第一篇：數(shù)學(xué)所有不等式放縮技巧及證明方法

高考數(shù)學(xué)所有不等式放縮技巧及證明方法

一、裂項(xiàng)放縮

例1.(1)求

例2.(1)求證:1?(2)求證:

/ 7 ?4kk?1n22?1的值;(2)求證:

?k?1n15?3k2.11171??????(n?2)22262(2n?1)35(2n?1)111111?????2?? 4163624n4n(3)求證: 11?31?3?51?3?5???(2n?1)??????2n?1?1 22?42?4?62?4?6???2n(4)求證：2(n?1?1)?1?1?1???1?2(2n?1?1)

23n

例3.求證:

例4.(2008年全國一卷)設(shè)函數(shù)6n1115?1?????2?

(n?1)(2n?1)49n3a?bf(x)?x?xlnx.數(shù)列?a?滿足0?a1?1.an?1?f(an).設(shè)b?(a1，1)，整數(shù)k≥1.證

na1lnb明:ak?1

?b.mmmmm?1m?1n,m?N,x??1,S?1?2?3???nn?(m?1)S?(n?1)?1.例5.已知,求證: ?mn

例6.已知n

例7.已知x1?1,x

na?4?2nn32nT?T?T???T?,Tn?,求證:1.23n2a1?a2???an111?n(n?2k?1,k?Z)?????2(n?1?1)(n?N*)??,求證:

4x?x4x?x4xxn?1(n?2k,k?Z)?23452n2n?1ln2ln3ln4ln3n5n?6

二、函數(shù)放縮 例8.求證：?????n?3n?(n?N*).23436ln2?ln3?lnn?2n2?n?1(n?2)

例9.求證:(1)??2,????????2(n?1)23n 例10.求證:

例11.求證:(1?

2n?3(1?1?2)?(1?2?3)???[1?n(n?1)]?e例12.求證:

/ 7 11111?????ln(n?1)?1???? 23n?12n111111)(1?)???(1?)?e和(1?)(1?)???(1?2n)?e.2!3!n!9813

例14.已知a1?1,an?1?(1?

例16.(2008年福州市質(zhì)檢)已知函數(shù)

三、分式放縮

例19.姐妹不等式:(1?1)(1?)(1?)?(1?11an)a?.n2n證明n?n2?e2.f(x)?xlnx.若a?0,b?0,證明:f(a)?(a?b)ln2?f(a?b)?f(b).13151)?2n?1和(1?1)(1?1)(1?1)?(1?1)?1也可以表示成為2n?12462n2n?112n?1 1?3?5???(2n?1)2?4?6??2n??2n?1和2?4?6???2n1?3?5???(2n?1)

例20.證明:(1?1)(1?)(1?)?(1?

四、分類放縮 例21.求證:1?

例23.(2007年泉州市高三質(zhì)檢)已知函數(shù)1，0].若數(shù)列{bn}滿足bn?14171)?33n?1.3n?2111n????n? 232?12f(x)?x2?bx?c(b?1,c?R)，若f(x)的定義域?yàn)閇－1，0]，值域也為[－f(n)*(n?N)，記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，問是否存在正常數(shù)A，使得對于任意正3n整數(shù)n都有Tn?A？并證明你的結(jié)論。

例24.(2008年中學(xué)教學(xué)參考)設(shè)不等式組??x?0,?y?0,?y??nx?3n?表示的平面區(qū)域?yàn)镈,設(shè)D內(nèi)整數(shù)坐標(biāo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為an.設(shè)

nnSn?11111117n?11.????,當(dāng)n?2時(shí),求證:??????an?1an?2a2na1a2a3a2n36

五、迭代放縮

例25.已知xn?1

nxn?4?,x1?1,求證:當(dāng)n?2時(shí),?|xi?2|?2?21?n xn?1i?1 3 / 7

例26.設(shè)Sn?sin11!?sin22!???sinnn!,求證:對任意的正整數(shù)222

1k,若k≥n恒有:|Sn+k－Sn|<

n

六、借助數(shù)列遞推關(guān)系

例27.求證:?

例28.求證:?

