第一篇：2013高考數(shù)學(xué)均值不等式專(zhuān)題

均值不等式歸納總結(jié)

ab?(a?b

2)?2a?b

222(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)等號(hào)成立）

(1)當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．

(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”.(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問(wèn)題方面有廣泛的應(yīng)用.應(yīng)用一：求最值

例：求下列函數(shù)的值域

1（1）y＝3x 2（2）y＝x2xx

211解：(1)y＝3x 2 ≥2x 213x· 2＝6∴值域?yàn)?，+∞）2x 2

1(2)當(dāng)x＞0時(shí)，y＝x＋ ≥x1x＝2； x

1x·－2 x11當(dāng)x＜0時(shí)，y＝x＋ = －（－ x－）≤－2xx

∴值域?yàn)椋ǎ?，?]∪[2，+∞）解題技巧

技巧一：湊項(xiàng)

例:已知x?，求函數(shù)y?4x?2?4514x?5的最大值。

4x?5解：因4x?5?0，所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又(4x?2)對(duì)4x?2要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，?x?

54,?5?4x?0不是常數(shù)，所以，?y?4x?2?

11????5?4x?4x?55?4x?1???2?3?1??3? ?1。當(dāng)且僅當(dāng)5?4x?5?4x，即x?1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x?1時(shí)，ymax

評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)

例1.當(dāng)時(shí)，求y?x(8?2x)的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8為定值，故只需將y?x(8?2x)湊上一個(gè)系數(shù)即可。

當(dāng)，即x＝2時(shí)取等號(hào)當(dāng)x＝2時(shí)，y?x(8?2x)的最大值為8。

評(píng)注：本題無(wú)法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設(shè)0?

x?

32，求函數(shù)y?4x(3?2x)的最大值。

2x?3?2x?9

解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2????

222??

當(dāng)且僅當(dāng)2x?3?2x,即x?技巧三： 分離常數(shù) 例3.求y?

x?7x?10

x?

1?3?

??0,?時(shí)等號(hào)成立。4?2?

(x??1)的值域。

解析一：本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項(xiàng)，再將其分離。

當(dāng),即

時(shí),y?5?9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1

時(shí)取“＝”號(hào)）。

技巧四：換元法

解析二：本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值。

y?

(t?1)?7(t?1）+10

t

=

t?5t?

4t

?t?4t?5

5?9（當(dāng)t=2

當(dāng),即t=時(shí),y?即x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）。

Ag(x)

評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開(kāi)或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開(kāi)再利用不等式求最值。即化為y?mg(x)?或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不等式來(lái)求最值。

?B(A?0,B?0)，g(x)恒正

技巧五：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，結(jié)合函數(shù)f(x)?的單調(diào)性。

例：求函數(shù)y?因t?0,t?

x?

ax

x?52的值域。

?t(t?

2)，則y?

1t

??t?

1t

(t?2)

?1，但t?1t

1t

解得t??1不在區(qū)間?2,???，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。

因?yàn)閥?t?在區(qū)間?1,???單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間?2,???為單調(diào)遞增函數(shù)，故

y?

52。

5?所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?,???。?

?2

?

技巧六：整體代換 例：已知x?0,y?0，且解：?x?0,y?0,1?9

x

1x

?

9y

?1，求x?y的最小值。

?16。

?19?y9x

?10?6?10?16?1，?x?y??x?y??????

xyxyy??

當(dāng)且僅當(dāng)

yx

?

9xy

時(shí)，上式等號(hào)成立，又

1x

?

9y

?1，可得x?4,y?12

時(shí)，?x?y?min

變式：（1）若x,y?R?且2x?y?1，求1?1的最小值

x

y

(2)已知a,b,x,y?R?且a?b

x

y

?1，求x?y的最小值

技巧七：消元法

已知a，b為正實(shí)數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y 的最小值.ab

分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問(wèn)題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過(guò)消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問(wèn)題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對(duì)本題來(lái)說(shuō)，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對(duì)本題來(lái)說(shuō)，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過(guò)解不

等式的途徑進(jìn)行。

30－2b30－2b－2 b 2＋30b

法一：a，ab ·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15

－2t 2＋34t－311616

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t ≥

ttt

t＝8

t

∴ ab≤18∴ y≥當(dāng)且僅當(dāng)t＝4，即b＝3，a＝6時(shí)，等號(hào)成立。

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab∴ 30－ab≥ ab

令u則u2＋22 u－30≤0，－2 ≤u≤32

≤2，ab≤18，∴y≥

18點(diǎn)評(píng)：①本題考查不等式

a?b2

?

ab（a,b?R）的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；

?

