第一篇：2014年高等數(shù)學(xué)競賽——專題五不等式

專題五不等式

1.設(shè)f(x)在 [0, 1]上連續(xù),非負(fù)，單調(diào)減。

2.?f(x)dx?a?f(x)dx(0?a?1)00a1

b?abf(x)dx 3.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，單調(diào)增。求證:?xf(x)dx?a2?ab

4.設(shè)f(x)在 [0, 1]上可導(dǎo),且f(0)?0,0?f?(x)?1.1135.???0f(x)dx????0f(x)dx.??2

sinx?(0?x?)?x2

b2(b?a)(0?a?b)7.求證: ln?ab?a6.求證: 2?

8.比較e?與?e的大小.9．設(shè)limx?0f(x)?1，且f??(x)?0，證明：f(x)?x.（泰勒，最值，中值）x

10.設(shè)f(x)在[0,??)二階可導(dǎo)，且f(0)?1,f?(0)?1,f??(x)?f(x),(x?0).求證：f(x)?ex.11.設(shè)f(x)在??1,1?內(nèi)有f??(x)?0，且limx?0f(x)?sinx?2，證明在??1,1?內(nèi)有x

f(x)?3x.12.證明：0?x?1時(shí) 有?xln(1?x)?1?xarcsinx

x13.試?yán)煤瘮?shù)f(x)?a,對于a?1,x?1,證明以下不等式

?a.n21naa?a?lna(n?1)2

1n?11n1n?1

第二篇：高等數(shù)學(xué)中不等式的證明方法

高等數(shù)學(xué)中不等式的證明方法

摘要：各種不等式就是各種形式的數(shù)量和變量之間的相互比較關(guān)系或制約關(guān)系，因此，不等式很自然地成為分析數(shù)學(xué)與離散數(shù)學(xué)諸分支學(xué)科中極為重要的工具，而且早已成為 專門的研究對象。高等數(shù)學(xué)中存在大量的不等式證明，本文主要介紹不等式證明的幾種 方法，運(yùn)用四種通法，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值或最值以及積分中值定理來解 決不等式證明的問題。我們可以通過這些方法解決有關(guān)的問題，培養(yǎng)我們的創(chuàng)新精神，創(chuàng)新思維，使一些較難的題目簡單化、方便化。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；不等式；極值；單調(diào)性；積分中值定理

Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints.Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（畢業(yè)論文參考網(wǎng)原創(chuàng)論文）ches of mathematics.It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics.This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem.We can resolvethe problems identified through these methods.It can bring up our innovative spirit

and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient,Keyword: Higher Mathematics;Inequality;Extreme value Monotonicity;Integral Mean Value

Theorem

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【摘要】不等式證明是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要內(nèi)容，通過解答考研數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的不等式試題，對一些常用的不等式證明方法進(jìn)行總結(jié)。

【關(guān)鍵詞】不等式； 中值定理； 泰勒公式； 輔助函數(shù)； 柯西施瓦茨； 凹凸性

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)就是不等式的證明，大多數(shù)學(xué)生在遇到不等式證明問題不知到如何下手，實(shí)際上在許多不等式問題都存在一題多解，針對不等式的證明，以考研試題為例，總結(jié)了幾種證明不等式的方法，即中值定理法、輔助函數(shù)法、泰勒公

式法、函數(shù)的凹凸性法、柯西施瓦茨不等式。

1中值定理定理法

利用中值定理（羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的方法來證明不等式首先要熟記各個(gè)中值定理的應(yīng)用條件，可將原不等式通過變形找到一個(gè)輔助函數(shù)，使其在所給區(qū)間上滿足中值定理的條件，證明的關(guān)鍵是處理好ξ點(diǎn)，分析函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)的性質(zhì)即可得到所要結(jié)論，在證明過程中也會出現(xiàn)反復(fù)應(yīng)用同一定理或同時(shí)應(yīng)用幾個(gè)定理進(jìn)行證明的情況。

例1設(shè)e4e2(b-a)。

解：對函數(shù)ln2x在［a,b］上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得ln2b-ln2a=2lnξξ(b-a)，a<ξ設(shè)φ(x)=lnxx，φ′(x)=1-lnxx2當(dāng)x>e時(shí)，φ′(x)<0，所以φ(x)單調(diào)減少，從而φ(ξ)>φ(e2)，即lnξξ>lne2e2=2e2，故ln2b-ln2a>4e2(b-a)。

