第一篇：不等式基礎(chǔ)知識匯總
不等式基礎(chǔ)知識
一、不等式的概念
1．不等式的定義
不等式：用不等號連接兩個解析式所得的式子，叫不等式．
不等式組：含有相同未知數(shù)的幾個不等式組成的式子，叫不等式組．
2．不等式的分類
（1）按所用不等號分：嚴(yán)格不等式（簡單命題）、不嚴(yán)格不等式（復(fù)合命題）．
（2）按變量取值范圍分：絕對不等式、條件不等式、矛盾不等式．
（3）按變量的數(shù)量分：一元不等式、二元不等式、多元不等式．
（4）按解析式的類型分：
3．不等式的相互關(guān)系
（1）由不等號方向看：同向不等式、異向不等式．
（2）由變量范圍看：同解不等式、等價不等式．
（3）由形式關(guān)系看：同構(gòu)不等式、不同構(gòu)不等式．
二、實數(shù)運算的性質(zhì)（符號法則）
實數(shù)運算的符號法則是構(gòu)建不等式理論的基石，其順序為：
實數(shù)運算的符號法則→不等式的性質(zhì)→不等式性質(zhì)的應(yīng)用．
實數(shù)運算的符號法則：正數(shù)大于負(fù)數(shù)，零小于正數(shù)，零大于負(fù)數(shù)．
1．a(chǎn)?b?a?b?0,a?b?a?b?0,a?b?a?b?0．
2．a(chǎn)?0??a?0．
3．a(chǎn)?0?11?0,a?0??0． aa
4．a(chǎn)?0,b?0?a?b?0;a?0,b?0?a?b?0．
5．a(chǎn)?0,b?0?ab?0;a?0,b?0?ab?0;a?0,b?0?ab?0．
三、不等式的性質(zhì)
1．三歧性：對于任意兩個實數(shù)a與b，在a?b,a?b,a?b三種情況中僅有一種成立．
a?b?b?a．
3．傳遞性：a?b,b?c?a?(c?,?;?,?;?,等號是否傳到底？??2．對稱性：
a?b?c?a?b?c（移項法則、作差原理）． a?b?a?c?b?；c
5．加法法則：a?b,c?d?a?c?b?d（同向特征，可推廣）．
6．可乘性：a?b,c?0?ac?bc（若c?0，則a?b?ac?b）； c
． a?b,c?0?ac?bc（若c?0，則a?b?ac?bc）4．可加性：
7．倒數(shù)法則：（1）a?b?0?1111a?(若a、b?R?，則a?b????1)； ababb
1111a?(若a、b?R?，則a?b????1)； ababb
11?． ab（2）b?a?0?（3）a?0?b?
8．乘法法則：a?b?0,c?d． ?0?ac?bd（可推廣）
nn9．乘方法則：a?b?0?a?b(n?2,n?N?)．（乘法法則的特例）
mm（若a、b?R，m?Q，則a?b?a?b）．
10．開方法則：a?b?0n?2,n?N?)．
2211．均值定理：
（1）a?b?2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a、b相等時取等號）（可推廣）；
（2）a、b?R?，a?b?（當(dāng)且僅當(dāng)a、b相等時取等號）
（幾何意義：半徑不小于半弦．）；
22（3）ab?a
?b,ab?(a?
b)2（當(dāng)且僅當(dāng)a、b相等時取等號）； 2
2（4）a?b???a、b?R?)2?
ab
（當(dāng)且僅當(dāng)a、b相等時取等號）；
（調(diào)和平均數(shù)?幾何平均數(shù)?算術(shù)平均數(shù)?冪平均數(shù)）；
2（5）qpx??px?0,qx?0)（一正二定三相等）； x
(aq?bp)2
（6）(a?px)(b?qx)?（一正二定三相等）． 4pq
12．真分?jǐn)?shù)性質(zhì)：0?a?b,m?0?0?aa?m??1（濃度不等式）． bb?m
注：不等式的性質(zhì)可分為單向性質(zhì)和雙向性質(zhì)兩類．在解不等式時，只能用雙向性質(zhì)；
在證明不等式時，既可用單向性質(zhì)，也可用雙向性質(zhì)．
附：化歸方法在不等式中的具體運用：（1）異向化同向；（2）負(fù)數(shù)化正數(shù)；（3）減式化
加式；（4）除式化乘式；（5）多項化少項；（6）高次化低次．
四、不等式的證明
證明不等式就是利用不等式的性質(zhì)等知識，證明所給不等式在給定條件下恒成立．不等式形式的多樣性導(dǎo)致其證明方法的靈活性，具體問題具體分析是證明不等式的準(zhǔn)則．具體證明方法有如下幾種：
1．作差比較法
原理：符號法則．
步驟：作差?變形（配方、通分、分解、有理化、配方等）?定號?判斷．
2．作商比較法
原理：符號法則．
步驟：作商（注意前提）?變形（指數(shù)運算）?定號?判斷．
3．分析法
原理：B?B1?B2????Bn?A．
步驟：執(zhí)果索因，從“未知”找“需知”，逐步靠攏“已知”．
特點：利于思考，方向明確，思路自然．（刑警辦案、剝筍）
格式：欲證??（#），（因為??，所以）只需證??，??
