第一篇：輪換對(duì)稱不等式的證明技巧
輪換對(duì)稱不等式的證明技巧
輪換對(duì)稱不等式的證明技巧
上海市寶山區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院王鳳春
輪換對(duì)稱不等式形式優(yōu)美，證明技巧很多，但規(guī)律難尋。本文介紹利用基本不等式等號(hào)成立的條件湊項(xiàng)證明，只要領(lǐng)悟添項(xiàng)的技巧，這類不等式完全可以程式化證明，供參考。
一、湊項(xiàng)升冪法
例1 已知x,y,z?R?，且x?y?z?1，求證：4x?1?
4y?1?
4z?1?21
4x?1?
4y?1?
4z?1?37
分析：由于當(dāng)x?y?z?證明：因?yàn)??
4z?1?
73?
時(shí)，上述不等式的“=”成立，于是
?4x?1。
4x?1?，所以
4x?1?
(2x?5)，同理
4y?1?(2y?5)，(2z?5)，上述三式相加，并將x?y?z?1代入化簡(jiǎn)即得證。
二、湊項(xiàng)降冪法
例2 證明Cauchy不等式a12
?a2?????an?
(a1?a2?????an)
n
2n
證明：設(shè)a1?a2?????an?a即
a1
2a2
2an
2，則ai
?()n
a
?
2an
?
ai，所以?ai
i?1
?n?()
n
a
?
2an
n
?
i?1
ai，???????
(a1?a2?????an)
n
2。
三、湊項(xiàng)去分母法
例3 設(shè)x1,x2,???,xn是正數(shù)，且x1?x2?????xn?1，求證：
x1
x1?x2
?
x2
x2?x3
?????
xn?1xn?1?xn
?
xn
xn?x1
?
（1990年
題2）
證明：原不等式等價(jià)于
bc
a(b?c)
?
ca
b(c?a)
bc
?
ab
c(a?b)
?
32bc
當(dāng)a=b=c=1時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)
ca
a(b?c)?14
?a(b?c)，所以，a(b?c)
?
a(b?c)?bc，同理，b(c?a)bc
?
b(c?a)?caca，ab
c(a?b)12
c(a?b)?ab
32，上述三式相加并化簡(jiǎn)得
a(b?c)
?
b(c?a)
?
ab
c(a?b)
?(ab?bc?ca)?
ab?bc?ca?
例5 設(shè)角A、B、C滿足cos求證：
sin
1A?cos
?9
2B?cos
C?1
?A
sin
?B
sin
A?sin
C
分析：原條件等價(jià)于sin2A?sin2B?sin2C?2，當(dāng)sin2
1sin
B?sinC?
時(shí)等號(hào)成立，于是
?A
9sin
A
?3，sin
?B
9sin
B
?3，sin
?C
9sin
C
?3
上述三式相加并化簡(jiǎn)得證，證明略。
四、湊項(xiàng)平衡系數(shù)法
例6 設(shè)z>0，z?x?y，則x2分析：當(dāng)x=y=證明：因?yàn)?/p>
x
x
?y
?z
?
(yz?zx?xy)。
z2
時(shí)等號(hào)成立。，6525
y
z2
?()?xz2z2
?()?yz，32
(x
?y)?3xy
①，將上述三式相加并化簡(jiǎn)得，?y
?
z
?
(xz?yz)?
xy
②
65xy?
z(x?y)?
(xz?yz)?
65xy
所以，x2即x?y
?y
?z
?
z
?(xz?yz)?
?z?