②如何由已知不等式ab?a?2b?30（a,b?R?）出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵是尋找到

a?b與ab

之間的關(guān)系，由此想到不等式

a?b

2?

ab（a,b?R），這樣將已知條件轉(zhuǎn)

?

換為含ab的不等式，進(jìn)而解得ab的范圍.技巧八：平方法

已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W3x ＋2y 的最值.解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，很簡(jiǎn)單

3x 2y2 3x）22y）2 x＋2y ＝25解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過(guò)平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。

W＞0，W2＝3x＋2y＋3x ·y ＝10＋23x y ≤10＋3x)2·y)2

a＋b

a 2＋b 2，本題

＝10＋(3x＋2y)＝20 ∴ W20 ＝5變式:

求函數(shù)y?

y?2

?x?

52)的最大值。

解析：注意到2x?1與5?2x的和為定值。

?4??4?(2x?1)?(5?2x)?8

y?2

又y?

0，所以0?32

當(dāng)且僅當(dāng)2x?1=5?2x，即x?

時(shí)取等號(hào)。

故ymax

?

評(píng)注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。

總之，我們利用均值不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式

1．已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a2

?b?c

?ab?bc?ca

2.正數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 3.已知a、b、c?R?，且a?b?c?1。求證：??

??1??1?

?1???1???1??8 ?a??b??c?

1分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個(gè)“

2”連乘，又1?1?1?a?b?c?a

a

a

a，可由此變形入手。

?b?ca

?a

11?a

a?b?c?1。

解：b、c?R?，?a、??1?

a

a。

同理1?1?

b

b

?1?c

c

上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得

1?1??1??1?a?b?c?。當(dāng)且僅當(dāng)?1?1?1??8??????

3abc?a??b??c?

時(shí)取等號(hào)。

應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問(wèn)題 例：已知x?0,y?0且

1x?9y

?1，求使不等式x?y?m恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。

9xky

?1

解：令x?y?k,x?0,y?0,1x

?

9y

?1，?

x?ykx

?

9x?9yky

?1.?

10k

?

ykx

?

?1?

10k

?2?

3k

。?k

?16，m????,16?

應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用： 例：若a

?b?1,P?

lga?lgb,Q?

(lga?lgb),R?lg（a?b2)，則P,Q,R的大小關(guān)系

是.分析：∵a

Q?

?b?1 ∴l(xiāng)ga?0,lgb?0

（lga?lgb)?

a?b2)?lg

lga?lgb?p

lgab?Q

R?lg(ab?

∴R>Q>P。

練習(xí)．1.求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)，x 的值.（1）y?

x?3x?1

x,(x?0)（2）y?2x?

1x?3,x?3

(3)y?2sinx?2．已知0?

1sinx,x?(0,?)（4）y?sinx?

2sinx,x?(0,?)

x?

x?

1，求函數(shù)y?的最大值.；3．0?，求函數(shù)y?的最大值.3.若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足a?b?2，則3a4.若log4x?log4

y?2，求

?3

b

1x

?

1y的最小值.并求x,y的值.5.已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x 2＋ ＝1，求1＋y 2 的最大值.26.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值.7.若直角三角形周長(zhǎng)為1，求它的面積最大值.y 2

第二篇：高三數(shù)學(xué)均值不等式

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3.2 均值不等式 教案

教學(xué)目標(biāo)：

推導(dǎo)并掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這個(gè)重要定理.利用均值定理求極值.了解均值不等式在證明不等式中的簡(jiǎn)單應(yīng)用

教學(xué)重點(diǎn)：

推導(dǎo)并掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這個(gè)重要定理

利用均值定理求極值

教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)：

1、復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)定理及其推論

1：a>b2：3：a>b(1)：a+b>c(2)：

4、若(1)、若(2)、若(3)、若23?a?ⅱ）a2?b2?2ab和a?b

2?ab成立的條件是不同的：前者只要求a,b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a,bⅲ）3以長(zhǎng)為a+b的線(xiàn)段為直徑作圓，在直徑AB上取點(diǎn)C，使C作垂直于直徑

