第一篇：立體幾何證明的向量公式和定理證明

高考數(shù)學(xué)專題——立體幾何

遵循先證明后計算的原則，即融推理于計算之中，突出模型法，平移法等數(shù)學(xué)方法。注重考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想。

立體幾何證明的向量公式和定理證明

附表2

第二篇：淺談用向量法證明立體幾何中的幾個定理

淺談用向量法證明立體幾何中的幾個定理

15號

海南華僑中學(xué)（570206）王亞順

摘要：向量是既有代數(shù)運算又有幾何特征的工具，在高中數(shù)學(xué)的解題中起著很重要的作用。在立體幾何中像直線與平面平行的判定，平面與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定等定理都沒有給出證明，而用向量法很容易證明這些定理。

關(guān)鍵詞：向量法直線平面平行垂直立體幾何

在高中階段我們學(xué)習了平面向量與空間向量的基本知識，而向量本身既可以進行代數(shù)運算又含有幾何特征，這是很典型的知識，促使其在代數(shù)或幾何方面都可以得到很好的應(yīng)用，因此，在解題方面我們運用向量知識及本身含有的運算去解決問題的方法，我們稱為向量法。即向量法既能解決代數(shù)問題也能解決幾何問題。

立體幾何是我們高中學(xué)習的一個難點，關(guān)鍵在于其抽象性及理解定理的基礎(chǔ)上靈活運用，抽象性在此就不多言了，我們來談下定理的問題。在高中人教A版的第二章《點、直線、平面之間的位置關(guān)系》中，對于直線與平面平行的判定，平面與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定等定理都沒有給出證明，課本中只是探究說明，讓學(xué)生體會而得到。如果能給出證明，就能夠很好地體現(xiàn)定理的嚴密性，在此可以用向量法來證明。

下面我們就用向量法證明這些定理，先介紹一些向量知識及相關(guān)

定理。

定義1??兩個向量?與?的長度與他們之間的夾角的余弦的乘積

?????????稱為?與?的數(shù)量積。記為?????cos?。特別地，若非零向量?與

???????【1】 ?垂直，即???，則????0

定義2 ????空間任意兩個向量?與?的向量積是一個向量，記為???

?????????。它的模為?????sin?，其中?為向量?與?之間的（或???,??）??????夾角，它的方向與?和?都垂直，并且按向量?、?、???這個順序

構(gòu)成右手坐標系【2】。如圖

1圖1

【3】定理1兩個向量?與?共線的充分必要條件是????0。?????

定義3????給定空間的三個向量?、?、?，如果先做前兩個向量?????與?的向量積???，再做所得向量與第三個向量?的數(shù)量積，最后得

?????【4】 到的這個數(shù)叫做三個向量的混合積。記作???,?或者?,?,?。?????

定理2輪換混合積的三個因子，并不改變的它的值，對調(diào)任何兩個因子要改變混合積的符號，即

???????????????????【5】 ?,?,???,?,???,?,????,?,????,?,????,?,?。???????????

下面我們用以上的向量知識證明立體幾何的幾個定理。

直線與平面平行的判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

已知：如圖2，a??,b??,且a?b,證明：a??。

圖2圖

3???分析：在平面?內(nèi)找到一直線c，證明a,b?c?0即可。??

證明：如圖3，在平面?內(nèi)的直線b上取一點o，過o點作一直

??線c與直線b交于o點；設(shè)直線a、b、c上分別有非零向量a、b、?c。

??????a?b?a與b共線即a?b?0.?????????

根據(jù)定理2，有a,b?c?c,a?b?0，即a與b?c垂直。????

?直線a與平面?的垂線垂直，又直線a在平面?外，?a??。證畢

平面與平面平行的判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一平面平行，則這兩個平面平行。

已知：如圖4，a??,b??,a?b?P,a??,b??,證明：???。

圖4圖

5分析：證明平面?內(nèi)任一條直線都平面?平行即可。

證明：如圖5，設(shè)直線m為平面?內(nèi)任一條直線，在平面?內(nèi)取兩條相交直線c與d，又設(shè)直線a、b、c、d、m上分別有非零向

???????量a、b、c、d、m。由于a、b是平面內(nèi)兩條不共線的向量，則

???由平面向量基本定理可知，m??a??b。

?a??,b?????????a,c?d?b,c?d?0 ????

??????????????m,c?d??a??b,c?d??a,c?d??b,c?d?0 ????????

即直線m與平面?平行，又直線m為平面?內(nèi)任一條直線。

????。證畢

直線與平面垂直的判定定理一條直線與一平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

已知：如圖6，l

證明：l??。

?a,l?b,a??,b??,a?b?P

分析：由線面垂直定義，直線l垂直于平面?內(nèi)任一條直線。證明：如圖7，設(shè)直線c為平面?內(nèi)任一條直線，又設(shè)直線a、b、??????c、l上分別有非零向量a、b、c、l。由于a與b是平面內(nèi)兩個不

???共線的向量，由平面向量基本定理，有c??1a??2b。

?????l?a,l?b?a?l?b?l?0

??????????c?l??1a??2b?l??1a?l??2b?l?0 ??

