第一篇：Zirakzadeh不等式的兩個簡捷證明

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Zirakzadeh不等式的兩個簡捷證明

作者：曹嘉興

來源：《中學數(shù)學雜志(高中版)》2012年第06期

1960年，Zirakzadeh提出了如下不等式：

命題 設(shè)P、Q、R分別位于△ABC的邊BC、CA、AB上，且將△ABC的周界三等分，記BC=a，CA=b，AB=c，則PQ+QR+RP≥1/2（a+b+c）.

第二篇：如何選取最簡捷的方法證明不等式

如何選取最簡捷的方法證明不等式

王

莉

不等式的證明是中學學習中經(jīng)常碰到了一類題目，它的方法有很多種，比較法（作 差法，作商法），分析法，反證法，放縮法，判別式法，換元法，函數(shù)法，數(shù)學歸納法，而現(xiàn)在的教學中對這些方法的介紹不再面面俱到，使得有些學生只知道其中部分方法，甚至有的學生只知道作差法，而碰到不能用作差法得到的題目，學生會一籌莫展。面對這么多種方法學生即使方法全部掌握，在考試中也不能在短短的時間內(nèi)判斷出用什么方法又快又準確。而這篇論文就是針對這個問題尋找出每種方法的適用范圍，從而找出規(guī)律。

一.介紹證明不等式的方法和適用范圍 1． 比較法

比較法是證明不等式最基本，最常用，最重要的方法之一。

a)作差法的理論依據(jù)是a>b(a=b,a0(a-b=0,a-b<0),它適用于當兩項屬于實數(shù)范圍且作差后有公因式的整式，分式之間。

b)作商法的理論依據(jù)是(a,b?R)a>b(a=b,a

把某些已經(jīng)證明過的不等式作為基礎(chǔ)，再運用不等式的性質(zhì)推導出所要求證的不等式，這種證明方法通常叫做綜合法。它涉及到的基本不等式和常用不等式有

a??? 當且僅當a=0是等號成立

a,b?R,a?b?? a,b?R,a??ab 當且僅當a=b時等號成立

??b???ab，當且僅當a=b時等號成立

a,b,c?R,a?b?c???abc，當且僅當a=b=c時等號成立

其中尤其重要的是等號成立的條件，特別做實際問題的不等式證明時要注意，它適用在滿足基本不等式或常用不等式條件和結(jié)果的一切不等式，當然題目不可能很容易看出是否滿足，所以要注意技巧即能夠根據(jù)要求拆或合項。3． 分析法

證明不等式時,有時可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的條件，把證明這個不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題。如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立。這種證明方法通常叫做分析法。注意的是用分析法證明不等式，分析過程必須步步可逆。而在證明不等式時，用分析法尋找解題思路，再用綜合法有條理的表達證明過程較宜。它適合用于含根式的不等式處理時先證明兩邊平方的大小關(guān)系也可分子有理化。4． 反證法

從假設(shè)結(jié)論不成立入手，推出與“已知條件，假設(shè)，公理，定理或顯然成立的事實”等相矛盾的結(jié)果，從而判定假設(shè)錯誤，結(jié)論成立，這種方法叫做反證法。用反證法解題的實質(zhì)就是否定結(jié)論導出矛盾，從而說明原結(jié)論正確。反證法的一般步驟（1）否定結(jié)論（2）推理論證（3）導出矛盾（4）肯定結(jié)論，它的原理是“否定之否定等于肯定”用反證法證明不等式，常用的否定形式有：“?”的反面為“<”；“?”的反面為“>”，“=”的反面為“?”，“至少有一個”的反面是“一個都沒有”它適用于證明存在性問題，唯一性問題，或者帶有至少或至多等字樣的問題。5． 放縮法

從不等式的一邊入手，逐漸放大，縮小不等式，直到得到不等式的另一邊，這種方法叫做放縮法。運用放縮法要注意放縮必須適度，放得過大或縮得過小都不能達到證題的目的。它的理論依據(jù)主要有（1）不等式的傳遞性；（2）等量加不等量為不等量;(3)同分子（分母）異分母（分子）的兩個分時大小的比較.放縮時使用的主

?????要方法（1）舍去或加上一些項，如，(a?)??(a?)(2)將分子或分母

???放大，如?k???k(k??)，?k???k(k??)*，?k??k?k??