2AB的弦DD′,那么CD?CA?CB，即CD?ab

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這個(gè)圓的半徑為a?ba?b?ab，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓，顯然，它不小于CD，即2

2心重合；即a=b應(yīng)用例題：

例

1、已知a、b、c∈R，求證：

不等式的左邊是根式，而右邊是整式，應(yīng)設(shè)法通過(guò)適當(dāng)?shù)姆趴s變換將左邊各根式的被開(kāi)方式轉(zhuǎn)化為完全平方式，再利用不等式的性質(zhì)證得原命題。

例

2、若

a,例3證明：∵222∴a?b?c?ab?bc?ca 例

4、已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證：(ab?cd)(ac?bd)?4abcd

分析：此題要求學(xué)生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運(yùn)用，同時(shí)證明：∵a,b,c,d都是正數(shù)，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞

得ab?cdac?bd?

?0,??0.2

2由不等式的性質(zhì)定理4的推論1，得

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?(ab?cd)(ac?bd)?abcd.4即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd

歸納小結(jié)

定理：如果a,b是正數(shù)，那么a?b?ab(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“?”號(hào)).22、利用均值定理求最值應(yīng)注意：“正”，“定”，“等”，靈活的配湊是解題的關(guān)鍵。鞏固練習(xí)

P71 練習(xí)A，P72 練習(xí)B。

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第三篇：均值不等式及其應(yīng)用

教師寄語(yǔ)：一切的方法都要落實(shí)到動(dòng)手實(shí)踐中

高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)案

均值不等式及其應(yīng)用

一．考綱要求及重難點(diǎn)

要求：1.了解均值不等式的證明過(guò)程.2.會(huì)用均值不等式解決簡(jiǎn)單的最大（小）值問(wèn)題.重難點(diǎn)：1.主要考查應(yīng)用不等式求最值和不等式的證明.2.對(duì)均值不等式的考查多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度為中低檔題，若出現(xiàn)證明題難度也不會(huì)太大.二．考點(diǎn)梳理

a?b1.均值定理：?；

2（1）均值不等式成立的條件是_________.（2）等號(hào)成立的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)_________時(shí)取等號(hào).（3）其中_________稱(chēng)為正數(shù)a,b的算術(shù)平均值，_________稱(chēng)為正數(shù)a，b的幾何平均值.2.利用均值定理求最值

M2

1）.兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，4＋

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.簡(jiǎn)記：和定積最大。

2）.兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2P，＋

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.簡(jiǎn)記：積定和最小。

3、幾個(gè)重要的不等式

（1）a?b?2ab(a,b∈R)（2）22ba ??2(a,b同號(hào)）ab

a2?b2a?b2a?b2?()（a,b?R）（3）ab?()（a,b?R）（4）22

2三、學(xué)情自測(cè)

1、已知a?0，b?0，且a?b?2，則（）

112222A、ab?B、ab?C、a?b?2D、a?b?3 222、給出下列不等式：①a?1?2a21?2；③x2?2?1，其中正確的個(gè)數(shù)是 x?1A、0B、1C、2D、31的最大值是___________。x4、長(zhǎng)為24cm的鐵絲做成長(zhǎng)方形模型，則模型的最大面積為_(kāi)__________。

125.已知正數(shù)a,b，滿(mǎn)足a?b?1，則?的最小值為 ab3、設(shè)x?0，則y?3?3x?

均值不等式及其應(yīng)用第 1頁(yè)（共4頁(yè)）

四．典例分析

考向一：利用均值不等式求最值

212xy??22x?3xy?4y?z?0,則當(dāng)z取得最大值時(shí),xyz的最大例

1、（2013山東）設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿(mǎn)足

值為（）

A．0

B．1 9C．4 D．

3x2?7x?10變式訓(xùn)練1.若x??1，求函數(shù)f(x)?的最大值。x?

