第一篇：線性代數(shù)概念總結(jié)

定理1.6 每一個m×n 矩陣總可經(jīng)過有限次初等行變換化成行階梯陣與行簡化階梯陣，且行階梯陣中的非零行數(shù)是唯一確定的，行簡化階梯陣也是唯一確定的。

定理1.7 初等矩陣都是可逆的。且初等矩陣的逆矩陣仍是初等矩陣。

定理1.8 對矩陣Am×n 做一次初等變換相當于在矩陣Am×n 的左側(cè)乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對矩陣Am×n 做一次初等列變換想到與在矩陣Am×n 右側(cè)乘以相應(yīng)的n階初等矩陣。

定理1.9 n階可逆矩陣的行簡化階梯陣一定是單位矩陣。

定理1.10 方正A可逆的充分必要條件是A可以寫成有限個初等矩陣的乘積。

第二篇：線性代數(shù)總結(jié)

線性代數(shù)總結(jié) [轉(zhuǎn)貼 2008-05-04 13:04:49]

字號：大 中 小

線性代數(shù)總結(jié)

一、課程特點

特點一：知識點比較細碎。

如矩陣部分涉及到了各種類型的性質(zhì)和關(guān)系，記憶量大而且容易混淆的地方較多。特點二：知識點間的聯(lián)系性很強。

這種聯(lián)系不僅僅是指在后面幾章中用到前兩章行列式和矩陣的相關(guān)知識，更重要的是在于不同章節(jié)中各種性質(zhì)、定理、判定法則之間有著相互推導(dǎo)和前后印證的關(guān)系。復(fù)習(xí)線代時，要做到“融會貫通”。

“融會”——設(shè)法找到不同知識點之間的內(nèi)在相通之處； “貫通”——掌握前后知識點之間的順承關(guān)系。

二、行列式與矩陣

第一章《行列式》、第二章《矩陣》是線性代數(shù)中的基礎(chǔ)章節(jié)，有必要熟練掌握。

行列式的核心內(nèi)容是求行列式，包括具體行列式的計算和抽象行列式的計算，其中具體行列式的計算又有低階和 階兩種類型；主要方法是應(yīng)用行列式的性質(zhì)及按行列展開定理化為上下三角行列式求解。

對于抽象行列式的求值，考點不在求行列式，而在于、、等的相關(guān)性質(zhì)，及性質(zhì)（其中 為矩陣 的特征值）。

矩陣部分出題很靈活，頻繁出現(xiàn)的知識點包括矩陣運算的運算規(guī)律、、、的性質(zhì)、矩陣可逆的判定及求逆、矩陣的秩的性質(zhì)、初等矩陣的性質(zhì)等。

三、向量與線性方程組

向量與線性方程組是整個線性代數(shù)部分的核心內(nèi)容。相比之下，行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問題而做鋪墊的基礎(chǔ)性章節(jié)；后兩章特征值、特征向量、二次型的內(nèi)容則相對獨立，可以看作是對核心內(nèi)容的擴展。

向量與線性方程組的內(nèi)容聯(lián)系很密切，很多知識點相互之間都有或明或暗的相關(guān)性。復(fù)習(xí)這兩部分內(nèi)容最有效的方法就是徹底理順諸多知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，因為這樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時也是熟練掌握和靈活運用的前提。解線性方程組可以看作是出發(fā)點和目標。線性方程組（一般式）還具有兩種形式：（Ⅰ）矩陣形式，其中，（Ⅱ）向量形式，其中 ，向量就這樣被引入了。

1）齊次線性方程組與線性相關(guān)、無關(guān)的聯(lián)系

齊次線性方程組 可以直接看出一定有解，因為當 時等式一定成立；印證了向量部分的一條性質(zhì)“零向量可由任何向量線性表示”。

齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：①有唯一零解；②有非零解。當齊次線性方程組有唯一零解時，是指等式 中的 只能全為0才能使等式成立，而當齊次線性方程組有非零解時，存在不全為0的 使上式成立；但向量部分中判斷向量組 是否線性相關(guān)無關(guān)的定義也正是由這個等式出發(fā)的。故向量與線性方程組在此又產(chǎn)生了聯(lián)系：齊次線性方程組 是否有非零解對應(yīng)于系數(shù)矩陣 的列向量組是否線性相關(guān)?？梢栽O(shè)想線性相關(guān)無關(guān)的概念就是為了更好地討論線性方程組問題而提出的。2）齊次線性方程組的解與秩和極大無關(guān)組的聯(lián)系

同樣可以認為秩是為了更好地討論線性相關(guān)和線性無關(guān)而引入的。秩的定義是“極大線性無關(guān)組中的向量個數(shù)”，向量組 組成的矩陣 有 說明向量組的極大線性無關(guān)組中有 個向量，即 線性無關(guān)，也即等式 只有零解。所以，經(jīng)過

“秩 → 線性相關(guān)無關(guān) → 線性方程組解的判定” 的邏輯鏈條，由 就可以判定齊次方程組 只有零解。當 時，的列向量組 線性相關(guān)，此時齊次線性方程組 有非零解，且齊次線性方程組 的解向量可以通過 個線性無關(guān)的解向量（基礎(chǔ)解系）線性表示。

3）非齊次線性方程組與線性表示的聯(lián)系

非齊次線性方程組 是否有解對應(yīng)于向量 是否可由 的列向量組 線性表示，即使等式 成立的一組數(shù) 就是非齊次線性方程組 的解。當非齊次線性方程組 滿足 時，它有唯一解。這一點也正好印證了一個重要定理：“若 線性無關(guān)，而 線性相關(guān)，則向量 可由向量組 線性表示，且表示方法唯一”。性質(zhì)1.對于方陣 有：

方陣 可逆ó

ó 的行列向量組均線性無關(guān)ó ó 可由克萊姆法則判斷有唯一解，而 僅有零解 對于一般矩陣 則有： ó 的列向量組線性無關(guān)

ó 僅有零解，有唯一解（如果有解）

性質(zhì)2．齊次線性方程組 是否有非零解對應(yīng)于系數(shù)矩陣 的列向量組是否線性相關(guān)，而非齊次線性方程組 是否有解對應(yīng)于 是否可以由 的列向量組線性表出。

以上兩條性質(zhì)可視為是將線性相關(guān)、行列式、秩、線性方程組幾部分知識聯(lián)系在一起的橋梁。

應(yīng)記住的一些性質(zhì)與結(jié)論 1．向量組線性相關(guān)的有關(guān)結(jié)論：

1）向量組 線性相關(guān)ó向量組中至少存在一個向量可由其余 個向量線性表出。2）向量組線性無關(guān)ó向量組中沒有一個向量可由其余的向量線性表出。

3）若 線性無關(guān)，而 線性相關(guān)，則向量 可由向量組 線性表示，且表示法唯一。

2．向量組線性表示與等價的有關(guān)結(jié)論：

1）一個線性無關(guān)的向量組不可能由一個所含向量個數(shù)比它少的向量組線性表示。2）如果向量組 可由向量組 線性表示，則有

3）等價的向量組具有相同的秩，但不一定有相同個數(shù)的向量； 4）任何一個向量組都與它的極大線性無關(guān)組等價。3．常見的線性無關(guān)組：

1）齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系； 2）、、這樣的單位向量組； 3）不同特征值對應(yīng)的特征向量。4．關(guān)于秩的一些結(jié)論： 1）； 2）； 3）； 4）；

5）若有、滿足，則 ； 6）若 是可逆矩陣則有 ； 7）若 可逆則有 ； 8）。

4．線性方程組的解：

1）非齊次線性方程組 有唯一解則對應(yīng)齊次方程組 僅有零解；

2）若 有無窮多解則 有非零解； 3）若 有兩個不同的解則 有非零解；

4）若 是 矩陣而 則 一定有解，而且當 時有唯一解，當 時有無窮多解； 5）若 則 沒有解或有唯一解。

四、特征值與特征向量

相對于前兩章來說，本章不是線性代數(shù)這門課的理論重點，但卻是一個考試重點。其原因是解決相關(guān)題目要用到線代中的大量內(nèi)容——既有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關(guān)，“牽一發(fā)而動全身”。本章知識要點如下： 1．特征值和特征向量的定義及計算方法 就是記牢一系列公式如、、和。常用到下列性質(zhì)：

若 階矩陣 有 個特征值，則有 ；

若矩陣 有特征值，則、、、、、分別有特征值、、、、、，且對應(yīng)特征向量等于 所對應(yīng)的特征向量； 2．相似矩陣及其性質(zhì)

定義式為，此時滿足、、，并且、有相同的特征值。

需要區(qū)分矩陣的相似、等價與合同：矩陣 與矩陣 等價（）的定義式是，其中、為可逆矩陣，此時矩陣 可通過初等變換化為矩陣，并有 ；當 中的、互逆時就變成了矩陣相似（）的定義式，即有 ；矩陣合同的定義是，其中 為可逆矩陣。