?k??k?k??(k?N,k??)它適用于含可以配方的式子或者含滿足上述方法二的式子的不等式。

6． 判別法

證明形如“a?y?a?xa?x???b?x?c??b?x?c??b,c?y?a?x??b?x?c?a?x?b??d”的不等式，可通過將不等式中的y整理成形如f(y)x??g(y)x??(y)??的形式后，依據(jù)(1)f(y)??時，由x?R,⊿≥0,得y的取值范圍為A(2)討論f(y)=0時，f(y)x??g(y)x??(y)??中的x的值是否為函數(shù)y的定義域中的值？是，結(jié)合（1）可以確定y的范圍為A及f(y)=0的y值；否則y的范圍為A.這種證明不等式的方法叫做判別式法。它適用于分子分母都是二次函數(shù)或有一個為二次函數(shù)的可以轉(zhuǎn)換為f(y)x??g(y)x??(y)??形式的分式，同時要注意對x?項系數(shù)f(y)=0)和f(y)??兩種情況的討論。

x?而x=0是函數(shù)y=

?x???x??,的定義域中的一個值，所以y=1屬于它的值域中的一個值 ????y??? 即證

7． 換元法

在證明不等式的過程中，將不等式中的變量作適當?shù)拇鷵Q，使不等式得到證明，這種方法叫做不等式證明中的換元法。換元法沒有固定的模式，用換元法證明不等式，常用的方法是“三角換元法”和“代數(shù)換元法”其中三角換元法常用的公式有：sin???cos???? ??tan???sec?? ??cot???cscxa??

{x?Rcos?y?Rsin?適用范圍：如果不等式中的變量|x|≤a(a為常數(shù))則把

??????設(shè)為sin?

或者cos ?如果題目中含有“x?y?R，x?y?R，R??x?也可以用{x?Rcos?y?Rsin?代換。如果題目含有R??x?，x??R?可用x=Rtan?

???????一個實數(shù)的可能性。需要注意的是在代換時，新的變量的變化范圍必須確保原來的變量的變化范圍不發(fā)生變化。8． 函數(shù)法

所謂函數(shù)法是指根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性（先構(gòu)造函數(shù)）證明不等式的方法，而所構(gòu)造 的函數(shù)必須是單調(diào)函數(shù)，解決這個問題的關(guān)鍵是建立初等函數(shù)模型與不等式的“外形”的對應關(guān)系。它適用于不等式兩邊有相同函數(shù)形式的不等式 9． 數(shù)學歸納法 x=Rsec?特別是當?時，tan?可取全體實數(shù)，所以tan?有代換任何通過（1）證明n取第一個值n?使命題成立（2）假設(shè)n=k(k?N*,k?n?)使命題成立，證明n=k+1時命題也成立。這種證明方法叫做數(shù)學歸納法。它適用于與正整數(shù)n有關(guān)得不等式等。

二.上述幾種方法在證明一道不等式中的應用 已知p>0, q>0,且p??q??? 求證：p+q≤2.證法一（綜合法）：?pp??q=2

?? ??????p??q??????q?=2 又?p>0,q>0 ????????????≥p+q ?p+q≤2 證法二（反證法）假設(shè)p+q>2,則p>2-q, ?p>0,q>0, p ?p???q??? ?q<2,即2-q>0

??(??q)??????q??q?(p???q，?? ?????q??q???q)?? 即?(q??)??

這與(q??)≥0矛盾。?假設(shè)不成立。?p+q≤2

p??q??(p?q)(p???pq?q)?(p?q)[(p?q)???? 證法三（放縮法）???(p?q)]????

(p?q)?(p?q)?? ?p>0,q>0 ?p+q≤2

? 證法四（判別式法）設(shè)p+q=a,則?p>0,q>0，?a>0 ?p ?p?q??p??q=2

??pq?q???(p?q)???pq

?p=a-q ?a??a???q(a?q)???a???aq??q?

??aq???aq?a???????(q系數(shù)3a>0)，? ?q?R ????a ?a(a????a(a????)??即??a????a≥0

??)?? ?a??(?a??)?p+q≤2 證法五（換元法）由已知p>0,q>0 設(shè)p=msin 則p??? q=mcos?m???(00)，??q?sin???m[???????sinsin???] ??)???m

? ?0

??m≤2,即p+q≤2 可以看出在這五種證明方法中綜合法和放縮法是比較簡單的方法，它們用較少的步驟就得到了不等式要證明的答案。由此可以看出對于同一道證明題，選取不同的方法，證明是簡單還是復雜會相應的改變，所以在做不等式的證明中如果能選取比較合適的證明方法，就可以提高解題速度，從而提高學習效率。

?q????

