源。為實(shí)數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)；

②是否存在這樣的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成等比數(shù)列？若存在，給出錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請說明理由.（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，① 判定錯(cuò)誤！未找到引用源。是否為等比數(shù)列；

②設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，若錯(cuò)誤！未找到引用源。對錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍.方法、規(guī)律歸納: 常見的放縮變形：

（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。，（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。

注：對于錯(cuò)誤！未找到引用源。還可放縮為：錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯(cuò)誤！未找到引用源。（4）錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。可推廣為：錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。實(shí)戰(zhàn)演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。記數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。

（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)錯(cuò)誤！未找到引用源。；

（2）求錯(cuò)誤！未找到引用源。；

（3）問是否存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成立？說明理由.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。中，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。．

⑴ 求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等差數(shù)列；

⑵ 設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，若當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍；

⑶ 設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)的和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，試求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯(cuò)誤！未找到引用源。⑶錯(cuò)誤！未找到引用源。

3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，．?dāng)?shù)列

滿足（1）求數(shù)列（2）若和，且． 的通項(xiàng)公式；，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對任意的，（，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在正整數(shù)，使，請說明理由．）成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，4．已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中，錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。,錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。．

（1）求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在自然數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得對于任意錯(cuò)誤！未找到引用源。有錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值；

（3）若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。．

5．【江蘇省啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，且滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)．

（1）是否存在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個(gè)滿足要求的數(shù)列；若不存在，說明理由．（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。．

（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證：當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。．

6．【江蘇省泰州中學(xué)2018屆高三上學(xué)期開學(xué)考試】已知兩個(gè)無窮數(shù)列

分別滿足，其中（1）若數(shù)列（2）若數(shù)列①若數(shù)列②若數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和分別為的通項(xiàng)公式；，使得，稱數(shù)列

.都為遞增數(shù)列，求數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)“墜點(diǎn)數(shù)列”，求 為“墜點(diǎn)數(shù)列”，數(shù)列

為“墜點(diǎn)數(shù)列”.為“墜點(diǎn)數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說明理由.7．【江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三高考模擬一】已知數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。對任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。是否具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。，并說明理由；

（2）求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。；

（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值.8．記等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；

（2）若 錯(cuò)誤！未找到引用源。，對任意錯(cuò)誤！未找到引用源。，均有錯(cuò)誤！未找到引用源。是公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，求使錯(cuò)誤！未找到引用源。為整數(shù)的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值集合；

（3）記錯(cuò)誤！未找到引用源。，求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯(cuò)誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式；

（2）若存在實(shí)數(shù)λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

10．已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，且錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。．

（1）若錯(cuò)誤！未找到引用源。成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；

②在錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。間插入錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)正數(shù)，共同組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。對任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值．

放縮法證明數(shù)列不等式

基礎(chǔ)知識回顧:

放縮的技巧與方法：

（1）常見的數(shù)列求和方法和通項(xiàng)公式特點(diǎn)：

① 等差數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）

② 等比數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。的指數(shù)類函數(shù)）③ 錯(cuò)位相減：通項(xiàng)公式為“等差錯(cuò)誤！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式可拆成兩個(gè)相鄰項(xiàng)的差，且原數(shù)列的每一項(xiàng)裂項(xiàng)之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項(xiàng)

（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：

① 在數(shù)列中，“求和看通項(xiàng)”，所以在放縮的過程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手

② 在放縮時(shí)要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項(xiàng)公式是放大還是縮?。☉?yīng)與所證的不等號同方向）

③ 在放縮時(shí)，對通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，常見的是向等比數(shù)列與可裂項(xiàng)相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。

④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個(gè)方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項(xiàng)不動，其余項(xiàng)放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個(gè)方法就是推翻了原有放縮，重新進(jìn)行設(shè)計(jì)，選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)行嘗試。

（3）放縮構(gòu)造裂項(xiàng)相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：

① 裂項(xiàng)相消：在放縮時(shí)，所構(gòu)造的通項(xiàng)公式要具備“依項(xiàng)同構(gòu)”的特點(diǎn)，即作差的兩項(xiàng)可視為同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)（或等距離間隔項(xiàng)）

