第一篇：工程數(shù)學(xué)“線性代數(shù)”測試題參考答案

“線性代數(shù)”測試題參考答案

?1?10??200?????1．設(shè)矩陣A??121,B?050，問：A是否可逆？若A可逆，求A?1B．（15分）??????223????005??

解：因為

1?10100

A??121??111?3?4??1??3分

223243

所以A可逆。利用初等行變換求A?1，即

??1?10100??1?10100?

??121010???011110?

?2??

?23001????

?043?201??

?

??1?10100??1?100

?011110?1

??010?5?3

?0?1?6?41???

?0???00164

?100?

??4?31?

?010?5?31?

??

?00164?1??

??4?31?

即A?1????5?31?

????10分

?64?1??

由矩陣乘法得

??4?31?

A?1B????5?31???200????8?155?

050???10?155???15分

??64?1?????

???005????1220?5???

2．當(dāng)?取何值時，線性方程組

??x1?x2?x4?2

?x1?2x2?x3?4x4?3

??2x1?3x2?x3?5x4???2

有解，在有解的情況下求方程組的全部解．（20分）

解：（1）因為

0?1? ?1???1

?1A???1

??2?1 ???0

??0

2??1?1012?

?0?113??2143??1???

?315??2????0?113??2???1012??1131??000??3??

?101

當(dāng)??3時，r(A)= r([A ? B])，所以方程組AX=B有解．??5分（2）??3時，由

2??1?101?10?1?21?

?0?113???01?1?3?1?

1????

??0003?3?0000??0??0?

得AX=B的一般解為： ?

?x1?x3?2x4?1，其中x3，x4為自由元??10分

?x2?x3?3x4?1

令x3= 0，x4= 0，得特解X0 =(1,?1,0,0)?對應(yīng)的齊次方程組AX = O的一般解為

?x1?x3?2x4，其中x3，x4為自由元 ?

?x2?x3?3x4

令x3=1，x4=0得X1=(1,1,1,0)?；

令x3=0，x4=1得X2=(2,3,0,1)?．??17分AX = O的一個基礎(chǔ)解系為：{ X1，X2 }．

AX = B的通解為：X?X0?k1X1?k2X2，其中k1，k2為任意常數(shù)．??20分

1，?5,2)?，3．設(shè)向量組?1?(1，?2，4,?1)?，?2?(?4，8，?16,4)?，?3?(?3，?4?(2，3，1,?1)?，求這個向量組的秩以及它的一個極大線性無關(guān)組．（15分）

解：因為

?1

??2

（?1 ?2 ?3 ?4）=?

?4???1

?48?164

?31?52

2?3?? 1???1?

?1?0

??

?0??0

?4000

?3?57?1

2??1

?07?????0?7???1??0

?4000

?3?100

2?

1????8分 2??0?

所以，r(?1,?2,?3,?4)= 3．??10分

它的一個極大線性無關(guān)組是 ?1,?3,?4（或?2,?3,?4）．??15分 4．用配方法將二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x1x2?4x1x3?2x2?2x2x3?6x3化為標(biāo)準(zhǔn)型，并求出所作的滿秩變換．（15分）解：

f(x1,x2,x3)?x1?2x1x2?4x1x3?2x2?2x2x3?6x3

?(x1?x2?4x3?2x1x2?4x1x3?4x2x3)?(x2?6x2x3?9x3)?7x3?(x1?x2?2x3)?(x2?3x3)?7x3 令

y1?x1?x2?2x3,即得

f(x1,x2,x3)?y1?y2?7y3由式解出x1,x2,x3，即得

y2?x2?3x3,y3?x3（*）

?x1?y1?y2?5y3?

?x2?y2?3y3

?x?y

3?3

或?qū)懗?x1??1?15??y1?

??????x2?01?3y2 ???????1??x3????00???y3??

5．用配方法將二次型f(x1,x2,x3)?4x1x2?2x1x3?2x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)型，并求出所作的滿秩變換．（15分）

?x1?y1?y2

?

