第一篇：淺談?dòng)梅趴s法證明不等式的方法與技巧

淺談?dòng)梅趴s法證明不等式的方法與技巧

分類：學(xué)法指導(dǎo)

放縮法：為放寬或縮小不等式的范圍的方法。常用在多項(xiàng)式中“舍掉一些正（負(fù)）項(xiàng)”而使不等式各項(xiàng)之和變?。ù螅?，或“在分式中放大或縮小分式的分子分母”，或“在乘積式中用較大（較?。┮蚴酱妗钡刃Х?，而達(dá)到其證題目的。

所謂放縮的技巧：即欲證

做“放”，由B到C叫做“縮”。

常用的放縮技巧還有：（1）若（2），欲尋找一個(gè)（或多個(gè)）中間變量C，使，由A到C叫

（3）若則（4）

（5）（6）

或

（7）

等。

用放縮法證明下列各題。

例1 求證： 等

證明：因?yàn)樗宰筮呉驗(yàn)?9＜100（放大）＜

所以

例2（2000年海南理11）若

證明：因?yàn)?求證：因?yàn)?所以

［因?yàn)?/p>

大），所以又所以是增函數(shù)］，所以（放，所以

例3（2001年云南理1）求證：

證明：（因?yàn)椋?/p>

［又因?yàn)?/p>

例4 已知證明：因?yàn)?/p>

求證：

（放大）］，所以所以

例5 求證：

證明：因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)椋ǚ糯螅?/p>

所以

例6（2000年湖南省會(huì)考）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是當(dāng)

時(shí)，函數(shù)的最大值是

證明：因?yàn)樵瘮?shù)配方得又因?yàn)?/p>

所以（縮小），所以函數(shù)

y的最小值是。當(dāng)所以

（放大），所以函數(shù)y的最大值是

例7 求證：

證明：因?yàn)榱ⅰ?/p>

例8（2002年貴州省理21）若證明：因?yàn)?/p>

所以

證

（當(dāng)且僅當(dāng)

（分母有理化）所以原不等式成求證：

而

所以

同理可

時(shí)，取等號(hào)）。

例9 已知a、b、c分別是一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，求證：

證明：不妨設(shè)據(jù)三角形三邊關(guān)系定理有：便得

所以原不等式成立。

例10（1999年湖南省理16）求證：

證明：因?yàn)橛?/p>

所以原不等式成立。

例11 求證：

證明：因?yàn)樽筮?/p>

證畢。

例12 求證

證明：因?yàn)?/p>

注：

1、放縮法的理論依據(jù)，是不等式的傳遞性，即若

所以左邊

則。

2、使用放

縮法時(shí)，“放”、“縮”都不要過頭。

3、放縮法是一種技巧性較強(qiáng)的不等變形，一般用于兩邊差別較大的不等式。常用的有“添舍放縮”和“分式放縮”，都是用于不等式證明中局部放縮。

第二篇：用放縮法證明不等式

用放縮法證明不等式

蔣文利飛翔的青蛙

所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對(duì)照證題目標(biāo)進(jìn)行合情合理的放大和縮小的過程，在使用放縮法證題時(shí)要注意放和縮的“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨(dú)用來證明不等式，也可以是其他方法證題時(shí)的一個(gè)重要步驟。下面舉例談?wù)勥\(yùn)用放縮法證題的常見題型。

一.“添舍”放縮

通過對(duì)不等式的一邊進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)以達(dá)到解題目的，這是常規(guī)思路。

例1.設(shè)a，b為不相等的兩正數(shù)，且a3－b3＝a2－b2，求證1＜a＋b＜4。

3證明：由題設(shè)得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜（a＋b），而（a＋b）＝a＋b＋ab＜a＋b＋

＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜

例2.已知a、b、c不全為零，求證：

a2?ab?b2?b2?bc?c2?c2?ac?a2＞3（a?b?c）21422132（a＋b），即（a4444，故有1＜a＋b＜。3

3證明：因?yàn)閍2?ab?b2?

同理b2?bc?c2＞b?c，2（a?b23）?b2＞42（a?b2）2?a?bb≥a?，22c2?ac?a2＞c?a。

23（a?b?c）2所以a2?ab?b2?

二.分式放縮 b2?bc?c2?c2?ac?a2＞

一個(gè)分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個(gè)真分式，分子、分母同時(shí)加上同一個(gè)正數(shù)則分式值變大，利用這些性質(zhì)，可達(dá)到證題目的。

例3.已知a、b、c為三角形的三邊，求證：1＜abc＋＋＜2。b?ca?ca?b

證明：由于a、b、c為正數(shù)，所以baab＞＞，b?ca?b?ca?ca?b?c

cc

＞a?ba?b?c，所以

abcabc

＋＋＞＋＋＝1，又a，b，c為三角形的b?ca?ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋ca?b

邊，故b+c＞a，則

c2c，＜

a?ba?b?c

a2a2b

為真分?jǐn)?shù)，則a＜，同理b＜，b?ca?b?ca?ca?b?cb?c

故

abc2a2b2c

＋＋＜＋＋?2.b?ca?ca?b?ca?b?ca?b?ca?b

abc

＋＋＜2。b?ca?ca?b

綜合得1＜

三.裂項(xiàng)放縮

若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的n項(xiàng)和，可采用數(shù)列中裂項(xiàng)求和等方法來解題。例4.已知n∈N*，求1?

1n

??

1n

2n?

n

?

???

1n

＜2n。

證明：因?yàn)?＜

n?n?13?