(yz?zx?xy)。
注：只有①式的系數(shù)湊成，②式中xy的系數(shù)才能是。
上述各種湊項(xiàng)方法不是相對(duì)獨(dú)立的，可以交替使用，但湊項(xiàng)的關(guān)鍵是在求和時(shí)能利用已知條件，并能取到等號(hào)。
注：本文發(fā)表于《上海中學(xué)數(shù)學(xué)》2003年第6期
第二篇：關(guān)于對(duì)稱不等式的證明
有關(guān)對(duì)稱不等式的證明
四川省資陽(yáng)中學(xué)黃學(xué)文
關(guān)于對(duì)稱不等式（任意互換兩個(gè)字母，不等式不變）的證明，常見的方法除了有比較法，分析法，綜合法，反證法外，還可以運(yùn)用構(gòu)造法，輪換法等方法證明，下面舉列說(shuō)明。一構(gòu)造法
1、構(gòu)造函數(shù)
例1 設(shè) 0 1證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)= x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)，整理，得f(x)=(1-y-z)x+(y+z-yz)因?yàn)? (1)當(dāng)0<1-y-z<1時(shí)，f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，于是f(x)<1-yz<1； (2)當(dāng)-1<1-y-z<0 時(shí)，f(x)在(0,1)上是減函數(shù)，于是f(x) (3)當(dāng)1-y-z=0，即 y+z=1時(shí)，于是f(x)=y+z-yz=1-yz<1，所以原不等式成立。 2、構(gòu)造向量 例2 正實(shí)數(shù)a、b、c，滿足a+b+c=1，求 2證:1?3a?1?3b??3c?6 223,23) 證明：設(shè)m=（2?3a,2 ?3b,?3c), n=（22 3,222 則m·n=3(1?3a+?3b+?3c)? 2?3a?1?3b?1?3c= 222 2· 3?3(a?b?c)??3a? 222 2· 3? 3(a?b?c) 3=2 所以 ?3b ??3c?6 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=3時(shí)，等號(hào)成立。構(gòu)造復(fù)數(shù) 例3 設(shè)0 a?(1?b) 求證:a?b++ (1?a)?b + (1?a)?(1?b) ? 證明：構(gòu)造復(fù)數(shù)Z1 =a+biZ2 =a+(1-b)iZ3 =(1-a)+biZ4=(1-a)+(1-b)i 用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，得左邊=z1+z2+z3+z4?z1?z2?z3?z4=2?2i=22 所以原不等式成立。 二輪換法 例4a、b、c?R+,求證:證明：因?yàn)?/p> 12a ?12b ? 212a ?12b 12a ?12b ?12c ? 1a?b ? 1b?c12a ??12b 1c?a? 2a?b ? 1ab ? 2a?b 所以 同理可得所以 12a ? 12b12b ?? 12c12c ?? 2b?c1a?b, ? 12c 1? 12a? ?1 2c?a b?cc?a a?b?C 所以原不等式得證。 例5已知a、b、c?R+，求證:abcab證明：設(shè)a?b?c,則 abab ba ba abcab? (abc) a?a-b?=?1 ???b? 所以aabb?abba 同理可得aabb?bccb,ccaa?caac三式相乘，得(aabbcc)2?ab+cba+cca+b 從而得(aabbcc)3?(abc)a+b+c所以原不等式成立。 三、換元法 x 例6 求證：y?z ? yz?x ? zx?y ? 2(其中x、y、z均為正數(shù)) 證明：設(shè)y+z=2a、z+x=2b、x+y=2c, 則x=b+c-a、y=c+a-b、z=a+b-c 因?yàn)閍、b、c>0,得左邊= b?c?a2a ? c?a?b2b ? a?b?c2c ?（b2a ?a2b)?（c2b ?b2c)?（a2c?c2a)? 32?1?1?1? 32? 右邊。所以原不等式得證。 例7 已知a、b?R，且a+b=1求證:(a+2)2+(b+2)2? 證明：設(shè)a= 12?t, b=1 212 ?t(t?R) 252 則(a+2)2+(b+2)2=(+t+2)2+(-t+2)2=(t+)2+(t-)2=2t2+ 55252 ? 252 當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)，等號(hào)成立。四放縮法 例8a、b是正實(shí)數(shù)，且a+b=1求證:a?1 ? 1b?1 ? 1?ba?1?b ? 1?ab?1?a ? 2?a?ba?b?1 ? 1b?132 ? 證明: a?1 ? 所以原不等式得證。 不等式的證明 一、常用方法： 作差、作商法；分析、綜合法；換元法；構(gòu)造函數(shù)法；反證法；放縮法；歸納法； （分析綜合法）已知a?0,b?0,2c?a?b,求證：c?c2?ab?a?c?c2?ab.二、不等式證明中常用技巧： 1(x?1)的值域。1.加減常數(shù) 求函數(shù)y?x?x?112.巧變常數(shù) 已知0?x?，求函數(shù)y＝x（1－2x）的最大值。 25x2?3x?33.分離常數(shù) 已知x?，求f(x)?的最值。 22x?44.巧用常數(shù) 若x,y?R?且滿足 ?416??1，求x＋y的最小值。xy11?)的最小值。a?bc5.統(tǒng)一形式 已知a,b,c?R，求(a?b?c)(證：a2?b2?c2?ab?bc?ac..6.