第一篇：例談運(yùn)用構(gòu)造法證明不等式

例談運(yùn)用構(gòu)造法證明不等式

湖北省天門中學(xué)薛德斌

在我們的學(xué)習(xí)過程中，常遇到一些不等式的證明，看似簡單，但卻無從下手，很難找到

切入點(diǎn)，幾種常用證法一一嘗試，均難以湊效。這時(shí)我們不妨變換一下思維角度，從不等式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)出發(fā)，在已學(xué)過的知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行廣泛的聯(lián)想，構(gòu)造一個(gè)與不等式相關(guān)的數(shù)

學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明。下面通過舉例加以說明。

一、構(gòu)造向量證明不等式

例1：證明7x?2(9?x2)?9，并指出等號(hào)成立的條件。簡析與證明：不等式左邊可看成7與 x 和2與9?x2兩兩乘積的和，從而聯(lián)想

到數(shù)量積的坐標(biāo)表示，將左邊看成向量a=(,2)與b=(x,又a·b ≤|a|·|b|，所以7x?9?x2)的數(shù)量積，2(9?x2)?(7)2?(2)2x2?(9?x2)?9當(dāng)且僅當(dāng)b=λa(λ>0)時(shí)等號(hào)成立，故由

時(shí)，等號(hào)成立。x7?9?x22x=,λ=1，即 x =7???0得：（1－y)?(x?y?3)?(2x?y?6)?例2：求證：2221 6

簡析與證明：不等式左邊的特點(diǎn)，使我們?nèi)菀茁?lián)想到空間向量模的坐標(biāo)表示，將左邊看

成a =(1－y , x+y－3 , 2x+y－6)模的平方，又 |a|·|b|≥a·b ,為使 a·b為常數(shù)，根據(jù)待定系數(shù)

法又可構(gòu)造b=(1 , 2，-1)

222于是|a|·|b|=(1?y)?(x?y?3)?(2x?y?6)6

（1－y)·1＋(x?y?3)·2?(2x?y?6（）·?1）－1 a·b＝

222所以(1?y)?(x?y?3)?(2x?y?6)6?1（1－y)?(x?y?3)?(2x?y?6)?即

二、構(gòu)造復(fù)數(shù)證明不等式

22例

3、x?y?2221 6x2?(1?y)2?(1?x)2?y2?(1?x)2?(1?y)2?2

2簡析與證明：從不等式左邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)容易聯(lián)想到復(fù)數(shù)的模，將左邊看成復(fù)數(shù)Z1=

x+y i , Z2 = x +（1－ y）i，Z3 = 1－ x +y i，Z4 = 1－ x +（1－ y）i 模的和，又注意到

Z1＋Z2＋Z3＋Z4＝2＋2 i，于是由 z1＋z2＋z3＋z4≥z1?z2?z3?z4可得

x2?y2?x2?(1?y)2?(1?x)2?y2?(1?x)2?(1?y)2?22?22?22

此題也可構(gòu)造向量來證明。

三、構(gòu)造幾何圖形證明不等式

例4：已知：a>0、b>0、c>0 ,求證：a2?ab?b2?b2?bc?c2?

且僅當(dāng)a2?ac?c2當(dāng)111??時(shí)取等號(hào)。bac

簡析與證明：從三個(gè)根式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)容易聯(lián)想到余弦定理，于是可構(gòu)造如下圖形：

作OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB=∠BOC=60° 如圖（1）

則∠AOC＝120°，AB=a2?ab?b2，BC=b

2?bc?c2,AC=a2?ac?c2由幾何知識(shí)可知：AB＋BC≥AC

∴a2?ab?b2+b2?bc?c2≥a2?ac?c2

當(dāng)且僅當(dāng)A、B、C三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)有

111absin60??bcsin60??acsin120?，即22

2ab+bc=ac

故當(dāng)且僅當(dāng)111??時(shí)取等號(hào)。bac圖（1）

四、構(gòu)造橢圓證明不等式

例5：求證：?42 ?4?9x2?2x?3

3簡析與證明：4?9x2的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，使我們聯(lián)

想到橢圓方程及數(shù)形結(jié)合思想。

于是令 y?4?9x2(y?0)，則其圖象是橢

x2y

2??1圓4的上半部分，設(shè)y-2x=m，于是只需

49證?42?m?, 因 m為直線y=2x＋m在y軸上33圖（2）的截距，由圖（2）可知：當(dāng)直線 y = 2 x＋m 過點(diǎn)（直線y =2x＋m與橢圓上半部分相切時(shí)，m有最大值。

