第一篇：證明向量共面

證明向量共面

已知O是空間任意一點(diǎn),A.B.C.D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線,但四點(diǎn)共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,則2x+3y+4z=?

寫詳細(xì)點(diǎn)怎么做謝謝了~明白后加分！!

我假定你的O-A表示向量OA。

由O的任意性，取一個(gè)不在ABCD所在平面的O，這時(shí)若OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。

(證明：設(shè)O在該平面上的投影為p，那么對(duì)平面上任何一點(diǎn)X，OX=Op+pX，然后取X=A、B、C、D代你給的關(guān)系式并比較Op分量即可。)

你給的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。

2充分不必要條件。

如果有三點(diǎn)共線，則第四點(diǎn)一定與這三點(diǎn)共面，因?yàn)榫€和直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，如果第四點(diǎn)在這條線上，則四點(diǎn)共線，也一定是共面的。

而有四點(diǎn)共面，不一定就其中三點(diǎn)共線，比如四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共面，但這四個(gè)頂點(diǎn)中沒有三個(gè)是共線的。

“三點(diǎn)共線”可以推出“四點(diǎn)共面”，但“四點(diǎn)共面”不能推出“三點(diǎn)共線”。因此是充分不必要條件

任取3個(gè)點(diǎn)，如果這三點(diǎn)共線，那么四點(diǎn)共面;如果這三點(diǎn)不共線，那么它們確定一個(gè)平面，考慮第四點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。方法二A、B、C、D四點(diǎn)共面的充要條件為向量AB、AC、AD的混合積(AB,AC,AD)=0。方法三A、B、C、D四點(diǎn)不共面的充要條件為向量AB、AC、AD線性無關(guān)。

3已知O是空間任意一點(diǎn),A.B.C.D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線,但四點(diǎn)共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,則2x+3y+4z=?

寫詳細(xì)點(diǎn)怎么做謝謝了我假定你的O-A表示向量OA。

由O的任意性，取一個(gè)不在ABCD所在平面的O，這時(shí)若OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。

(證明：設(shè)O在該平面上的投影為p，那么對(duì)平面上任何一點(diǎn)X，OX=Op+pX，然后取X=A、B、C、D代你給的關(guān)系式并比較Op分量即可。)

你給的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。

4Xa-Yb+Yb-Zc+Zc-Xa=0

∴Xa-Yb=-(Yb-Zc)-(Zc-Xa)

由共面判定定理知它們共面。

簡(jiǎn)單的說一個(gè)向量能夠用另外兩個(gè)向量表示，它們就共面。詳細(xì)的看高中課本

41.若向量e1、e2、e3共面，(i)其中至少有兩個(gè)不共線，不妨設(shè)e1,e2不共線，則e1,e2線性無關(guān)，e3可用e1,e2線性表示，即存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得e3=λe1+μe2,于是

λe1+μe2-e3=0.即存在三個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)λ，μ，υ=-1，使得

λe1+μe2+υe3=0”。

(ii)若e1,e2,e3都共線，則其中至少有一個(gè)不為0，不妨設(shè)e1≠0，則存在實(shí)數(shù)λ，使得e2=λe1.于是λe1-e2=0,即存在三個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)λ，μ=-1，υ=0，使得λe1+μe2+υe3=0”.2.存在三個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)λ，μ，υ，使得λe1+μe2+υe3=0”，不妨設(shè)λ≠0，就有e1=(-μ/λ)e2+(-υ/λ)e3,于是e1,e2,e3共面。

第二篇：向量證明四點(diǎn)共面

向量證明四點(diǎn)共面 由n+m+t=1 , 得 t=1-n-m ,代入op=nox+ moy +toz，得 OP=n OX +mOY +(1-n-m)OZ, 整理，得

