第一篇：有關(guān)克西不等式的競賽試題

應(yīng)用柯西不等式解中學(xué)數(shù)學(xué)題（競賽專題）

溫州中學(xué)謝正康

柯西不等式是一個重要的不等式，利用它可以證明其他一些不等式，有時還較為簡捷?？挛鞑坏仁絻?nèi)容是：若a1,a2…，an與b1,b2…，bn為兩組實數(shù)，則

?a1b1?a2b2

???anbn??a1?a2???an??b1?b2???bn???(A)

2??

當(dāng)且僅當(dāng)

a1b1

?

a2b2

????

anbn

時，（A）式取等號。

?a1

證明：因為

?b1x??0

?a2?an

?b2x??0

??????

?bnx??0

所以把上列n個不等式相加得

f?x???a1?b1x???a2?b2x?????an?bnx??0,??(1)

f?x??b1?b2???bnx?2?a1b1?a2b2???anbn?x?a1?a2???an?0???(2)

222

因為b1?b2???bn?0,且f?x??0，所以關(guān)于x的二次三項式f?x?的判別式△?0

????

即△=4?a1b1?a2b2???anbn??4?b1?b2???bn??a1?a2???an??0

即?a1b1?a2b2???anbn???a1?a2???an??b1?b2???bn???(A)

現(xiàn)在研究（A）式取等號問題。

若（A）式取等號，則△=0，于是由（2）知方程f(x)?0有二重實根x?k,代入（1）得?a1?b1k???a2?b2k?????an?bnk??0

于是，a1?b1k?a2?b2k???an?bnk?0

所以

a1b1

?

a2b2

???

anbn

?k??(3)

這樣，就是由若（A）式取等號，推導(dǎo)得（3）成立。反之，由（3）易于推導(dǎo)出（A）式取等號

說明：應(yīng)用柯西不等式（A）證題的關(guān)鍵是善于構(gòu)造兩組數(shù)：

a1,a2,??an;b1,b2,??bn;

不等式（A）的左端是這兩組數(shù)對應(yīng)項的乘積之和的平方，即?a1b1?a2b2???anbn?，右端是每組中諸數(shù)平方和之積。

22222

即?a1?a2???an??b1?b2???bn?

例1：已知，a1?a2???an?1x?x???x?1

2n

222

求證：a1x1?a2x2???anbn?1證法一：（常用證法）?

a1?x1?2a1x1,??

a?x?2a2x2,a?x?2anxn,22

2n

2n

把上面n個不等式相加，得

?a

?a2???an?x1?x2???xn?2a1x1?2a2x2???2anxn,22

??

222

?

即

2?2?a1x1?a2x2???anxn??a1x1?a2x2???anxn?1

證法二：（利用柯西不等式來證明）

分析求證的不等式特點，可構(gòu)造如下兩組數(shù)：a1,a2,??an;x1,x2??xn 由柯西不等式（A）有

?a1x1?a2x2???anxn??a1?a2?anx1?x2???xn

???

?

?a1x1?a2x2???anxn?1

兩相比較，可見用柯西不等式證明較為簡捷

例2：設(shè)a1,a2,?an是一串互不相同的正整數(shù)，證明對一切自然數(shù)n，都有

a11

?

a22

???

ann

?1?

???

1n

分析：上不等式可寫為

11?12???

1n?a11

?

a22

???

ann

構(gòu)造如下兩組數(shù)：

a11,a22,??,ann；

1a1,1a2,??

1an

由柯西不等式（A），有 ?a1

1???

?1a1?

a22

?

1a2

???

ann

?

an??1a1a21?11???????????????2?22??a2an?2n??a1an??1?

an??1a11?11??a1?

?? ?2????????即?1???????2??22

2n?a2an?2n??a1??1?

與原不等式比較，須證

?111??111??????????就行了 ?????aan?n??1a2??12

怎樣證明上一不等式呢？

因為a1,a2,??an是不相同的正整數(shù)，不失一般性，故可設(shè)a1,a2,??an，是從小到大排列的正整數(shù)，于是有a1?1,a2?2,??,an?n

?

1a1

?1,1a2

?12,?

1an

?1n

把上n個不等式相加，有

?111?111

????????????aa2an?n1??12

ana1a11

?1?????2?2???22

2n12n

請讀者根據(jù)上面的分析寫出證明

例3：設(shè)△ABC為任意三角形，求證：

tg

A2

?tg

B2

?tg

C2

?1

分析：從所要證明的不等式出發(fā)，構(gòu)造如下兩組數(shù)：tg

A2,tg

B2,tg

C2，1，1，1

由柯西不等式（A），有

ABC???

?1?tg?1?tg?1???tg?tg222???1?ABC?

即?tg?tg?tg??tg3?222?