（因為??，所以）只需證??（*），而（*）顯然成立，所以（#）
4．綜合法
原理：A?B??Bn1?B2???B．
步驟：由因?qū)Ч?，從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”?/p>
特點：條理清楚，經(jīng)驗豐富，傳統(tǒng)自然．（法官定罪、包裝）
注：（1）證明時，如果首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個已知成立的不等
式，只要推出過程的每一步都是可逆的，那么就可以斷定所給的不等式成立，這也是分析法，其邏輯原理為：B?B1?B2????Bn?A．
（2）用分析法時要正確使用連接有關(guān)分析推理步驟的關(guān)鍵詞，如“欲證??，只需
證??”、“即??”、“假定??成立，則??”等．并且，必須有對最后找到 的，使求證結(jié)論成立的充分條件正確性的判斷，否則其步驟因不完善而錯誤．
（3）由條件或一些基本性質(zhì)入手、較易的不等式，以及條件較多的不等式，多可用
綜合法證明．而對于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的不等式，以及恒成立的不等式，運用分析法證明更為有效．分析法和綜合法之間是互為前提、互相滲透、互相轉(zhuǎn)化的辨證統(tǒng)一關(guān)系，分析法的終點是綜合法的起點，綜合法的終點是綜分析法的起點．對于復(fù)雜問題的證明，常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法加以整理，甚至需交替使用這兩種方法，事實上，這兩種方法往往也很難區(qū)分開．
（4）證明不等式的方法還有反證法、判別式法、換元法、構(gòu)造法、數(shù)學(xué)歸納法、導(dǎo)
數(shù)法、放縮法（把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性進(jìn)行證明不等式的方法，叫放縮法．其常用方法有：舍去一些項、在積中換大（?。┠承╉?、擴大（縮?。┓质降姆帜福ǚ肿樱┑龋┑龋?/p>
分析法只是一種重要的探求方式，而不是一種好的書寫形式，因為它敘述較繁，如
果把“只需證??”去掉不寫，就成了錯誤。而用綜合法書寫的形式，掩蓋了分析、探索的過程。如果直接寫，而不用分析法，人們會感到看得明白，自己卻做不出。因此，在做題時，通常先用分析法探求解題途徑，在解答時，再用綜合法書寫。另外，凡是能用分析法證明的問題，一定可以用綜合法證明。
反證法證題的特征是通過導(dǎo)出矛盾，歸結(jié)為謬誤，而使命題得證。因此，反證法也
叫歸謬法。如果結(jié)論的反面只有一種情況，即只需作出一種反設(shè)，并設(shè)法導(dǎo)致矛盾，立即使命題獲證；如果結(jié)論的反面不止一種情況，則對每種情況都必須作出反設(shè)，然后將每一反設(shè)一一駁倒，才能使命題獲證；這就是反證法的兩種類型，前者稱為簡單歸謬法（簡稱歸謬法），后者稱為窮舉歸謬法（簡稱窮舉法）。
“否定結(jié)論”在推理論證中要作為已知使用?！凹僭O(shè)”不能寫成“設(shè)”
用反證法證明“若p則q”的過程如下圖所示：
適宜用反證法證明的數(shù)學(xué)命題有：①結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的一類命題；②結(jié)論是以
“至多”、“至少”等形式出現(xiàn)的命題；③關(guān)于唯一性、存在性的命題；④結(jié)論的反面比原
結(jié)論更簡單、更具體、更容易研究的命題等。
五、解不等式
利用不等式性質(zhì)及相關(guān)知識，求變量的取值集合或判斷其無解的過程，叫解不等式．解不等式是一個由繁到簡的等價轉(zhuǎn)化變形過程，大體情形為：若不等式是超越不等式，則把它等價變形為代數(shù)不等式；若代數(shù)不等式是無理不等式，則把它等價變形為有理不等式；若有理不等式是分式不等式，則把它等價變形為整式不等式；若整式不等式是高次不等式，則把它等價變形為低次不等式；若不等式是形式不規(guī)范的不等式，則把它等價變形為規(guī)范形式的不等式；若不等式是絕對值不等式，則把它等價變形為不含絕對值的不等式．
1．一次型
2．二次型
3．分式型
4．絕對值型
5．無理不等式
6．高次不等式、高次分式不等式
（1）數(shù)軸標(biāo)根法：標(biāo)準(zhǔn)化→分解→標(biāo)根→定號→取解集．
（2）降次成組法．
7．不等式組、不等式串
求不等式組的解集就是求組成不等式組的各個不等式的解集的交集（由多變少，最
后歸一）；不等式串可化歸為與之等價的不等式組求解．
8．混和條件組
等式（方程）和不等式共同組成的關(guān)系組稱為混和條件組，求解時以等式為主，不等式起檢驗作用．
9．超越不等式（指數(shù)不等式、對數(shù)不等式、三角不等式等）
指數(shù)不等式、對數(shù)不等式、三角不等式等都可利用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)（定義域、單調(diào)性等）、圖象和不等式性質(zhì)把原不等式化歸為有之等價的代數(shù)不等式（組）．
注：有些不等式可用構(gòu)造函數(shù)法利用對應(yīng)函數(shù)的圖象解之，步驟為：構(gòu)造函數(shù)→作圖象
→通過對應(yīng)方程得交點的橫坐標(biāo)→根據(jù)圖象特點取解集．
六、不等式的其他應(yīng)用
利用不等式的性質(zhì)，除了可以證明和求解不等式外，還可以解決求代數(shù)式的取值范
圍、求最值、求實際問題的解等問題．
1．求范圍
先須求出所求代數(shù)式與已知代數(shù)式之間的線性關(guān)系（常需用待定系數(shù)法），然后利用同向不等式的加法法則和乘法法則等性質(zhì)求之．（亦可用線性規(guī)劃法）
2．求最值
（1）二次整式可用均值定理或二次函數(shù)的單調(diào)性求其最值．
（2）分子為二次式的假分式，可用待定系數(shù)法、配湊法或換元法化為部分分式，再
用均值定理或倒數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性求其最值；真分式用倒數(shù)法化為假分式． 注：利用均值定理求最值時，必須滿足“一正、二定、三相等”，三者缺一不可．若
