第一篇：“全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽”四川賽區(qū)

“全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽”四川賽區(qū)

競賽通知

四川省數(shù)學(xué)學(xué)會各高校會員單位：

在總結(jié)2011年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，中國數(shù)學(xué)會決定2012年繼續(xù)第三屆舉辦全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽。根據(jù)中國數(shù)學(xué)會的通知精神，現(xiàn)將四川賽區(qū)的參賽工作布置如下，希望各高等學(xué)校積極組織學(xué)生參加。

一、競賽方式：

1．分區(qū)預(yù)賽：2012年10月27日上午9：00-11：30在四川大學(xué)舉行。由四川省數(shù)學(xué)會負(fù)責(zé)組織競賽、評獎和選拔參加決賽的選手，使用全國統(tǒng)一賽題，與全國大學(xué)生在同一時間內(nèi)進(jìn)行競賽。

2．全國決賽：2012年3月的第3個星期六上午在電子科技大學(xué)舉行。

二、參賽對象：

大學(xué)本科二年級或二年級以上的在校大學(xué)生。競賽分為非數(shù)學(xué)專業(yè)組和數(shù)學(xué)專業(yè)組(含數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的學(xué)生)。數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生不得參加非數(shù)學(xué)專業(yè)組的競賽。研究生不得參加本項(xiàng)競賽。

三、競賽內(nèi)容：

非數(shù)學(xué)專業(yè)組競賽內(nèi)容為本科高等數(shù)學(xué)內(nèi)容（高等數(shù)學(xué)內(nèi)容為理工科本科教學(xué)大綱規(guī)定的高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容）。數(shù)學(xué)專業(yè)組競賽內(nèi)容含數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)和解析幾何（均為數(shù)學(xué)專業(yè)本科教學(xué)大綱規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容），所占比重分別為50%、35%及15%左右。

四、獎項(xiàng)的設(shè)立：為了充分調(diào)動同學(xué)們參賽積極性，四川賽區(qū)設(shè)立“全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（四川賽區(qū)）數(shù)學(xué)專業(yè)一、二、三等獎”、“全國大

學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（四川賽區(qū)）非數(shù)學(xué)專業(yè)一、二、三等獎”。獲獎總名額不超過該項(xiàng)競賽參賽人數(shù)的15%，一、二、三等獎的比例為2:3:5。

五、報名與收費(fèi)：

根據(jù)中國數(shù)學(xué)會的通知，按照每個參賽學(xué)生60元的標(biāo)準(zhǔn)，由參賽學(xué)校向四川省數(shù)學(xué)會統(tǒng)一繳納參賽報名費(fèi)。各學(xué)校于2012年9月28日前，向四川省數(shù)學(xué)會報名，同時報送參賽報名單，并繳納報名費(fèi)。

收費(fèi)聯(lián)系人：梁老師

地點(diǎn)：望江經(jīng)管樓西102室

電話：85471715

郵箱：lyz@scu.edu.cn

六、競賽地點(diǎn)及競賽須知：在2012年10月23日公布在四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院網(wǎng)上。

數(shù)學(xué)學(xué)院

2012年9月14日

第二篇：第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽安徽賽區(qū)競賽成功舉辦

第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽安徽賽區(qū)競賽成功舉辦

合肥學(xué)院學(xué)子再創(chuàng)輝煌

由中國數(shù)學(xué)會主辦、上海同濟(jì)大學(xué)承辦的第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽安徽省賽區(qū)競賽圓滿結(jié)束。合肥學(xué)院學(xué)子在院領(lǐng)導(dǎo)的關(guān)心和教務(wù)處的支持下，順利參加了此次競賽，并由數(shù)學(xué)與物理系具體承辦。我院在此次安徽賽區(qū)賽中再創(chuàng)輝煌，共10名學(xué)生取得名次。其中，數(shù)學(xué)與物理系09級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生孫中華以安徽省賽區(qū)學(xué)院組數(shù)學(xué)專業(yè)類第一名的好成績榮獲一等獎。

為響應(yīng)第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽，激發(fā)廣大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)他們分析問題和解決問題的能力，從上學(xué)期期末至本學(xué)期期初，我院數(shù)學(xué)與物理系積極籌備安徽省賽區(qū)數(shù)學(xué)競賽全院數(shù)學(xué)專業(yè)類和非專業(yè)類選拔賽，并成功選拔60名學(xué)生參與安徽省賽區(qū)競賽。隨后，由我系成立的兩支教學(xué)組分別對數(shù)學(xué)專業(yè)類和非專業(yè)類的參賽學(xué)生進(jìn)行了為期兩個月的培訓(xùn)，并于10月29日上午到中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)正式參加安徽省賽區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽。最終，我院數(shù)理系09級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生孫中華以安徽省賽區(qū)學(xué)院組數(shù)學(xué)專業(yè)類第一名的好成績榮獲一等獎。同時，數(shù)學(xué)專業(yè)類臧春秋及非專業(yè)類印筱路、周生、王青4名同學(xué)獲得二等獎，非專業(yè)類孫長春等5名同學(xué)獲得三等獎。

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽作為一項(xiàng)面向本科生的全國性高水平學(xué)科競賽，已成功 舉辦兩屆。此項(xiàng)競賽為廣大青年學(xué)子提供了一個展示數(shù)學(xué)基本功和數(shù)學(xué)思維的舞臺，為發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新人及進(jìn)一步促進(jìn)高等學(xué)校課程建設(shè)的改革和發(fā)展積累了素材。參加這項(xiàng)活動，在全面展示我院高等數(shù)學(xué)教學(xué)水平和教學(xué)改革的成果的同時，有助于學(xué)生夯實(shí)和擴(kuò)展高等數(shù)學(xué)知識與基本技能。此外，第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽也將于2012年3月的第三周周六上午在同濟(jì)大學(xué)舉行。

（數(shù)理系記者團(tuán)唐章琪）

第三篇：2014全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽

嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計(jì)與控制策略

摘要

隨著月球探測任務(wù)的發(fā)展,未來月球探測考察目標(biāo)將主要是 復(fù)雜地形特性的高科學(xué)價值區(qū)域。為了能夠安全地在這些遍布巖石、的區(qū)域內(nèi)完成高精度軟著陸，這就要求導(dǎo)航和控制系統(tǒng)具有較強(qiáng)的自主性和實(shí)時性。本文針對最終著陸段安全、精確的需求，對月球軟著陸導(dǎo)航與控制方法進(jìn)行較深入研究，主要內(nèi)容包括：

首先，提出一種基于單幀圖像信息的障礙檢測方法。該方法根據(jù)著陸區(qū)內(nèi)障礙成像的特點(diǎn)，通過匹配相應(yīng)的陰影區(qū)與光照區(qū)完成對巖石、彈坑的檢測，利用圖像灰度方差對粗糙區(qū)域進(jìn)行提?。涸跈z測出故障信息的基礎(chǔ)上，選取安全著陸點(diǎn)以保證軟著陸任務(wù)的成功。

其次，給出一種基于矢量觀測信息的自主光學(xué)導(dǎo)航方法。該方法利用光學(xué)相機(jī)和激光測距儀測量值構(gòu)建著陸點(diǎn)相對著陸器的矢量信息，結(jié)合著陸器的姿態(tài)信息確定著陸器的位置。為了消除測量噪聲帶來的干擾，利用擴(kuò)展Kalman濾波理論設(shè)計(jì)了導(dǎo)航濾波器。

再次，提出一種李雅普諾夫函數(shù)障礙規(guī)避制導(dǎo)方法。該方法通過對狀態(tài)函數(shù)、危險地形勢函數(shù)的設(shè)計(jì)，以滿足平移過程中減低障礙威脅與精確定點(diǎn)著陸器，設(shè)計(jì)PWPF（調(diào)頻調(diào)寬）調(diào)節(jié)器實(shí)現(xiàn)定推理等效變推力控制效果。

最后，針對采用變推力主發(fā)動機(jī)的月球著陸器，提出一種垂直軟著陸控制方法。該方法采用標(biāo)稱控制與閉環(huán)控制相結(jié)合的方式，規(guī)劃標(biāo)稱軌跡以保證著陸器到達(dá)著陸點(diǎn)時其下降速度、加速度亦為零，設(shè)計(jì)閉環(huán)控制器產(chǎn)生附加控制量消除初始偏差、著陸器質(zhì)量變化的干擾，以保證著陸器沿標(biāo)稱軌跡到達(dá)著陸點(diǎn)。

本文分別對所提出的最終著陸段導(dǎo)航與控制方法進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真以驗(yàn)證個方法的可行性。仿真結(jié)果表明，本文多給出導(dǎo)航方法能夠達(dá)到較高的性能指標(biāo)，滿足在危險區(qū)域?qū)崿F(xiàn)高精度軟著陸的需要。