A2

?tg

2B2

?tg

C?222

??1?1?1?2?

A2

?tg

B2

?tg

C2

A2

B2

C2

把上面這個不等式與求證的不等式比較，可知如果能推導(dǎo)出tg題就解決了，但是，tg

A2?tg

B2B2

?tg

C2?

?tg?tg?3，問

3，所以，這樣構(gòu)造的兩組數(shù)不能證明求證的不等

式成立，因此應(yīng)修改所構(gòu)造的兩組數(shù)如下：

tgA2,tg

B2,tg

C2

；tg,tg

C2,tg

A2,由柯西不等式（A），有

ABBCCA???tg?tg?tg?tg?tg?tg????tg222222???ABBCCA???

即?tg?tg?tg?tg?tg?tg???tg

222222???

A2

?tg

B2

?tg

C??

??tg2??

B2

?tg

C2

?tg

A??2?

A2

?tg

B2

?tg

C??.2?

把上面不等式與求證不等式比較，可知要證原不等式成立，須證

ABBCCA???tg?tg?tg?tg?tg?1.? ?tg222222??

上面這個不等式，可證明如下： 由已知A?B?C??,C?A?B?, ?tg???ctg2?2?

tg

?

A?tgA2tg

B?

B2

1tgC2,1?tg

?tg

A2

tg

B2

?tg

B2

tg

C2

?tg

C2

tg

A2

?1.這樣，本題即可證明了.根據(jù)上面的分析，寫出證明如下： 先構(gòu)造如下兩組數(shù)

tgtgA2B2,tg,tg

B2C2,tg,tg

C2A2;.由柯西不等式（A）有

ABBCCA????tg?tg?tg?tg?tg???tg?tg222222???ABBCCA???即?tgtg?tgtg?tgtg???tg

222222???

A2A2

?tg

B2B2

?tg

C??

??tg2??

B2

?tg

C2

?tg

A??2?

?tg

?tg

C??.2?

由已知A?B?C??,C?A?B?, ?tg???ctg

22??

tg

?

A?tgA2tg

B2

B?

B2

?tg

B2

1tg

tg

1?tg

?tg

A2

C2C,tg?tg

C2

tg

A2

?1

?

于是，有1??tg

?

?tg

A2

B2

?tg

B2

tg

C??, 2?

A2

?tg

?tg

x

C2

?1.x

x

例4：設(shè)f?x??lg

n?2，1?2????n?1??na

n

其中a是實數(shù)，n是任意給定的自然數(shù)且

(i)如果f(x)當(dāng)x?(??,1]時有意義,求a的取值范圍

(ii)如果a?(0,1],證明2f?x??f?2x? 當(dāng)x?0時成立.(1990年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試第26題)

此題第二步驟用柯西不等式證明較為簡捷.證明：構(gòu)造兩組數(shù)，1,2x,3x,(n?1)x,nxa1,1,1,??1 當(dāng)0?a?1x?0時，有a2?a 由柯西不等式（A）有

(1?1?2?1??3?1???(n?1)?1?n?a)

x

x

x

x

x

x

x

?(1?1???1)(1?(2)?(3)???(na)]?n(1?2?n(1?2

2x2x

?3?3

2x2x

????(n?1)???(n?1)

2x

?n

2x

a]

2x

?n

2x

a)

當(dāng) a?1,x?0時，因1?2x.于是由柯西不等式得

(1?2???(n?1)?n)?n(1?2

x

x

x

2x

???(n?1)

2x

?n

2x)

故當(dāng)a?(0,1]x?0都有(1?2x???(n?1)x?nx)2

?n[1?2

2x

???(n?1)

2x

?n

2x

a)

第二篇：關(guān)于柯西不等式的證明

關(guān)于柯西不等式的證明

王念

數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 07 級 指導(dǎo)老師：吳明忠

摘要：研究柯西不等式的多種證明方法，得到一些有用的結(jié)論，并簡單介紹一些它的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：柯西不等式、數(shù)學(xué)歸納法、二次型正定、歐式空間向量內(nèi)積、詹森不等式，二維隨機變量的數(shù)學(xué)期望。

Cauchy inequality is an important inequality.It has aroused people’s interest and its widespread application.In this paper、quadratic form、European space inner product、and the relation between Cauchy inequality.Wang Ni an

Xxxxxxxxxxx Grade 07 Instructor: Wu Ming Zhong

Abstract: The paper discusses the certifying ways of Cauchy inequality then gets some useful conduction and introduces some appliances.Key words: Cauchy inequality;quadratic form;inner product;Jensen inequality;mathematic Expectation.柯西不等式是大家熟知的一個重要不等式，它的結(jié)構(gòu)和諧對稱、以及廣泛的運用引起了人們的興趣和討論。本文運用高等代數(shù)、微積分的基本內(nèi)容來證明柯西不等式?？挛鞑坏仁降膬?nèi)容 1.1