解：做線性替換?x2?y1?y2，（*）

?x?y

3?3

得f(x1,x2,x3)?4(y1?y2)?2(y1?y2)y3?2(y1?y2)y3

?4y1?4y2?4y1y3 22

1用配方法，得f(x22

1,x2,x3)?4(y1?2

y23)?4y2?y3

令z1

1?y1?

y3,z2?y2,z3?y3（**）即得f(xx2

1,x2,3)?4z1?4z2?z3

?

?x11

?z1?z2?z3?

由（*）和（**）式解出x ?

?x11,x2,x3，即得?

2?z1?z2?2z3

??x3?z3?

?

1?

?x1??

112?或?qū)懗?1??z1??x??2??1?1?x???2???3???00

1??z2? ????z3?????

6.試證：設(shè)n階方陣A滿足A2?I，AAT

?I，試證A為對稱矩陣．（10分）證明：因為 A2?I，AAT

?I且

AT

?IAT

?A2

AT

?A(AAT)?AI?A

所以A為對稱矩陣。??10分7.設(shè)A，B同為n階方陣，I為n階單位矩陣，且A＝1B?I）,若B2＝I,則A2

＝A.（10分）

證明：因為

A2-A?A（A?I）=1

B?I)(B?I)

=1

(B2-I)?0

則A2

＝A

第二篇：暨南大學(xué)線性代數(shù)測試題

線性代數(shù)測試練習(xí)題

一、選擇與填空（每題2分，共40分）

a111、若行列式D?a21a12a22a32a134a112a11?3a122a21?3a222a31?3a32a13a23?。a33a31a23?1，則H?4a21a334a31（A）-12

（B）12

（C）-24

（D）24

2、n級排列p1p2?pn的逆序數(shù)與順序數(shù)分別為p與q，則p?q?。

?2x1?x2?x3?0?

3、齊次線性方程組?x1?kx2?x3?0有非零解，則。

?kx?x?x?0?123（A）k?4（B）k??1（C）k??1且k?4（D）k??1或k?4

1042?1?

14、四階行列式D?0?6024?102，Aij是相應(yīng)的代數(shù)余子式，則2A41?A42?A43?2A44? 02kk5、A、B、C是n階矩陣，則下列結(jié)論錯誤的是：（A）I?A2?(I?A)(I?A)（B）(AB)k?AB

22（C）如果A?B，則A?B或A??B（D）A?BTT?A?B

?OA??

6、A、B為n階可逆矩陣，則???BO??O（A）??1?B?OA?1?（B）???1O??A?OB?1?（A）???1O???A?A?1?B?1??（D）?O??OO? ?1?B??

17、A為n階矩陣，且r(A)?n?1，則r(A*)=

（A）1 或n?1（B）0 或n?1（C）1或0

（D）以上都不對。

8、A、B為3階可逆矩陣，且A?2，B?3。則?2(AB)?。

9、已知向量??(?1,?1,0)被向量組?1?(1,0,1)，?2?(0,1,0)，?3?(0,0,1)線性表出，則相應(yīng)的表出系數(shù)是

（A）?1，?1，?1（B）1，?1，?1（C）?1，1，?1（D）?1，?1，1

10、A是m?n矩陣，r(A)?r(0?r?n)，則下列結(jié)論不正確的是：（A）Ax?0的任何一個基礎(chǔ)解系都含n?r個線性無關(guān)解向量；（B）X是n?s矩陣，且AX?0，則r(X)?n?r；

T?1（C）?是m維列向量，r(A,?)?r，則?可被A的列向量組線性表示；（D）非齊次線性方程組Ax?b比有無窮多組解；

11、已知m?n齊次方程組Ax?0，且r(A)?r，?1,?2,?,?n?r是方程組的n?r個

線性無關(guān)解向量，則Ax?0的基礎(chǔ)解系為（A）?1,?2,?,?n?r,?1??2????n?r

（B）?1，?2??1，?3??2，…，?n?r??n?r?1，?n?r（C）?1??2，?2??3，…，?n?r?1??n?r，?n?r??1（D）?1,?2,?,?n?r,?1??2????n?r，12、A為n階矩陣，下列結(jié)論中不正確的是：

（A）A可逆的充分必要條件是r(A)?n；

（B）A可逆的充分必要條件是A的列秩為n；

（C）A可逆的充分必要條件是當(dāng)x?0時，Ax?0；

（D）A可逆的充分必要條件是A的每一行都是非零向量。

13、設(shè)?=2是矩陣A的特征值，則矩陣

12A的特征值是：。3（A）4343（B）（C）?（D）? 3434?100???