???c?l即直線l與直線c垂直，又直線c為平面?內(nèi)任一條

直線，由線面垂直定義可知l??。證畢

用向量法證明立體幾何中的直線與平面平行的判定、平面與平面平行的判定、直線與平面垂直的判定等定理，解題思路清晰、過程簡潔。對立體幾何的常見問題都可以起到化繁為簡，化難為易的效果，體現(xiàn)了向量法解決幾何問題的優(yōu)越性。向量作為一種工具，在一定程度上可以使空間的幾何學(xué)代數(shù)化，數(shù)量化，可以為學(xué)生提供全新的視角，使學(xué)生形成一種新的思維方式。

參考文獻：

【1】 王仁發(fā)，編著，《代數(shù)與解析幾何》東北師范大學(xué)出

版社，1999年9月，107；

【2】 王仁發(fā)，編著，《代數(shù)與解析幾何》東北師范大學(xué)出

版社，1999年9月，110；

【3】 王仁發(fā)，編著，《代數(shù)與解析幾何》東北師范大學(xué)出

版社，1999年9月，110；

【4】 王仁發(fā)，編著，《代數(shù)與解析幾何》東北師范大學(xué)出

版社，1999年9月，116；

【5】

王仁發(fā)，編著，《代數(shù)與解析幾何》東北師范大學(xué)出

版社，1999年9月，117；

第三篇：向量證明正弦定理

向量證明正弦定理

表述：設(shè)三面角∠p-ABC的三個面角∠BpC，∠CpA，∠ApB所對的二面角依次為∠pA，∠pB，∠pC，則Sin∠pA/Sin∠BpC=Sin∠pB/Sin∠CpA=Sin∠pC/Sin∠ApB。

目錄

1證明2全向量證明

證明

過A做OA⊥平面BpC于O。過O分別做OM⊥Bp于M與ON⊥pC于N。連結(jié)AM、AN。顯然，∠pB=∠AMO，Sin∠pB=AO/AM;∠pC=∠ANO，Sin∠pC=AO/AN。另外，Sin∠CpA=AN/Ap，Sin∠ApB=AM/Ap。則Sin∠pB/Sin∠CpA=AO×Ap/(AM×AN)=Sin∠pC/Sin∠ApB。同理可證Sin∠pA/Sin∠BpC=Sin∠pB/Sin∠CpA。即可得證三面角正弦定理。

全向量證明

如圖1，△ABC為銳角三角形，過點A作單位向量j垂直于向量AC，則j與向量AB的夾角為90°-A，j與向量CB的夾角為90°-C

由圖1，AC+CB=AB(向量符號打不出)

在向量等式兩邊同乘向量j,得·

j·AC+CB=j·AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，過點C作與向量CB垂直的單位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

2步驟

1記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式。

3用向量叉乘表示面積則s=CB叉乘CA=AC叉乘AB

=>absinC=bcsinA(這部可以直接出來哈哈，不過為了符合向量的做法)

=>a/sinA=c/sinC

2011-7-1817:16jinren92|三級

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,接著得到正弦定理其他步驟2.在銳角△ABC中，證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,4過三角形ABC的頂點A作BC邊上的高，垂足為D.(1)當D落在邊BC上時，向量AB與向量AD的夾角為90°-B，向量AC與向量AD的夾角為90°-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有數(shù)量積的幾何意義可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的絕對值*向量AD的絕對值*COS(90°-B)=向量的AC絕對值*向量AD的絕對值*cos(90°-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)當D落在BC的延長線上時，同樣可以證得

第四篇：高中數(shù)學(xué)立體幾何證明公式

線線平行→線面平行 如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

線面平行→線線平行 如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行。

線面平行→面面平行 如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

面面平行→線線平行 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。

線線垂直→線面垂直 如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。

線面垂直→線線平行 如果連條直線同時垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。

線面垂直→面面垂直 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

線面垂直→線線垂直 線面垂直定義：如果一條直線a與一個平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a垂直于平面α。

面面垂直→線面垂直 如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。

三垂線定理 如果平面內(nèi)的一條直線垂直于平面的血現(xiàn)在平面內(nèi)的射影，則這條直線垂直于斜線。

第五篇：向量法證明正弦定理

向量法證明正弦定理

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

2如圖1，△ABC為銳角三角形，過點A作單位向量j垂直于向量AC，則j與向量AB的夾角為90°-A，j與向量CB的夾角為90°-C

由圖1，AC+CB=AB(向量符號打不出)

在向量等式兩邊同乘向量j,得·

j·AC+CB=j·AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，過點C作與向量CB垂直的單位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

2步驟

1記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式。

3用向量叉乘表示面積則s=CB叉乘CA=AC叉乘AB

=>absinC=bcsinA(這部可以直接出來哈哈，不過為了符合向量的做法)

=>a/sinA=c/sinC

2011-7-1817:16jinren92|三級

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,接著得到正弦定理其他步驟2.在銳角△ABC中，證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,4過三角形ABC的頂點A作BC邊上的高，垂足為D.(1)當D落在邊BC上時，向量AB與向量AD的夾角為90°-B，向量AC與向量AD的夾角為90°-C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有數(shù)量積的幾何意義可知向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即向量AB的絕對值*向量AD的絕對值*COS(90°-B)=向量的AC絕對值*向量AD的絕對值*cos(90°-C)所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)當D落在BC的延長線上時，同樣可以證得