輪換對(duì)稱 若a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù)，求7.重要不等式 a?b?0,求證：a?216?16 b(a?b)8.逆向運(yùn)用公式型已知a,b?R,且a?b?1,求證：a??11?b??2.22a?b1111（提示：將a?，b?轉(zhuǎn)換成1?a?，）1?b?然后運(yùn)用公式ab?22222如何巧用常數(shù)： 111.若a?0,b?0,且a?2b?1,則??3?22.ab1112.已知a,b,c?R?,且a?b?c?1,求證：???9.abc?1??1?3.已知a,b?R?,且a?b?1,求證：?1???1???9.?a??b?1已知x,y,z均為正數(shù)，且x?y?z?1，則x2?y2?z2?.4.3 5.已知x,y,z均為正數(shù)，求證：a?b?c?3.b?cc?aa?b2?a??b??c??a?b?c??b?c?a??c?a?b??1??1??1????????????????b?c??c?a??a?b??b?c??c?a??a?b?11?111?9?1?1?(a?b?c)????(b?c)?(c?a)???????(a?b）??.b?cc?aa?b2b?cc?aa?b????2不等式證明中的放縮法 1111????1.1.已知n?N*，且n?2，求證：??2nn?12n2.已知n?N*，求證：1?222?332???nn2?3.kk2??1kk?222??kk?kk(k?1)k?kk?1k(k?1)(k?k?1)2(k?k?1)11?2(?（）k?2）.k(k?1)k?1k 3.設(shè)n∈N，求證： (2)引進(jìn)輔助式，設(shè) 比較兩式的對(duì)應(yīng)因式可知 《不等式的證明技巧》專題講座 不等式的證明從初中到高中都是一個(gè)令學(xué)生頭痛的一類數(shù)學(xué)問題。其實(shí)造成這一現(xiàn)象的本質(zhì)是——在用基本不等式的性質(zhì)時(shí)，放大與縮小的范圍較難把握。這一“放大與縮小”的原理是基于小學(xué)奧數(shù)的“估值法”的應(yīng)用關(guān)鍵。這時(shí)學(xué)過(guò)小學(xué)奧數(shù)的學(xué)生就有一點(diǎn)點(diǎn)優(yōu)勢(shì)了。 既然用不等式的性質(zhì)證明的技巧性太強(qiáng)，那么換個(gè)思路，用其他駕輕就熟的方法不是可以避重就輕？所以我也不常用不等式的性質(zhì)來(lái)證明不等式的題目。 證明不等式的常用方法： 1、二次函數(shù)。利用最值求解。 2、三角函數(shù)。利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性求解。 3、向量。利用向量:a·b＝| a|·|b |cosA,即a·b≥| a|·|b |cosA求解。 4、幾何法。利用立體幾何與平面幾何知識(shí)求解。 方法不一而足。其本質(zhì)是限制所要證明的代數(shù)式的范圍。 例6 求證： (2)若a＞b＞c＞0，d＞c，ac＞bd，則a+c＞b+d。解(1)因x+y+z=1，故可設(shè) 其中t1+t2+t3=0，于是 (2)因a＞b，d＞c，故可設(shè)a=b+t1，d=c+t2，其中t1＞0，t2＞ ∴(a+c)-(b+d)=(a-b)-(d-c)=t1-t2＞0 ∴a+c＞b+d 注 ①用n個(gè)數(shù)的平均數(shù)與適當(dāng)參數(shù)來(lái)表示這n個(gè)數(shù)的代換通常稱為均值代換，如(1)中施行的代換。這種代換的特點(diǎn)是利用對(duì)稱性可使運(yùn) 數(shù)組，不能保證由上述代換而得到。如x=y=0，z=1就不存在對(duì)應(yīng)的t值。②當(dāng)a＞b時(shí)，令a=b+t(t＞0)，其中t是a用b表示時(shí)引進(jìn)的增量。這種代換通常稱為增量代換。它的特點(diǎn)是把條件中的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為相等系，使得變形過(guò)程簡(jiǎn)化。例7 求證： 解(1)由a＞0，b＞0，a+2b=1，可設(shè) 則有 (2)因a＞b＞0，且(a-b)+b=a，故可設(shè) 這時(shí)，原不等式等價(jià)于 故只須證明 這個(gè)不等式顯然成立。事實(shí)上，因?yàn)?＜cosθ＜1，0＜sinθ＜1又 故原不等式得證。 注 代數(shù)問題三角化，往往可充分利用三角函數(shù)的特有性質(zhì)，使較為復(fù)雜的問題得以簡(jiǎn)化，從而獲得簡(jiǎn)捷解法。 例8 求證： (1)|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，則abc+2＞a+b+c；(2)ai，bi∈R(i=1，2，3)，且ai≠0，則(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(a12+a22+a32+)(b12+b22+b32)當(dāng)且僅當(dāng)bi=λai時(shí)取等號(hào)。解(1)原不等式等價(jià)于(bc-1)a+(2-b-c)＞0 構(gòu)造一次函數(shù) f(x)=(bc-1)x+(2-b-c)(-1＜x＜1)則 f(-1)=(1-bc)+(1-b)+(1-c)＞0 f(1)=bc-1+2-b-c=(1-b)(1-c)＞0 于是，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性，f(x)在區(qū)間[-1，1]上恒大于0。而a∈(-1，1)，故f(a)＞0，即(bc-1)a-b-c+2＞0。