14、與矩陣A?010相似的矩陣是 ???002????110??110??101??101?????????（A）021（B）010（C）010（D）021 ?????????001??002??002??002??????????001???

15、矩陣A??x10?可對角化，則x?。

?100????123???

16、矩陣A???1x2?，B與A相似，且1、2、3是其特征值，則x?。

?001???

17、A為n階實對稱矩陣，則

（A）A的n個特征向量兩兩正交；（B）A的n個特征向量是單位正交向量組；（C）?是A的k重特征值，則r(?I?A)?n?k；（D）?是A的k重特征值，則r(?I?A)?k；

?12??x1?

18、二次型f(x1,x2)?(x1,x2)???x?的系數(shù)矩陣是。

43???2?

19、設(shè)A、B是n階的合同矩陣，則。

（A）A與B相似（B）A?B

（C）A與B有相同的特征值（D）r(A)?r(B)20、n階對稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是

（A）二次型xTAx的負(fù)慣性指數(shù)為0；（B）有矩陣C使得A?CTC（C）A沒有負(fù)特征值（D）A與單位矩陣合同

二、計算解答題（每題10分，共50分）

1?x111111?y121、求實數(shù)x、y的值，使得?0。

11?x111111?y?010??1?1?????

22、A??111，B?20，且AX?B?B，求X。??????10?1??5?3???????x1?x2?x3???3?

23、設(shè)線性方程組?x1??x2?x3??2。討論當(dāng)?取何值時，方程組有解和無解？

?x?x??x??2?123并當(dāng)有無窮多組解時，用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系與特解寫出通解公式。

24、求向量?1?(1,2,?1,5)，?2?(2,?1,1,1)，?3?(4,3,?1,11)的一組極大無關(guān)組，并用它表示其余的向量。

25、求正交變換x?Qy化二次型f(x1,x2,x3)?3x1+3x3?4x1x2+8x1x3+4x2x3為標(biāo)準(zhǔn)型。并指出二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)，和規(guī)范型。

三、證明題（每題5分）

26、證明：正定矩陣的伴隨矩陣也是正定矩陣。

27、A是m?n矩陣，證明：方程組Ax?0與AAx?0是同解方程組。

T22

第三篇：線性代數(shù)階段測試題

線性代數(shù)階段測試題

（一）一、填空題（每小題3分）

abc1?11123=-5a-2b+3c_________。1.行列式21?413252.行列式的代數(shù)余子式A31=-42__________, A23=-10__________。

3.若將行列式D的某兩行互換，再將其中某一列每個元素都反號，則行列式的值 _I 不變_________。

4.若行列式每行元素之和都為零，則此行列式的值為 0__________。?31?ax1?bx2?m?cx?dx2?n的系數(shù)滿足 m不等于n_________時，方程組有唯一解。5.線形方程組?

1二、單項選擇題：（每小題只有一個正確答案）（每小題3分）

31?125231.若 A.0 B.30 x2=2，則x?（D）C.7

D.4 0002.d00c00b00a0?02（D）

A.abcd B.-abcd C.2abcd D.-2abcd 10?2 3.0233?13?70?44534中的代數(shù)余子式A34為（B）

A.0 B.36 C.12 D.-12 4.將n階行列式D中所有元素都反號、形成的行列式的值為（B）A.0 B.D C.-D D.(?1)D na11a12a31a32a13a112a123a13a21a22a235.若 A.D B.2D C.-6D D.6D

三、多項選擇題：（每小題至少兩個正確答案）（每小題5分）

a212a223a23?a33=D，則a312a323a33（D）

12x2x?1132=0，方程的解為x?(AD)1.若 A.1 B.2 C.0 D.7 E.-7 2.以下哪些情況，行列式的值為零（ACE）A.行列式某行元素全為0 B.行列式某列元素的余子式全為0 C.行列式某行元素全部相等 D.行列式兩行互換