?2（n?n?1），則1???

＜1?2（2?1）?2（2）???2（n?n?1）?2n?1＜2n，證畢。

例

n(n?1)2

5.?an?

已知

(n?1)2

n?N

*

且

an?

?2?2?3???n(n?1)，求證：

對(duì)所有正整數(shù)n都成立。

n

證明：因?yàn)閚(n?1)?又n(n?1)?

1?22

?n，所以an?1?2???n?

n(n?1)，n(n?1)

?2?32，n(n?1)

2n?12

(n?1)

所以an?立。

?????????，綜合知結(jié)論成四.公式放縮

利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡(jiǎn)解。

例6.已知函數(shù)f(x)?證明：由題意知

f(n)?

nn?1

?2?12?1

nn

2?12?1

x

x，證明：對(duì)于n?N*且n?3都有f(n)?

nn?1。

?

nn?1

?(1?

22?1

n)?(1?

1n?1)?

1n?1

?

22?1

n

?

2?(2n?1)(n?1)(2?1)

n

n

又因?yàn)閚?N*且n?3，所以只須證2n?2n?1，又因?yàn)?，n

?(1?1)

n

?Cn

?Cn?Cn

???Cn

n?1

?Cn

n

?1?n?

n(n?1)

???n?1?2n?1

所

以f(n)?

nn?1。

例7.已知f(x)??x2，求證：當(dāng)a?b時(shí)f（a）?f（b）?a?b。證

f（a）?f（b）?

1?a2?

?b2?

明

a2?b2?a

：

?

?b

?

a?ba?b?a

b2

?1?

?

a?ba?ba?b

?

(a?b)a?b

a?b

?a?b證畢。

五.換元放縮

對(duì)于不等式的某個(gè)部分進(jìn)行換元，可顯露問題的本質(zhì)，然后隨機(jī)進(jìn)行放縮，可達(dá)解題目的。

例8.已知a?b?c，求證

1a?b

?

1b?c

?

1c?a

?0。

證明：因?yàn)閍?b?c，所以可設(shè)a?c?t，b?c?u(t?u?0)，所以t?u?0則

1a?b

?

1b?c

?

1c?a

?

1t?u

?1u?1t?1u?1t?t?utu

?0，即

1a?b

?

1b?c

?

1c?a

?0。

例9.已知a，b，c為△ABC的三條邊，且有a2?b2?c2，當(dāng)n?N*且n?3時(shí)，求證：an?bn?cn。

證明：由于a2?b2?c2，可設(shè)a=csina，b=ccosa（a為銳角），因?yàn)??sina?1，0?cosa?1，則當(dāng)n?3時(shí)，sinna?sin2a，cosna?cos2a，所以an?bn?cn(sinna?cosna)?cn(sin2a?cos2a)?cn。

六.單調(diào)函數(shù)放縮

根據(jù)題目特征，通過構(gòu)造特殊的單調(diào)函數(shù)，利用其單調(diào)性質(zhì)進(jìn)行放縮求解。例10.已知a，b∈R，求證

x1?x

a?b1?a?b

?

a1?a

?

b1?b。

證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)?

f(x1)?f(x2)?

x11?x1

?

(x?0)，首先判斷其單調(diào)性，設(shè)0?x1?x2，因?yàn)?/p>

x21?x2

?

x1?x2(1?x1)(1?x2)

?0，所以f?x1??f?x2?，所以f(x)在[0,??]上是增函數(shù)，取x1?a?b，x2?a?b，顯然滿足0?x1?x2，所以f(a?b)?f(|a|?|b|)，即

|a?b|1?|a?b|

?

|a|?|b|1?|a|?|b|

?

|a|1?|a|?|b|

?

|b|1?|a|?|b|

?

|a|1?|a|

?

|b|1?|b|

。證畢。

第三篇：用放縮法證明不等式1

用放縮法證明不等式

時(shí)間:2009-01-13 10:47 點(diǎn)擊:

1230次

不等式是高考數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，而用放縮法證明不等式學(xué)生更加難以掌握。不等式是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的有效工具，在高考試題中不等式的考查是熱點(diǎn)難點(diǎn)。本難點(diǎn)著重培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)式的變形能力

不等式是高考數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，而用放縮法證明不等式學(xué)生更加難以掌握。不等式是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的有效工具，在高考試題中不等式的考查是熱點(diǎn)難點(diǎn)。本難點(diǎn)著重培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)式的變形能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。放縮法的理論依據(jù)是不等式性質(zhì)的傳遞性，難在找中間量，難在怎樣放縮、怎樣展開。證明不等式時(shí)，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)姆趴s方法。

⒈利用三角形的三邊關(guān)系

［例1］ 已知a，b，c是△ABC的三邊，求證：

證明：∴﹥。

∵=為增函數(shù)，又∵點(diǎn)評(píng)：學(xué)生知道要利用三角形的三邊關(guān)系，但無法找到放縮的方法，難在構(gòu)造函數(shù)。⒉利用函數(shù)的單調(diào)性

［例2］ 求證：對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，恒有。

證明： 原不等式變形為，令 則

，所以。

即 是單調(diào)增函數(shù)（n=2，3，?），所以。故原不等式成立。

點(diǎn)評(píng)：一開始學(xué)生就用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嘗試，結(jié)果失敗，就放棄了。若使不等式的右邊變?yōu)槌?shù)，再用單調(diào)性放縮就好了。⒊利用基本不等式

［例3］已知f（x）=x+證明：設(shè)

