第一篇：絕對不等式的證明

絕對不等式的證明

摘要：證明絕對不等式是數(shù)學基本知識的一部分，不等式的證明，就是證明所給定的不等式或?qū)κ街兴淖帜傅囊磺性试S值都是成立的。證是不等式主要依靠二條，其一，是不等式的基本性質(zhì)和一些重要不等式，其二，是證明不等式的一些常用方法。二者互相滲透。本文通過舉例介紹幾種證明的絕對不等式的方法。

關(guān)鍵詞：絕對不等式，證明不等式的方法

1.用比較法證明不等式

比較法是證明不等式的常用法之一。它又分為計算插值和比值兩種：

① 把所要正的不等式的左邊的代數(shù)式減右邊的代數(shù)式，再根據(jù)已知條件去證明這個差大于﹙或小于﹚零，這種證明法叫做計算差值法。

他的理論根據(jù)是：a≥b,﹙a≤b﹚a-b≥0﹙或a-b≤0﹚.② 當所要證明的不等式的兩邊的直皆正是，把左邊的代數(shù)式除于右臂阿布的代數(shù)式，再根據(jù)已知條件去證明這個比值大于﹙或小于﹚1.這種正法叫做及鉆比值法。他的理論依據(jù)是：當a＞0.b＞0 時，a≥b﹙a≤b﹚<=>

例：已知a,b 皆正數(shù)求證： aa≥1（或≤1）。bb

a?b≥ab（當且僅當a=b時，等號成立）。

2a?ba?b?2ab?證：∵a＞0.b＞0，則-ab==22

（其中等號當且僅當）a＝即a=b成立）

∴a?2?2≥0 a?ba?b－ab≥0，即≥ab 22

2.用綜合法和分析法證明不等式

證明絕對不等式的綜合法是從題目的已知條件或已知成立的不等式出發(fā)，利用不等式的性質(zhì)進行推導變形，進而得出所要求證的不等式。利用綜合法的關(guān)鍵是熟知一些常用的不等式，通過變形將未知的不等式歸結(jié)為常用不等式。如以下不等式是常用的：

a2+b2≥2ab,a+b／2≥ab,a3+b3+c3≥3abc(a,b,c∈R+)

a+b／2

≤a2+b2／2,a+b+c／3≤a2+b2+c2／3(a,b,c∈R+)

分析法是證明不等式的一種重要方法，用分析法論證“若A則B”這個命題的模式是：欲證B得真，只需要證明命題B的真，從而又??，只要證明A為真?，F(xiàn)在已知A真，故B真?？梢姺治龇ㄊ聢?zhí)果索因，步步尋求上一步成立的充分條件，寫出簡要的形式為：

B<=B1<=B2<=?<=Bn<=A

以上述的b

只需要證b（a+m）

兩端約去ab，故只需

再證bm

因為已知m>0;

只需b

但是這是已知條件，故原不等式成立。

值得注意的是分析法不是等價證明，不應寫成：

B<=>B1<=>B2<=>?<=>Bn<=>A

下面在舉兩例加以說明：

例1已知a>b>0，求證a-bb>0所以a->0，a?b>0.只要證（a-）3<（a?b）3

即要證a-3a2b+3ab2-b0 只要證b

由于a>b>0此不等式顯然成立

所以原不等式成立。

例2已知a>0；b>0；2c>a+b，求證：

c-c2?ab

分析要證c-c2?ab

只要證-c2?ab

即要證｜a-c｜<｜c2?ab｜

即要證（a-c）2

即要證a-2ac<-ab

因a>0，只需證a-ac<-b

即a+b<2c此式為已知，故原命題成立。

3.用放縮法證明不等式

利用放縮法證明不等式的關(guān)鍵是找尋中間變量c；使得AC1且C1>A(這是縮小)下面舉例加以說明

例3已知n為正整數(shù)，試證：

111）（1+）?（1+）>2n?1／2 352n?