OP-OZ =n(OX-OZ)+m(OY-OZ)即ZP =nZX +mZY即P、X、Y、Z 四點(diǎn)共面。以上是充要條件。

2如果通過四點(diǎn)外的一點(diǎn)(空間中)與四點(diǎn)之間的關(guān)系來判斷折四點(diǎn)共面

A,B,C,D,4個(gè)點(diǎn),與另外一點(diǎn)O,若OA=xOB+yOC+zOD,x+y+z=1,四點(diǎn)就共面 3設(shè)一向量的坐標(biāo)為(x,y,z)。另外一向量的坐標(biāo)為(a,b,c)。如果(x/a)=(y/b)=(z/c)=常數(shù)，則兩向量平行 如果ax+by+cz=0，則兩向量垂直。答案補(bǔ)充 三點(diǎn)一定共面,證第四點(diǎn)在該平面內(nèi) 用向量,另取一點(diǎn)O 如向量OA=ax向量OB+bx向量OC+cx向量OD，且a+b+c=1 則有四點(diǎn)共面 答案補(bǔ)充 方法已經(jīng)很詳細(xì)了呀。4線平行線: 兩條線的方向向量矢量積為0，且兩條線沒交點(diǎn)

面平行線：是線平行面吧，線的方向向量和平面法向量垂直，即線的方向向量和平面法向量數(shù)量積為0，且線不在平面內(nèi)

三點(diǎn)共面：三點(diǎn)肯定是共面的，我猜你說的是三點(diǎn)共線吧，比如ABC三點(diǎn)，證明共線，證明AB與BC的方向向量矢量積為0

四點(diǎn)共面：比如ABCD三點(diǎn)證明AB,AC,AD三者滿足先求AB,AC的矢量積a，再a和AD數(shù)量積為0

3怎樣證明空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，向量OP=x向量OA+y向量OB+z向量OC且x＋y＋z＝1，則P，A，B，C四點(diǎn)共面

簡(jiǎn)明地證明，網(wǎng)上的不具體，不要復(fù)制!

證明：由x+y+z=1→x向量OC + y向量OC + z向量OC=向量OC，且：x向量OA+y向量OB+z向量OC=向量OP

將上邊兩式相減得：向量OP-向量OC=x(向量OA-向量OC)+y(向量OB-向量O

C)即：向量CP=x向量CA+y向量CB

由x向量CA+y向量CB所表示的向量必在平面ABC內(nèi)→P點(diǎn)必在平面ABC內(nèi)。故：A，B，C，P四點(diǎn)共面。

4可以先隨便假設(shè)其中3點(diǎn)共面(很簡(jiǎn)單2點(diǎn)確定一條直線，直線和直線外一點(diǎn)可以確定1個(gè)平面)不防設(shè) A B C 三點(diǎn)共面 只需證明P點(diǎn)在這個(gè)平面上即可 以下向量符號(hào)省去

證明： PA=BA-BP=OA-OB-(OP-OB)=OA-OP=OA-(a 向量OA+b向量OB+c向量OC)=(1-a)OA-bOB-cOC=(b+c)OA-bOB-cOC=bBA+cCA

到這里 因?yàn)锳BC已經(jīng)確定了一個(gè)平面 且 PA=bBA+cCA

所以PA平行平面 又A在平面內(nèi) 所以P點(diǎn)也在該平面內(nèi)，所以四點(diǎn)共面

如果兩個(gè)向量a.b不共線，則向量p與向量a.b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x.y),使 p=xa+yb

編輯本段共面向量的定義： 能平移到同一平面上的三個(gè)向量叫做共面向量編輯本段推論：推論1 設(shè)OABC是不共面的四點(diǎn) 則對(duì)空間任意一點(diǎn)P 都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)

使得OP=xOA+yOB+zOC {OP,OA,OB,OC均表示向量} 說明：若x+y+z=1 則PABC四點(diǎn)共面（但PABC四點(diǎn)共面的時(shí)候，若O在平面ABP內(nèi)，則x+y+z不一定等于1，即x+y+z=1 是P.A.B.C四點(diǎn)共面的充分不必要條件）證明： 1）唯一性：