由 ?24，0）時(shí)，m有最小值為m=?；當(dāng)33?y?2x?m

22?9x?y?4 得：13x2 + 4mx + m2 – 4 = 0

令△= 4（52－9m2）=0 得：m?22或m?－（33

即m的最大值為424222，故??m?，即??4?9x?2x? 33333

五、構(gòu)造方程證明不等式

例6：設(shè) a1、a2、…an 為任意正數(shù)，證明對(duì)任意正整數(shù)n

不等式(a1 + a2 + … + an)2≤ n(a12+a22+ …+ an2)均成立

簡析與證明：原不等式即為 4(a1 + a2 + … + an)2－4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0

由此聯(lián)想到根的判別式而構(gòu)造一元二次方程：

(a12+ a22+ … + an2)x 2 + 2(a1 + a2 + … + an)x + n=0（＊）

因方程左邊＝(a1 x + 1)2 +(a2 x + 1)2 + … ＋(an x + 1)2 ≥ 0

當(dāng)a1、a2、…an不全相等時(shí)，a1 x+

1、a2 x+

1、…an x+1至少有一個(gè)不為0，方程（＊）左邊恒為正數(shù)，方程（＊）顯然無解。

當(dāng)a1＝a2＝…＝an 時(shí)，方程（＊）有唯一解 x＝?1 a

1故△＝4(a1 + a2 + … + an)2 － 4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0

即(a1 + a2 + … +an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2)對(duì)任意正整數(shù)n均成立

六、構(gòu)造數(shù)列證明不等式

2例7：求證：Cn1+Cn2+…+Cnn >n·

n n-121?2n

簡析與證明：不等式左邊即為 2－1=從而聯(lián)想到等比數(shù)列的求和公式，于是左1?

2邊=1+2+2+…+ 2 2n－1112=[(1+2n-1)+(2+2n-2)+ …(2n-1+1)≥·n·22n?1=n·22n-12

例8：設(shè)任意實(shí)數(shù)a、b均滿足| a | < 1，| b | < 1 求證：112?? 221?ab1?a1?b

簡析與證明：不等式中各分式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與題設(shè)聯(lián)想到無窮等比數(shù)列（| q | < 1）各項(xiàng)和公式S＝a1112424?，則：=（1 + a + a + …）+（1 + b + b + …）221?a1?b1?q1?ab=2+（a2 + b2）+(a4 + b4)+ … ≥2+2ab+2 a2 b2 + 2a4b4 + … =

七、構(gòu)造函數(shù)證明不等式

例9：已知| a | < 1，| b | < 1，| c | < 1，求證：ab＋bc＋ca＞－

1簡析與證明：原不等式即為：（b＋c）a＋bc＋1>0 ……①

將a看作自變量，于是問題轉(zhuǎn)化為只須證：當(dāng)－1＜a＜1時(shí)，（b＋c）a＋bc＋1恒為正數(shù)。因而可構(gòu)造函數(shù) f(a)=(b + c)a + bc +1(－1＜a＜1)

若b + c = 0原不等式顯然成立。

若b + c ≠0，則f(a)是a的一次函數(shù)，f(a)在（－1,1）上為單調(diào)函數(shù)

而 f(-1)=－ b －c+ bc +1＝（1－b）（1－c）＞0

f(1)＝b＋c＋bc＋1＝（1＋b）（1＋c）＞0

∴f(a)＞0 即ab＋bc＋ca＞－1

此題還可由題設(shè)構(gòu)造不等式（1＋a）（1＋b）（1＋c）＞0

（1－a）（1－b）（1－c）＞0

兩式相加得：2＋2（ab＋bc＋ca）＞0即ab＋bc＋ca＞－1

八、構(gòu)造對(duì)偶式證明不等式

例10：對(duì)任意自然數(shù)n，求證：(1+1)(1+

簡析與證明：設(shè)an =(1+1)(1+

構(gòu)造對(duì)偶式：bn = 11)…(1+)> 43n?23n?1 112583n?43n?1)…(1+)= ··…·?43n?21473n?53n?23693n?33n47103n?23n?1··…，cn = ·… 2583n?43n?13693n?33n?1?1111?1??1?，1? 3n?23n?13n?23n

