第一篇：第 29 講 不等式的證明(第1課時-比較法與綜合法)

第 29 講 不等式的證明-比較法與綜合法

（第1課時）

???差比法比較法?????商比法????綜合法?方法??

?分析法

??反證法?????數學歸納法

??放縮???三角換元??換元??不等式的證明???整體代換????配方

??拆項?技巧??利用函數的值域和單調性?????一式的平方不小于零????

利用基本不等式?均值不等式???倒數的和不小于2????

??? ?利用不等式的性質?

重點：1．差作法和商比法；2．綜合法和分析法；3．其它方法的簡單應用。

難點：1．分析法的靈活運用；2．放縮技巧的使用。

3．了解證明不等式的其它方法。

⑵ 證明不等式常用的主要技巧：放縮，換元，配方，拆項，利用基本不等式，利用不等式的性質，利用函數值域和函數的增減性。

⑶ 證明不等式常用的基本不等式：

① 一式的平方不小于零。

2222即 a?0（a?R）或(a?b)?0（a,b?R）。后者的變式為：a?b?2ab 或

a2?b2??2ab。

② 兩個大于零的式子的算術平均值不小于它們的幾何平均值。即

a?b

?ab（a,b?0），可推廣至多個式子。

2③ 倒數的和不小于2。

ba

??2（a,b同號）。ab

上述基本不等式中，當且僅當 a?b 時取等號。

2222

前三個基本不等式的內在聯(lián)系為：a?0 ?(a?b)?0 ? a?b?2ab ?

即

a?a?b

a?b?2ab ?

a?b

?ab。2

1．比較法 ⑴ 差比法

要證A?B，只要證A?B?0。例．求證：3(a?2b)?8ab。證明：∵ 3(a2?2b2)?8ab?3(a?

4b222)?b?0，3

3∴ 3(a?2b)?8ab。

點評：本題使用差比法。證明不等式時，要判斷一式是否大于零，有時需要使用配方法以及基本不等式。本題使用了配方法以及基本不等式“一式的平方不小于零”。

⑵ 商比法

要證A?B，當A，B?0 時，只要證法。

例．已知 a?b?0，求證：aabb?abba。

A

?1。當不等式兩邊是積或冪的形式時，可用此B

aabbaa?bb?a

?()a?b 證明：ba?ab

bab

aa

∵ a?b?0，∴ ?1，又 a?b?0，∴()a?b?1，bb

abba

又 ab?0，ab?0，∴ aabb?abba。

點評：本題使用商比法。

2．綜合法

所謂綜合法就是從已知或以證明過的不等式出發(fā)，根據不等式的性質推導出欲證的不等式（由因導果），綜合法的特點是表述簡單、條理清楚，所以在實際證題時，往往先用分析法來尋求證明途徑，而后用綜合法來書寫證明過程。

例．求證：log2??log5??2。

證明：∵ 底數大于1的對數函數是增函數，∴ log2??log5??log23?log53?log

2?log2?log5?log527 32

25???2

3點評：本題使用綜合法，利用了縮放技巧。所謂“縮放”，就是在待證不等式兩邊的值的中間找一個或多個中間量，再根據不等式的傳遞性來間接證得結論成立?？s放時可以舍去或加上一些項；也可以加大或減小一些項；還可以把分子或分母放大縮小。證對數不等式的關鍵在于利用對數函數的性質。

1。??????1（n為正整數）

2n?1n?22n111

證明：∵ ?? ⑴

2nn?1n111

?? ⑵

2nn?2n

例．求證：????

111??（n）2nn?nn

11111

把上述各式相加得 n???????n?，2nn?1n?22nn

1111即 ??????1。

2n?1n?22n

點評：本題使用綜合法，利用了放縮技巧。這里是把各式相加，有時需要把各式項乘，例如

習題中的第7題。

例．若 p?0，k為大于1的整數，求證：(1?p)?1?pk。

證明：∵ k為大于1的整數，故利用二項式定理得(1?p)?1?Ckp?Ckp???p，∵ p?0，∴ 1?Ckp?Ckp???p 的所有項都是正的，∴ 1?Ckp?Ckp???p?1?Ckp?1?kp，∴(1?p)?1?pk。點評：本題使用綜合法，利用了二項式定理以及縮放技巧。例．求證：1?1。!?2?2!?3?3!???n?n!?(n?1)!（n?N）證明：∵ k?k!?(k?1)!?k!（k?N），∴ 原不等式左邊?(2!?1!)?(3!?2!)?(4!?3!)???[(n?1)!?n!]

k

k

k

k

k

k

?(n?1)!?1?(n?1)!?右邊

點評：本題使用綜合法，利用了拆項技巧。

1x2?3x?4例．求證不論x為何實數，都有 ?2?7。

7x?3x?