關(guān)鍵詞： 月球軟著陸；自主導(dǎo)航與控制；障礙檢測；規(guī)避制導(dǎo)；適量測量

一、問題重述

嫦娥三號于2013年12月2日1時30分成功發(fā)射，12月6日抵達(dá)月球軌道。根據(jù)計(jì)劃，嫦娥三號將在北京時間12月14號在月球表面實(shí)施軟著陸。嫦娥三號如何實(shí)現(xiàn)軟著陸以及能否成功成為外界關(guān)注焦點(diǎn)。嫦娥三號在著陸準(zhǔn)備軌道上的運(yùn)行質(zhì)量為2.4t，其安裝在下部的主減速發(fā)動機(jī)是目前中國航天器上最大推力的發(fā)動機(jī)，能夠產(chǎn)生1500N到7500N的可調(diào)節(jié)推力，進(jìn)而對嫦娥三號實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)控制。其比沖（即單位質(zhì)量的推進(jìn)劑產(chǎn)生的推力）為2940m/s，可以滿足調(diào)整速度的控制要求。在四周安裝有姿態(tài)調(diào)整發(fā)動機(jī)，在給定主減速發(fā)動機(jī)的推力方向后，能夠自動通過多個發(fā)動機(jī)的脈沖組合實(shí)現(xiàn)各種姿態(tài)的調(diào)整控制。嫦娥三號的預(yù)定著陸點(diǎn)為19.51W，44.12N，海拔為-2641m。嫦娥三號將在近月點(diǎn)15公里處以拋物線下降，相對速度從每秒1.7公里逐漸降為零。整個過程大概需要十幾分鐘的時間。在距月面100米處時，嫦娥三號要進(jìn)行短暫的懸停，掃描月面地形，避開障礙物，尋找著陸點(diǎn)。之后，嫦娥三號在反推火箭的作用下繼續(xù)慢慢下降，直到離月面4米高時再度懸停。此時，關(guān)掉反沖發(fā)動機(jī)，探測器自由下落。

嫦娥三號在高速飛行的情況下，要保證準(zhǔn)確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)軟著陸，關(guān)鍵問題是著陸軌道與控制策略的設(shè)計(jì)。其著陸軌道設(shè)計(jì)的基本要求：著陸準(zhǔn)備軌道為近月點(diǎn)15km，遠(yuǎn)月點(diǎn)100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點(diǎn)至著陸點(diǎn)，其軟著陸過程共分為6個階段，分別為著陸準(zhǔn)備軌道、主減速段、快速調(diào)整段、粗避障段、精避障段、緩速下降階段，要求滿足每個階段在關(guān)鍵點(diǎn)所處的狀態(tài)；盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。

根據(jù)上述的基本要求，請你們建立數(shù)學(xué)模型解決下面的問題：

（1）確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，以及嫦娥三號相應(yīng)速度的大小與方向。（2）確定嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優(yōu)控制策略。

（3）對于你們設(shè)計(jì)的著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。

二、問題分析

對于問題一：

嫦娥三號從15公里左右的高度下降到月球表面，在這一過程中不考慮月球表面太陽風(fēng)的影響，忽略月球的自轉(zhuǎn)速度引起的科氏力的影響，由于下降時間比較短也不考慮太陽、地球?qū)︽隙鹑柕臄z動影響，嫦娥三號水平速度要從1.692km/s降為0m/s由于3000m處時嫦娥三號已經(jīng)基本位于著陸點(diǎn)上方，所以此時假設(shè)在3000m處的速度只存在豎直向下的速度而不存在水平分速度，因?yàn)榻德錅p速時間比較短只有垂直于月面的方向運(yùn)動才能實(shí)現(xiàn)，所以在確定著陸點(diǎn)位置和著陸軌跡時應(yīng)當(dāng)考慮燃料最優(yōu)情況下推力最大，方向自由的方法即取F?7500N建立主減速段動力學(xué)模型。

三、符號說明

四、模型假設(shè)

對于問題一：

忽略月球的自傳和太陽、地球?qū)︽隙鹑栃l(wèi)星的引力攝動 月球近似為一個質(zhì)量均勻的標(biāo)準(zhǔn)球體 將嫦娥三號是為一個質(zhì)點(diǎn)

主減速忽略動作調(diào)整所產(chǎn)生的燃料消耗段不考慮太陽風(fēng)的影響

五、模型建立與求解

5.1問題一的建模與求解 解法一： 假設(shè)嫦娥三號在t時刻在遠(yuǎn)月點(diǎn)開始緩慢下降，在n時刻到達(dá)近月點(diǎn)，整個過程遵循開普勒第三定律，即

v0?0

在t時刻有：v1?2??R1????? ??R0?R0?R1?r0 R0?r1?r2 其中v1：遠(yuǎn)月點(diǎn)速度

v2：近月點(diǎn)速度

R0：遠(yuǎn)月點(diǎn)月心距

R1：近月點(diǎn)月心距（已知月球的半徑為1738千米）

R0?1738?100?1838km

R1?1738?15?1753km 在t1時刻處v2? k?2??R1??? ?R0?R0?R1??R0?0.512k?0.488 R0?R1利用能量平衡式求得近地點(diǎn)速度為

2?0.512?49012（）?1.692km/s（沿切線方向）v2?，比當(dāng)?shù)氐沫h(huán)境速度17531.672km/s大?vk?0.0196km/s，徑向速度vk?0。

1同理解得v1?1.6139km/s（沿切線方向）

vri?0

解得主減速段動力學(xué)模型的建立：

根據(jù)題意，在橫向飛行的水平距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于月球半徑的平均值，所以可以將整個減速段過程簡化為水平和豎直方向運(yùn)動方程，根據(jù)牛頓第二定律、速度計(jì)算公式有：

ax?Tx may?tTymTxt?a

?1.692km/s ?m?0?Qdt0??Ty???a?dt?57m/s t?0??m??Qdt?0??t?T22x?Ty2??7500N

v2?2at?S

運(yùn)用matlab編程解得S?451810.4m； 其中 ax：水平方向加速度

ay：豎直方面加速度

a：月球表面重力加速度a? Tx：推力的水平方向分力

Ty：推力的豎直方向分力

t:主減速段時間

S:嫦娥三號主減速段水平位移

Q:嫦娥三號發(fā)動機(jī)燃料秒消耗率

根據(jù)已知資料得到嫦娥三號著陸過程中緯度改變，經(jīng)度基本不變，月球赤緯和地球緯度一樣也分為南北各90個分度,又因?yàn)樵虑驑O區(qū)半徑為1735.843km，所以每一個緯度的豎直高度差為19.2871

4g 6千米。即近月點(diǎn)位置坐標(biāo)為?19.0464W,28.9989N?海拔15km,遠(yuǎn)月點(diǎn)位置坐標(biāo)為?160.9536E,28.9989S?海拔100km。

解法2:軌跡方程法。

眾所周知,太陽系中的八大行星都在按照各自的橢圓軌道繞太陽進(jìn)行公轉(zhuǎn),太陽位于橢圓的一個焦點(diǎn)上,行星的運(yùn)動遵循開普勒三定律,筆者發(fā)現(xiàn),在各類物理競賽中,常會涉及到天體運(yùn)動速度的計(jì)算,本文擬從能量和行星運(yùn)動的軌跡方程兩個不同的角度來探索行星在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度。

該解法的指導(dǎo)思想是對橢圓的軌跡方程求導(dǎo),并結(jié)合一般曲線的曲率半徑通式求出近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的曲率半徑表達(dá)式,然后利用萬有引力提供向心力列方程求解。如圖1所示,橢圓的軌跡方程為

x2y2?2?1 ?5? 2ba將?5?式變形為

a2x2?b2y2?a2b2 ?6?