(a1b1?a2b2?....?anbn)2?(a12?a22?....an2)2(b12?b22?....?bn2)2(aibi?R,i?1,2......n)

等號當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2?.....?an?0或bi?kai時成立（k為常數(shù)，i=1,2…..n）.1.2 設(shè)a1,a2,.....an及b1,b2,.....bn為任意實數(shù)則不等式(?aibi)?(?a)(?bi2)成2

i?1

i?1

i?1

n

n

n

立，當(dāng)且僅當(dāng)bi?kai（i=1,2…..n）取等號。1,2這兩種形式就是著名的柯西不

等式?？挛鞑坏仁降淖C明 2.1構(gòu)造二次函數(shù)，證明柯西不等式。(其關(guān)鍵在于利用二次函數(shù)??0時函數(shù)f(x)?0

f(x)?(a1x?b1)2?(a2x?b2)2?....?(anx?bn)2

?(a12?a22?....?an2)x2?2(a1b1?a2b2?....?anbn)x ?(b12?b22?....bn2)顯然f(x)?0

又?a12?a22?....ann?0則利用??0可得

??4(a1b1?a2b2?.....?anbn)2?4(a12?a22?....?ann)(b?b2?.....?bn)?0即

n

(a1b1?a2b2?....?anbn)2?(a12?a22?....?an2)(b?b2?....?bn)

當(dāng)且僅當(dāng)aix?bi?0(i?1,2....n)即

aa1a2

??.......?n是等號成立。b1b2bn

2.2 利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。（關(guān)鍵把握由特殊到一般情況的嚴(yán)密性）

（1）當(dāng)n?1時左式=?a1b1?右式=?a1b1?

顯然左式=右式 當(dāng)

n?2

時，右式

??a12?a2??b12?b22???a1b1???a2b2??a22b12?a12b22

??a1b1???a2b2??2a1a2b1b2??a1b2?a2b2??左式

僅當(dāng)即 a2b1?a1b2 即

a1a2

?時等號成立 b1b2

故n?1,2時 不等式成立

（2）假設(shè)n?k?k??,k?2?時，不等式成立

2k???ak即 ?a1b1?a2b2???akbk???a12?a2??b12?b22???bk2?

當(dāng) bi?kai，k為常數(shù)，i?1,2?n 或a1?a2???ak?0時等號成立

??a12?a2?....?ak

設(shè)B?b12?b22?....?bk2

C?a1b1?a2b2?....?akbk

222222則???ak?1????bk?1??????bk?1?ak?1bk?1?Bak?1 22?C2?2Cak?1bk?1?ak?1bk?1??C?ak?1bk?1? 2222?a1?a2???ak?ak?1

???

b?12

b?2??

k

?b2

?k

?b

??a1b1?a2b2???akbk?ak?1bk?1?

當(dāng) bi?kai，k為常數(shù)，i?1,2?n 或a1?a2???ak?0時等號成立

即n?k?1時不等式成立 綜上所述原柯西不等式得證。

2.3 利用基本不等式（均值不等式）進(jìn)行證明（關(guān)鍵在于利用它 “形式”）由于x?y?2xy(x,y?

R)，令x?

y?

?

ai22?ak2

k?1

n

n

?

bi22?bk2

k?1n

(i?1,2.......n)

將N

不等式相加得：

?ab

ii

??aibi?

i?1n

?

?a

i?1

nk?1

n

i

?

?b

i?1nk?1

n

i

?1

2?ak22?bk2

n

n

n

i?1

k?1

即(?aibi)?(?ai)(?bk2)

i?1

原柯西不等式得證。

2.4 利用二次正定型理論進(jìn)行證明（關(guān)鍵在于理解二次型正定的定義）正定二次型定義：R上一個n元二次型q(x1,x2,....xn)可以看成定義在實數(shù)域上n個變量的實函數(shù)。如果對于變量x1,x2,....xn的每一組不全為零的值，函數(shù)值

q(x1,x2,....xn)都是正數(shù)，那么就稱q(x1,x2,....xn)是一個正定二次型。

?(aix1?bix2)?ai2x12?bi2x22?2aibix1x2?0(i?1,2,.....n)

n

n

n

有(?ai)x?(?bi)x2?(2?aibi)x1x2?0

i?1

i?1

i?1

設(shè)二次型 f(x1,x2)?(?ai)x?(?bi)x2?(2?aibi)x1x2?0

i?1

i?1

i?1

nnn

故f為正定必有二次型矩陣

?n2??aii?1

A??n

?