由以上定義可看出等價、合同、相似三者之間的關(guān)系：若 與 合同或相似則 與 必等價，反之不成立；合同與等價之間沒有必然聯(lián)系。3．矩陣可相似對角化的條件

包括兩個充要條件和兩個充分條件。充要條件1是 階矩陣 有 個線性無關(guān)的特征向量；充要條件2是 的任意 重特征根對應(yīng)有 個線性無關(guān)的特征向量；充分條件1是 有 個互不相同的特征值；充分條件2是 為實對稱矩陣。4．實對稱矩陣及其相似對角化

階實對稱矩陣 必可正交相似于對角陣，即有正交矩陣 使得，而且正交矩陣 由 對應(yīng)的 個正交的單位特征向量組成。

可以認為討論矩陣的相似對角化是為了方便求矩陣的冪：直接相乘來求 比較困難；但如果有矩陣 使得 滿足（對角矩陣）的話就簡單多了，因為此時

而對角陣 的冪 就等于，代入上式即得。引入特征值和特征向量的概念是為了方便討論矩陣的相似對角化。因為，不但判斷矩陣的相似對角化時要用到特征值和特征向量，而且 中的、也分別是由 的特征向量和特征值決定的。

五、二次型

本章所講的內(nèi)容從根本上講是第五章《特征值和特征向量》的一個延伸，因為化二次型為標準型的核心知識為“對于實對稱矩陣 存在正交矩陣 使得 可以相似對角化”，其過程就是上一章相似對角化在 為實對稱矩陣時的應(yīng)用。本章知識要點如下：

1．二次型及其矩陣表示。2．用正交變換化二次型為標準型。3．正負定二次型的判斷與證明。

標簽: 線性代數(shù)總結(jié)

.學(xué)習(xí)線性代數(shù)總結(jié)

2009年06月14日 星期日 上午 11:12

學(xué)習(xí)線性代數(shù)總結(jié)

線性代數(shù)與數(shù)理統(tǒng)計已經(jīng)學(xué)完了，但我認為我們的學(xué)習(xí)并沒有因此而結(jié)束。我們應(yīng)該總結(jié)一下這門課程的學(xué)習(xí)的方法，并能為我們以后的學(xué)習(xí)和工作提供方法。這門課程的學(xué)習(xí)目標：《線性代數(shù)》是物理系等專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課，其主要任務(wù)是使學(xué)生獲得線性代數(shù)的基本思想方法和行列式、線性方程組、矩陣論、二次型、線性空間、線性變換等方面 的系統(tǒng)知識，它一方面為后繼課程（如離散數(shù)學(xué)、計算方法、等課程）提供一些所需的基礎(chǔ)理論和知識；另一方面還對提高學(xué)生的思維能力，開發(fā)學(xué)生智能、加強“三基”（基礎(chǔ)知識、基本理論、基本理論）及培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造型能力，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力等重要作用。同時隨著計算機及其應(yīng)用技術(shù)的飛速發(fā)展，很多實際問題得以離散化而得到定量的解決。作為離散化和數(shù)值計算理論基礎(chǔ)的線性代數(shù)，為解決實際問題提供了強有力的數(shù)學(xué)工具。

我總結(jié)了《線性代數(shù)》的一些學(xué)習(xí)方法，可能有的同學(xué)會認為這已經(jīng)為時過晚，但我不這么認為。從這門課程中，我們學(xué)會的不僅僅是線性代數(shù)的一些相關(guān)知識（行列式、線性方程組、矩陣論、二次型、線性空間、線性變換等方面的系統(tǒng)知識），更重要的是，從這門課程中我們應(yīng)該掌握一種很重要的思想——學(xué)習(xí)如何去使用工具的方法。這個工具狹隘的講是線性代數(shù)這門數(shù)學(xué)知識，但從廣義地說：這個工具應(yīng)該是生活中的一切工具（如電腦軟件的學(xué)習(xí)方法、機器的操作方法、科學(xué)調(diào)查方法等）。在這門課程給我的感觸就是：這門課告訴我們?nèi)绾稳W(xué)知識的方法。

我認為：學(xué)習(xí)任何一門知識的方法是：

一、明確我們要學(xué)習(xí)什么知識或者要掌握哪些方面的技能。

只能我們明白我們自己要學(xué)習(xí)什么之后，我們才會有動力去學(xué)習(xí)，在我們的大學(xué)里，有些同學(xué)不明白學(xué)習(xí)課本知識有何作用，認為學(xué)習(xí)與不學(xué)習(xí)沒有什么區(qū)別，或者認為學(xué)習(xí)課本知識沒有多大的作用，就干脆不學(xué)（當然我在這里沒有貶低任何人的意思）。不過我認為學(xué)習(xí)好自己的專業(yè)的知識，掌握專業(yè)技能是每個大學(xué)生的天職。

二、知道知識是什么，了解相關(guān)知識的概念和定義。

這是學(xué)習(xí)的一切學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，只有把握這個環(huán)節(jié)，我們的學(xué)習(xí)實踐活動才能得以開展，知識是人類高度概括、總結(jié)的經(jīng)驗，不可能像平常說話那么通俗易懂。所以我們要想把知識學(xué)好，就得在概念上下功夫。例《線性代數(shù)》這門課程中的實二次型，那我們首先得非常清楚的知到，什么叫做實二次型。否則這一塊的知識沒有辦法開展。

三、要知到我們學(xué)的知識可以用到何處，或者能幫我們解決什么問題。

其實這一點和第一點有點重復(fù)。但是對于我們的課本知識非常得有用，因為我們現(xiàn)在所學(xué)的課本知識。說句實在話，我們確實不知到能為我們生活中能解決什么問題，但如果我們知到它能用到何處，相信將來一定會有用。有一句話說得好，書到用時方恨少，說得是這個道理?？傊?，我們現(xiàn)在要為以后遇到問題而積累解決問題的方法，我們現(xiàn)在是在為以后的人生在打基礎(chǔ)。

四、學(xué)習(xí)相關(guān)概念后，要學(xué)會如何去操作。

像《線性代數(shù)》這門課程，在這一點就體現(xiàn)得很突出。如在我們學(xué)習(xí)正交矩陣這個概念后，我們得要學(xué)會如何去求正交矩陣；再如，當我們認識了矩陣的對角化定義之后，我們得掌握如何去將一個矩陣對角化。其

實，就是學(xué)會如何去操作，這是我們掌握數(shù)學(xué)工具的使用方法的重要途徑，所以這部分的工作是我們的學(xué)習(xí)中心和重點。只有掌握了這部分，我們才能在以后學(xué)習(xí)或者生活中遇到相似的問題，就有了這個工具去為我們解決實際的問題。

五、將所學(xué)習(xí)的知識反作用于生活（即將所學(xué)的知識用到實處）。

這才是我們學(xué)習(xí)的真正目的所在。一個人的解決問題的能力應(yīng)該和他所掌握的知識成正比。學(xué)之所用才叫學(xué)到實處，才能發(fā)揮真正學(xué)習(xí)的作用。記得這個給我印象最深的是：在我們學(xué)C++編程時，有一道題是講的是用一百元錢去買母雞、公雞、小雞。母雞5元錢一只，公雞3元錢一只，小雞3只一元，并且母雞、公雞、小雞的總數(shù)為一百只，求有多少種可能。

這其實就是一道最簡單的線性代數(shù)題了，設(shè)x代表小雞，y代表公雞，z代表母雞：則根據(jù)題意有線性方程組

x3+3y+5z=100

x+y+z=100

解此線性方程組得

x=3z/4+75

y=-7z/4+25 z=z

用z作為循環(huán)變量控制，這個程序不到十行就可以編出來。這就說明學(xué)習(xí)知識總會有用的，只要我們?nèi)シe累，只要我們現(xiàn)在把基礎(chǔ)打牢，我相信以后解決問題的方法多了，大腦用活了，我們的競爭力就強了，自然在社會上有一席之地。

總之：我個人覺得學(xué)習(xí)知識很有用處。雖然就業(yè)壓力在壓著大家，大家為就業(yè)而奔波，但至少現(xiàn)在找工作不是我們的重點。把我們手頭上的事做好才是最關(guān)鍵，我還是喜歡軍訓(xùn)中我的那個“胖胖”所說的話：“一個蘿卜，一個坑”，一步一個腳印，腳踏實地。相信我們80年后或90年后的一代能夠擔(dān)任起國家建設(shè)的重任和使命。

樓主 大 中 小 發(fā)表于 2008-10-10 23:50 只看該作者

線性代數(shù)超強總結(jié).√ 關(guān)于 ：

①稱為 的標準基，中的自然基，單位坐標向量；

② 線性無關(guān)；

③ ； ④ ；

⑤任意一個 維向量都可以用 線性表示.√ 行列式的計算：

① 若 都是方陣（不必同階）,則

②上三角、下三角行列式等于主對角線上元素的乘積.③關(guān)于副對角線：

√ 逆矩陣的求法:

① ②

③

④

⑤

√ 方陣的冪的性質(zhì)：

√ 設(shè)，對 階矩陣 規(guī)定： 為 的一個多項式.√ 設(shè)的列向量為 , 的列向量為，的列向量為 , √ 用對角矩陣 左乘一個矩陣,相當于用 的對角線上的各元素依次乘此矩陣的行向量； 用對角矩陣 右乘一個矩陣,相當于用 的對角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量.√ 兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應(yīng)元素相乘，與分塊對角陣相乘類似,即：

√ 矩陣方程的解法：設(shè)法化成當 時，√

和 同解（列向量個數(shù)相同）,則： ① 它們的極大無關(guān)組相對應(yīng),從而秩相等；

② 它們對應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性；

③ 它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系.√ 判斷 是 的基礎(chǔ)解系的條件：

①

線性無關(guān)；

②

是 的解；

③

.①

零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實向量正交.②

單個零向量線性相關(guān)；單個非零向量線性無關(guān).③

部分相關(guān),整體必相關(guān)；整體無關(guān),部分必?zé)o關(guān).④

原向量組無關(guān),接長向量組無關(guān)；接長向量組相關(guān),原向量組相關(guān).⑤

兩個向量線性相關(guān) 對應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān).⑥

向量組 中任一向量

≤ ≤ 都是此向量組的線性組合.⑦

向量組 線性相關(guān) 向量組中至少有一個向量可由其余 個向量線性表示.向量組 線性無關(guān) 向量組中每一個向量 都不能由其余 個向量線性表示.⑧

維列向量組 線性相關(guān) ；

維列向量組 線性無關(guān).⑨

.⑩

若 線性無關(guān)，而 線性相關(guān),則 可由 線性表示,且表示法惟一.?

矩陣的行向量組的秩等于列向量組的秩.階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù).?

矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關(guān)系.矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行向量間的線性關(guān)系.向量組等價

和 可以相互線性表示.記作： 矩陣等價

經(jīng)過有限次初等變換化為.記作：

?

矩陣 與 等價

作為向量組等價,即：秩相等的向量組不一定等價.矩陣 與 作為向量組等價

矩陣 與 等價.?

向量組 可由向量組 線性表示

≤.?

向量組 可由向量組 線性表示,且，則 線性相關(guān).向量組 線性無關(guān),且可由 線性表示,則 ≤.?

向量組 可由向量組 線性表示,且,則兩向量組等價；

?

任一向量組和它的極大無關(guān)組等價.?

向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價,且這兩個組所含向量的個數(shù)相等.?

若兩個線性無關(guān)的向量組等價,則它們包含的向量個數(shù)相等.?

若 是 矩陣,則 ,若，的行向量線性無關(guān)；

若，的列向量線性

無關(guān),即： 線性無關(guān).線性方程組的矩陣式

向量

式

矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：

矩陣可逆的性質(zhì)：

伴隨矩陣的性質(zhì)：

線性方程組解的性質(zhì)：

√ 設(shè) 為 矩陣,若 ,則 ,從而 一定有解.當 時,一定不是唯一解.,則該向量組線性相關(guān).是 的上限.√ 矩陣的秩的性質(zhì)：

①

②

≤

③

≤

④

⑤

⑥ ≥ ⑦

≤ ⑧

⑨

⑩

且 在矩陣乘法中有左消去律:

標準正交基

個 維線性無關(guān)的向量,兩兩正交,每個向量長度為1..是單位向量

.√ 內(nèi)積的性質(zhì)：

① 正定性：

② 對稱性：

③ 雙線性：

施密特

線性無關(guān)，單位化：

正交矩陣

.√

是正交矩陣的充要條件： 的 個行（列）向量構(gòu)成 的一組標準正交基.√ 正交矩陣的性質(zhì)：①

；

②

；

③

是正交陣,則（或）也是正交陣；

④ 兩個正交陣之積仍是正交陣； ⑤ 正交陣的行列式等于1或-1.的特征矩陣

.的特征多項式

.的特征方程

.√ 上三角陣、下三角陣、對角陣的特征值就是主對角線上的 各元素.√ 若 ,則 為 的特征值,且 的基礎(chǔ)解系即為屬于 的線性無關(guān)的特征向量.√

√ 若 ,則 一定可分解為 =、,從而 的特征值為： ，.√ 若 的全部特征值，是多項式,則:

①的全部特征值為 ；

② 當 可逆時, 的全部特征值為 , 的全部特征值為.√

√

與 相似

（為可逆陣）

記為：

√

相似于對角陣的充要條件： 恰有 個線性無關(guān)的特征向量.這時, 為 的特征向量拼成的矩陣，為對角陣,主對角線上的元素為 的特征值.√

可對角化的充要條件：

為 的重數(shù).√ 若 階矩陣 有 個互異的特征值,則 與對角陣相似.與 正交相似

（為正交矩陣）√ 相似矩陣的性質(zhì)：①

若 均可逆

②

③

（為整數(shù)）

④,從而 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即: 是 關(guān)于 的特征向量, 是 關(guān)

于 的特征向量.⑤

從而 同時可逆或不可逆

⑥

⑦

√ 數(shù)量矩陣只與自己相似.√ 對稱矩陣的性質(zhì)：

① 特征值全是實數(shù),特征向量是實向量；

② 與對角矩陣合同；

③ 不同特征值的特征向量必定正交； ④

重特征值必定有 個線性無關(guān)的特征向量；

⑤ 必可用正交矩陣相似對角化（一定有 個線性無關(guān)的特征向量, 可能有重的特征值,重

數(shù)=）.可以相似對角化

與對角陣 相似.記為：

（稱 是 的相似標準型）

√ 若 為可對角化矩陣,則其非零特征值的個數(shù)（重數(shù)重復(fù)計算）.√ 設(shè) 為對應(yīng)于 的線性無關(guān)的特征向量,則有：

.√ 若 , ,則：.√ 若 ,則 ,.二次型

為對稱矩陣

與 合同

.記作：

（）

√ 兩個矩陣合同的充分必要條件是：它們有相同的正負慣性指數(shù).√ 兩個矩陣合同的充分條件是：

√ 兩個矩陣合同的必要條件是： √

經(jīng)過

化為 標準型.√ 二次型的標準型不是惟一的,與所作的正交變換有關(guān),但系數(shù)不為零的個數(shù)是由

惟

一確定的.√ 當標準型中的系數(shù) 為1，-1或0時,則為規(guī)范形.√ 實對稱矩陣的正（負）慣性指數(shù)等于它的正（負）特征值的個數(shù).√ 任一實對稱矩陣 與惟一對角陣 合同.√ 用正交變換法化二次型為標準形: ①

求出 的特征值、特征向量； ②

對 個特征向量單位化、正交化；

③

構(gòu)造（正交矩陣）, ；

④

作變換 ,新的二次型為 , 的主對角上的元素 即為 的特征值.正定二次型

不全為零，.正定矩陣

正定二次型對應(yīng)的矩陣.√ 合同變換不改變二次型的正定性.√ 成為正定矩陣的充要條件（之一成立）：

①

正慣性指數(shù)為 ； ②的特征值全大于 ； ③的所有順序主子式全大于 ； ④

合同于，即存在可逆矩陣 使 ； ⑤

存在可逆矩陣，使

（從而）； ⑥

存在正交矩陣，使

（大于）.√ 成為正定矩陣的必要條件：；

.b

b s

.k ao

y a n.c o m

內(nèi)容相互縱橫交錯 線性代數(shù)復(fù)習(xí)小結(jié)

概念多、定理多、符號多、運算規(guī)律多、內(nèi)容相互縱橫交錯，知識前后緊密聯(lián)系是線性代數(shù)課程的特點，故考生應(yīng)充分理解概念，掌握定理的條件、結(jié)論、應(yīng)用，熟悉符號意義，掌握各種運算規(guī)律、計算方法，并及時進行總結(jié)，抓聯(lián)系，使學(xué)知識能融會貫通，舉一反三，根據(jù)考試大綱的要求，這里再具體指出如下：

行列式的重點是計算，利用性質(zhì)熟練準確的計算出行列式的值。

矩陣中除可逆陣、伴隨陣、分塊陣、初等陣等重要概念外，主要也是運算，其運算分兩個層次，一是矩陣的符號運算，二是具體矩陣的數(shù)值運算。例如在解矩陣方程中，首先進行矩陣的符號運算，將矩陣方程化簡，然后再代入數(shù)值，算出具體的結(jié)果，矩陣的求逆（包括簡單的分塊陣）（或抽象的，或具體的，或用定義，或是用公式 A-1= 1 A*，或 A用初等行變換），A和A*的關(guān)系，矩陣乘積的行列式，方陣的冪等也是?？嫉膬?nèi)容之一。