根據(jù)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則將?6?式對x求導(dǎo)有

2a2x?2b2yy??0 ?7? 即

a2xy???2 ?8?

by將?7?式再次對x求導(dǎo)得

2a2?2b2(y?y??yy??)?0 ?9? 將?8?、?9?兩式聯(lián)立得

a2b2y2?a4x2 ?10? y???-43by根據(jù)曲率半徑公式有 r?(1?y?)?11? ??y122 將?8?、?10?、?11?式聯(lián)立并將A點(diǎn)坐標(biāo)A(0，a)代入可得A點(diǎn)的曲率半徑為

b2RA? ?12?

a根據(jù)橢圓的對稱性,遠(yuǎn)日點(diǎn)B的曲率半徑為

b2RB?RA? ?13?

a 由于在A、B兩點(diǎn)行星運(yùn)行速度方向與萬有引力方向垂直,萬有引力只改變速度方向,并不改變速度大小,故分別根據(jù)萬有引力提供向心力得

GMmmvA ?14? ?(a?c)2RAGMmmvB ?15? ?2(a?c)RB將?13?至?15?式聯(lián)立可得 22vA?bGMbGM，vB? ??a?caa?ca

5.2問題二的建模與求解 模型一：動力學(xué)模型

典型的月球軟著陸任務(wù)中,探測器一般首先發(fā)射到100km的環(huán)月停泊軌道,然后根據(jù)所選定的著陸位置,在合適的時間給著陸器一個有限脈沖,使得著陸器轉(zhuǎn)入近月點(diǎn)(在著落位置附近)為15km,遠(yuǎn)月點(diǎn)為100km的月球橢圓軌道,這一階段稱為霍曼轉(zhuǎn)移段。當(dāng)著陸器運(yùn)行到近月點(diǎn)時,制動發(fā)動機(jī)開始工作,其主要任務(wù)是抵消著陸器的初始動能和勢能,使著陸器接觸地面時,相對月面速度為零,即實(shí)現(xiàn)所謂的軟著陸,這一階段稱為動力下降段。著陸器的大部分燃料都是消耗在此階段,所以月球軟著陸軌跡優(yōu)化主要是針對動力下降段這一階段。由于月球表面附近沒有大氣,所以在飛行器的動力學(xué)模型中沒有大氣阻力項(xiàng)。而且從15km左右的軌道高度軟著陸到月球表面的時間比較短,一般在幾百秒的范圍內(nèi),所以諸如月球引力非球項(xiàng)、日月引力攝動等影響因素均可忽略不計(jì),所以這一過程可以在二體模型下描述。其示意圖如圖1所示,其中o為月球質(zhì)心,x軸方向?yàn)橛稍滦闹赶蛑懫鞯某跏嘉恢?y軸方向?yàn)槌跏嘉恢弥懫魉俣确较颉?/p>

圖 1 月球軟著陸極坐標(biāo)系

其動力學(xué)方程如下: r??v ????

v??(F/m)sin???/r?r

2?2 ????((F/m)cos??2v?)/r

m???F/ISP

在上式中r為著陸器與月心距離,v為著陸器徑向速度,?為著陸器極角,?為著陸器極角角速度,?為月球引力常數(shù),F著陸器制動發(fā)動機(jī)推力,m為著陸器質(zhì)量,?為制動發(fā)動機(jī)推力方向角,其定義為F與當(dāng)?shù)厮椒较驃A角,ISP為制動發(fā)動機(jī)比沖。根據(jù)動力下降段的起點(diǎn)位置可以確定動力學(xué)方程初始條件,由于起點(diǎn)處于霍曼轉(zhuǎn)移軌道的近地點(diǎn),故其初始條件為: r0?rp

?0?0

v0?0 ?0?1rp?rp(2ra)ra?rp其中rp和ra分別為霍曼轉(zhuǎn)移段的近地點(diǎn)半徑和遠(yuǎn)地點(diǎn)半徑。

終端條件為實(shí)現(xiàn)軟著陸, 即

rf?R

vf?0

?f?0

其中R為月球半徑,終端條件中對終端極角?f及終端時間tf無約束。

優(yōu)化變量為制動發(fā)動機(jī)推力方向角?(t)。

優(yōu)化的性能指標(biāo)為在滿足上述初始條件和終端條件的前提下, 使著陸過程中燃料消耗最少,即

J??m(t)dt

t0f設(shè)計(jì)主減速段制導(dǎo)控制律 2動力下降段燃料最優(yōu)精確著陸問題描述 2.1 燃料最優(yōu)精確著陸問題

著陸器運(yùn)動方程：考慮采用變推力發(fā)動機(jī)情況，有

r?v

.v?g?a

(1)

a?Tmm??aT..其中r?[rhrxry]T，v?[vhvxvy]T分別表示著陸器相對期望著陸點(diǎn)的位置和速度矢量；T為推力器提供的推力矢量，幅值為 T，對應(yīng)控制加速度矢量 a；g為火星的重力加速度矢量，此處認(rèn)為是常值；m為著陸器質(zhì)量，對應(yīng)推力器質(zhì)量排除系數(shù)?。指標(biāo)函數(shù)：考慮燃料消耗

min(m0?mf)???min?0fTdt

(2)邊界條件：即初始條件和終端條件

r(0)?r0,v(0)?v0,m(0)?m0,r(tf)?v(tf)?[000]

(3)控制約束：考慮發(fā)動機(jī)一旦啟動不能關(guān)閉，存在最大和最小推力約束

0?T1?T?T

2(4)狀態(tài)約束：為避免在著陸前撞擊到火星地表，需確保整個下降段位于火星地平面以上，即

rh?0

（5）進(jìn)一步地，若著陸區(qū)域附近表面崎嶇不平，僅僅確保地表約束不能滿足需求時，可以考慮下降傾角約束，即將著陸器下降軌線約束到以著陸點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓錐體內(nèi)

2.2 等效后燃料最優(yōu)精確著陸問題 定義等效變換變量

Ttrx2?ry2rh?tan?alt

（6）

u?a?T

?m

（7）

??Tmz?lnm??等效著陸器運(yùn)動方程： ?.??r??0I3.?.??

y??v??00??.??00?z????其中p?[u?T0??r??0?v???I0?????30??z????0?7*7?0??u?g??0????Acy?Bc(p?g4)

（8）????????],g4?[gTT?0]T

t指標(biāo)函數(shù)：

min?0f?(t)dt

（9）

邊界條件：同式(3)。

控制約束：由文獻(xiàn)[10]可知，控制約束(4)可等效表示為

u??1T1e?z0[1?(z?z0)?(z?z0)2]???T2e?z0[1?(z?z0)]

（10）（11）

2狀態(tài)約束：地表約束同式(5)，傾角約束(6)可等效表示為

T

Sy?cy?0

（12）

其中

?0100000?S???

0010000??c???tan?alt

T000000?

3.燃料最優(yōu)精確著陸問題的離散化及變換 3.1 等效燃料最優(yōu)精確著陸問題的離散化

首先將整個飛行時間均分成 n 段（對應(yīng) n +1 個點(diǎn)），每段步長為?t，離散化后的著陸器運(yùn)動方程為：yk?1?Ayk?B(pk?g4)

其中A?R7?7,B?R7?4分別為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣

12A?e?tAc?I3??tAc??tAc??

2?t?t112B??e??t?s?AcBcds??esAcds?Bc??tBc??tBc??t2Bc??

0026其中I3為三階單位陣。

有系統(tǒng)性質(zhì)可知，整個控制時域內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài)滿足 y3?Ay2?B?p2?g4??A3y0?A2B?p0?g4??AB?p1?g4??B?p2?g4??yn?Ayn?1?B?pn?1?g4??Any0?An?1B?p0?g4????AB?pn?2?g4??B?pn?1?g4?y1?Ay0?B?p0?g4?y2?Ay1?B?p1?g4??A2y0?AB?p0?g4??B?pn?2?g4??B?p1?g4?

為表達(dá)方便，令

?y0??p0???0??A0??y??p?????1??1??1??1??A? ,p??p2?，????2???A2? Y??y2?????????????????????n?????yn??7?n?1??1?pn??4?n?1??1??n????A?7?n?1??7??0??0????B?1??????AB???2???2??3??AB????????n?1?A??n????則(15)可等價于

0???0??0?????B?0?1???????2??AB?B?B000???????2? ?ABB00???3??A?AB?B??????????0????n?1???A???AB?B?A2BABB????n????7?n?1??4?n?1???000000Y??y0??p??g4

分別定義如下常值矩陣：

最終可得離散化后的燃料最優(yōu)化問題如下： 指標(biāo)函數(shù)：式(9)可表示為

邊界條件：式(3)可表示為

控制約束：式(10)和式(11)分別可表示為

狀態(tài)約束：式(5)和式(12)分別可表示為

含有 p個線性約束和 q個二階錐約束的最優(yōu)化問題的標(biāo)準(zhǔn)形式為 指標(biāo)函數(shù)

min(?Tx)滿足約束

DTx?f?0Ax?ci?b?dinTiTi

（k=1,?，n）

n*pp其中x?R為待優(yōu)化向量，??R，線性約束參數(shù)D?R,f?R，二階錐約束參數(shù)維數(shù)n(Ai,bi,ci,di)由相應(yīng)約束確定

則式(17)～式(23)可最終轉(zhuǎn)換為如下最優(yōu)化問題： 指標(biāo)函數(shù)：min(vpp)滿足：

初值約束:MxΨ0p?Mx(Ψ0y0)?A0g4?r0末值約束:MxΨ0p?Mx(Ψ0y0)?A0g4控制約束:Murkp?v?rkp 控制上限:?(vzΨk?TT?TTv0?T?0

