第一篇：5高三第一輪復(fù)習(xí)——比較法、分析法、綜合法、換元法證明不等式

高三第一輪復(fù)習(xí)——比較法、分析法、綜合法與換元法證明不等式

1.比較法、分析法、綜合法證明不等式

“比較法”、“分析法”、“綜合法”是不等式的證明最基本的三種方法，是高考考查的重要思維方法，雖然證明不等式的方法靈活多樣，但都是圍繞這三種基本方法展開。

一.比較法（作差比較或作商比較）

1）作差比較法：要證不等式a?b?a?b?，只需證a?b?0?a?b?0?即可。其步驟為：作差、變形、判斷符號（正或負(fù)）、得出結(jié)論。

2）作商比較法：若b?0，要證不等式a?b，只需證

作商、變形、判斷與1的大小、得出結(jié)論。

222222例1.設(shè)a?b?c，求證：bc?ca?ab?bc?ca?ab aa?1，欲證a?b，需證?1。其步驟為：bb

證：bc2?ca2?ab2?b2c?c2a?a2b??c?b?a2?b2?c2a?bc2?b2c ??????

??c?b?[a2??b?c?a?bc] ??c?b??a?b??a?c?

?a?b?c,?c?b?0,a?b?0,a?c?0，故?c?b??a?b??a?c??0，即bc?ca?ab?bc?ca?ab 22222

2【評注】用比較法證明不等式的關(guān)鍵是變形，變形的目的為了第三步判斷服務(wù)，作差變形的方向主要是因式分解和配方。作商比較法在證明冪、指數(shù)不等式中經(jīng)常用到，同時(shí)應(yīng)注意作商法時(shí)除式的正負(fù)。

二.分析法

從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明這個(gè)不等式的問題轉(zhuǎn)化為判斷這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件已具備，那么就可以斷定所證不等式成立。

2?a?b?例2．已知a?b?0，求證：8a?a?b? a?b??ab?28b

222?a?b?證：要證8a?a?b? a?b??ab?28b

2?a?b?只需證8a?a?b

2?22?a?b?，?8b

?a?b?0，?只需證a?b

22a?a?2?a?b

22b，即a?b

2a?1?a?2 欲證a?b

2a?1，只需證a??2a，即?a顯然成立。

欲證a?b

22a?1，只需證a??2，即b?a顯然成立。a?2?a?b?1?成立，且以上各步都可逆，故原不等式成立。

【評注】分析法是“執(zhí)果索因”，重在對命題成立條件的探索，不要把“逆求”錯(cuò)誤地作為“逆推”，分析法的過程僅需尋求充分條件即可，而不是充要條件。敘述雖繁鎖，但也要注意書寫的嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范，“要證”、“只需證”這樣的連接關(guān)鍵詞不可缺少。

三.綜合法

它是一種“由因執(zhí)果”的證明方法，即從一個(gè)已知或已證明的不等式出發(fā)，不斷地用必要條件替代前面的不等式，直到推出欲證的不等式。

例3.若a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：lg

證：要證lga?bb?cc?a?lg?lg?lga?lgb?lgc 222a?bb?cc?a?lg?lg?lga?lgb?lgc成立 22

2即證lg??a?bb?cc?a?????lg?abc?成立。222??

a?bb?cc?a???abc成立。222只需證

?a?bb?cc?a?ab?0,??0,?ca?0，222

a?bb?cc?a???abc?0成立（*）222?

又?a,b,c是不全相等的正數(shù)，?（*）式等號不成立，?原不等式成立。

【評注】綜合法實(shí)質(zhì)上是分析法的逆過程，在實(shí)際證題時(shí)，可將分析法、綜合法結(jié)合起來使用，即用分析法分析，用綜合法書寫。也可證明過程中即使用分析法，又結(jié)合綜合法來證明不等式成立。

2.換元法證明不等式

換元法是指對結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜、量與量之間關(guān)系不太直觀的命題，通過恰當(dāng)引入新的變量，來代換原命題中的部分式子，通過代換達(dá)到減元的目的，以達(dá)到簡化結(jié)構(gòu)、便于研究的形式。換元法在不等式的證明中應(yīng)用廣泛，常采用的方法有：（1）三角換元法、（2）均值換元法、（3）幾何換元法及（4）增量換元法。

一.三角換元法：

把代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決。

2222例1.已知a，b?R，且a?b?1，求證：a?2ab?b?

