第一篇：勾股定理的歷史及證明

勾股定理的歷史及證明

勾股定理又叫商高定理、畢氏定理，或稱畢達(dá)哥拉斯定理：

英文譯法：Pythagoras' Theorem

在一個(gè)直角三角形中，斜邊邊長(zhǎng)的平方等于兩條直角邊邊長(zhǎng)平方之和。如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2

據(jù)考證，人類對(duì)這條定理的認(rèn)識(shí)，少說(shuō)也超過(guò) 4000 年！

中國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開(kāi)頭,就有這條定理的相關(guān)內(nèi)容：周公問(wèn)：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請(qǐng)問(wèn)古者包犧立周天歷度。夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請(qǐng)問(wèn)數(shù)安從出？”商高答：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出九九八十一，故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方其外，半之一矩，環(huán)而共盤(pán)。得成三、四、五，兩矩共長(zhǎng)二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所由生也?！睆纳厦嫠倪@段對(duì)話中，我們可以清楚地看到，我國(guó)古代的人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理這一重要懂得數(shù)學(xué)原理了。

在西方有文字記載的最早的證明是畢達(dá)哥拉斯給出的。據(jù)說(shuō)當(dāng)他證明了勾股定理以后，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為“百牛定理”。遺憾的是，畢達(dá)哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無(wú)從知道他的證法。

實(shí)際上，在更早期的人類活動(dòng)中，人們就已經(jīng)認(rèn)識(shí)到這一定理的某些特例。除上述兩個(gè)例子外，據(jù)說(shuō)古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法則來(lái)確定直角。但是，這一傳說(shuō)引起過(guò)許多數(shù)學(xué)史家的懷疑。比如說(shuō)，美國(guó)的數(shù)學(xué)史家M·克萊因教授曾經(jīng)指出：“我們也不知道埃及人是否認(rèn)識(shí)到畢達(dá)哥拉斯定理。我們知道他們有拉繩人（測(cè)量員），但所傳他們?cè)诶K上打結(jié)，把全長(zhǎng)分成長(zhǎng)度為3、4、5的三段，然后用來(lái)形成直角三角形之說(shuō)，則從未在任何文件上得證實(shí)?！辈贿^(guò)，考古學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了幾塊大約完成于公元前2000年左右的古巴比倫的泥板書(shū)，據(jù)專家們考證，其中一塊上面刻有如下問(wèn)題：“一根長(zhǎng)度為 30個(gè)單位的棍子直立在墻上，當(dāng)其上端滑下6個(gè)單位時(shí)，請(qǐng)問(wèn)其下端離開(kāi)墻角有多遠(yuǎn)？”這是一個(gè)三邊為為3:4:5三角形的特殊例子；專家們還發(fā)現(xiàn)，在另一塊泥板上面刻著一個(gè)奇特的數(shù)表，表中共刻有四列十五行數(shù)字，這是一個(gè)勾股數(shù)表：最右邊一列為從1到15的序號(hào)，而左邊三列則分別是股、勾、弦的數(shù)值，一共記載著15組勾股數(shù)。這說(shuō)明，勾股定理實(shí)際上早已進(jìn)入了人類知識(shí)的寶庫(kù)。

勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，它充滿魅力，千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家、畫(huà)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國(guó)家總統(tǒng)。也許是因?yàn)楣垂啥ɡ砑戎匾趾?jiǎn)單又實(shí)用，更容易吸引人，才使它成百次地反復(fù)被人炒作，反復(fù)被人論證。1940年出版過(guò)一本名為《畢達(dá)哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實(shí)際上還不止于此，有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國(guó)清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無(wú)法比擬的。（※關(guān)于勾股定理的詳細(xì)證明，由于證明過(guò)程較為繁雜，不予收錄。）

人們對(duì)勾股定理感興趣的原因還在于它可以作推廣。

歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的一個(gè)直邊形，其面積為兩直角邊上兩個(gè)與之相似的直邊形面積之和”。

從上面這一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等于以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和”。

勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對(duì)應(yīng)棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等于直角邊上兩個(gè)多面體表面積之和。