??aibi?i?1

n

?ab?ii?i?1

?正定 n

2?b?i?i?1?

n

n

n

(?ai)(?bi)?(?aibi)2?0

則A?0,即

i?1

i?1

i?1

?(?aibi)2?(?ai2)(?bi2)

i?1

i?1

i?1

nnn

當(dāng)

aa1a2

??.......?n時等號成立。b1b2bn

故原不等式成立，及柯西不等式得證。2.5 利用歐式空間中內(nèi)積的性質(zhì)進(jìn)行證明。

定理：在一個歐式空間里，對于任意向量?,?，有不等式：

??,??2???,????,??;當(dāng)且僅當(dāng)?與?線性相關(guān)時，才取等號。

證 如果?與?線性相關(guān)，那么或者??0，或者??a?，不論哪一種情況都有

??,??2???,????,??.現(xiàn)在設(shè)?與?線性無關(guān)。那么對于任意實數(shù)t來說，t????0，于是

?t???,t?????0,即 t2??,???2t??,????,?????,???0.最后不等式左端是t的一個二次三項式。由于它對于t的任意是數(shù)值來說都是正數(shù)，所以它的判別式一定小于零，即

??,??2???,????,???0或??,??2???,????,??.又在Rn里，對于任意兩個向量

??(x1,x2,....xn),??(y1,y2,....yn),規(guī)定（必須規(guī)定）??,???x1y1?x2y2?.....?xnyn.容易驗證，關(guān)于內(nèi)積的公理被滿足，因而R對于這樣定義的內(nèi)積來說作成一個歐式空

n

間.再由不等式??,??2???,????,??;推出對于任意實數(shù)a1,a2,....an,b1,b2,....bn,有不等式

(a1b1?....?anbn)2?(a12?....?an2)(b12?....?bn2).即柯西不等式得證。2.6 利用行列式進(jìn)行證明

n

n

n

證 ?(?ai)(?b)?(?aibi)?

i?1

i?1

i?1

?a

i?1ni?1

n

i

?ab

i?1n

2ii?1

n

ii

?ab?b

iin

n

???

i?1j?1

ai2aibi

ajbjbj2

?

1?i?j?n

?

(aibj?ajbi)2?0

若令a?(a1,a2,?an),b?(b1,b2?bn)則可以得到：

(?aibi)?(a)(b)?1?i 即柯西不等式得證。

i?1

i?1

i?1

n

n

n

2.7 利用詹森不等式進(jìn)行證明

考察函數(shù)?(x)?x2,(x?0),??(x)?2x,???(x)?2?0,故?(x)?x2是(0,??)上的凸函數(shù)，詹森（Jensen）不等式

?n

??PkXk?k?1n?

??Pk?k?1

n

n

?2??PkXk??k?1n(其中，P,2,?n),得 k?0,k?1?Pk??

k?1?

n

n

(?PkXk)?(?Pk)(?PKxk2)

k?1

k?1

k?1

nnn

ak22

上式中令Pk?bk,Xk?即（?PkXk)?(?bk)(?ak2)

bkk?1k?1k?1

從而不等式成立。

2.8 利用二維隨機變量的數(shù)學(xué)期望證明

表格 2

1n1n21n222

E(??)??aibi，E???ai,E???bi

ni?1ni?1ni?1

由E(??)?E?2E?2

1n1n21n22

所以有(?aibi)?(?ai)(?bi)

ni?1ni?1ni?1

即(?aibi)?(?ai)(?bi2)

i?1

i?1

i?1

nnn

則柯西不等式得證。

第三篇：柯西不等式的證明

柯西不等式的證明

二維形式的證明

(a^2+b^2)(c^2+d^2)（a,b,c,d∈R)

=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^

2=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2

=(ac+bd)^2+(ad－bc)^2

≥(ac+bd)^2，等號在且僅在ad－bc=0即ad=bc時成立。

三角形式的證明

√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]

證明： [√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2*√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2)≥a^2+b^2+c^2+d^2+2*|a*c+b*d| 注： | |表示絕對值。*表示乘

≥a^2+b^2+c^2+d^2-2（a*c+b*d）

=a^2-2*a*c+c^2+b^2-2bd+d^2

=(a-c)^2+(b-d)^2

兩邊開根號即得 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]

一般形式的證明

求證：(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2

證明：

當(dāng)a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0時，一般形式顯然成立

令A(yù)=∑ai^2 B=∑ai·bi C=∑bi^2

當(dāng)a1，a2，…，an中至少有一個不為零時，可知A>0

構(gòu)造二次函數(shù)f(x)=Ax^2+2Bx+C，（請注意，一次項系數(shù)是2B，不是B）展開得：f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑(ai·x+bi)^2≥0