② 等比數(shù)列：所面對的問題通常為“錯(cuò)誤！未找到引用源。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，如果題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯(cuò)誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再與原通項(xiàng)公式進(jìn)行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。例如常數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數(shù)列的首項(xiàng)為錯(cuò)誤！未找到引用源。，公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。，即通項(xiàng)公式為錯(cuò)誤！未找到引用源。注：此方法會存在風(fēng)險(xiǎn)，所猜出的等比數(shù)列未必能達(dá)到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進(jìn)行放縮，受數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)影響

（4）與數(shù)列中的項(xiàng)相關(guān)的不等式問題：

① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進(jìn)行變形

② 在有些關(guān)于項(xiàng)的不等式證明中，可向求和問題進(jìn)行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯(cuò)誤！未找到引用源?；蝈e(cuò)誤！未找到引用源。（累乘時(shí)要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為錯(cuò)誤！未找到引用源。，另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明 應(yīng)用舉例:

類型一：與前n項(xiàng)和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。）．

（1）求錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。對任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍．

【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。

（2）由（1）知，錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，則有錯(cuò)誤！未找到引用源。，而錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，故錯(cuò)誤！未找到引用源。，解得錯(cuò)誤！未找到引用源。，再將錯(cuò)誤！未找到引用源。代入錯(cuò)誤！未找到引用源。，得錯(cuò)誤！未找到引用源。，例2.記錯(cuò)誤！未找到引用源。.對數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。和錯(cuò)誤！未找到引用源。的子集錯(cuò)誤！未找到引用源。，若錯(cuò)誤！未找到引用源。，定義錯(cuò)誤！未找到引用源。；若錯(cuò)誤！未找到引用源。，定義錯(cuò)誤！未找到引用源。.例如：錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.錯(cuò)誤！未找到引用源。

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）設(shè)，求證：.【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）詳見解析（3）詳見解析 【解析】

試題分析：（1）根據(jù)及時(shí)定義，列出等量關(guān)系，解出首項(xiàng)，寫出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)子集關(guān)系，進(jìn)行放縮，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；（3）利用等比數(shù)列和與項(xiàng)的大小關(guān)系，確定所定義和的大小關(guān)系：設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，則錯(cuò)誤！未找到引用源。因此由錯(cuò)誤！未找到引用源。，因此錯(cuò)誤！未找到引用源。中最大項(xiàng)必在A中，由（2）得錯(cuò)誤！未找到引用源。.試題解析：（1）由已知得錯(cuò)誤！未找到引用源。.于是當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.又錯(cuò)誤！未找到引用源。，故錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。.所以數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式為錯(cuò)誤！未找到引用源。.（2）因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。.因此，錯(cuò)誤！未找到引用源。.綜合①②③得，錯(cuò)誤！未找到引用源。.類型

二、與通項(xiàng)運(yùn)算相關(guān)的不等式 例3.設(shè)函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。）． 【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析．

故錯(cuò)誤！未找到引用源。，則有：錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。例4.已知錯(cuò)誤！未找到引用源。是數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和，且對任意錯(cuò)誤！未找到引用源。，有錯(cuò)誤！未找到引用源。.其中錯(cuò)誤！未找到引用源。為實(shí)數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)；

②是否存在這樣的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成等比數(shù)列？若存在，給出錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請說明理由.（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，① 判定錯(cuò)誤！未找到引用源。是否為等比數(shù)列；

②設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，若錯(cuò)誤！未找到引用源。對錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍.【答案】（1）①錯(cuò)誤！未找到引用源。；②不存在；（2）①當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。是以錯(cuò)誤！未找到引用源。為首項(xiàng)，錯(cuò)誤！未找到引用源。為公比的等比數(shù)列，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，不是等比數(shù)列；②錯(cuò)誤！未找到引用源。．

方法、規(guī)律歸納: 常見的放縮變形：

（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。，（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。

注：對于錯(cuò)誤！未找到引用源。還可放縮為：錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯(cuò)誤！未找到引用源。（4）錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源?？赏茝V為：錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。實(shí)戰(zhàn)演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。記數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。