12.（2013天津數(shù)學(xué)）設(shè)a + b = 2, b>0, 則當(dāng)a = ______時(shí),考向

二、利用均值不等式證明簡(jiǎn)單不等式

例

2、已知x?0,y?0,z?0，求證：（變式訓(xùn)練

2、已知a,b,c都是實(shí)數(shù)，求證：a?b?c?

2221|a|取得最小值.?2|a|byzxzxy?)(?)(?)?8 xxyyzz1(a?b?c)2?ab?bc?ac

3考向

三、均值不等式的實(shí)際應(yīng)用

例

3、小王于年初用50萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)一輛大貨車(chē),第一年因繳納各種費(fèi)用需支出6萬(wàn)元,從第二年起,每年都比

上一年增加支出2萬(wàn)元,假定該年每年的運(yùn)輸收入均為25萬(wàn)元.小王在該車(chē)運(yùn)輸累計(jì)收入超過(guò)總支出后,考慮將大貨車(chē)作為二手車(chē)出售,若該車(chē)在第x年年底出售,其銷(xiāo)售價(jià)格為25?x萬(wàn)元(國(guó)家規(guī)定大貨車(chē)的報(bào)廢年限為10年).(1)大貨車(chē)運(yùn)輸?shù)降趲啄昴甑?該車(chē)運(yùn)輸累計(jì)收入超過(guò)總支出?

(2)在第幾年年底將大貨車(chē)出售,能使小王獲得的年平均利潤(rùn)最大?)(利潤(rùn)=累計(jì)收入+銷(xiāo)售收入-總支出)

變式訓(xùn)練：

如圖：動(dòng)物園要圍成相同面積的長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成。

（1）現(xiàn)有可圍36米長(zhǎng)鋼筋網(wǎng)的材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？

（2）若使每間虎籠面積為24m，則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最??？

五、當(dāng)堂檢測(cè)

1、若a,b?R且ab?0，則下列不等式中，恒成立的是（）

2A、a?b?2abB、a?b?、11ba??、??2 abab2、若函數(shù)f(x)?x?1(x?2)在x?a處取得最小值，則a?（）x?

2A、1B、1?C、3D、4ab3、已知log2?log2?1，則3?9的最小值為_(kāi)__________。ab

4.若點(diǎn)A?1,1?在直線(xiàn)mx?ny?2?0上,其中mn?0,則11?的最小值為_(kāi)_________.mn

六、課堂小結(jié)

七、課后鞏固

511、已知x?，則函數(shù)y?4x?2?的最大值是（）44x?

51A、2B、3C、1D、2(a?b)22、已知x?0,y?0,x,a,b,y成等差數(shù)列，x,c,d,y成等比數(shù)列，則的最小值是 cd

A、0B、1C、2D、43、已知b?0，直線(xiàn)(b?1)x?ay?2?0與直線(xiàn)x?by?1?0互相垂直，則ab的最小值為（）

A、1B、2C、D、4、已知x?0,y?0,x?y?xy?8，則x?y最小值是___________。

5、若對(duì)任意x?0,22x?a恒成立，則a的取值范圍是___________。2x?3x?1

6.某工廠(chǎng)去年的某產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量為100萬(wàn)只,每只產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)為10元,每只產(chǎn)品固定成本為8元,今年,工廠(chǎng)第一次投入100萬(wàn)元,并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬(wàn)元,預(yù)計(jì)銷(xiāo)售量從今年開(kāi)始每年比上一年增加10萬(wàn)只,第n次投入后,每只產(chǎn)品的固定成本為g(n)?k?0,k為常數(shù),n?N),若產(chǎn)品銷(xiāo)售價(jià)保持不變,第n次投入后的年利潤(rùn)為f(n)萬(wàn)元.(1)求k的值,并求出f(n)的表達(dá)式;

(2)若今年是第1年,則第幾年年利潤(rùn)最高?最高利潤(rùn)為多少萬(wàn)元?