設(shè)另有一組實(shí)數(shù)x',y',z' 使得OP=x'OA+y'OB+z'OC

則有xOA+yOB+zOC=x'OA+y'OB+z'OC∴(x-x')OA+(y-y')OB+(z-z')OC=0∵OA、OB、OC不共面 ∴x-x'=y-y'=z-z'=0即x=x'、y=y'、z=z'故實(shí)數(shù)x,y,z是唯一的2）若x+y+z=1 則PABC四點(diǎn)共面：

假設(shè)OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=1 且PABC不共面那么z=1-x-y 則OP=xOA+yOB+OC-xOC-yOCOP=OC+xCA+yCB(CP=xCA+yCB)

點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi) 與假設(shè)中的條件矛盾 故原命題成立

推論

2空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x.y,使 MP=xMA+yMB {MP MA MB 都表示向量} 或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有 OP=OM+xMA+yMB {OP,OM,MA,MB表示向量}

選定向量基底，解決常見立體幾何問題

利津二中陳富君魏靜

我們知道，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算成為解決立體幾何的垂直與平行的證明、角與距離的求解等問題的一個(gè)十分有效的工具，用空間向量的方法處理立體幾何問題,常?？梢允盏交睘楹?jiǎn),化難為易,也降低了同學(xué)們學(xué)習(xí)立體幾何的思維難度.但是空間直角坐標(biāo)坐標(biāo)系的應(yīng)用有著很大的局限性，取而代之，若以有著特殊關(guān)系的三個(gè)向量作為基底，通過向量運(yùn)算將使更多的立體幾何問題得到很好的解決.這類問題常以特殊四面體（或空間四邊形），平行六面體，特殊三棱柱等為載體.一、證明三點(diǎn)共線

例1 如圖，在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，G、H分別在BC、CD上，且BG : GC＝DH: HC＝1: 2.設(shè)EG和HF交于點(diǎn)P，求證P、A、C三點(diǎn)共線.?????????????????????????????

解設(shè)DA?a,DB?b,DC?c，則AC?DC?DA?c?a, F

PFEF

3??，∴ PF?3FH ?????????????????????????1??????????????∴PA?3FH?DF?3DH?DF?DF?3?DC?DF??DF

?3?

???????????????????DC?2DF?DC?DA?c?a????????

∴ PA?AC且A為PA、AC公共點(diǎn)，故P、A、C三點(diǎn)共線

∵

B

G

??

二、證明直線平行平面

D

A

M A1??????????

向量a平行平面ABC的充要條件是a?xAB?yAC

例2 直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是AB1與BC1上的點(diǎn)，且

CN C

1AMBN，求證MN∥平面ABCD.?

11???????????????AMBN解 設(shè)AB?a,AD?b,AA1?c,???，則

??????????????????????????????????????∵ MN?AN?AM?AB?BN?AM?a??BC1??AB1

????????????????????????

?a??BB1?B1C1??AA1?A1B1?a??c?b???c?a?

????

??1???a??1???b，且a與b不共線

??????

?????

∴ MN∥平面ABCD，而MN?平面ABCD，故MN∥平面ABCD.三、證明直線垂直直線（或直線垂直平面）????a?b?a?b?0

例3 如圖，在四面體ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，求證：MN是異面直線AB，CD的公垂線的充要條件是：AC＝BD，BC＝AD.?????????????????

證明 設(shè)AM?a,MN?b,CN?c

????

必要性 若MN是異面直線AB，CD的公垂線，則a?b?0,b?c?0 ???????????????????????????????∵AC?AM?MC?AM?MN?NC?a?b?c，N

?????????????????????

同樣的可得 BD??a?b?c，BC??a?b?c,AD?a?b?c ????2???∴ AC?a?b?c

??

?2???????????

?a2?b2?c2?2a?c，BD??a?b?c

??

?????

?a2?b2?c2?2a?c

因此，AC＝BD，同理BC＝AD.???

充分性 由AC＝BD，得a?b?c

???

?????a?b?c

?

?????a?b?b?c ①

???

由BC＝AD，得?a?b?c

???

????a?b?c

?

????

?a?b??b?c ②

??

b?0 故MN⊥AM，同理MN⊥CN，即 MN是異面直線AB，CD的公垂①＋②得 a?

