第一篇：不等式的方法歸納

不等式的基本性質(zhì)

①對(duì)稱性：a > b?b > a不等式

②傳遞性: a > b, b > c?a > c

③可加性: a > b ?a + c > b + c

④可積性: a > b, c > 0?ac > bc；

a > b, c < 0?ac < bc；

⑤加法法則: a > b, c > d ? a + c > b + d

⑥乘法法則：a > b > 0, c > d > 0 ? ac > bd

⑦乘方法則：a > b > 0, ? an > bn(n∈N)

⑧開方法則：a > b > 0, ?na?nb(n?N)

2．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理：

（1）如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)）

（2）如果a、b∈R＋,那么a?b

2?ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)）

222a?b?a?b?如果a,b為實(shí)數(shù)，則ab?? ??22??

重要結(jié)論

1）如果積xy是定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2P；

（2）如果和x＋y是定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和xy有最大值S2/4。

3．證明不等式的常用方法：

比較法：比較法是最基本、最重要的方法。當(dāng)不等式的兩邊的差能分解因式或能配成平方和的形式，則選擇作差比較法；當(dāng)不等式的兩邊都是正數(shù)且它們的商能與1比較大小，則選擇作商比較法；碰到絕對(duì)值或根式，我們還可以考慮作平方差。

綜合法：從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出欲證的不等式。綜合法的放縮經(jīng)常用到均值不等式。

分析法：不等式兩邊的聯(lián)系不夠清楚，通過尋找不等式成立的充分條件，逐步將欲證的不等式轉(zhuǎn)化，直到尋找到易證或已知成立的結(jié)論。

結(jié)論：已知a、b、m都是正數(shù)，且 a?ba?m

b?m?a

b

4．不等式的解法

（1）不等式的有關(guān)概念

同解不等式：兩個(gè)不等式如果解集相同，那么這兩個(gè)不等式叫做同解不等式。

同解變形：一個(gè)不等式變形為另一個(gè)不等式時(shí)，如果這兩個(gè)不等式是同解不等式，那么這種變形

1叫做同解變形。

提問：請(qǐng)說出我們以前解不等式中常用到的同解變形去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)（2）

不等式ax > b的解法

②當(dāng)a<0時(shí)不等式的解集是{x|x

③當(dāng)a=0時(shí),b<0,其解集是R；b?0, 其解集是ф。

（4）絕對(duì)值不等式：解絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵是—去絕對(duì)值符號(hào)（整體思想，分類討論）轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式，通常有下列三種解題思路：

（1）定義法：利用絕對(duì)值的意義，通過分類討論的方法去掉絕對(duì)值符號(hào)；（2）公式法：| f(x)| > a ?f(x)> a或f(x)< －a；| f(x)| < a ? －a

（3）平方法：| f(x)| > a(a>0)?f2(x)> a2；| f(x)| < a(a>0)? f2(x)< a2；（4）幾何意義。數(shù)軸標(biāo)根法

把不等式化為f(x)＞0（或＜0）的形式（首項(xiàng)系數(shù)化為正），然后分解因式，再把根按照從小到大的順序在數(shù)軸上標(biāo)出來，從右邊入手畫線，最后根據(jù)曲線寫出不等式的解。（7）含有絕對(duì)值的不等式 定理：|a| － |b|≤|a+b|≤|a| + |b|

|a| － |b|≤

中當(dāng)b=0或|a|>|b|且ab<0等號(hào)成立

|a+b|≤|a| + |b|

①當(dāng)a>0時(shí)不等式的解集是{x|x>b/a}；

中當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0等號(hào)成立

推論1：｜a1 + a2 + a3| ≤｜a1 | +| a2 | + | a3| 推廣：｜a1 + a2 +…＋ an| ≤｜a1 | +| a2 | +…+ | an| 推論2：|a| － |b|≤|a－b|≤|a| + |b|

專題一：利用不等式性質(zhì)，判斷其它不等式是否成立

1、a、b∈R,則下列命題中的真命題是（C）

A、若a>b，則|a|>|b|B、若a>b，則1/a<1/b C、若a>b，則a3>b3D、若a>b，則a/b>1

2、已知a<0.－1ab>ab2B、ab2>ab>a C、ab>a>ab2D、ab>ab2>a

3、當(dāng)0(1―a)bB、(1+a)a>(1+b)b C、(1―a)b >(1―a)b/2D、(1―a)a>(1―b)b

4、若loga3>logb3>0，則a、b的關(guān)系是（B）A、0a>1C、0b>0，則下列不等式①1/a<1/b；②a2>b2；③lg(a2+1)>lg(b2+1)；④2a>2b中成立的是（A）A、①②③④B、①②③C、①②D、③④

（二）比較大小

1、若0<α<β<π/4,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b，則（A）A、a＜bB、a＞bC、ab＜1D、ab＞2

2、a、b為不等的正數(shù)，n∈N，則(ab+ab)－(aA、恒正B、恒負(fù)

C、與a、b的大小有關(guān)D、與n是奇數(shù)或偶數(shù)有關(guān)

3、設(shè)1＜x＜10，則lg2x,lgx2,lg(lgx)的大小關(guān)系是lgx2>lg2x>lg(lgx)

4、設(shè)a>0,a≠1,比較logat/2與loga(t+1)/2的大小。

n

n

n－

1+b

n－1)的符號(hào)是（C）

5、比較

ba

與

ab的大小。

a?1－a與N?

A＝

a?b

2a－a－1的大小。，G＝ab，H＝

21/a?1/b，Q＝

a?b26、若a?1，比較M?

7、設(shè)a、b是不相等的正數(shù)，試　比較A、G、H、Q的大小。

分析：要比較大小的式子較多，為避免盲目性，可先取特殊值估測(cè)各式大小關(guān)系，然后用比較法（作差）即可。

（三）利用不等式性質(zhì)判斷P是Q的充分條件和必要條件

1、設(shè)x、y∈R,判斷下列各題中，命題甲與命題乙的充分必要關(guān)系 ⑴命題甲：x>0且y>0，命題乙：x+y>0且xy>0充要條件 ⑵命題甲：x>2且y>2，命題乙：x+y>4且xy>4充分不必要條件

2、已知四個(gè)命題，其中a、b∈R

①a2

3、“a+b>2c”的一個(gè)充分條件是（C）

A、a>c或b>cB、a>c或b＜cC、a>c且b>cD、a>c且b＜c

（四）范圍問題

1、設(shè)60＜a＜84,－28＜b＜33,求：a+b,a－b,a/b的范圍。

2、若二次函數(shù)y=f(x)的圖象過原點(diǎn)，且1≤f(―1)≤2,3≤f(1)≤3，求f(―2)的范圍。

（五）均值不等式變形問題

1、當(dāng)a、b∈R時(shí),下列不等式不正確的是（D）

A、a2+b2≥2|a|?|b|B、(a/2+b/2)2≥abC、(a/2+b/2)2≤a2/2+b2/2D、log1/2(a2+b2)≥log1/2(2|a|?|b|)

2、x、y∈(0,+∞)，則下列不等式中等號(hào)不成立的是（A）

A、x?