第四篇：均值不等式說(shuō)課稿

《均值不等式》說(shuō)課稿

山東陵縣一中 燕繼龍李國(guó)星

尊敬的各位評(píng)委、老師們：

大家好！我今天說(shuō)課的題目是 《均值不等式》，下面我從教材分析，教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)，教學(xué)方法，學(xué)生學(xué)法，教學(xué)過(guò)程，板書(shū)設(shè)計(jì)，效果分析八個(gè)方面說(shuō)說(shuō)我對(duì)這堂課的設(shè)計(jì)。

一、教材分析：

均值不等式又稱(chēng)基本不等式，選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)(人教B版)必修5第三章第3節(jié)內(nèi)容。是不等式這一章的核心，在高中數(shù)學(xué)中有著比較重要的地位。對(duì)于不等式的證明及利用均值不等式求最值等實(shí)際問(wèn)題都起到工具性作用。通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生對(duì)后面不等式的證明及前面函數(shù)的一些最值值域進(jìn)一步研究，起到承前啟后的作用。

二、教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)與技能：

（1）掌握均值不等式以及其成立的條件；

（2）能運(yùn)用均值不等式解決一些較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

2、過(guò)程與方法：

（1）探索并了解均值不等式的證明過(guò)程、體會(huì)均值不等式的證明方法；

（2）培養(yǎng)探究能力以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)：

（1）通過(guò)探索均值不等式的證明過(guò)程，培養(yǎng)探索、鉆研、合作精神；

（2）通過(guò)對(duì)均值不等式成立條件的分析，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度；

(3)認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是從實(shí)際中來(lái)，通過(guò)數(shù)學(xué)思維認(rèn)知世界。

三、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

重點(diǎn)：通過(guò)對(duì)新課程標(biāo)準(zhǔn)的解讀，教材內(nèi)容的解析，我認(rèn)為結(jié)果固然重要，但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程更重要，它有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和探究能力，所以均值不等式的推導(dǎo)是本節(jié)課的重點(diǎn)之一；再者，均值不等式有比較廣泛的應(yīng)用，需重點(diǎn)掌握，而用好均值不等式，關(guān)鍵是對(duì)不等式成立條件的準(zhǔn)確理解，因此，均值不等式及其成立的條件也是教學(xué)重點(diǎn)。

難點(diǎn)：很多同學(xué)對(duì)均值不等式成立的條件的認(rèn)識(shí)不深刻，在應(yīng)用時(shí)候常常出現(xiàn)錯(cuò)誤，所以，均值不等式成立的條件是本節(jié)課的難點(diǎn)。

四、教學(xué)方法：

為了達(dá)到目標(biāo)、突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)、解決疑點(diǎn)，我本著以教師為主導(dǎo)的原則，再結(jié)合本節(jié)的實(shí)際特點(diǎn)，確定本節(jié)課的教學(xué)方法。

突出重點(diǎn)的方法：我將通過(guò)引導(dǎo)啟發(fā)、學(xué)生展示來(lái)突出均值不等式的推導(dǎo)；通過(guò)多媒體展示、來(lái)突出均值不等式及其成立的條件。

突破難點(diǎn)的方法：我將采用重復(fù)法（在課堂的每一環(huán)節(jié)，以各種方式進(jìn)行強(qiáng)調(diào)均值不等式和

來(lái)突破均值不等式成立的條件這個(gè)難點(diǎn)。

此外還將繼續(xù)采用個(gè)人和小組積分法，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與的熱情。

五、學(xué)生學(xué)法：

在學(xué)生的學(xué)習(xí)中，注重知識(shí)與能力，過(guò)程與方法，情感態(tài)度和價(jià)值觀(guān)三個(gè)方面的共同發(fā)展。充分體現(xiàn)學(xué)生是主體，具體如下：

1、課前預(yù)習(xí)----學(xué)會(huì)；、明確重點(diǎn)、解決疑點(diǎn)；

2、分組討論

3、積極參與----敢于展示、大膽質(zhì)疑、爭(zhēng)相回答；

4、自主探究----學(xué)生實(shí)踐，鞏固提高；

六、教學(xué)過(guò)程：

采取“三步驟四環(huán)節(jié)和諧高效課堂”教學(xué)模式，運(yùn)用學(xué)案導(dǎo)學(xué)開(kāi)展本節(jié)課的教學(xué)，首先進(jìn)行

:課前預(yù)習(xí)

（一）成果反饋

1.對(duì)課前小組合作完成的現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題：

“今有一臺(tái)天平，兩臂不等長(zhǎng)，要用它稱(chēng)物體質(zhì)量，將物體放在左、右托盤(pán)各稱(chēng)一次，稱(chēng)得的質(zhì)量分別為a,b，問(wèn)：能否用a,b的平均值表示物體的真實(shí)質(zhì)量？若不能，這二者是什么關(guān)系？”