E.行列式某兩列元素對應(yīng)相等

a?xb?0?3.c?0d?x（BDCE）

abx0?cd0x A.ab?0xb?0? B.cd?x0d?x

ab?0xb?0? C.0d?xcd?x a?xb?0a?xb?0?cd0x D.a?xc?0E.b?0d?x

4.在下列哪些情況下，行列式的值一定不變（CDE）A.行列式轉(zhuǎn)置 B.行列式兩列互換

C.行列式某一列元素全部反號 D.行列式某兩列元素全部反號 E.行列式的第一行乘以2，最后一列乘以2

a11a12a13a21a22a23a31a32a33，記A11是元素a11的代數(shù)余子式，則（BCX）

A.a12A12?a22A22?a32A32?A 5.設(shè)A= B.a11A13?a21A23?a31A33?0 C.a11A11?a12A12?a13A13?A D.a11A12?a21A22?a31A32?A E.a21A12?a22A22?a23A32?A

四、計算題：（每小題5分）

x?1220x202x?11.解方程：=0 ——答： X1=0,X2=1,X3=-1 a11a12a31a32a136a115a11?4a12a13a21a22a232.若——答： =12

6a215a21?4a22a23a33=2，求 6a315a31?4a32a33

213?1123.求51——答： X=5 4?1x5716?2中x的系數(shù) 231302511962 11?14.計算2——答：-26 5.若某四階行列式第三行元素依次為a31?2，a32?7，a33??2，a34?5對應(yīng)的余子式依次為M31——答： =12 ?6，M32?1，M33?3，M34?2,，求此行列式的值。

1236.已知11112572?10x71= 0，求x。

——答： X=-5.5 010...00...002...............07.求n000...n?10...0

——答： 0.5n(n-1)

?3x1?5x2?x3?4??2x1?3x2?2x3??3?5x?4x?2x?2238.用克萊姆法則求解方程組：?1

——答：

五、證明題（5分）

??x1?x2?x3?b1??x1??x2?x3?b2?x?x??x?b233對于任何實數(shù)b1,b2,b3, 都有唯一解。當(dāng)λ≠1和-2時，線性方程組?1——答：

第四篇：線性代數(shù)武漢工程大學(xué)線性代數(shù)練習(xí)題答案

線性代數(shù)練習(xí)題（1）詳細(xì)解答

1．（1）×；

（2）×；

（3）×；

（4）×。

?111??040?2．（1）6k?1??222???；（2）?040??； ?333?????040????201?（3）AB?BA?O；（4）??0?10???。?00?2???131?3．解：?2140??0?12???6?78??1?134?????1?31?????20?5?6?。??40?2???1?210??1?210??1?214．解：因為??02?88????~?02?88???~?01?4??459?9????0?313?9????0?313?1?210??1?20?3??10029?~??01?44???~??01016??~??01016??，?0013????0013????0013???x1?29,所以??x2?16，??x3?3.??21322??058?5．解：3AB?2A????2?1720??，ATB??0?56???。?429?2?????290??0?4???9??

第五篇：線性代數(shù)習(xí)題答案

習(xí)題 三（A類）

1.設(shè)α1＝(1，1，0)，α2＝(0，1，1)，α3＝(3，4，0).求α1-α2及3α1+2α2-α3.解：α1-α2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),3α1+2α2-α3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2)

2.設(shè)3(α1-α)+2(α2+α)＝5(α3+α)，其中α1＝(2，5，1，3)，α2＝(10，1，5，10)，α＝(4，1，-1，1).求α.解：由3（α1-α）+2(α2+α)=5(α3+α)整理得：α=16163(3α1+2α2-5α3),即α=(6,12,18,24)

=(1,2,3,4)3.（1）×

（2）×

（3）√

（4）×

（5）×

4.判別下列向量組的線性相關(guān)性.（1）α1=(2,5), α2=(-1,3);(2)α1=(1,2)，α2=(2,3), α3=(4,3);(3)α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2);(4)α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1).解：（1）線性無關(guān)；（2）線性相關(guān)；（3）線性無關(guān)；（4）線性相關(guān).5.設(shè)α１,α２,α3線性無關(guān)，證明：α１，α１+α２，α１+α２+α3也線性無關(guān).證明：設(shè)

k1?1?k2(?1??2)?k3(?1??2??3)?0，即

(k1?k2?k3)?1?(k2?k3)?2?k3?3?0.由?1,?2,?3線性無關(guān)，有

?k1?k2?k3?0,? ?k2?k3?0,?k?0.?3所以k1?k2?k3?0,即?1,?1??2,?1??2??3線性無關(guān).6.問a為何值時，向量組