若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等于兩直角邊上所作二球表面積之和。

如此等等。

【附錄】

一、【《《周髀算經(jīng)》·》簡(jiǎn)介】

《周髀算經(jīng)》算經(jīng)十書(shū)之一。約成書(shū)于公元前二世紀(jì)，原名《周髀》，它是我國(guó)最古老的天文學(xué)著作，主要闡明當(dāng)時(shí)的蓋天說(shuō)和四分歷法。唐初規(guī)定它為國(guó)子監(jiān)明算科的教材之一，故改名《周髀算經(jīng)》?！吨荀滤憬?jīng)》在數(shù)學(xué)上的主要成就是介紹了勾股定理及其在測(cè)量上的應(yīng)用。原書(shū)沒(méi)有對(duì)勾股定理進(jìn)行證明，其證明是三國(guó)時(shí)東吳人趙爽在《周髀注》一書(shū)的《勾股圓方圖注》中給出的?！吨荀滤憬?jīng)》使用了相當(dāng)繁復(fù)的分?jǐn)?shù)算法和開(kāi)平方法。

二、【伽菲爾德證明勾股定理的故事】

1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國(guó)首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時(shí)美國(guó)俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神地談?wù)撝裁?，時(shí)而大聲爭(zhēng)論，時(shí)而小聲探討。由于好奇心驅(qū)使，伽菲爾德循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么。只見(jiàn)一個(gè)小男孩正俯著身子用樹(shù)枝在地上畫(huà)著一個(gè)直角三角形。于是伽菲爾德便問(wèn)他們?cè)诟墒裁?？那個(gè)小男孩頭也不抬地說(shuō)：“請(qǐng)問(wèn)先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長(zhǎng)為多少呢？”伽菲爾德答道：“是5呀。”小男孩又問(wèn)道：“如果兩條直角邊長(zhǎng)分別為5和7，那么這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)又是多少？”伽菲爾德不假思索地回答道：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方?！毙∧泻⒂终f(shuō)：“先生，你能說(shuō)出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時(shí)語(yǔ)塞，無(wú)法解釋了，心里很不是滋味。

于是，伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他出的難題。他經(jīng)過(guò)反復(fù)思考與演算，終于弄清了其中的道理，并給出了簡(jiǎn)潔的證明方法。

解：勾股定理的內(nèi)容：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，a2+b2=c2

說(shuō)明：我國(guó)古代學(xué)者把直角三角形的較短直角邊稱為“勾”，較長(zhǎng)直角邊為“股”，斜邊稱為“弦”，所以把這個(gè)定理成為“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形邊之間的關(guān)系。

舉例：如直角三角形的兩個(gè)直角邊分別為3、4，則斜邊c2= a2+b2=9+16=25 則說(shuō)明斜邊為5。

第二篇：勾股定理的歷史與證明

安溪六中校本課程之?dāng)?shù)學(xué)探秘

勾股定理史話

一、勾股定理的歷史

勾股定理是“人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一”，是初等幾何中的一個(gè)基本定理。那么大家知道多少勾股定理的別稱呢？我可以告訴大家，有：畢達(dá)哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驢橋定理和埃及三角形等。所謂勾股定理，就是指“在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方?！边@個(gè)定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國(guó)（希臘、中國(guó)、埃及、巴比倫、印度等）對(duì)此定理都有所研究。

勾股定理在西方被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?）于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。但畢達(dá)哥拉斯對(duì)勾股定理的證明方法已經(jīng)失傳。著名的希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《幾何原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出一個(gè)很好的證明。（下圖為歐幾里得和他的證明圖）

中國(guó)古代對(duì)這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，遠(yuǎn)比畢達(dá)哥拉斯早得多。中國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開(kāi)頭，記載著一段周公向商高請(qǐng)教數(shù)學(xué)知識(shí)的對(duì)話：周公問(wèn)：“我聽(tīng)說(shuō)您對(duì)數(shù)學(xué)非常精通，我想請(qǐng)教一下：天沒(méi)有梯子可以上去，地也沒(méi)法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關(guān)于天地得到數(shù)據(jù)呢？” 商高回答說(shuō)：“ 數(shù)的產(chǎn)生來(lái)源于對(duì)方和圓這些形體的認(rèn)識(shí)。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形?矩'得到的一條直角邊?勾'等于3，另一條直角邊?股'等于4的時(shí)候，那么它的斜邊'弦'就必定是5。這個(gè)原理是大禹在治水的時(shí)候就總結(jié)出來(lái)的呵?！?如果說(shuō)大禹治水因年代久遠(yuǎn)而無(wú)法確切考證的話，那么周公與商高的對(duì)話則可以確定在公元前1100年左右的西周時(shí)期，比畢達(dá)哥拉斯要早了五百多年。其中所說(shuō)的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個(gè)應(yīng)用特例。所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱為“勾股定理”是非常恰當(dāng)?shù)摹?/p>