所以 abc+2＞a+b+c(2)構(gòu)造二次函數(shù) f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+(a3x+b3)2 (當(dāng)且僅當(dāng)bi=λai，λ∈R時(shí)取等號(hào))所以 注 函數(shù)思想是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想，應(yīng)用廣泛。在不等式證明中，若能要據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，則可充分利用函數(shù)的性質(zhì)，使問題簡(jiǎn)明。(2)中不等式及其證明可推廣到一般情形：若ai，bi∈R(i∈1，2，?n)，且ai≠0，則 (a1b1+?+anbn)2≤(a12+?+an2)·(b12+?+bn2)這就是著名的柯西不等式?？挛鞑坏仁讲粌H應(yīng)用廣泛，而且它的證明方法，即構(gòu)造二次函數(shù)并通過(guò)其判別式證明不等式的方法，堪稱構(gòu)造法的典范。 例9 設(shè)n∈N，求證： 解(1)采取逐項(xiàng)放縮的方法。由于 令1，2，?，n，則有 ???????? 依項(xiàng)相加，即得 (2)設(shè) 并引進(jìn)輔助式 比較兩式的對(duì)應(yīng)因式可知 注 用放縮法證不等式，常通過(guò)拆項(xiàng)、分組、加強(qiáng)命題等方式進(jìn)行。此法沒有固定模式，關(guān)鍵在于放縮要適度。放得過(guò)寬或縮得太小，都會(huì)導(dǎo)致方法失效。 練習(xí)： 1、已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求證： 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)右邊取等號(hào)。 2、已知2x+3y=1,求x2+y2的最大值。 用向量的方法是：構(gòu)造向量（x,y）,(2,3)即可。以后有機(jī)會(huì)，繼續(xù)這方面的探討。 3、請(qǐng)教兩道對(duì)稱不等式的證明(1)a,b,c,d為正數(shù),證明 (2)對(duì)實(shí)數(shù)a,b,c,證明 歡迎光臨《嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地》 Http://004km.cn 不等式證明的技巧 知識(shí)與方法 證明不等式的方法很多，技巧性強(qiáng)；如較低要求的，在所證不等式兩端同乘以一個(gè)常數(shù)；1的代換；利用函數(shù)的單調(diào)性，等等。不等式證明的技巧，本人的理解有如下三個(gè)方面： 一．基本技巧 我認(rèn)為不等式的證明的基本思想和技巧是通過(guò)“放大和縮小”的思想和方法，對(duì)兩個(gè)數(shù)、兩個(gè)量、兩個(gè)式的值的大小關(guān)系的“確定”過(guò)程，這種大小關(guān)系的確定一般有比較法、分析法、綜合法三種基本方法。二．構(gòu)造法 1．構(gòu)造重要不等式的結(jié)構(gòu)，再利用相關(guān)的重要不等式來(lái)證明不等式。 2．構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)來(lái)證明不等式。 3．構(gòu)造圖形，利用幾何知識(shí)來(lái)證明不等式。三．轉(zhuǎn)化法 1．反證法 2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法 3．變量代換法 4．從“特殊”到“一般”的轉(zhuǎn)化方法 5．以“直”代“曲”的轉(zhuǎn)化方法 6．“整體”與“部分”合理巧妙轉(zhuǎn)化 范例選講 例1 已知0?x?1，求證：|loga(1?x)|?|loga(1?x)|.分析 因所證不等式兩端是同底的對(duì)數(shù)、單項(xiàng)式，故“作差比較”、“作商比較”均可以。 解（作差比較） （1）當(dāng)0?a?1時(shí)，因0?x?1，所以 |loga(1?x)|?|loga(1?x)|?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x2)?0.（2）當(dāng)a?1時(shí)，因0?x?1，所以 |loga(1?x)|?|loga(1?x)|??loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x2)?0.綜合以上可知，所證不等式成立。 （作商比較） 因0?x?1，所以|loga(1?x)|?0，|loga(1?x)|?0，嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地資料 Http://004km.cn 歡迎光臨《嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地》 Http://004km.cn |loga(1?x)|1?|log(1?x)(1?x)|??log(1?x)(1?x)?log(1?x)?log(1?x)(1?x)?1 |loga(1?x)|1?x 所以，|loga(1?x)|?|loga(1?x)|.評(píng)注 本題雖是一道很簡(jiǎn)單的不等式證明題，也顯示出了證明不等式的技巧性：合理選擇方法，可以回避討論。例2 實(shí)數(shù)a1,a2,???,an(n?3)滿足a1?a2?????an?n，且a1?a2?????an?n2.求證：max{a1,a2,a3,???,an}?2.分析 這是一道美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，直接證明比較困難，因此，可考慮運(yùn)用反證法證明。 