（1）+（2）得(x﹥0)求證：－，（1）（2）

點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明，思路簡(jiǎn)單，但是難度很大，可以通過二項(xiàng)式定理展開，倒序法與基本不等式相結(jié)合進(jìn)行放縮。⒋利用絕對(duì)值不等式 ［例4］設(shè)證明：∵=，∴，當(dāng)，時(shí)，總有，，求證：。

又∵所以∴，∴

=7。

點(diǎn)評(píng)：本題是一道函數(shù)與絕對(duì)值不等式綜合題，學(xué)生不能找到解題的突破口，關(guān)鍵在于找到a，b，c與f（0），f（1），f（-1）的聯(lián)系，再利用絕對(duì)值內(nèi)三角形不等式適當(dāng)放縮。⒌利用不等式和等比數(shù)列求和

［例5］求證：。

證明：=，利用不等式

∴﹤=﹤。

點(diǎn)評(píng)：有些學(xué)生兩次用錯(cuò)位相減進(jìn)行放縮，但是沒有找到恰當(dāng)?shù)淖冃畏趴s，對(duì)利用不等式進(jìn)行放縮不熟悉。若經(jīng)過“湊”與不等式求和放縮就到了。⒍ 利用錯(cuò)位相減法求和

相結(jié)合，再利用等比數(shù)列［例6］已知a1, a2, a3, ??, an, ??構(gòu)成一等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn＝n2, 設(shè)bn＝記{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)證明：Tn<1。

解：(1)a1＝S1＝1, 當(dāng)n≥2時(shí), an＝Sn－Sn－1＝2n－1;由于n＝1時(shí)符合公式，, ∴ an＝2n－1(n≥1).(2)Tn＝, , ∴ Tn＝ 兩式相減得Tn＝＋＝＋(1－)－, ∴ Tn＝＋(1－)－<1。

⒎ 利用裂項(xiàng)法求和

［例7］已知函數(shù)在上有定義，且滿足①對(duì)任意的

②當(dāng)證明：令上為奇函數(shù).設(shè)時(shí)，則

.證明不等式.令，則，故

.在，且由可得，則由題有，即從而函數(shù)在時(shí)，.，所以

為，故上減函數(shù).所以，即

.點(diǎn)評(píng)：本題將數(shù)列與不等式、函數(shù)綜合考查數(shù)學(xué)邏輯推理能力，分析問題能力，變形能力，可以用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，但學(xué)生解題的過程不過完善。若用裂項(xiàng)法進(jìn)行數(shù)列求和放縮就簡(jiǎn)單 ⒏利用二項(xiàng)式定理展開

［例8］已知數(shù)列滿足(n∈N*),是的前n項(xiàng)的和，并且．

（1）求數(shù)列的前項(xiàng)的和；（2）證明：≤．（3）求證： 解：(1)由題意得

兩式相減得

所以再相加

所以數(shù)列是等差數(shù)列．又又

所以數(shù)列的前項(xiàng)的和為．

而

≤.（3）證明：

點(diǎn)評(píng)：這是一道很有研究?jī)r(jià)值的用放縮法證明不等式的典例。考查了與 an 的關(guān)系，有些學(xué)生沒有對(duì)an中的n進(jìn)行討論，也沒有合并，雖用了二項(xiàng)式展開，但無法構(gòu)造不等式進(jìn)行放縮。對(duì)第3小題的放縮也可裂項(xiàng)法求和進(jìn)行放縮。

第四篇：淺談?dòng)梅趴s法證明不等式

淮南師范學(xué)院2012屆本科畢業(yè)論文 1

目錄

引言?????????????????????????????????（2）1.放縮法的常用技巧??????????????????????????（3）

1.1 增減放縮法???????????????????????????（3）1.2 公式放縮法???????????????????????????（5）1.3 利用函數(shù)的性質(zhì)?????????????????????????（6）1.4 綜合法?????????????????????????????（9）1.5 數(shù)列不等式的證明????????????????????????（11）2.放縮法要放縮得恰到好處???????????????????????（12）

2.1 調(diào)整放縮量的大小????????????????????????（12）2.2 限制放縮的項(xiàng)和次數(shù)???????????????????????（13）2.3 將不等式的一邊分組進(jìn)行放縮???????????????????（14）總結(jié)?????????????????????????????????（16）致謝?????????????????????????????????（17）參考文獻(xiàn)???????????????????????????????（18）

淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 2 淺談?dòng)梅趴s法證明不等式

學(xué)生： 指導(dǎo)老師：

淮南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系

摘要：本文介紹了放縮法的基本概念, 在此基礎(chǔ)上總結(jié)出增減放縮法、公式放縮法、利用函數(shù)的性質(zhì)放縮和綜合法等用放縮法證明不等式的常用技巧,以及數(shù)列不等式證明中放縮法的應(yīng)用,并進(jìn)而從三個(gè)方面闡述使用放縮法過程中如何使放縮適當(dāng)?shù)膯栴}.這對(duì)證明不等式很有幫助。關(guān)鍵詞：不等式;放縮法;技巧;適當(dāng)

Proving the Inequity by Amplification and Minification

Student： Guide teacher：

Huainan Normal University Department of Mathematics

Abstract: This paper introduces the fundamental conception of the amplification and minification method.And on the basis of this, it sums up some commonly used skills: increasing or reducing some terms, using important inequality formula, using function properties, synthesis method, and the amplification method to demonstrate the sequence inequality.In addition, it describes how to make it appropriate in proving the inequality by the amplification and minification method from three aspects.They do much help to demonstrating inequality.Key words: inequality;amplification and minification;skill;appropriate