故f(x)的判別式△=4B^2－4AC≤0，（請大家注意：一元二次方程ax^2+bx+c=0的判別式確實是△=b^2-4ac，但是這里的方程Ax^2+2Bx+C = 0已經(jīng)發(fā)生如下替換a = A，b = 2B，c = C，這里面b已經(jīng)換成了2B，因而導(dǎo)致很多網(wǎng)友的誤解。此步若錯，柯西不等式就無法證明了?。┮祈椀肁C≥B^2，欲證不等式已得證。

向量形式的證明

令m=(a1, a2, …, an)，n=(b1, b2, …, bn)

m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos=√(a1^2+a2^2+…+an^2)×√(b1^2+b2^2+…+bn^2)×cos

∵cos≤

1∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1^2+a2^2+…+an^2)×√(b1^2+b2^2+…+bn^2)注：“√”表示平方根。

注：以上僅是柯西不等式部分形式的證明。

【柯西不等式的應(yīng)用】 柯西不等式在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，我們在教學(xué)中應(yīng)給予極大的重視。

巧拆常數(shù)證不等式

例：設(shè)a、b、c為正數(shù)且互不相等。求證：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)∵a、b、c 均為正數(shù)

∴為證結(jié)論正確，只需證：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9

而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)

又9=(1+1+1)^2 ∴只需證：

2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)^2=9

又a、b、c互不相等，故等號成立條件無法滿足

∴原不等式成立

求某些函數(shù)最值

例：求函數(shù)y=3√(x－5)+4√(9－x)的最大值。(注：“√”表示平方根)

函數(shù)的定義域為[5, 9]，y>0

y=3√(x－5)+4√(9－x)≤√(3^2+4^2)×√{ [√(x－5)] ^2 + [√(9－x)] ^2 }=5×2=10函數(shù)僅在4√(x－5)=3√(9－x)，即x=6.44時取到。

以上只是柯西不等式的部分示例。

更多示例請參考有關(guān)文獻(xiàn)。三角形式證明 :兩邊同時平方,展開,消去同樣的項,剩余部分再平方,消去同樣的項,得一完全平方式,大于或等于0,得證

代數(shù)形式

設(shè)a1，a2，...an及b1，b2，...bn為任意實數(shù)，則（a1b1+a2b2+...+anbn）①，當(dāng)且僅當(dāng)a1/b1=a2/b2=...=an/bn（規(guī)定ai=0時，bi=0）時等號成立.推廣形式的證明

推廣形式為

(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n(*)

證明如下

記A1=x1+y1+…,A2=x2+y2+…,….由平均值不等式得(1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An)≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

=[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

(1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An)≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

=[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n), …… 上述m個不等式疊加得

即即 即1≥[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+…(A1*A2*…*An)^(1/n)≥(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…A1*A2*…*An≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n

成立.（注：推廣形式即為卡爾松不等式）

(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n，因此,不等式(*)

第四篇：柯西不等式及應(yīng)用含答案

一、柯西不等式：

(?a)?(?b)?(?akbk)2等號成立的條件是ak??bk(k?1,2,3???n)

2k

2k

k?

1k?1

k?1

nnn

二維柯西不等式：(x1x2?y1y2)2?(x12?y12)(x22?y22)

證明：（用作差法）

(x1?y1)(x2?y2)?(x1x2?y1y2)2?x1y2?x2y1?2x1x2y1y2?(x1y2?x2y1)2?0

2222222

2三維柯西不等式：(x1x2?y1y2?z1z2)2?(x12?y12?z12)(x22?y22?z22)

證明：（構(gòu)造空間向量法）設(shè)m?

(x1,y1,z1),n?(x2,y2,z2)

??，所以：x1x2?y1y2?z1z2?

x1?y1?z1?x2?y2?z2，兩邊平方即可！

222222

n維柯西不等式：(?a)?(?b)?(?akbk)2

2k

2k

k?1

k?1

k?1

n

n

n

等號成立的條件是

ak??bk(k?1,2,3???n)

證明：（用構(gòu)造函數(shù)法）（1）.當(dāng)b1?b2?????bn?0時，不等式顯然成立；（2）當(dāng)b1,b2,???bn不全為0時，構(gòu)造f(x)?（n

n

n

n

?b

k?1

n

k

2)x?2(?akbk)x?(?ak),所以有2

k?1

k?1

nn

f(x)?(?b)x?2(?akbk)x?(?a)??(bkx?ak)2?0對任意x?R恒成立，因此

k

2k

k?1

k?1

k?1

k?1

??4(?akbk)?4(?a)?(?bk2)?0

2k

k?1

k?1

k?1

nnn

故：（?a

k?1

n

2k)?(?b)?(?akbk)2

2kk?1

k?1

nn

柯西不等式的變式：(?ak)?(?bk)?(?akbk)2

k?1k?1k?1nnn

(?a)?(?b)??akbk 2

k2k

k?1k?1k?1nnn

nak(?akbk)?(?)?(?ak)2等號成立的條件是當(dāng)且僅當(dāng)b1?b2?????bn

k?1k?1bkk?1

2naka(?)?(?k)2（在柯西不等式中令bk=1，兩邊同時除以n2即得）

k?1nk?1nnnn

2ak(?)?