為兩個負(fù)變數(shù)相加，則可用提取法化歸；若無和或積為定值的特征，則可用調(diào)整系數(shù)或次數(shù)的方法化歸；若不存在等號成立的條件，則只能用二次函數(shù)或倒數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性求其最值．
3．求實際問題的解（不等式建模）
七、不等式的相關(guān)知識
函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、最值，一元二次方程的實根分布，線性規(guī)劃等知識
都與不等式密切相關(guān)．
絕對值基礎(chǔ)知識
1．絕對值的定義（幾何意義）：數(shù)軸上某數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，叫該數(shù)的絕對值．
2．絕對值的基本性質(zhì)：(1)；a?0（非負(fù)性、有界性）?a(a?0)?(2)a???a(a?0)
?0(a?0)?
(3)
(4)
(5)a；a?a,a??a,?a?a?a；a2?a2?a； 2
(6)平方法則：若a?0，則
3．絕對值的性質(zhì)定理：
（1）
（2）
（3）x?a?x2?a2，x?a?x2?a2，x?a?x2?a2． a??a；ab?a?b；aa?；bb
（4）an?a；
a?b?a?b?a?b； n（5）a?b?a?b?a?b，（可推廣），a?b?a?b?ab?0，a?b?a?b?ab?0； a??b?ab0?，2（6）a． ?b2?2ab（a2?b2?2ab?a?b）
4．絕對值的處理方法：
（1）公式法：x?a??a?x?ax?a?x?a或x??a，a?R；
（2）分段討論法：（即找界點，此法適用于解含多個絕對值的問題）；
（3）平方法：（即運用平方法則，注意平方的前提為不等號兩邊均為非負(fù)數(shù)）；
（4）幾何法：（即運用絕對值的幾何意義）．
5．絕對值不等式的類型：
（1）
f(x)?g(x)；（2）f(x)?g(x)；（3）f(x)?g(x)．
第二篇：不等式知識點不等式基礎(chǔ)知識
不等式的知識要點
1.不等式的基本概念
不等（等）號的定義：a?b（1）
（2）
（3）
（4）?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b.不等式的分類：絕對不等式；條件不等式；矛盾不等式.同向不等式與異向不等式.同解不等式與不等式的同解變形.2.不等式的基本性質(zhì)
（1）a
（2）a
（3）a
（4）a
（5）a?b?b?a（對稱性）?b,b?c?a?c（傳遞性）?b?a?c?b?c（加法單調(diào)性）?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加）?b,c?d?a?c?b?d（異向不等式相減）
（6）a.?
（7）a
（8）ab,c?0?ac?bc ?b,c?0?ac?bc（乘法單調(diào)性）?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘）
ab（異向不等式相除）?cd(9)a?b?0,0?c?d?
(10)a?b,ab?0?
（11）a
（12）a11（倒數(shù)關(guān)系）?ab?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)（平方法則）?b?0??(n?Z,且n?1)（開方法則）
3.幾個重要不等式
（1）若a?R,則|a|?0,a2?0
（2）若a、b?R?,則a2?b2?2ab(或a2?b2?2|ab|?2ab)（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）
（3）如果a,b都是正數(shù)，那么
極值定理：若x,y?R?a?b（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）.2,x?y?S,xy?P,則：
1如果P是定值, 那么當(dāng)x=y時，S的值最??；○2如果S是定值, 那么當(dāng)x=y時，P的值最大.○
利用極值定理求最值的必要條件： 一正、二定、三相等
.(4)若a、b、c?R?,則a?b?c?a=b=c時取等號）
3ba(5)若ab?0,則??2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）
ab
(6)a?0時，|x|?a?x2?a2?x??a或x?a;
（7）若a、b?R,則||
4.幾個著名不等式
（1）平均不等式：如果a,b都是正數(shù)，那么
|x|?a?x2?a2??a?x?a a|?|b||?|a?b|?|a|?|b| a?b（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）22?ab
（2）柯西不等式： 若a1,a2,a3,?,an?R,b1,b2,b3?,bn?R;則 222222222（a1b1?a2b2?a3b3???anbn)?(a1?a2?a3???an)(b1?b2?b3??bn)aaaa1?2?3???n時取等號b1b2b3bn
（3）琴生不等式（特例）與凸函數(shù)、凹函數(shù)
若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對于定義域中任意兩點x1,x2(x1?x2),有
f(x1?x2f(x1)?f(x2))?或22f(x1?x2f(x1)?f(x2))?.2
2則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).5.不等式證明的幾種常用方法
比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.6.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根軸法）.步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解.特例① 一元一次不等式ax>b解的討論；
②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的討論.（2）分式不等式的解法：先移項通分標(biāo)準(zhǔn)化，則 2
f(x)?0?f(x)g(x)?0;g(x)?f(x)g(x)?0 f(x)?0??g(x)?g(x)?0
（3）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解
1?f(x)?0? ???定義域?g(x)?0??f(x)?g(x)?