參考文獻：

龍門書局 《不等式》 主編 傅榮強

常用不等式—2004第3版 匡繼昌著 濟南山東科學技術(shù)出版社

不等式 嚴鎮(zhèn)軍 中國科學技術(shù)大學

第三篇：兩個常見不等式的證明及推廣

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兩個常見不等式的證明及推廣

作者：姬婷 魏春強

來源：《學園》2013年第13期

【摘 要】本文根據(jù)兩個常見不等式的證明和分析，引發(fā)聯(lián)想，進而推廣，得到命題1和命題2。

【關(guān)鍵詞】平均值不等式 冪平均不等式 推廣

【中圖分類號】O12 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2013）13-0016-01參考文獻

[1]陳傳理、張同君.競賽數(shù)學教程[M].北京：高等教育出版社，2004

〔責任編輯：龐遠燕〕

第四篇：關(guān)于兩個不等式證明的研究性學習

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關(guān)于兩個不等式證明的研究性學習

作者：王紅權(quán)

來源：《教學月刊·中學版（教學參考）》2014年第03期

高中數(shù)學選修課程是為希望提高數(shù)學素養(yǎng)的學生而設(shè)置的，其中所涉及的內(nèi)容反映了某些重要的數(shù)學思想和數(shù)學方法，有助于學生進一步打好數(shù)學基礎(chǔ)，拓展數(shù)學視野，提升數(shù)學能力，支持這部分學生的后繼學習.浙江省高中課程中的《IB選修模塊》是為考“第一批本科院?！钡膶W生而專門設(shè)計的，實際上選學數(shù)學IB模塊的學生數(shù)學基礎(chǔ)都比較好，因而數(shù)學IB模塊也是開展研究性學習的好素材.下面是筆者開設(shè)《不等式選講（選修4-5）》的一節(jié)研究性學習課，課堂上一波三折，筆者在驚嘆數(shù)學精美之余，也驚嘆數(shù)學課堂的精彩.參考文獻

[1] Pham Kim Hung.不等式的秘密（第一卷）[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2012.[2] 安振平.三十個有趣的不等式問題[J].中學數(shù)學教學參考，2011（11）.[3]安振平.2007 年全國中學數(shù)學教師解題基本功技能大賽[J].中學數(shù)學教學參考，2007.

第五篇：不等式證明

不等式證明

不等式是數(shù)學的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學分支的重要工具，在數(shù)學中有重要的地位，也是高中數(shù)學的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強，它不僅能夠檢驗學生數(shù)學基礎(chǔ)知識的掌握程度，而且是衡量學生數(shù)學水平的一個重要標志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因?qū)Ч?/p>

2.分析法：執(zhí)果索因。基本步驟：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側(cè)適當?shù)姆糯蠡蚩s小以達證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項，如：

2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題

化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。

6.構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式。

證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學歸納法仍是證明不等式的最基本方法。

7.數(shù)學歸納法：數(shù)學歸納法證明不等式在數(shù)學歸納法中專門研究。

8.幾何法：用數(shù)形結(jié)合來研究問題是數(shù)學中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來完成，若運用得好，有時則有神奇的功效。

9.函數(shù)法：引入一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)達到證明不等式的目的。

10.判別式法：利用二次函數(shù)的判別式的特點來證明一些不等式的方法。當a>0時，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。當a<0時，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數(shù)學中應用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結(jié)構(gòu)，便于進行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。

注意：在不等式的證明中運用換元法，能把高次變?yōu)榈痛危质阶優(yōu)檎?，無理式變?yōu)橛欣硎剑芎喕C明過程。尤其對含有若干個變元的齊次輪換式或輪換對稱式的不等式，通過換元變換形式以揭示內(nèi)容的實質(zhì)，可收到事半功倍之效。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個恰到好處進行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時要求我們具有相當?shù)臄?shù)學思維能力和一定的解題智慧。

3.幾何法

數(shù)形結(jié)合來研究問題是數(shù)學中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來完成，若運用得好，有時則有神奇的功效。