例29.若a1

七、分類討論

例30.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn?2an?(?1),n?1.證明：對任意的整數(shù)m?4，有

n121?31?3?51?3?5???(2n?1)?????2n?2?1 2?42?4?62?4?6???2n11?31?3?51?3?5???(2n?1)?????2n?1?1

22?42?4?62?4?6???2n?1,an?1?an?n?1,求證:

111?????2(n?1?1)a1a2an1117????? a4a5am8

八、線性規(guī)劃型放縮

例31.設(shè)函數(shù)f(x)?

九、均值不等式放縮 2x?1.若對一切x?R，?3?af2x?2(x)?b?3，求a?b的最大值。

n(n?1)(n?1)2 例32.設(shè)Sn?1?2?2?3???n(n?1).求證?Sn?.221，若f(1)?4，且f(x)在[0，1]上的最小值為1，求證：bx1?a?25211f(1)?f(2)???f(n)?n?n?1?.22例33.已知函數(shù)f(x)?

例35.求證Cn

例36.已知

/ 7 13?Cn2?Cn???Cnn?n?2(n?1,n?N)

n?12f(x)?e?ex?x,求證:f(1)?f(2)?f(3)???f(n)?(en?1?1)

n2 例37.已知f(x)?x?1,求證:x

例38.若k?7,求證:Sn? f(1)?f(2)?f(3)???f(2n)?2n(n?1)n

11113??????.nn?1n?2nk?12a2例39.已知f(x)?a(x?x1)(x?x2),求證:f(0)?f(1)?.例40.已知函數(shù)f(x)=x－(－1)·2lnx(k∈N*).k是奇數(shù), n∈N*時(shí),求證: [f’(x)]－21

2knn－·f’(xn)≥2n(2n－2).例41.（2007年東北三校）已知函數(shù)f(x)?a?x(a?1)

x（1）求函數(shù)f(x)的最小值，并求最小值小于0時(shí)的a取值范圍；

n'nS(n)?(2?2)?f()（2）令S(n)?Cf(1)?Cf(2)???Cf(n?1)求證：

21n'2n'n?1'n

例43.求證:1? 十、二項(xiàng)放縮

例44.已知a1?1,an?1?(1?

n例45.設(shè)an?(1?)，求證：數(shù)列{an}單調(diào)遞增且an111?????2 n?1n?23n?111)a?.證明ann2nn?n2?e2

1n?4.例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求證：a

例47.設(shè)n

例49.已知函數(shù)f?x?的定義域?yàn)閇0,1]，且滿足下列條件：① 對于任意x?[0,1]，總有f?x??3，且f?1??4；

② 若x1?0,x2?0,x1?x2?1,則有

n?bn?21?n.?1,n?N，求證(2)n?38.(n?1)(n?2)f?x1?x2??f?x1??f(x2)?3.（Ⅰ）求f?0?的值；（Ⅱ）求證：f?x?≤4；（Ⅲ）當(dāng)x?(11,n?1](n?1,2,3,???)時(shí)，試證明：f(x)?3x?3.n33 5 / 7

222anana12a21?1例50.已知：a1?a2???an?1,ai?0(i?1,2?n)求證：??????

a1?a2a2?a3an?1?anan?a12

十二、部分放縮(尾式放縮)1114?????例55.求證: 3?13?2?13?2n?1?17

例56.設(shè)an?1?

例57.設(shè)數(shù)列?an?滿足an?1111????,a?2.求證：an?2.2a3ana?an2?nan?1?n?N??，當(dāng)a1?3時(shí)證明對所有n?1, 有(i)an?n?2；(ii)1111????? 1?a11?a21?an2

1、添加或舍棄一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）例

1、已知an?2n?1(n?N*).求證：

an1a1a2????...?n(n?N*).23a2a3an?1

2、先放縮再求和（或先求和再放縮）例

2、函數(shù)f（x）=4x1?4x，求證：f（1）+f（2）+?+f（n）>n+

12n?11?(n?N*).23、先放縮，后裂項(xiàng)（或先裂項(xiàng)再放縮）

例

3、已知an=n，求證：∑ k=1

4、放大或縮小“因式”； nk

2ak

＜3．

1a?a,0?a?,求證：例

4、已知數(shù)列{an}滿足n?1122n?(ak?ak?1)ak?2?k?1n1.32

5、逐項(xiàng)放大或縮小

/ 7

n(n?1)(n?1)2?an?例

5、設(shè)an?1?2?2?3?3?4???n(n?1)求證： 22

6、固定一部分項(xiàng)，放縮另外的項(xiàng)； 例

6、求證：

7、利用基本不等式放縮

例

7、已知an?5n?4，證明：不等式5amn?aman?1對任何正整數(shù)m，n都成立.構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的方法

一、移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù)

【例1】已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：當(dāng)x??1時(shí)，恒有1?

