第一篇：巧用構(gòu)造法解不等式問題

巧用構(gòu)造法解不等式問題

湖州中學(xué)黃淑紅

數(shù)學(xué)中有許多相似性，如數(shù)式相似，圖形相似，命題結(jié)論的相似等，利用這些相似性，通過構(gòu)造輔助模型，促進(jìn)轉(zhuǎn)化，以期不等式得到證明?？梢詷?gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量、復(fù)數(shù)和圖形等數(shù)學(xué)模型，針對欲證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)哪Ｐ停瑢⒉坏仁絾栴}轉(zhuǎn)化為上述數(shù)學(xué)模型問題，順利解決不等式的有關(guān)問題。

一、根據(jù)不等式特征，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)某醯群瘮?shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性等特征來證明不等式。

例1證明：對于任意的x,y,z?(0,1),不等式x?(1?y)?y?(1?z)?z?(1?x)?1成立。

證明設(shè)f(x)?(1?y?z)?x?y?(1?z)?z,顯然該函數(shù)是以x為主元的一次函數(shù)。當(dāng)x?(0,1)時，f(x)是單調(diào)函數(shù)，且f(0)?y?y?z?z?(y?1)?(1?z)?1?1, f(1)?1?y?z?1.所以，當(dāng)x?(0,1)時，f(x)的最大值小于1，即x?(1?y)?y?(1?z)?z?(1?x)?1 例

2如果(x?y??1，那么x?y?0

證明

構(gòu)造函數(shù)f(x)?lg(x單調(diào)遞增。

?

(x?x?R).可以證明函數(shù)f(x)在R上是奇函數(shù)且 y??1,?f(x)?f(y)?lg(x?lg(y

?lg?(xy?=lg1=0 ???f(x)??f(y),即f(x)?f(?y)所以x??y,即x?y?0

通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性，把一些看似與函數(shù)無緣的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來解決，思路靈活新穎，簡潔巧妙，可出奇制勝。

二、有些不等式分析可知它與數(shù)列有關(guān)，可構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)列，再利用數(shù)列的單調(diào)性來研究。

n(n?1)(n?1)

2?????例

3證明不等式對所有正 22

整數(shù)n成立。

分析：

??是一個與n無關(guān)的量，將它與左右兩端作差 構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)列，在利用數(shù)列的單調(diào)性來研究。

解：

設(shè)an3???，1?n)(N?構(gòu))造數(shù)列?xn?，令

xn?an?n(n?1)(n?1)(n?2)n(n?1)??(n?1)?0,，則xn?1?xn?an?1?an?222

(n?N)，所以xn?1?xn，?x

n?為單調(diào)數(shù)列，首相x11為最小值。

n(n?1)(n?1)2

所以xn?x1?1?0，即an?，又令yn?an?，22

(n?1)2(n?2)22n?3??則yn?1?yn?an?1?an?，222

所以yn?1?yn，?y

n?為單調(diào)遞減數(shù)列，首相y12為最大項，(n?1)2

所以yn?y12?0，即an?.2

n(n?1)(n?1)2

?an?(n?N)綜上所述，22

用構(gòu)造單調(diào)數(shù)列證明不等式，若不等式的一邊為和（積）式，則構(gòu)造數(shù)列?an?，使其通項等于和（積）式與另一端的差（商），然后通過比較法確定數(shù)列?an?的單調(diào)性，利用數(shù)列的單調(diào)性即可使不等式獲證。

三、對某些不等式，根據(jù)條件和結(jié)論，可將其轉(zhuǎn)化為向量形式，利用向量數(shù)量積及不等??????關(guān)系m?n?mn，使問題得到解決。

a2b2c2a?b?c???例4已知a,b,c?R，求證：a,b,c?R b?cc?aa?b2??

?

