第一篇：均值不等式教案

3．2均值不等式 教案（3）

（第三課時(shí)）

教學(xué)目標(biāo)：

了解均值不等式在證明不等式中的簡(jiǎn)單應(yīng)用

教學(xué)重點(diǎn)：

了解均值不等式在證明不等式中的簡(jiǎn)單應(yīng)用

教學(xué)過(guò)程

例

1、已知a、b、c∈R，求證：

不等式的左邊是根式，而右邊是整式，應(yīng)設(shè)法通過(guò)適當(dāng)?shù)姆趴s變換將左邊各根式的被開(kāi)方式轉(zhuǎn)化為完全平方式，再利用不等式的性質(zhì)證得原命題．

a2b2c

2???a?b?c 例

2、若a,b,c?R，則bca?

本題若用“求差法”證明，計(jì)算量較大，難以獲得成功，注意到a , b , c∈R，從結(jié)論的特點(diǎn)出發(fā)，均值不等式，問(wèn)題是不難獲證的．

＋

例

3、已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a?b?c?ab?bc?ca 證明：∵a?b?2abb?c?2bcc?a?2ca

以上三式相加：2(a?b?c)?2ab?2bc?2ca

∴a?b?c?ab?bc?ca

例

4、已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證：(ab?cd)(ac?bd)?4abcd 22222222222222

2分析：此題要求學(xué)生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運(yùn)用，同時(shí)證明：∵a,b,c,d都是正數(shù)，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞得

ab?cdac?bd??0,??0.22

由不等式的性質(zhì)定理4的推論1，得

?(ab?cd)(ac?bd)?abcd.4即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd

小結(jié)：正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)

課堂練習(xí)：第77頁(yè)練習(xí)A、B

課后作業(yè)：略

第二篇：均值不等式教案

§3.2 均值不等式

【教學(xué)目標(biāo)】

1.理解均值不等式

2.能利用均值不等式求最值或證明不等式

【教學(xué)重點(diǎn)】

掌握均值不等式

【教學(xué)難點(diǎn)】

利用均值不等式證明不等式或求函數(shù)的最值，【教學(xué)過(guò)程】

一、均值不等式：

均值定理：如果a,b?R?,那么_______________________(當(dāng)且僅當(dāng)_______時(shí)取等號(hào))證明：

定理說(shuō)明：

a?b1、稱為正數(shù)a,b的______________稱ab為正數(shù)a,b的___________因2此定理又?jǐn)⑹鰹椋篲_______________________________________

2、幾種變形：

（１）a?b?2ab

（_______________）

?a?b?

（２）???ab

（_______________）

2??

（３）a2?b2?2ab

（_______________）

3、應(yīng)用定理注意的問(wèn)題：

（１）應(yīng)用定理的條件_____________________

（２）定理注意_____________________

二、定理應(yīng)用：證明簡(jiǎn)單的不等式或求最值

ba例

1、已知ab?0，求證：??2

ab

1例

2、當(dāng)x?0時(shí),求x?的最值,并求取最值時(shí)x的值.x

21??1??變式：

1、已知a,b?R?,求證:?a???b???4

a??b??

2、若x?3,函數(shù)y?x?

13、若x?0,求x?的最值.x1,當(dāng)x為何值時(shí)函數(shù)有最值,此時(shí)x是何值? x?3

?2x2?x?3?x?0?的最大值,以及此時(shí)x的值.例

3、求函數(shù)f?x??x

x2?2x?3?x?0?的最小值及取得最小值時(shí)x的值.變式：求函數(shù)f?x??x

例

4、（1）一個(gè)矩形的面積為100m2，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，矩形的周長(zhǎng)最短？最短周長(zhǎng)是多少？

（2）已知矩形的周長(zhǎng)為36cm，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，它的面積最大？最大面積是多少？

結(jié)論：（１）___________________________________________________

（２）___________________________________________________ 變式：已知直角三角形的面積為50，問(wèn)兩直角邊各為多少時(shí)，它們的和最小？這個(gè)最小值是多少？

課堂小結(jié)：

課后練習(xí)：課本練習(xí)A、B

第三篇：均值不等式教案3

課題：§3.2.3均值不等式課時(shí):第3課時(shí) 授課時(shí)間:授課類型：新授課

【教學(xué)目標(biāo)】

1．知識(shí)與技能：了解均值不等式在證明不等式中的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

2．過(guò)程與方法：培養(yǎng)學(xué)生的探究能力以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

3．情態(tài)與價(jià)值：激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)善于思考、勤于動(dòng)手的學(xué)習(xí)品質(zhì)。

【教學(xué)重點(diǎn)】了解均值不等式在證明不等式中的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

【教學(xué)難點(diǎn)】了解均值不等式在證明不等式中的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

【教學(xué)過(guò)程】

例

1、已知a、b、c∈R，求證：

不等式的左邊是根式，而右邊是整式，應(yīng)設(shè)法通過(guò)適當(dāng)?shù)姆趴s變換將左邊各根式的被開(kāi)方式轉(zhuǎn)化為完全平方式，再利用不等式的性質(zhì)證得原命題。

a2b2c

2???a?b?c 例

2、若a,b,c?R，則bca?