進(jìn)行多媒體情景演示，抽小組派代表回答，從而引出均值不等式抽出兩名同學(xué)上黑板完成2、32.均值定理：_____________________________________

a?b

2?。

預(yù)備定理：a2?b2?2ab(a,b?R)，仿照預(yù)備定理的證明證明均值定理 3.已知ab>0，求證：?

ab

ab?2，并推導(dǎo)出式中等號(hào)成立的條件。

與此同時(shí)，其他同學(xué)分組合作探究和均值定理有關(guān)的以下問(wèn)題，教師巡視并參與討論，適時(shí)點(diǎn)撥。

① 適用范圍a,b?________，x?0,x?

1x??2

對(duì)嗎？

② 等號(hào)成立的條件，當(dāng)且僅當(dāng)__________時(shí)，________=_________ ③ 語(yǔ)言表述：兩個(gè)___數(shù)的____平均數(shù)_____它們的_______平均數(shù) ④ 把不等式_________________又稱(chēng)為均值或________不等式 ⑤ 數(shù)列觀(guān)點(diǎn)：兩個(gè)正數(shù)的______中項(xiàng)不小于它們的_____中項(xiàng)

。⑥ 幾何解釋?zhuān)ㄒ?jiàn)右圖）：________________

⑦常見(jiàn)變形a?b?_______

?________,即ab?

___________。例：

4、（1）一個(gè)矩形的面積為100 m，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，矩形的周長(zhǎng)最短？最短周長(zhǎng)是多少？（2）已知矩形的周長(zhǎng)是36m，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，矩形的面積最大？最大面積是多少？

由此題可以得出兩條重要規(guī)律：

兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有______值； 兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有______值。

等待兩名同學(xué)做完后，適時(shí)終止討論，學(xué)生各就各位。首先針對(duì)黑板上這兩道題發(fā)動(dòng)學(xué)生上來(lái)捉錯(cuò)（用不同色粉筆），然后再由老師完善，以此加深學(xué)生對(duì)定理及應(yīng)用條件的認(rèn)識(shí)。其次，老師根據(jù)剛才巡視掌握的情況，結(jié)合多媒體進(jìn)行有針對(duì)性的講解（重點(diǎn)應(yīng)強(qiáng)調(diào)均值定理的幾何解釋?zhuān)喊霃讲恍∮诎胂遥约坝萌切蜗嗨苹蛏溆岸ɡ淼膸缀巫C明過(guò)程，使定理“形化”），進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)定理的認(rèn)識(shí)及應(yīng)用能力，初步掌握用均值定理求函數(shù)最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”

第二步：課內(nèi)探究

（二）精講點(diǎn)撥 1.例：求函數(shù)f(x)?

?2x?x?

3x

(x?0)的最大值，及此時(shí)x的值。

先和學(xué)生們一起探討該問(wèn)題的解題思路，先拆分再提出“-”號(hào)，為使用均值定理創(chuàng)造條件，后由學(xué)生們獨(dú)立完成，教師通過(guò)巡視或提問(wèn)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，通過(guò)多媒體演示來(lái)解決問(wèn)題，該例題主要讓學(xué)生注意定理的應(yīng)用條件及一些變形技巧。

2．多媒體展示辨析對(duì)錯(cuò)：

?這幾道辨析題先讓學(xué)生們捉錯(cuò)，再由

多媒體給出答案，創(chuàng)設(shè)情境加深學(xué)生對(duì)用均值定理求函數(shù)最值時(shí)注意“一正、二定、三相等”的認(rèn)識(shí)

（三）有效訓(xùn)練

1.(獨(dú)立完成)下列函數(shù)的最小值為2的是()

A、y?x?

1x

B、y?sinx?

1sinx

(0?x?

?)

C、y??

1D、y?tanx?