?f(x)?03?f(x)?0○f(x)?g(x)??g(x)?0或??g(x)?02???f(x)?[g(x)] ○2?f(x)?0 ?f(x)?g(x)??g(x)?02??f(x)?[g(x)]
（4）.指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式
af(x)?ag(x)(a?1)?f(x)?g(x);af(x)?ag(x)(0?a?1)?f(x)?g(x)af(x)?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb
（5）對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式
?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(a?1)??g(x)?0;
?f(x)?g(x)?
（6）含絕對值不等式
1應(yīng)用分類討論思想去絕對值；○2應(yīng)用數(shù)形思想； ○
3應(yīng)用化歸思想等價轉(zhuǎn)化 ○?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(0?a?1)??g(x)?0?f(x)?g(x)?
g(x)?0|f(x)|?g(x)????g(x)?f(x)?g(x)?g(x)?0|f(x)|?g(x)?g(x)?0(f(x),g(x)不同時為0)或??f(x)??g(x)或f(x)?g(x)?
第三篇：高二上不等式基礎(chǔ)知識定時練習(xí)題及答案解析(打印稿)
不等式基礎(chǔ)知識定時練習(xí)題
（滿分為100分+附加題20分，共120分；定時練習(xí)時間120分鐘）
一、選擇題（本大題共15小題，每小題3分，共45分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．不等式
1x?1
2的解集是（D）
A．(??,2)B．(2,??)C．(0,2)D．(??,2)?(2,??)
解：由1
x?1
2得：1
x?1
22?2?x2x2?0，即x(2?x)?0，故選D。
2.“a＞b＞0”是“ab＜a?b
2”的（A）
(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件
【考點分析】本題考查平方不等式和充要條件，基礎(chǔ)題。
解析：由a?b?0能推出ab?a?b
222；但反之不然，因為平方不等式的條件是a,b?R。
3．若loga(a2?1)?loga2a?0，則a的取值范圍是（B）
（A）（0，1）（B）（0，4．若logx?logy12）（C）（，1）（D）（0，1）∪（1，+∞）2122≥4，則x?y的最小值為（D）
2（A）8（B）4（C）2（D）
45．若0?a?1，則下列不等式中正確的是（A）
（A）(1?a)3?(1?a)2（B）log(1?a)(1?a)?0（C）(1?a)3?(1?a)2（D）(1?a)1?a?1用排除法、特值法。取a=2，排除（C）、（D）；又取a=1/2，排除（B）。
6．已知不等式ax2?5x?b?0的解集是{x|?3?
213x??2}，則不等式bx2?5x?a?0的解是（C）12?x??
13（A）x??3或x??2（B）x??或x??（C）?（D）?3?x??
27．設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不恒成立的是（C）．．．．
（A）|a?b|?|a?c|?|b?c|（B）a2?
（C）|a?b|?
1a?b?21a2?a?1a（D）a?3?a?1?a?2?a
【思路點撥】本題主要考查.不等式恒成立的條件，由于給出的是不完全提干，必須結(jié)合選擇支，才能得出正確的結(jié)論。
【正確解答】運用排除法，C選項a?b?
1a?b
?2，當(dāng)a-b<0時不成立。
【解后反思】運用公式一定要注意公式成立的條件
如果a,b?R,那么a2?b2?2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“?”號)如果a,b是正數(shù)，那么
a?b
2?1x
ab(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“?”號).8．若a?0，b?0，則不等式－b?
A．－解：
1b
?a等價于（D）
1a
?x?0或0?x?
1a
B.－?x?
1b
C.x?-
1a
或x?
1b
D.x?－
1b
或x?
1a
?1?1＋bx
＋b?0?0??1?x?x
－b??a????
1x?－a?0?1－ax?0?x?x??
1?
x?0或x?－??x（bx＋1）?011?b
?????x?－或x?
ba?x（1－ax）?0?x?1或x?0
?a?
故選D
x?1
??2e,x?2,9．設(shè)f(x)= ?
log(x?1),x?2,?3?