?0

T1vr)p?1?vTz(Φky0?Akg4)?z0,z?0 ?z0?kT2e 控制下限：

4數(shù)值仿真結(jié)果與分析本節(jié)以某火星著陸器為例，計(jì)算了典型初始條件下滿足各種約束的燃料最優(yōu)精確著陸軌跡。其中探測器各參數(shù)分別取為：m0?2000kg,g?[?3.711400]ms2,c?2kms,T1?1.3kN,T2?13kN.。著陸器初始位置矢量r0= [1500,-600, 800] m，初始速度矢量v0= [-30, 10, 40]m/s，傾角?alt=86°。二階錐優(yōu)化問題可以通過大量免費(fèi)的優(yōu)化工具求解，如 CSDP、DSDP、OpenOpt、SeDuMi、SDPA、SDPLR等。本文選用 SDPT3 進(jìn)行計(jì)算，通過執(zhí)行線性搜索確定燃料最優(yōu)下降時間tf為 43s，圖 1 給出了相應(yīng)的最優(yōu)著陸軌跡、下降速度、加速度、控制推力、推力幅值以及探測器質(zhì)量變化曲線。

由優(yōu)化結(jié)果可以看出，探測器在給定時間飛行并軟著陸到指定位置，且在整個下降過程始終與火星地表保持一定的安全距離，驗(yàn)證了下降傾角約束的有效性。其推力幅值曲線呈現(xiàn)“最大-最小-最大”的最優(yōu)控制形式，不過為了保持發(fā)動機(jī)始終處于點(diǎn)火狀態(tài)，在中間段對應(yīng)最小推力約束，這與文獻(xiàn)中的分析結(jié)論一致。此外，通過利用如 TOMLAB 等商業(yè)最優(yōu)控制軟件進(jìn)行復(fù)核計(jì)算，也驗(yàn)證了此計(jì)算結(jié)果的燃料最優(yōu)性能。

*

圖 1 給定初始條件下火星著陸器動力下降段燃料最優(yōu)計(jì)算結(jié)果

需要注意到，此燃料最優(yōu)軌跡的獲取對著陸器的實(shí)時在線計(jì)算性能提出了較高的要求，經(jīng)測試，無論使用何種優(yōu)化工具，計(jì)算給定飛行任務(wù)時間的最優(yōu)軌跡均需數(shù)秒，而全局最優(yōu)則需要數(shù)十秒甚至更長，這在實(shí)際任務(wù)中是不允許的。因此，可行的方案是通過在地面計(jì)算大量的燃料最優(yōu)軌跡，并尋找規(guī)律，選取關(guān)鍵路徑點(diǎn)狀態(tài)存儲到著陸器計(jì)算機(jī)中，通過在線查表或者在利用對計(jì)算量要求較小的反饋制導(dǎo)律完成安全著陸任務(wù)。

因此，為了研究探測器燃料最優(yōu)軌跡特性，選取相同的探測器參數(shù)，暫不考慮推力器最小幅值約束和傾斜角約束（但考慮地表約束），固定初始高度為 1500m，初始位置水平方向從-8000m 到 8000m 內(nèi)取值，分別選取各種不同的初始速度，可得燃料最優(yōu)精確著陸軌跡簇如圖 2 所示。

圖 2 各種不同初始速度對應(yīng)的火星著陸器動力下降段燃料最優(yōu)軌跡簇

1)對任意探測器初始位置，特定初始速度對應(yīng)的燃料最優(yōu)著陸軌跡在末端必然收斂到一個固定的近似圓錐體內(nèi)。

2)取決于探測器初始位置和速度的關(guān)系，燃料最優(yōu)軌跡有兩種形式：S 型和 C 型，其中 S 型主要對應(yīng)于期望著陸點(diǎn)位置水平距離較大情況。3)當(dāng)探測器初始水平速度為零時，圓錐體軸線垂直于火星地表，所有最優(yōu)軌線關(guān)于該軸線中心對稱。4)初始速度的大小也直接影響到任務(wù)的可靠性，因此需要在超聲速進(jìn)入段和降落傘減速段將著陸器速度下降到合理范圍內(nèi)。

上述結(jié)論對上注探測器關(guān)鍵點(diǎn)的選取有著較強(qiáng)的指導(dǎo)意義，比如基于最優(yōu)軌線的斜率對路徑點(diǎn)合并、基于最優(yōu)軌線簇的對稱性對上注軌線進(jìn)行等效延伸、或者嘗試僅將 S 型和 C 型的轉(zhuǎn)折點(diǎn)作為路徑點(diǎn)等，這樣可以大大降低探測器自主存儲與計(jì)算需求，進(jìn)而有效提升任務(wù)的可靠性。重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程

對于最終著陸點(diǎn)，假設(shè)探測器的下降軌跡在一平面內(nèi)，且月球引力場為垂直于月面XY的均勻引力場，引力加速度g沿-Z，如圖1所示，制動推力方向沿探測器的本體軸z。重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程中探測器質(zhì)心動力學(xué)方程可表示為

上式中各變量的物理意義如圖1中所示，其中m>0為探測器質(zhì)量；k>0為制動發(fā)動機(jī)比沖；u表示制動發(fā)動機(jī)的秒耗量

可通過一定的機(jī)構(gòu)加以調(diào)節(jié)，故作為軟著陸問題的控制變量。假定制動發(fā)動機(jī)的最大推力與初始質(zhì)量比大于月面引力加速度，并且制動推進(jìn)系統(tǒng)能夠在一定的初始條件下將探測器停止月面上。

重力轉(zhuǎn)彎過程中，探測器的高度、速度和姿態(tài)角度可由雷達(dá)高度表、多普勒雷達(dá)及慣性儀表測得。令軟著陸初始條件探測器到達(dá)月面時速度減小到給定的值，故終端條件自由。軟著陸燃耗最優(yōu)問題的描述 對于最終著陸段，可假設(shè)

為一小角度。由此可將系統(tǒng)方程（1）化簡為

要設(shè)計(jì)制導(dǎo)律實(shí)現(xiàn)軟著陸，就是使

著陸時間

對于月球軟著陸的燃耗最優(yōu)控制問題，其性能指標(biāo)可表示為

對于系統(tǒng)（2）的軟著陸過程，燃耗最優(yōu)問題等價于著陸時間最優(yōu)問題，性能指標(biāo)為

在月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程中，如果存在一個推力控制程序?qū)⑻綔y器從初始條件轉(zhuǎn)移到終端條件，并使性能指標(biāo)（3）或（4）式最大，則稱這個推力程序?yàn)檐浿懭己淖顑?yōu)或時間最優(yōu)制導(dǎo)律。根據(jù)pontryagin極大值原理，系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)及其對u的偏導(dǎo)數(shù)為

使哈密頓函數(shù)（5）式達(dá)到極大地控制輸入u就是最優(yōu)控制，科表示為。

如果存在一個有限區(qū)間

則最優(yōu)控制u（t）取值不能由哈密頓函數(shù)確定。此時如果最優(yōu)解存在，則稱為奇異解，（8）式稱為奇異條件。

最優(yōu)制導(dǎo)問題的性質(zhì)：1）對于自治系統(tǒng)（2）的時間最優(yōu)控制問題，沿最優(yōu)軌跡其哈密頓函數(shù)滿足

將其對時間求導(dǎo)并將（2c）和（6c）式代入，得

另外，由于自由，根據(jù)橫截條件有3）根據(jù)（6a）式。又由（9）式可得T（t）=0，4）根據(jù)極大值原理，系統(tǒng)的狀態(tài)變量和共軛變量都是時間的連續(xù)可微函數(shù)，將切換函數(shù)對時間求導(dǎo)，利用（2），（6）式和性質(zhì)2）得 軟著陸最優(yōu)控制中奇異條件的分析

對于月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸問題，最優(yōu)制導(dǎo)律具有兩個很好的性質(zhì)。

定理一。月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸系統(tǒng)（2）的燃耗最優(yōu)制導(dǎo)或時間最優(yōu)制導(dǎo)問題不存在奇異條件。證明。用反證法，假設(shè)存在奇異條件，則在某個閉區(qū)間設(shè)，并由（5）式得

。根據(jù)反正假將（10）式兩邊對時間求導(dǎo)，并將（2）和（6）式代入化簡得性質(zhì)2），并考慮到或者情形1.得

下面證明這兩種情形均與反證假設(shè)矛盾。根據(jù)式

及性質(zhì)2）可知，由性質(zhì)3）必有

根據(jù)

是時間t的斜率非零的線性函數(shù)，m和情形2.1）若定，根據(jù)橫截條件有在區(qū)間內(nèi)為常數(shù)。這與反證假設(shè)矛盾。

。下面再分三種情況進(jìn)行分析。

又因?yàn)?/p>

不與此時由（6b）式有反證假設(shè)矛盾。2）若盾。3），與反證假設(shè)矛又

因

為

因此有成立，這與

此時（10）式在上根據(jù)定理一，重力轉(zhuǎn)彎軟著陸的最優(yōu)制導(dǎo)律是一種開關(guān)（Bang-Bang）控制，只須控制發(fā)動機(jī)開關(guān)，不需要調(diào)節(jié)推力的大小。

定理2.對于月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程，其開關(guān)控制器的最優(yōu)推力程序（7）最多進(jìn)行一次切換。