1111分析令A=（1+）（1+）?（1+）352n?1

462n=×?× 352n?1（1+

由于不等式bb?m>（b>a，a，b，m∈R+）得 aa?m

45672n?22n?12n2n?1>，>，?，>，> 34562n?32n?22n?12n

將這個同向不等式相乘得 572n?12n?1××?×× 462n?22n

45672n2n?12n?12n?1A2>××××?××=> 34562n?12n34A>

故A>2n?1／2

4.反證法在不等式證明中的應用

反證法是解決數(shù)學問題的一種重要方法，在不等式的證明中也有著廣泛的應用。用反證明不等式即先否定結(jié)論不成立，然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理，逐步導出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論，從而肯定原結(jié)論是正確的。它的步驟為：

假設結(jié)論的反面成立=>邏輯推理=>導出矛盾=>肯定結(jié)論。

下面舉例加以說明

例4已知f(x)=x2+px+q求證：｜f（1）｜，｜f（2）｜，｜f（3）｜中至少有一個不小于1 2分析此題從正面解決比較困難，可以用反證法，假設結(jié)論不成立，即｜f（1）｜，｜f（2）｜，｜f（3）｜都小于1。則有 2

1111f（1）｜<1+p+q｜<-< 1+p+q< ①2222

1111f（2）｜<4+2p+q｜<<4+2p+q< ②2222

1111f（3）｜<9+3p+q｜<-<9+3p+q< ③ 2222

由于① ③得-119<2p+q<-22

此式于②式矛盾，這說明假設不成立，故原命題成立。

5.構(gòu)造函式證明不等式

某些不等式從結(jié)構(gòu)上接近某一函數(shù)，把某一字母看成自變量構(gòu)成恰當?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的某些性質(zhì)來證明不等式。利用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式關(guān)鍵是構(gòu)造恰當?shù)牟坏仁健?/p>

例5已知a.b∈R,求證：

a?b

1?a?b≤b

1?a+a

1?b

分析：從不等式的結(jié)構(gòu)來看，易構(gòu)造函數(shù)f(x)=

上是函數(shù)。因為a?b≤a?b,所以f(a?b)≤f(a?b)

從而有 x(x≥0)易證f(x)在R＋ 1?x

a?b

1?a?b

≤≤a?b1?a?ba =b1?a?b+a1?a?b b

1?a+1?b

第二篇：導數(shù)與不等式證明(絕對精華)

二輪專題

（十一）導數(shù)與不等式證明

【學習目標】

1.會利用導數(shù)證明不等式.2.掌握常用的證明方法.【知識回顧】 一級排查：應知應會

1.利用導數(shù)證明不等式要考慮構(gòu)造新的函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性或最值解決不等式的證明問題．比如要證明對任意x?[a,b]都有f(x)?g(x)，可設h(x)?f(x)?g(x)，只要利用導數(shù)說明h(x)在[a,b]上的最小值為0即可． 二級排查：知識積累

利用導數(shù)證明不等式，解題技巧總結(jié)如下：

（1）利用給定函數(shù)的某些性質(zhì)（一般第一問先讓解決出來），如函數(shù)的單調(diào)性、最值等，服務于第二問要證明的不等式.（2）多用分析法思考.（3）對于給出的不等式直接證明無法下手，可考慮對不等式進行必要的等價變形后，再去證明.例如采用兩邊取對數(shù)（指數(shù)），移項通分等等.要注意變形的方向：因為要利用函數(shù)的性質(zhì)，力求變形后不等式一邊需要出現(xiàn)函數(shù)關(guān)系式.（4）常用方法還有隔離函數(shù)法，f(x)min?g(x)max，放縮法（常與數(shù)列和基本不等式一起考查），換元法，主元法，消元法，數(shù)學歸納法等等，但無論何種方法，問題的精髓還是構(gòu)造輔助函數(shù)，將不等式問題轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問題.（5）建議有能力同學可以了解一下羅必塔法則和泰勒展開式，有許多題都是利用泰勒展開式放縮得來.三極排查：易錯易混

用導數(shù)證明數(shù)列時注意定義域.【課堂探究】

一、作差（商）法 例

1、證明下列不等式：

①ex?x?1 ②lnx?x?