?1?(1,2,3),?2?(3,?1,2),?3?(2,3,a)

'''線性相關(guān)，并將?3用?1,?2線性表示.13?1223?7(5?a),當(dāng)a=5時，?3?a117解：A?23?1?17?2.7.作一個以(1，0，1，0)和(1，-1，0，0)為行向量的秩為4的方陣.解：因向量(1,0,0,0)與（1,0,1,0）和(1,-1,0,0)線性無關(guān), 所以(1,0,0,0)可作為方陣的一個行向量，因（1,0,0,1）與(1,0,1,0)，（1，-1，0，0），（1，0，0，?1?10）線性無關(guān)，所以(1,0,0,1)可作為方陣的一個行向量.所以方陣可為??1??10?10010000??0?.0??1?

8.設(shè)?1,?2,?,?s的秩為r且其中每個向量都可經(jīng)?1,?2,?,?r線性表出.證明：?1,?2,?,?r為?1,?2,?,?s的一個極大線性無關(guān)組.【證明】若

?1,?2,?,?r

(1)線性相關(guān)，且不妨設(shè)

?1,?2,?,?t(t

(2)是(1)的一個極大無關(guān)組，則顯然（2）是?1,?2,?,?s的一個極大無關(guān)組，這與?1,?2,?,?s的秩為r矛盾，故?1,?2,?,?r必線性無關(guān)且為?1,?2,?,?s的一個極大無關(guān)組.9.求向量組?1=(1,1,1,k),?2=(1,1,k,1),?3=(1,2,1,1)的秩和一個極大無關(guān)組.【解】把?1,?2,?3按列排成矩陣A，并對其施行初等變換.?1?1A???1??k11k11??1??20????01???1??01??1??010????0k?10???1?k1?k??011??1??010????0k?10???01?k??011k?1001??0? 1??0?當(dāng)k=1時，?1,?2,?3的秩為2,?1,?3為其一極大無關(guān)組.當(dāng)k≠1時，?1,?2,?3線性無關(guān)，秩為3，極大無關(guān)組為其本身.10.確定向量?3?(2,a,b),使向量組?1?(1,1,0),?2?(1,1,1),?3與向量組?1=(0,1,1), ?2=(1,2,1),?3=(1,0,?1)的秩相同，且?3可由?1,?2,?3線性表出.【解】由于

?0?A?(?1,?2,?3)?1???1?1?B?(?1,?2,?3)?1???01211111??1??0?0????1???02??1??a?0???b???01102?100???1;?0??2??,b?a?2??

而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a?2=0,即a=2,又

?0?c?(?1,?2,?3,?3)?1???112110?12??1??a?0???b???0210010?? ,2?b?a?2??a要使?3可由?1,?2,?3線性表出，需b?a+2=0,故a=2,b=0時滿足題設(shè)要求，即?3=(2,2,0).11.求下列向量組的秩與一個極大線性無關(guān)組.(1)α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,-6),α3=(1,-3,-4,-7);(2)α1＝(6，4，1，-1，2)，α2＝(1，0，2，3，-4)，α3＝(1，4，-9，-6，22)，α4＝(7，1，0，-1，3)；

(3)α1＝(1，-1，2，4)，α2＝(0，3，1，2)，α3＝(3，0，7，14)，α4＝(1，-1，2，0),α＝(2，1，5，6).解：（1）把向量組作為列向量組成矩陣Α，應(yīng)用初等行變換將Α化為最簡形矩陣B，則 11??1 0 ??1 4 1???1 4 1??1 4 1?9?????5?????0 1 ?2 ?1 ?30 ?9 ?55????????A??9???0 1 ??B