即an > bn，an > cn

3∴an> an bn cn

∴an> 11)> n?1 3n?1，即：(1+1)(1+)…(1+43n?2

小結(jié)：從以上幾例還可以看出：（1）構(gòu)造法不僅是證明不等式的重要思想方法，也是解不等式，求函數(shù)值域或最值的重要思想方法。（2）運(yùn)用構(gòu)造法解題，必須對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的非常熟練，必須有豐富的聯(lián)想和敢于創(chuàng)新的精神。（3）不時(shí)機(jī)地運(yùn)用構(gòu)造法，定能激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的探索精神與創(chuàng)新能力。

（本文于2004年在《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》第10期上發(fā)表）

第二篇：例談運(yùn)用構(gòu)造法證明不等式 - 新課程數(shù)學(xué) - 新課程數(shù)學(xué)新課程

例談運(yùn)用構(gòu)造法證明不等式

在我們的學(xué)習(xí)過程中，常遇到一些不等式的證明，看似簡單，但卻無從下手，很難找到切入點(diǎn)，幾種常用證法一一嘗試，均難以湊效。這時(shí)我們不妨變換一下思維角度，從不等式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)出發(fā)，在已學(xué)過的知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行廣泛的聯(lián)想，構(gòu)造一個(gè)與不等式相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明。下面通過舉例加以說明。

一、構(gòu)造向量證明不等式 例1：證明7x?2(9?x2)?9，并指出等號(hào)成立的條件。

簡析與證明：不等式左邊可看成7與 x 和2與9?x2兩兩乘積的和，從而聯(lián)想到數(shù)量積的坐標(biāo)表示，將左邊看成向量a=(7,2)與b=(x, 又a·b ≤|a|·|b|，所以

9?x2)的數(shù)量積，7x?2(9?x2)?(7)2?(2)2·x2?(9?x2)?9

當(dāng)且僅當(dāng)b=λa(λ>0)時(shí)等號(hào)成立，故由立。

x7?9?x22???0得：x=7,λ=1，即 x =7時(shí)，等號(hào)成（1－y)?(x?y?3)?(2x?y?6)?例2：求證：2221 6簡析與證明：不等式左邊的特點(diǎn)，使我們?nèi)菀茁?lián)想到空間向量模的坐標(biāo)表示，將左邊看成a =(1－y , x+y－3 , 2x+y－6)模的平方，又 |a|·|b|≥a·b ,為使 a·b為常數(shù)，根據(jù)待定系數(shù)法又可構(gòu)造

b=(1 , 2，-1)

222于是|a|·|b|=(1?y)?(x?y?3)?(2x?y?6)·6

（1－y)·1＋(x?y?3)·2?(2x?y?6（）·?1）－1 a·b＝222所以(1?y)?(x?y?3)?(2x?y?6)·6?1

（1－y)?(x?y?3)?(2x?y?6)?即

二、構(gòu)造復(fù)數(shù)證明不等式

22例

3、求證：x?y?2221 6x2?(1?y)2?(1?x)2?y2?(1?x)2?(1?y)2?22

簡析與證明：從不等式左邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)容易聯(lián)想到復(fù)數(shù)的模，將左邊看成復(fù)數(shù)Z1= x+y i , Z2 = x +（1－ y）i，Z3 = 1－ x + y i，Z4 = 1－ x +（1－ y）i 模的和，又注意到Z1＋Z2＋Z3＋Z4＝2＋2 i，于是由

z1＋z2＋

z3＋

z4≥

z1?z2?z3?z4可得x2?y2?x2?(1?y)2?(1?x)2?y2?(1?x)2?(1?y)2?22?22?2

2此題也可構(gòu)造向量來證明。

三、構(gòu)造幾何圖形證明不等式

例4：已知：a>0、b>0、c>0 ,求證：

a2?ab?b2?b2?bc?c2?a2?ac?c2當(dāng)且僅當(dāng)111??時(shí)取等號(hào)。bac

簡析與證明：從三個(gè)根式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)容易聯(lián)想到余弦定理，于是可構(gòu)造如下圖形： 作OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB=∠BOC=60° 如圖（1）