1③lnx?1-

④lnx? x2(x-1)2x?,x?(0,)(x?1)⑤sinx?x?1?2

二、利用f(x)min?g(x)max證明不等式 例

2、已知函數(shù)f(x)?ax?12e?b?(a?1)lnx,(a,b?R),g(x)??x?.xe2（1）若函數(shù)f(x)在x?2處取得極小值0，求a,b的值；

（2）在（1）的條件下，求證：對任意的x1,x2?[e,e2]，總有f(x1)?g(x2).變式：證明：對一切x?(0,??)，都有l(wèi)nx?

三、構(gòu)造輔助函數(shù)或利用主元法

12?成立.exex例

3、已知m,n為正整數(shù)，且1?m?n,求證：(1?m)n?(1?n)m.變式：設函數(shù)f(x)?lnx，g(x)?2x?2（x?1）.(1)試判斷F(x)?(x2?1)f(x)?g(x)在定義域上的單調(diào)性；（2）當0?a?b時，求證f(b)?f(a)?

2a(b?a).22a?b

四、分析法證明不等式

例

4、設a?1，函數(shù)f(x)?(1?x2)ex?a.若曲線y=f(x)在點P處的切線與x軸平行，且在點M(m,n)處的切線與直線OP平行（O是坐標原點）,證明：m?3a?

變式：已知函數(shù)f(x)?x2lnx．（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）證明：對任意的t?0，存在唯一的s，使t?f(s)．

（Ⅲ）設（Ⅱ）中所確定的s關(guān)于t的函數(shù)為s?g(t)，證明：當t?e時，有

22?1.e2lng(t)1??.5lnt2

五、隔離函數(shù)

例

5、已知函數(shù)f(x)?ex?ln(x?m).（Ⅰ）設x?0是f(x)的極值點，求m并討論f(x)的單調(diào)性；（Ⅱ）當m?2時，證明:f(x)?0.變式：已知函數(shù)f(x)?nx?xn,x?R,其中n?N?，且n?2.（1）討論f(x)的單調(diào)性；

（2）設曲線y?f(x)與x軸正半軸的交點為P，曲線在點P處的切線方程為y?g(x)，求證：對于任意的正實數(shù)x，都有f(x)?g(x)；

（3）若關(guān)于x的方程f(x)?a(a為實數(shù))有兩個正實數(shù)根x1,x2，求證：x2?x1?

a?2.1?n

六、與數(shù)列結(jié)合

例

6、已知函數(shù)f(x)?alnx?ax?3(a?R).（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：

變式：（1）已知x?(0,??)，求證：

1x?11?ln?； x?1xx1111111(n?N?，n?2).（2）求證：??????lnn?1?????234n23n?1ln2ln3ln4lnn1..??(n?N?，n?2)234nn【鞏固訓練】 1.已知函數(shù)f(x)?圖像的下方.2.已知函數(shù)f?x??ln1?x． 1?x122x?lnx,求證：在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖像在函數(shù)g(x)?x3的23（Ⅰ）求曲線y?f?x?在點?0，f?0??處的切線方程；

?x3?1?時，f?x??2?x??；（Ⅱ）求證：當x??0，3???x3?1?恒成立，求k的最大值．（Ⅲ）設實數(shù)k使得f?x??k?x??對x??0，3??

nx1n?x2?x?x2?3.已知0?x1?x2，求證：??1?.2?2?n

4.設函數(shù)f(x)?ln(1?x)x(x?0).（1）判斷f(x)的單調(diào)性；

（2）證明：(1?1n)n?e(e為自然對數(shù)，n?N*).5.已知函數(shù)f(x)?ex?x.（1）求函數(shù)f(x)的最小值；

（2）設不等式f(x)?ax的解集為P，且[0,2]?P，求實數(shù)a的取值范圍；

e?1??2??3??n?（3）設n?N，證明：??????????????.e?1?n??n??n??n??nnnn

6.已知f(x)?ln(1?x2)?ax(a?0).(1)討論f(x)的單調(diào)性；

（2）證明：（1?124）（1?134）?（1?1n4）?e(e為自然對數(shù)，n?N*，n?2).7.已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?x,g(x)?xlnx(1)求函數(shù)f(x)的最大值；