則不等式f(x)>2的解集為(C)
(A)（1，2）?（3，+∞）(B)（，+∞）(C)（1，2）?（，+∞）(D)（1，2）解：令2e
x?1
2?2（x?2），解得1?x?2。令log3(x?1)?2（x?2）解得x?（，+∞）選C
10．已知函數(shù)f(x)=ax2+2ax+4(a>0),若x1 A.f(x1) 解析：函數(shù)f(x)=ax2+2ax+4(a>0)，二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為x??1，a>0，∴ x1+x2=0，x1與x2的中點為0，x1 411．設(shè)x,y為正數(shù), 則(x+y)(+)的最小值為(B) xy A.6B.9C.12D.15 解析：x，y為正數(shù)，(x+y)（1x ? 4y)=1?4? yx ? 4xy ≥9，選B.12．若關(guān)于x的不等式(1?k)x≤k＋4的解集是M，則對任意實常數(shù)k，總有（A）（A）2∈M，0∈M；（B）2?M，0?M；（C）2∈M，0?M；（D）2?M，0∈M． 解：選（A） 方法1：代入判斷法，將x?2,x?0分別代入不等式中，判斷關(guān)于k的不等式解集是否為R；方 法 ： 求 出 不 等 式的解 集 ： (1?k)x ≤k ＋ 4?x?k2?4?(k2?1)? k?1 552 ?2?x?[(k?1)??2]min?2； 22 k?1k?1 13．如果a?0,b?0，那么，下列不等式中正確的是（A）（A） 1a?1b （B ? 1a?0,1b （C）a2?b2（D）|a|?|b| ?0，∴ 1a?1b 解：如果a?0,b?0，那么，選A.14．“a＞0，b＞0”是“ab>0”的(A) (A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充分必要條件(D)既不允分也不必要條件 解：由“a＞0，b＞0”可推出“ab>0”，反之不一定成立，選A 15．（上海春）若a、b、c?R,（A） 1a?1b a?b，則下列不等式成立的是(C) ac .（B）a2?b2.（C） ? 1? bc ?1 .（D）a|c|?b|c|.解：應(yīng)用間接排除法．取a=1,b=0，排除A.取a=0,b=-1，排除B;取c=0，排除D．故應(yīng)該選C．顯然，對不等式a>b的兩邊同時乘以，立得 成立． 二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分.把答案填在題中橫線上） 1?2xx? 11.不等式?0的解集是 .解：應(yīng)用結(jié)論：，所以 ．不等式，從而應(yīng)填 等價于(1-2x)(x+1)>0，也就是 ． 2．不等式lg(x2?2x?2)?1的解集是（－4，2）3．設(shè)z?2x?y式中變量 ?x?4y?? 3? x，y滿足?3x?5y?2 5?x?1?，則z的最大值為12． 4.若 a?1，0?b?1，且 a l b (o2x?1)g ?1，則實數(shù) x的范圍是 2?x?1． 5.（上海春）已知直線l過點P(2,1)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，則三角形OAB面積的最小值為4.解：設(shè)直線 l 為 式，得，則有關(guān)系 ．對 應(yīng)用２元均值不等．從而應(yīng)填4．，即ab≥8 ．于是，△OAB 面積為 三、解答題（本大題共4小題，每小題10分，共40分） 1．解不等式：log2(x? 1x ?6)? 3【思路點撥】本題考查對數(shù)函數(shù)單調(diào)性和不等式的解法 ?x??1?8 ?3?log2，0〈x??6?8，?? x?x? ?? 1x1x? 2【正確解答】log2 (x? 1x ?6) .?6?0 解得x?(?3??3???1? xx?7x?12 2.求函數(shù)y?lg的定義域.答案：[2,3)?(4,6] 3、已知x?0,y?0,x?y?1，求證：x4?y4≥． 1∵x?0,y?0,x?y?1，∴x?y≥2xy，兩邊同加上x?y得，2(x?y)≥(x?y)?1．………5分 又x?y≥2xy，兩邊同加上x?y得，2(x?y)≥(x?y)≥∴x?y≥ 222222 4444222 4，…9分 ．………10分 34.設(shè)y? x?x?1x?x?1,用判別式法證明:?y?3.1a 5．已知不等式(x+y)(+ ≥9對任意正實數(shù)x,y恒成立,求正實數(shù)a的最小值。 xy 解：不等式(x+y)（1x ? ay)≥9對任意正實數(shù)x，y恒成立，則1?a? yx ? axy ≥a?1≥9，∴ ≥2 4(舍去)，所以正實數(shù)a的最小值為4。 6．某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，請求出每次都購買x噸的具體數(shù)值。 解：某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，則需要購買年的總存儲費用為4x萬元，一年的總運費與總存儲費用之和為 1600x 400x 400x 次，運費為4萬元/次，一 400x ?4?4x≥160，當(dāng) ?4?4x萬元，?4x即x?20噸時，一年的總運費與總存儲費用之和最小。 四、附加題（20分） 三個同學(xué)對問題“關(guān)于x的不等式x2＋25＋|x3－5x2|≥ax在[1，12]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍”提出各自的解題思路． 甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”． 乙說：“把不等式變形為左邊含變量x的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”． 丙說：“把不等式兩邊看成關(guān)于x的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”． 