本題意在鞏固用均值定理求函數(shù)最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”，待學(xué)生完成后，隨機(jī)抽取幾名學(xué)生說(shuō)一下答案，選D，應(yīng)該不會(huì)有問(wèn)題。

2.（小組合作探究）一扇形中心角為α，所在圓半徑為R。若扇形周長(zhǎng)為一常值C(C>0)，當(dāng)α為何值時(shí)，扇形面積最大，并求此最大值。

本題若直接運(yùn)用均值不等式不會(huì)出現(xiàn)定值，需要拼湊。待學(xué)生討論過(guò)后，先通答案，??2時(shí)扇形面積最大值為

c

tanx

(0?x?

?)

。若有必要，抽派小組代表到講臺(tái)上講解，及時(shí)反饋矯正。

（四）本節(jié)小結(jié)

小結(jié)本節(jié)課主要內(nèi)容，知識(shí)點(diǎn)，由學(xué)生總結(jié)，教師完善，不外乎： 1.兩個(gè)重要不等式

a?b?2ab(a,b?R,當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“?”)

2a?b2

?a,b?R,當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“?”)

?

2.用均值定理求函數(shù)最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”。

（一）、雙基達(dá)標(biāo)（必做，獨(dú)立完成）：

1、課本第71頁(yè)練習(xí)A、B；

2、已知x??1,求y?x?6?

x?

1的最值；

（二）、拓展提高(供選做, 可小組合作完成)：

?

23、若a,b?R且a?

b

?1,求a?最大值及此時(shí)a,b的值.4、a?0,b?0,且

5、求函數(shù)f(x)?

1a

?

9b

?1,求a?b最小值.x?3x?1x?

1(x??1)的最小值。

通過(guò)作業(yè)使學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，注重分層次設(shè)計(jì)題目，更加關(guān)注學(xué)生的差異。

七、板書(shū)設(shè)計(jì)：

由于本節(jié)采用多媒體教學(xué)，板書(shū)比較簡(jiǎn)單，且大部分是學(xué)生的展示。

八、效果分析：

本節(jié)課采取了我校推行的“三步驟四環(huán)節(jié)和諧高效課堂”教學(xué)模式，通過(guò)學(xué)案導(dǎo)學(xué)，多媒體展示，師生互動(dòng)，生生互動(dòng)。學(xué)生基本能掌握均值不等式以及其成立的條件；能運(yùn)用均值不等式解決一些較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題。但用均值定理求函數(shù)最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”，說(shuō)起來(lái)容易做起來(lái)難，學(xué)生還得通過(guò)反思和課后訓(xùn)練進(jìn)一步體會(huì)。

我的說(shuō)課到此結(jié)束，懇請(qǐng)各位評(píng)委和老師們批評(píng)指正，謝謝！

第五篇：常用均值不等式及證明證明

常用均值不等式及證明證明

這四種平均數(shù)滿(mǎn)足Hn?Gn?

An?Qn

?、ana1、a2、?R?，當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2??

?an時(shí)取“=”號(hào)

僅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上簡(jiǎn)化，有一個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論，中學(xué)常用

均值不等式的變形：

(1)對(duì)實(shí)數(shù)a,b，有a

2?b2?2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))，a,b?0?2ab

(4)對(duì)實(shí)數(shù)a,b，有

a?a-b??b?a-b?

a2?b2?

2ab?0

(5)對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)a,b，有

(8)對(duì)實(shí)數(shù)a,b,c，有

a2?

b2?c2?ab?bc?ac

a?b?c?abc(10)對(duì)實(shí)數(shù)a,b,c，有

均值不等式的證明：

方法很多，數(shù)學(xué)歸納法（第一或反向歸納）、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序

不等式法、柯西不等式法等等

用數(shù)學(xué)歸納法證明，需要一個(gè)輔助結(jié)論。

引理：設(shè)A≥0，B≥0，則?A?B??An?nA?n-1?B

n

注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0(用數(shù)學(xué)歸納法)。

當(dāng)n=2時(shí)易證；

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，不妨設(shè)ak?1是則設(shè)

a1,a2,?,ak?1中最大者，kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak

用歸納假設(shè)

下面介紹個(gè)好理解的方法琴生不等式法

琴生不等式：上凸函數(shù)f?x?,x1,x2,?,xn是函數(shù)f?x?在區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意n個(gè)點(diǎn)，設(shè)f?x??lnx，f

?x?為上凸增函數(shù)所以，在圓中用射影定理證明（半徑不小于半弦）