(2)設0?a?b,證明 ：0?g(a)?g(b)?2g(a?b)?(b?a)ln2.2

f(x)?aexlnx?bex?18.設函數(shù)x，曲線y?f(x)在點（1，(Ⅰ)求a,b；（Ⅱ）證明：f(x)?1.f(1)處的切線為y?e(x?1)?2.9.已知函數(shù)f?x??ex?ax（a為常數(shù)）的圖像與y軸交于點A，曲線y?f?x?在點A處的切線斜率為-1.（Ⅰ）求a的值及函數(shù)f?x?的極值；（Ⅱ）證明：當x?0時，x2?ex；

（Ⅲ）證明：對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當x??x0，???，恒有x2?cex.10.(選作)已知f(x)?(1?x)ex?1.（1）證明：當x?0時，f(x)?0;（2）數(shù)列{xn}滿足xnexn?1?exn?1,x1?1,求證：{xn}遞減，且xn?1.2n 11

第三篇：不等式證明

不等式證明

不等式是數(shù)學的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學分支的重要工具，在數(shù)學中有重要的地位，也是高中數(shù)學的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強，它不僅能夠檢驗學生數(shù)學基礎知識的掌握程度，而且是衡量學生數(shù)學水平的一個重要標志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因?qū)Ч?/p>

2.分析法：執(zhí)果索因?；静襟E：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側(cè)適當?shù)姆糯蠡蚩s小以達證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項，如：

2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題

化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。

6.構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式。

證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學歸納法仍是證明不等式的最基本方法。

7.數(shù)學歸納法：數(shù)學歸納法證明不等式在數(shù)學歸納法中專門研究。

8.幾何法：用數(shù)形結(jié)合來研究問題是數(shù)學中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來完成，若運用得好，有時則有神奇的功效。

9.函數(shù)法：引入一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)達到證明不等式的目的。

10.判別式法：利用二次函數(shù)的判別式的特點來證明一些不等式的方法。當a>0時，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。當a<0時，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數(shù)學中應用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結(jié)構(gòu)，便于進行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。

注意：在不等式的證明中運用換元法，能把高次變?yōu)榈痛?，分式變?yōu)檎剑瑹o理式變?yōu)橛欣硎?，能簡化證明過程。尤其對含有若干個變元的齊次輪換式或輪換對稱式的不等式，通過換元變換形式以揭示內(nèi)容的實質(zhì)，可收到事半功倍之效。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個恰到好處進行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時要求我們具有相當?shù)臄?shù)學思維能力和一定的解題智慧。

3.幾何法

數(shù)形結(jié)合來研究問題是數(shù)學中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來完成，若運用得好，有時則有神奇的功效。

第四篇：不等式證明

不等式的證明

比較法證明不等式

a2?b2a?b?1.設a?b?0，求證：2.a?b2a?b

2.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講

（1）已知x、y都是正實數(shù)，求證：x3?y3?x2y?xy2；

（2?對滿足x?y?z?1的一切正實數(shù) x,y,z恒成立，求實數(shù)a的取值范圍

.??,1?綜合法證明不等式（利用均值不等式）3.已知a?b?c, 求證：??1??? ??114??.a?bb?ca?c

4.設a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：

1（Ⅰ）ab+bc+ac?3；

a2b2c2

???1ca（Ⅱ）b

5.（1）求不等式x?3?2x???1的解集;

121225（a?)?(b?)??a,b?R,a?b?1ab2.（2）已知，求證：

6.若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：

分析法證明不等式

7.某同學在證明命題“7??要證明7?3??2”時作了如下分析，請你補充完整.6?2，只需證明________________,只需證明___________,＋2?9?2，展開得9即?,只需證明14?18,________________,所以原不等式:??6?2成立.22?2?6?3,(7?2)?(6?3)，因為14?18成立。

a?b?c8.已知a,b,c?R。?3?

9.(本題滿分10分)已知函數(shù)f(x)?|x?1|。

(Ⅰ)解不等式f(x)?f(x?4)?8；{x|x≤－5，或x≥3}(Ⅱ)若|a|?1,|b|?1，且a?0，求證：f(ab)?|a|f().10.（本小題滿分10分）當a,b?M??x|?2?x?2?時,證明:2|a+b|＜|4+ab|.反證法證明不等式

11.已知a，b，c均為實數(shù)，且a=x?2y+2baπππ22，b=y?2z+，c=z?2x+，236

求證：a，b，c中至少有一個大于0.12.（12分）若x,y?R,x?0,y?0,且x?y?2。求證：1?x和1?y中至少有一個小于2.yx

放縮法證明不等式

13.證明不等式：?111??11?21?2?3?1

1?2?3??n?2

214.設各項均為正數(shù)的數(shù)列?an?的前n項和為Sn，滿足4Sn?ann?N?,且

?1?4n?1,a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列．

(1)證明：a2?