線.四、求異面直線的夾角

例4 在正四面體ABCD中，M、P分別為棱AD、CD的中點(diǎn)，N、Q分別是面BCD、面ABC的中心，求MN與PQ的夾角.???????????????

解 設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，O為BC中點(diǎn)，AB?a,AC?b,AD?c，則

?????????a?b?c?2，a?b?b?c?c?a?2，??????????????????????1????????1????1????

∵ MN?AN?AM?AO?ON?AD?AO?OD?AD

232

????1????????1????2????1????1??1? ?AO?AD?AO?AD?AO?AD?a?b?c

323636QB????????????2????1????????1??1?

PQ?AQ?AP?AO?AC?AD?2a?b?c

3262

M

????

????

?????2?1??1??2

∴ MN??a?b?c??1，即|MN|＝|PQ|＝1，6??3

??

?????????

???????????????????1??1???1??1??MN?PQ11

MN?PQ??a?b?c???2a?b?c???，cosMN,PQ???

6??62?1818?3MNPQ

????

?1?因此，MN與PQ的夾角為arccos???

?18?

空間向量的基底的應(yīng)用恰恰是教學(xué)中的薄弱環(huán)節(jié),如果不注意及時(shí)補(bǔ)上這一課,久而久之,應(yīng)用向量的思維會(huì)鈍化,甚至?xí)壞厩篝~.

第三篇：用向量證明四點(diǎn)共面

用向量證明四點(diǎn)共面

由n+m+t=1,得t=1-n-m,代入op=nox+moy+toz，得Op=nOX+mOY+(1-n-m)OZ,整理，得

Op-OZ=n(OX-OZ)+m(OY-OZ)

即Zp=nZX+mZY

即p、X、Y、Z四點(diǎn)共面。

以上是充要條件。

如和通過四點(diǎn)外的一點(diǎn)(空間中)與四點(diǎn)之間的關(guān)系來判斷折四點(diǎn)共面

A,B,C,D,4個(gè)點(diǎn),與另外一點(diǎn)O,若OA=xOB+yOC+zOD,x+y+z=1,四點(diǎn)就共面3設(shè)一向量的坐標(biāo)為(x,y,z)。另外一向量的坐標(biāo)為(a,b,c)。如果(x/a)=(y/b)=(z/c)=常數(shù)，則兩向量平行如果ax+by+cz=0，則兩向量垂直。答案補(bǔ)充三點(diǎn)一定共面,證第四點(diǎn)在該平面內(nèi)用向量,另取一點(diǎn)O如向量OA=ax向量OB+bx向量OC+cx向量OD，且a+b+c=1則有四點(diǎn)共面答案補(bǔ)充方法已經(jīng)很詳細(xì)了呀。4線平行線:兩條線的方向向量矢量積為0，且兩條線沒交點(diǎn)

面平行線：是線平行面吧，線的方向向量和平面法向量垂直，即線的方向向量和平面法向量數(shù)量積為0，且線不在平面內(nèi)

三點(diǎn)共面：三點(diǎn)肯定是共面的，我猜你說的是三點(diǎn)共線吧，比如ABC三點(diǎn)，證明共線，證明AB與BC的方向向量矢量積為0

四點(diǎn)共面：比如ABCD三點(diǎn)證明AB,AC,AD三者滿足先求AB,AC的矢量積a，再a和AD數(shù)量積為0

怎樣證明空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，向量Op=x向量OA+y向量OB+z向量OC且x＋y＋z＝1，則p，A，B，C四點(diǎn)共面

簡(jiǎn)明地證明，網(wǎng)上的不具體，不要復(fù)制!