1x

?

1x?

1x

?2B、(x?

1x)?(y?

1y)?

4C、(x+y)(1/x+1/y)≥4D、(lgx/2+lgy/2)2≤lg2x/2+lg2y/2

3、已知a>0,b>0,a+b=1，則(1/a2―1)(1/b2―1)的最小值為（D）A、6B、7C、8D、9

4、已知a>0,b>0,c>0，a+b+c=1，求證：1/a+1/b+1/c≥9

5、已知a>0,b>0,c>0,d>0,求證：

（六）求函數(shù)最值

1、若x>4,函數(shù)y??x?

5、大、－62、設(shè)x、y∈R, x+y=5，則3x+3y的最小值是（）D

A、10B、63C、46D、183、下列各式中最小值等于2的是（）D A、x/y+y/xB、ad?bcbd

?

bc?adac

?

414?x，當(dāng)x?____時(shí)，函數(shù)有最＿值是_____。

x?5x?4

C、tanα+cotαD、2x+2－x4、已知實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2的最小值。

5、已知x>0,y>0,2x+y=1,求1/x+1/y的最小值。（（八）比較法證明不等式

1、已知a、b、m、n∈R+,證明：am+n+bm+n≥ambn+anbm 變：已知a、b∈R+,證明：a3/b+b3/a≥a2+b22、已知a、b∈R+,f(x)=2x2+1,a+b=1,證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)p、q恒有a?f(p)+b?f(q)≥f(ap+bq)

（九）綜合法證明不等式

1、已知a、b、c為不全相等的正數(shù)，求證：

b?c?a

a

?

a?c?b

b

?

a?b?c

c

?

32、已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥1/3

3、已知a、b、c為不全相等的正數(shù)，且abc=1,求證：

a?b?c?

1a

?

1b

?

1c4、已知a、b∈R+，a+b=1,求證：

（十）分析法證明不等式

a?1/2?b?1/2?

21、已知a、b、c為不全相等的正數(shù)，求證：bc/a+ac/b+ab/c>a+b+c

2、已知函數(shù)f(x)=lg(1/x－1),x1、x2∈(0,1/2)，且x1≠x2，求證：

f(x1)?f(x2)

?x?x2??f?1?

2??

3、設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足y+x2=0,0

（十一）反證法、放縮法、構(gòu)造法、判別式法、換元法等證明不等式

1、設(shè)f(x)=x2+ax+b，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于1/2。

2、若x2+y2≤1,求證|x2+2xy－y2|≤

3、已知a>b>c,求證：

2.?

4a?ca1?a

?

1a?b

?

1b?c4、已知a、b、c∈R＋，且a+b>c求證：

b1?b

?

c1?c

.5、已知a、b、c∈R，證明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0，并指出等號(hào)何時(shí)成立。分析：整理成關(guān)于a的二次函數(shù)f(a)=a2+(c+3b)a+3b2+3bc+c2 ∵Δ=(c+3b)－4(3b2+3bc+c2)=－3(b2+2bc+c2)≤0

∴f(a)≥06、已知：x2－2xy + y2 + x + y + 1＝0，求證：1/3≤y/x≤

37、在直角三角形ABC中，角C為直角，n≥2且n∈N，求證：cn≥an + bn8、設(shè)an?求證：

?2?2?3?(n?1)

2x?

33?4???

n(n?1)(n?N)

n(n?1)

?an?

對(duì)所有正整數(shù)n都成立。

（十二）解不等式

1、解不等式：

1x?

1??

3x?

22、解關(guān)于x的不等式：

a?xx?x?

2?0

（十五）絕對(duì)值不等式定理中等號(hào)成立的問題

1、解關(guān)于x的不等式|x+log2x|=x+|log2x|

2、證明：|x+1/x|≥

2（十六）絕對(duì)值不等式的證明

1、設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)=ax2+x－a(－1≤x≤1).⑴若|a|≤1,求證|f(x)|≤5/4；

⑵若函數(shù)f(x)有最大值17/8，求實(shí)數(shù)a的值。

2、已知|x－a|＜ε/2a,|y－b|＜ε/2|a|,且0＜y＜A，求證：|xy－ab|＜ε

第二篇：證明不等式方法

不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，錯(cuò)法多種多樣，本節(jié)通這一些實(shí)例，歸納整理證明不等式時(shí)常用的方法和技巧。1比較法

比較法是證明不等式的最基本方法，具體有“作差”比較和“作商”比較兩種。基本思想是把難于比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。當(dāng)求證的不等式兩端是分項(xiàng)式（或分式）時(shí)，常用作差比較，當(dāng)求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數(shù)式時(shí)常用作商比較）

例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab

2分析：由題目觀察知用“作差”比較，然后提取公因式，結(jié)合a+b≥0來說明作差后的正或負(fù)，從而達(dá)到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負(fù)。

∵（a3+b3)(a2b+ab2)

=a2(a-b)-b2(a-b)

=(a-b)(a2-b2)

證明： =(a-b)2(a+b)

又∵(a-b)2≥0a+b≥0

∴(a-b)2(a+b)≥0

即a3+b3≥a2b+ab2

例2 設(shè)a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba

分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對(duì)稱性，因此可在設(shè)a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商后同“1”比較大小，從而達(dá)到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小

證明：由a、b的對(duì)稱性，不妨解a＞b＞0則

aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b

∵ab0，∴ab1，a-b0

∴(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba

練習(xí)1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法

利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及變形有：

（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）

（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）

（3）若a、b同號(hào)，則 ba+ab≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）

例3 若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1-b2+b1-a2≤

1分析：通過觀察可直接套用： xy≤x2+y2

2證明： ∵a1-b2b1-a2≤a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1

∴b1-a2+a1-b2≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a1+b2=1時(shí)，等號(hào)成立