(2)求數(shù)列?an?的通項公式；an?2n?1

(3)證明：對一切正整數(shù)n，有11??a1a2a2a3?11?． anan?12

15.設數(shù)列?an?的前n項和為Sn.已知a1?1,2Sn12?an?1?n2?n?,n?N*.n33

(Ⅰ)求a2的值；a2?4(Ⅱ)求數(shù)列?an?的通項公式；an?n2(Ⅲ)證明:對一切正整數(shù)n,有數(shù)學歸納法證明不等式

16.(本小題滿分12分)若不等式11??

n?1n?2?1a對一切正整數(shù)n都成立，求正?3n?12411??a1a2?17?.an4

整數(shù)a的最大值，并證明結(jié)論．25

17.用數(shù)學歸納法證明不等式：

．

第五篇：不等式證明經(jīng)典

金牌師資，笑傲高考

2013年數(shù)學VIP講義

【例1】 設a，b∈R，求證：a2+b2≥ab+a+b-1。

【例2】 已知0

【例3】 設A=a+d，B=b+c，a，b，c，d∈R+，ad=bc，a=max{a，b，c，d}，試比較A與B的大小。

因A、B的表達形式比較簡單，故作差后如何對因式進行變形是本題難點之一。利用等式ad=bc，借助于消元思想，至少可以消去a，b，c，d中的一個字母。關(guān)鍵是消去哪個字母，因條件中已知a的不等關(guān)系：a>b，a>c，a>d，故保留a，消b，c，d中任一個均可。

由ad=bc得：d?bca1?ab?bc?caa?b?c?abc≥1。

bca??b?c?a?b?(a?b)(a?c)a?0bc?acaA-B=a+d-(b+c)=a? =a?b? c(a?b)a

【例4】 a，b，c∈R，求證：a4+b4+c4≥(a+b+c)。

不等號兩邊均是和的形式，利用一次基本不等式顯然不行。不等號右邊為三項和，根據(jù)不等號方向，應自左向右運用基本不等式后再同向相加。因不等式左邊只有三項，故把三項變化六項后再利用二元基本不等式，這就是“化奇為偶”的技巧。

左=12(2a4?2b224?2c)?22412[(a24?b)?(b22244?c)?(c2244?a)]24

≥12(2ab?2bc?2ca)?ab?bc?ca

2發(fā)現(xiàn)縮小后沒有達到題目要求，此時應再利用不等式傳遞性繼續(xù)縮小，處理的方法與剛才類似。

中天教育咨詢電話：0476-8705333

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ab?1212

2013年數(shù)學VIP講義

22?bc2222?ca2222?212(2ab2222?2bc2222?2ca)22

?ca)?(ca2[(ab?bc)?(bc22?ab)]22≥(2abc?2abc2?2abc)?ab(a?b?c)1a

?1c?【例5】（1）a，b，c為正實數(shù)，求證：?（2）a，b，c為正實數(shù)，求證：

a21bb2≥

c21ab?1bc?1ac；

b?c?a?ca?b≥

a?b?c2。

（1）不等式的結(jié)構(gòu)與例4完全相同，處理方法也完全一樣。

（2）同學們可試一試，再用剛才的方法處理該題是行不通的。注意到從左向右，分式變成了整式，可考慮在左邊每一個分式后配上該分式的分母，利用二元基本不等式后約去分母，再利用不等式可加性即可達到目的。試一試行嗎？

a2b?cb2?(b?c)≥2a2b?cb2?(b?c)?2a

a?cc2?(a?c)≥2a?c?(a?c)?2ba?b?(a?b)≥2c2a?b?(a?b)?2c

相加后發(fā)現(xiàn)不行，a，b，c的整式項全消去了。為了達到目的，應在系數(shù)上作調(diào)整。

a2b?c?b?c4≥a，b2a?c?a?c4≥b，c2a?b?a?b4≥a 相向相加后即可。

【例6】 x，y為正實數(shù)，x+y=a，求證：x+y≥

2a22。

思路一；根據(jù)x+y和x2+y2的結(jié)構(gòu)特點，聯(lián)想到算術(shù)平均數(shù)與平方平均數(shù)之間的不等關(guān)系?！?x?y22≤2x2?y22