2證明：設(shè)a?rcos?，b?rsin?，其中r?1，??0，2?

2222222則a?2ab?b?rcos??2rsin?cos??rsin? ??

?r2cos2??r2sin2?

????2rsin?2????24??2

?a2?2ab?b2?2，原不等式得證。

2.均值換元法：

使用均值換元法能達(dá)到減元的目的，使證明更加簡捷直觀有效。

例2.已知a，b?R且a?b?1，求證：?a?2???b?2??2225 2

證明：因?yàn)閍，b?R且a?b?1，所以設(shè)a?

211?t，b??t(t?R)222

則：?a?2???b?2?22?1??1????t?2????t?2? ?2??2?

22?5??5????t????t?2??2??

2525??2t2?22

即?a?b???b?2??

3.幾何換元法：

在△ABC中，AB?c，BC?a，CA?b，內(nèi)切圓交AB、BC、CA分別于D、E、F，如圖，則可設(shè)a?x?y，b?y?z，c?z?x，其中x?0，y?0，z?0。幾何換元法能達(dá)到利用等式反映出三角形任意兩邊之和大于第三邊的不等關(guān)系的功效。2225，原不等式得證。2

例3.設(shè)a，b，c為三角形三邊，求證：abc???3 b?c?aa?c?ba?b?c證明：設(shè)a?x?y，b?y?z，c?z?x，其中x，y，z?0

則abcx?yy?zz?x?? ???b?c?aa?c?ba?b?c2z2x2y

?1??xz??yz??yx??????????????? ????2??zx??xy??xy??

1?xzyzyx??2?2?2??3 2?zyxy??zx??

原不等式得證。

4.增量換元法：

若一變量在某一常量附近變化時(shí)，可設(shè)這一變量為該常量加上另一個(gè)變量。例4.已知a?2，b?2，求證：a?b?ab

證明：設(shè)a?2?m，b?2?n，顯然m?0，n?0

則a?b?ab?2?m?2?n??2?m??2?n?

?4?m?n?4?2m?2n?mn ??m?n?mn?0

故a?b?ab

第二篇：比較法、分析法、綜合法、換元法證明不等式

2a ?b?? ??1?1a?b

2??a2 ?b2?2ab?? ??a2 ?b?1(a?b)2

2??2 2??a?b????整式形

式 ab??????2?? 22?a?b? ab???2? ??? ???a? b??ab???2 根式形式??22 b?a?2(a?b)??? ???b a分式形??2(a,b同號）? ab?1? ?0?a??2?a??a 倒數(shù)形式??1 ?a?0?a???2?a??

1.比較法、分析法、換元法

一.比較法（作差比較或作商比較）

1）作差比較法：要證不等式a?b?a?b?，只需證a?b?0?a?b?0?即可。其步驟為：作差、變形、判斷符號（正或負(fù)）、得出結(jié)論。

2）作商比較法：若b?0，要證不等式a?b，只需證

作商、變形、判斷與1的大小、得出結(jié)論。

222222例1.設(shè)a?b?c，求證：bc?ca?ab?bc?ca?ab aa?1，欲證a?b，需證?1。其步驟為：bb

22例2（1）證明不等式a?b?ab?a?b?