（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)錯(cuò)誤！未找到引用源。；

（2）求錯(cuò)誤！未找到引用源。；

（3）問是否存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成立？說明理由.【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。都成立，（3）詳見解析

（3）假設(shè)存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成立，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以只要錯(cuò)誤！未找到引用源。

即只要滿足 ①：錯(cuò)誤！未找到引用源。，和②：錯(cuò)誤！未找到引用源。，對于①只要錯(cuò)誤！未找到引用源。就可以； 對于②，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為奇數(shù)時(shí)，滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，不成立，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。令錯(cuò)誤！未找到引用源。，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。

即錯(cuò)誤！未找到引用源。，且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，②式成立，即當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。成立.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。中，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。．

⑴ 求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等差數(shù)列；

⑵ 設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，若當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍；

⑶ 設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)的和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，試求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯(cuò)誤！未找到引用源。⑶錯(cuò)誤！未找到引用源。

要使錯(cuò)誤！未找到引用源。對錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，只要使錯(cuò)誤！未找到引用源。對錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，即使錯(cuò)誤！未找到引用源。對錯(cuò)誤！未找到引用源。為正偶數(shù)恒成立，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，故實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍是錯(cuò)誤！未找到引用源。； ⑶由⑴得錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，因此數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值為錯(cuò)誤！未找到引用源。．

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的判定與證明，其中證明（1）的關(guān)鍵是分析得到錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。的關(guān)系式．

3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列滿足，且

． 的前項(xiàng)和為，滿足，．?dāng)?shù)列（1）求數(shù)列（2）若和的通項(xiàng)公式；，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對任意的，（，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在正整數(shù)，使，請說明理由．

【答案】（1）（2））成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，（3）不存在

（2）由（1）得于是所以，兩式相減得所以由（1）得因?yàn)閷?即所以恒成立，都有，，恒成立，記所以因?yàn)閺亩鴶?shù)列于是，為遞增數(shù)列，所以當(dāng)．

（），使

成等差數(shù)列，則，時(shí)取最小值，（3）假設(shè)存在正整數(shù)即，若為偶數(shù)，則若為奇數(shù)，設(shè)于是當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，上式不成立.，則，與

矛盾；，即，此時(shí)

4．已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中，錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。,錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。．

（1）求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在自然數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得對于任意錯(cuò)誤！未找到引用源。有錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值；

（3）若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。．

【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）存在，錯(cuò)誤！未找到引用源。；（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。． 【解析】試題分析：

（1）根據(jù)題設(shè)條件用累乘法能夠求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出{bn}的通項(xiàng)公式．（2）bn=2n．假設(shè)存在自然數(shù)m，滿足條件，先求出錯(cuò)誤！未找到引用源。，將問題轉(zhuǎn)化成錯(cuò)誤！未找到引用源?？汕蟮缅e(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍；（3）分n是奇數(shù)、n是偶數(shù)兩種情況求出Tn，然后寫成分段函數(shù)的形式。

試題解析：（1）由錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。． 又錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。.當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，上式成立，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故錯(cuò)誤！未找到引用源。.（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為奇數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。； 當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。.因此錯(cuò)誤！未找到引用源。．

點(diǎn)睛：數(shù)列求和時(shí)，要根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的特點(diǎn)選擇不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、分組求和等。

5．【江蘇省啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，且滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)．

（1）是否存在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個(gè)滿足要求的數(shù)列；若不存在，說明理由．

（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。．

（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證：當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。． 【答案】（1）不存在，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析

當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，兩式相減得錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，綜上，錯(cuò)誤！未找到引用源。．

6．【江蘇省泰州中學(xué)2018屆高三上學(xué)期開學(xué)考試】已知兩個(gè)無窮數(shù)列的前項(xiàng)和分別為（1）若數(shù)列.分別滿足，其中，設(shè)數(shù)列都為遞增數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列①若數(shù)列②若數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)“墜點(diǎn)數(shù)列”，求 為“墜點(diǎn)數(shù)列”，數(shù)列，使得，稱數(shù)列為“墜點(diǎn)數(shù)列”.為“墜點(diǎn)數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說明理由.【答案】（1）