引 言

在證明不等式的過程中,我們的基本解題思路就是將不等式的一邊通過若干次適當(dāng)?shù)暮愕茸冃位虿坏茸冃?放大或縮小),根據(jù)等式的傳遞性①和不等式的傳遞性②逐步轉(zhuǎn)化出另外一邊.與等式的證明相比較,不等式的證明最大特色就是在變形過程中它有“不等的”變形,即對(duì)原式進(jìn)行了“放大”或“縮小”.而這種對(duì)不等式進(jìn)行不等變形,從而使不等式按同一方向變換,達(dá)到證明目的的特有技巧我們稱之為放縮法.因其技巧性強(qiáng),方法靈活多變,同學(xué)們一直較難掌握.想要很好的在不等式證明中運(yùn)用放縮法,應(yīng)當(dāng)注意以下兩點(diǎn)：?掌握放縮法的一些常用策略和技巧；?放縮法要放縮得恰到好處,才能達(dá)到證題的目的.本文著重就這兩點(diǎn)舉例加以說明.淮南師范學(xué)院2012屆本科畢業(yè)論文 3 放縮法的常用技巧

1.1 增減放縮法

1.1.1 增加（減去）不等式中的一些正（負(fù)）項(xiàng)

在不等式的證明中常常用增加（減去）一些正(負(fù))項(xiàng),從而使不等式一邊的各項(xiàng)之和變大(小),從而達(dá)到證明的目的.例1 設(shè)a,b,c都是正數(shù),ab?bc?ca?1,求證：a?b?c?3.證明：??a?b?c?2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca

?12??a?b?2??b?c???c?a??3?ab?bc?ca?

22??3?ab?bc?ca??3

33?a?b?c?3,當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c?時(shí)取等號(hào).1.1.2 增大（減小）不等式一邊的所有項(xiàng)

將不等式一邊的各項(xiàng)都增大或減小,從而達(dá)到放縮的目的.例2[1](02年全國(guó)卷理科第21題)設(shè)數(shù)列?an?滿足an?1?an2?nan?1,且an?n?2?n?1,2,3,??,求證：

11?a1?11?a2?11?a3???11?an?12

證明：由an?1?an2?nan?1,得：an?1?an?an?n??1, ?an?n?2,?an?1?2an?1,?1?an?1?2?1?an??0, ?11?an?111?121?an1?1,于是有：

1?a211?a311?a4?21?a11?1?，122?21?a21?1??11?a111?a1, ?21?a3?123?，淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 4 ??, 11?an?1?1?12n?121?an?1?11?a1，1?11?a1?11?a2?11?a3???1?an111?1???1??2???n?1??222??1?a11??1?1n2?1?2?1?111?a11?32

1.1.3 增大（減?。┎坏仁揭贿叺牟糠猪?xiàng)

在不等式的證明中,有時(shí)候增大或減小不等式一邊的所有項(xiàng)會(huì)造成放縮過度,因此,在考慮這些問題時(shí)要根據(jù)題目的具體情況進(jìn)行部分項(xiàng)的放縮.例3 求證證明：?122?132?142???1n2?n?22n?n?N，?,n?2?.1n2?1n?n12?1n?n?1?12?1n?1n?11 ?122??133,?13?14,?,?n?1?2?1n?1?1n.把以上（n-2）個(gè)不等式相加,得 122?132?142???1?n?1?2?12?1n?n?22n

??122?132?1n2142???n?22n1?n?1?2?1n2

n?22n??故原不等式成立.1.1.4 增大（減?。┓肿踊蚍帜傅闹?/p>

增大或減小不等式一邊分?jǐn)?shù)中分子或分母的值,從而達(dá)到放縮目的.淮南師范學(xué)院2012屆本科畢業(yè)論文 5 例4 求證?91125???1?2n?1?21?14?n?N?.*證明：?1?2k?1?219?125??2k?1?2?11?14k(k?1)?1?11?????k?1?, 4?kk?1?????2n?1?2 ?1??1??11?1???1???1????????????? 4??2??23??nn?1??1?1?1?1???,4?n?1?4

19125???1?14.?

即?

1.2 公式放縮法

?2n?1?2即利用已有的大家熟悉的不等式來進(jìn)行放縮,這里我們主要利用的是均值不等式1以及ab?a?ma?m,a,b,m?R,a?b???,下面分別舉例說明.1.2.1 均值不等式

例5 若n?N,n?1,求證：?n!?*2??n?1??2n?1????.?6??2n證明：?1?2???n?n2221?2???nn1622，而12?22???n2? 故n12?22???nn? 即?n!?2???16n?n?1??n?2?

?n?1??2n?1?

n??n?1??2n?1??6 ?.?例6 已知:Sn?1?2?2?3???n??n?1?

n?均值不等式： a1a2?an?a1?a2???ann,ai?R??i?1,2,?n?.淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 6 求證:證明:?n?n?n?1?2?Sn??n?1?22.n?n?n?n?1??n??n?1?2 ?Sn?1?2?2?3???n??n?1?

? ?32?52??2n?12 n?n?1?2??n?1?22 又Sn?1?2?2?3???n??n?1?