??證明

設(shè)m?n?，則 ???2222??2abc(m?n)(a?b?c)2a?b?c???m?2? ?b?cc?aa?b2(a?b?c)2n利用向量雖是一種構(gòu)造性的證明方法，但它與傳統(tǒng)的綜合法有很大不同，能避免繁雜的湊配技巧，使證明過程既直觀又容易接受。

四、有些不等式若采用通法解很繁瑣，用變量替換法又不可行，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法將抽象的式用形表示，則使問題中的各變量關(guān)系更具體明確，使問題簡明直觀。

例

5?1x

2析本題若轉(zhuǎn)化為不等式組來解很繁瑣，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法將抽象的式用形表示，則使問題變得簡明直觀

解：令y?y?1x，2

x，問題轉(zhuǎn)化

為它們對應(yīng)的圖象為半圓(x?1)2?y2?1(y?0)與直線y?

(x?1)2?y2?1(y?0)的圖象在y?

?1x上方時x的范圍，如圖 218x得x0? 25

故原不等式的解為：?x0?x?? ?

?8?5?五、一類屬函數(shù)圖象的問題，與求最值結(jié)合，利用數(shù)形結(jié)合是基本的指導(dǎo)思想，但還需結(jié)合復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，使不等式的證明水到渠成。

例6 如圖，設(shè)曲線y?e?x(x?0)在點(diǎn)M(t,e?t)處的切線l與x軸y軸所圍成的三角形面 積為S(t)，求（1）切線l的方程；2）求證S(t)?2 e

?t（1）解： ?f'(x)?(e?x)'??e?x，?切線l的斜率為?e

故切線l的方程為y?e?t??e?t(x?t)，即e?tx?y?e?t(t?1)?0

（2）證明：令y?0得x?t?1，又令x?0得y?e(t?1)，?t

?S(t)?11(t?1)?e?t(t?1)?(t?1)2e?t 2

21?t'從而S(t)?e(1?t)(1?t).2?當(dāng)t?(0,1)時,S'(t)?0,當(dāng)t?(1,??)時,S'(t)?0,?S(t)的最大值為S(1)?22，即S(t)? ee

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，并結(jié)合函數(shù)圖象，可快速獲解，也充分體現(xiàn)了求導(dǎo)法在證明 不等式中的優(yōu)越性。

證明不等式不但用到不等式的性質(zhì)，不等式證明的技能、技巧，還要注意到橫向結(jié)合內(nèi)容的方方面面.如與數(shù)列的結(jié)合，與“二次曲線”的結(jié)合，與“三角函數(shù)”的結(jié)合，與“一元二次方程，一元二次不等式、二次函數(shù)”這“三個二次”間的互相聯(lián)系、互相滲透和互相制約，這些也是近年命題的重點(diǎn).

第二篇：巧用構(gòu)造法證明不等式

巧用構(gòu)造法證明不等式

構(gòu)造法是指在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，為了完成由條件向結(jié)論的轉(zhuǎn)化，通過構(gòu)造輔助元素，架起一座溝通條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得到解決。不等式證明是高中數(shù)學(xué)的一個難點(diǎn)問題，若能巧用構(gòu)造方法，可以使一些問題化難為易.本文擬用構(gòu)造法巧證一些不等式問題，僅供參考.一、構(gòu)造函數(shù)證明不等式

若能根據(jù)題中條件的特征，巧妙地構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)來證明不等式.例1（2011年安徽高考理科題）（Ⅰ）設(shè)x?1,y?1，證明 111x?y????xy，xyxy

（Ⅱ）1?a?b?c，證明

logab?logbc?logca?logba?logcb?logac.解：∵x?1，y?1，所以要證明原不等式成立，則只需證

xy(x?y)?1?y?x?(xy)

2成立.令f(x)?y?x?(xy)2?[xy(x?y)?1]?(y2?y)x2?(1?y2)x?y?1 當(dāng)y?1時，則f(x)?0，即xy(x?y)?1?y?x?(xy)2，所以

111x?y????xy xyxy

111?(,1).函數(shù)當(dāng)y?1時，二次函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對稱軸x??22y2

f(x)在[1,??)上單調(diào)遞增，所以

f(x)?f(1)?y2?y?1?y2?y?1?0

所以

111x?y????xy xyxy

綜上，所證明的原不等式成立.（Ⅱ）證明略.二、構(gòu)造方程證明不等式

由解不等式的經(jīng)驗知，不等式的解的區(qū)間的端點(diǎn)就是相應(yīng)方程的解，所以可以利用方程與不等式的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)造方程來證明不等式.例2 設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c滿足