2、作差法構(gòu)造函數(shù)證明 【例2】已知函數(shù)f(x)?方；

3、換元法構(gòu)造函數(shù)證明

【例3】（2007年，山東卷）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln（4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明

【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求證：．a(chǎn)f(a)>bf(b)

11117?????? 2222123n41?ln(x?1)?x x?1122x?lnx.求證：在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)?x3的圖象的下23111?1)?2?3 都成立.nnn 7 / 7

第二篇：放縮法證明不等式

放縮法證明不等式

在學(xué)習(xí)不等式時(shí)，放縮法是證明不等式的重要方法之一，在證明的過程如何合理放縮，是證明的關(guān)鍵所在?，F(xiàn)例析如下，供大家討論。例1：設(shè)a、b、c是三角形的邊長，求證

abc≥3 ??b?c?ac?a?ba?b?c證明：由不等式的對稱性，不妨設(shè)a≥b≥c，則b?c?a≤c?a?b≤a?b?c

且2c?a?b≤0，2a?b?c≥0

∴

? ∴abcabc???3??1??1??1

b?c?ac?a?ba?b?cb?c?ac?a?ba?b?c2a?b?c2b?a?c2c?a?b2a?b?c2b?c?a2c?a?b≥?????0

b?c?ac?a?ba?b?cc?a?bc?a?bc?a?babc≥3 ??b?c?ac?a?ba?b?c2b?a?c無法放縮。所以在運(yùn)用放

c?a?b[評析]：本題中為什么要將b?c?a與a?b?c都放縮為c?a?b呢？這是因?yàn)?c?a?b≤0，2a?b?c≥0，而2b?a?c無法判斷符號，因此縮法時(shí)要注意放縮能否實(shí)現(xiàn)及放縮的跨度。

例2：設(shè)a、b、c是三角形的邊長，求證

abc(b?c)2?(c?a)2?(a?b)2≥ b?cc?aa?b1 [(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]

3證明：由不等式的對稱性，不防設(shè)a≥b≥c，則3a?b?c?0,3b?c?a≥b?c?c?c?a?

b?c?a?0

左式－右式?3a?b?c3b?c?a3c?a?b(b?c)2?(c?a)2?(a?b)2 b?ca?ca?b3b?c?a3c?a?b(c?a)2?(a?b)2 a?ba?b2(b?c?a)3b?c?a3c?a?b(a?b)2?(a?b)2?(a?b)2≥0 a?ba?ba?b ≥ ≥[評析]：本題中放縮法的第一步“縮”了兩個(gè)式了，有了一定的難度。由例

1、例2也可知運(yùn)用放縮法前先要觀察目標(biāo)式子的符號。

例3：設(shè)a、b、c?R?且abc?1求證

111≤1 ??1?a?b1?b?c1?c?a證明：設(shè)a?x3,b?y3,c?z3.且 x、y、z?R?.由題意得：xyz?1。

∴1?a?b?xyz?x3?y3

∴x3?y3?(x2y?xy2)?x2(x?y)?y2(y?x)?(x?y)2(x?y)≥0 ∴x3?y3≥x2y?xy2

∴1?a?b?xyz?x3?y3≥xyz?xy(x?y)?xy(x?y?z)

∴

1z1?≤

xy(x?y?z)x?y?z1?a?byx11≤，≤ ∴命題得證.x?y?zx?y?z1?b?c1?c?a同理：由對稱性可得[評析]：本題運(yùn)用了排序不等式進(jìn)行放縮，后用對稱性。

39例4：設(shè)a、b、c≥0，且a?b?c?3，求證a2?b2?c2?abc≥

22證明：不妨設(shè)a≤b≤c，則a≤1?又∵(44。∴a??0。33a?b23?a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a?)≥(3?a)2(a?)。2223833∴左邊?(a?b?c)2?2(ab?bc?ca)?abc

23434 ?9?2a(b?c)?bc(a?)≥9?2a(3?a)?(3?a)2(a?)