k?1bkn(?ak)2k?1nn?b

k?1(等號成立的條件是ak??bk(k?1,2,3???n)k

二、練習(xí)：

x2y2z

21.已知x,y,z>0，且x?y?z?1，求的最小值； ??y(1?y)z(1?z)x(1?x)

2.已知a,b>0,求證：3111< ??a?2ba?4ba?6b(a?b)(a?7b)

3.已知x?y?z?2且x,y,z>0，求證：1119≥ ??x?yy?zz?x

44.設(shè)a,b,c為正數(shù)且互不相等.求證:2229> ??a?bb?cc?aa?b?c

3111≥ ??a3(b?c)b3(a?c)c3(a?b)25.設(shè)正實數(shù)a,b,c 滿足abc?1, 求證:

12100 3c

222?a?b?c17.設(shè)實數(shù)a,b,c 滿足a?2b?3c?6，求證：3?9?27≥； 36.設(shè)a,b,c為正數(shù), 且a?b?c?1,求證:(a?)?(b?)?(c?)≥221a1b

8.已知x?2y?3z?12, 求證:x?2y?3z≥24；

9.已知a?b?c?1, 求證:a?1?b?2?3c?3?33；

10.若a>b>c，求證：222114 ??a?bb?ca?c

答案：

y(1?y)?y(x?z)?xy?xz

1.證明：由x?y?z?1得：z(1?z)?z(x?y)?zx?yz

x(1?x)?x(y?z)?xy?zx，所以有

x2y2z2x2y2z2

＝，由柯西不等式得：????y(1?y)z(1?z)x(1?x)xy?yzzx?yzxy?zx

x2y2z2

[(xy?yz)?(zx?yz)?(xy?zx)]?(??)?(x?y?z)2 xy?yzzx?yzxy?zx

x2y2z2

所以有：???[(xy?yz)?(zx?yz)?(xy?zx)] xy?yzzx?yzxy?zx

x2y2z2

即：???2(xy?yz?zx)，xy?yzzx?yzxy?zx

又2(xy?yz?zx)?(x?y?z)2?(x2?y2?z2)

x?y?z?xy?yz?zx222x?y?z?1 31x2y2z2

所有：，當(dāng)且僅當(dāng)x?y?z?時取等號 ???xy?yzzx?yzxy?zx2

32.證明：由柯西不等式可得：

(11121112??)?(1??1??1?)a?2ba?4ba?6ba?2ba?4ba?6b

111??]< 222(a?2b)(a?4b)(a?6b)

（放縮）?(12?12?12)[3[111??](a?b)(a?3b)(a?3b)(a?5b)(a?5b)(a?7b)

?

?3111111(?????)2ba?ba?3ba?3ba?5ba?5ba?7b（裂項相消）36b9311?(?)?2b(a?b)(a?7b)(a?b)(a?7b)2ba?ba?7b

3111< ??a?2ba?4ba?6b(a?b)(a?7b)所以有：

3.證明：由柯西不等式得：

[(x?y)?(y?z)?(z?x)]?（111??)?(1?1?1)2?9，又x?y?z?2x?yy?zz?x3

所以有：11199≥???.x?yy?zz?x2(x?y?z)4

4.證明：與第3題的證法相同，最后說明a,b,c為正數(shù)且互不相等,所以不取等號；

5.證明：由abc?1得：abc?1，所以：2221122221?bc,?ac,2?a2b2 22abc

111??a3(b?c)b3(a?c)c3(a?b)

b2c2a2c2a2b2b2c2a2c2a2b2

??????a(b?c)b(a?c)c(a?b)ab?acab?bcac?bc

b2c2a2c2a2b2

[(ab?ac)?(ab?bc)?(ac?bc)]?(??)?(bc?ac?ab)2 ab?acab?bcac?bc

b2c2a2c2a2b2(bc?ac?ab)2bc?ac?ab3a2b2c2

?????即： ab?acab?bcac?bc2(ab?bc?ac)22

又abc?1，所以：3111≥ ??333a(b?c)b(a?c)c(a?b)2

6.證明：由柯西不等式

111111[1?(a?)?1?(b?)?1?(c?)]2?(12?12?12)?[(a?)2?(b?)2?(c?)2] abcabc

結(jié)合a?b?c?1 ***2所以：(a?)?(b?)?(c?)?[(a?b?c)?(??)]?[1?(??)]abc3abc3abc

1111112又???(a?b?c)(??)?(1?1?1)?9 abcabc

1111211002所以：[1?(??)]?(1?9)? 3abc33

121212100故：(a?)?(b?)?(c?)≥ 3abc

7.證明：

3?a?9?b?27?c＝3?a?3?2b?3?3c?33?a?3?2b?3?3c?33?(a?2b?3c)