參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問題的正確結(jié)論，即a的取值范圍是多少？ 解：由x2＋25＋|x3－5x2|≥ax,1?x?12?a?x?25?|x2? 5x|，而x?25?10，等 xx號當(dāng)且僅當(dāng)x?5?[1,12]時成立；且|x2?5x|?0，等號當(dāng)且僅當(dāng)x?5?[1,12]時成立；所以，a?[x? ?|x2?5x|]min?10，等號當(dāng)且僅當(dāng)x?5?[1,12]時成立；故a?(??,10]； x 不等式知識點整理 一、不等關(guān)系： 1．實數(shù)的大小順序與運算性質(zhì)之間的關(guān)系： a?b?a?b?0； a?b?a?b?0； a?b?a?b?0.2．不等式的性質(zhì)： （1）a?b?b?a（自反性） （2）a?b,b?c?a?c（傳遞性） （3）a?b?a?c?b?c（可加性） （4）a?b,c?0?ac?bc； a?b,c?0?ac?bc（可乘性） （5）a?b,c?d?a?c?b?d（同向加法） （6）a?b?0,c?d?0?ac?bd；（同向乘法） （7）a?b?0,n?N,n?1?an?bn,a?。（同向乘方） 3．常用的基本不等式和重要的不等式 （1）a?R,a2?0,a?0，當(dāng)且僅當(dāng)a?0取“=”.（2）a,b?R,則a2?b2?2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“=”） （3）a,b?R?，則a?b?2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“=”）a? b注：——集幾何平均數(shù).2a2?b2a?b2?()（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“=”（4））22 a2?b2?c2a?b?c2?()（當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c時取“=”（5））3 3ab（6）(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2（當(dāng)且僅當(dāng)?時取“=”）（柯西不等式）cd4、最值定理：設(shè)x,y?0,由x?y? （1）如積xy?P為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x?y時x? y有最小值 S（2）如和x?y?S為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x?y時x?y有最大值()2.2即：積定和最小，和定積最大.注：運用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等.5．含絕對值的不等式性質(zhì)： a?b?a?b?a?b（注意等號成立的情況）.二、不等式的證明方法 1．比較法 （1）作差比較法：作差——變形（通分、因式分解等）——判別符號； （2）作商比較法：作商——變形（化為冪的形式等）——與1比大小.（分母要為正的） 2．綜合法——由因?qū)Чㄓ汕懊娼Y(jié)論） 3．分析法——執(zhí)果索因 注：（1）一般地常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法； （2）還可以用放縮法、換元法等綜合證明不等式.三、解不等式 ??b?b?1．一元一次不等式 ax?b(a?0)（1）a?0,?xx?? ；（2）a?0,?xx??.a?a??? 2．一元二次不等式 ax2?bx?c?0,(a?0) （1）步驟：一看開口方向（a的符號），二看判別式 ??b2?4ac的符號，三看方程的根寫解集.（2）重要結(jié)論：ax2?bx?c?0(a?0)解集為R（即ax2?bx?c?0對x?R恒成立），則a?0,??0.（注：若二次函數(shù)系數(shù)含參數(shù)且未指明不為零時，需驗證a?0）.3．絕對值不等式 a?0?a（1）零點分段討論?a?? ??aa?0 （2）轉(zhuǎn)化法：f(x)?g(x)?f(x)?g(x)或f(x)??g(x)f(x)?g(x)??g(x)?f(x)?g(x) （3）數(shù)形結(jié)合4．高次不等式、分式不等式——序軸標(biāo)根法 P(x)?0或P(x)Q(x)?0（移項，一邊化為0，不要輕易去分步驟：①形式：Q(x) 母）； ②因式分解，化為積的形式（x系數(shù)符號>0——標(biāo)準(zhǔn)式）； ③序軸標(biāo)根； ④寫出解集.5．注意含參數(shù)的不等式的解的討論.．．．．．．．．．．．．．．．． 四、一個有用的結(jié)論 關(guān)于函數(shù)y?x?p x pp?x? 0時x??? 在(0、xx [ 上是減函數(shù)；在（??、[??)上是增函數(shù).1．p?0時，當(dāng)x? 0時x? （0，??）2．p?0時，在???，上為增函數(shù).0?、 不等式總結(jié) 一、不等式的性質(zhì) 1．（不等式建立的基礎(chǔ)）兩個實數(shù)a與b之間的大小關(guān)系 ?(1)a－b＞0?a＞b；??(2)a－b=0?a=b； ??(3)a－b＜0?a＜b． ??(4) ???若 a、b?R，則?(5)??(6)??a＞1?a＞b；ba=1?a=b；ba＜1?a＜b．b 2．不等式的性質(zhì) (1)a＞b?b＜a(對稱性) a＞b?(2)? ?a＞c(傳遞性)b＞c? (3)a＞b?a＋c＞b＋c(加法單調(diào)性) a＞b???ac＞bcc＞0? (4)(乘法單調(diào)性) a＞b???ac＜bcc＜0? (5)a＋b＞c?a＞c－b(移項法則) a＞b?(6)??a＋c＞b＋d(同向不等式可加)c＞d?---不等式相加 a＞b?(7)??a－c＞b－d(異向不等式可減)c＜d?---不等式相減 (8)a＞b＞0???ac＞bd(同向正數(shù)不等式可乘)c＞d＞0?