證明。只要證明最多只在一個時間點(diǎn)成立即可。軟著陸系統(tǒng)（2）在最優(yōu)推力控制程序（7）的作用下，按最后軌跡降落。由性質(zhì)3）知，為常數(shù)。根據(jù)性質(zhì)4），若嚴(yán)格單調(diào)，因而在上至多有一個零點(diǎn)，即至多進(jìn)行一次切換；若，則上為常數(shù)。由定理1，5 軟著陸最優(yōu)開關(guān)制導(dǎo)律

不可能在任何區(qū)間上成立，故必有既沒有切換點(diǎn)。

對于最優(yōu)推力控制程序（7），其切換函數(shù)中含有共軛變量，它是一個關(guān)于狀態(tài)變量的穩(wěn)式表達(dá)式。為實(shí)現(xiàn)實(shí)時制導(dǎo)，需求出關(guān)于狀態(tài)變量的切換函數(shù)來。

根據(jù)定理一和定理二，重力轉(zhuǎn)彎軟著陸最優(yōu)控制程序沒有奇異值狀態(tài)，并且在著陸過程中最多切換一次，其工作方式有4種：1）全開；2）全關(guān)；3）先開有關(guān)；4）先關(guān)后開。對于方式1）軟著陸起始點(diǎn)即是開機(jī)點(diǎn)；方式2），3）不能實(shí)現(xiàn)軟著陸；最后一種是通常情況下的最優(yōu)著陸方式，即探測器先做無制動下降，然后打開發(fā)動機(jī)軟著陸到月面。設(shè)開機(jī)時刻為到發(fā)動機(jī)工作時間為

式，在區(qū)間

內(nèi)積分，并考慮

將（11）式中的對數(shù)按泰勒展開，忽略

并令

消掉T得到切換函數(shù)為

由切換函數(shù)（12）式可以看出，速度、位置的誤差和制動發(fā)動機(jī)推動的將直接影響著陸的效果。一種方法是將終端高度從到達(dá)月面時實(shí)現(xiàn)軟著陸設(shè)置為離月面還有幾米時實(shí)現(xiàn)軟著陸。另一種方法是考慮制動過程由一個主發(fā)動機(jī)和一組小推力發(fā)動機(jī)共同完成，通過調(diào)整開啟的小發(fā)動機(jī)的數(shù)量，來實(shí)現(xiàn)變推力降落。具體地，令切換函數(shù)為

式中各符號的含義如圖2所示

關(guān)機(jī)點(diǎn)可取為2m,可取為20m，可取為1m/s。為實(shí)現(xiàn)著陸的最優(yōu)性，減速度

取為

其中T如（12）式中所示，m0為探測器的初始質(zhì)量。

圖三為最優(yōu)著陸過程與其改進(jìn)方法按圖2降落的次優(yōu)著陸過程的對比圖。由此圖中可看出，改進(jìn)方法提高了著陸的安全性，當(dāng)探測器的初始質(zhì)量mo=350kg，發(fā)動機(jī)著陸過程多消耗燃料2.2kg。

時，改進(jìn)方法比最優(yōu)

（a）

（b）

問題三 協(xié)方差分析方法的基本原理 對于如下非線性函數(shù)關(guān)系

y?f?x1,x2??xn?（1）

可以使用一階泰勒級數(shù)展開對其進(jìn)行線性化，有

y??y?f??f?f?x1????xn???x1?xn?（2）?x1?xn其中，??x1??xn?為x1??xn的高階項(xiàng)。從而得到線性化方程

?y???f?xi（3）i?1?xin或表示為

?Y?P?X(4)

這里 P 是偏導(dǎo)數(shù)矩陣: Pi??f（5）?xi若自變量?x1???xn是隨機(jī)變量，則線性化方程的函數(shù)?y的協(xié)方差矩陣為：

E?Y??YT?EP?X?XTPT?PE?X?XTPT(6)即 ??????Cy?PCXPT(7)式中Cx是自變量的協(xié)方差矩陣；Cy是函數(shù)?Y的協(xié)方差矩陣。

協(xié)方差矩陣中對角線元素是方差，非對角線元素為協(xié)方差。顯然，只要求出傳遞矩陣 P ,便可確定源誤差與欲求量誤差之間的關(guān)系。若給定各種源誤差，如發(fā)動機(jī)安裝誤差、敏感器測量誤差或發(fā)動機(jī)推力和點(diǎn)火時間等誤差時，便可以分析其對目標(biāo)軌道誤差的影響以及對控制系統(tǒng)精度的影響，進(jìn)一步對各系統(tǒng)及元部件提出適當(dāng)?shù)木纫蟆Ｓ?jì)算向月飛行軌道誤差的協(xié)方差迭代方程

考慮到軌道參數(shù)的誤差之相對于軌道參數(shù)的標(biāo)稱值是小量，因此可以將軌道運(yùn)動方程進(jìn)行線性化，從而得到能夠反映軌道參數(shù)偏差量的傳播關(guān)系的誤差方程。在應(yīng)用雙二體模型且在地球影響球范圍內(nèi)時，對軌道運(yùn)動產(chǎn)生攝動影響的各項(xiàng)，如月球引力攝動、太陽引力攝動、大氣阻力攝動和太陽光壓攝動等對誤差方程的影響很小，因此在誤差方程中將它們忽略掉。反映軌道位置和速度誤差的線性化方程如下：

?????v??r???g??（8）??v????r??rT?u???r，其中u?為地球引力常數(shù)。式中 g?r????3rr?rx2?ry2?rz2（9）

寫成狀態(tài)方程形式：

?????0I???r??r???????????(10)??v??G0???v??????????g式中 G??T

?r??0I???r?令F?????G0??,X????v?（11）

????則式（9）變?yōu)?/p>

??F?X(12)X下面推導(dǎo)矩陣 F 的表達(dá)式：

??g??u??G??T??T??3r??r?r?r?????u???u???r?r?T?3????3??T?r?r??r??r????u????u????u????u???r???3???3???3????3I3??rr?rr?r?y??z?r?????x???r（13）

式中 r x，r y 和 r z 是探測器在地心慣性坐標(biāo)系里的軌道位置坐標(biāo)。則G??u?3??T(I?rr)(14)332rr?rx2rxry?rx????T??2rr??ry??rxryrz???ryrxry??r??rzrxrzry?z??rxrz??ryrz?（15）2?rz??

將式（15）、（14）代入（10），得： ?0?0??02?-u?rx(1?32)F??r3r??3u?rxry?r5v??3u?rxrz?r5?

積分式（11），得到： 0003u?rxryr520003u?rxrzr53u?rzryr5210000ry-u?(1?3)32rr3u?rzryr5-u?rz(1?3)0r3r200?10??01??00?（16）

??00??00???

X??t??eF?tX?0?

（17）式中

(F?t)2(F?t)3(F?t)4(F?t)ne?I?F?t??????2!3!4!n!

（18）iN?t??Fi.()i!i?0F?t取前 6 階截斷，即：

eF?t??ti???F??i!??

（19）i?0??6i

得到計(jì)算誤差方程的迭代方程：

X?ti??t??eF?tX?ti?

（20）

eF?t相當(dāng)于式（4）中的 P 陣，由于誤差方程是時變方程，因此每一步迭代都需要重新計(jì)算 P 陣，計(jì)算 P 陣需要利用標(biāo)稱軌道參數(shù)數(shù)據(jù)。

進(jìn)一步根據(jù)式（7），得到協(xié)方差矩陣的迭代方程：

T

Ci?1?PCPiii

（21）向月飛行軌道誤差的協(xié)方差分析

引起軌道誤差的誤差源主要是導(dǎo)航誤差，包括位 置 誤 差 和 速 度 誤 差。其 中 ： 位 置 誤 差 ：?r??rx,?ry,?rz,?rx,?ry,?rz分別為在地心慣性坐標(biāo)系中 X 軸、Y 軸、Z 軸的分量。速度誤差：?v??vx,?vy,?vz,?vx,?vy,?vz分別是在地心慣性坐標(biāo)系 X 軸、Y 軸、Z 軸的分量。向月飛行軌道的初始軌道位置和速度誤差由運(yùn)載火箭的發(fā)射入軌精度決定，若探測器在飛行途中進(jìn)行軌道修正，則經(jīng)過軌道修正以后的軌道位置誤差將由導(dǎo)航誤差決定，速度誤差將由姿態(tài)誤差和制導(dǎo)誤差決定。

上述誤差決定了軌道誤差協(xié)方差分析的計(jì)算初始條件，表 1 給出了在不進(jìn)行中途軌道修正情況????下，在地心慣性坐標(biāo)系里，初始軌道位置誤差和初始速度誤差對軌道終點(diǎn)的位置和速度誤差的影響。圖 1 和圖 2 給出了在算例三中探測器從近地軌道入軌點(diǎn)開始至進(jìn)入月球軌道為止軌道位置的相應(yīng)的軌道位置和速度總誤差（3σ）的時間歷程。