?a2?bc?8a?7?0?2 2?b?c?bc?6a?6?0

求證：1?a?9.?bc?a2?8a?7證明：由已知得?，故可構(gòu)造關(guān)于x的方程：

?b?c??(a?1)

x2?(a?1)x?a2?8a?7?0

所以??[?(a?1)]2?4(a2?8a?7)?0，即a2?10a?9?0，所以1?a?9.三、構(gòu)造三角形證明不等式

若能根據(jù)不等式的特征，構(gòu)造出與不等式相同的幾何背景的三角形，通過三角形的性質(zhì)和幾何特征來證明不等式.例3設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù)，求證：

a2?ab?b2?b2?bc?c2?c2?ca?a2?(a?b?c)證明：由于a2?ab?b2?

下圖所示.Aa2?b2?2abcos1200，構(gòu)造三角形ABC，如 ? D B

使AC?b,BC?a,?ACB?1200，則AB?a2?ab?b2.作?ACB的角平分線交AB于D.令?ADC??，則ADbBDaa?，.??sin600sin?sin600sin(1800??)sin?

33ba(a?b)

所以AB?，BD?.由此可得AB?AD?DB?.sin?sin?sin?

∵0?????1，所以AB?，所以0?si?n3(a?b)，即

2a2?ab?b2?

同理：b2?bc?c2?(a?b)①.23(c?b)② 2

(c?a)③ 2c2?ca?a2?

由①②③得a2?ab?b2?b2?bc?c2?c2?ca?a2?(a?b?c).四、構(gòu)造幾何體證明不等式

若要證明的不等式與幾何體中一些線段的長度有某種內(nèi)在的關(guān)系，可通過構(gòu)造幾何體來證明不等式.例4 已知a,b,c均為正數(shù)，且a2?b2?c2?1.證明：

?a2??b2??c2?3?(a?b?c)

證明：由a2?b2?c2?1，可發(fā)現(xiàn)此式與長方體的對角線長的公式有一定聯(lián)

系.故可構(gòu)造長方體，使其長寬高分別為a,b,c，且AC1?1.A

c 1A1 D

1而AB1?b2?c2??a2.在?AB1C1中，有AB1?B1C1?AC1，即

?a2?a?1①

同理有

?b2?b?1②

?c2?c?1③

由①②③得?a2??b2??c2?3?(a?b?c).用構(gòu)造法證明不等式是一種非常重要的解題方法.運(yùn)用此方法的關(guān)鍵在于“構(gòu)造”，可以根據(jù)所要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特征，合理運(yùn)用類比、聯(lián)想等方法，構(gòu)造出“輔助元素”，使所要證明的不等式化難為易，從而解決問題。

第三篇：巧用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式

構(gòu)造函數(shù)法證明不等式

一、構(gòu)造分式函數(shù)，利用分式函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

【例1】證明不等式：|a|?|b||a?b|

1?|a|?|b|≥1?|a?b|

證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=

x

1?x(x≥0)則f(x)=x1?x=1-

11?x

在?0，???上單調(diào)遞增

∵f(|a| + |b|)=

|a|?|b|1?|a|?|b|f(|a + b|)=|a?b|

1?|a?b|

且|a| + |b|≥|a + b|

∴f(|a| + |b|)≥f(|a + b|)即所證不等式正確。

二、利用分式函數(shù)的奇偶性證明不等式

【例2】證明不等式：x1?2x＜x

2（x≠0）證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=x1?