2383

341633?9?(3?a)[(3?a)(a?)?a]?9?(3?a)[a2?a?4]?9?(?a3?2a2?a?12)83388?99393?a(a2?2a?1)??a(a?1)2≥

2282893 ∴a2?b2?c2?abc≥

22[評析]：本題運(yùn)用對稱性確定符號，在使用基本不等式可以避開討論。

例5：設(shè)a、b、c?R?，p?R，求證：

abc(ap?bp?cp)≥ap?2(?a?b?c)?bp?2(a?b?c)?cp?2(a?b?c)

證明：不妨設(shè)a≥b≥c＞0，于是

左邊－右邊?ap?1(bc?a2?ab?ca)?bp?1(ca?b2?bc?ab)?cp?1(ab?c2?ca?bc)

?ap?1(a?b)[(a?b)?(b?c)]?bp?1(a?b)(b?c)?cp?1[(a?b)?(b?c)](b?c)?ap?1(a?b)2?(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1(b?c)2

≥(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1)如果p?1≥0，那么ap?1?bp?1≥0；如果p?1＜0，那么cp?1?bp?1≥0，故有(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1)≥0，從而原不等式得證.例6：設(shè)0≤a≤b≤c≤1，求證：

abc???(1?a)(1?b)(1?c)≤1

b?c?1c?a?1a?b?1abca?b?c≤，再證明以 ??b?c?1c?a?1a?b?1a?b?1證明：設(shè)0≤a≤b≤c≤1，于是有下簡單不等式

a?b?ca?b?1c?1?(1?a)(1?b)(1?c)≤1，因?yàn)樽筮???(1?a)(1?b)(1?c)

a?b?1a?b?1a?b?1

?1?1?c[1?(1?a?b)(1?a)(1?b)]，再注意(1?a?b)(1?a)(1?b)≤(1?a?b?ab)

a?b?1(1?a)(1?b)?(1?a)(1?b)(1?a)(1?b)?(1?a2)(1?b2)≤1得證.在用放縮法證明不等式A≤B，我們找一個(gè)(或多個(gè))中間量C作比較，即若能斷定A ≤C與C≤B同時(shí)成立，那么A≤B顯然正確。所謂的“放”即把A放大到C，再把C放大到B，反之，所謂的“縮”即由B縮到C，再把C縮到A。同時(shí)在放縮時(shí)必須時(shí)刻注意放縮的跨度，放不能過頭，縮不能不及。

第三篇：放縮法證明不等式

放縮法證明不等式

不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個(gè)重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因?qū)Ч?/p>

2.分析法：執(zhí)果索因?；静襟E：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項(xiàng)，如

(2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題

化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結(jié)構(gòu)，便于進(jìn)行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當(dāng)放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當(dāng)縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個(gè)度，如果放得過大或縮得過小，就會導(dǎo)致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個(gè)恰到好處進(jìn)行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時(shí)要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。

數(shù)學(xué)題目是無限的，但數(shù)學(xué)的思想和方法卻是有限的。我們只要學(xué)好了有關(guān)的基礎(chǔ)知識，掌握了必要的數(shù)學(xué)思想和方法，就能順利地應(yīng)對那無限的題目。題目并不是做得越多越好，題海無邊，總也做不完。關(guān)鍵是你有沒有培養(yǎng)起良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，有沒有掌握正確的數(shù)學(xué)解題方法。當(dāng)然，題目做得多也有若干好處：一是“熟能生巧”，加快速度，節(jié)省時(shí)間，這一點(diǎn)在考試時(shí)間有限時(shí)顯得很重要;二是利用做題來鞏固、記憶所學(xué)的定義、定理、法則、公式，形成良性循環(huán)。

解題需要豐富的知識，更需要自信心。沒有自信就會畏難，就會放棄;有了自信，才能勇往直前，才不會輕言放棄，才會加倍努力地學(xué)習(xí)，才有希望攻克難關(guān)，迎來屬于自己的春天。

第四篇：放縮法證明不等式

主備人：審核：包科領(lǐng)導(dǎo)：年級組長：使用時(shí)間：

放縮法證明不等式

【教學(xué)目標(biāo)】

1.了解放縮法的概念；理解用放縮法證明不等式的方法和步驟。

2.能夠利用放縮法證明簡單的不等式。

【重點(diǎn)、難點(diǎn)】

重點(diǎn)：放縮法證明不等式。

難點(diǎn)：放縮法證明不等式。

【學(xué)法指導(dǎo)】

1.據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)，自學(xué)課本內(nèi)容，限時(shí)獨(dú)立完成導(dǎo)學(xué)案；