也可利用函數(shù)的單調(diào)性證明，可設(shè)φ(x)=ln2x-4e2x

例2設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，證明在（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f′(ξ)>0。

解：因f(x)不恒為常數(shù)且f(a)≠f(b)，故至少存在一點(diǎn)c∈(a,b),使得f(c)≠f(a)=f(b)。

若f(c)>f(a)則在［a,c］上f(x)滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，因此至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,c)(a,b)，使得f′(ξ)=1c-a［f(c)-f(a)］>0。

若f(c)

2利用輔助函數(shù)的單調(diào)性證明

輔助函數(shù)方法比較常用，其主要思想是將不等式通過等價(jià)變形，找到一個(gè)輔助函數(shù)，通過求導(dǎo)確定函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性，即可證明出結(jié)論。常用的方法是，直接將不等號右端項(xiàng)移到不等號左端，另不等號右端為零，左端即為所求輔助函數(shù)。

例3試證：當(dāng)x>0時(shí)，(x2-1)lnx≥(x-1)2。

解：設(shè)f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，易知f(1)=0。

又f′(x)=2xlnx-x+2-1x，f′(1)=0, f′(x)=2lnx+1+1x2,f′(1)=2>0

f(x)=2(x2-1)x3可見，當(dāng)00，因此有當(dāng)00。又由f′(1)=0及f′(x)是單調(diào)增加的函數(shù)推知，當(dāng)00，因此進(jìn)一步有f(x)≥f(1)=0(00時(shí)，(x2-1)lnx≥(x-1)2。

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例4設(shè)b>a>e，證明ab>ba。

分析：要證ab>ba，只需證blna>alnb或lnaa>lnbb

解一：令f(x)=xlna-alnx(x≥a),因?yàn)閒′(x)=lna-ax>1-ax≥0(x≥a)

所以f(x)在x≥a時(shí)單調(diào)增加。因此當(dāng)bφa時(shí)，有f(b)>f(a)=0，即有blna>alnb，也即ab>ba。

解二：令f(x)=lnxx,x>e,則有f′(x)=1-lnxx2<0(x>e)，因此f(x)單調(diào)減少，故當(dāng)b>a>e時(shí)，有l(wèi)naa>lnbb即ab>ba。

3利用泰勒展開式證明

泰勒展開式的證明常用的是將函數(shù)f(x)在所給區(qū)間端點(diǎn)或一些特定點(diǎn)（如區(qū)間的中點(diǎn)，零點(diǎn)）進(jìn)行展開，通過分析余項(xiàng)在ξ點(diǎn)的性質(zhì)，而得出不等式。另外若余項(xiàng)在所給區(qū)間上不變號，也可將余項(xiàng)舍去而得到不等式。

例5設(shè)f(x)在［0，1］上具有二階可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件|f(x)|≤a,|f(x)|≤b,其中a,b都是非負(fù)常數(shù)，c是（0，1）內(nèi)任意一點(diǎn)，證明|f′(x)|≤2a+b2。

分析:已知f(x)二階可導(dǎo)，應(yīng)考慮用二階泰勒展開式。本題涉及證明|f′(x)|≤2a+b2，應(yīng)在特定點(diǎn)x=c處將f(x)按泰勒公式展開。

解： 對f(x)在x=c處用泰勒公式展開，得

f(x)=f(c)+f′(c)(x-c)+f′(ξ)2!(x-c)2（1）

其中ξ=c+θ(x-c),0<θ<1，在（1）式中令x=0，有

f(0)=f(c)+f′(c)(0-c)+f′(ξ)2!c2, 0<ξ1

在（1）式中令x=1，有f(1)=f(c)+f′(c)(1-c)+f′(ξ)2!c2, 0

上述兩式相減得

f(1)-f(0)=f′(c)12!［f′(ξ2)(1-c)2-f′(ξ1)c2］,于是

|f′(c)|=|f(1)-f(0)-12 ［f′(ξ2)(1-c)2-f′(ξ1)c2］|

≤|f(1)|+|f(0)|+12|f′(ξ2)|(1-c)2+12 |f′(ξ1)|c2

≤2a+b2［(1-c)2+c2］,又因當(dāng)c∈(0,1)時(shí)，有

(1-c)2+c2≤1故 |f′(c)|≤2a+b2

因這里ξ與x有關(guān)，可將其記為ξ(x)，那么當(dāng)令x分別取0和1時(shí)，對應(yīng)的ξ可分別用ξ1和ξ2表示。

4柯西施瓦茨不等式

(〖jf(z〗baf(x)g(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf2(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗bag2(x)dx〖jf)〗