?1?2???n? 1.2.2 ab?a?ma?m,a,b,m?R,a?bn?n?1?2

???

a1?a?b1?b?c1?c.例7[4] 若正數(shù)a,b,c滿足a?b?c,求證：證明：?a?b?c,?a?b?c?0;

?c1?c?c??a?b?c?1?c??a?b?c??a

1?a?b?b1?a?b?a1?a?b1?b，即原不等式成立.1.3 利用函數(shù)的性質(zhì)

主要指利用函數(shù)的單調(diào)性和有界性來進(jìn)行放縮.1.3.1 利用特殊函數(shù)的單調(diào)性

這里的特殊函數(shù)主要指一些已知單調(diào)性的函數(shù),如指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)等.例8 求證：log23?log34.證明：我們先給出常規(guī)解法；

log23?log34?lg3lg2?lg4lg32?lg3?lg2?lg4lg2?lg322，?lg2?lg4??lg8??lg9?2?lg2?lg4??????????lg3，2???2??2? 淮南師范學(xué)院2012屆本科畢業(yè)論文 7 ?log23?log34?0,?log23?log34.另外,還有更簡(jiǎn)便的方法.log23?log827?log816?log916?log34.1.3.2 利用特殊函數(shù)的有界性

這里的特殊函數(shù)主要指一些大家熟知有界性的函數(shù),如|sinx|?1,|cosx|?1,x2?0等.例9[5] 已知?,?為整數(shù),并且?????,求證：

1sin?2?1sin2??sin22???2.證明： ???0,??0,?????，?sin??0,sin??0,cos??????cos??????1，?1sin?2?41sin2??2sin?sin?2?4cos??????cos?????

?1?cos??????sin2???2.(當(dāng)且僅當(dāng)???時(shí)取等號(hào)).1.3.3 利用一般函數(shù)的性質(zhì)

利用一般函數(shù)的單調(diào)性和有界性進(jìn)行放縮.例10 求證a?3時(shí),證明：令f?n??1n?11n?1??1n?21n?2???13n?113n?1?2a?5,n?N.N?，????n?1f?n?1??f?n???213n?2?13n?3?3n?4?1n?1

3?n?1??3n?2??3n?4??0.?f?n?1??f?n?，f?n?是增函數(shù),其最小值為f?1?,f?n?min?f?1??

12?13?14?1312，淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 8 故對(duì)一切自然數(shù),f?n??1312?1；

再由a?3,知2a?5?1,比較得： 當(dāng)a?3時(shí)，1n?1?1n?2???xx?a213n?1?2a?5,n?N.例11 設(shè)定義在R上的函數(shù)f?x??的充要條件是a?1.,求證：對(duì)任意的x,y?R,|f?x??f?y?|?1證明：利用求導(dǎo)數(shù)、均值不等式或判別式法均可求得：

f?x?max?12a,f?x?min??12a.根據(jù)f?x?max?1a12a,f?x?min??12a，得??f?x??f?y??1a, ，即|f?x??f?y?|max? 故對(duì)x,y?R，1a|f?x??f?y?|?1?|f?x??f?y?|max?1

?1a?1?a?1.例12 已知an?1?n1t??n2?t1?,t?[,2],Tn是?an?的前n?2?n項(xiàng)和

?2??求證:Tn?2n???2???.證明:令f?t??1?n1??t?n?,則: 2?t?n?n?11??n?1? ?t2?t? f??t??令f??t??0,得t?1.淮南師范學(xué)院2012屆本科畢業(yè)論文 9 1 當(dāng)2?t?1時(shí), f??t??0；當(dāng)1?t?2時(shí), f??t??0;

12從而可知f?t?在[,1]上遞減,在[1,2]上遞增,故：

?f?t??max?max?f??,f?2???2n???2????1??12n

?f?t??2n?即an?2n?12n12n ,n?1,2,?2n?1?111????2nTn??2?2???2??????????2?2?2??2????n1??1?? ?2?1??1????

2??2????nn??11??n ?2??1????

2??2????n?1? ?2??21???2?2?n1

?2?? ?2n???2???n

1.4 綜合法

對(duì)于比較復(fù)雜的不等式證明,有時(shí)需要綜合以上兩種放縮手法進(jìn)行不止一次的放縮.例13(1985年高考題)證明：?n?n?1??n2[7]

n?n?1?2?n?1?2?2?3???n?n?1???n?1?22,?n?N?

n?n?1?2 1?2?2?3??n?n?1??1?2???n? 而n?n?1??n?n?1?2 ①

1?22?2?32??n??n?1?2 ?1?2?2?3??n?n?1??

淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 10 ? ?32?52??2n?12?12?32?52??2n?12 ②

?1?2n?1??n?1?2?2??n?1?22.在①中運(yùn)用了增減放縮法,②運(yùn)用了公式放縮法和增減放縮法.例14 數(shù)列?an?滿足a1?1且an?1??1???1??n?1? a??n2nn?n?21(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明an?2?n?2?；(Ⅱ)已知不等式ln?1?x??x對(duì)x?0成立.證明：(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明,略；(Ⅱ)用遞推公式及(Ⅰ)的結(jié)論有 an?1??1???111???a??1?????an,?n?1? n2n2nn?n?2n?n2??1 兩邊取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得： lnan?1?ln?1???1n?n1n?n1n?n222?1???lnann2??12?n

?lnan?

n ?lnan?1?lnan?12,?n?1?