1abba（2）若a>b>0，求證：ab?ab

b?a

2??a?bb（3）若a>b>0，求證：a

二.分析法

a3?b3a?b3?()22例2已知a>0，b>0，求證：

2222證法二由(a?b)?0，得a?2ab?b?0，a?ab?b?ab，2

∵a>0，b>0∴a+b>0，∴(a?b)(a?ab?b)?ab(a?b)，33223322∴a?b?ab?ab，3a?3b?3ab?3ab 22

∴4a?4b?a?3ab?3ab?b?(a?b)，333223

3a3?b3(a?b)3

?28∴，a3?b3a?b3?()22∴。

2?a?b?練習(xí)．1.已知a?b?0，求證：8a?a?b? a?b??ab?28b2

2.求證

a2?b2a?a?

均值不等式

例3已知a、b、c?R，且a+b+c=1。?

111(?1)?(?1)?(?1)?8bc求證：（1）a

（2）a?b?c?

例4設(shè)a、b、c、d?R，令?s?abcd???a?d?bb?c?ac?d?bd?a?c，求證：1

114??例5已知a>b>c，求證：a?bb?ca?c

2.均值換元法：

使用均值換元法能達(dá)到減元的目的，使證明更加簡捷直觀有效。例2.已知a，b?R且a?b?1，求證：?a?2???b?2??

2225 2

例3.設(shè)a，b，c為三角形三邊，求證：

4.增量換元法： abc???3 b?c?aa?c?ba?b?c

例4.已知a?2，b?2，求證：a?b?ab

第三篇：不等式的證明——比較法、綜合法、分析法

不等式的證明—比較法，綜合法，分析法 典型問題:

（一）比較法證明不等式

ama?mam??1,求證:1.已知a,b,m,n?R,且?bnb?n bn?

2.a,b,m,n?R

3.a?b??,求證：abm?n?bm?n1a2?ab?ab1?b2mnnm 21a20,求證:()21b2?()a?

3322a?b?0a?b?ab?ab4.已知，求證：

（二）綜合法證明不等式

?a,b,c?R1.設(shè),3332222222(a?b?c)?ab?ac?ba?bc?ca?cb?6abc.求證:

?a,b,c?R2.已知,且a?b?c?1,求證: 111???9(1)abc

124???18(2)abc

1?b)(1?c)(3)(1?a)(?8abc111(?1)?(?1)?(?1)?8(4)abc

（三）分析法證明不等式

1.證明：3?22?2?722x3?y3已知x?0，y?0x?y?2.a?b?0a?b?a?b 3.設(shè),求證:

4.若a,b,c三數(shù)均大于1,且ab=10,求證:logac?logbc?4lgc

41?a?b?.5.已知a?0,b?0,a?b,且a?b?a?b，求證：33322

6.實(shí)數(shù)a,b,c滿足a>b>c,且a+b+c=0,求證:

?a,b?R,2c?a?b,求證: 7.已知b?ac?3a.2

(1)c?ab c?ab?a?c?c?ab.?2(2)c?2222（a?b）a?b（a?b）??ab?8.已知a?0，b?0，a?b 8a28b9.已知a,b,c?R,且ab+bc+ca=1,abc???3(a?b?c)求證:bcacab

第四篇：怎樣用換元法證明不等式

怎樣用換元法證明不等式

陸世永

我們知道,無論在中學(xué),還是在大學(xué),不等式的證明都是一個(gè)難點(diǎn)。人們在證明不等式時(shí)創(chuàng)造了許多方法,其中有換元法。下面我們探索怎樣用換元法證明不等式。

所謂“換元法”就是根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征,選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q,從而化繁為簡,或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化,以便證題。其換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化,變得容易處理。

一、利用對稱性換元,化繁為簡

例1設(shè)a,b,c?R?,求證:abc??b?c?a???c?a?b???a?b?c?.分析:經(jīng)過觀察,我們發(fā)現(xiàn),把a(bǔ),b,c中的兩個(gè)互換,不等式不變,說明這是一個(gè)對稱不等式,如果我們令x?b?c?a,y?c?a?b,z?a?b?c,則原不等式可化為:

?x?y???y?z???z?x??8xyz.這是一個(gè)較簡單而且容易與已知不等式聯(lián)系的不等式,因而可以按上述換元證明不等式。

證明:令x?b?c?a,y?c?a?b,z?a?b?c,則

a?