4x2?3x?4

證明：設 2?y，即(y?1)x2?(3y?3)x?4y?4?0，x?3x?4

∵ x為實數，∴ ??9(y?1)?16(y?1)?0，即(7y?1)(y?7)?0，1x2?3x?41

∴ ?y?7，即 ?2?7。

7x?3x?47

點評：本題使用綜合法，利用函數的值域證不等式。即要證y?a（或y?a），可先找出

一個關于y的不等式，再解出y。

例．已知 2x?4y?1，求證：x?y?

。20

(1?4y)，2

1111

則 x2?y2??(1?4y)2?y2??(5y?1)2?0，204205111

∴ x2?y2?，當 x?，y? 時等號成立。

2010

5證明：由 2x?4y?1 可得 x?

點評：本題是條件不等式證明，證條件不等式與證一般的不等式并沒有什么不同，關鍵在于

條件的轉化應用?？梢岳脳l件消元，再運用比較法證明。要證最后一式的大于零或小于零，往往需要配方。

DS

02,03

不等式證明 差比法 商比法 綜合法 放縮 換元 配方 拆項

利用基本

不等式 2 利用不等式的性質 利用函數值域 技巧利用函數的增減性2 3 4 5 6 7 8

√ √√√ √ √√√√√√ √√

1．a、b為互不相等的正數，求證：a?b?ab?ab。證明：∵ a?b?ab?ab?(a?b)(a?b)?0，∴ a?b?ab?ab。

點評：本題使用差比法，使用技巧“一式的平方不小于零”。2．已知a?2，求證：log?a?1?a?loga?a?1?

1?loga(a?1)?loga(a?1)1，?loga(a?1)?

loga(a?1)loga(a?1)

∵ a?2，∴ loga(a?1)?0，loga(a?1)?0，解法一： loga?1a?loga(a?1)?

loga(a?1)?loga(a?1)2[loga(a2?1)]2[logaa2]2

∴ loga(a?1)?loga(a?1)?[]???1

244

∴ loga?1a?loga(a?1)?0。

解法二：∵ a?2，∴ loga(a?1)?0，loga(a?1)?0，loga(a?1)?loga(a?1)2[loga(a2?1)]2[logaa2]2

而 loga(a?1)?loga(a?1)?[]???1

244

loga?1aloga(a?1)1∴ ???1，loga(a?1)loga(a?1)loga(a?1)loga(a?1)∴ loga?1a?loga(a?1)?0。

點評：解法一使用差比法，解法二使用商比法。

2463

3．若 a?0，求證 1?a?a?a?4a。

證明：∵ a?0，∴ 1?a?2?a?2a ⑴，a?a?2a?a?2a ⑵，⑴+⑵得 1?a?a?a?4a。

a?b

?ab。2

1111

4．求證：2?2?2???2?2（n?N）。

123n1111

證明：∵ 2???（k=2，3，?，n）

k(k?1)k?1kk

1111111

∴ 原不等式左邊?2?(?)?(?)???(?)