則∠AOC＝120°，AB=a2?ab?b2，BC=b2?bc?c2,AC=a2?ac?c

2由幾何知識(shí)可知：AB＋BC≥AC

∴a2?ab?b2+b2?bc?c2≥a2?ac?c2 當(dāng)且僅當(dāng)A、B、C三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)有

111absin60??bcsin60??acsin120?，即ab+bc=ac 222故當(dāng)且僅當(dāng)111??時(shí)取等號(hào)。bac

四、構(gòu)造橢圓證明不等式 例5：求證：?4213 ?4?9x2?2x?33簡析與證明：4?9x2的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，使我們聯(lián)想到橢圓方程及數(shù)形結(jié)合思想。

于是令 y?4?9x2(y?0)，則其圖象是橢圓

圖（1）

x2y2??14的上半部分，設(shè)y-2x=m，于是只需證49?4213, 因 m為直線y=2x＋m在y軸上的截?m?332，0）3距，由圖（2）可知：當(dāng)直線 y = 2 x＋m 過點(diǎn)（時(shí)，m有最小值為m=?4；當(dāng)直線y =2x＋m與橢圓上3半部分相切時(shí)，m有最大值。

?y?2x?m2 2 由 ?2 得：13x+ 4mx + m– 4 = 0 2?9x?y?4令△= 4（52－9m2）=0 得：m?圖（2）

213213或m?－（舍）33即m的最大值為

421342132132，故??m?，即??4?9x?2x?

3333

3五、構(gòu)造方程證明不等式

例6：設(shè) a1、a2、…an 為任意正數(shù)，證明對(duì)任意正整數(shù)n 不等式(a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + …

+ an

2)均成立

簡析與證明：原不等式即為 4(a1 + a2 + … + an)2－4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0

由此聯(lián)想到根的判別式而構(gòu)造一元二次方程：

(a12 + a22 + … + an2)x 2 + 2(a1 + a2 + … + an)x + n=0

（＊）因方程左邊＝(a1 x + 1)2 +(a2 x + 1)2 + … ＋(an x + 1)2 ≥ 0 當(dāng)a1、a2、…an不全相等時(shí)，a1 x+

1、a2 x+

1、…an x+1至少有一個(gè)不為0，方程（＊）左邊恒為正數(shù)，方程（＊）顯然無解。

當(dāng)a1＝a2＝…＝an 時(shí)，方程（＊）有唯一解 x＝?1 a1故△＝4(a1 + a2 + … + an)2 － 4n(a12 + a22 + … + an

2)≤ 0 即(a1 + a2 + … +an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2)對(duì)任意正整數(shù)n均成立

六、構(gòu)造數(shù)列證明不等式 例7：求證：Cn1+Cn2+…+Cnn >

n·2n

n-12

1?2n簡析與證明：不等式左邊即為 2－1=從而聯(lián)想到等比數(shù)列的求和公式，于是左邊=1+2+22+…+

1?22 n－1112=[(1+2n-1)+(2+2n-2)+ …(2n-1+1)≥·n·22n?1=n·22例8：設(shè)任意實(shí)數(shù)a、b均滿足| a | < 1，| b | < 1 求證：

n-12

112??

1?a21?b21?ab簡析與證明：不等式中各分式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與題設(shè)聯(lián)想到無窮等比數(shù)列（| q | < 1）各項(xiàng)和公式S＝

a1，1?q則：112424?=（1 + a + a + …）+（1 + b + b + …）221?a1?b2 1?ab=2+（a2 + b2）+(a4 + b4)+ … ≥2+2ab+2 a2 b2 + 2a4b4 + … =

七、構(gòu)造函數(shù)證明不等式

例9：已知| a | < 1，| b | < 1，| c | < 1，求證：ab＋bc＋ca＞－1 簡析與證明：原不等式即為：（b＋c）a＋bc＋1>0 ……①

將a看作自變量，于是問題轉(zhuǎn)化為只須證：當(dāng)－1＜a＜1時(shí)，（b＋c）a＋bc＋1恒為正數(shù)。因而可構(gòu)造函數(shù) f(a)=(b + c)a + bc +1

(－1＜a＜1)若b + c = 0原不等式顯然成立。

若b + c ≠0，則f(a)是a的一次函數(shù)，f(a)在（－1,1）上為單調(diào)函數(shù) 而 f(-1)=－ b －c + bc +1＝（1－b）（1－c）＞0 f(1)＝b＋c＋bc＋1＝（1＋b）（1＋c）＞0 ∴f(a)＞0 即ab＋bc＋ca＞－1 此題還可由題設(shè)構(gòu)造不等式（1＋a）（1＋b）（1＋c）＞0