本題若用“求差法”證明，計(jì)算量較大，難以獲得成功，注意到a , b , c∈R，從結(jié)論的特點(diǎn)出發(fā)，均值不等式，問(wèn)題是不難獲證的。

＋

例

3、已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a?b?c?ab?bc?ca 證明：∵a?b?2abb?c?2bcc?a?2ca

以上三式相加：2(a?b?c)?2ab?2bc?2ca

∴a?b?c?ab?bc?ca

例

4、已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證：(ab?cd)(ac?bd)?4abcd

分析：此題要求學(xué)生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運(yùn)用，同22222222222222

2證明：∵a,b,c,d都是正數(shù)，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞

得ab?cdac?bd??0,??0.22

(ab?cd)(ac?bd)?abcd.4由不等式的性質(zhì)定理4的推論1，得 ?

即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd

小結(jié)：正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)

課堂練習(xí)：第73頁(yè)習(xí)題B 3、4課后作業(yè)：第73頁(yè)習(xí)題B 5、6

板書(shū)設(shè)計(jì)：

教學(xué)反思：

第四篇：均值不等式教案2

課題：§3.2.2均值不等式 課時(shí):第2課時(shí) 授課時(shí)間: 授課類型：新授課

【教學(xué)目標(biāo)】

1．知識(shí)與技能：利用均值定理求極值與證明。

2．過(guò)程與方法：培養(yǎng)學(xué)生的探究能力以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

3．情態(tài)與價(jià)值：激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)善于思考、勤于動(dòng)手的學(xué)習(xí)品質(zhì)?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】利用均值定理求極值與證明。【教學(xué)難點(diǎn)】利用均值定理求極值與證明。

【教學(xué)過(guò)程】

1、復(fù)習(xí)：

定理：如果a,b是正數(shù)，那么

a?b?ab(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“?”號(hào)).22、利用均值定理求最值應(yīng)注意：“正”，“定”，“等”，靈活的配湊是解題的關(guān)鍵

3、例子：

1)已知x≠0，當(dāng)x取什么值時(shí)，x2+2）已知x>1,求y=x+

81的值最小，最小值是多少？ 2x1的最小值 x?13）已知x∈R，求y=x2?2x?12的最小值

4）已知x>1,求y=x+116x+2的最小值 xx?15）已知0

8）要建一個(gè)底面積為12m2，深為3m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池，如果底面造價(jià)每平方米600元，側(cè)面造價(jià)每平方米400元，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？

9）一段長(zhǎng)為L(zhǎng)m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？ 小結(jié)：利用均值定理求極值

課堂練習(xí)：第73頁(yè)習(xí)題3-2B:1,2 課后作業(yè)：第72頁(yè)習(xí)題3-2A:3,4,5 2

板書(shū)設(shè)計(jì)：

教學(xué)反思：

第五篇：均值不等式及其應(yīng)用

教師寄語(yǔ)：一切的方法都要落實(shí)到動(dòng)手實(shí)踐中

高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)案

均值不等式及其應(yīng)用

一．考綱要求及重難點(diǎn)

要求：1.了解均值不等式的證明過(guò)程.2.會(huì)用均值不等式解決簡(jiǎn)單的最大（小）值問(wèn)題.重難點(diǎn)：1.主要考查應(yīng)用不等式求最值和不等式的證明.2.對(duì)均值不等式的考查多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度為中低檔題，若出現(xiàn)證明題難度也不會(huì)太大.二．考點(diǎn)梳理

a?b1.均值定理：?；

2（1）均值不等式成立的條件是_________.（2）等號(hào)成立的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)_________時(shí)取等號(hào).（3）其中_________稱為正數(shù)a,b的算術(shù)平均值，_________稱為正數(shù)a，b的幾何平均值.2.利用均值定理求最值

M2

1）.兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，4＋

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.簡(jiǎn)記：和定積最大。

2）.兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2P，＋

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.簡(jiǎn)記：積定和最小。

3、幾個(gè)重要的不等式

（1）a?b?2ab(a,b∈R)（2）22ba ??2(a,b同號(hào)）ab

a2?b2a?b2a?b2?()（a,b?R）（3）ab?()（a,b?R）（4）22

2三、學(xué)情自測(cè)

1、已知a?0，b?0，且a?b?2，則（）

112222A、ab?B、ab?C、a?b?2D、a?b?3 222、給出下列不等式：①a?1?2a21?2；③x2?2?1，其中正確的個(gè)數(shù)是 x?1A、0B、1C、2D、31的最大值是___________。x4、長(zhǎng)為24cm的鐵絲做成長(zhǎng)方形模型，則模型的最大面積為_(kāi)__________。

125.已知正數(shù)a,b，滿足a?b?1，則?的最小值為 ab3、設(shè)x?0，則y?3?3x?