在稍后一點(diǎn)的《九章算術(shù)》一書(shū)中（約在公元50至100年間），勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá)。書(shū)中的《勾股章》說(shuō)；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來(lái)，再進(jìn)行開(kāi)方，便可以得到弦”?！毒耪滤阈g(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢以來(lái)的數(shù)學(xué)成就，共收集了246個(gè)數(shù)學(xué)的應(yīng)用問(wèn)題和各個(gè)問(wèn)題的解法，列為九章，可能是所有中國(guó)數(shù)學(xué)著作中影響最大的一部。中國(guó)古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對(duì)勾股定理作理論的證明。最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的，是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明（右圖）。趙爽的這個(gè)證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識(shí)。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長(zhǎng)得到正方形ABDE是由4個(gè)相等的直角三角形再加上中間的那個(gè)小正方形組成的。每個(gè)直角三角形的面積為ab/2；中間的小正方形邊長(zhǎng)為b-a，則面積為（b-a）2。于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c

2化簡(jiǎn)后便可得：

a2+b2=c2

亦即：c=（a2+b2）(1/2)

他用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來(lái)證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，為中國(guó)古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹(shù)立了一個(gè)典范。以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且有發(fā)展，只是具體圖形的分合移補(bǔ)略有不同而已。例如稍后一點(diǎn)的劉徽在證明勾股定理時(shí)也是用以形證數(shù)的方法，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來(lái)的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。

二、勾股定理的證明

據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，勾股定理的證明方法已經(jīng)多達(dá)400多種了。下面我便向大家介紹幾種十分著名的證明方法?！咀C法1】（趙爽證明）

以a、b 為直角邊（b>a），以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于

.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀.∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o，∴ ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，它的面積等于c2.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90o.∴ EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為b―a的正方形，它的面積等于

.∴ ∴.【證法2】（課本的證明）

做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，再做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形.從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是a + b，所以面積相等.即，整理得.【證法3】（1876年美國(guó)總統(tǒng)Garfield證明）

以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于.把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o.∴ ΔDEC是一個(gè)等腰直角三角形，它的面積等于又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD∥BC.∴

ABCD是一個(gè)直角梯形，它的面積等于 ∴ ∴...【趣聞】：在1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國(guó)華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時(shí)美國(guó)俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神地談?wù)撝裁?，時(shí)而大聲爭(zhēng)論，時(shí)而小聲探討。由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么。只見(jiàn)一個(gè)小男孩正俯著身子用樹(shù)枝在地上畫(huà)著一個(gè)直角三角形。于是伽菲爾德便問(wèn)他們?cè)诟墒裁?？只?jiàn)那個(gè)小男孩頭也不抬地說(shuō)：“請(qǐng)問(wèn)先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長(zhǎng)為多少呢？”伽菲爾德答到：“是5呀?！毙∧泻⒂謫?wèn)道：“如果兩條直角邊分別為5和7，那么這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方?！毙∧泻⒂终f(shuō)道：“先生，你能說(shuō)出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時(shí)語(yǔ)塞，無(wú)法解釋了，心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過(guò)反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡(jiǎn)潔的證明方法。1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的這一證法。1881年，伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng)后來(lái)，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)?！弊C法?！咀C法4】（歐幾里得證明）

做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BF、CD.過(guò)C作CL⊥DE，交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)L.∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，∵ ΔFAB的面積等于，ΔGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，.同理可證，矩形MLEB的面積 =

.∴ 矩形ADLM的面積 =∵ 正方形ADEB的面積 = 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積 ∴，即

.【證法5】（利用相似三角形性質(zhì)證明）

如圖，在RtΔABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長(zhǎng)度分別為a、b，斜邊AB的長(zhǎng)為c，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足是D.在ΔADC和ΔACB中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o，∠CAD = ∠BAC，∴ ΔADC ∽ ΔACB.∴AD∶AC = AC ∶AB，即