.（2）①，② 6.7．【江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三高考模擬一】已知數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。對任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。是否具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。，并說明理由；

（2）求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。；

（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值.【答案】（1）不具有（2）見解析（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。.（2）因?yàn)榧襄e(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以對錯(cuò)誤！未找到引用源。而言，存在錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。，又因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，同理可得錯(cuò)誤！未找到引用源。，將上述不等式相加得： 錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。.（3）由（2）可知錯(cuò)誤！未找到引用源。，又錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，構(gòu)成數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。，經(jīng)檢驗(yàn)錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。，故錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值為錯(cuò)誤！未找到引用源。.點(diǎn)睛：本題是一道新定義的遷移信息并利用信息的信息遷移題。求解第一問時(shí)，直接運(yùn)用題設(shè)條件中所提供的條件信息進(jìn)行驗(yàn)證即可；解答第二問時(shí)，先運(yùn)用題設(shè)條件中定義的信息可得錯(cuò)誤！未找到引用源。，同理可得錯(cuò)誤！未找到引用源。，再將上述不等式相加得： 錯(cuò)誤！未找到引用源。即可獲證錯(cuò)誤！未找到引用源。；證明第三問時(shí)，充分借助（2）的結(jié)論可知錯(cuò)誤！未找到引用源。，又錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源?？傻缅e(cuò)誤！未找到引用源。，因此構(gòu)成數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。，經(jīng)檢驗(yàn)錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。，進(jìn)而求出錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值為錯(cuò)誤！未找到引用源。.8．記等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；

（2）若 錯(cuò)誤！未找到引用源。，對任意錯(cuò)誤！未找到引用源。，均有錯(cuò)誤！未找到引用源。是公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，求使錯(cuò)誤！未找到引用源。為整數(shù)的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值集合；

（3）記錯(cuò)誤！未找到引用源。，求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。.【答案】（1）見解析（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）見解析

解：（1）設(shè)等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。，則錯(cuò)誤！未找到引用源。，從而錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，即數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。是等差數(shù)列.（2）因?yàn)榈娜我獾腻e(cuò)誤！未找到引用源。都是公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。，的等差數(shù)列，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。是公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。，的等差數(shù)列，又錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，顯然，錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足條件，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。不是整數(shù)，綜上所述，正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值集合為錯(cuò)誤！未找到引用源。.（3）設(shè)等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。，則錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，即數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。是公比大于錯(cuò)誤！未找到引用源。，首項(xiàng)大于錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，記公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。.以下證明： 錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。為正整數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。為減函數(shù)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，綜上，錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯(cuò)誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式；

（2）若存在實(shí)數(shù)λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列． 【答案】（1）cn＝1．（2）見解析.10．已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，且錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。．

（1）若錯(cuò)誤！未找到引用源。成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式； ②在錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。間插入錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)正數(shù)，共同組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。對任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值．

【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。

（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。，在錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。間插入錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)正數(shù)，組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，故有錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，

第四篇：放縮法證明數(shù)列不等式

放縮法證明不等式

1、設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)的和Sn?

43an?

13?

2n

n?

1?

3(n?1,2,3,?)

n

（Ⅰ）求首項(xiàng)a1與通項(xiàng)an；（Ⅱ）設(shè)Tn?

an?4?2

n

n

2Sn

(n?1,2,3,?)，證明：?Ti?

i?1

解：易求

Sn?Tn?

（其中n為正整數(shù)）

n

n

432

n

an??

n

13?

?2

n?1

??

?

4n

?23

n

??

?2

n?1

?

?

?2

n?1

?1??2?1?

n

Sn

?2

n?1

?1??2?1?

?

1?1?

??n?n?1

?

2?2?12?1?

所以：

?

i?1

Ti?

313?1?

??1?n?1??2?2?12?1?22、求證：（1）

1?1?法1：數(shù)歸（兩邊都可以）

法2：放縮裂項(xiàng) 法3：定積分放縮（2）

22??