上式從1到n?1求和可得： ?lnan?1?lnan?11?2?12?3???1n?n?1??12?122??12n?1

?1?1?11?????2?23?1n12n1?1??1?n?112?2??????1n?1n1?2

?1??1??2

證明過程中分別運(yùn)用了增減放縮法和利用特殊函數(shù)性質(zhì)的放縮法.淮南師范學(xué)院2012屆本科畢業(yè)論文 11 1.5 數(shù)列不等式的證明

在數(shù)列不等式的證明中,我們大量采用放縮法,在這里我們把它單獨(dú)提出來說明.而這里的數(shù)列主要指“疊加”模型的數(shù)列不等式,可以利用放縮法對(duì)疊加的數(shù)列進(jìn)行化簡(jiǎn),從而達(dá)到證明的目的.這里“疊加”模型指的是形如：a1?a2???an?f?n?,這里的?也可以是?、?或?.例15 已知n?2,n?N,證明

122?132???1n2?n?1n

證明：?122?11?2132??11?112；

?12?13

2?3；

?? 1n2?1n?n?1??1n?1?1n；

各式相加,得：

122?132???1n2?1?1n?n?1n*

例16 若Sn?1?12?13???1n,n?N

求證：2?n?1?1??Sn?2n

證明：?1k?2k?1kk?2k?2k?kk?1?2?k?k?1

? 又???2k?k?1?2?k?1?k

? 當(dāng)k?1,2,3,?,n?1,n時(shí), 2?2?1?? 2?3?2?? ??

1112?2??1?0

??22?1

?

淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 12 2?n?n?1?? 2?n?1?n??1n?11n?2?2?n?1?n?2

??n?n?1

? 將上式相加,得到：2?n?1?1??Sn?2n.在數(shù)列不等式的放縮中,放縮的主要目的是使不等式裂項(xiàng)相消,也可以組成等差、等比數(shù)列,利用公式求和,或者運(yùn)用根式有理化后的放縮,探索n項(xiàng)相加的遞推式,然后逐項(xiàng)相消.放縮法要放縮得恰到好處

2.1 調(diào)整放縮量的大小

放縮量的大小,即放縮的“精確度”,直接影響到是否能達(dá)到欲證明的目標(biāo).放大多少,縮小多少,把握“度”的火候,要因題適宜.例17 已知Sn?1?(Ⅰ)Sn?12?13???1n,求證：

n；

(Ⅱ)Sn?2?n?1?1?；(Ⅲ)Sn?2n.證明：(Ⅰ)Sn?1?1n12?13???1n

1n ??1n???1n?n??n；

(Ⅱ)是(Ⅰ)的加強(qiáng)不等式,為此需調(diào)整放縮幅度, ?1k?22k?2?2k?k?1?k?1

?12k,k?1,2,3,?,n

? ?Sn?1??13???1n

淮南師范學(xué)院2012屆本科畢業(yè)論文 13

?2?2??2?1?2???3?2???2??n?1?n?

n?1?1.(Ⅲ)改變放縮方向,故 ?1k?22k?2?2k?k?1

?k?k?1,k?1,2,3,?,n

? ?Sn?1??2?212?13???1n2?

?1?0?2??1???2??n?n?1?

?n?.1n!?2；(Ⅱ)

11!?12!???1n!?74,?n?N?.例18 求證(Ⅰ)?1!112!???證明：(Ⅰ)1n!?1n?n?1??n?2????2?112n?1?12?2???2?1

??n?3? 12!2?1n?1 ?左邊?1? ?2?122?123???12n?1

(Ⅱ)是(Ⅰ)的加強(qiáng)不等式,將放縮間距調(diào)整小些,得到：

1n!?1n?n?1??n?2????2?112?3n?2?13?3???3?2?1

??n1?4? ?13!?12 則左邊?1?2?3717? ??n?2412?342!?12?33???12?3n?2

2.2 限制放縮的項(xiàng)和次數(shù)

若對(duì)不等式中的每一項(xiàng)都進(jìn)行放縮,很可能造成放得過大或縮得太小,若限制放縮

淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 14 的項(xiàng),保留一些特定項(xiàng)不變,可以通過這樣來調(diào)整放縮的“度”,逼近欲證明的目標(biāo),這與第一部分的1.1.3也是相通的.例19 求證112?122???1n2?6136?1n?n?3,n?N?.*證明：這是一個(gè)常見問題的改編題,我們先給出一般算法： 112?122???1n2?112?11?21n?12?3??1?n?1?n

?2? 由2?1n?6136?1n ,顯然放得過大,要減少放大的項(xiàng)；

先試試減少一項(xiàng)： 112?122???1n2?112?122?12?3?13?4??1?n?1?n

?1? ? 由 11211??11??11??1??????????????4?23??34??n?1n?1n

74?

74?1n?6136?1n.再試試減少兩項(xiàng)：

?112?122???1n2?122?132?13?4??1?n?1?n

?6136?1n

如此可得出,放縮時(shí)減少兩項(xiàng)可以得到欲證目標(biāo).2.3 將不等式的一邊分組進(jìn)行放縮

把不等式的一邊進(jìn)行分組,將有關(guān)聯(lián)的項(xiàng)放在一起進(jìn)行放縮,不僅可以減少放縮的項(xiàng),還可以有效地控制放縮的“度”,減少誤差,并且更有方向性,盡量避免放縮的盲目性和隨意性.例20 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是

an?3???2?

nn(Ⅰ)求證：當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),1ak?1ak?1?43k?1；

淮南師范學(xué)院2012屆本科畢業(yè)論文 15(Ⅱ)求證：1a1?1a2??1an?12?n?N?.*證明：(Ⅰ)略

(Ⅱ)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), 1a1?1a2??1an?11???????a?a2??1432?1?11?1???????? ???a??a?aa4?n??3?n?16 ? ??434?43???43n

1?1?1?1?n??2?3?21an?11a2

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),因?yàn)?a11a21an1a1?0,則：

???????1an?1an?1

?? ???11???? ???a??1a2??432?1?11?1?????????a?aa4?an?1?3??n???43n?1?434?436

?12?13?14??1?1?1?1?n?1??2?3?21210

例21 求證5?證明：由于12?13?1214???1215??1216?10

?2?1； ?17?14?14?14?14?14?4?1；

?? ??