解 設(shè)a1,a2,???,an中有i個(gè)非負(fù)數(shù)，記為x1,x2,???,xi，有j個(gè)負(fù)數(shù)，記為 ?y1,?y2,???,?yj(y1,y2,???,yj?0)，其中i?0,j?0，且i?j?n.不妨設(shè)max{a1,a2,a3,???,an}?2，即max{x1,x2,x3,???,xi}?2.因x1?x2?????xi?n?y1?y2?????yi，又max{x1,x2,x3,???,xi}?2，y1,y2,???,yj?0.則2i?x1?x2?????xi?n?y1?y2?????yi?i?j?y1?y2?????yj,所以i?j?y1?y2?????yj.因?yàn)?x1?x2?????xi?(?y1)2?(?y2)2?????(?yj)2)?n2,所以 x1?x2?????xi?n2?(y1?y2?????yj).又因?yàn)?max{x1,x2,x3,???,xi}?2，y1,y2,???,yj?0，所以 4i?x1?x2?????xi?n2?(y1?y2?????yj)?n2?(i?j) 2?(i?j)?(i?j)?4ij.因 i?0，故j?1，且j?0，則j?0.所以a1,a2,???,an都為非負(fù)數(shù).即4n?a1?a2?????an?n2,因而n?4，這與n?3相矛盾，即假設(shè)不成立，所證結(jié)論：max{a1,a2,a3,???,an}?2成立.嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地資料 Http://004km.cn ***22222222歡迎光臨《嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地》 Http://004km.cn 評(píng)注 反證法的實(shí)質(zhì)是從否定結(jié)論出發(fā)，通過(guò)邏輯推理，導(dǎo)出矛盾。運(yùn)用“正難則反”的策略，是證明不等式中常見技巧。 例3 平面上給定一個(gè)由有限多條線段組成的集合，線段總長(zhǎng)為1.證明：存在一條直線l，使得已給線段在l上的射影之和小于 2?.分析 可將給定的線段排序，再通過(guò)中心對(duì)稱構(gòu)造一個(gè)周長(zhǎng)為2的凸多邊形。 解 證明：取一條不與已給線段垂直的直線作x軸，將所給線段按照斜率的大小排成一列： 非負(fù)的下角標(biāo)則表示斜率非l?n,l?n?1,???,l?1,???,lm（其中負(fù)的下角標(biāo)表示該線段的斜率為負(fù)，負(fù)）。經(jīng)過(guò)平移可以將這些線段按照上面的次序一個(gè)接一個(gè)地首尾相連形成一條凸折線。設(shè)端點(diǎn)為A、B，AB中點(diǎn)為O。關(guān)于O作中心對(duì)稱，產(chǎn)生一個(gè)凸多邊形（包括退化為直線段），周長(zhǎng)為2，每一條邊與對(duì)應(yīng)邊平行（或共線）。 這個(gè)多邊形的最小寬度，也就是各對(duì)平行邊之間的最小距離，設(shè)為d，以O(shè)為圓心，d為直徑的圓一定完全在多邊形內(nèi)，否則，設(shè)圓O與某條邊li相交于X，那么X關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)X?是圓O與對(duì)邊li?的交點(diǎn)，li與li?的距離小于XX?，即小于d，與d為最小寬度矛盾。 由于圓O的周長(zhǎng)為?d，所以?d?2，即d?2?，這是因?yàn)槊娣e一定的閉曲線中，以圓的周長(zhǎng)最小。 取直線l與距離最小的平行邊垂直，則各已知線段在l上的射影之和不超過(guò)d，也就小于2.? 評(píng)注 本題的解答過(guò)程中通過(guò)“排序----平移----中心對(duì)稱”等方法上的處理使所給線段呈現(xiàn)一種簡(jiǎn)單有序的易于估算的狀態(tài)，困難得以化解。這種通過(guò)對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等變換，以直代曲，將復(fù)雜的不等式化歸為基本不等式是一種重要的技巧。 2例4 設(shè)?ABC三邊長(zhǎng)為a,b,c，有不等式?(b?c)?1b?c(b?c)2,------① ?3a試證不等式①中的系數(shù) 分析 可將系數(shù) 1是最優(yōu)的.311一般化，設(shè)系數(shù)為k，再證明k的取值范圍是k?.33a?b2(a?b)2 證明 在不等式①中，取a?b，設(shè)???(a?b)?k?c ?(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?k[b?cc?aa?b(b?c)2?(c?a)2?(a?b)2] abc2b?c2k(b?c)21?k2(b?c)?[b()?c],令a?b，所以??2(b?c)?2kbbk嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地資料 Http://004km.cn 歡迎光臨《嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地》 Http://004km.cn 又因在?ABC中，三邊長(zhǎng)為a,b,c，取a?b，顯然有不等式2b?c?0,所以，要使??0，注意到k為正數(shù)，則須是成立的，故k?1?k1?2，即k?，但已證不等式①k31是不等式①的最優(yōu)值.評(píng)注 將“特殊”向“一般”轉(zhuǎn)化也是常見的技巧。 例5 設(shè)x,y,z?(0,??)，且xyz?1，證明 x3y3z33 ???.