表 1 初始軌道位置和速度誤差

對軌道終點(diǎn)誤差的影響

圖 1 軌道位置總誤差時間歷程（3σ）

圖 2 速度總誤差時間歷程（3σ）基于敏感系數(shù)矩陣的制導(dǎo)誤差分析

在月球軟著陸主制動段，影響制導(dǎo)精度的誤差源主要有偏離標(biāo)準(zhǔn)飛行軌跡的初始條件誤差和導(dǎo)航與控制傳感器誤差。初始條件誤差由主制動段以前的任務(wù)決定，傳感器誤差則由導(dǎo)航系統(tǒng)和傳感器本身決定。此外，影響制導(dǎo)精度的因素還包括月球自轉(zhuǎn)、月球不規(guī)則攝動等誤差，對它們的研究可單獨(dú)進(jìn)行，這里暫不做介紹。2.1 誤差模型建立

2.1.1 初始狀態(tài)誤差模型

記著陸器的實(shí)際初始狀態(tài)為Xi，標(biāo)準(zhǔn)初始狀態(tài)為Xn,則定義初始狀態(tài)偏差xi為

xi?Xi?Xn

(7)對于主制動段這一特定的飛行過程，這些偏差都是確定的；而針對整個月球探測任務(wù)，這些偏差就變得具有隨機(jī)性。在本文中，假定xi 的所有元素均服從零均值高斯分布，相互不獨(dú)立，其相關(guān)性取決于前一階段任務(wù)的特性。2.1.2 傳感器誤差模型

由于只研究誤差對制導(dǎo)律的影響，所以這里假設(shè)需要測量的量均可由導(dǎo)航系統(tǒng)直接測得，誤差大小

???????均考慮為典型誤差值。由上一目設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律可以看出，需要由導(dǎo)航與控制傳感器測量的量主要為著陸器相對于著陸場坐標(biāo)系的位置、速度和加速度。定義待測量量Q為

?Q??X其估計(jì)值記為Q，則傳感器誤差定義為 ???YZUVWA?

T

q?Q?Q

(8)那么，單個測量量的估計(jì)誤差模型可用誤差向量 q的第j(j =1，2?7)個元素qj 來表示。由參考文獻(xiàn)[5]可知，第 j個觀測量的總估計(jì)誤差qj 由以下四部分組成

~?~???-?~qjbsqjn?st???????qt?q?Qt?qt?Qj?t?

(9)jjbcjnc

j100100~~~~~針對主制動這一特定操作階段，上述四部分誤差具有如下特性：

qjbc—第 j 個觀測量的測量誤差，恒為常值，其分布服從零均值高斯分布； qjbs—第 j 個觀測量的刻度因素誤差系數(shù)，恒為常值，其分布服從零均值高斯分布； qjnc—第 j 個觀測量的隨機(jī)誤差，其為一高斯白噪聲；

qjns

—第 j 個觀測量的刻度因素隨機(jī)誤差系數(shù)，其為一高斯白噪聲。

2.2 制導(dǎo)誤差分析

由于采用閉環(huán)制導(dǎo)，制導(dǎo)控制系統(tǒng)對隨機(jī)誤差具有一定魯棒性，所以本文將著重對初始偏差和類似于qjbc和qjbs這樣的傳感器常值誤差進(jìn)行仿真研究，分析它們對制導(dǎo)精度的影響。2.2.1 誤差分析系統(tǒng)建立

誤差分析系統(tǒng)框圖如圖 1 所示，下面將對其結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。~~~~~~

圖 1 誤差分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖中所示初始狀態(tài)偏差實(shí)際上是加在相應(yīng)積分器中。

由前面的分析可知，觀測量的實(shí)際輸出值受到初始狀態(tài)偏差、傳感器測量誤差以及傳感器刻度因素誤差的影響，故誤差分析系統(tǒng)模擬程序的實(shí)際輸入應(yīng)包含以下幾部分(以 X通道為例)：

X?X?xi?xbc???~xbsX

(10)100~~

其中，X為觀測量的實(shí)際輸出值，X 為標(biāo)準(zhǔn)值，xi 為初始狀態(tài)偏差(只在初始時刻存在)，xbc 為傳感器測量偏差，xbs為傳感器刻度因素誤差系數(shù)。由圖 1 可以看出，為了更準(zhǔn)確地表示傳感器誤差模型，這里考慮了傳感器的動態(tài)性能，其傳遞函數(shù)設(shè)為一階慣性環(huán)節(jié)1?1?Ts?，其中，T 為傳感器時間常數(shù)，因傳感器的不同而取不同值。

由誤差分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖可以看出，其輸入量主要包括：標(biāo)準(zhǔn)初始狀態(tài)向量、初始狀態(tài)偏差、傳感器測量誤差、傳感器刻度因素誤差系數(shù)、傳感器時間常數(shù)、期望終端狀態(tài)；輸出量為加入誤差前后的仿真終端狀態(tài)向量。2.2.2 誤差敏感系數(shù)矩陣求取

在有形如(7)式誤差輸入的情況下，首先根據(jù)圖 1 生成一個模擬整個閉環(huán)制導(dǎo)控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真程序，然后運(yùn)行該程序，對比程序輸出即可得到誤差敏感系數(shù)矩陣。具體運(yùn)行過程如下：

第一步：將傳感器誤差設(shè)置為零，初始狀態(tài)設(shè)置為標(biāo)準(zhǔn)值，運(yùn)行模擬程序。這一步稱為標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)行。第二步： 將其中一個傳感器誤差設(shè)置為非零輸入或者設(shè)置一個非標(biāo)準(zhǔn)初始狀態(tài)，然后進(jìn)行一系列運(yùn)行。

第三步： 將第二步運(yùn)行的系統(tǒng)輸出和標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)行的系統(tǒng)輸出進(jìn)行比較即可確定各誤差源的影響。如X 通道標(biāo)準(zhǔn)初始偏差為xi，輸入該誤差前后，X 通道終端狀態(tài)分別為X0 和X1，則 X 通道對標(biāo)準(zhǔn)初始偏差xi的敏感性可用(X1?X0)/xi來反映。

通過這種方法，可得到一組反映月球軟著陸主制動段終端總誤差向量pf和兩個傳感器誤差向量~??~~qbc、qbs以及初始狀態(tài)偏差向量pi之間關(guān)系的誤差敏感系數(shù)矩陣。由參考文獻(xiàn)[6]可知，其相互關(guān)系可表示為

??~~pf?S1pi?S2qbc?S3qbs（11）

其中，S1、S2和S3分別表示相對于pi、qbc和qbs的誤差敏感系數(shù)矩陣。

終端誤差向量能用這種形式表示的假設(shè)條件是動力學(xué)的線性化必須在標(biāo)準(zhǔn)軌跡區(qū)域內(nèi)。驗(yàn)證該假設(shè)條件的方法有兩種： 擴(kuò)大輸入誤差仿真法和復(fù)合仿真法，這里略去其驗(yàn)證過程。2.2.3 誤差分析

假設(shè)導(dǎo)航系統(tǒng)采用常規(guī)慣性測量單元，表 1 列出了其典型誤差值，其中，位置誤差能保持在10數(shù)量級，速度在10數(shù)量級，加速度為 10g 數(shù)量級。1-52?~~

運(yùn)用上述方法得到的敏感系數(shù)矩陣給出如下：

?5.502?10-3?-4-3.850?10??1.692?10-3S1??-3?8.362?10?-5.860?10-4?-3?-2.575?10?-2.080?10-4-1.050?10-31.418?10-11.401?10-57.301?10-5-1.001?10-26.411?10-53.240?10-4-4.407?10-2-2.570?10-4-1.862?10-3-5.580?10-11.410?10-57.902?10-51.312?10-55.710?10-4-1.157?10-38.100?10-53.936?10-21.732?10-2-2.743?1017.746?10-1-4.024?10-2-8.939?10-2??3.210?10-34.030?10-3?1.239?10-21.833?10-2?-2-1?8.742?101.414?10?-1.196?10-2-9.901?10-3??-2-2-2.690?10-4.577?10??-6.812?10-1-8.695?10-2-5.203?1002.110?10-14.235?10-16.170?10-3-3.281?1008.202?10-2-5.760?10-35.633?10-1-3.489?102??2.443?101?4.401?102??-9.833?102?6.864?101??23.020?10???-9.859?10-1-1.154?10-3?-40?-3.130?10-1.000?10?-1.379?10-33.560?10-4S2??-2-3?-5.402?101.540?10?1.045?10-31.864?10-3?-34.770?10-4??4.598?109.999?10-13.408?100-7.210?10-43.504?1005.000?10-55.643?10-3-1.527?10-19.368?10-1-6.721?10-1-1.306?10-1?-5.6314?100?-28.479?10??3.730?10-1S3??0?-8.924?10?4.619?10-1?0??2.033?10-5.494?10-1-3.533?10-1-2.810?1001.600?10-31.692?10-16.755?10-18.996?10-1-2095?10-12.473?10-21.664?10-1-1.027?1007.165?10-23.344?100-1.112?1008.613?10-17.852?1003.246?100-1.618?1003.540?10-14.982?10-17.670?10-1-1.122?100-2.397?100-2.380?10-1-3.650?100-2.563?100??2.556?10-1-4.291?10-2?3.401?100-1.888?10-1??-5.103?100-3.230?10-1?3.566?10-12.256?10-1??0-1-7.005?109.930?10??A1、A3:?1??2.759?2,3?0.1297?j2.1329 A2:?1?1.552?2,3??0.6761?j1.8978