---不等式相乘 a＞b＞0?ab(9)??＞(異向正數(shù)不等式可除)cd0＜c＜d?--不等式相除 (10)a＞b＞0?nn??a＞b(正數(shù)不等式可乘方)n?N?乘方法則 a＞b＞0?(11)?? ＞b(正數(shù)不等式可開方)n?N?開方 (＞b＞0?111＜(正數(shù)不等式兩邊取倒數(shù)2))aab----倒數(shù)法則 3．絕對值不等式的性質(zhì) ?a(a≥0)，(1)|a|≥a；|a|=??－a(a＜0)． (2)如果a＞0，那么 |x|＜a?x2＜a2?－a＜x＜a； |x|＞a?x2＞a2?x＞a或x＜－a． (3)|a·b|＝|a|·|b|． a|a|(4)||＝(b≠0)．b|b| (5)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|． (6)|a1＋a2＋??＋an|≤|a1|＋|a2|＋??＋|an|． 4.基本不等式 （1）如果a，b是正數(shù)，那么ab≤a?b，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立。 2注意：基本不等式的證明是利用重要的不等式推導(dǎo)的，即 ?a,b?R,則??2ab,即有a?b?2 （2）基本不等式又稱為均值定理、均值不等式等。其中???22a?b稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱為a，b的2幾何平均數(shù)。兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。 （3）均值不等式中“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義： a?b＝ab 2 a?b②僅當(dāng)a=b時取等號，即＝ab?a=b 2①當(dāng)a=b，取等號，即a=b? （4）幾種變形公式 a?b2a2?b2a?ba2?b2 ab≤()≤(a,b∈R)ab≤≤(a＞0, b＞0)2222 5.柯西不等式 （1）代數(shù)形式： 設(shè)a1，a2，b1，b2均為實數(shù)，(a12＋a22)(b12 + b22)≥(a1 b1+ a2 b2)2（注：等號成立條件：a1 b2= a2 b1） （2）向量形式：|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2） 等號成立條件：β為零向量，或α=λβ（λ∈R）。 （3）三角不等式：由|α|＋|β|≥|α+β|可得：設(shè)a1，a2，b1，b2均為實數(shù)，則 √(a12＋a22)＋√(b12 + b22)≥√[(a1+ b1)2＋(a2 + b2)2]（注：等號成立條件：存在非負(fù)實數(shù)μ及λ使得μa1=λb1，μa2=λb2其中“√”表示平方根） （4）平面三角不等式：設(shè)a1，a2，b1，b2，c2均為實數(shù)，則 √[(a1-b1)2＋(a2-b2)2]＋√[(b1-c1)2＋(b2-c2)2]≥√[(a1-c1)2＋(a2-c2)2]（注：等號成立條件：存在非負(fù)實數(shù)μ及λ使得μ(a1-b1)=λ(b1-c1), μ(a2-b2)=λ(b2-c2)其中“√”表示平方根） (5)設(shè)α，β，γ為平面向量，則|α-β|+|β-γ|≥|α-γ|。當(dāng)α-β，β-γ為非零向量時。（注：等號成立條件：存在正常數(shù)λ，使得α-β＝λ（β-γ）?向量α-β與β-γ同向，即夾角為零。 （6）一般形式：設(shè)a1，a2，?，an，b1，b2 ?，bn均為實數(shù)，則 2222a12?a2???an12?b2???bn?a1b1?a2b2???anbn 注：等號成立?aa1a2????n b1b2bn 6.排序不等式： （1）定義：設(shè)有兩組數(shù) a1 , a2 ,…… an;b1 , b2 ,…… bn 滿足 a1 ≤ a2 ≤……≤ an, b1 ≤ b2 ≤……≤ bn，其中c1,c2,……,cn是b1,b2,……，bn的任一排列，則稱a1 b1 + a2 b2+...+ an bn 為這兩個實數(shù)組的順序積之和（簡稱順序和），稱a1 bn + a2b{n-1}+...+ an b1為這兩個實數(shù)組的反序積之和（簡稱反序和），稱a1 c1 + a2 c2 +…+ an cn為這兩個實數(shù)組的亂序積之和（簡稱亂序和） （2）定理：（排序不等式，又稱排序原理）設(shè)有兩組數(shù) a1 , a2 ,… an;b1 , b2 ,… bn 滿足 a1 ≤ a2 ≤…≤ an, b1 ≤ b2 ≤…≤ bn，其中c1,c2,…,cn是b1,b2,…，bn的任一排列，那么 a1 bn + a2b{n-1}+...+ an b1 ≤ a1 c1 + a2 c2 +……+ an cn ≤ a1 b1 + a2 b2 + ……+an bn.當(dāng)且僅當(dāng) a1 = a2 =...= an 或 b1 = b2 =...= bn 時等號成立，即反序和等于順序和。 排序原理可簡記作：反序和≤亂序和≤順序和。 7.貝努利不等式： 定理：設(shè)x＞-1，且x≠0，n為大于1的自然數(shù)，則(1+x)n≥1+nx.二、不等式的證明 1．不等式證明的依據(jù) (1)實數(shù)的性質(zhì)：a、b同號?ab＞0；a、b異號?ab＜0 a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b=0?a=b (2)不等式的性質(zhì)(略) (3)重要不等式： ①|(zhì)a|≥0；a2≥0；(a－b)2≥0(a、b∈R)（非負(fù)數(shù)） ②a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號) a?b≥ab(a、b?R?