2x

?x

2(x?0)∵f(-x)=-xx-x?2x1-2-x?2?2x?1?x2?x1?2x

[1-(1-2x)]?x2?x1?2x?x2=f(x)

∴f(x)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對稱。當(dāng)x＞0時，1?2x

＜0，f(x)＜0；

當(dāng)x＜0時，-x＞0,故f(x)=f(-x)＜0 ∴x1-2x?x2＜0，即x1?2

x

＜x

2三、構(gòu)造一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

【例3】已知|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求證：a + b + c＜abc + 2。

證明：構(gòu)造函數(shù)f(c)=(1-ab)c + a + b-

2∵|a|＜1，|b|＜

1∴-1＜ab＜1，1-ab＞0

∴f(c)的（-1，1）上是增函數(shù)

∵f(1)=1-ab + a + b-2=a + b–ab-1=a(1b)=(1c)2＞4a(a + b + c)。證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=ax2 +(-b + c)x +(a + b + c)(a≠0)

則f(0)=a + b + c，f(1)=2(a + c)

由(a + c)(a + b + c)＜0知：f(0)?f(1)＜0 ∴f(x)=0有兩個不等的實(shí)數(shù)根?！唷鳎?，即(bc)2＞4a(a + b + c)

【例5】已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a + b + c = 5，a2 + b2 + c

2= 9，求證a，b，c的值都不小于1，又都 不大于21

3。

證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x2+ 2(a + b)x + a2 + b2=(x + a)2 +(x + b)2 ≥0

∵2＞0

∴△=[2(a+b)]2-4×2×(a2 + b2)≤0

∴△=4(5-c)2-8(9-c2)≤0 ∴(c-1)(3c-7)≤0

∴1≤c≤213

同理可證：1≤a≤21，1≤b≤2133。

【例6】已知a，b，c∈R，證明：a2 + ac + c2 + 3b(a + b + c)≥0，并指出等號何時成立？

證明：令f(a)= a2 +(c + 3b)a + c2 + 3b2

+ 3bc

△=(c + 3b)2-4(c2 + 3b2 + 3bc)=-3(b + c)2

≤0 恒成立 ∵二次項系數(shù)1＞0

∴f(a)≥0，即 a2 + ac + c2 + 3b(a + b + c)≥0

又當(dāng)△=0，即b + c = 0時f(a)=(a + b)2

= 0 ∴當(dāng)且僅當(dāng)a=-b=c時才能取等號。

⒉利用一元二次方程根的分布證明不等式

【例7】設(shè)a + b + c=1，a2 + b2 + c2 =1，且a＞b＞c，求證：-

13＜c＜0

證明：∵a + b + c=1

∴a + b =1-c有a2 + b2 + 2ab=1c

∴a，b是方程x2-(1-c)x+c2-c=0的兩個實(shí)數(shù)根

∵a＞b＞c，故方程有大于c的兩個不等的實(shí)數(shù)根

構(gòu)造函數(shù)f(x)= x2-(1-c)x+c2-c，則有：

????(1?c)2?4(c2?c)＞0

??1?c＞c

?2

??f(c)＞0

∴-1

3＜c＜0

⒊綜合運(yùn)用判別式法、一元二次方程根的分布證明不等式

【例8】設(shè)a，b是兩個不等于0的實(shí)數(shù)，求證：下列不等式中至少有一個成立。a?a2?2b2

2b1，aa2?2b2

2b1

證明：設(shè)f(x)=bx2?ax?b

2(b≠0)

∵△=(-a)2-2b(-b)=a2+2b2＞0

∴拋物線與x軸必有兩個交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為x=a?a2?2b2

2b

∴f(-1)=b

2?af(0)= ?b

2f(1)= b

2?a

⑴當(dāng)b＞0時，f(0)＜0

若a＞0,則f(-1)＞0

∴點(diǎn)A（-1，f(-1)）在x軸上方，點(diǎn)B（0，f(0)）在x軸下方

∴拋物線與x軸在（-1，0）內(nèi)必有一個交點(diǎn)，此時有

aa2?2b2

2b1 若a＜0，則f(1)＞0 ∴點(diǎn)C(1，f(1))在x軸上方 ∴拋物線與x軸在（0，1）內(nèi)必有一個交點(diǎn)，此時有 a?a2?2b22b1 ⑵當(dāng)b＜0時，f(0)＞0，此時點(diǎn)B在x軸下方，同理可證A點(diǎn)和C點(diǎn)至少有一點(diǎn) 在x軸上方。故兩個不等式至少有一個成立。構(gòu)造函數(shù)法證明不等式，關(guān)鍵在于找到能夠反映所要證不等式特征的合適的函數(shù)，從而就可以利用該函數(shù)的性質(zhì)去證明不等式。