柯西施瓦茨不等式是一個(gè)常用的不等式，在證明過程中我們可以直接利用常用不等式進(jìn)行證明，即方便又快捷。

例6設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且f(x)>0,證明〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2?！糺f)〗

證明：(〖jf(z〗baf(x)1f(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf(x))2 dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba（1f(x))2dx〖jf)〗

即得〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2〖jf)〗

5利用函數(shù)圖形的凹凸性進(jìn)行證明

函數(shù)的凹凸性證明方法首要是找到輔助函數(shù)f(x)，利用函數(shù)f(x)在所給區(qū)間［a,b］的二階導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的凹凸性。

f′(x)>0 函數(shù)為凹的,則 f(a)+f(b)>2f(a+b2)；

f′(x)<0 函數(shù)為凸的,則 f(a)+f(b)<2f(a+b2)，從而證明出結(jié)論。

例7xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2,(x>0,y>0,x≠y)

令 f(t)=tlnt(t>0), f′(t)=lnt+1, f′(t)=1t>0, 故 f(t)=tlnt在（x,y）或（y,x）,x>0,y>0是凹的，于是

12［f(x)+f(y)］>f(x+y2)

即12［f(x)+f(y)］>x+y2ln x+y2

即xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2

類似的如：證明 ex+ey2>ex+y2,(x≠y)。

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第三篇：大一高等數(shù)學(xué)競賽策劃

大一高等數(shù)學(xué)競賽策劃

一、目的及意義

高等數(shù)學(xué)是理工科基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，也是學(xué)科建設(shè)的基礎(chǔ)。與物理、物化、工

程力學(xué)、傳輸原理、電工學(xué)等幾乎所有理工科課程有關(guān)。03級實(shí)踐證明98%的同學(xué)由于高等數(shù)學(xué)底子薄弱聽不懂課程，導(dǎo)致最后強(qiáng)烈要求將統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)改為考查課。而且在許多理工類論文的研究突破點(diǎn)上，高等數(shù)學(xué)及其數(shù)學(xué)思維功不可沒。它與考研息息相關(guān)，且與英語兩門決定考研大局。

通過競賽激發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)興趣，大一時(shí)就打好堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，為以后其它知

識學(xué)習(xí)提供必備的學(xué)習(xí)工具。03，04級掛科的同學(xué)也可以參加，這樣可以幫助他們發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中的漏洞及時(shí)彌補(bǔ)提高整體通過率。還可以為形成考研隊(duì)伍起到引導(dǎo)、啟發(fā)作用。而且在教學(xué)上起到檢驗(yàn)教學(xué)的目的，并且通過競賽活動希望達(dá)到教學(xué)相長的作用。但最重要的還是希望這次活動為材料系學(xué)科建設(shè)形成具有特色的模式進(jìn)行拋磚引玉，為培養(yǎng)具有后勁人才打下基礎(chǔ)。

為此學(xué)習(xí)部組織本次由學(xué)習(xí)部出題，批卷的高數(shù)競賽活動。并且考完后由學(xué)習(xí)部組織同學(xué)對試題進(jìn)行詳細(xì)講解以及對其它疑問知識的解答。

三、命題及考試方式

① 試題特點(diǎn)：滿分為150分，選擇題12題，每題5分。填空題4題，每題4分。

解答題6題，分別8、10、10、12、12、14分。基礎(chǔ)題共106分，壓軸題44分，且采取多題把關(guān)的方式。

② 命題小組：組長：闕永生

成員：李娜、高翠萍、靳冰花、劉文杰

③ 監(jiān)考小組：總監(jiān)：孫強(qiáng)督察：馬建軍（輔導(dǎo)員）

成員：闕永生、魏冰、靳冰花、劉文杰

④ 批卷小組：組長：闕永生

成員：李娜、高翠萍、靳冰花、劉文杰

四、考試安排

時(shí)間：12月24日上午9：00 ~ 11：00（考生8：40進(jìn)入考場）

地點(diǎn)：13#129

五、獎(jiǎng)勵(lì)方式

一等獎(jiǎng)1 名、二等獎(jiǎng)1名、三等獎(jiǎng)1名、鼓勵(lì)獎(jiǎng)5名

具體獎(jiǎng)勵(lì)辦法：一等獎(jiǎng)80元、二等獎(jiǎng)50元、三等獎(jiǎng)20元、鼓勵(lì)獎(jiǎng)每人鋼筆1支、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)榮譽(yù)證書各一份