證明：由x+y+z=1→x向量OC+y向量OC+z向量OC=向量OC，且：x向量OA+y向量OB+z向量OC=向量Op

將上邊兩式相減得：向量Op-向量OC=x(向量OA-向量OC)+y(向量OB-向量OC)

即：向量Cp=x向量CA+y向量CB

由x向量CA+y向量CB所表示的向量必在平面ABC內(nèi)→p點(diǎn)必在平面ABC內(nèi)。

故：A，B，C，p四點(diǎn)共面。

可以先隨便假設(shè)其中3點(diǎn)共面(很簡(jiǎn)單2點(diǎn)確定一條直線，直線和直線外一點(diǎn)可以確定1個(gè)平面)不防設(shè)ABC三點(diǎn)共面只需證明p點(diǎn)在這個(gè)平面上即可以下向量符號(hào)省去

證明：pA=BA-Bp

=OA-OB-(Op-OB)

=OA-Op

=OA-(a向量OA+b向量OB+c向量OC)

=(1-a)OA-bOB-cOC

=(b+c)OA-bOB-cOC

=bBA+cCA

到這里因?yàn)锳BC已經(jīng)確定了一個(gè)平面且pA=bBA+cCA

所以pA平行平面又A在平面內(nèi)所以p點(diǎn)也在該平面內(nèi)

所以四點(diǎn)共面

第四篇：空間向量共面充要條件的應(yīng)用（定稿）

空間向量共面充要條件的應(yīng)用

共面向量定理涉及三個(gè)向量→p、→a、→b共面問題，它們之間的充要條件關(guān)系為：如果兩個(gè)向量→a、→b不共線，那么向量→p與向量→a、→b共面的充要條件是：存在有序?qū)崝?shù)組(x,y)，→→→使得p＝xa＋yb.共面向量定理在立體幾何中證明中有關(guān)有著廣泛的運(yùn)用，如在點(diǎn)線共面、線面平行等問題中，都有很好的體現(xiàn).由于向量本身具有的位置不定性，使得共面向量可理解為能夠平移到同一平面內(nèi)的向量，或者理解為平行于同一平面的向量.下面就空間向量共面充要條件的應(yīng)用分類解析，體會(huì)應(yīng)用的方法與技巧.一、判斷點(diǎn)與平面的關(guān)系

例1 已知A、B、C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外一點(diǎn)O，若OM＝2OA－OB－OC，判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).分析：點(diǎn)M與A、B、C不共面，即點(diǎn)M不在平面ABC內(nèi)，即不存在x，y使→AM＝x→AB＋y→AC，可用反證法證明判斷.→→→→

→→→解：假設(shè)M在平面ABC內(nèi)，則存在實(shí)數(shù)x,y，使AM＝xAB＋yAC，于是對(duì)空間任意一點(diǎn)O，O在平面ABC外，→OM＝(1－x－y)→OA＋x→OB＋y→OC，?? 1－x－y＝

2比較原式可得? x＝－1，此方程組無解，與假設(shè)不成立，?? y＝－

1→→→∴不存在實(shí)數(shù)x,y，使AM＝xAB＋yAC，∴M與A、B、C不共面.點(diǎn)評(píng)：本題采用反證法來證明點(diǎn)M不在平面ABC內(nèi)，因?yàn)榉醋C法就是從正面進(jìn)行解答比較困難，從對(duì)立面進(jìn)行證明的一種思想方法.二、用于證明四點(diǎn)共面

例2 如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，M為DD1的中點(diǎn)，N在AC上，且AN﹕NC＝2﹕1，求證：A1、B、N、M四點(diǎn)共面.→→分析：利用空間向量共面的充要條件，通過證明向量→A1N、A1B、A1M共面，即可證明

→→→存在唯一實(shí)數(shù)λ、μ，使A1N＝λA1B＋μA1M成立.→→→→→→→→→→ 證明：如圖，→AA1＝a，AB＝b，AD＝c，則A1B＝AB－AA1＝b－a，→1→→1→∵M(jìn)為DD1的中點(diǎn)，→A1M＝AD－AA1＝c－a，2

222→→2→→∵AN﹕NC＝2﹕1，∴→AN＝＝(AB＋AD)＝b＋c)，33

32→1→→2→→→2→→∴→A1N＝AN－AA1＝(b＋c)－a＝b－a)＋(c－a)3332

22→＝→A1B＋A1M，33

∴A1、B、N、M四點(diǎn)共面.點(diǎn)評(píng)：本題根據(jù)空間向量基本定理，充分利用三角法則與平行四邊形法則，通過不同的→→→→→→→→途徑分別用向量EF﹑EH表示MQ或用向量EG表示MQ，從而建立向量EG與向量EF﹑EH的線性