2∴ x?y≥(x?y)2?a22

思路二：因所求不等式右邊為常數(shù)，故可從求函數(shù)最小值的角度去思考。思路一所用的是基本不等式法，這里采用消元思想轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，再用單調(diào)性求解。換元有下列三種途徑：

途徑1：用均值換元法消元： 令 x?2a2?m，y?aa22?m

22則 x?y?(?m)?(?m)?2m?222aa22≥

a22

途徑2：代入消元法： y=a-x，0

a2)2?a22≥

a22

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途徑3：三角換元法消元：

令 x=acos2θ，y=asin2θ，θ∈(0，]

2?2013年數(shù)學VIP講義

則 x2+y2=a2(cos4θ+sin4θ)=a2[(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ]

=a[1-2(sin2θ)]=a(1-22122

12sin2θ)≥

a22

注：為了達到消元的目的，途徑1和途徑3引入了適當?shù)膮?shù)，也就是找到一個中間變量表示x，y。這種引參的思想是高中數(shù)學常用的重要方法?！纠?】 已知a>b>0，求證：(a?b)8a2?a?b2?ab?(a?b)8b2。

12所證不等式的形式較復雜（如從次數(shù)看，有二次，一次，次等），難以從某個角度著手。故考慮用分析法證明，即執(zhí)果索因，尋找使不等式成立的必要條件。實際上就是對所證不等式進行適當?shù)幕?、變形，實際上這種變形在相當多的題目里都是充要的。

a?b2?ab?a?b?2ab2b)(a?(a??(a?2b)2

a?b?(a?b)b)(a?8a2所證不等式可化為∵ a>b>0 ∴ a?b ∴ a?b?0

b)2?(a?2b)2?(a?b)(a?8b2b)2

∴ 不等式可化為：(a?4ab)2?1?(a?4bb)2

2??(a?b)?4a即要證?

2??4b?(a?b)??a?b?2a只需證?

?2b?a?b?在a>b>0條件下，不等式組顯然成立 ∴ 原不等式成立 【例8】 已知f(x)=24xx?3?8，求證：對任意實數(shù)a，b，恒有f(a)

112.不等號兩邊字母不統(tǒng)一，采用常規(guī)方法難以著手。根據(jù)表達式的特點，借助于函數(shù)思想，可分別求f(a)及g(b)=b2-4b+f(a)?112的最值，看能否通過最值之間的大小關(guān)系進行比較。

?8?2(2)a2a24aa?3?8?8?2a8?82a≤

2?82?a?82a842?2

令 g(b)=b2-4b+11232 ≥32 g(b)=(b-2)2+

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∵ 32?22013年數(shù)學VIP講義

∴ g(b)>f(a)注：本題實際上利用了不等式的傳遞性，只不過中間量為常數(shù)而已，這種思路在兩數(shù)大小比較時曾講過。由此也說明，實數(shù)大小理論是不等式大小理論的基礎。

【例9】 已知a，b，c∈R，f(x)=ax2+bx+c，當|x|≤1時，有|f(x)|≤1，求證：

（1）|c|≤1，|b|≤1；

（2）當|x|≤1時，|ax+b|≤2。

這是一個與絕對值有關(guān)的不等式證明題，除運用前面已介紹的不等式性質(zhì)和基本不等式以外，還涉及到與絕對值有關(guān)的基本不等式，如|a|≥a，|a|≥-a，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±?±an|≤|a1|+|a2|+?+|an|。就本題來說，還有一個如何充分利用條件“當|x|≤1時，|f(x)|≤1”的解題意識。