關(guān)于向量，證明（或判別）向量組的線性相關(guān)（無關(guān)），線性表出等問題的關(guān)鍵在于深刻理解線性相關(guān)（無關(guān)）的概念及幾個相關(guān)定理的掌握，并要注意推證過程中邏輯的正確性及反證法的使用。

向量組的極大無關(guān)組，等價向量組，向量組及矩陣的秩的概念，以及它們相互關(guān)系也是重點內(nèi)容之一。用初等行變換是求向量組的極大無關(guān)組及向量組和矩陣秩的有效方法。

在 Rn中，基、坐標、基變換公式，坐標變換公式，過渡矩陣，線性無關(guān)向量組的標準正交化公式，應(yīng)該概念清楚，計算熟練，當然在計算中列出關(guān)系式后，應(yīng)先化簡，后代入具體的數(shù)值進行計算。

行列式、矩陣、向量、方程組是線性代數(shù)的基本內(nèi)容，它們不是孤立隔裂的，而是相互滲透，緊密聯(lián)系的，例如 ?OA?O≠0〈===〉A(chǔ)是可逆陣〈===〉r（A）=n(滿秩陣)〈===〉A(chǔ)的列（行）向量組線性無關(guān)〈===〉A(chǔ)X=0唯一零解〈===〉A(chǔ)X=b對任何b均有（唯一）解〈===〉A(chǔ)=P1 P2 ?PN，其中PI(I=1,2,?，N)是初等陣〈===〉r(AB)=r(B)<===>A初等行變換

I〈===〉A(chǔ)的列（行）向量組是Rn的一個基〈===〉A(chǔ)可以是某兩個基之間的過渡矩陣等等。這種相互之間的聯(lián)系綜合命題創(chuàng)造了條件，故對考生而言，應(yīng)該認真總結(jié)，開拓思路，善于分析，富于聯(lián)想使得對綜合的，有較多彎道的試題也能順利地到達彼岸。

關(guān)于特征值、特征向量。一是要會求特征值、特征向量，對具體給定的數(shù)值矩陣，一般用特征方程 ?OλE-A?O=0及（λE-A）ξ=0即可，抽象的由給定矩陣的特征值求其相關(guān)矩陣的特征值（的取值范圍），可用定義Aξ=λξ，同時還應(yīng)注意特征值和特征向量的性質(zhì)及其應(yīng)用，二是有關(guān)相似矩陣和相似對角化的問題，一般矩陣相似對角化的條件。實對稱矩陣的相似對角化及正交變換相似于對角陣，反過來，可由A 的特征值，特征向量來確不定期A的參數(shù)或確定A，如果A是實對稱陣，利用不同特征值對應(yīng)的特征向量相互正交，有時還可以由已知λ1的特征向量確定出λ2（λ2≠λ1）對應(yīng)的特征向量，從而確定出A。三是相似對角化以后的應(yīng)用，在線性代數(shù)中至少可用來計算行列式及An.將二次型表示成矩陣形式，用矩陣的方法研究二次型的問題主要有兩個：一是化二次型為標準形，這主要是正交變換法（這和實對稱陣正交相似對角陣是一個問題的兩種提法），在沒有其他要求的情況下，用配方法得到標準形可能更方便些；二是二次型的正定性問題，對具體的數(shù)值二次型，一般可用順序主子式是否全部大于零來判別，而抽象的由給定矩陣的正定性，證明相關(guān)矩陣的正定性時，可利用標準形，規(guī)范形，特征值等到證明，這時應(yīng)熟悉二次型正定有關(guān)的充分條件和必要條件。

一、注重對基本概念的理解與把握，正確熟練運用基本方法及基本運算。

線性代數(shù)的概念很多，重要的有：

代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩(矩陣、向量組、二次型)，等價(矩陣、向量組)，線性組合與線性表出，線性相關(guān)與線性無關(guān)，極大線性無關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，解的結(jié)構(gòu)與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對角化，二次型的標準形與規(guī)范形，正定，合同變換與合同矩陣。

往年常有考生沒有準確把握住概念的內(nèi)涵，也沒有注意相關(guān)概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，導(dǎo)致做題時出現(xiàn)錯誤。

例如，矩陣A＝(α1，α2，?，αm)與B＝(β1，β2?，βm)等價，意味著經(jīng)過初等變換可由A得到B，要做到這一點，關(guān)鍵是看秩r(A)與r(B)是否相等，而向量組α1，α2，?αm與β1，β2，?βm等價，說明這兩個向量組可以互相線性表出，因而它們有相同的秩，但是向量組有相同的秩時，并不能保證它們必能互相線性表現(xiàn)，也就得不出向量組等價的信息，因此，由向量組α1，α2，?αm與β1，β2，?βm等價，可知矩陣A＝(α1，α2，?αm)與B＝(β1，β2，?βm)等價，但矩陣A與B等價并不能保證這兩個向量組等價。

又如，實對稱矩陣A與B合同，即存在可逆矩陣C使CTAC＝B，要實現(xiàn)這一點，關(guān)鍵是二次型xTAx與xTBx的正、負慣性指數(shù)是否相同，而A與B相似是指有可逆矩陣P使P-1AP＝B成立，進而知A與B有相同的特征值，如果特征值相同可知正、負慣性指數(shù)相同，但正負慣性指數(shù)相同時，并不能保證特征值相同，因此，實對稱矩陣A～BAB，即相似是合同的充分條件。

線性代數(shù)中運算法則多，應(yīng)整理清楚不要混淆，基本運算與基本方法要過關(guān)，重要的有：

行列式(數(shù)字型、字母型)的計算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無關(guān)組，線性相關(guān)的判定或求參數(shù)，求基礎(chǔ)解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量(定義法，特征多項式基礎(chǔ)解系法)，判斷與求相似對角矩陣，用正交變換化實對稱矩陣為對角矩陣(亦即用正交變換化二次型為標準形)。

二、注重知識點的銜接與轉(zhuǎn)換，知識要成網(wǎng)，努力提高綜合分析能力。

線性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，復(fù)習(xí)時應(yīng)當常問自己做得對不對？再問做得好不好？只有不斷地歸納總結(jié)，努力搞清內(nèi)在聯(lián)系，使所學(xué)知識融會貫通，接口與切入點多了，熟悉了，思路自然就開闊了。

例如：設(shè)A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，且AB＝0，那么用分塊矩陣可知B的列向量都是齊次方程組Ax＝0的解，再根據(jù)基礎(chǔ)解系的理論以及矩陣的秩與向量組秩的關(guān)系，可以有

r(B)≤n-r(A)即r(A)＋r(B)≤n

進而可求矩陣A或B中的一些參數(shù)

再如，若A是n階矩陣可以相似對角化，那么，用分塊矩陣處理P-1AP＝∧可知A有n個線性無關(guān)的特征向量，P就是由A的線性無關(guān)的特征向量所構(gòu)成，再由特征向量與基礎(chǔ)解系間的聯(lián)系可知此時若λi是ni重特征值，則齊次方程組(λiE-A)x＝0的基礎(chǔ)解系由ni個解向量組成，進而可知秩r(λiE-A)＝n-ni，那么，如果A不能相似對角化，則A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r(λiE-A)＜n-ni，若A是實對稱矩陣，則因A必能相似對角化而知對每個特征值λi必有r(λiE-A)＝n-ni，此時還可以利用正交性通過正交矩陣來實現(xiàn)相似對角化。

又比如，對于n階行列式我們知道：

若｜A｜＝0，則Ax＝0必有非零解，而Ax＝b沒有惟一解(可能有無窮多解，也可能無解)，而當｜A｜≠0時，可用克萊姆法則求Ax＝b的惟一解；

可用｜A｜證明矩陣A是否可逆，并在可逆時通過伴隨矩陣來求A-1；

對于n個n維向量α1，α2，?αn可以利用行列式｜A｜＝｜α1α2?αn｜是否為零來判斷向量組的線性相關(guān)性；

矩陣A的秩r(A)是用A中非零子式的最高階數(shù)來定義的，若r(A)＜r，則A中r階子式全為0；

求矩陣A的特征值，可以通過計算行列式｜λE-A｜，若λ＝λ0是A的特征值，則行列式｜λ0E-A｜＝0；

判斷二次型xTAx的正定性，可以用順序主子式全大于零。

凡此種種，正是因為線性代數(shù)各知識點之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，代數(shù)題的綜合性與靈活性就較大，同學(xué)們整理時要注重串聯(lián)、銜接與轉(zhuǎn)換。

三、注重邏輯性與敘述表述

線性代數(shù)對于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過證明題可以了解考生對數(shù)學(xué)主要原理、定理的理解與掌握程度，考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力。大家復(fù)習(xí)整理時，應(yīng)當搞清公式、定理成立的條件，不能張冠李戴，同時還應(yīng)注意語言的敘述表達應(yīng)準確、簡明。