六、經(jīng)費(fèi)操作

①

②

③

④

⑤ 獎(jiǎng)品費(fèi)用總計(jì)約為225元。試卷用紙30元。光榮榜用紙3元。命題人員活動經(jīng)費(fèi)每人8元（共40元）?？傆?jì)：298元

材料系學(xué)習(xí)部

2005年10月10日

第四篇：絕對值不等式題型五

典型例題五

例5 求證a?b

1?a?b?a

1?a?b

1?b．

分析：本題的證法很多，下面給出一種證法：比較要證明的不等式左右兩邊的形式完全相同，使我們聯(lián)想利用構(gòu)造函數(shù)的方法，再用單調(diào)性去證明．

證明：設(shè)f(x)?x1?x?11． ??1?1?x1?x1?x

定義域?yàn)椋鹸x?R，且x??1｝，f(x)分別在區(qū)間(??,?1)，區(qū)間(?1,??)上是增函數(shù)． 又0?a?b?a?b，∴f(a?b)?f(a?b)即a?b

1?a?b?a?b

1?a?b?a

1?a?b?b

1?a?b?a

1?a?b

1?b

∴原不等式成立．

說明：在利用放縮法時(shí)常常會產(chǎn)生如下錯(cuò)誤： ∵a?b?a?b，1?a?b?0，∴a?bababa?b． ?????1?a?b1?a?b1?a?b1?a?b1?a1?b

錯(cuò)誤在不能保證1?a?b?1?a，1?a?b?1?b．絕對值不等式a?b?a?b在運(yùn)用放縮法證明不等式時(shí)有非常重要的作用，其形式轉(zhuǎn)化比較靈活．放縮要適度，要根據(jù)題目的要求，及時(shí)調(diào)整放縮的形式結(jié)構(gòu)．

第五篇：高等數(shù)學(xué)競賽感想

高等數(shù)學(xué)競賽（微積分競賽）參賽感言

數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要組成部分，其變換的形式以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)構(gòu)邏輯是數(shù)學(xué)之美上的一顆璀璨明珠。本文簡單闡述我對數(shù)學(xué)以及微積分，這個(gè)數(shù)學(xué)的重要分支的一些理解以及參加工科微積分競賽的一些感想。

我認(rèn)為，首先，數(shù)學(xué)賦予了我們一個(gè)淸晰的頭腦，這使得我們可以肴淸事物之間的聯(lián)系；其次，數(shù)學(xué)加深了我們對事物的判斷能力；第三，數(shù)學(xué)開發(fā)了我們的邏輯思維。

最近幾年，我不斷的體會到數(shù)學(xué)在學(xué)習(xí)以及生活等方而都為我們提供了大量的可利用資源，并不是所有人都理解這一點(diǎn)，畢竟數(shù)學(xué)是一門非常抽象的學(xué)科，數(shù)學(xué)在本質(zhì)上完全不同于物理化學(xué)。員然應(yīng)用學(xué)科帶來了巨大的經(jīng)濟(jì)效益，伹倘若沒有數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)，所有的學(xué)科都將變成空中樓閣。一個(gè)人要想成為一名科學(xué)家，他酋先必須成為一名數(shù)學(xué)家。數(shù)學(xué)產(chǎn)生一種魔力控制著我們的思維，大腦一旦失去數(shù)學(xué)的作用有如身體失去地心引力一樣虛無縹緲，數(shù)學(xué)的魔力不僅使人的大腦產(chǎn)生了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?，而且使人的工作效率大大提高，這是我們有目共睹的。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要兩個(gè)前提：一是要有悟性，一是要有一定的計(jì)算能力，二者缺一不可。悟性的提髙在于勤思考，多發(fā)現(xiàn)。在這點(diǎn)上我深有體會，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，我常常把一些離散的信息進(jìn)行加工，得到另一些連續(xù)的或更有價(jià)值的信息(如將特殊式反推得到一般式就可以看到式子變化的規(guī)律)以便增加已知銀來解決我所要而對的問題。