由于數(shù)值仿真的起始點(diǎn)選為(1，0，-1)，靠近平衡點(diǎn)(1.5，0，-1.05)，仿真實(shí)驗(yàn)中混沌系統(tǒng)的基頻w0=2.1329，基周期為為T0?2??0?2.9443S。由前面的數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)知要使 Chua’s混沌系統(tǒng)保持其類隨機(jī)性，仿真步長選在(0.0001，0.7)較為合適，用基周期來表達(dá)即為?129940T015T0? ,15T0?內(nèi)，綜觀三個連續(xù)混沌系統(tǒng)仿真步長的理論計(jì)算，我們可以統(tǒng)一選取?15000T0這樣即可以提高仿真運(yùn)算速度，又可以使混沌吸引子的形狀和類隨機(jī)性不發(fā)生變化，這個選擇范圍也與通常連續(xù)混沌系統(tǒng)數(shù)值仿真步長的經(jīng)驗(yàn)取值相吻合六、模型結(jié)果及分析

七、結(jié)果分析

八、模型評價與改進(jìn)方向

九、參考文獻(xiàn)

第四篇：全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽

1、數(shù)模競賽的起源與歷史

數(shù)模競賽是由美國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會在1985年發(fā)起的一項(xiàng)大學(xué)生競賽活動，目的在于激勵學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型和運(yùn)用計(jì)算機(jī)技術(shù)解決實(shí)際問題的綜合能力，鼓勵廣大學(xué)生踴躍參加課外科技活動，開拓知識面，培養(yǎng)創(chuàng)精神及合作意識，推動大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)體系、教學(xué)內(nèi)容和方法的改革。我國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽是由教育部高教司和中國工業(yè)與數(shù)學(xué)學(xué)會主辦、面向全國高等院校的、每年一屆的通訊競賽。其宗旨是：創(chuàng)新意 識、團(tuán)隊(duì)精神、重在參與、公平競爭。1992載在中國創(chuàng)辦，自從創(chuàng)辦以來，得到了教育部高教司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)協(xié)會的得力支持和關(guān)心，呈現(xiàn)出迅速的發(fā)展發(fā)展勢頭，就2003年來說，報名階段須然受到“非典”影響，但是全國30個?。ㄊ小⒆灾螀^(qū)）及香港的637所院校就有5406隊(duì)參賽，在職業(yè)技術(shù)學(xué)院增加更快，參賽高校由2002年的1067所上升到了2003年的1410所。可以說：數(shù)學(xué)建模已經(jīng)成為全國高校規(guī)模最大課外科技活動。

2、什么是數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modelling）是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是“對現(xiàn)實(shí)的現(xiàn)象通過心智活動構(gòu)造出能抓住其重要且有

用的特征的表示，常常是形象化的或符號的表示?！睆目茖W(xué)，工程，經(jīng)濟(jì)，管理等角度看數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象，簡化建立能近似刻畫并“解決”實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。顧名思義，modelling一詞在英文中有“塑造藝術(shù)”的意思，從而可以理解從不同的側(cè)面，角度去考察問題就會有不盡的數(shù)學(xué)模型，從而數(shù)學(xué)建模 的創(chuàng)造又帶有一定的藝術(shù)的特點(diǎn)。而數(shù)學(xué)建模最重要的特點(diǎn)是要接受實(shí)踐的檢驗(yàn)，多次修改模型漸趨完善的過程。

3、競賽的內(nèi)容：

競賽題目一般來源于工程技術(shù)和管理科學(xué)等方面經(jīng)過適當(dāng)簡化加工的實(shí)際問題，不要求參賽者預(yù)先掌握深入的專門知識，只需要學(xué)過普通高校的數(shù)學(xué)課程。題目有較大的靈活性供參賽者發(fā)揮其創(chuàng)造能力。參賽者應(yīng)根據(jù)題目要求，完成一篇包括模型假設(shè)、建立和求解、計(jì)算方法的設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)、結(jié)果的分析和檢驗(yàn)、模型的改進(jìn)等方面的論文（即答卷）。競賽評獎以假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標(biāo)準(zhǔn)。

4、競賽的步驟

建模是一種十分復(fù)雜的創(chuàng)造性勞動，現(xiàn)實(shí)世界中的事物形形色色，五花八門，不可能用一些條條框 框規(guī)定出各種模型如何具體建立，這里只是大致歸納一下建模的一般步驟和原則：

1）模型準(zhǔn)備：首先要了解問題的實(shí)際背景，明確題目的要求，收集各種必要的信息．

2）模型假設(shè)：為了利用數(shù)學(xué)方法，通常要對問題做必要的、合理的假設(shè)，使問題的主要特征凸現(xiàn)出來，忽略問題的次要方面。

3）模型構(gòu)成：根據(jù)所做的假設(shè)以及事物之間的聯(lián)系，構(gòu)造各種量之間的關(guān)系,把它問題化

4）模型求解：利用已知的數(shù)學(xué)方法來求解上一步所得到的數(shù)學(xué)問題，此時往往還要作出進(jìn)一步的簡化或假設(shè)。注意要盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具。

5）模型分析：對所得到的解答進(jìn)行分析，特別要注意當(dāng)數(shù)據(jù)變化時所得結(jié)果是否穩(wěn)定。

6）模型檢驗(yàn)：分析所得結(jié)果的實(shí)際意義，與實(shí)際情況進(jìn)行比較，看是否符合實(shí)際，如果不夠理想，應(yīng)該修改、補(bǔ)充假設(shè)，或重新建模，不斷完善。

7）模型應(yīng)用：所建立的模型必須在實(shí)際應(yīng)用中才能產(chǎn)生效益，在應(yīng)用中不斷改進(jìn)和完善。

5、模型的分類

按模型的應(yīng)用領(lǐng)域分類： 生物數(shù)學(xué)模型、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型、地質(zhì)數(shù)學(xué)模型、數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型、數(shù)學(xué)社會學(xué)模型

按是否考慮隨機(jī)因素分類 ：確定性模型、隨機(jī)性模型按是否考慮模型的變化分類 ：靜態(tài)模型、動態(tài)模型按應(yīng)用離散方法或連續(xù)方法 ：離散模型、連續(xù)模型

按建立模型的數(shù)學(xué)方法分類 ：幾何模型、微分方程模型、圖

論模型、規(guī)劃論模型、馬氏鏈模型 按人們對事物發(fā)展過程的了解程度分類 ：

白箱模型： 指那些內(nèi)部規(guī)律比較清楚的模型。如力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)以及相關(guān)的工程技術(shù)問題。

灰箱模型： 指那些內(nèi)部規(guī)律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做的問題。如氣象學(xué)、生態(tài)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的模型。

黑箱模型：

指一些其內(nèi)部規(guī)律還很少為人們所知的現(xiàn)象。如生命科學(xué)、社會科學(xué)等方面的問題。但由于因素眾多、關(guān)系復(fù)雜，也可簡化為灰箱模型來研究。

6、數(shù)學(xué)建模應(yīng)用

今天，在國民經(jīng)濟(jì)和社會活動的以下諸多方面，數(shù)學(xué)建模都有著非常具體的應(yīng)用。

1分析與設(shè)計(jì)： 例如描述藥物濃度在人體內(nèi)的變化規(guī)律以分析藥物的療效；建立跨音速空氣流和激波的數(shù)學(xué)模型，用數(shù)值模擬設(shè)計(jì)新的飛機(jī)翼型。預(yù)報與決策： 生產(chǎn)過程中產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的預(yù)報、氣象預(yù)報、人口預(yù)報、經(jīng)濟(jì)增長預(yù)報等等，都要有預(yù)報模型。使經(jīng)濟(jì)效益最大的價格策略、使費(fèi)用最少的設(shè)備維修方案，是決策模型的例子。3 控制與優(yōu)化： 電力、化工生產(chǎn)過程的最優(yōu)控制、零件設(shè)計(jì)中的參數(shù)優(yōu)化，要以數(shù)學(xué)模型為前提。建立大系統(tǒng)控制與優(yōu)化的數(shù)

學(xué)模型，是迫切需要和十分棘手的課題。規(guī)劃與管理 生產(chǎn)計(jì)劃、資源配置、運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃、水庫優(yōu)化調(diào)度，以及排隊(duì)策略、物資管理等，都可以用運(yùn)籌學(xué)模型解決 報名時間：從大賽的通知文稿發(fā)出后，就可以報名了，報名截止時間一般在開始比賽的前7到10天。