（1998年第39屆IMO預(yù)選試題）(1?y)(1?z)(1?x)(1?z)(1?x)(1?y)分析 可利用均值不等式構(gòu)造三個(gè)同向不等式相加來(lái)進(jìn)行證明，也可以將所證不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化。 證法一: 因x,y,z?(0,??)，所以 x31?y1?z3 ???x,① (1?y)(1?z)884y31?x1?z3 4???y,② (1?x)(1?z)884z31?x1?y3???z,③ (1?x)(1?y)884x3y3z3以上三式相加可得： ??(1?y)(1?z)(1?x)(1?z)(1?x)(1?y)? 上述不等式都是在x?y?z?1時(shí)取等號(hào).所以，當(dāng)且僅當(dāng)x?y?z?1時(shí)原不等式取等號(hào).證法二: 原不等式等價(jià)于 x?x?y?y?z?z?34343433113133(x?y?z)?(6?2x?2y?2z)?(x?y?z)???33xyz??.48242443(x?1)(y?1)(z?1).433 由于對(duì)任意正數(shù)a,b,c，有a?b?c?3abc，下面證明更強(qiáng)的不等式： x?x?y?y?z?z?4343431[(x?1)3?(y?1)3?(z?1)3] ④ 成立.4嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地資料 Http://004km.cn 歡迎光臨《嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地》 Http://004km.cn 設(shè)f(t)?t?t? 則f(t)? 431(t?1)3，g(t)?(t?1)(4t2?3t?1).41(t?1)g(t)，且g(t)在(0,??)上是嚴(yán)格遞增函數(shù)，因?yàn)?41x4?x3?y4?y3?z4?z3?[(x?1)3?(y?1)3?(z?1)3]?f(x)?f(y)?f(z) 411?(x?1)g(x)?(y?1)g(y)?(z?1)g(z).444111 只需證明(x?1)g(x)?(y?1)g(y)?(z?1)g(z)?0即可.444 其證明如下： 假設(shè)x?y?z，則g(x)?g(y)?g(z)?0.由xyz?1，得x?1，z?1.因(x?1)g(x)?(x?1)g(y)，(z?1)g(y)?(z?1)g(z)，111(x?1)g(x)?(y?1)g(y)?(z?1)g(z)44411 ?(x?y?z?3)g(y)?(33xyz?3)g(y)?0.44 所以 故原不等式成立.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x?y?z?1時(shí)成立.評(píng)注 證法1利用均值不等式進(jìn)行證明，顯得簡(jiǎn)潔、清晰；證法2是將所證不等轉(zhuǎn)化為更強(qiáng)的不等式，再進(jìn)行證明。 例6 已知x,y,z?(0,??)，且x?y?z?1，證明：xy?yz?zx? 分析 因xy?yz?zx是關(guān)于x,y,z的輪換對(duì)稱式。 證明 設(shè)x?max{x,y,z}，又因x,y,z?(0,??)，則xy?yz?zx?xy?xyz?zx?x(xy?yz?z)2222222222224成立的條件.2711z(z?x)]?x(x?z)(2y?z)221x?(x?z)?(2y?z)34]? ?[.232721不等式等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x?,y?,z?0或x?0,y?,z?或 333312x?,y?0,z?時(shí)成立.3 ?x[y(x?z)? 評(píng)注 對(duì)于“輪換對(duì)稱式”，不能將其中的變量排序；有時(shí)只能找到一個(gè)最小字母作“弱”排序。 嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地資料 Http://004km.cn 歡迎光臨《嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地》 Http://004km.cn 例7 設(shè)a,b,c?(0,??)，且滿足abc?1，試證： 1113???.a3(b?c)b3(c?a)c3(a?b)2b2c2c2a2a2b23 分析 由已知條件abc?1，可知所證不等式與???等價(jià).a(b?c)b(c?a)c(a?b)2 故可運(yùn)用“含參數(shù)基本不等式”來(lái)證明之.a2?2?a??2b.證明 由a?(?b)?2ab?（?為參數(shù)），得b22 (bc)2 則有?2?bc??2a(b?c),① a(b?c)(ca)2 ?2?ca??2b(c?a),② b(c?a)(ab)2?2?ab??2c(a?b).③ c(a?b)①+②+③，得 (bc)2(ca)2(ab)2 ???2?(ab?bc?ca)?2?2(ab?bc?ca) a(b?c)b(c?a)c(a?b) ?2(ab?bc?ca)(???).④ 因ab?bc?ca?33(abc)?3，取??21，代入④中，得 2(bc)2(ca)2(ab)213 ???2?3??.a(b?c)b(c?a)c(a?b)42評(píng)注 本題是先將所證不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，再運(yùn)用“含參數(shù)基本不等式”進(jìn)行證明，當(dāng)然也可利用柯西不等式進(jìn)行證明，還可以直接利用基本不等式來(lái)證明。 例8（1）設(shè)x1,x2,???,xn,y1,y2,???,yn?(0,??)，滿足： （a）0?x1y1?x2y2?????xnyn; （b）x1?x2?????xk?y1?y2?????yk,k?