1210129?12?19???1210?1?1119??????2?1； 99992??222???????291 由?1,將上面的不等式兩邊相加,得到：

12?1213??1214???1210

?10

又由于

；

淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 16 ?311416??1417??1418??1418?2??18?1218；

?18?18?4?12 ?51；

?? ??

12?19?12?29???1210?11 ????1010102??22???????291 ?將上面的不等式兩邊相加,得到：

12?13?14???1212101210?2?912；

?513?1；

???1210 于是,綜上得到5?

?4?10.總 結(jié)

綜上可知,放縮法的技巧千變?nèi)f化,靈活多樣.而事實(shí)上,放縮法貫穿于整個(gè)不等式的證明過程中,不等式證明的每一步幾乎都與“放”與“縮”密切相關(guān).在證明的過程中要注意幾點(diǎn)：

(1)在放縮過程中不等號(hào)的方向必須一致；

(2)運(yùn)算時(shí)要注意總結(jié)規(guī)律,有些不等式用特定的放縮方法可以使計(jì)算簡(jiǎn)便,而有些不等式可以用很多種方法解決；

(3)不等式的放縮法在不等式的證明中應(yīng)用廣泛,但是遇到具體題目時(shí)不能生搬硬套,必須根據(jù)實(shí)際情況考慮是用什么方法.另外,用放縮法證明不等式關(guān)鍵就是“度”的把握,如果放得過大或太小就會(huì)導(dǎo)致解題失敗,而如果放縮不適當(dāng)要學(xué)會(huì)調(diào)整,一些實(shí)用的技巧可以幫助我們把握放縮中的“度”,而具體怎樣放縮才適度,需要我們?cè)诮忸}過程中去體會(huì).放縮法有著高度的靈活性和極強(qiáng)的技巧性,放縮方法更是多種多樣,要能恰到好處的想到具體解題中的放縮方法,需要積累一定的不等式知識(shí),同時(shí)要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧.淮南師范學(xué)院2012屆本科畢業(yè)論文 17 致謝

感謝我的導(dǎo)師，她在我的論文寫作過程中傾注了大量心血，從選題開始到開題報(bào)告，從寫作提綱到一遍遍的指出稿中的具體問題，每一個(gè)工作她都做得那么的細(xì)致認(rèn)真，她的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和工作風(fēng)深深的感動(dòng)著每一個(gè)了解她的人。我還要感謝我的許多同學(xué)，他們?cè)谖业恼撐膶懽髦薪o予了大量的支持和幫助，同學(xué)都對(duì)我的論文格式和內(nèi)同的修改給予了大量的幫助，在此我也深深的感謝他們，同時(shí)我還要感謝在我大學(xué)學(xué)習(xí)期間給我極大關(guān)心和支持的各位老師同學(xué)還有朋友，感謝你們！感謝老師！

參考文獻(xiàn)：

[1]劉艷.放縮法在高考題中應(yīng)用[J].湖北廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào),2008,28(9):143-144.[2]武增明.放與縮九策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2003,(9):32-34.[3]李長(zhǎng)明,周煥山.初等數(shù)學(xué)研究[M].北京高等教育出版社,2005,266-267.[4]張嘉瑾.放縮法,證明不等式的基本方法[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué),2005,(10):35-36.[5]時(shí)月蘭.如何使用放縮法證明不等式[J].文教資料,2005,(4):72-73.[6]黃堅(jiān).談放縮法證題的靈活性與適度性[J].數(shù)學(xué)通訊,2005,(3):23-24.[7]王衛(wèi)琴.放縮法與不等式證明[J].運(yùn)城高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2000,18(3):95-96.[8]劉作宏.一道題引出的思考[J].科技教育,2010,(29):213-214.[9]張徐生.放縮有度,順應(yīng)目標(biāo)——例談放縮法在證明不等式中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2007,(9):26-28.[10]董入星.放縮“失控”的調(diào)整初探[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2007,(1):29-31.[11]邵志華.若干解析不等式的統(tǒng)一證明——兼談幾個(gè)不等式的加強(qiáng)[J].湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010,23(3):9-13.[12]陳太道.放縮法在《數(shù)學(xué)分析》上的應(yīng)用[J].瓊州大學(xué)學(xué)報(bào),2002,9(2):10-14.[13]李素峰.談數(shù)列極限證明中的“放大法”[J].衡水學(xué)院學(xué)報(bào),2009,11(4):3-7.