線性代數(shù)中常見的證明題型有：

證｜A｜＝0；證向量組α1，α2，?αt的線性相關(guān)性，亦可引伸為證α1，α2?，αt是齊次方程組Ax＝0的基礎(chǔ)解系；證秩的等式或不等式；證明矩陣的某種性質(zhì)，如對稱，可逆，正交，正定，可對角化，零矩陣等；證齊次方程組是否有非零解；線性方程組是否有解(亦即β能否由α1，α2?，αs線性表出)；對給出的兩個方程組論證其同解性或有無公共解；證二次型的正定性，規(guī)范形等。

《線性代數(shù)》是一門研究線性問題的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，線性代數(shù)實質(zhì)上是提供了自己獨特的語言和方法，將那些涉及多變量的問題組織起來并進行分析研究，是將中學(xué)一元代數(shù)推廣為處理

大的數(shù)組的一門代數(shù)。

線性代數(shù)有兩類基本數(shù)學(xué)構(gòu)件.一類是對象：數(shù)組；一類是這些對象進行的運算。在此基礎(chǔ)之上可以對一系列涉及數(shù)組的數(shù)學(xué)模型進行探討和研究，從而解決實際問題.既然線性代數(shù)有自己獨特的內(nèi)容，我們就要用適當?shù)膶W(xué)習(xí)方法面對。這里給出五點建議：

一、線性代數(shù)如果注意以下幾點是有益的.由易而難 線性代數(shù)常常涉及大型數(shù)組，故先將容易的問題搞明白，再解決有難度的問題，例如行列式定義，首先將3階行列式定義理解好，自然可以推廣到n階行列式情形；

由低而高 運用技巧，省時不少，無論是行列式還是矩陣，在低階狀態(tài)，找出適合的計算方法，則可自如推廣運用到高階情形；

由簡而繁 一些運算法則，先試用于簡單情形，進而應(yīng)用于復(fù)雜問題，例如，克萊姆法則，線性方程組解存在性判別，對角化問題等等；

由淺而深線性代數(shù)中一些新概念如秩，特征值特征向量，應(yīng)當先理解好它們的定義，在理解基礎(chǔ)之上，才能深刻理解它們與其他概念的聯(lián)系、它們的作用，一步步達到運用自如境地。

二、注重對基本概念的理解與把握，正確熟練運用基本方法及基本運算。

1、線性代數(shù)的概念很多，重要的有：

代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩（矩陣、向量組、二次型），等價（矩陣、向量組），線性組合與線性表出，線性相關(guān)與線性無關(guān)，極大線性無關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，解的結(jié)構(gòu)與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對角化，二次型的標準形與規(guī)范形，正定，合同變換與合同矩陣。

2、線性代數(shù)中運算法則多，應(yīng)整理清楚不要混淆，基本運算與基本方法要過關(guān)，重要的有：

行列式（數(shù)字型、字母型）的計算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無關(guān)組，線性相關(guān)的判定或求參數(shù)，求基礎(chǔ)解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量（定義法，特征多項式基礎(chǔ)解系法），判斷與求相似對角矩陣，用正交變換化實對稱矩陣為對角矩陣（亦即用正交變換化二次型為標準形）。

三、注重知識點的銜接與轉(zhuǎn)換，知識要成網(wǎng)，努力提高綜合分析能力。

線性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，學(xué)習(xí)時應(yīng)當常問自己做得對不對？再問做得好不好？只有不斷地歸納總結(jié)，努力搞清內(nèi)在聯(lián)系，使所學(xué)知識融會貫通，接口與切入點多了，熟悉了，思路自然就開闊了。

四、注重邏輯性與敘述表述

線性代數(shù)對于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過證明題可以了解學(xué)生對數(shù)學(xué)主要原理、定理的理解與掌握程度，考查學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力。大家學(xué)習(xí)整理時，應(yīng)當搞清公式、定理成立的條件，不能張冠李戴，同時還應(yīng)注意語言的敘述表達應(yīng)準確、簡明。

總之，數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，有各種延伸或變式，同學(xué)們要在學(xué)習(xí)過程中一定要認真仔細地預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)，華而不實靠押題碰運氣是行不通的，必須要重視三基，多思多議，不斷地總結(jié)經(jīng)驗與教訓(xùn)，做到融會貫通。

第三篇：線性代數(shù)知識點總結(jié)匯總

線性代數(shù)知識點總結(jié)

行列式

（一）行列式概念和性質(zhì)

1、逆序數(shù)：所有的逆序的總數(shù)

2、行列式定義：不同行不同列元素乘積代數(shù)和

3、行列式性質(zhì)：（用于化簡行列式）

（1）行列互換（轉(zhuǎn)置），行列式的值不變

（2）兩行（列）互換，行列式變號

（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式

（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是兩組數(shù)之和，那么這個行列式就等于兩個行列式之和。

（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不變。

（6）兩行成比例，行列式的值為0。

（二）重要行列式

4、上（下）三角（主對角線）行列式的值等于主對角線元素的乘積

5、副對角線行列式的值等于副對角線元素的乘積乘

6、Laplace展開式：（A是m階矩陣，B是n階矩陣），則

7、n階（n≥2）范德蒙德行列式

數(shù)學(xué)歸納法證明

★8、對角線的元素為a，其余元素為b的行列式的值：

（三）按行（列）展開

9、按行展開定理：

（1）任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式的值

（2）行列式中某一行（列）各個元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0

（四）行列式公式

10、行列式七大公式：

（1）|kA|=kn|A|

（2）|AB|=|A|·|B|

（3）|AT|=|A|

（4）|A-1|=|A|-1

（5）|A*|=|A|n-1

（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，則

（7）若A與B相似，則|A|=|B|

（五）克萊姆法則

11、克萊姆法則：

（1）非齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0，那么方程為唯一解

（2）如果非齊次線性方程組無解或有兩個不同解，則它的系數(shù)行列式必為0

（3）若齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0，則齊次線性方程組只有0解；如果方程組有非零解，那么必有D=0。

矩陣

（一）矩陣的運算

1、矩陣乘法注意事項：

（1）矩陣乘法要求前列后行一致；

（2）矩陣乘法不滿足交換律；（因式分解的公式對矩陣不適用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)時，可以用交換律）

（3）AB=O不能推出A=O或B=O。

2、轉(zhuǎn)置的性質(zhì)（5條）

（1）（A+B）T=AT+BT

（2）（kA）T=kAT

（3）（AB）T=BTAT

（4）|A|T=|A|

（5）（AT）T=A

（二）矩陣的逆

3、逆的定義：

AB=E或BA=E成立，稱A可逆，B是A的逆矩陣，記為B=A-1

注：A可逆的充要條件是|A|≠04、逆的性質(zhì)：（5條）

（1）（kA）-1=1/k·A-1

(k≠0)

（2）（AB）-1=B-1·A-1

（3）|A-1|=|A|-1

（4）（AT）-1=（A-1）T

（5）（A-1）-1=A5、逆的求法：

（1）A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解

（2）A為數(shù)字矩陣：（A|E）→初等行變換→（E|A-1）

（三）矩陣的初等變換

6、初等行（列）變換定義：

（1）兩行（列）互換；

（2）一行（列）乘非零常數(shù)c

（3）一行（列）乘k加到另一行（列）

7、初等矩陣：單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣。

8、初等變換與初等矩陣的性質(zhì)：

（1）初等行（列）變換相當于左（右）乘相應(yīng)的初等矩陣

（2）初等矩陣均為可逆矩陣，且Eij-1=Eij（i，j兩行互換）；

Ei-1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）

Eij-1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j(luò)）

★（四）矩陣的秩

9、秩的定義：非零子式的最高階數(shù)

注：（1）r（A）=0意味著所有元素為0，即A=O

（2）r（An×n）=n（滿秩）←→

|A|≠0

←→A可逆；

r（A）＜n←→|A|=0←→A不可逆；

（3）r（A）=r（r=1、2、…、n-1）←→r階子式非零且所有r+1子式均為0。

10、秩的性質(zhì)：（7條）

（1）A為m×n階矩陣，則r（A）≤min（m,n）

（2）r（A±B）≤r（A）±（B）

（3）r（AB）≤min{r（A），r（B）}

（4）r（kA）=r（A）（k≠0）

（5）r（A）=r（AC）（C是一個可逆矩陣）

（6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）

（7）設(shè)A是m×n階矩陣，B是n×s矩陣，AB=O，則r（A）+r（B）≤n11、秩的求法：

（1）A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解；

（2）A為數(shù)字矩陣：A→初等行變換→階梯型（每行第一個非零元素下面的元素均為0），則r（A）=非零行的行數(shù)