?1 ?5 ?4??0 ?9 ?5?9?0 0 0???????0 0 0?????0 0 0??3 ?6 ?7??0 ?18 ?10??????0 0 0?5可知：R（?。?R（B）=2，B的第1，2列線性無關(guān)，由于Α的列向量組與B的對應(yīng)的列向量有相同的線性組合關(guān)系，故與B對應(yīng)的Α的第1，2列線性無關(guān)，即α1,α2是該向量組的一個極大無關(guān)組.（2）同理，? 6 1 1 7??0-11 55 7??1 2-9 0??????? 4 0 4 10 ?8 40 10-11 55 7??????? 1 2-9 0???1 2-9 0???0-8 40 1?????????1 3-6 ?10 5-15-10 5-15-1??????? 2 ?4 22 3??0 ?8 40 1??0 0 0 0????????1 2-9 0?7?0 1-5-?11?45?0 0 0-11??240 0 10 ?11??0 0 0 0????1 2-9 0??1 0 0 0???????0 1-5 00 1 0 0????????0 0 10 0???0 0 1 0??B?????0 0 0 10 0 0 1??????0 0 0 0??0 0 0 0?????????

可知R(Α)=R(B)=4,Α的4個列向量線性無關(guān),即α1,α2,α3,α4是該向量組的極大無關(guān)組.(3)同理，?1 0 3 1 2??1 0 3 1 2??1 0 3 1 2??1 0 3 1 2?????????-1 3 0-1 10 3 3 0 30 1 1 0 10 1 1 0 1??????????, A???2 1 7 2 5??0 1 1 0 1??0 0 0-4-4??0 0 0 1 1?????????4 2 14 0 60 2 2-4-20 0 0 0 00 0 0 0????????可知R(Α)=R(B)=3,取線性無關(guān)組α1,α3,α5為該向量組的一個極大無關(guān)組.12.求下列向量組的一個極大無關(guān)組,并將其余向量用此極大無關(guān)組線性表示.(1)α1=(1,1,3,1),α2=(-1,1,-1,3),α3=(5,-2,8,-9),α4=(-1,3,1,7);(2)α1=(1,1,2,3),α2=(1,-1,1,1),α3=(1,3,3,5),α4=(4,-2,5,6),α5=(-3,-1,-5,-7).解：(1)以向量組為列向量組成Α,應(yīng)用初等行變換化為最簡形式.3??1 0 1?1-1 5-1????1-1 5-1??1-1 5-1?2????7??????1 1-2 30 2-7 47??????0 1-2 2???0 1-2??B, A?????3-1 8 1??0 2-7 4?2?0 0 0 0???????0 0 0 0?????0 0 0 0??1 3-9 7??0 4-14 8 ??0 0 0 0?????可知,α1,α2為向量組的一個極大無關(guān)組.?x1?x2?5?37?x1?x2??2設(shè)α3=x1α1+x2α2,即?解得,x1?,x2??

22?3x1?x2?8?x?3x??9?12?x1?x2??1??x1?x2?3設(shè)α4=x3α1+x4α2,即?解得,x1?1,x2?2

?3x1?x2?1?x?3x?7?12所以a3?32a1?72a2,a4?a1?2a2.?1 1 1 4-3??1 1 1 4-3??1 0 2 1-2???????1-1 3-2-10-2 2-6 20 1-1 3-1????????B(2)同理, A???2 1 3 5-5??0-1 1-3 1??0 0 0 0 0???????3 1 5 6-70-2 2-6 20 0 0 0 0??????可知, α

1、α2可作為Α的一個極大線性無關(guān)組，令α3=x1α1+x2α?x1?x2?1可得：?即x1=2,x2=-1,令α4=x3α1+x4α2, x?x?3?12?x1?x2?4可得：?即x1=1,x2=3,令α5=x5α1+x6α2, ?x1?x2??2?x1?x2??3可得：?即x1=-2,x2=-1,所以α3=2α1-αx?x??1?122 α4=α1+3α2,α5=-2α1-α 13.設(shè)向量組?1,?2,?,?m與?1,?2,?,?s秩相同且?1,?2,?,?m能經(jīng)?1,?2,?,?s線性表出.證明?1,?2,?,?m與?1,?2,?,?s等價.【解】設(shè)向量組