{1,2,???n}, 嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地資料 Http://004km.cn 歡迎光臨《嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地》 Http://004km.cn 證明：1x?1?????1?1?1?????1.1x2xny1y2yn （2）設(shè)A?{a1,a2,???,an}?N，對(duì)所有不同的子集B,C?A，有 ?x??x，證明： 1x?Bx?a?1?????1?2.C1a2an 分析 可運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。 證明 （1）當(dāng)n?1時(shí)，x1?y11?0,x?1;1y1 當(dāng)n?2時(shí)，x1?x2?y1?y2，x1?y1?y2?x2，則 11x1?y1y2y?x???x2?1?1, 11x1y1x2y2x2y2 所以 1x?1?1?1.1x2y1y2 假設(shè)n?k時(shí)命題成立.那么，當(dāng)n?k?1時(shí)，設(shè)yi?xi?ai(i?1,2,???k?1)，由條件a1?0，a1?a2?0,???,a1?a2?????ak?0，a1?a2?????ak?1?0，有 a1xy?a2?????ak?0.11x2y2xkyk 下面用反證法證明以上結(jié)論.假設(shè) a1x?a2x?????aky?0，則 1y12y2xkk0?a1aak?x?a2?????k?1 1y1x2y2xkykxk?1yk?1 ?a1?a2?????aka?a2?????akx?1 1y1x2y2xkykxk?1yk?1 ?(a11?a2?????ak)(xy?1y)+(a111?a2?????ak?1)(?)kkxk?1k?1xk?1yk?1xkyk嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地資料 Http://004km.cn 有 歡迎光臨《嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地》 Http://004km.cn +(a1?a2?????ak?2)(1111?)?????(a1?a2)(?) x2y2x3y3xk?2yk?2xk?1yk?1 ?a1(11?)?0, 矛盾.x1y1x2y2 所以，當(dāng)n?k?1時(shí)，原不等式成立.（2）對(duì)于集合A?{1,2,4,8,16,???,2n?1}，滿足對(duì)?B?C,B,C?A，有 11111????????2??2.，且x?x??n?1n?112422x?Bx?C 對(duì)所有A??{a1,a2,???,an}?N，不妨設(shè)a1?a2?????an.令a1?1（否則將ai都減去一個(gè)數(shù)，使a1?1），又使設(shè)A?中從第k個(gè)數(shù)開始，ak?2k?1(k?1,2,???,n)，則ak?1,2,???,2k?1?1,于是ak?2k?1，那么 ak?1?ak?(1?2?????2k?2)?2k?1?1?(1?2?????2k?2)?2k, 以此類推，則 111111?????????????n?1?2.2a1a2an12 評(píng)注 歸納法證明問題時(shí)，有時(shí)在第二步由n?k（或n?k）去推證n?k?1時(shí)，要用到反證法，或分析法。另外，本題的第（2）小題用到了“調(diào)整法”。 訓(xùn)練題 12．已知an?1?111??????(n?N*).23n試證：當(dāng) n?2時(shí)，an?2(aa2a31??????n)?.23nn2證明：（1）當(dāng)n?2時(shí)，左邊=a2?(1? a1291312)?;右邊=a2?2?2????2;2422229?2，所以，所證不等式成立.42 （2）假設(shè)n?k(k?2)時(shí)不等式成立，即ak?2(aa2a31??????k)?成立.23kk嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地資料 Http://004km.cn 歡迎光臨《嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地》 Http://004km.cn 當(dāng)n?k?1時(shí)，ak?1?(ak?22a1212)?ak?k?2k?1k?1(k?1)2(ak?1?1)1k?1? 2k?1(k?1) ?2(aa2a31??????k)??23kk?2(aaa2a311 ??????k?k?1)??223kk?1k(k?1)akak?1a2a3k2?k?1 ?2(???????)?223kk?1k(k?1) akak?1a2a3akak?1a2a31k2?k?2(???????)?, ?2(???????)?223kk?1k?123kk?1k(k?1) 所以，當(dāng)n?k?1時(shí)，不等式也成立.由（1）、（2）可知，當(dāng)n?N,n?2時(shí)，所證不等式成立.2．對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,z，試證：1?1921?192(x?y2?9z2)?xy?2xz?3yz?(x?y2?9z2).66 證明：當(dāng)x?y?z時(shí)，所證不等式顯然成立.當(dāng)x,y,z不全為零時(shí)，x?y?9z?0, 將所證不等式可變形為 221?19xy?2xz?3yz1?19?2?.2266x?y?9zxy?2xz?3yz?k ① 222x?y?9z 令 ①式中的x,y,z均可取一切實(shí)數(shù)（x,y,z不同時(shí)為零即可）.