（五）伴隨矩陣

12、伴隨矩陣的性質(zhì)：（8條）

（1）AA*=A*A=|A|E

→

★A*=|A|A-1

（2）（kA）*=kn-1A*

（3）（AB）*=B*A*

（4）|A*|=|A|n-1

（5）（AT）*=（A*）T

（6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-1

（7）（A*）*=|A|

n-2·A

★（8）r（A*）=n

（r（A）=n）；

r（A*）=1

（r（A）=n-1）；

r（A*）=0

（r（A）＜n-1）

（六）分塊矩陣

13、分塊矩陣的乘法：要求前列后行分法相同。

14、分塊矩陣求逆：

向量

（一）向量的概念及運算

1、向量的內(nèi)積：（α，β）=αTβ=βTα

2、長度定義：

||α||=

3、正交定義：（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=04、正交矩陣的定義：A為n階矩陣，AAT=E

←→

A-1=AT

←→

ATA=E

→

|A|=±1

（二）線性組合和線性表示

5、線性表示的充要條件：

非零列向量β可由α1，α2，…，αs線性表示

(1)←→非齊次線性方程組（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。

★(2)←→r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，用于大題第一步的檢驗）

6、線性表示的充分條件：（了解即可）

若α1，α2，…，αs線性無關(guān)，α1，α2，…，αs，β線性相關(guān)，則β可由α1，α2，…，αs線性表示。

7、線性表示的求法：（大題第二步）

設(shè)α1，α2，…，αs線性無關(guān)，β可由其線性表示。

（α1，α2，…，αs|β）→初等行變換→（行最簡形|系數(shù)）

行最簡形：每行第一個非0的數(shù)為1，其余元素均為0

（三）線性相關(guān)和線性無關(guān)

8、線性相關(guān)注意事項：

（1）α線性相關(guān)←→α=0

（2）α1，α2線性相關(guān)←→α1，α2成比例

9、線性相關(guān)的充要條件：

向量組α1，α2，…，αs線性相關(guān)

（1）←→有個向量可由其余向量線性表示；

（2）←→齊次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0有非零解；

★（3）←→r（α1，α2，…，αs）＜s

即秩小于個數(shù)

特別地，n個n維列向量α1，α2，…，αn線性相關(guān)

（1）←→

r（α1，α2，…，αn）＜n

（2）←→|α1，α2，…，αn

|=0

（3）←→（α1，α2，…，αn）不可逆

10、線性相關(guān)的充分條件：

（1）向量組含有零向量或成比例的向量必相關(guān)

（2）部分相關(guān)，則整體相關(guān)

（3）高維相關(guān)，則低維相關(guān)

（4）以少表多，多必相關(guān)

★推論：n+1個n維向量一定線性相關(guān)

11、線性無關(guān)的充要條件

向量組α1，α2，…，αs

線性無關(guān)

（1）←→任意向量均不能由其余向量線性表示；

（2）←→齊次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0只有零解

（3）←→r（α1，α2，…，αs）=s

特別地，n個n維向量α1，α2，…，αn

線性無關(guān)

←→r（α1，α2，…，αn）=n

←→|α1，α2，…，αn

|≠0

←→矩陣可逆

12、線性無關(guān)的充分條件：

（1）整體無關(guān)，部分無關(guān)

（2）低維無關(guān)，高維無關(guān)

（3）正交的非零向量組線性無關(guān)

（4）不同特征值的特征向量無關(guān)

13、線性相關(guān)、線性無關(guān)判定

（1）定義法

★（2）秩：若小于階數(shù)，線性相關(guān)；若等于階數(shù)，線性無關(guān)

【專業(yè)知識補充】

（1）在矩陣左邊乘列滿秩矩陣（秩=列數(shù)），矩陣的秩不變；在矩陣右邊乘行滿秩矩陣，矩陣的秩不變。

（2）若n維列向量α1，α2，α3

線性無關(guān)，β1，β2，β3

可以由其線性表示，即（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C，則r（β1，β2，β3）=r（C），從而線性無關(guān)。

←→r（β1，β2，β3）=3

←→

r（C）=3

←→

|C|≠0

（四）極大線性無關(guān)組與向量組的秩

14、極大線性無關(guān)組不唯一

15、向量組的秩:極大無關(guān)組中向量的個數(shù)成為向量組的秩

對比：矩陣的秩:非零子式的最高階數(shù)

★注:向量組α1，α2，…，αs的秩與矩陣A=（α1，α2，…，αs）的秩相等

★16、極大線性無關(guān)組的求法

（1）α1，α2，…，αs

為抽象的：定義法

（2）α1，α2，…，αs

為數(shù)字的：

（α1，α2，…，αs）→初等行變換→階梯型矩陣

則每行第一個非零的數(shù)對應(yīng)的列向量構(gòu)成極大無關(guān)組

（五）向量空間

17、基（就是極大線性無關(guān)組）變換公式：

若α1，α2，…，αn

與β1，β2，…，βn

是n維向量空間V的兩組基，則基變換公式為（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）Cn×n

其中，C是從基α1，α2，…，αn

到β1，β2，…，βn的過渡矩陣。

C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）

18、坐標變換公式：

向量γ在基α1，α2，…，αn與基β1，β2，…，βn的坐標分別為x=（x1，x2，…，xn）T，y=（y1，y2，…，yn）T，即γ=x1α1

+

x2α2

+

…

+xnαn

=y1β1

+

y2β2

+

…

+ynβn，則坐標變換公式為x=Cy或y=C-1x。其中，C是從基α1，α2，…，αn

到β1，β2，…，βn的過渡矩陣。C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）

（六）Schmidt正交化

19、Schmidt正交化

設(shè)α1，α2，α3

線性無關(guān)

（1）正交化

令β1=α1

（2）單位化

線性方程組

（一）方程組的表達形與解向量

1、解的形式：

(1)一般形式

(2)矩陣形式：Ax=b；

(3)向量形式：A=（α1，α2，…，αn）

2、解的定義：

若η=（c1，c2，…，cn）T滿足方程組Ax=b，即Aη=b，稱η是Ax=b的一個解（向量）

（二）解的判定與性質(zhì)

3、齊次方程組：

（1）只有零解←→r（A）=n（n為A的列數(shù)或是未知數(shù)x的個數(shù)）

（2）有非零解←→r（A）＜n4、非齊次方程組：

（1）無解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）-1

（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n

（3）無窮多解←→r（A）=r（A|b）＜n5、解的性質(zhì)：

（1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，則k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解

（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，則ξ+η是Ax=b的解

（3）若η1，η2是Ax=b的解，則η1-η2是Ax=0的解

【推廣】

（1）設(shè)η1，η2，…，ηs是Ax=b的解，則k1η1+k2η2+…+ksηs為

Ax=b的解

（當Σki=1）

Ax=0的解

（當Σki=0）

（2）設(shè)η1，η2，…，ηs是Ax=b的s個線性無關(guān)的解，則η2-η1，η3-η1，…，ηs-η1為Ax=0的s-1個線性無關(guān)的解。

變式：①η1-η2，η3-η2，…，ηs-η2

②η2-η1，η3-η2，…，ηs-ηs-1

（三）基礎(chǔ)解系

6、基礎(chǔ)解系定義：

（1）ξ1，ξ2，…，ξs

是Ax=0的解

（2）ξ1，ξ2，…，ξs

線性相關(guān)