1223n?1n1

?1?(1?)?2??2?右邊

nn

點評：本題利用基本不等式

點評：本題使用綜合法。利用了拆項技巧。改用

111111

???(?)也可。22nn?1(n?1)(n?1)2n?1n?1

1222

5．若 x?y?z?1，試證：x?y?z?。

證明：令 x??t，y??2t，z??3t（t為實數），333111

x2?y2?z2?(?t)2?(?2t)2?(?3t)2

33312141

??t?t2??t?4t2??2t?9t2 9393911

??14t2?（∵ t為實數，∴ t2?0）33

當 t?0，即 x?y?z? 時，上式取等號。

點評：本題使用綜合法，利用了換元技巧。題設為線性方程形式的不等式證明，根據線性方程的特點適當引入參數可使問題簡化。

6．已知 0?x?1，a?0，a?1，求證：loga(1?x)?loga(1?x)。證明：∵ 0?x?1，∴ 0?1?x?1，1?x?1，0?1?x?1，當 a?1時，loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x2)?0

當0?a?1時，loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x2)?0

∴ loga(1?x)?loga(1?x)。

點評：本題使用綜合法，利用了函數增減性。

135991??????。24610010

99100123456

證明：∵ ?，?，?，??，?

100101234567

***

把上述各式兩邊項乘得 ?????，??????

246100357101

13599

兩邊同時乘以 ????? 得

246100***013599(?????)?(?????)(?????)，***1001359921即(?????，)?

***1∴ ???????，24610010110

7．試證：

∴ 原不等式成立。

點評：本題使用綜合法，利用了放縮技巧。

第二篇：不等式的證明——比較法、綜合法、分析法

不等式的證明—比較法，綜合法，分析法 典型問題:

（一）比較法證明不等式

ama?mam??1,求證:1.已知a,b,m,n?R,且?bnb?n bn?

2.a,b,m,n?R

3.a?b??,求證：abm?n?bm?n1a2?ab?ab1?b2mnnm 21a20,求證:()21b2?()a?

3322a?b?0a?b?ab?ab4.已知，求證：

（二）綜合法證明不等式

?a,b,c?R1.設,3332222222(a?b?c)?ab?ac?ba?bc?ca?cb?6abc.求證:

?a,b,c?R2.已知,且a?b?c?1,求證: 111???9(1)abc

124???18(2)abc

1?b)(1?c)(3)(1?a)(?8abc111(?1)?(?1)?(?1)?8(4)abc

（三）分析法證明不等式

1.證明：3?22?2?722x3?y3已知x?0，y?0x?y?2.a?b?0a?b?a?b 3.設,求證:

4.若a,b,c三數均大于1,且ab=10,求證:logac?logbc?4lgc

41?a?b?.5.已知a?0,b?0,a?b,且a?b?a?b，求證：33322

6.實數a,b,c滿足a>b>c,且a+b+c=0,求證:

?a,b?R,2c?a?b,求證: 7.已知b?ac?3a.2

(1)c?ab c?ab?a?c?c?ab.?2(2)c?2222（a?b）a?b（a?b）??ab?8.已知a?0，b?0，a?b 8a28b9.已知a,b,c?R,且ab+bc+ca=1,abc???3(a?b?c)求證:bcacab

第三篇：比較法、分析法、綜合法、換元法證明不等式

2a ?b?? ??1?1a?b

2??a2 ?b2?2ab?? ??a2 ?b?1(a?b)2

2??2 2??a?b????整式形

式 ab??????2?? 22?a?b? ab???2? ??? ???a? b??ab???2 根式形式??22 b?a?2(a?b)??? ???b a分式形??2(a,b同號）? ab?1? ?0?a??2?a??a 倒數形式??1 ?a?0?a???2?a??

1.比較法、分析法、換元法

一.比較法（作差比較或作商比較）

1）作差比較法：要證不等式a?b?a?b?，只需證a?b?0?a?b?0?即可。其步驟為：作差、變形、判斷符號（正或負）、得出結論。

2）作商比較法：若b?0，要證不等式a?b，只需證

作商、變形、判斷與1的大小、得出結論。

222222例1.設a?b?c，求證：bc?ca?ab?bc?ca?ab aa?1，欲證a?b，需證?1。其步驟為：bb

22例2（1）證明不等式a?b?ab?a?b?

1abba（2）若a>b>0，求證：ab?ab

b?a

2??a?bb（3）若a>b>0，求證：a

二.分析法

a3?b3a?b3?()22例2已知a>0，b>0，求證：

2222證法二由(a?b)?0，得a?2ab?b?0，a?ab?b?ab，2

∵a>0，b>0∴a+b>0，∴(a?b)(a?ab?b)?ab(a?b)，33223322∴a?b?ab?ab，3a?3b?3ab?3ab 22

∴4a?4b?a?3ab?3ab?b?(a?b)，333223

3a3?b3(a?b)3

?28∴，a3?b3a?b3?()22∴。

2?a?b?練習．1.已知a?b?0，求證：8a?a?b? a?b??ab?28b2

2.求證

a2?b2a?a?