（1－a）（1－b）（1－c）＞0 兩式相加得：2＋2（ab＋bc＋ca）＞0即ab＋bc＋ca＞－1

八、構(gòu)造對(duì)偶式證明不等式

例10：對(duì)任意自然數(shù)n，求證：(1+1)(1+簡析與證明：設(shè)an =(1+1)(1+構(gòu)造對(duì)偶式：bn =

11)…(1+)> 43n?233n?1

112583n?43n?1)…(1+)= ··…·?43n?21473n?53n?23693n?33n47103n?23n?1··…·，cn = ··…· 2583n?43n?13693n?33n?1?1111?1??1?，1?

3n?23n?13n?23n即an > bn，an > cn

3∴an> an bn cn

∴an > 311)> 33n?1 3n?1，即：(1+1)(1+)…(1+

43n?2小結(jié)：從以上幾例還可以看出：（1）構(gòu)造法不僅是證明不等式的重要思想方法，也是解不等式，求函數(shù)值域或最值的重要思想方法。（2）運(yùn)用構(gòu)造法解題，必須對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的非常熟練，必須有豐富的聯(lián)想和敢于創(chuàng)新的精神。（3）不時(shí)機(jī)地運(yùn)用構(gòu)造法，定能激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的探索精神與創(chuàng)新能力。

（本文于2004年在《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》第10期上發(fā)表）

第三篇：構(gòu)造法證明不等式例說

構(gòu)造法證明不等式例說

【中圖分類號(hào)】g633.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】a 【文章編號(hào)】

2095-3089（2012）11-0081-01

對(duì)于如何解題，g.波利亞曾這樣精辟地說過：“解題的成功要靠正確的選擇?！痹诮忸}中，常規(guī)的思考方法是由條件到結(jié)論的定向思考，但有些問題按照這樣的思維方式來尋求解題途徑比較困難，甚至無從下手。在這種情況下，要求我們改變思維方向，換一個(gè)角度思考，以找到一條繞過障礙的新途徑。構(gòu)造法思想及其方法就是這種手段。下面舉例說明構(gòu)造法在證明不等式方面的具體應(yīng)用。

一、構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)證明不等式

第四篇：巧用構(gòu)造法證明不等式

巧用構(gòu)造法證明不等式

構(gòu)造法是指在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，為了完成由條件向結(jié)論的轉(zhuǎn)化，通過構(gòu)造輔助元素，架起一座溝通條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得到解決。不等式證明是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)問題，若能巧用構(gòu)造方法，可以使一些問題化難為易.本文擬用構(gòu)造法巧證一些不等式問題，僅供參考.一、構(gòu)造函數(shù)證明不等式

若能根據(jù)題中條件的特征，巧妙地構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)來證明不等式.例1（2011年安徽高考理科題）（Ⅰ）設(shè)x?1,y?1，證明 111x?y????xy，xyxy

（Ⅱ）1?a?b?c，證明

logab?logbc?logca?logba?logcb?logac.解：∵x?1，y?1，所以要證明原不等式成立，則只需證

xy(x?y)?1?y?x?(xy)

2成立.令f(x)?y?x?(xy)2?[xy(x?y)?1]?(y2?y)x2?(1?y2)x?y?1 當(dāng)y?1時(shí)，則f(x)?0，即xy(x?y)?1?y?x?(xy)2，所以

111x?y????xy xyxy

111?(,1).函數(shù)當(dāng)y?1時(shí)，二次函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對(duì)稱軸x??22y2

f(x)在[1,??)上單調(diào)遞增，所以

f(x)?f(1)?y2?y?1?y2?y?1?0

所以

111x?y????xy xyxy

綜上，所證明的原不等式成立.（Ⅱ）證明略.二、構(gòu)造方程證明不等式

由解不等式的經(jīng)驗(yàn)知，不等式的解的區(qū)間的端點(diǎn)就是相應(yīng)方程的解，所以可以利用方程與不等式的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)造方程來證明不等式.例2 設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c滿足

?a2?bc?8a?7?0?2 2?b?c?bc?6a?6?0

求證：1?a?9.?bc?a2?8a?7證明：由已知得?，故可構(gòu)造關(guān)于x的方程：

?b?c??(a?1)

x2?(a?1)x?a2?8a?7?0

所以??[?(a?1)]2?4(a2?8a?7)?0，即a2?10a?9?0，所以1?a?9.三、構(gòu)造三角形證明不等式

若能根據(jù)不等式的特征，構(gòu)造出與不等式相同的幾何背景的三角形，通過三角形的性質(zhì)和幾何特征來證明不等式.例3設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù)，求證：

a2?ab?b2?b2?bc?c2?c2?ca?a2?(a?b?c)證明：由于a2?ab?b2?