數(shù)學(xué)是一門計(jì)算科學(xué)，所以學(xué)好數(shù)學(xué)就必須要有一定的計(jì)算能力。而數(shù)學(xué)沒學(xué)好的人通常有兩個(gè)原因：一是邏輯思維發(fā)生混亂，一是分析計(jì)算能力差。

只要找到自己的弱項(xiàng)，努力的拼搏，最終是會成功的。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是沒有終點(diǎn)的，成功只是漫漫旅途的一站，而旅途上更多的是失畋，數(shù)學(xué)上的成功來源于實(shí)力而不是靠運(yùn)氣，而實(shí)力則是在堅(jiān)持不懈的奮斗中點(diǎn)點(diǎn)滴滴麼練出來的。那么我們應(yīng)該怎么樣培養(yǎng)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法呢？ 數(shù)學(xué)學(xué)方法總結(jié)

在學(xué)數(shù)學(xué)的過程中，一足會遇到外種.各種各樣的公式，定理和規(guī)律，這些都是前人畢生心血總結(jié)出來的，是人類智惹的結(jié)晶，為我們的學(xué)習(xí)指明了光明的道路。而我們也應(yīng)該認(rèn)識到一點(diǎn)：這些僅僅只是大的輪廓，其中所容納的空間是十分空曠的。前人的路需要我們不斷地開拓，不斷地完善，然而這一切又一切的實(shí)現(xiàn)要靠敢于創(chuàng)新的自我。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，好比建筑一棟大樓，在打好地某一磚一瓦建筑的同時(shí)，首先應(yīng)該檢驗(yàn)地基的牢固性，是否經(jīng)得起百層的建筑。在這之后才能隨心所欲地裝飾你的大樓。從這里可以看出，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)既要在“守舊”中“創(chuàng)新 '又要在‘’創(chuàng)新中‘’守舊'這是最淺顯的知識上追求新的發(fā)展，在新領(lǐng)域中不脫離根本的原理。這里最重要的是知識的聯(lián)系，學(xué)會舉一反三，做到融會貰通，這樣才會有學(xué)習(xí)上的進(jìn)步，否則只能是在原地踏步。創(chuàng)新是引發(fā)歷史革命的根本動力，它很可能引發(fā)新的數(shù)學(xué)革命，最終將帶動整個(gè)社會向前發(fā)展。因此，我們應(yīng)該在具有創(chuàng)新的精神的同時(shí)，具有大膽提出問題、汄真研究問題、合理想象問題、巧妙解決問題的信念以及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。培養(yǎng)對數(shù)學(xué)的熱情

無論學(xué)什么，興趣總是最好的老師，數(shù)學(xué)更是如此。興趣的培養(yǎng)在于你對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，那么對于那些對數(shù)學(xué)沒有興趣又不得不學(xué)的人來說，只有培養(yǎng)你對數(shù)學(xué)的熱情了。20 世紀(jì)初的大數(shù)學(xué)家希爾伯特教授曾說過，真正的數(shù)學(xué)大師是能夠在鄉(xiāng)間小迸上向偶然遇見的農(nóng)夫講淸楚什么是微分幾何的人。從這里我們可以肴出數(shù)學(xué)不只是純粹的柚象，它是與每個(gè)人都密切相關(guān)的知識，農(nóng)夫正是有著對*數(shù)學(xué)*的熱情才津津有味的欣賞著數(shù)學(xué)大師的”數(shù)學(xué)表演'由你懷著對數(shù)學(xué)的一絲希望，請不要放棄，因?yàn)檫@是難能可進(jìn)的。當(dāng)你真正的靜下心來做幾道數(shù)學(xué)題，可以毫不含糊的說，已經(jīng)在你的心中喚起了對數(shù)學(xué)的渴望，燃起了學(xué)數(shù)學(xué)的熱情，那么珍惜這份熱情，讓它變成激情，帶著你”飛"向成功吧！豐富你的數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想既豐富又實(shí)用，比如說微積分思想、數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)變換思想、相關(guān)科學(xué)知識互動的思想等等，用途非常的廣泛。在數(shù)學(xué)的城堡里，可以演繹出大量的題型，它們有著規(guī)棒般的解題模式，這些思想是需要你點(diǎn)點(diǎn)滴滴的積累。

微積分是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分。積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。