?12?y?z?,b?12?x?z?,c?12?x?y?.?a,b,c?R,?當(dāng)xyz?0時(shí),有

?x?y???y?z???z?x??8xyz；

當(dāng)xyz?0時(shí),有x,y,z?R?(否則x,y,z中必有兩個(gè)不為正值,不妨設(shè)x?0, y?0,則c?0,這與c?0矛盾), 因此

yz?0,z?x?2zx?0, x?y?2xy?0,y?z?

2?x?y???y?z???z?x??8xyz,綜上所述,恒有

?x?y???y?z???z?x??8xyz,把x,y,z代入上式得:

abc??b?c?a???c?a?b???a?b?c?.例2設(shè)a,b,c?R,求證:

?a

?b?c

?a??

?b?c

?

??ab?bc?ca?

??

?a?b?c?2?a2

?b?c??ab?bc?ca?.?

分析:類似于例1,我們不難發(fā)現(xiàn),這也是一個(gè)對稱不等式,因此可考慮令

x?a?b?c,y?a?b?c,z?ab?bc?ca,則原不等式可化為2?y?z?z2?0.這是一個(gè)簡單的不等式,由已知條件可證該不等式,因此我們可按上述換元證明原不等式。

證明:令x?a?b?c,y?a2?b2?c2,z?ab?bc?ca,則

x

?y?2z,y?z?

??a?b?

??b?c???c?a?

??0,原不等式可化為:

yy?z

?

??

x

?y?z?2,將x2?y?2z,代入上式得:

yy?z

?

???y?2z???y?z?,?y?z??y2

?yz??y?2z??y?z??0,?

2?y?z?z?0,又由已知條件可知,2?y?z?z2?0成立,而上述過程可逆,因此原不等式成立。對于類似于例1與例2的對稱不等式，可以結(jié)合不等式的具體形式換元，簡化不等式的結(jié)構(gòu)，使得不等式容易證明。

二、借助幾何圖形換元

例3已知a,b,c是?ABC三邊的長，求證：

ab?bc?ca?ab?bc?ca

.分析:(如圖)作?ABC的內(nèi)切圓,設(shè)D,E,F為切點(diǎn),令x?BD,y?CD,z?AE,(其中x,y,z?R?

則原不等式可轉(zhuǎn)化為:

?y2????z?z????

?z2?

???x?x????

?x2?

??

?y?y??2x?2y?2z.??

利用重要不等式:a?b?2ab可證該不等式,因此可以通過上述換元證明原不等式。

證明:設(shè)D,E,F為切點(diǎn),令x?BD,y?CD,z?AE,則原不等式可轉(zhuǎn)化為:

?y2?

????z?z???

?z2?

????x?x???

?x2?

???2x?2y?2z.???1? ?y?y???

又因?yàn)閤,y,z?R?,則有

y

z

?z?2y,z

x

?x?2z,x

y

?y?2x，所以(1)式成立,因此原不等式成立。

從例3可以看出，在證明不等式時(shí)，我們可以根據(jù)題意結(jié)合幾何圖形進(jìn)行分析、換元，從而借助幾何圖形的性質(zhì)來證明不等式。

三、借助三角函數(shù)的性質(zhì)換元

例4已知:a?1,b?0,a?b?1,求證:0?

1???a?

a?

1??1???b??????1.a??b?

分析:由于a?1,b?0,a?b?1,并且不等式中有a,b,因此我們聯(lián)想三角函數(shù)的平方關(guān)系:sec2??tan2??1.經(jīng)過對比,發(fā)現(xiàn)a相當(dāng)于sec2?，b相當(dāng)于

tan?，因而可令：a?sec2?,b?tan2??0???

?

??

?

??

?.2?

證明:令a?sec2?,b?tan2??0???

1???a?

1??????a??

??

?, 則 2?

a?b?

1??? b?

sec??1tan??