又由柯西不等式：

(1?a?2?2b?3?c)2?[12?(2)2?(3)2]?[a2?(2b)2?(3c)2]

即：(a?2b?3c)?6?(a?2b?c)，結(jié)合a?2b?3c?6

所以有：a?2b?3c?6 2222222

即：33

所以：3?(a?2b?3c)?33?6?1 3?a1?9?b?27?c≥ 3

8.證明：由

(1?x?2?2y??z)2?[12?(2)2?()2]?[x2?(2y)2?(z)2]

結(jié)合題目條件即可證出，與第7題一樣；

9.證明：

(1?a?1?1?b?2?1?c?3)2?(12?12?12)?[(a?1)2?(b?2)2?(c?3)2]?3[3(a?b?c)?6]

結(jié)合題目條件就可以證出了！

10.證明：由條件a>b>c得：a?b>0,b?c>0,所以

11?)?(1?1)2＝4 a?bb?c

114所以： ??a?bb?ca?c[(a?b)?(b?c)]?（點評： 1.（22?ak?1n2k)?(?b)?(?akbk)2中的求和展開式為： 2kk?12nnk?1(a1?a2????an)(b1?b2????bn)?(a1b1?a2b2?????anbn)2；

2.二維、三維、n維柯西不等式的證明分別用了作差法、向量法、構(gòu)造函數(shù)法證明，其實這三種方法也可以相互遷移，尤其是向量法簡潔明了，值得借鑒；

3.帶條件的三元不等式很常見, 用柯西不等式來證的較多, 要適當(dāng)選擇ak 和bk, 便于運用柯西不等式(222?a

k?1n2k)?(?b)?(?akbk)2； 2kk?1k?1nn

4.結(jié)合柯西不等式及變式中的等號成立的條件，請讀者自行研究以上不等式的取等號條件。

以上如有錯誤之處敬請原諒并給予批評指正

郵箱zgh9723008@sina.com或qq聯(lián)系：934355819(驗證信息填：柯西不等式)

謝謝！

第五篇：柯西不等式的小結(jié)

柯西不等式的小結(jié)

浙江省余姚中學(xué)

徐鵬科

315400 柯西不等式是數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理方程研究中一個非常重要的不等式，普通高中數(shù)學(xué)新課程把它列入選修內(nèi)容，然而對于浙江等省份而言，又是高考報考第一類大學(xué)的加試內(nèi)容。因此對其作一小結(jié)很有必要，通過幾年的教學(xué)與實踐，應(yīng)該說把握這塊知識已不是困難的事。

新課程選修４-５中，施行類比的數(shù)學(xué)思想方法得到的柯西不等式一般形式為：

設(shè)a1,a2,a3,?,an;b1,b2,b3,?,bn是實數(shù)，則

222222(a12?a2?a3??an)(b12?b2?b3???bn)?(a1b1?a2b2?a3b3???anbn)2

當(dāng)且僅當(dāng)bi?0(i?1,2,3,?,n)或存在一個實數(shù)k使ai?kbi(i?1,2,3,?,n)時等號成立。課本提供的證時方法是構(gòu)造函數(shù)f(x)?(a1x?b1)2?(a2x?b2)2???(anx?bn)2，利用f(x)非負(fù)性來完成不等式的證明。筆者認(rèn)為，課本從二維向量類比到三維向量后得到了三維形式的柯西不等式，如果再增加從三維向量到n維向量的類比，那么柯西不等式的一般形式也就此可得，這是我們作為教師應(yīng)該想到的地方。在這里必須指出，大多學(xué)生在學(xué)習(xí)柯西不等式時會遇到的困難不少，不等式形式的記憶，不等式應(yīng)用的靈活性，會使學(xué)家生置身于云里霧里。筆者在教學(xué)中為學(xué)生記憶方便，編了如下的順口溜：“大端括號乘括號，小端括號添平方，末平方的平方和，已平方的和串積，莫忘何時能相等?！睂嵺`證明，效果是明顯的。

柯西不等式是一個公式，公式總涉及到應(yīng)用的問題，公式的應(yīng)用不外乎“順用”、“逆用”、“變用”這三種用法，下面來舉例說明，由于篇幅有限每道例題只作分析，讀者閱后自證較易。