第五篇：放縮法證明不等式

放縮法證明不等式

在學(xué)習(xí)不等式時(shí)，放縮法是證明不等式的重要方法之一，在證明的過程如何合理放縮，是證明的關(guān)鍵所在?，F(xiàn)例析如下，供大家討論。例1：設(shè)a、b、c是三角形的邊長(zhǎng)，求證

abc≥3 ??b?c?ac?a?ba?b?c證明：由不等式的對(duì)稱性，不妨設(shè)a≥b≥c，則b?c?a≤c?a?b≤a?b?c

且2c?a?b≤0，2a?b?c≥0

∴

? ∴abcabc???3??1??1??1

b?c?ac?a?ba?b?cb?c?ac?a?ba?b?c2a?b?c2b?a?c2c?a?b2a?b?c2b?c?a2c?a?b≥?????0

b?c?ac?a?ba?b?cc?a?bc?a?bc?a?babc≥3 ??b?c?ac?a?ba?b?c2b?a?c無法放縮。所以在運(yùn)用放

c?a?b[評(píng)析]：本題中為什么要將b?c?a與a?b?c都放縮為c?a?b呢？這是因?yàn)?c?a?b≤0，2a?b?c≥0，而2b?a?c無法判斷符號(hào)，因此縮法時(shí)要注意放縮能否實(shí)現(xiàn)及放縮的跨度。

例2：設(shè)a、b、c是三角形的邊長(zhǎng)，求證

abc(b?c)2?(c?a)2?(a?b)2≥ b?cc?aa?b1 [(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]

3證明：由不等式的對(duì)稱性，不防設(shè)a≥b≥c，則3a?b?c?0,3b?c?a≥b?c?c?c?a?

b?c?a?0

左式－右式?3a?b?c3b?c?a3c?a?b(b?c)2?(c?a)2?(a?b)2 b?ca?ca?b3b?c?a3c?a?b(c?a)2?(a?b)2 a?ba?b2(b?c?a)3b?c?a3c?a?b(a?b)2?(a?b)2?(a?b)2≥0 a?ba?ba?b ≥ ≥[評(píng)析]：本題中放縮法的第一步“縮”了兩個(gè)式了，有了一定的難度。由例

1、例2也可知運(yùn)用放縮法前先要觀察目標(biāo)式子的符號(hào)。

例3：設(shè)a、b、c?R?且abc?1求證

111≤1 ??1?a?b1?b?c1?c?a證明：設(shè)a?x3,b?y3,c?z3.且 x、y、z?R?.由題意得：xyz?1。

∴1?a?b?xyz?x3?y3

∴x3?y3?(x2y?xy2)?x2(x?y)?y2(y?x)?(x?y)2(x?y)≥0 ∴x3?y3≥x2y?xy2

∴1?a?b?xyz?x3?y3≥xyz?xy(x?y)?xy(x?y?z)

∴

1z1?≤

xy(x?y?z)x?y?z1?a?byx11≤，≤ ∴命題得證.x?y?zx?y?z1?b?c1?c?a同理：由對(duì)稱性可得[評(píng)析]：本題運(yùn)用了排序不等式進(jìn)行放縮，后用對(duì)稱性。

39例4：設(shè)a、b、c≥0，且a?b?c?3，求證a2?b2?c2?abc≥

22證明：不妨設(shè)a≤b≤c，則a≤1?又∵(44。∴a??0。33a?b23?a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a?)≥(3?a)2(a?)。2223833∴左邊?(a?b?c)2?2(ab?bc?ca)?abc

23434 ?9?2a(b?c)?bc(a?)≥9?2a(3?a)?(3?a)2(a?)

2383

341633?9?(3?a)[(3?a)(a?)?a]?9?(3?a)[a2?a?4]?9?(?a3?2a2?a?12)83388?99393?a(a2?2a?1)??a(a?1)2≥

2282893 ∴a2?b2?c2?abc≥

22[評(píng)析]：本題運(yùn)用對(duì)稱性確定符號(hào)，在使用基本不等式可以避開討論。

例5：設(shè)a、b、c?R?，p?R，求證：

abc(ap?bp?cp)≥ap?2(?a?b?c)?bp?2(a?b?c)?cp?2(a?b?c)

證明：不妨設(shè)a≥b≥c＞0，于是

左邊－右邊?ap?1(bc?a2?ab?ca)?bp?1(ca?b2?bc?ab)?cp?1(ab?c2?ca?bc)

?ap?1(a?b)[(a?b)?(b?c)]?bp?1(a?b)(b?c)?cp?1[(a?b)?(b?c)](b?c)?ap?1(a?b)2?(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1(b?c)2

≥(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1)如果p?1≥0，那么ap?1?bp?1≥0；如果p?1＜0，那么cp?1?bp?1≥0，故有(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1)≥0，從而原不等式得證.例6：設(shè)0≤a≤b≤c≤1，求證：

abc???(1?a)(1?b)(1?c)≤1

b?c?1c?a?1a?b?1abca?b?c≤，再證明以 ??b?c?1c?a?1a?b?1a?b?1證明：設(shè)0≤a≤b≤c≤1，于是有下簡(jiǎn)單不等式

a?b?ca?b?1c?1?(1?a)(1?b)(1?c)≤1，因?yàn)樽筮???(1?a)(1?b)(1?c)

a?b?1a?b?1a?b?1

?1?1?c[1?(1?a?b)(1?a)(1?b)]，再注意(1?a?b)(1?a)(1?b)≤(1?a?b?ab)

a?b?1(1?a)(1?b)?(1?a)(1?b)(1?a)(1?b)?(1?a2)(1?b2)≤1得證.在用放縮法證明不等式A≤B，我們找一個(gè)(或多個(gè))中間量C作比較，即若能斷定A ≤C與C≤B同時(shí)成立，那么A≤B顯然正確。所謂的“放”即把A放大到C，再把C放大到B，反之，所謂的“縮”即由B縮到C，再把C縮到A。同時(shí)在放縮時(shí)必須時(shí)刻注意放縮的跨度，放不能過頭，縮不能不及。