?1,?2,?,?m

(1)與向量組

?1,?2,?,?s

(2)的極大線性無關(guān)組分別為

?1,?2,?,?r

(3)和

?1,?2,?,?r

(4)由于（1）可由（2）線性表出，那么（1）也可由（4）線性表出，從而（3）可以由（4）線性表出，即

r?i??aj?1ij?j(i?1,2,?,r).因（4）線性無關(guān)，故（3）線性無關(guān)的充分必要條件是|aij|≠0，可由（*）解出?j(j?1,2,?,r),即（4）可由（3）線性表出，從而它們等價，再由它們分別同（1），（2）等價，所以（1）和（2）等價.14.設(shè)向量組α1,α2,…,αs的秩為r1,向量組β1,β2,…,βt的秩為r2,向量組α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt的秩為r3,試證:

max{r1,r2}≤r3≤r1+r2.證明：設(shè)αs1,…，?Sr1為α1,α2,…，αs的一個極大線性無關(guān)組, βt1,βt2,…,?t為β1，r2β2,…,βt的一個極大線性無關(guān)組.μ1，…，?r為α1, α2，…，αs，β1，β2，…，βt的一

3個極大線性無關(guān)組，則α

s1，…，?S和βt1，…，β

r1tr2

可分別由μ1，…，?r線性表示，所

3以，r1≤r3，r2≤r3即max{r1,r2}≤r3，又μ1，…，?r可由α

3s1, …，αsr1，βt1，…，βtr2線性表示及線性無關(guān)性可知：r3≤r1+r2.15.已知向量組α1=(1,a,a,a)′,α2=(a,1,a,a)′,α3=(a,a,1,a)′,α4=(a,a,a,1)′的秩為3,試確定a的值.解：以向量組為列向量，組成矩陣A，用行初等變換化為最簡形式： ?1 a a a??1 a a a??1?3a a a a???????a 1 a aa-1 1?a 0 00 1-a 0 0???????? ?a a 1 a??a-1 0 1-a 0??0 0 1-a 0???????a a a 1a-1 0 0 1-a0 0 0 1-a??????由秩A=3.可知a≠1,從而1+3a=0，即a=-

13.16.求下列矩陣的行向量組的一個極大線性無關(guān)組.?25?75(1)??75??***42043??1??1320?；

(2)??2134???48??11201213025?141???1?.3???1???1????2【解】(1)矩陣的行向量組??的一個極大無關(guān)組為?1,?2,?3;

??3?????4???1????2(2)矩陣的行向量組??的一個極大無關(guān)組為?1,?2,?4.??3?????4?17.集合V1＝{(x1,x2,?,xn)｜x1,x2,?,xn∈R且x1?x2???xn＝0}是否構(gòu)成向量空間?為什么? 【解】由（0,0,…,0）∈V1知V1非空，設(shè)??(x1,x2,?,xn)?V1,??(y1,y2,?,yn)?V2,k?R)則

????(x1?y1,x2?y2,?,xn?yn)k??(kx1,kx2,?,kxn).因為

(x1?y1)?(x2?y2)???(xn?yn)?(x1?x2???xn)?(y1?y2???yn)?0, kx1?kx2???kxn?k(x1?x2???xn)?0,所以????V1,k??V1,故V1是向量空間.18.試證：由?1?(1,1,0),?2?(1,0,1),?3?(0,1,1),生成的向量空間恰為R3.【證明】把?1,?2,?3排成矩陣A=(?1,?2,?3),則

1A?1010101??2?0, 1所以?1,?2,?3線性無關(guān)，故?1,?2,?3是R3的一個基，因而?1,?2,?3生成的向量空間恰為R3.19.求由向量?1?(1,2,1,0),?2?(1,1,1,2),?3?(3,4,3,4),?4?(1,1,2,1),?5?(4,5,6,4)所生的向量空間的一組基及其維數(shù).【解】因為矩陣

A?(?1,?2,?3,?4,?5)?1?2???1??01112343411214??1??50????06???4??01?1023?2041?1114??1???30????02???4??01?1003?2001?1104???3 ?,2??0?∴?1,?2,?4是一組基，其維數(shù)是3維的.20.設(shè)?1?(1,1,0,0),?2?(1,0,1,1),?1?(2,?1,3,3),?2?(0,1,?1,?1),證明: L(?1,?2)?L(?1,?2).【解】因為矩陣