均值不等式

例3已知a、b、c?R，且a+b+c=1。?

111(?1)?(?1)?(?1)?8bc求證：（1）a

（2）a?b?c?

例4設a、b、c、d?R，令?s?abcd???a?d?bb?c?ac?d?bd?a?c，求證：1

114??例5已知a>b>c，求證：a?bb?ca?c

2.均值換元法：

使用均值換元法能達到減元的目的，使證明更加簡捷直觀有效。例2.已知a，b?R且a?b?1，求證：?a?2???b?2??

2225 2

例3.設a，b，c為三角形三邊，求證：

4.增量換元法： abc???3 b?c?aa?c?ba?b?c

例4.已知a?2，b?2，求證：a?b?ab

第四篇：不等式 第17課時

第十七教時

教材：含絕對值的不等式

目的：要求學生掌握和、差的絕對值與絕對值的和、差的性質，并能用來證

明有關含絕對值的不等式。

過程：

一、復習：絕對值的定義，含有絕對值的不等式的解法當a>0時，|x|?a??a?x?a|x|?a?x?a或x??a

二、定理：|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|證明：∵

?|a|?a?|a|?

?|b|?b?|b|??

??(|a|?|b|)?a?b?|a|?|b|

?|a?b|?|a|?|b|①

又∵a=a+b-b|-b|=|b|

由①|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b| 即|a|-|b|≤|a+b|② 綜合①②: |a|?|b|?|a?b|?|a|?|b| 注意：1? 左邊可以“加強”同樣成立，即

|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|

2? 這個不等式俗稱“三角不等式”——三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊

3? a,b同號時右邊取“=”，a,b異號時左邊取“=”

推論1：|a1?a2???an|≤|a1|?|a2|???|an| 推論2：|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|

證明：在定理中以-b代b得：|a|?|?b|?|a?(?b)|?|a|?|?b|

即：|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|

三、應用舉例

例一 至 例三見課本P26-27略 例四 設|a|<1, |b|<1 求證|a+b|+|a-b|<2

證明：當a+b與a-b同號時，|a+b|+|a-b|=|a+b+a-b|=2|a|<2

當a+b與a-b異號時，|a+b|+|a-b|=|a+b-(a-b)|=2|b|<2 ∴|a+b|+|a-b|<2

例五 已知f(x)??x2當a?b時 求證：|f(a)?f(b)|?|a?b|證一：|f(a)?f(b)|?|a2

?1?b2

?1|?

a2?1?b2?1a2

?1?b2

?

1?|a2?b2|a2?1??|(a?b)(a?b)|

b2?1

a2?b2

?

|a?b||(a?b)|

|a|?|b|

?

(|a|?|b|)|a?b|

|a|?|b|

?|a?b|

證二：（構造法）

如圖：OA?f(a)??a

2A

B

OB?f(b)??b2

|AB|?|a?b|

O

a

b

由三角形兩邊之差小于第三邊得：|f(a)?f(b)|?|a?b|

四、小結：“三角不等式”

五、作業(yè)：P28 練習和習題6.5

第五篇：2.4：不等式證明綜合法與分析法

2.4不等式的證明（2）綜合法與分析法。

【知識要點】

綜合法：從已知出發(fā)，通過一系列正確的推理，得出結論的證明方法。（由因導果）分析法：從要證明的結論出發(fā)，尋找使命題成立的充分條件。（執(zhí)果素因）分析法書寫格式：