?n?N)

?

???

1n1n

?

31n?

11n

法1：放縮一：

?

n(n?1)

??

(n?2)

Sn?

??

?

??1n

1n

?(1336

?

?

?

?

52)?（15

??

1653

?

?

???

1n?1

?

1n)

＝1?

1336

121400?

??1??1

121400

?1?

23893600(1

?1?

24003600

.放縮二：

1n

1n?1

?

(n?1)(n?1)

?

2n?1

?

n?1),(n?2)

Sn??54

?

?

??

1n

?（11

?

2)?

111111111(?????????)22435n?2nn?1n?1

?

1111151115

(???)??(?)?.223nn?142233

放縮三：

1n

?

1n?

?(n?

112)(n?

12)

?（1n?

?

1n?

12)?2（12n?1

?

12n?1),(n?1)

Sn?

?

?

??

1n

?1?2（13

?

?

?

???

12n?1

?

12n?1)?1?2（13

?

12n?1)?

法2：數(shù)歸——加強(qiáng)命題：常用的放縮公式：

1n(n?1)

2n?

n?1?

1n

???

1n

?

?

1n

?

1n(n?1)1n

；n?

n?1?2n?n?

n?1；

???n

n?

2n?1；

ab

?

a?mb?m

(b?a?0,m?0)

1k

?

k(k?1)(k?1)?

1n?11k(k?1)

?

?1?11*

?(k?2,k?N)??

2?k(k?1)k(k?1)?

1n?k?

n?kn1k!?

?

1n?2

?...?

?

kn?11

(k?3)

(k?2)

；2?12

n?1n

k!k(k?1)(k?2)

n

an?

例3：已知：

?1

(n?N

?)，求證：?ai?

i?1

n2

?

法1：均值不等式：即證

?

?

715n2

?...?

2?12

n?1

n

?1

?

?

n2

也即：

?

?

715

?...?

2?12

n

n?1

n

?1

?

而

:

?

?

715

?...?

2?12

n?1

?1

?n

???

法2：放縮后裂項(xiàng)求和

an?

2?1212

n?1n

?1?（?

2?12(2?1

?

n

n)1

?

?

?

n?1

=

?1

?

?

2?1(2

n?1

n

?1)(2?1)

n

=

?

2?1

n

n?1

?1)

法3：數(shù)歸，但是直接去證是不行的，要轉(zhuǎn)化為一個(gè)加強(qiáng)命題

4．定義數(shù)列如下：a1?2,an?1?an?an?1,n?N

?

證明：（1）對于n?N恒有an?1?an成立。

2?

?

（2）當(dāng)n?2且n?N，有an?1?anan?1?a2a1?1成立。

（3）1?

2006

?

1a1

?

1a2

???

1a2006

?1。

解：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。

（2）由an?1?an?an?1得：an?1?1?an(an?1)?an?1?an?1(an?1?1)……

a2?1?a1(a1?1)以上各式兩邊分別相乘得：

an?1?1?anan?1?a2a1(a1?1)，又a1?2?an?1?anan?1?a2a1?1（3）要證不等式1?

2006

?

1a1

?

1a2

???

1a2006

?1，可先設(shè)法求和：

1a1

?

1a2

???

a2006，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。

?an?1?1?an(an?1)

?

1an?1?11an1a1

?

1an?1

?

1an

??

1an?11a2

?

1an?1?11a2006

?????

?（1a1?11

?

1a2?11)?（1a2?1

?

1a3?1)???（1a2006?1

?

1a2007?1)

?

a1?1

?

a2007?11

?1?

a1a2?a2006

?1

又a1a2?a2006?a1

2006

?2

2006

?1?

1a1a2?a2006

?1?

2006

?原不等式得證。

5．已知數(shù)列?an?中an?

i

i

n

nn

2?1，求證：?ai(ai?1)?3.i?1

方法一：ai(ai?1)?

n

i

2?12?1

?

i

i

i

(2?1)(2?2)

?

i

i?1

i?1

(2?1)(2?1)

?

i?1

?1

?