競賽時間：每年的9月的第三個星期五上午8時至下一個星期一上午8時。

報名方式：如果有分賽區(qū)（每個賽區(qū)應(yīng)至少有6所院校的20個隊(duì)參加），就聯(lián)系分賽區(qū)報名，沒有分賽區(qū)，則直接向主委會報名。

大學(xué)生以隊(duì)為單位參賽，每隊(duì)3人（須屬于同一所學(xué)校），專業(yè)不限。競賽分本科、?？苾山M進(jìn)行，本科生參加本科組競賽，?？粕鷧⒓訉？平M競賽（也可參加本科組競賽），研究生不得參加。每隊(duì)可設(shè)一名指導(dǎo)教師（或教師組）。

第五篇：2003年全國大學(xué)生電子設(shè)計(jì)競賽江蘇賽區(qū)獲獎名單

附件

二、2003

年全國大學(xué)生電子設(shè)計(jì)競賽 江蘇賽區(qū)獲獎名單

全國獎部分

一等獎

陳鵬 周哲衡 張立 曹宇嘉 康凱 張徵 朱洪潔 許康平李曉軍

學(xué)生姓名 奚悅 趙振東 謝寧德 光亮 陳亮 王洪強(qiáng) 白惠 王存超 王兵

林葉 華道君 陸靜學(xué) 商秋 劉蘇 閭新春 李慧云 劉偉明 舒云

題型 A B C D D E E E F 獲獎學(xué)校

東南大學(xué) 南京郵電學(xué)院 東南大學(xué)

南京航空航天大學(xué) 東南大學(xué) 中國礦業(yè)大學(xué) 蘇州科技學(xué)院 東南大學(xué) 南通職業(yè)大學(xué)

二等獎

題型 A C C C C D D D D E F

獲獎學(xué)校

南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 蘇州大學(xué) 東南大學(xué) 中國礦業(yè)大學(xué) 中國礦業(yè)大學(xué) 東南大學(xué)

南京航空航天大學(xué) 南京郵電學(xué)院 淮陰師范學(xué)院 河海大學(xué)（常）南京理工大學(xué)

弋蔚輝 帥晶晶 付鵬 常愛東 楊望宇 張有發(fā) 王金菊 姜正華 蔣挺 劉耀金 魯勇

學(xué)生姓名 吳榮亮 張順康 胡震宇 蔡飛 孫奎生 王怡 侯銳 王世鋒 李強(qiáng) 林晨 趙剛鋒

袁賓 潘玲佼 蔡苗紅 楊楊 劉奇衛(wèi) 錢德俊 張雷 張珊珊 單龍 王長永孫偉平

賽區(qū)獎部分

一等獎

題號 獲獎學(xué)校 隊(duì)號 學(xué)生姓名 A 東南大學(xué) NJ113 陳鵬奚悅林葉 A 南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 NJ174 弋蔚輝吳榮亮袁竇 B 南京郵電學(xué)院 NJ150 周哲衡趙振東華道君 C 南京東南大學(xué) NJ115 張立謝寧德陸靜學(xué) C 中國礦業(yè)大學(xué) XZ030 楊望宇孫奎生劉奇衛(wèi) C 中國礦業(yè)大學(xué) XZ031 常愛東蔡飛楊楊 C 蘇州大學(xué) SZ104 帥晶晶張順康潘玲佼 C 南京東南大學(xué) NJ129 付鵬胡震宇蔡苗紅 D 南京航空航天大學(xué) NJ165 曹宇嘉光亮商秋 D 南京東南大學(xué) NJ120 張有發(fā)王怡錢德俊 D 南京東南大學(xué) NJ118 康凱陳亮劉蘇 D 南京郵電學(xué)院 NJ152 姜正華王世鋒張珊珊 D 南京航空航天大學(xué) NJ164 王金菊侯銳張雷 D 淮陰師范學(xué)院 HY014 蔣挺李強(qiáng)單龍 E 南京東南大學(xué) NJ128 許康平王存超劉偉明 E 河海大學(xué)（常）CZ071 劉耀金林晨王長永 E 中國礦業(yè)大學(xué) XZ035 張徽王洪強(qiáng)閭新春 E 蘇州科技學(xué)院 SZ109 朱洪潔白惠李慧云 E 蘇州大學(xué) SZ102 張鷹馬秋馥姚國平F 南通職業(yè)大學(xué) NT001 李曉軍王兵舒云 F 江南大學(xué) WX090 閻成袁默毛立 F 南京理工大學(xué) NJ133 魯勇趙剛鋒孫偉平F 南京郵電學(xué)院 NJ149 張曉宇林榮豐花昀 F 中國礦業(yè)大學(xué) XZ038 謝軍汪中奇馮峰

二等獎

題號 獲獎學(xué)校 隊(duì)號 學(xué)生姓名 A 揚(yáng)州大學(xué)信息工程學(xué)院 YZ052 薛榮喜耿志利嚴(yán)卉卉 A 南京理工大學(xué) NJ132 董李江夏國平高振中 A 三江學(xué)院專科 NJ181 邵卓何學(xué)斌張?jiān)圃?B 南京郵電學(xué)院 NJ153 張春風(fēng)林海唐偉 B 江南大學(xué) WX087 張莘謝開勇楊新 B 中國礦業(yè)大學(xué) XZ036 劉文濤張洪孫根 B 南京工程學(xué)院 NJ179 毛海明仲春林唐建毛 C 南京郵電學(xué)院 NJ148 厲光富史建華曾輝 C 中國礦業(yè)大學(xué) XZ040 王美軍何玉偉陳麗平C 南京理工大學(xué) NJ131 金勝財莊建偉萬國建 C 南京理工大學(xué) NJ130 王穎楊明輝夏鴻寶 C 南京東南大學(xué) NJ114 朱國基吳名李興量 C 無錫商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 WX094 卞麗明汪慰劉磊 C 南通工學(xué)院 NT004 嵇剛劉曉艷崔翔 C 徐州師范大學(xué) XZ043 吳慶州張興利王志強(qiáng) C 鹽城工學(xué)院 YC007 季俊王利生殷明 C 揚(yáng)州大學(xué)信息工程學(xué)院 YZ051 袁柏林朱正興田樹春 C 南京師范大學(xué) NJ192 唐琴蔡瑛張正浪 D 南京東南大學(xué) NJ122 陽旭東錢昆李軍 D 蘇州大學(xué) SZ103 姚慶明張潔穎陳庭玉 D 蘇州大學(xué) SZ106 張水洪黃烈?guī)r朱林波 D 江南大學(xué) WX091 熊勇儲開平宋旦昱 D 中國礦業(yè)大學(xué) XZ039 周強(qiáng)楊茂華王超楠 D 無錫商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 WX093 周建明王國峰王銀山 D 南京師范大學(xué) NJ199 王雷校松華屈剛 D 南京工程學(xué)院 NJ177 張躍李國勝李海軍

E 中國礦業(yè)大學(xué) XZ033 徐昌盛王珠玲生亮田 E 蘇州大學(xué) SZ098 仲偉業(yè)施穎冒岳 E 南京東南大學(xué) NJ126 王巍群殷明陸銀城 E 南京郵電學(xué)院 NJ147 張浩陳峰向前 E 南京師范大學(xué) NJ195 孫志華顧志清金永進(jìn) E 河海大學(xué)（常）CZ069 劉艷潘菊平林晨 E 江南大學(xué) WX089 譚建明肖永松王一銘 E 徐州師范大學(xué) XZ045 金平吳海洋何丹 E 南京理工大學(xué) NJ142 金駿張臻博莫莽 E 南京河海大學(xué) NJ185 徐鋒孔令晨楊巨前 E 南京航空航天大學(xué) NJ163 黃洋梁榮新尹志軍 E 南京理工大學(xué) NJ134 鄭超吳杉于沛 F 常州工學(xué)院 CZ066 顧華峰周紅衛(wèi)于冬梅 F 蘇州大學(xué) SZ105 金國根夏鳳仙陳俊 F 江南大學(xué) WX092 徐洪洲楊建兵田昊 F 蘇州大學(xué) SZ099 張曉俊朱煒泉陳曦 F 南京師范大學(xué) NJ198 楊棟張春孫秀麗 F 南京東南大學(xué) NJ125 朱鵬黃慧羅娟 F 南京郵電學(xué)院 NJ151 劉賢正周林張維 F 南京氣象學(xué)院 NJ167 楊興史湘軍周震 F 河海大學(xué) NJ182 徐羽付金火成龍

賽區(qū)優(yōu)秀組織學(xué)校

東南大學(xué)南京郵電學(xué)院

蘇州大學(xué)南京理工大學(xué)

中國礦業(yè)大學(xué)南京航空航天大學(xué)

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