練習(xí)2：若 ab0，證明a+1(a-b)b≥

33綜合法

綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式性質(zhì)推算出要證明不等式。

例4，設(shè)a0，b0，a+b=1，證明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252

證明：∵ a0，b0，a+b=1

∴ab≤14或1ab≥

4左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)2-2ab］+(a+b)2-2aba2b2

=4+(1-2ab)+1-2aba2b2≥4+(1-12)+8=252

練習(xí)3：已知a、b、c為正數(shù)，n是正整數(shù)，且f(n)=1gan+bn+cn

3求證：2f（n）≤f（2n）

4分析法

從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個(gè)條件是可以證明或已經(jīng)證明的不等式時(shí)，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。

例5：已知a0，b0，2ca+b，求證：c-c2-ab＜a＜c+c2-ab

分析：觀察求證式為一個(gè)連鎖不等式，不易用比較法，又據(jù)觀察求證式等價(jià)于 ｜a-c｜＜c2-ab也不適用基本不等式法，用分析法較合適。

要證c-c2-ab＜a＜c+c2-ab

只需證-c2-ab＜a-c＜c2-ab

證明：即證 ｜a-c｜＜c2-ab

即證(a-c)2＜c2-ab

即證 a2-2ac＜-ab

∵a＞0，∴即要證 a-2c＜-b 即需證2+b＜2c，即為已知

∴ 不等式成立

練習(xí)4：已知a∈R且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）

25放縮法

放縮法是在證明不等式時(shí)，把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強(qiáng)常用技巧有：（1）舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)），（2）在和或積中換大（或換小）某些項(xiàng)，（3）擴(kuò)大（或縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福┑?。

例6：已知a、b、c、d都是正數(shù)

求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜

2分析：觀察式子特點(diǎn)，若將4個(gè)分式商為同分母，問題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。

證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞

ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=

1又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d

∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜

b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2

綜上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2

練習(xí)5：已知：a＜2，求證：loga(a+1)＜1

6換元法

換元法是許多實(shí)際問題解決中可以起到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的作用，有些問題直接證明較為困難，若通過換元的思想與方法去解就很方便，常用于條件不等式的證明，常見的是三角換元。

(1)三角換元：

是一種常用的換元方法，在解代數(shù)問題時(shí)，使用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)進(jìn)行換元，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成三角問題，充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)去解決問題。

例

7、若x、y∈R+,且 x-y=1 A=(x-1y)(y+1y)。1x，求證0＜A＜

1證明： ∵x，y∈R+，且x-y=1，x=secθ，y=tanθ，（0＜θ＜xy）

∴ A=(secθ-1secθ(tanθ+1tanθ·1sec2θ

=1-cos2θcosθ·s2m2θ+cos2θcosθ·s2mθ·cos2θ

=sinθ

∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1

復(fù)習(xí)6：已知1≤x2+y2≤2，求證：12 ≤x2-xy+y2≤

3(2)比值換元：

對(duì)于在已知條件中含有若干個(gè)等比式的問題，往往可先設(shè)一個(gè)輔助未知數(shù)表示這個(gè)比值，然后代入求證式，即可。

例8：已知 x-1=y+12=z-23，求證：x2+y2+z2≥431

4證明：設(shè)x-1=y+12=z-23=k

于是x=k+1，y=zk-1，z=3k+

2把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2

=14(k+514)2+4314≥4314

7反證法

有些不等式從正面證如果不好說清楚，可以考慮反證法，即先否定結(jié)論不成立，然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理，逐步推導(dǎo)出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論，從而肯定原有結(jié)論是正確的，凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題，適宜用反證法。

例9：已知p3+q3=2，求證：p+q≤

2分析：本題已知為p、q的三次，而結(jié)論中只有一次，應(yīng)考慮到用術(shù)立方根，同時(shí)用放縮法，很難得證，故考慮用反證法。

證明：解設(shè)p+q＞2，那么p＞2-q

∴p3＞（2-q）3=8-12q+6q2-q

3將p3+q3 =2，代入得 6q2-12q+6＜0

即6（q-1）2＜0 由此得出矛盾∴p+q≤

2練習(xí)7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞0.求證：a＞0，b＞0，c＞0

8數(shù)學(xué)歸納法

與自然數(shù)n有關(guān)的不等式，通?？紤]用數(shù)學(xué)歸納法來證明。用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)的兩個(gè)步驟缺一不可。

例10：設(shè)n∈N，且n＞1,求證：(1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+12

分析：觀察求證式與n有關(guān)，可采用數(shù)學(xué)歸納法

證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，左= 43，右=52

∵43＞52∴不等式成立

（2）假設(shè)n=k(k≥2，k∈n)時(shí)不等式成立，即（1+13）（1+15）…（1+12k-1)＞2k+12 那么當(dāng)n=k+1時(shí)，(1+13)(1+15)…(1+12k-1)(1+12k+1)＞2k+12·(1+12k+1)①

要證①式左邊＞2k+32，只要證2k+12·

2k+22k+1＞2k+32②

對(duì)于②〈二〉2k+2＞2k+1·2k+3

〈二〉(2k+2)2＞(2k+1)(2k+3)

〈二〉4k2+8k+4＞4k2+8k+3

〈二〉4＞3③

∵③成立 ∴②成立，即當(dāng)n=k+1時(shí)，原不等式成立

由（1）（2）證明可知，對(duì)一切n≥2（n∈N），原不等式成立

練習(xí)8：已知n∈N，且n＞1，求證： 1n+1+1n+2+…+12n＞132

49構(gòu)造法

根據(jù)求證不等式的具體結(jié)構(gòu)所證，通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、合數(shù)和圖形等，達(dá)到證明的目的，這種方法則叫構(gòu)造法。

1構(gòu)造函數(shù)法

例11：證明不等式：x1-2x ＜x2（x≠0）

證明：設(shè)f（x）=x1-2x-x2（x≠0）

∵f(-x)