微積分的結(jié)題思想我認(rèn)為包含以下三類： 轉(zhuǎn)化思想。

在日常的學(xué)習(xí)中，我們都習(xí)慣了一些簡單的轉(zhuǎn)化方法，比如將1+x2中將x轉(zhuǎn)換為tanx，但是在題目中各類數(shù)學(xué)形式往往是交叉出現(xiàn)的，這就要求我們要了解轉(zhuǎn)化思維的內(nèi)涵，而不是浮于表面，能夠?qū)⑥D(zhuǎn)化與函數(shù)靈活的結(jié)合起來，這樣面對復(fù)雜的問題時(shí)才能正確分析。構(gòu)造思維

構(gòu)造法要求去構(gòu)建一個(gè)輔助函數(shù)，并在其中運(yùn)用已知條件中的各類因素 一題多解

為什么我們面對難題時(shí)會大腦發(fā)懵，甚至毫無應(yīng)對方法，以至于放棄呢？答案就是惰性。也是我們平常用的最習(xí)慣的解決問題的方式，也使得我們放棄了思考。缺乏思考變無法做到厚積薄發(fā)。

當(dāng)然，工科所學(xué)的微積分涉及面較窄，這在一定程度上縮小了工科學(xué)生對于數(shù)學(xué)的認(rèn)知范圍，所以，可以試著把工學(xué)中的學(xué)習(xí)方法帶入到微積分的學(xué)習(xí)中來；通過此次競賽，我發(fā)現(xiàn)工科所學(xué)的微積分的深度有待提高，這不僅是最基本的計(jì)算能力的提升，更是一種數(shù)學(xué)思維和分析方法的培養(yǎng)。由于難度的降低，使得很多人投入的時(shí)間不是很多，這會在很大程度上減少對數(shù)學(xué)的興趣，并且會直接影響到未來對工科中一些學(xué)科的深入探究。所以，我們對微積分的探究需要有所深入才能靈活自如的運(yùn)用。微積分在我們眼中不僅僅是題目那么簡單，它更是一種認(rèn)知工具，是一種探索的方法。

當(dāng)代數(shù)學(xué)分析權(quán)威柯朗(R．Courant)指出：“微積分乃是一種震撼心靈的智力奮斗的結(jié)晶。而在我看來，微積分的意義可從下面幾個(gè)方面去看。(1)對數(shù)學(xué)自身的作用

由古希臘繼承下來的數(shù)學(xué)是常量的數(shù)學(xué)，是靜態(tài)的數(shù)學(xué)。自從有了解析幾何和微積分，就開辟了變量數(shù)學(xué)的時(shí)代，是動態(tài)的數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)開始描述變化、描述運(yùn)動，改變了整個(gè)數(shù)學(xué)世界的面貌。數(shù)學(xué)也由幾何的時(shí)代而進(jìn)人分析的時(shí)代。

微積分給數(shù)學(xué)注入了旺盛的生命力，使數(shù)學(xué)獲得了極大的發(fā)展，取得了空前的繁榮。如微分方程、無窮級數(shù)、變分法等數(shù)學(xué)分支的建立，以及復(fù)變函數(shù)，微分幾何的產(chǎn)生。嚴(yán)密的微積分的邏輯基礎(chǔ)理論進(jìn)一步顯示了它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的普遍意義。(2)對其他學(xué)科和工程技術(shù)的作用 有了微積分，人類把握了運(yùn)動的過程，微積分成了物理學(xué)的基本語言，尋求問題解答的有力工具。有了微積分就有了工業(yè)大革命，有了大工業(yè)生產(chǎn)，也就有了現(xiàn)代化的社會。航天飛機(jī)、宇宙飛船等現(xiàn)代化的交通工具都是微積分的直接后果。在微積分的幫助下，牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，發(fā)現(xiàn)了宇宙中沒有哪一個(gè)角落不在這些定律所包含的范圍內(nèi)，強(qiáng)有力地證明了宇宙的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)。(3)對人類物質(zhì)文明的影響

現(xiàn)代的工程技術(shù)直接影響到人們的物質(zhì)生產(chǎn)，而工程技術(shù)的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)，都離不開微積分。如今微積分不但成了自然科學(xué)和工程技術(shù)的基礎(chǔ)，而且還滲透到人們廣泛的經(jīng)濟(jì)、金融活動中，也就是說微積分在人文社會科學(xué)領(lǐng)域中也有著其廣泛的應(yīng)用。(4)對人類文化的影響

如今無論是研究自然規(guī)律，還是社會規(guī)律都是離不開微積分，因?yàn)槲⒎e分是研究運(yùn)動規(guī)律的科學(xué)。