（3）Ax=0的所有解均可由其線性表示

→基礎(chǔ)解系即所有解的極大無關(guān)組

注：基礎(chǔ)解系不唯一。

任意n-r（A）個線性無關(guān)的解均可作為基礎(chǔ)解系。

★7、重要結(jié)論：（證明也很重要）

設(shè)A施m×n階矩陣，B是n×s階矩陣，AB=O

（1）B的列向量均為方程Ax=0的解

（2）r（A）+r（B）≤n（第2章，秩）

8、總結(jié)：基礎(chǔ)解系的求法

（1）A為抽象的：由定義或性質(zhì)湊n-r（A）個線性無關(guān)的解

（2）A為數(shù)字的：A→初等行變換→階梯型

自由未知量分別取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基礎(chǔ)解系

（四）解的結(jié)構(gòu)（通解）

9、齊次線性方程組的通解（所有解）

設(shè)r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r

為Ax=0的基礎(chǔ)解系，則Ax=0的通解為k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r

（其中k1，k2，…，kn-r為任意常數(shù)）

10、非齊次線性方程組的通解

設(shè)r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r

為Ax=0的基礎(chǔ)解系，η為Ax=b的特解，則Ax=b的通解為η+

k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r

（其中k1，k2，…，kn-r為任意常數(shù)）

（五）公共解與同解

11、公共解定義：

如果α既是方程組Ax=0的解，又是方程組Bx=0的解，則稱α為其公共解

12、非零公共解的充要條件：

方程組Ax=0與Bx=0有非零公共解

←→

有非零解←→

13、重要結(jié)論（需要掌握證明）

（1）設(shè)A是m×n階矩陣，則齊次方程ATAx=0與Ax=0同解，r（ATA）=r（A）

（2）設(shè)A是m×n階矩陣，r（A）=n，B是n×s階矩陣，則齊次方程ABx=0與Bx=0同解，r（AB）=r（B）

特征值與特征向量

（一）矩陣的特征值與特征向量

1、特征值、特征向量的定義：

設(shè)A為n階矩陣，如果存在數(shù)λ及非零列向量α，使得Aα=λα，稱α是矩陣A屬于特征值λ的特征向量。

2、特征多項式、特征方程的定義：

|λE-A|稱為矩陣A的特征多項式（λ的n次多項式）。

|λE-A

|=0稱為矩陣A的特征方程（λ的n次方程）。

注:特征方程可以寫為|A-λE|=03、重要結(jié)論：

（1）若α為齊次方程Ax=0的非零解，則Aα=0·α，即α為矩陣A特征值λ=0的特征向量

（2）A的各行元素和為k，則(1，1，…，1)T為特征值為k的特征向量。

（3）上（下）三角或主對角的矩陣的特征值為主對角線各元素。

△4、總結(jié)：特征值與特征向量的求法

（1）A為抽象的：由定義或性質(zhì)湊

（2）A為數(shù)字的：由特征方程法求解

5、特征方程法：

（1）解特征方程|λE-A|=0，得矩陣A的n個特征值λ1，λ2，…，λn

注：n次方程必須有n個根(可有多重根，寫作λ1=λ2=…=λs=實數(shù)，不能省略)

（2）解齊次方程（λiE-A）=0，得屬于特征值λi的線性無關(guān)的特征向量，即其基礎(chǔ)解系（共n-r（λiE-A）個解）

6、性質(zhì)：

（1）不同特征值的特征向量線性無關(guān)

（2）k重特征值最多k個線性無關(guān)的特征向量

1≤n-r（λiE-A）≤ki

（3）設(shè)A的特征值為λ1，λ2，…，λn，則|A|=Πλi，Σλi=Σaii

（4）當r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均為n維非零列向量，則A的特征值為λ1=Σaii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0

（5）設(shè)α是矩陣A屬于特征值λ的特征向量，則

A

f（A）

AT

A-1

A*

P-1AP（相似）

λ

f（λ）

λ

λ-1

|A|λ-1

λ

α

α

/

α

α

P-1α

（二）相似矩陣

7、相似矩陣的定義：

設(shè)A、B均為n階矩陣，如果存在可逆矩陣P使得B=P-1AP，稱A與B相似，記作A~B8、相似矩陣的性質(zhì)

（1）若A與B相似，則f（A）與f（B）相似

（2）若A與B相似，B與C相似，則A與C相似

（3）相似矩陣有相同的行列式、秩、特征多項式、特征方程、特征值、跡（即主對角線元素之和）

【推廣】

（4）若A與B相似，則AB與BA相似，AT與BT相似，A-1與B-1相似，A*與B*也相似

（三）矩陣的相似對角化

9、相似對角化定義：

如果A與對角矩陣相似，即存在可逆矩陣P，使得P-1AP=Λ=，稱A可相似對角化。

注：Aαi=λiαi（αi≠0，由于P可逆），故P的每一列均為矩陣A的特征值λi的特征向量

10、相似對角化的充要條件

（1）A有n個線性無關(guān)的特征向量

（2）A的k重特征值有k個線性無關(guān)的特征向量

11、相似對角化的充分條件：

（1）A有n個不同的特征值（不同特征值的特征向量線性無關(guān)）

（2）A為實對稱矩陣

12、重要結(jié)論：

（1）若A可相似對角化，則r（A）為非零特征值的個數(shù)，n-r（A）為零特征值的個數(shù)

（2）若A不可相似對角化，r（A）不一定為非零特征值的個數(shù)

（四）實對稱矩陣

13、性質(zhì)

（1）特征值全為實數(shù)

（2）不同特征值的特征向量正交

（3）A可相似對角化，即存在可逆矩陣P使得P-1AP=Λ

（4）A可正交相似對角化，即存在正交矩陣Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ

二次型

（一）二次型及其標準形

1、二次型：

（1）一般形式

（2）矩陣形式（常用）

2、標準形：

如果二次型只含平方項，即f（x1，x2，…，xn）=d1x12+d2x22+…+dnxn2

這樣的二次型稱為標準形（對角線）

3、二次型化為標準形的方法：

（1）配方法：

通過可逆線性變換x=Cy（C可逆），將二次型化為標準形。其中，可逆線性變換及標準形通過先配方再換元得到。

★（2）正交變換法：

通過正交變換x=Qy，將二次型化為標準形λ1y12+λ2y22+…+λnyn2

其中，λ1，λ2，…，λn

是A的n個特征值，Q為A的正交矩陣

注:正交矩陣Q不唯一，γi與λi

對應(yīng)即可。

（二）慣性定理及規(guī)范形

4、定義：

正慣性指數(shù)：標準形中正平方項的個數(shù)稱為正慣性指數(shù)，記為p；

負慣性指數(shù)：標準形中負平方項的個數(shù)稱為負慣性指數(shù)，記為q；

規(guī)范形：f=z12+…zp2-zp+12-…-zp+q2稱為二次型的規(guī)范形。

5、慣性定理：

二次型無論選取怎樣的可逆線性變換為標準形，其正負慣性指數(shù)不變。

注：（1）由于正負慣性指數(shù)不變，所以規(guī)范形唯一。

（2）p=正特征值的個數(shù)，q=負特征值的個數(shù)，p+q=非零特征值的個數(shù)=r（A）

（三）合同矩陣

6、定義：

A、B均為n階實對稱矩陣，若存在可逆矩陣C，使得B=CTAC，稱A與B合同

△7、總結(jié)：n階實對稱矩陣A、B的關(guān)系

（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值

（2）A、B合同（B=CTAC）←→相同的正負慣性指數(shù)←→相同的正負特征值的個數(shù)

（3）A、B等價（B=PAQ）←→r（A）=r（B）

注：實對稱矩陣相似必合同，合同必等價

（四）正定二次型與正定矩陣

8、正定的定義

二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，則稱二次型正定，并稱實對稱矩陣A是正定矩陣。

9、n元二次型xTAx正定充要條件：

（1）A的正慣性指數(shù)為n

（2）A與E合同，即存在可逆矩陣C，使得A=CTC或CTAC=E

（3）A的特征值均大于0

（4）A的順序主子式均大于0（k階順序主子式為前k行前k列的行列式）

10、n元二次型xTAx正定必要條件：

（1）aii＞0

（2）|A|＞011、總結(jié)：二次型xTAx正定判定（大題）

（1）A為數(shù)字：順序主子式均大于0

（2）A為抽象：①證A為實對稱矩陣：AT=A；②再由定義或特征值判定

12、重要結(jié)論：

（1）若A是正定矩陣，則kA（k＞0），Ak，AT，A-1，A*正定

（2）若A、B均為正定矩陣，則A+B正定

第四篇：線性代數(shù)復(fù)習(xí)總結(jié)

自考線性代數(shù)復(fù)習(xí)總結(jié)

概念多、定理多、符號多、運算規(guī)律多、內(nèi)容相互縱橫交錯，知識前后緊密聯(lián)系是線性代數(shù)課程的特點，故考生應(yīng)充分理解概念，掌握定理的條件、結(jié)論、應(yīng)用，熟悉符號意義，掌握各種運算規(guī)律、計算方法，并及時進行總結(jié)，抓聯(lián)系，使學(xué)知識能融會貫通，舉一反三，根據(jù)考試大綱的要求，這里再具體指出如下：

行列式的重點是計算，利用性質(zhì)熟練準確的計算出行列式的值。

矩陣中除可逆陣、伴隨陣、分塊陣、初等陣等重要概念外，主要也是運算，其運算分兩個層次，一是矩陣的符號運算，二是具體矩陣的數(shù)值運算。例如在解矩陣方程中，首先進行矩陣的符號運算，將矩陣方程化簡，然后再代入數(shù)值，算出具體的結(jié)果，矩陣的求逆（包括簡單的分塊陣）（或抽象的，或具體的，或用定義，或是用公式A-1= 1 A*，或A用初等行變換），A和A*的關(guān)系，矩陣乘積的行列式，方陣的冪等也是?？嫉膬?nèi)容之一。

關(guān)于向量，證明（或判別）向量組的線性相關(guān)（無關(guān)），線性表出等問題的關(guān)鍵在于深刻理解線性相關(guān)（無關(guān)）的概念及幾個相關(guān)定理的掌握，并要注意推證過程中邏輯的正確性及反證法的使用。

向量組的極大無關(guān)組，等價向量組，向量組及矩陣的秩的概念，以及它們相互關(guān)系也是重點內(nèi)容之一。用初等行變換是求向量組的極大無關(guān)組及向量組和矩陣秩的有效方法。