，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號) 2333+④ a+b+c≥3abc(a,b,c∈R)③ b?c⑤a? ?abc ⑥ |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|． ⑦ |a1＋a2＋??＋an|≤|a1|＋|a2|＋??＋|an|． ⑧ |x|＜a?x＜a?－a＜x＜a； ⑨ |x|＞a?x＞a?x＞a或x＜－a． 2．不等式的證明方法 (1)比較法：要證明a＞b(a＜b)，只要證明a－b＞0(a－b＜0)，這種證明不等式的方法叫做比較法． 用比較法證明不等式的步驟是：作差——變形——判斷符號． (2)綜合法：從已知條件出發(fā)，依據(jù)不等式的性質(zhì)和已證明過的不等式，推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明不等式的方法叫做綜合法． 2222 (3)分析法：從欲證的不等式出發(fā)，逐步分析使這不等式成立的充分條件，直到所需條件已判斷為正確時，從而斷定原不等式成立，這種證明不等式的方法叫做分析法． （4）三角換元法：多用于條件不等式的證明，如果所給條件較復(fù)雜，一個變量不易用另一個變量表示，這時可考慮用三角代換，將兩個變量都用同一個參數(shù)表示，此法如果運用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題。 注意：根據(jù)具體問題，常用的三角換元技巧有： ① x2+y2=1,可設(shè)x=cosα,y=sinα； ② a≤ x2+y2≤b，可設(shè)x=rcosα,y=rsinα, a≤r2≤b ③ 對于? ④ 對于? ⑤ 對于x2，由于|x|≤1,可設(shè)x=cosα（0≤α≤π）或x=sinα(-π/2≤α≤π/2),可設(shè)x=tanα(-π/2＜α＜π/2)或x=cotα(0＜α＜π)x2x2(0≤α＜π/2或π/2＜α≤π)或x=sin(-π/2≤α＜0或0＜α≤π/2)?1,可設(shè)x=cosαα ⑥ 對于x+y+z=xyz,由于在ΔABC中有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,可設(shè)x=tanA,y=tanB,z=tanC(A+B+C=π)。 （5）放縮法：要證明不等式A＜B，有時可以將它的一邊放大或縮小，尋找一個中間量，如將A放大成C，即A＜C，后證C＜B，這種證法叫放縮法。常用技巧有：舍掉（或加進(jìn)）一些項，在分式中放大或縮小分子或分母；應(yīng)用基本不等式放縮。 放縮法的理論依據(jù)主要有：不等式的傳遞性、等量加不等量為不等量、同分子（分母）異分母（分子）的兩個分式大小的比較。 證明不等式除以上三種基本方法外，還有反證法、數(shù)學(xué)歸納法、綜合分析法、放縮法、函數(shù)法、幾何法、其它方法（換元法、判別式法、導(dǎo)數(shù)法、構(gòu)造法）、柯西不等式等。 （5）利用基本不等式比較實數(shù)大小或證明不等式 ① 利用均值定理求最值，必須滿足三個條件：：“一正”各項均為正數(shù)、“二定”和或積為常數(shù)、“三相等” 等號必須成立。和定積最大，積定和最小。 ② 構(gòu)造定值條件的常用技巧：加項變換、拆項變換、統(tǒng)一換元、平方后利用不等式。 ③ 基本不等式： 若x，y是正數(shù)，有x+y=S（和為定值），則當(dāng)x=y時，積xy=取最大值S； 42若x，y是正數(shù)，有xy=P（積為定值），則當(dāng)x=y時，和x+y=取最小值；2P。 三、解不等式 1．解不等式問題的分類 (1)解一元一次不等式． (2)解一元二次不等式． (3)可以化為一元一次或一元二次不等式的不等式． ①解一元高次不等式； ②解分式不等式； ③解無理不等式； ④解指數(shù)不等式； ⑤解對數(shù)不等式； ⑥解帶絕對值的不等式； ⑦解不等式組． 2．解不等式時應(yīng)特別注意下列幾點： (1)正確應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)． (2)正確應(yīng)用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增、減性． (3)注意代數(shù)式中未知數(shù)的取值范圍． 3．不等式的同解性 ?f(x)＞0?f(x)＜0(1)f(x)·g(x)＞0與 ? 或?同解． ? g(x)＞0? g(x)＜0 ?f(x)＞0?f(x)＜0(2)f(x)·g(x)＜0與? 或?同解．g(x)＜0g(x)＞0?? (3)?f(x)＞0?f(x)＜0f(x)＞0與?或?同解．(g(x)≠0)g(x)?g(x)＞0?g(x)＜0 ?f(x)＞0?f(x)＜0f(x)(4)＜0與? 或 ?同解．(g(x)≠0)g(x)g(x)＜0g(x)＞0?? (5)|f(x)|＜g(x)與－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0) (6)|f(x)|＞g(x)①與f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(shù)(x)≥0)同解；②與g(x)＜0同解． ?f(x)＞[g(x)]2 ?f(x)≥0?(7)f(x)＞g(x)與 ?f(x)≥0或?同解．g(x)＜0???g(x)≥0 ?f(x)＜[g(x)]2 (8)f(x)＜g(x)與?同解． ?f(x)≥0 (9)當(dāng)a＞1時，af(x)＞ag(x)與f(x)＞g(x)同解，當(dāng)0＜a＜1時，af(x)＞ag(x)與f(x)＜g(x)同解． ?f(x)＞g(x)(10)當(dāng)a＞1時，logaf(x)＞logag(x)與?同解．f(x)＞0? ?f(x)＜g(x)?當(dāng)0＜a＜1時，logaf(x)＞logag(x)與? f(x)＞0同解． ??g(x)＞0第四篇：不等式知識點整理
第五篇：不等式總結(jié)
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