關(guān)系，進(jìn)而使問題得證.這是不用向量坐標(biāo)形式證明幾何問題的常用方法.三、證明三線平行同一平面

例3 如圖所示，E、F分別為空間四邊形ABCD中AB、CD的中點(diǎn)，證明AD、EF、BC平行于同一平面

.→→→→分析：證明AD、EF、BC平行于同一平面，即證明向量EF、AD、BC共面，進(jìn)而證明EF、→AD、→BC之間存在線段關(guān)系.證明：→EF＝→EA＋→AD＋→DF，且→EF＝→EB＋→BC＋→CF，又→EA＝－→EB，→DF＝－→CF，→→→→所以EF＋EF＝AD＋BC

111即→EF＋→EF＝(→AD＋→BC)＝→AD＋，22

2可知，→EF、→AD、→BC共面，所以EF與AD、BC平行于同一平面.→點(diǎn)評(píng)：本題在證明過程中，通過利用兩種不同的途徑得到向量EF的兩種不同的表達(dá)式，然后兩式相加就可以得到所需要證明的表達(dá)式，當(dāng)然其過程要用到三角形法則或平行四邊形法則，這是利用加減法處理向量線性線性關(guān)系常用的方法.四、證明線面平行

例4 正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CM＝DN，求證：MN∥平面CC1D1D.分析：由于DC與DD1在同一平面上，因此可以先考慮利用空間向量共面的充要條件證→→→明向量NM與DC、DD1共面，然后只須說明點(diǎn)M、N不在CC1D1D內(nèi)就可證明MN∥平面CC1D1D.證明：設(shè)CM＝DN＝λDB＝λCB1，則

→→→→→→→→DN＝λDB＝λ(DA＋DC)，CM＝λCB1＝λ(CB＋CC1)，→→→→→→→→→∴NM＝ND＋DC＋CM＝－λ(DA＋DC)＋DC＋λ(CB＋CC1)

→→→→＝(1－λ)→DC＋λ(→DA＋→CB＋→CC1)＝(1－λ)DC＋λ(－DA＋DA＋CC1)

＝(1－λ)→DC＋λ→DD

1∴→NM與→DC、→DD1共面，又M、N不在面DCC1D1內(nèi)，∴MN∥平面CC1D1D.點(diǎn)評(píng)：利用空間證明立體幾何問題，減少了利用傳統(tǒng)法證明的繁瑣的思維量，將考查難度要求較高的空間想象力與抽象的邏輯推理能力轉(zhuǎn)化為考查難度要求稍微較低的運(yùn)算能力.

第五篇：向量空間證明

向量空間證明解題的基本方法：

1)在立體幾何圖形中，選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)和直線方向建立空間直角坐標(biāo)系 中 2)若問題中沒有給出坐標(biāo)計(jì)算單位，可選擇合適的線段設(shè)置長(zhǎng)度單位;3)計(jì)算有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)值，求出相關(guān)向量的坐標(biāo);4)求解給定問題

證明直線與平面垂直的方法是在平面中選擇二個(gè)向量，分別與已知直線向量求數(shù)積，只要分別為零，即可說明結(jié)論。

證明直線與平面平行的關(guān)鍵是在平面中尋找一個(gè)與直線向量平行的向量。這樣就轉(zhuǎn)化為證明二個(gè)向量平行的問題，只要說明一個(gè)向量是另一向量的m(實(shí)數(shù))倍，即可 只要多做些這方面的題，或看些這方面的例題，也會(huì)從中悟出經(jīng)驗(yàn)和方法 2 解：

因?yàn)閤+y+z=0 x=-y-z y=y+0*z z=0*y+z(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z y,z為任意實(shí)數(shù)

則：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一組基，維數(shù)為2(不用寫為什么是2)步驟1 記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c ∴a+b+c=0 則i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0 接著得到正弦定理 其他 步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。