首先要掌握“順用”，這里指的是從大到小的應(yīng)用 例

1、設(shè)x1,x2,?,xn?R?，且x1?x2???xn?1。

22xnx12x21求證：?????.1?x11?x21?xnn?1分析：根據(jù)柯西不等式的特征和x1?x2???xn?1，要證的不等式可變形為

22xnx12x2(n?1)(左邊第一括號中的n可看成n個????)?(x1?x2???xn)2，1?x11?x21?xn1的和，再把余下的1代掉即可得需證不等式，即證：

22xnx12x2[(1?x1)?(1?x2)???(1?xn)](????)?(x1?x2???xn)2，此即

1?x11?x21?xn柯西不等式，顯然成立。

其次要掌握“逆用”，這里指的是從小到大的應(yīng)用。例2 已知 2x?3y?4z?10求x?y?z的最小值.222分析： ?10??2x?3y?4z??2?3?422222?x?y?z?2?2??x2?y2?z2?

100203040,y?,z? 當(dāng)且僅當(dāng)x?時等號成立

29292929100222

??x?y?z??

min29本題的解題過程告訴我們，柯西不等式中的三個括號，如果其中兩個是定值，則必可求出余下一個括號的最值。

最后，要把握”變用”，這里指的是對整個公式作靈活應(yīng)用，是公式應(yīng)用中的最高層次。例 3 設(shè)實數(shù) x,y滿足2x2?3y2?5，求A?x?2y的最大值.分析： 顯然，本題解決方向應(yīng)是從小端向大端行進(jìn)，然而，恰當(dāng)配湊常數(shù)是關(guān)鍵。

?A??x?2y???22???2x???222??1111?????3y?????5? ???????623????????2

?A?x?2y?x?2y?330 6例4 已知x,y,z?R?且x?y?z?1

（1）若2x2?3y2?6z2?1求x,y,z的值.（2）若2x2?3y2?tz2?1恒成立，求正數(shù)t的取值范圍.分析： 對于（1），求x,y,z的值只有兩個方程，這是一個三元不定方程，一般不能求出確 定的x,y,z的解，現(xiàn)題目要求這樣做，因此個中必有特殊情況，特殊情況就在柯西不等式中，2?111??2x2?3y2?6z2??????2x2?3y2?6z2???x?y?z??1

?236?

等號當(dāng)且僅當(dāng)x?111,y?,z?時取到。23622可見題設(shè)的特殊性。確定了未知數(shù)能取的特殊性。

對于（2），既然2x?3y?tz?1恒成立，除參數(shù)t必然的一個取值范圍的要求外還 須2x?3y?tz的最小值也應(yīng)該是大于等于1.為此只需柯西不等式從大端到小端的進(jìn)行，又2x2?3y2?tz2?于是2x2?3y2?tz22222?2?111????x?y?z?1，????236????2min?151?6t?1成立，解得t?6

例 5 已知 w?x?y?z?F?16，求F?8?w?x?y?z的最大值.2222分析： 要求出F的最大值，需要建立關(guān)于F的不等式，借助柯西不等式就可以達(dá)到目的.?8?F???w?x?y?z??1?1?1?12222

于是有 5F?16F?0,22?2??w2?x2?y2?z2??4??16?F2?

0?F?165?Fmax?當(dāng)且僅當(dāng)x?y?z?w?6時取到。5165

例 6 如圖 已知在銳角?ABC中，BC?a,AC?b,AB?c，其內(nèi)一點P向三邊作垂線，垂足為N，M，L，試求BC?CM22?AN的最小值，zND2A并指出此時P點的位置。

分析： 為了求出題中變量的最小值，首先想到的是把這 個量用數(shù)學(xué)式子表達(dá)出來。于是可設(shè)

MyBL?x,CM?y,AN?z

?PB2?x2?PC2?(a?x)2?2222由勾股定理?PC?y?PA?(b?y)?PA2?z2?PB2?(c?z)2?三式相加即得

BxLC

(a?x)2?(b?y)2?(c?z)2?x2?y2?z2

化簡整理得ax?by?cz?12(a?b2?c2)2(1)

(2)由柯西不等式ax?by?cz?222a2?b2?c2?x2?y2?z2a2?b2?c2有（1）、（2）得到x?y?z?4當(dāng)且僅當(dāng)x?2(3)

abc,y?,z?時取到。22222a2?b2?c2?BC?CM?AN的最小值為

4此時P點是銳角三角形ABC的外心。

綜上所述，柯西不等式的教學(xué)既要抓緊基礎(chǔ)知識的落實，又要靈活掌握應(yīng)用。在柯西不等式的應(yīng)用中充滿著智慧，對運算能力特別是代數(shù)式的變形技巧和數(shù)字的配湊技巧提出較高的要求，是培養(yǎng)學(xué)生能力的好場所。