=-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x

2=x1-2x-［1-(1-2x)］+x2=x1-2x-x+x2

=f（x）

∴f（x）的圖像表示y軸對(duì)稱

∵當(dāng)x＞0時(shí)，1-2x＜0，故f（x）＜0

∴當(dāng)x＜0時(shí)，據(jù)圖像的對(duì)稱性知f（x）＜0

∴當(dāng)x≠0時(shí)，恒有f（x）＜0 即x1-2x＜x2（x≠0）

練習(xí)9：已知a＞b，2b＞a+c，求證：b-b2-ab＜a＜b+b2-ab

2構(gòu)造圖形法

例12：若f（x）=1+x2，a≠b，則|f（x）-f（b）|＜ |a-b|

分析：由1+x2 的結(jié)構(gòu)可知這是直角坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)A(1，x)，0(0，0)的距離即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2

于是如下圖，設(shè)A(1，a)，B(1，b)則0A= 1+a2 0B=1+b2

|AB|=|a-b|又0A|-|0B＜|AB|∴|f(a)-f(b)|＜|a-b|

練習(xí)10：設(shè)a≥c，b≥c，c≥0，求證 c(a-c)+c(b-c)≤ab

10添項(xiàng)法

某些不等式的證明若能優(yōu)先考慮“添項(xiàng)”技巧，能得到快速求解的效果。

1倍數(shù)添項(xiàng)

若不等式中含有奇數(shù)項(xiàng)的和，可通過對(duì)不等式乘以2變成偶數(shù)項(xiàng)的和，然后分組利用已知不等式進(jìn)行放縮。

例13：已知a、b、c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立）證明：∵a、b、c∈R+

∴a3+b3+c3=12 ［(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)］≥12 ［(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)］=12［a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)］≥12(a·2bc+b·2ca+c·2ac)=3abc

當(dāng)且僅當(dāng)a=b，b=c，c=a即a=b=c時(shí)，等號(hào)成立。

2平方添項(xiàng)

運(yùn)用此法必須注意原不等號(hào)的方向

例14 ：對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，求證：

(1+13)(1+15)…(1+12n-1＞ 2n+1 2)

證明：∵b ＞ a＞ 0，m＞ 0時(shí)ba＞ b+ma+m

∵ ［(1+13)(1+15)…(1+12n-1)］2=（43、65…2n2n-1)（43、65…2n2n-1)＞（54、76…2n+12n)（43、65…2n2n-1)=2n+13＞ 2n+14＞

∴(1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+1 2)

3平均值添項(xiàng)

例15：在△ABC中，求證sinA+sinB+sinC≤3

32分析：∵A+B+C=π，可按A、B、C的算術(shù)平均值添項(xiàng)sin π

3證明：先證命題：若x＞0，y＜π，則sinx+siny≤2sin x+y2（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立）∵0＜x+y2＜ π，-π2＜ x-y2＜ π2sinx+siny=2sin x+y2cosx-y

2∴上式成立

反復(fù)運(yùn)用這個(gè)命題，得sinA+sinB+sinC+sin π3≤2sinA+B2+2sinc+π32≤2·2sinA+B2+c+π322 =4sinπ3=332

∴sinA+sinB≠sinC≤332

練習(xí)11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC2≤18

4利用均值不等式等號(hào)成立的條件添項(xiàng)

例16 ：已知a、b∈R+，a≠b且a+b=1，求證a4+b4＞ 18

分析：若取消a≠b的限制則a=b= 12時(shí)，等號(hào)成立

證明：∵a、b∈R+∴a4+3(12)4 ≥ 44a4 ［(12)4］3=12a①

同理b4+3(12)4 ≥b②

∴a4+b4≥12(a+b)-6(12)4=12-6(12)4=18③

∵a≠b ∴①②中等號(hào)不成立∴③中等號(hào)不成立∴ 原不等式成立

1．是否存在常數(shù)c，使得不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y對(duì)任意正數(shù)x,y恒成立？ 錯(cuò)解：證明不等式x2x+y+ yx+2y≤xx+2y+y2x+y恒成立，故說明c存在。

正解：x=y得23 ≤c≤23，故猜想c= 23,下證不等式 x2x+y+ yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+y恒成立。要證不等式xx+2y+xx+2y≤23，因?yàn)閤,y是正數(shù)，即證3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y）(x+2y),也即證3x2+12xy+3y2 ≤2(2x2+2y2+5xy),即2xy≤x2+y2，而此不等式恒成立，同理不等式 23≤xx+2y+y2x+y也成立，故存在c=23 使原不等式恒成立。

6.2已知x,y,z∈R+，求證：x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz

錯(cuò)解：∵ x2y2+y2z2+z2x2≥ 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z ≥ 3xyz ∴x2y2+y2z2+z2x2x+y+z≥ 3xyz33xyz33xyz=xyz

錯(cuò)因：根據(jù)不等式的性質(zhì)：若a ＞b＞ 0，c ＞d ＞0,則ac bd，但 ac＞bd卻不一定成立 正解：x2y2+y2z2≥ 2x y2z，y2z2+z2x2≥ 2x yz2，x2y2+z2x2≥ 2x 2yz，以上三式相加，化簡(jiǎn)得：x2y2+y2z2+z2x2≥xyz(x+y+z)，兩邊同除以x+y+z:

x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz

6.3 設(shè)x+y>0，n為偶數(shù)，求證yn-1xn+xn-1yn≥

1x 1y

錯(cuò)證：∵yn-1xn+xn-1yn-1x-1y

=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

n為偶數(shù)，∴ xnyn ＞0，又xn-yn和xn-1-yn-

1同號(hào)，∴yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

錯(cuò)因：在x+y>0的條件下，n為偶數(shù)時(shí)，xn-yn和xn-1-yn-1不一定同號(hào)，應(yīng)分x、y同號(hào)和異號(hào)兩種情況討論。

正解：應(yīng)用比較法：

yn-1xn+xn-1yn-1x-1y=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

① 當(dāng)x>0,y>0時(shí)，(xn-yn)(xn-1-yn-1)≥ 0，(xy)n >0

所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

≥0故：yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

② 當(dāng)x,y有一個(gè)是負(fù)值時(shí)，不妨設(shè)x>0,y<0，且x+y>0，所以x>|y|

又n為偶數(shù)時(shí),所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)>0 又(xy)n >0，所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn ≥0即 yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

綜合①②知原不等式成立

第三篇：不等式證明若干方法

安康學(xué)院 數(shù)統(tǒng)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 專業(yè) 11 級(jí)本科生

論文（設(shè)計(jì)）選題實(shí)習(xí)報(bào)告

11級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)《科研訓(xùn)練2》評(píng)分表

注：綜合評(píng)分?60的為“及格”； <60分的為“不及格”。

第四篇：證明不等式的方法

以下討論的字母除特殊聲明都是正數(shù)