均值不等式及其應(yīng)用第 1頁(yè)（共4頁(yè)）

四．典例分析

考向一：利用均值不等式求最值

212xy??22x?3xy?4y?z?0,則當(dāng)z取得最大值時(shí),xyz的最大例

1、（2013山東）設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足

值為（）

A．0

B．1 9C．4 D．

3x2?7x?10變式訓(xùn)練1.若x??1，求函數(shù)f(x)?的最大值。x?

12.（2013天津數(shù)學(xué)）設(shè)a + b = 2, b>0, 則當(dāng)a = ______時(shí),考向

二、利用均值不等式證明簡(jiǎn)單不等式

例

2、已知x?0,y?0,z?0，求證：（變式訓(xùn)練

2、已知a,b,c都是實(shí)數(shù)，求證：a?b?c?

2221|a|取得最小值.?2|a|byzxzxy?)(?)(?)?8 xxyyzz1(a?b?c)2?ab?bc?ac

3考向

三、均值不等式的實(shí)際應(yīng)用

例

3、小王于年初用50萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)一輛大貨車(chē),第一年因繳納各種費(fèi)用需支出6萬(wàn)元,從第二年起,每年都比

上一年增加支出2萬(wàn)元,假定該年每年的運(yùn)輸收入均為25萬(wàn)元.小王在該車(chē)運(yùn)輸累計(jì)收入超過(guò)總支出后,考慮將大貨車(chē)作為二手車(chē)出售,若該車(chē)在第x年年底出售,其銷售價(jià)格為25?x萬(wàn)元(國(guó)家規(guī)定大貨車(chē)的報(bào)廢年限為10年).(1)大貨車(chē)運(yùn)輸?shù)降趲啄昴甑?該車(chē)運(yùn)輸累計(jì)收入超過(guò)總支出?

(2)在第幾年年底將大貨車(chē)出售,能使小王獲得的年平均利潤(rùn)最大?)(利潤(rùn)=累計(jì)收入+銷售收入-總支出)

變式訓(xùn)練：

如圖：動(dòng)物園要圍成相同面積的長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成。

（1）現(xiàn)有可圍36米長(zhǎng)鋼筋網(wǎng)的材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？

（2）若使每間虎籠面積為24m，則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最??？

五、當(dāng)堂檢測(cè)

1、若a,b?R且ab?0，則下列不等式中，恒成立的是（）

2A、a?b?2abB、a?b?、11ba??、??2 abab2、若函數(shù)f(x)?x?1(x?2)在x?a處取得最小值，則a?（）x?

2A、1B、1?C、3D、4ab3、已知log2?log2?1，則3?9的最小值為_(kāi)__________。ab

4.若點(diǎn)A?1,1?在直線mx?ny?2?0上,其中mn?0,則11?的最小值為_(kāi)_________.mn

六、課堂小結(jié)

七、課后鞏固

511、已知x?，則函數(shù)y?4x?2?的最大值是（）44x?

51A、2B、3C、1D、2(a?b)22、已知x?0,y?0,x,a,b,y成等差數(shù)列，x,c,d,y成等比數(shù)列，則的最小值是 cd

A、0B、1C、2D、43、已知b?0，直線(b?1)x?ay?2?0與直線x?by?1?0互相垂直，則ab的最小值為（）

A、1B、2C、D、4、已知x?0,y?0,x?y?xy?8，則x?y最小值是___________。

5、若對(duì)任意x?0,22x?a恒成立，則a的取值范圍是___________。2x?3x?1

6.某工廠去年的某產(chǎn)品的年銷售量為100萬(wàn)只,每只產(chǎn)品的銷售價(jià)為10元,每只產(chǎn)品固定成本為8元,今年,工廠第一次投入100萬(wàn)元,并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬(wàn)元,預(yù)計(jì)銷售量從今年開(kāi)始每年比上一年增加10萬(wàn)只,第n次投入后,每只產(chǎn)品的固定成本為g(n)?k?0,k為常數(shù),n?N),若產(chǎn)品銷售價(jià)保持不變,第n次投入后的年利潤(rùn)為f(n)萬(wàn)元.(1)求k的值,并求出f(n)的表達(dá)式;

(2)若今年是第1年,則第幾年年利潤(rùn)最高?最高利潤(rùn)為多少萬(wàn)元?