2.紅筆勾出疑難點(diǎn)，提交小組討論；

3.預(yù)習(xí)p18—p19,【自主探究】

1，放縮法：證明命題時(shí)，有時(shí)可以通過縮小（或）分式的分母（或），或通過放大（或縮?。┍粶p式（或）來證明不等式，這種證明不

等式的方法稱為放縮法。

2，放縮時(shí)常使用的方法：①舍去或加上一些項(xiàng)，即多項(xiàng)式加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，或多項(xiàng)式減上一些正的值，多項(xiàng)式的值變小。如t2?2?t2,t2?2?t2等。

②將分子或分母放大（或縮小）：分母變大，分式值減小，分母變小，分

式值增大。

如當(dāng)(k?N,k?1)1111，22kkk(k?1)k(k?1)，③利用平均值不等式，④利用函數(shù)單調(diào)性放縮。

【合作探究】

證明下列不等式

(1)

(2)，已知a>0，用放縮法證明不等式:loga

(a?1)1111??...??2(n?N?)2222123nloga(a?1)?1

(3)已知x＞0, y>0，z>0求證

?x?y?z

（4）已知n?

N?，求證：1

【鞏固提高】

已知a,b,c,d都是正數(shù)，s?

【能力提升】

求證: ?...?abcd???求證:1

1?a?b?a

1?a?b

1?b

本節(jié)小結(jié)：

第五篇：淺談用放縮法證明不等式的方法與技巧

淺談用放縮法證明不等式的方法與技巧

分類：學(xué)法指導(dǎo)

放縮法：為放寬或縮小不等式的范圍的方法。常用在多項(xiàng)式中“舍掉一些正（負(fù)）項(xiàng)”而使不等式各項(xiàng)之和變小（大），或“在分式中放大或縮小分式的分子分母”，或“在乘積式中用較大（較?。┮蚴酱妗钡刃Х?，而達(dá)到其證題目的。

所謂放縮的技巧：即欲證

做“放”，由B到C叫做“縮”。

常用的放縮技巧還有：（1）若（2），欲尋找一個(gè)（或多個(gè)）中間變量C，使，由A到C叫

（3）若則（4）

（5）（6）

或

（7）

等。

用放縮法證明下列各題。

例1 求證： 等

證明：因?yàn)樗宰筮呉驗(yàn)?9＜100（放大）＜

所以

例2（2000年海南理11）若

證明：因?yàn)?求證：因?yàn)?所以

［因?yàn)?/p>

大），所以又所以是增函數(shù)］，所以（放，所以

例3（2001年云南理1）求證：

證明：（因?yàn)椋?/p>

［又因?yàn)?/p>

例4 已知證明：因?yàn)?/p>

求證：

（放大）］，所以所以

例5 求證：

證明：因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)椋ǚ糯螅?/p>

所以

例6（2000年湖南省會考）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是當(dāng)

時(shí)，函數(shù)的最大值是

證明：因?yàn)樵瘮?shù)配方得又因?yàn)?/p>

所以（縮小），所以函數(shù)

y的最小值是。當(dāng)所以

（放大），所以函數(shù)y的最大值是

例7 求證：

證明：因?yàn)榱ⅰ?/p>

例8（2002年貴州省理21）若證明：因?yàn)?/p>

所以

證

（當(dāng)且僅當(dāng)

（分母有理化）所以原不等式成求證：

而

所以

同理可

時(shí)，取等號）。

例9 已知a、b、c分別是一個(gè)三角形的三邊之長，求證：

證明：不妨設(shè)據(jù)三角形三邊關(guān)系定理有：便得

所以原不等式成立。

例10（1999年湖南省理16）求證：

證明：因?yàn)橛?/p>

所以原不等式成立。

例11 求證：

證明：因?yàn)樽筮?/p>

證畢。

例12 求證

證明：因?yàn)?/p>

注：

1、放縮法的理論依據(jù)，是不等式的傳遞性，即若

所以左邊

則。

2、使用放

縮法時(shí)，“放”、“縮”都不要過頭。

3、放縮法是一種技巧性較強(qiáng)的不等變形，一般用于兩邊差別較大的不等式。常用的有“添舍放縮”和“分式放縮”，都是用于不等式證明中局部放縮。