由于本人懶打字，理由是為了清晰一點(diǎn)，簡(jiǎn)記一下東西：比如∑ai里字母i是下標(biāo)，表示a1+a2+...+an，∑a/(b+c)表示循環(huán)求和,=a/(b+c)+

b/(c+a)+ c/(a+b)

1.基本不等式

記G(x)=((∑ai)/n)^(1/x)

規(guī)定G(0)=(a1a2...an)^(1/n)即幾何平均

那么G(1)就是算術(shù)平均,G(2)就是平方平均,G(-1)就是調(diào)和平均

G(2)≥G(1)≥G(0)≥G(-1),可以證明G(x)是增函數(shù)

2.(a1+a2+a3)^2 ≥3(a1a2+a2a3+a3a1)

3.柯西不等式推廣-分式不等式

(ai)2(∑ai)2

∑----≥-----

bi∑bi

能秒殺了大量高中選/填題

4.定義在在某區(qū)間內(nèi)的函數(shù)f(x),d>0

若二階導(dǎo)數(shù)f''(x)<0,則

f(x+d)-f(x)f(x)-f(x-d)

-----------< f'(x)<-------------

dd

若二階導(dǎo)數(shù)f''(x)>0,則上面的<改向

特別地取d=1,估算f(1)+f(2)+f(3)...的范圍時(shí)候就有用了(其實(shí)是∫<∑<∫...當(dāng)我什么也沒說過)比如經(jīng)典的估計(jì) ∑1/√n的整數(shù)部分

要適應(yīng)高中的書面表達(dá)的話，只要說“以下證明該不等式”，不用把什么二階導(dǎo)數(shù)的拿出來

5.幾何意義

定義在R

_______________________

√a2+b2 +√c2+d2 ≥√(a+c)2+(b+d)2

取等條件:(a,b),(c,d)與原點(diǎn)共線即a/c =b/d

_________________

★√2x2-6x+5 +√2x2-14x+25最小值？

__________________________

配方成√(x-1)2+(x-2)2+√(x-3)2+(x-4)2

6.高考?jí)狠S題的不等式似乎流行遞推型，以上所有不等式似乎沒多大用，只能靠自己妙手偶

得了，多收集一下高考題吧。

特殊類別的:

對(duì)任意n證明an>常數(shù),試試構(gòu)造出an-常數(shù)的遞推式

證明a1+a2+...+an >常數(shù) , 試試找出a1>等比數(shù)列

有一些不是遞推型的，涉及超越函數(shù)類的不等式

比如

sinx≤x , e^x≥1+x , 1/x-1 ≤lnx ≤ x-1等等

上面的還有范圍限制哦，反正背也沒多大用，需要用的時(shí)候自己推導(dǎo)。

競(jìng)賽級(jí)別,不等式證明好像漸漸不常見了。不過它如同幾何題，需要的是獨(dú)具匠心的構(gòu)造。變形有兩大類，恒等變形和不等變形。

7.凸函數(shù)（又名Jensen)不等式

從圖像上看有明顯的幾何意義：在定義域內(nèi)如果

若f''<0則f(a1)+f(a2)+...+f(an)a1+a2+...+an

---------------------≤ f(--------------)

nn

取等當(dāng)a1=a2...=an

若f''>0則≤改為≥

例子太多了...有一些樣子像凸函數(shù)，可是f''的正負(fù)不恒定(欲扁命題人）

★設(shè)x,y,z>0，且x+y+z=3m≤1，求證：（1/x^2y)(1/z^2m]^3

原本打算是兩邊取對(duì)數(shù)后就像凸函數(shù)不等式了，可是事實(shí)不然，只是略微用了凸性：

原題≤>

(1-x^3)(1-y^3)(1-z^3)(1-m^3)^3

---------------------≥-----------

x2y2z2(m^2)^3

分母可以比較

嘗試證(1-x^3)(1-y^3)(1-z^3)≥(1-m^3)^3

由凸函數(shù)ln(1-x^3)性質(zhì)即可

8.換元法之一元換多元

★cos2A+cos2B+cos2C=1_

求證:tanA+tanB+tanC≥3√2

已知A,B,C三角均為銳角

類比長(zhǎng)方體的對(duì)角線與側(cè)面所成角中有cos2A+cos2B+cos2C=1 ,可令cosA=a/√（a^2+b^2+c^2),則tanA=√（b2+c2)/a

然后直接均值不等式

____

★還有一個(gè)xyz=1證明∑1/√1+8x

如果換元成1/√(1+8x)=a/√(a2+8bc)那么就是某IMO題了，見后面零件分析法

9.換元法之多元換一元

你自己想例題嘛，多的是(-_-')換后的一個(gè)方向就是用凸函數(shù)不等式

10.換元法之反代

★ a^2+b^2+c^2=1,證明∑ab/c≥√3

設(shè)ab/c=x,則條件換為xy+yz+zx=1,再用第2招！

11.鄰項(xiàng)合并

★ a,b,c>0證明ab/c +bc/a+ ca/b ≥ a+b+c

ab/c +bc/a ≥2b,求和再除以2即可

12.單項(xiàng)分解

★ 正數(shù)a,b,c,a+b+c=1,證明(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc

1-a=b+c≥2√(bc)

★正數(shù)a,b,c,a+b+c=1,證明(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c)

(1+a)=(1-b + 1-c)≥2√((1-b)(1-c))

13.零件分析法

這方法可是有名了(上網(wǎng)找)，主要思想就是A +B ≥C 則得到零件不等式 A ≥C-B，兩邊求和的時(shí)候∑C-B能便于取得最值，從而解決問題。要

注意的是：要順著取等條件來構(gòu)造。

★x+y+z=1，求證1/(x^2+1)+1/(y^2+1)+1/(z^2+1)≤2.7

證明1/(x^2+1)≤1.1-0.6x(0

★xyz=1，證明：（1998年第39屆IMO預(yù)選試題）

x^3y^3z^33

--------+------------+------------≥-----

(1+y)(1+z)(1+x)(1+z)(1+x)(1+y)4

x^3/(1+y)/(1+z)+(1+y)/8 +(1+z)/8 ≥ 3x/4,疊加整理即見。

_______

★a,b,c>0證明∑√a/(b+c)≥2

_____________

√a/(b+c)=a/√a(b+c)≥2a/(a+b+c)