.同理可證，ΔCDB ∽ ΔACB，從而有 ∴

.，即

【證法6】（鄒元治證明）

以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上，B、F、C三點(diǎn)在一條直線上，C、G、D三點(diǎn)在一條直線上.∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o.∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.∴ 四邊形EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.它的面積等于c2.∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA.∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o.又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.∴ ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為a + b的正方形，它的面積等于∴ ∴...【證法7】（利用切割線定理證明）

在RtΔABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c.如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長(zhǎng)線分別于D、E，則BD = BE = BC = a.因?yàn)椤螧CA = 90o，點(diǎn)C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切線.由切割線定理，得

=

=

=，即，∴.【證法8】（作直角三角形的內(nèi)切圓證明）

在RtΔABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c.作RtΔABC的內(nèi)切圓⊙O，切點(diǎn)分別為D、E、F（如圖），設(shè)⊙O的半徑為r.∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，∴

= ∴ = r + r = 2r,即

.，∴ 即 ∵ ∴ 又∵ = ∴ ∴ ∴ ∴.=，，=，，=

第三篇：如何證明勾股定理

如何證明勾股定理

勾股定理是初等幾何中的一個(gè)基本定理。這個(gè)定理有十分悠久的歷史，兩千多年來(lái)，人們對(duì)勾股定理的證明頗感興趣，因?yàn)檫@個(gè)定理太貼近人們的生活實(shí)際，以至于古往今來(lái)，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)都愿意探討和研究它的證明．下面結(jié)合幾種圖形來(lái)進(jìn)行證明。

一、傳說(shuō)中畢達(dá)哥拉斯的證法（圖1）

左邊的正方形是由1個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形和1個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形以及4個(gè)直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形和4個(gè)直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。因?yàn)檫@兩個(gè)正方形的面積相等(邊長(zhǎng)都是)，所以可以列出等式，化簡(jiǎn)得。

在西方，人們認(rèn)為是畢達(dá)哥拉斯最早發(fā)現(xiàn)并證明這一定理的，但遺憾的是，他的證明方法已經(jīng)失傳，這是傳說(shuō)中的證明方法，這種證明方法簡(jiǎn)單、直觀、易懂。

二、趙爽弦圖的證法（圖2）

第一種方法：邊長(zhǎng)為的正方形可以看作是由4個(gè)直角邊分別為、，斜邊為 的直

角三角形圍在外面形成的。因?yàn)檫呴L(zhǎng)為的正方形面積加上4個(gè)直角三角形的面積等于外圍正方形的面積，所以可以列出等式，化簡(jiǎn)得。

第二種方法：邊長(zhǎng)為的正方形可以看作是由4個(gè)直角邊分別為、，斜邊為 的角三角形拼接形成的（虛線表示），不過(guò)中間缺出一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形“小洞”。

因?yàn)檫呴L(zhǎng)為的正方形面積等于4個(gè)直角三角形的面積加上正方形“小洞”的面積，所以可以列出等式，化簡(jiǎn)得。

這種證明方法很簡(jiǎn)明，很直觀，它表現(xiàn)了我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽高超的證題思想和對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神，是我們中華民族的驕傲。

三、美國(guó)第20任總統(tǒng)茄菲爾德的證法（圖3）

這個(gè)直角梯形是由2個(gè)直角邊分別為、，斜邊為 的直角三角形和1個(gè)直角邊為的等腰直角三角形拼成的。因?yàn)?個(gè)直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所以可以列出等式，化簡(jiǎn)得。

這種證明方法由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明更加簡(jiǎn)潔，它在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話。

第四篇：勾股定理 專題證明

勾股定理 專題證明

1.我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在一組相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊。

(1)寫(xiě)出你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱：----------，----------；

(2)如圖1，已知格點(diǎn)(小正方形的頂點(diǎn))O（0,0），A（3,0）,B(0,4)請(qǐng)你畫(huà)出以格點(diǎn)為頂

點(diǎn)，OA,OB為勾股邊且對(duì)角線相等的兩個(gè)勾股四邊形OAMB ；

(3)如圖2，將△ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到 △DBE，連結(jié)AD,DC,∠DCB=