1???

2sec?tan?sec?

?sin??1，可見原不等式成立。

例5若x2?y2?1,求證:x2?2xy?y2?

.分析:由x2?y2?1,知點(diǎn)?x,y?在圓x2?y2?1的內(nèi)部或邊界上,因此可以考慮變換:x?rsin?,y?rcos? ?0?r?1,0???2??.證明:設(shè)x?rsin?,y?rcos? ?0?r?1,0???2??, 則

x?2xy?y

?rcos2??sin2?

?

???2

2rcos?2???

4??2r?

?

2.從例4，例5可以看出，證明不等式時(shí)，我們可以結(jié)合已知條件或不等式的結(jié)構(gòu)與三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，利用三角函數(shù)換元，從而借助三角函數(shù)的性質(zhì)來證明不等式。

四、借助均值不等式換元

例6n個(gè)正數(shù)x1,x2,?xn,它們的和是1,求證:

xn?1xn?1?xn

x1

x1?x2

?

x2

x2?x3

???

?

xn

xn?x1

?

.分析:就這個(gè)不等式而言,我們?nèi)菀紫氲骄挡坏仁剑侵苯佑镁挡坏?/p>

式卻難以證明這個(gè)不等式，因此我們把分子變?yōu)閮身?xiàng)，可令x1?

x2?x3

xn?x1

n

x1?x2

?m1,x2?

?m2,?,xn?

?mn（其中?mi?0）.i?1

證明:令x1?

n

x1?x2

?m1,x2?

x2?x3

?m2,?,xn?

xn?x1

?mn,則

?m

i?1

i

?0.x1

x1?x2

?

x2

x2?x3

???

xn?1xn?1?xn

?

xn

xn?x1

?1?

??x?x?m1n??2n??

xn?x1

?

?1?

??x?x?m21??21??

x1?x2

?

?1?

??x?x?m32??22??

x2?x3

???

?

x1?x2

?

x2?x3

4mn

???

xn?x1

??m1?m2???mn??

m1

x1?x2

?

m2

x2?x3

???

xn?x1

?

2?x1?x2???xn?

?，因而原不等式成立。

例6說明，在證明不等式時(shí)，可以從不等式的形式出發(fā)，借助均值不等式進(jìn)行換元。

第五篇：不等式證明四(換元法)

Xupeisen110高中數(shù)學(xué)

教材：不等式證明四（換元法）

目的：增強(qiáng)學(xué)生“換元”思想，能較熟練地利用換元手段解決某些不等式證明問題。

過程：

一、提出課題：（換元法）

二、三角換元：

證一：證二：由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可設(shè)x?

則2sin?,2y?cos2? 1121????2(1?cot2?)?(1?tan2?)22xysin?cos?

?3?(2cot2??tan2?)?3?2

2例三：若x2?y2?1，求證：|x2?2xy?y2|?2

證：設(shè)x?rsin?,y?rcos?,(0?r?1)，1則|x2?2xy?y2|?|r2cos2??2r2cos?sin??r2sin2?|

????r2|cos2??sin2?|?2r2cos?2????2r2?2 4??

例四：若x > 1，y > 1，求證：xy?1?(x?1)(y?1)

證：設(shè)x?sec2?,?y?sec2?,(0??,??)2?)2

小結(jié) 若x2?y2?1，則可令x = sec?, y = tan?(0???2?)。

?)。2

??若x?R，則可令x = tan?(????)。22若x≥1，則可令x = sec?(0???

三、代數(shù)換元：

例六：證明：若a > 0，則a2?11?2?a??2 2aa

1證：設(shè)x?a?,ay?a2?

21,(a?0,x?2,y?2)2a21??21?則x2?y2??a?a?2??2 ??????a??a??

x?y?a?11?a2?2?2?2（當(dāng)a = 1時(shí)取“=”）

aa

四、小結(jié)：

五、作業(yè)：

1．若a22． 若|a3． 若|x|4． 若a1 5． 6． 已知3