★證明∑a/√(a2+8bc)≥1

提示一下吧，尋找常數(shù)k使 a/√(a2+8bc)≥ a^k/(a^k+b^k+c^k)(有點(diǎn)像通分吧）

還有很多例子。。因?yàn)槟鞘侨∽晕业牟亟?jīng)閣，而前面的因?yàn)橛X得簡(jiǎn)單所以沒藏好例子，只能一話帶過。

14.恒等變形。需要強(qiáng)大的代數(shù)運(yùn)算能力...★a,b,c>0,abc≤1,證∑(a+b)/c ≥2(a+b+c)

∑(a+b)/c =(∑a)(∑1/a)-3 ≥3∑a-3 =2∑a +∑a-3 ≥2∑a +3-3

★a,b,c>0證:∑1/a ≤(∑a^8)/(abc)^3

證明a8+b8+c8≥a3b3c2+a3b2c3+a2b3c3

只需要證明

3a8+3b8+2c8≥8a3b3c2

3a8+2b8+3c8≥8a3b2c3

2a8+3b8+3c8≥8a2b3c3

相加即可

15.沒能叫出名字的方法

不等式證明如下棋，棋子走法有常規(guī)也有非常規(guī)，千變?nèi)f化不能用一言概括。。而且這里列的不等式還算比較容易了，更高級(jí)別的不敢弄出

來了。

★特值法(?):已知實(shí)數(shù)a,b,c,x,y,z滿足

(a+b+c)(x+y+z)=3

(a*a+b*b+c*c)(x*x+y*y+z*z)=4

求證 ax+by+cz大于等于0

把a(bǔ),b,c乘上一個(gè)數(shù)，同時(shí)x,y,z除以一個(gè)數(shù)不影響結(jié)論，所以可設(shè)

a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+z^2=2

(a+x)^2+(b+y)^2+(c+z)^2≥(a+b+c+x+y+z)^2/3≥4(a+b+c)(x+y+z)/3=4

展開得ax+by+cz≥0

★暴力法:這個(gè)算得好辛苦，不想展示了，要看的就點(diǎn)http://post.baidu.com/f?kz=229750254

★這題莫名其妙的比較大小...換元后求算∑√(xy)最大值，經(jīng)試驗(yàn)，縮放到算術(shù)平均是不能取最大值...1/A+1/B+1/C=2 A,B,C≥1 證明 SQRT(A+B+C)≥SQRT(A-1)+SQRT(B-1)+SQRT(C-1)換元A=x+1等等,兩邊平方等價(jià)整理成 3/2 ≥ ∑√(xy)= s

把已知條件通分整理得

1=2xyz + t2 ≤2/√(27)* t^3 +t2(1)

其中t=√(xy+yz+zx)≥ √(3)*(xyz)^(1/3)

(1)≤>(t-√3/2)(t+√3)2≥0...其實(shí)利用取等條件可以看出根的即t2 ≥ 3/4(2)

然后條件變形:

2=∑yz/(xyz+yz)

≥ s2/(∑(xyz+yz))

=s2/(3xyz + t2)

=s2/((1-t2)/2*3 + t2)根據(jù)(1)式

=s2/(3/2-t2/2)

≥s2/(3/2-3/8)根據(jù)(2)式

然后就行了

第五篇：不等式的一些證明方法

數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))

不等式的一些證明方法

[摘要]：不等式是數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容,不等式的證明是學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn),本文除總結(jié)不等式的常規(guī)證明方法外,給出了不等式相關(guān)的證明方法在具體實(shí)例中的應(yīng)用.[關(guān)鍵詞] 不等式;證明;方法； 應(yīng)用

不等式在數(shù)學(xué)中占重要地位,由于其本身的完美性及證明的困難性,使不等式成為各類考試中的熱點(diǎn)試題,證明不等式的途徑是對(duì)原不等式作代數(shù)變形，在初等數(shù)學(xué)中常用的方法有放縮法、代換法、歸納法、反證法等等.因而涉及不等式的問題很廣泛而且處理方法很靈活,故本文對(duì)不等式的證明方法進(jìn)行一些探討總結(jié).一、中學(xué)中有關(guān)不等式的證明方法 1.1中學(xué)課本中的四種證明方法 1.1.1理清不等式的證明方法

（1）比較法：證明不等式的基本方法,適應(yīng)面寬.①相減比較法—欲證A?B,則證A?B?0.②相除比較法—欲證A>B（A>0,B>0）,則證>1.（2）綜合法：利用平均不等式、二次方程根的判別式、二項(xiàng)式定理、數(shù)列求和等等。此方法靈活性大,需反復(fù)練習(xí).（3）分析法：當(dāng)綜合法較困難或行不通時(shí),可考慮此法,但不宜到處亂用.第1頁（共13頁）

AB

數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))（4）數(shù)學(xué)歸納法：凡與自然數(shù)n有關(guān)的不等式,可考慮此法,但有時(shí)使用起來比較困難,應(yīng)與前面幾種方法配合應(yīng)用.1.1.2選擇典型范例,探求解題途徑

例1.1.1 求證 1?2x4?2x3?x2

分析 用相減比較法證明A?B?0.一般應(yīng)將A?B變形為[f(x)]

2、（f(x)?g(x)，其中f(x),g(x)同號(hào)）,或變形為多個(gè)因子的[f(x)]2?[g(x)]

2、乘積、平方式.本題可化為兩個(gè)完全平方式的和或化為一個(gè)完全平方式與一個(gè)正因式的積.證： ?2x4?2x3?x2?1?2x3(x?1)?(x?1)(x?1)

?(x?1)(2x3?x?1)?(x?1)(2x3?2x?x?1)

13?2(x?1)2[(x?)2?]

442x4?2x3?x2?1?0

?當(dāng)x?R時(shí)，即 1?2x4?2x3?x2

例1.1.2 證明 n(n?1)?n?1???....?(n?1).分析 題中含n,但此題用數(shù)學(xué)歸納法不易證明,通過變形后可采用平均不等式來證.11111????(1?1)?(1?）???（1?)23n?2n nn34n?12?????n>n2?3.4...n?1=nn?1（再變形）=2323nn11111n?1???....?(1?1)?(1?)?....?(1?)23n?2n

證：

nnn?1?1n12131n第2頁（共13頁）

數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))

2? ?1n34n?1??....?23n?n2?3?4?....?n?1?nn?1

n23n131n所以 n(n?1)?n?1???....?