30°。寫(xiě)出線段DC,AC,BC的數(shù)量關(guān)系為----------------；

2.（1）如圖1，已知∠AOB，OA＝OB，點(diǎn)E在OB邊上，四邊形AEBF 是平行四邊形，請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺在圖中畫(huà)出∠AOB的平分線．（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）

（2）如圖2，10×10的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A（0，0）、B（5，0）、C（3，6）、D（－1，3），①依次連結(jié)A、B、C、D四點(diǎn)得到四邊形ABCD，四邊形ABCD的形狀是------------；

②在x軸上找一點(diǎn)P，使得△PCD的周長(zhǎng)最短（直接畫(huà)出圖形，不要求寫(xiě)作法）；

此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為------------，最短周長(zhǎng)為------------------；

3.如圖正方形ABCD ,E 為AD邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD邊上一點(diǎn)，∠FEA=∠EBC,若AE= kED, 探究DF與CF的數(shù)量關(guān)系；

4.如圖1 等腰直角 △ABC，將 等腰直角△DMN如圖 放置，△DMN的斜邊MN與△ABC的一直角邊AC重合.⑴ 在圖1中，繞點(diǎn) D旋轉(zhuǎn)△DMN，使兩直角邊DM、DN分別與 交于點(diǎn)E，F(xiàn)如圖2，求證：AE2+BF2=EF2 ；

⑵ 在圖1 中，繞點(diǎn) C旋轉(zhuǎn)△DMN，使它的斜邊CM、直角邊 CD的延長(zhǎng)線分別與 AB交于點(diǎn)E，F(xiàn)，如圖3，此時(shí)結(jié)論AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.⑶ 如圖4，在正方形 ABCD中，E、F 分別是邊BC、CD 上的點(diǎn)且滿足△CEF 的周長(zhǎng)等于正方形ABCD 的周長(zhǎng)的一半，AE、AF 分別與對(duì)角線 BD交于點(diǎn)M、N.線段BM、MN、DN 恰能構(gòu)成三角形.請(qǐng)指出線段BM、MN、DN 所構(gòu)成的三角形的形狀，并給出證明；

5.將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)繞矩形ABCD（AB＜BC）的對(duì)角線的交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（如圖①②③），圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點(diǎn)，⑴如圖①三角板一直角邊與OD重合，則線段BN、CD、CN間的數(shù)量關(guān)系為-----------------------；

⑵如圖②三角板一直角邊與OC重合，則線段BN、CD、CN間的數(shù)量關(guān)系為-----------------------；

⑶如圖③，探究線段BN、CN、CM、DM間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論，加以說(shuō)明；

④若將矩形ABCD改為邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，直角三角板的直角頂點(diǎn)繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖④，兩直角邊與AB、BC分別交于M、N，探究線段BN、CN、CM、DM間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論，加以說(shuō)明；

6.如圖，四邊形ABCD, AD∥BC，AD≠BC，∠B=90°，AD=AB ,點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合)，連結(jié)ED，過(guò)ED的中點(diǎn)F作ED的垂線，交AD于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)K作KM⊥AD于M．若AB=k AE , 探究DM與DG 的數(shù)量關(guān)系；（用含 的式子表示）．

第五篇：勾股定理證明

勾股定理證明

直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方這一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又稱畢達(dá)哥拉斯定理或畢氏定理中國(guó)是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國(guó)家之一。中國(guó)古代數(shù)學(xué)家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據(jù)記載，商高（約公元前1120年）答周公曰“故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤(pán)，得成三四五。兩矩共長(zhǎng)二十有五，是謂積矩。”因此，勾股定理在中國(guó)又稱“商高定理”。在公元前7至6世紀(jì)一中國(guó)學(xué)者陳子，曾經(jīng)給出過(guò)任意直角三角形的三邊關(guān)系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開(kāi)方除之得邪至日。

以下即為一種證明方法：

如圖，這個(gè)直角梯形是由2個(gè)直角邊分別為、，斜邊為 的直角三角形和1個(gè)直角邊為的等腰直角三角形拼成的。

∵△ABE＋△AED＋△CED＝梯形ABCD

∴（ab+ab+c2）÷2＝(a+b)(a+b)/2 ∴

∴c2=a2+b2，即在直角三角形中，斜邊長(zhǎng)的平方等于兩直角邊的平方和

初二十四班秦煜暄