從特殊化的思想出發(fā)得到： 令 x=0，|f(0)|≤1 即 |c|≤1 當x=1時，|f(1)|≤1；當x=-1時，|f(-1)|≤1 下面問題的解決試圖利用這三個不等式，即把f(0)，f(1)，f(-1)化作已知量，去表示待求量。∵ f(1)=a+b+c，f(-1)=a-b+c ∴ b?12[f(1)?f(?1)] 12|f(1)?f(?1)|≤12[|f(1)|?|f(?1)|]≤

12(1?1)≤1 ∴ |b|?（2）思路一：利用函數(shù)思想，借助于單調(diào)性求g(x)=ax+b的值域。

當a>0時，g(x)在[-1，1]上單調(diào)遞增 ∴ g(-1)≤g(x)≤g(1)∵ g(1)=a+1=f(1)-f(0)≤|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2 g(-1)=-a+b=f(0)-f(-1)=-[f(-1)-f(0)]

≥-|f(-1)-f(0)|≥-[|f(-1)|+|f(0)|]≥-2 ∴-2≤g(x)≤2 即 |g(x)|≤2 當a<0時，同理可證。

思路二：直接利用絕對值不等式

為了能將|ax+b|中的絕對值符號分配到a，b，可考慮a，b的符號進行討論。當a>0時

|ax+b|≤|ax|+|b|=|a||x|+|b|≤|a|+|b|≤a+|b| 下面對b討論

① b≥0時，a+|b|=a+b=|a+b|=|f(1)-f(0)| ≤ |f(1)|+|f(0)|≤2； ② b<0時，a+|b|=a-b=|a-b|=|f(-1)-f(0)|≤|f(-1)|+f(0)|≤2?！?|ax+b|≤2 當a<0時，同理可證。

評注：本題證明過程中，還應根據(jù)不等號的方向，合理選擇不等式，例如：既有|a-b|≥|a|-|b|，又有|a-b|≥|b|-|a|，若不適當選擇，則不能滿足題目要求。

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1、設a，b為正數(shù)，且a+b≤4，則下列各式一定成立的是 A、C、1a12?1b1a≤?141b B、≤1 D、141a≤

?1a?1b≤

≤

1b≥1

2、已知a，b，c均大于1，且logac·logbc=4，則下列各式中一定正確的是 A、ac≥b B、ab≥c C、bc≥a D、ab≤c

5、已知a，b，c>0，且a+b>c，設M=

a4?a?bb?cc4?c，N=，則MN的大小關(guān)系是

A、M>N B、M=N C、M

6、已知函數(shù)f(x)=-x-x3，x1，x2，x3∈R，且x1+x2>0，x2+x3>0，x3+x1>0，則f(x1)+f(x2)+f(x3)的值 A、一定大于零 B、一定小于零 C、一定等于零 D、正負都有可能

7、若a>0，b>0，x?111(?)2ab1a?b1ab，y?，z?，則

A、x≥y>z B、x≥z>y C、y≥x>z D、y>z≥x

8、設a，b∈R，下面的不等式成立的是 A、a+3ab>b B、ab-a>b+ab C、（二）填空題

9、設a>0，b>0，a≠b，則aabb與abba的大小關(guān)系是__________。

10、若a，b，c是不全相等的正數(shù)，則(a+b)(b+c)(c+a)______8abc（用不等號填空）。

12、當00且t≠1時，logat與log21t?1a2

2ab?a?1b?1 D、a+b≥2(a-b-1)

22的大小關(guān)系是__________。

n13、若a，b，c為Rt△ABC的三邊，其中c為斜邊，則an+bn與c（其中n∈N，n>2）的大小關(guān)系是________________。

（三）解答題

14、已知a>0，b>0，a≠b，求證：a?

15、已知a，b，c是三角形三邊的長，求 證：1?

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ab?c?ba?c?ca?b?2。

b?ab?ba。金牌師資，笑傲高考

16、已知a≥0，b≥0，求證：

18、若a，b，c為正數(shù)，求證：

19、設a>0，b>0，且a+b=1，求證：(a?

20、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a，b，c全為正數(shù)。

1a)(b?1b)2541a?1b?1ca82013年數(shù)學VIP講義

12(a?b)2?14(a?b)≥aa?ba。

≤

?b383?c38。

abc≥。

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