例1.1.3 求證：

1112+

11+?+>n(n?1,n為自然數(shù))2n 分析 與自然數(shù)有關(guān)的問題,可考慮用數(shù)學(xué)歸納法.設(shè)n?K時(shí)成立,需證n?K?1時(shí)也成立,需證明K+K+

1>K?1,可采用“湊項(xiàng)”的方法： K?1KK?1?1KK?1K?11=>==K?1

K?1K?1K?1K?111?12?2?12?2?2,右邊?2,所以, 2 證：(1)當(dāng)n?2時(shí),左邊?左邊?右邊.(2)假設(shè)n?K時(shí), 1111+

11+?+>K成立,則當(dāng)n?K?1時(shí), 2K+

1111+?++ ?K+

K?12K?1KKK?1?1K?1 =>

KK?1K?1?K?1?K?1K?1

綜上所述： 1.2關(guān)于不等式證明的常規(guī)方法（1）利用特殊值證明不等式

11+

11+?+>n 2n特殊性存在于一般規(guī)律之中,并通過特例表現(xiàn)出來.如果把這種辯證思想用于解題之中,就可開闊解題思路.第3頁（共13頁）

數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))例1.2.1 已知a?b,b?0,a?b?1.求證（a+）(b+)≥

121a1b25.412112211125只需證明當(dāng)a?b時(shí)，（a+）(b+)≥.故可設(shè)a??x

ab2411b? ?x,(|x|?且x?0)22證：考慮a與b都去特殊值,既當(dāng)a?b?時(shí)有（2?）（2?）=4則

a2?1b2?1(a2?1)(b2?1)(ab?1)2?111（a+）(b+)=== ?abababab33(?x2)2?1(?x2)2?125=4>4=.114?x244故原不等式得證.（2）利用分子有理化證明不等式

分母有理化是初中數(shù)學(xué)教材中重要知識(shí),它有著廣泛的應(yīng)用,而分子有理化也隱含于各種習(xí)題之中,它不但有各種廣泛的作用,而且在證明不等式中有它的獨(dú)特作用.例1.2.2[1] 求證13-12<12-11.證：利用分子有理化易得：13-12=?13?12>12+11 ?113?12113?12,12-11=

112?11, <

112?11

即 13-12<12-11.（3）應(yīng)用四種“平均”之間的關(guān)系證明不等式

四種“平均”之間的關(guān)系,既調(diào)和平均數(shù)H(a)≤幾何平均數(shù)G(a)≤

第4頁（共13頁）

數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))算數(shù)平均數(shù)A(a)≤平方平均數(shù)Q(a).寫得再詳細(xì)些就是：若a1,a2,a3?，an都是正實(shí)數(shù),則：

111aa?12???1≤na1a2?an≤

a1?a2???ann≤

a21?a2???ann22

an（注：這一串不等式在不等式證明中起著舉足輕重的作用.）例1.2.3 已知a?b,求證a+證：a+

1≥3(a?b)b111=(a?b)+b +≥3×3(a?b)b?3

(a?b)b(a?b)b(a?b)b（4）充分利用一些重要結(jié)論,使解題簡(jiǎn)捷

①對(duì)實(shí)數(shù)a,b,c,d有

a2?b2≥2ab?ab?ba;a2?b2?c2?ab?bc?ca;a2?b2?c2?d2?ab?bc?cd?da.②若a,b同號(hào),則?≥2；

若a,b,c均為正數(shù),則??≥3.a2?b2a?b2 ③若是正數(shù),則≥≥ab≥（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)等號(hào)

1122?abbaabbacbac成立）

a2?b2?c2a?b?c3? 若a,b,c是正數(shù),則≥3abc≥

11133??abc（當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c時(shí)等號(hào)成立）

例1.2.4 若a,b,c?0,且a?b?c?1,求證 ???9

第5頁（共13頁）

1a1b1c

數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))分析 證法較多,但由a?b?c?1與??之間的聯(lián)系,考慮算術(shù)平均與調(diào)和平均的關(guān)系式簡(jiǎn)便.證：由算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均的關(guān)系可知

a?b?c3 ?1113??abc1a1b1c所以 a?b?c?99, 又a?b?c?1得 ?1

111111????abcabc1a1b1c即 ???9.（5）利用式的對(duì)稱性證明不等式

形如x?y,a2?b2?c2的式子中任意兩個(gè)量交換位置后結(jié)果仍不變,這就是“式”對(duì)稱,可以用對(duì)稱關(guān)系來解決一些不等式的證明.例1.2.5 設(shè)a,b,c,d是正數(shù),且滿足a?b?c?d?1,求證 4a?1?4b?1?4c?1?4d?1?6

證：由4a?19?44a?1?294?2a?13 注意到對(duì)稱有：

94(a?b?c?d)?1317(4a?1?4b?1?4c?1?4d?1)??

422即 4a?1?4b?1?4c?1?4d?1?6 故原命題得證.（6）用“雙十字法”證明不等式

例1.2.6 已知x,y?0并且x?y?1 求證：

x2?3xy?2y2?2x?y?3?2x2?21xy?11y2?4x?21y?2

證：因 x2?3xy?2y2?2x?y?3?(x?2y)(x?y)?2x?y?3

第6頁（共13頁）

數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))=(x?2y?3)(x?y?1)?0 類似的，2x2?21xy?11y2?4x?21y?2?(2x?y?2)(x?11y?1)?0 故結(jié)論成立.（7）用恒等變形推導(dǎo)

例1.2.7[2] 求證：對(duì)于任意角度?,都有5?8cos??4cos2??cos3?≥0

證：5?8cos??4cos2??cos3?

=5?8cos??4(2cos2??1)?(4cos3??3cos?)