下圖所示.Aa2?b2?2abcos1200，構(gòu)造三角形ABC，如 ? D B

使AC?b,BC?a,?ACB?1200，則AB?a2?ab?b2.作?ACB的角平分線交AB于D.令?ADC??，則ADbBDaa?，.??sin600sin?sin600sin(1800??)sin?

33ba(a?b)

所以AB?，BD?.由此可得AB?AD?DB?.sin?sin?sin?

∵0?????1，所以AB?，所以0?si?n3(a?b)，即

2a2?ab?b2?

同理：b2?bc?c2?(a?b)①.23(c?b)② 2

(c?a)③ 2c2?ca?a2?

由①②③得a2?ab?b2?b2?bc?c2?c2?ca?a2?(a?b?c).四、構(gòu)造幾何體證明不等式

若要證明的不等式與幾何體中一些線段的長度有某種內(nèi)在的關(guān)系，可通過構(gòu)造幾何體來證明不等式.例4 已知a,b,c均為正數(shù)，且a2?b2?c2?1.證明：

?a2??b2??c2?3?(a?b?c)

證明：由a2?b2?c2?1，可發(fā)現(xiàn)此式與長方體的對(duì)角線長的公式有一定聯(lián)

系.故可構(gòu)造長方體，使其長寬高分別為a,b,c，且AC1?1.A

c 1A1 D

1而AB1?b2?c2??a2.在?AB1C1中，有AB1?B1C1?AC1，即

?a2?a?1①

同理有

?b2?b?1②

?c2?c?1③

由①②③得?a2??b2??c2?3?(a?b?c).用構(gòu)造法證明不等式是一種非常重要的解題方法.運(yùn)用此方法的關(guān)鍵在于“構(gòu)造”，可以根據(jù)所要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特征，合理運(yùn)用類比、聯(lián)想等方法，構(gòu)造出“輔助元素”，使所要證明的不等式化難為易，從而解決問題。

第五篇：構(gòu)造法證明不等式

構(gòu)造法證明不等式

由于證明不等式?jīng)]有固定的模式，證法靈活多樣，技巧性強(qiáng)，使得不等式證明成為中學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一.下面通過數(shù)例介紹構(gòu)造法在證明不等式中的應(yīng)用.一、構(gòu)造一次函數(shù)法證明不等式

有些不等式可以和一次函數(shù)建立直接聯(lián)系，通過構(gòu)造一次函數(shù)式，利用一次函數(shù)的有關(guān)特性，完成不等式的證明.例1設(shè)0≤a、b、c≤2，求證：4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.證明：視a為自變量，構(gòu)造一次函數(shù)

=4a+b+c+abc-2ab-2bc-2ca=(bc-2b-2c+4)a+(b+c-2bc)，由0≤a≤2，知表示一條線段.又=b+c-2bc=(b-c)≥0，=b+c-4b-4c+8=(b-2)+(c-2)≥0，可見上述線段在橫軸及其上方，∴≥0，即4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.二、構(gòu)造二次函數(shù)法證明不等式

對(duì)一些不等式證明的題目，若能巧妙構(gòu)造一元二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的有關(guān)特性，可以簡潔地完成不等式證明.例2實(shí)數(shù)a、b、c滿足(a+c)(a+b+c)<0，求證：(b-c)>4a(a+b+c).證明：由已知得a=0時(shí)，b≠c，否則與(a+c)(a+b+c)<0矛盾，故a=0時(shí)，(b-c)>4a(a+b+c)成立.當(dāng)a≠0時(shí)，構(gòu)造二次函數(shù)=ax+(b-c)x+(a+b+c)，則有

=a+b+c，=2(a+c)，而·=2(a+c)(a+b+c)<0，∴存在m，當(dāng)-1