題目：已知A，求證B。

證明：要證B成立，只要證B1成立；要證B1成立，只要證B2成立；?只要證A成立。而A是成立的，所以B成立。

注意：

1．在具體處理問題時，常常是先用分析法分析，再用綜合法證明，二種方法結合使用。

2．如果采用分析法證明時，要注意書寫的要求。

【基礎訓練】

1．判斷下列推理是否正確：

（1）若a1b，要證明a2+b2<1+a2b2，由于2ab

（2）要證|a+b|?|a||b|，只要證(|a+b|)?(|a|2|b|)。（）

2（3）要證a

2．某工廠第二年增長率為a，第三年增長率為b，這兩年的平均增長率為x，則（）

a+ba+ba+ba+b（A）x3（B）x>（C）x￡（D）x< 2222

1a+b

3．若a>b>1,P=Q，則（）(lga+lgb),R=lg22

（A）R

驏驏驏111 4．設a,b,c為正數，且a+b+c=1，若M=-1-1-1，則（）c 桫桫桫ab

（A）0?M

【精選例題】 11（B）＃M881（C）1?M8（D）M38

例1．設x?R,0a<1，求證：logaax+a-(x2)

解法指導：用綜合法證明，也可采用分析法證之，要證logaa+a

只要證logaa+a(x-x2)

18(x-x2)驏1

8÷

2a<1，所以只要證a+a2-x2>2a。證明：因為a>0,所以ax>0,a-x>

0，所以ax+a-x匙，驏1÷11又因為x-x2=-?x-÷+，0

4ì1??x=2a，由于?2不成立，所以上式等號不能成立，í?2???x=-x18

22所以所以logaax+a-x

1例2．設a,b?R,c?0，求證：|a?b|2?(1?c)|a|2?(1?)|b|2。c

解法指導：可以采用先分析后綜合的方法處理。11方法一：原不等式?a2?b2?2ab?a2?ca2?b2?b2?ca2?b2?2ab cc

1?2ab。因為c?

0，所以ca2?b2?)2?)2?c方法二：用分析法寫（略）。

1125例3．設x,y是正數，且x?y?1，求證：(x?)2?(y?)2?。xy2

11解法指導：如果用基本不等式x??2,y??2，則只能得出左邊大于4的結論，而xy

得不出要證明的結論。這時可以考慮用分析法處理。證明：原不等式?x2?

?(1?2xy)(1?11171?17222??y???(x?y)1??x2y2??2 x2y22??117)?。22xy2

(x?y)21117?，所以(1?2xy)(1?22)?成因為設x,y是正數，且x?y?1，所以xy?44xy2

立。故要不得證不等式成立。

思考：還有其它方法嗎？ ?11??11??1?因為2?(x?)2?(y?)2???(x?)?(y?)???1???25。xy??xy??xy??22

變題1：設x,y是正數，且x?y?1，求證：（證明：（略）11?1)(?1)?9。22xy

1125變題2：設x,y是正數，且x?y?1，求證：(x?)(y?)?。xy4

1125xy125?證明：要證(x?)(y?)?成立，只要證：xy???，xy4yxxy4

因為 x,y是正數，所以只要證4(x2y2?x2?y2?1)?25xy，又因為x?y?1，所以只要

33332332

證4(xy?1?2xy?1)?25xy?xy?xy?2?0?(xy?)?2?2?0 488

(x?y)2***332

?，所以(xy?)?2?2?(?)?2?2?0。又因為xy?8848844

【能力訓練】

一、填空題 222

21．已知a,b?R+，則下列不等式：

(1)a+b+（a驏1b)?+??桫a1÷2+2

÷吵b÷a+b;(4)2ab a+b其中恒成立的是______________。

bb+m2．設a,b,m?R+，若<成立，則a,b的大小關系為____________。aa+m

二、選擇題

3．(2004年遼寧)對于0

11+111+a ①loga(1+a)loga(1+)③a

④a1+a>a1+

1a其中成立的是________.4.（2005年山東）0?a?1，下列不等式一定成立的是（）

（A）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?2（B）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)

（C）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)

（D）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)

三、解答題

5.設g(x)=a b),求證|g(a)-g(b)|<|a-b|.6.設n>0,求證

:

7.若a,b,c均為大于1的數,且ab=10,求證:logac+logbc 4lgc.118.已知命題:如果a>0,b>0,a+b=1,那么+ 4.ab

（1）證明這個命題為真命題；

（2）如果a>0,b>0,c>0,a+b+c=1，推廣上述命題，并加以證明；

（3）將上述命題推廣為關于n個正數的命題（不必證明）。