在Rn中，基、坐標、基變換公式，坐標變換公式，過渡矩陣，線性無關(guān)向量組的標準正交化公式，應(yīng)該概念清楚，計算熟練，當然在計算中列出關(guān)系式后，應(yīng)先化簡，后代入具體的數(shù)值進行計算。

行列式、矩陣、向量、方程組是線性代數(shù)的基本內(nèi)容，它們不是孤立隔裂的，而是相互滲透，緊密聯(lián)系的，例如∣A∣≠0〈===〉A(chǔ)是可逆陣〈===〉r（A）=n（滿秩陣）〈===〉A(chǔ)的列（行）向量組線性無關(guān)〈===〉A(chǔ)X=0唯一零解〈===〉A(chǔ)X=b對任何b均有（唯一）解〈===〉A(chǔ)=P1 P2…PN，其中PI（I=1，2，…，N）是初等陣〈===〉r（AB）=r（B）<===>A初等行變換 I〈===〉A(chǔ)的列（行）向量組是Rn的一個基〈===〉A(chǔ)可以是某兩個基之間的過渡矩陣等等。這種相互之間的聯(lián)系綜合命題創(chuàng)造了條件，故對考生而言，應(yīng)該認真總結(jié)，開拓思路，善于分析，富于聯(lián)想使得對綜合的，有較多彎道的試題也能順利地到達彼岸。

關(guān)于特征值、特征向量。一是要會求特征值、特征向量，對具體給定的數(shù)值矩陣，一般用特征方程∣λE-A∣=0及（λE-A）ξ=0即可，抽象的由給定矩陣的特征值求其相關(guān)矩陣的特征值（的取值范圍），可用定義Aξ=λξ，同時還應(yīng)注意特征值和特征向量的性質(zhì)及其應(yīng)用，二是有關(guān)相似矩陣和相似對角化的問題，一般矩陣相似對角化的條件。實對稱矩陣的相似對角化及正交變換相似于對角陣，反過來，可由A的特征值，特征向量來確不定期A的參數(shù)或確定A，如果A是實對稱陣，利用不同特征值對應(yīng)的特征向量相互正交，有時還可以由已知λ1的特征向量確定出λ2（λ2≠λ1）對應(yīng)的特征向量，從而確定出A.三是相似對角化以后的應(yīng)用，在線性代數(shù)中至少可用來計算行列式及An.將二次型表示成矩陣形式，用矩陣的方法研究二次型的問題主要有兩個：一是化二次型為標準形，這主要是正交變換法（這和實對稱陣正交相似對角陣是一個問題的兩種提法），在沒有其他要求的情況下，用配方法得到標準形可能更方便些；二是二次型的正定性問題，對具體的數(shù)值二次型，一般可用順序主子式是否全部大于零來判別，而抽象的由給定矩陣的正定性，證明相關(guān)矩陣的正定性時，可利用標準形，規(guī)范形，特征值等到證明，這時應(yīng)熟悉二次型正定有關(guān)的充分條件和必要條件。

第五篇：線性代數(shù)學(xué)習(xí)總結(jié)

線性代數(shù)學(xué)習(xí)總結(jié)

----------應(yīng)化11 王陽（2110904024）

時間真快，一轉(zhuǎn)眼看似漫長的大一就這樣在不知不覺中接近尾聲?？v觀一年大學(xué)的學(xué)習(xí)和生活，特別是在線代的學(xué)習(xí)過程中，實在是感慨頗多。在此，我就從老師教學(xué)和自身學(xué)習(xí)方面，談?wù)勛约旱囊稽c體會。

老師在教學(xué)中，也應(yīng)該以一些具體的實例入手來教學(xué)，如果脫離了實際應(yīng)用，只是講抽象的概念和式子，是很難明白的，并且有實例的對照，可以加深記憶理論知識。然后要注重易混淆概念的區(qū)別，必要時應(yīng)該拿出來單獨講講，比如矩陣和行列式的區(qū)別，矩陣只是為了計算線性方程而列的一個數(shù)據(jù)單而已，并無實際意義。而行列式和矩陣有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個具體的數(shù)值，并且行列式的行數(shù)和列數(shù)必須是相等的。其實老師在教學(xué)過程中，應(yīng)該學(xué)會輕松一點，我不希望看到老師在講臺上講得滿頭大汗，而學(xué)生坐在下面聽得云里霧里的場面，這就需要老師能夠精選一些內(nèi)容講解，不需要都講，而其他相關(guān)的內(nèi)容讓學(xué)生自己通過舉一反三就得到就可以了。老師可以自己選一些經(jīng)典的例子來講，而不一定要講書上的例子。然后對于例子中的計算，老師就可以不用算了，多叫學(xué)生動動手，增加我們的積極性，并且這樣也更能發(fā)現(xiàn)問題。再就是線性代數(shù)的課時少，這是一個客觀存在的原因，所以更要精講。而不需全部包攬。當然，若果能通過改革，增加課時是最好不過了。這也算一點小小的建議吧。

再者，在自身學(xué)習(xí)過程中，我想說明的是，大學(xué)里的學(xué)習(xí)是不能靠其他任何人的，只能靠自己，老師只是起到一個引導(dǎo)作用。所以教材是我們最重要的學(xué)習(xí)資源，如果沒有書本，就是天才也不可能學(xué)好?？傮w看來，我們使用的課本題型簡單易懂，非常適合初學(xué)者學(xué)習(xí)。但它也有許多的不足之處，就個人在看這本教材時，覺得它舉得實例太少了，并且例子不太全面，本來線性代數(shù)是一門比較抽象的學(xué)科，加上計算量大，學(xué)時少，所以要學(xué)好它，就只有靠自己在課余時間多加練習(xí)，慢慢領(lǐng)悟那些概念性的東西。然后對于教材內(nèi)容的側(cè)重點，我覺得應(yīng)該放在線性方程組這一塊，因為它是其他問題的引出點，不管是矩陣，行列式，還是矩陣的秩和向量空間，都是為線性方程組服務(wù)的。我們對向量組的線性相關(guān)性的討論，還有對矩陣的秩，向量組的秩的計算，都是為了了解線性方程組的解的情況。在線性方程組的求解過程中，我們運用了矩陣的行變換來求基礎(chǔ)解系，當然這就相當于求極大無關(guān)組。還有對線性相關(guān)和線性無關(guān)的討論，這也關(guān)系到線性方程組的解。所以在改革中，應(yīng)該拿線性方程組為應(yīng)用的實例，來一步一步的解剖概念和定理。當然一些好的、典型的解題方法，也應(yīng)該用具體的例子來講解，這是一本教材必須具備的。

當然在學(xué)習(xí)過程中，我們應(yīng)該具備能夠整體把握老師所講重點的能力，注意各個章節(jié)的聯(lián)系。數(shù)學(xué)中的概念往往不是孤立的，理解概念間的聯(lián)系既能促進新概念的引入，也有助于接近已學(xué)過概念的本質(zhì)及整個概念體系的建立。如矩陣的秩與向量組的秩的聯(lián)系：矩陣的秩等于它的行向量組的秩，也等于它的列向量組的秩；矩陣行(列)滿秩，與向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)也有一定的聯(lián)系。知識體系是一環(huán)扣一環(huán)，環(huán)環(huán)相連的。前面的知識是后面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，如用初等變換求矩陣的秩熟練與否，直接影響求向量組的秩及極大無關(guān)組，進一步影響到求由向量組生成的向量空間的基與維數(shù)；又如求解線性方程組的通解熟練與否，會影響到后面特征向量的求解，以及利用正交變換將二次型化為標準型等。因此，學(xué)習(xí)線性代數(shù)，一定要堅持溫故而知新的學(xué)習(xí)方法，及時復(fù)習(xí)鞏固，為此，老師課前的知識回顧以及學(xué)生提前預(yù)習(xí)是十分必要的。對于后來學(xué)的，應(yīng)該多翻翻書看看前面是怎么說的，往往前面學(xué)習(xí)的內(nèi)容是為后面做鋪墊的，所以在學(xué)了后面的知識后，再看前面的知識，會對前面的知識有一個新的認識，會更好的加深對它的理解和記憶。這一點上老師您做的很好。

然后對于書上花了很大的篇幅寫的matlab實驗，我覺得這是好事，但是在教學(xué)中老師是不會教我們的，因為課時有限，這是情理當中的，但是作為學(xué)生，我覺得應(yīng)該好好地利用書上的資源，單靠做練習(xí)的筆頭功夫是難以解決實際問題的。

總的來說，在線代的學(xué)習(xí)過程中，老師你總是能夠調(diào)節(jié)課堂的氣氛，讓大家在開心的笑聲中學(xué)習(xí)，并穿插著一些為人處事的道理，這都將讓我們在以后的生活和工作中受益匪淺。很高興能在你的班上學(xué)習(xí)這門課，我想我會永遠記住您那一個個寧人忍俊不禁的冷笑話。