第四篇：構(gòu)造向量巧解不等式問題

構(gòu)造向量巧解有關(guān)不等式問題

新教材中新增了向量的內(nèi)容，其中兩個向量的數(shù)量積有一個性質(zhì)：a?b??|a||b|cos?（其中θ為向量a與b的夾角），則|，又?，則易得到以1?cos?1a?b|??||a|||bcos|

下推論：

（1）ab??|ab|?||；

（2）|ab?|?|a|?|b|；

（3）當(dāng)a與b同向時，ab??|ab|?||；當(dāng)a與b反向時，a?b???|a||b|；

（4）當(dāng)a與b共線時，|ab?|?|a|?|b|。

下面例析以上推論在解不等式問題中的應(yīng)用。

一、證明不等式

例1已知a。、b?R，a?b?12證明：設(shè)m=（1，1），n，則 2a?2b?1)???

?ab?

1||2||a?1?2b?1?

2ab?12由性質(zhì)m ?n?|m|?|n|，得?y?z?1，求證：x?y?z例2已知x。

證明：設(shè)m=（1，1，1），n=（x，y，z），則 2221

3m?n????xyz1

||3，|n|x?y?z

222222 m?nm|?||||n，得x?y?z由性質(zhì)|

?22213a2b2c2a?b?cR，求證：???例3已知a，b，c?。b?cc?aa?b2

222abc)證明：設(shè)m，??a?b)bc?ca?ab?

則m ??na?b?c

222abc||||2(a?b?c)b?ca?ca?b

第1頁（共4頁）

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a2b2c2a?b?c由性質(zhì)| ???m?n|?|m||n|，得b?cc?aa?b2222例4已知a,b為正數(shù)，求證：(。a?b)(a?b)?(a?b)

證明：設(shè)m ?(a，b)，n?(a，b)，則

33m?n?a?b

224442233222||a?b，|n|a?b

由性質(zhì)|m?n|?|m||n|，得 222

44422332(a?b)(a?b)?(a?b)

d?a?cd?。,b,c,d?R例5設(shè)a，求證：a

證明：設(shè)m=（a,b），n=（c,d），則

m?n??adbc

2222 ||a?b||c?d222

由性質(zhì)ab??|ab|?||，得

222ad?a?cd?

二、比較大小

Rda?例6已知m,n,a,b,c,d?

p，q的大小關(guān)系為（）

A.p?qB.p?qC.p

hk?abcd

bd |h|ma?nc，|k|mn

hk?|??|hk|||得 由性質(zhì)|

bcdman?即p?q，故選（A）

bd mn

三、求最值

例7已知m,n,x,y?，且m，那么mx+ny的最大值為??na，x??ybR

（）A.2222abB.a?b

2C.a2?b2

2D.a2?b2

解：設(shè)p=（m,n），q=（x,y），則

由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，得p ?q?mx?ny

而|| m?n||x?y

從而有m xnmx?y

當(dāng)p與q同向時，mx+ny取最大值m，故選（A）。?nx?yb

例8求函數(shù)的最大值。x??)

解：設(shè)，則 x?2x)，n?(1，1)***2

m?n2x?1?2x

|m|?2，|n|2

由性質(zhì)m?n?|m|?|n|，得

x?2x2

當(dāng)

四、求參數(shù)的取值范圍 113 時時，y?2max22x??2x

y?y例9設(shè)x,y為正數(shù)，不等式x恒成立，求a的取值范圍。

yn)，?（1，1）解：設(shè)，則

||x?y||2

由性質(zhì)m?n?|m|?|n|，得

xyx?y y?y又不等式x恒成立

故有a?2

黑龍江省大慶市66中學(xué)（163000）

第五篇：巧用逆向構(gòu)造法 妙解數(shù)列型問題

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巧用逆向構(gòu)造法 妙解數(shù)列型問題

作者：翟美華

來源：《理科考試研究·高中》2013年第01期

對于以上兩例，常規(guī)方法是用數(shù)學(xué)歸納法.而本文采用逆向思維，由右式的目標(biāo)式逆向構(gòu)造出左式各項，用恒等式①或②，立即獲解.