=1?5cos??8cos2??4cos3??(1?cos?)(4cos2??4cos??1)=(1?cos?)(2cos??1)2?0

（8）分解為幾個(gè)不等式的和或積

例1.2.8[2] 已知a,b,c是不全相等的正數(shù),求證：

a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc

證： ?b2?c2?2bc,a?0,?a(b2?c2)?2abc

2222b(c?a)?2abc,c(a?b)?2abc.同理

?a,b,c不全相等,所以上述三式中,等號(hào)不能同時(shí)成立.把三式相加

得

a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc

（注：這里把不等式的各項(xiàng)分別考慮,然后利用不等式的性質(zhì)和推論,證得所求不等式.）

例1.2.9 設(shè)?是銳角,求證：(1?11)(1?)?5.sin?cos? 證： ??是銳角,?0?sin??1,0?cos??1,0?sin2??1, 這時(shí) 112?1,?1,?2.sin?cos?sin2?第7頁（共13頁）

數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))(1?11112)(1?)?1????5.sin?cos?sin?cos?sin2?（9）利用極限證明不等式

例1.2.10[2]證明：當(dāng)x?2(1+2)時(shí),有

(2x?1)?2(2x?3)?3(2x?5)?....?x?x3

證： 在x?0的情況下討論,令

f(x)?(2x?1)?(2x?3)?3(2x?5)?....?x,g(x)?x3

則 f(x)?x(x?1)(2x?1)，6x(x?1)(2x?1)f(x)16于是 lim ?lim?x??g(x)x??3x3按極限的定義,對(duì)于??,取??2(1?2)當(dāng)|x|???2(1?2)有

f(x)11???? , g(x)3414即 0?f(x)71?? 從而f(x)?g(x),故結(jié)論成立.12g(x)12（10）利用平分法證明不等式

例1.2.11 若x?0,i?1,2,3,且?xi?1,則

i?1311127??? 2221?x11?x21?x310 證：因?yàn)?1211191?1x?時(shí)有?,所以,且當(dāng) ?x?1ii22331?xi1?xi10111927????3? 222101?x11?x21?x310故

1.3關(guān)于不等式證明的非常規(guī)方法（1）換元法

這種方法多用于條件不等式的證明,換元法主要有三角代換和均值代

第8頁（共13頁）

數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))換兩種.三角代換時(shí)已知條件特征明顯.在結(jié)構(gòu)上必須和三角公式相似.例1.3.1 已知x2?y2?1,求證：| x2+2xy-y2|≤2.證：令x?rcos?,y?rsin?

則 | x2+2xy-y2|=|r2(cos2??2sin?cos??sin2?| =r2|cos2??sin2?| = r2|2sin(2??450)|≤1?2×1=2

例1.3.2[4]設(shè)a,b,c?R 且a?b?c?1,求證：a2?b2?c2≥.證：a=+α,b=+β,c=+γ, 因?yàn)閍?b?c?1,所以 ??????0

于是有a2?b2?c2=+（?????）+（?2??2??2）≥.（2）反證法

先假設(shè)所要證明的不等式不成立,即要證的不等式的反面成立,然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā)進(jìn)行正確的推理,最終推出與已知條件或已知真命題相矛盾的結(jié)論,從而斷定假設(shè)錯(cuò)誤,進(jìn)而確定要證明的不等式成立.例1.3.3[5]求證：由小于1的三個(gè)正數(shù)a,b,c所組成的三個(gè)積（1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,不能同時(shí)大于

證：（反證法）假設(shè)（1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于

則有（1-a)b(1-b)c(1-c)a>

2***31314141 ① 641?a?a?1但由0?1-a)a≤???條件,即有，0?(1-a)a≤.24??同理有0?(1-b)b≤,0?(1-c)c≤.即（1-a)b(1-b)c(1-c)a≤② 64

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數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))①與②產(chǎn)生矛盾,從而原命題成立.（3）構(gòu)造法

在證明不等式時(shí),有時(shí)通過構(gòu)造某種模型、函數(shù)、恒等式、向量、對(duì)偶式等,完成不等式的證明.例1.3.4 求證???? 證： 設(shè)A=????1212342n?11.?2n2n?132n?1242n,B=????，352n?142n12342n?12n由于?,?,?，?,因此A?B，23452n2n?113242n?1242n2n1)(????)??A?, 2n352n?12n?12n?1所以A2?AB?(????故 ????（4）判別式法

12342n?11 ?2n2n?1適用于含有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母不等式,而另一邊是關(guān)于某字母的二次式時(shí),這時(shí)可考慮用判別式法.例1.3.5[6]x2?x?113求證:≤2≤.x?122x2?x?1 證： 設(shè)f(x)?y?2,則(1?y)x2?x?1?y?0,所以x?R，x?1當(dāng)y?1時(shí),Δ=b2?4ac≥0,即1?4(1?y)2≥0，所以 |y?1|≤,即≤y≤.又當(dāng)y?1時(shí),方程的解x?0，x2?x?113故 ≤2≤.x?122121232（5）放縮法

第10頁（共13頁）

數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))為了證明不等式的需要,有時(shí)需舍去或添加一些項(xiàng),使不等式一邊放大或縮小,利用不等式的傳遞性達(dá)到目的.例1.3.6[5]設(shè)a,b為不相等的兩個(gè)正數(shù),且a3-b3=a2?b2.求證1?a?b?.證： 由題設(shè)得a3-b3=a2?b2?a2?ab?b2?a?b, 于是(a?b)2? a2?ab?b2?a?b,則(a?b)?1,又(a?b)2?4ab，(a?b)2 而(a?b)?a?2ab?b?a?b?ab?a?b?

422243即(a?b)2?a?b,所以（a?b)?, 綜上所述, 1?a?b?（6）向量法

向量這部分知識(shí)由于獨(dú)有的形與數(shù)兼?zhèn)涞奶攸c(diǎn),使得向量成了數(shù)形結(jié)合的橋梁,在方法和理論上是解決其他一些問題的有利工具.對(duì)于某些不等式的證明,若借助向量的數(shù)量積的性質(zhì),可使某些不等式較易得到證明.例1.3.7 求證：求證1≤ 1?x2?x≤2

???9.三、小結(jié)

證明不等式的途徑是對(duì)原不等式作代數(shù)變形,在初等數(shù)學(xué)中常用的第11頁（共13頁）

1a1b1c

數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))方法大致有放縮法、代換法、歸納法、反證法等等.然而涉及不等式的問題很廣泛而且處理方法很靈活,僅在中學(xué)教科書上就有很多方法,但還不足以充分開拓人們的思維,為此,我們要進(jìn)一步探究不等式的證明方法,并給出了在實(shí)例中的應(yīng)用.參考文獻(xiàn)

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數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))社,1988,P201-211.[9] 牛紅玲.高等數(shù)學(xué)中證明不等式的幾種方法[J].承德民族師專學(xué)報(bào),2006(2).[10] 王喜春.不等式證明常用的技巧[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,1995(2).第13頁（共13頁）