12?1

i

.?

?

i?1

ai(ai?1)?

(2?1)

?（12?1

?

12?1)?（12?1

?

12?1)???（12

n?1

?1

?

12?1

n)?3?

12?1

n

?3.方法二：

ai(ai?1)?

i

i

(2?1)

?

i

12?2?

i

?

12?2

i

?

122?

i

?

2?2

i

i?1

.(i?2)

n

?

?

i?1

ai(ai?1)?2?

?

???

n?1

?2?(1?

12)?3?n?1

n?1

?3.n

法3：數(shù)歸證?

?

i?1

ai(ai?1)?3?

12?1

n

?3.（即轉(zhuǎn)化為證明加強(qiáng)命題）

6、已知函數(shù)f?x??ln?1?x??x，數(shù)列?an?滿足：

a1?

2,ln2?lnan?1?an?1an?f

?an?1an?．

（1）求證：ln?1?x??x；（2）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；

（3）求證不等式：a1?a2???an?n?ln2?ln?n?2?． 解：（1）f?x??ln?1?x??x，f'?x??

11?x

?1??

x1?x，當(dāng)?1?x?0時(shí)，f'?x??0，即y?f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)x?0時(shí)，f'?x??0，即y?f(x)是單

調(diào)遞減函數(shù)．

所以f'?0??0，即x?0是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)

f?x??ln?1?x??x?f?0??0?ln?1?x??x，當(dāng)x?0時(shí)取到等號．（2）法1：數(shù)學(xué)歸納法（先猜想，再證明）

法2：由ln2?lnan?1?an?1an?f?an?1an?得2an?1?an?1an?1，an?1?

12?an，an?1?1?

12?an

?1?

an?12?an，1an?1?

1?

1an?1

?1，即數(shù)列?

?

?1

??2，公差為?1，是等差數(shù)列，首項(xiàng)為?

a?11?an?1?

nn?1

∴

an?1

??n?1?an?

．

（3）法1：

a1?a2???an?1?

11?1

?1?

12?1

???1?

11??1

?n???????

23n?1n?1??

又∵x?0時(shí)，有x?ln?1?x?，令x?

1n?1?1?2

?0，則

1?n?2?

?ln?1??ln ?n?1n?1?n?1?1

∴n??

?

3???

345n?1n?2???

?n?ln?ln?ln???ln?ln??? n?1?234nn?1??n?

2?n?2

?n?l?n??

n?1?2

?n??ln?

?

?343

???ln?2

n? ?nl?

∴a1?a2???an?n?ln2?ln?n?2? ． 法2：積分法要證原命題，即證：?

?1?2

?

??ln(n?2)?ln2 n?1?1

????

11??1???????3n?1??2

?1?2

n?2

?

1x

dx?lnx

n?22

法3：數(shù)歸證明：?7.1、（1）求證：2

n

?

???

?

??ln(n?2)?ln2 n?1?

?

?2n?1(n?2,n?N)

nn?1n01

法1：2?Cn?Cn?...?Cn?Cn；

法2：數(shù)學(xué)歸納法 法3：函數(shù)法（求導(dǎo)）

8.若n?N，證明：()+()+…+（n

n

*

n

n

n?1n)+（n

nn)?

n

ee?1

提示:借助e?1?x證明

x

第五篇：數(shù)列----利用函數(shù)證明數(shù)列不等式

數(shù)列已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2an?S2?Sn對一切正整數(shù)n都成立。（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）設(shè)a1?0，數(shù)列{lg大值。

2已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn??

（1）確定常數(shù)k，求an；

（2）求數(shù)列{

3在等差數(shù)列?an?中，a3?a4?a5?84,a9?73.（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）對任意m?N*，將數(shù)列?an?中落入?yún)^(qū)間(9,9)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm，求數(shù)列m2m10a1的前n項(xiàng)和為Tn，當(dāng)n為何值時(shí)，Tn最大？并求出Tn的最an12n?kn，k?N*,且Sn的最大值為8.29?2an的前n項(xiàng)和Tn。n2?bm?的前m項(xiàng)和Sm.