不妨取變量z作為考查對(duì)象.（1）當(dāng)z?0時(shí)，k?xy|xy|122?,即，由，得x?y?2|xy|x2?y2x2?y22?11?k?.22222 （2）當(dāng)z?0時(shí)，將①式整理，得kx?(y?2z)x?k(y?9z)?3yz?0，k可以為0，當(dāng)k?0時(shí)，不等式顯然成立； 嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地資料 Http://004km.cn 歡迎光臨《嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地》 Http://004km.cn 當(dāng)k?0時(shí)，因x?R，???0，即??0或??0.由??0得??(y?2z)2?4k(ky2?9kz2?3yz) ?(1?4k2)y2?(4z?12kz)y?4z2(1?9k2)?0.1時(shí)，不等式顯然成立； 2 1當(dāng)k??時(shí)，?y?R,????0.當(dāng)k?? ???(4z?12kz)2?4(1?4k2)4z2(1?9k2)?0.即16z2[(1?3k)2?(1?4k2)(1?3k)(1?3k)]?0, ?16z2?0,?(1?3k)2?(1?4k2)(1?3k)(1?3k)]?0 即(1?3k)k(k?1?191?191?191)(k?)?0.解得：?k??，或66630?k?1?19.6 同理，由??0，得(1?4k2)y2?(4z?12kz)y?4z2(1?9k2)?0，對(duì)任意實(shí) 2??1?4k?0,數(shù)y都滿足的充要條件是：?2222??????(4z?12kz)?4(1?4k)4z(1?9k)?0.解得?1?k?0.3 綜合以上，可得k的取值范圍是： 1?191?19?k?.66 由此可得1?19xy?2xz?3yz1?19?2?.即所證不等式成立.2266x?y?9z 說(shuō)明：“雙判別式法”可以解決： q(k1x2?k2y2?k3z2)?axy?bxz?cyz?p(k1x2?k2y2?k3z2)(ki?0,i?1,2,3)的三元二次齊次不等式的證明問題.BC內(nèi)一點(diǎn)O引三邊的平行線，DE//BC，F(xiàn)G//CA，HI//AB，點(diǎn)D、E、F、3．過(guò)?AG、H、I都在?ABC的邊上，S1表示六邊形DEFGHI的面積，S2表示?ABC的面嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地資料 Http://004km.cn 歡迎光臨《嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地》 Http://004km.cn 積.求證：S1?2S2.3S2S2，只須證明S?AGH?S?DBI?S?EFC?2.注33S2.① 3 證明：欲證S1?意到平行四邊形AGOH、BIOD、CEOF，故命題的解決只在于能證明：S?OIF?S?OEH?S?OGD?設(shè)BC?a,CA?b,AB?c,IF?x,EH?y,GD?z，那么①式等價(jià)于 x2y2z21?2?2?.② 23abc依題設(shè)，有OE?CF，從而所以，yOECFzBI??,同理?.baacaxyzIF?CF?BI????1.③ abcax2y2z21xyz21由柯西不等式有，2?2?2?（??)?.3abc3abc故②式成立，命題成立。 4．已知a,b,c?(0,??)，且a?b?c?1，求證： a(3a?1)b(3b?1)c(3c?1)???0.1?a21?b21?c2x 證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)?，易知f(x)在(0,1)上為增函數(shù)，所以對(duì)任意21?x x?(0,1)，有 (x?)(1x3x(3x?1)3?)?0?(3x?1),，則31?x210101?x2 再分別令x?a,b,c，代入上式，相加得 5．已知a,b,c?(0,??)，且abc?1，a(3a?1)b(3b?1)c(3c?1)3???[3(a?b?c)?3]?0.222101?a1?b1?c證明：(a?b)(b?c)(c?a)?4(a?b?c?1).嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地資料 Http://004km.cn 歡迎光臨《嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地》 Http://004km.cn 證明：不妨設(shè) a?1，①式等價(jià)于a2(b?c)?b2(a?c)?c2(a?b)?6?4(a?b?c)，即(a2?1)(b?c)?(b2?1)(a?c)?(c2?1)(a?b)?6?4a?3(b?c).因(a?1)(b?c)?4abc?4，只須證明： 4(a?1)?b2(a?c)?c2(a?b)?6?4a?3(b?c),即證：2?a(b2?c2)?(3?bc)(b?c)?0 ② 因2(b2?c2)?(b?c)2, 對(duì)于②式，只須證明： a(b?c)2?(3?bc)(b?c)?0.③ 2 把③左邊看作b?c的二次函數(shù)，判別式??(3?bc)2?4a.即證(3?bc)?4a?0，即證：(3?212)?4a.a 即4a3?9a2?6a?1?0, 分解因式可得(a?1)2(4a?1)?0，此不等式顯然成立.所以③式成立，即原不等式成立.嘉興市高中數(shù)學(xué)學(xué)科基地資料 Http://004km.cn第三篇：不等式證明常用技巧總結(jié)
第四篇：《不等式的證明技巧》專題講座
第五篇：不等式證明的技巧
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