A?(?1,?2,?1,?2)?1?1???0??010112?1330??1??10????0?1????1??01?1002?3000??1 ?,0??0?由此知向量組?1,?2與向量組?1,?2的秩都是2，并且向量組?1,?2可由向量組?1,?2線性表出.由習(xí)題15知這兩向量組等價，從而?1,?2也可由?1,?2線性表出.所以

L(?1,?2)?L(?1,?2).21.在R3中求一個向量?，使它在下面兩個基

(1)?1?(1,0,1),(2)?1?(0,?1,1),?2?(?1,0,0)?2?(1,?1,0)?3?(0,1,1)?3?(1,0,1)

下有相同的坐標(biāo).【解】設(shè)?在兩組基下的坐標(biāo)均為(x1,x2,x3)，即

?x1??x1???????(?1,?2,?3)x2?(?1,?2,?3)x2,???????x3???x3???1?0???1?1000??x1??0????1x2??1????1????1?x3???1?101??x1????0x2???1????x3??

即

?1?1???0?210?1??x1????x?0, 1??2?0????x3??求該齊次線性方程組得通解

x1?k,x2?2k,x3??3k

(k為任意實數(shù))故

??x1?1?x2?2?x3?3?(k,2k,?3k).22.驗證?1?(1,?1,0),?2?(2,1,3),?3?(3,1,2)為R3的一個基，并把?1?(5,0,7), ?2?(?9,?8,?13)用這個基線性表示.【解】設(shè)

A?(?1,?2,?3),B?(?1,?2)，又設(shè)

?1?x11?1?x21?2?x31?3,?2?x12?1?x22?2?x32?3, 即

?x11?(?1,?2)?(?1,?2,?3)x21???x31x12??x22, ?x32??記作

B=AX.則

?1?(A?B)??1???0?1?0???***?2507?9??r2?r1???8????13???1?0???0233?1?0???0342010557001?9?r2?r3????17?r?2?r3??13??23?13???3??2???9??作初等行變換??13???????4??

因有A?E,故?1,?2,?3為R3的一個基，且

?2?(?1,?2)?(?1,?2,?3)3????13???3, ??2??即

?1?2?1?3?2??3,?2?3?1?3?2?2?3.（B類）

1.A 2.B 3.C 4.D 5.a=2，b=4 6.abc≠0

7.設(shè)向量組α1,α2,α3線性相關(guān),向量組α2,α3,α4線性無關(guān),問:(1)α1能否由α2,α3線性表示?證明你的結(jié)論.(2)α4能否由α1,α2,α3線性表示?證明你的結(jié)論.解：(1)由向量組α1，α2，α3線性相關(guān)，知向量組α1, α2, α3的秩小于等于2,而α2, α3, α4線性無關(guān)，所以α2, α3線性無關(guān)，故α2, α3是α1, α2, α3的極大線性無關(guān)組，所以α1能由α2, α3線性表示.（2）不能.若α4可由α1，α2，α3線性表示,而α2，α3是α1，α2，α3的極大線性無關(guān)組,所以α4可由α2，α3線性表示.與α2，α3，α4線性無關(guān)矛盾.8.若α1,α2,…,αn,αn+1線性相關(guān),但其中任意

n個向量都線性無關(guān),證明:必存在n+1個全不為零的數(shù)k1,k2,…,kn,kn+1,使

k1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0.證明:因為α1，α2，…，αn，αk1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0

n+1=0，由任意

n+1線性相關(guān)，所以存在不全為零的k1，k2，…，kn，kn+1使若k1=0，則k2α2+…+kn+1αn個向量都性線無關(guān)，則k2=…=kn+1=0,矛盾.從k1≠0,同理可知ki≠0,i=2, …,n+1,所以存在n+1個全不為零的數(shù)k1,k2,…,kn,kn+1,使k1a1+k2a2+…+kn+1an+1=0.9.設(shè)A是n×m矩陣,B是m×n矩陣,其中n＜m,E為n階單位矩陣.若AB=E,證明:B的列向量組線性無關(guān).證明：由第2章知識知，秩A≤n,秩B≤n，可由第2章小結(jié)所給矩陣秩的性質(zhì)，n=秩E≤min{秩A，秩B}≤n，所以秩B=n，所以B的列向量的秩為n，即線性無關(guān).