第一篇：等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明方法

等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明方法

高考題中，有關(guān)證明、判斷數(shù)列是等差（等比）數(shù)列的題型比比皆是，如何處理這些題目呢？

證明或判斷等差（等比）數(shù)列的方法常有四種：定義法、等差或等比中項法、數(shù)學歸納法、反證法。

一、定義法

10.證明數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件的方法：

an?1?an?d(常數(shù))??an?是等差數(shù)列

a2n?2?a2n?d(常數(shù))??a2n?是等差數(shù)列

a3n?3?a3n?d(常數(shù))??a3n?是等差數(shù)列

20.證明數(shù)列是等差數(shù)列的充分條件的方法：

an?an?1?d(n?2)??an?是等差數(shù)列

an?1?an?an?an?1(n?2)??an?是等差數(shù)列

30.證明數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件的方法：

an?1?q(q?0且為常數(shù)，a1?0)??an?為等比數(shù)列 an

40.證明數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件的方法：

an?q（n>2，q為常數(shù)且≠0）??an?為等比數(shù)列 an?

1注意事項：用定義法時常采用的兩個式子an?an?1?d和an?1?an?d有差別，前者必須加上“n≥2”，否則n?1時a0無意義，等比中一樣有：n≥2時，有（常數(shù)?0）；②n?N?時，有an?1． ???q（常數(shù)?0）anan???qan?1

例1.設(shè)數(shù)列a1,a2,?,an,?中的每一項都不為0。

證明：?an?為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何n?N，都有

111n。?????a1a2a2a3anan?1a1an?1

證明：先證必要性

設(shè){an}為等差數(shù)列，公差為d，則

當d=0時，顯然命題成立 當d≠0時，∵

11?11?

???? anan?1d?anan?1?

∴

再證充分性：

∵

1n111

???① ??????

an?an?1a1?an?1a1?a2a2?a3a3?a

411n?1111

???② ???????

an?an?1an?1?an?2a1?an?2a1?a2a2?a3a3?a4

∴

②﹣①得：

1n?1n ??

an?1?an?2a1?an?2a1?an?1

兩邊

anan?1a1得：a1?(n?1)an?1?nan?2 ???③

同理：a1?nan?(n?1)an?1???④ ③—④得：2nan?1?n(an?an?2)

即：an?2?an?1?an?1?an?an?為等差數(shù)列

例2.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，試證{an}為等差數(shù)列的充要條件是

Sn?

n(a1?an),(n?N*)。

2證：?）若{an}為等差數(shù)列，則

a1?an?a2?an?1?a3?an?2?……，故

2Sn?(a1?an)?(a2?an?2)?.......?(an?a1)

Sn(a1?an)

n?

（?）當n≥2時，由題設(shè)，Sn?1)(a1?an?1)n(a1?an?1

?

(2,Sn)

n?2

所以a(a1?a2)(n?1)(a1?an?1)n?Sn?Sn?1?

n2?2

同理有a?1)(a1?an?1)n(a1?ann?1?

(n2?)

從而a(n?1)(a1?an?1)(n?1)(a1?an?1?an?

2?n(a?an?1)

1n)?2

整理得：an+1－an=an－an－1，對任意n≥2成立.從而{an}是等差數(shù)列.例3.已知數(shù)列?an?是等比數(shù)列（q??1），Sn是其前n項的和，Sk，S2k?Sk，S3k?S2k，?，仍成等比數(shù)列。

證明一：

（1）當q=1時，結(jié)論顯然成立；（2）當q≠1時，Sa1?1?qk??1?q2k?a1?1?q3k?k?

1?q,S2k?

a11?q,S3k?

1?q

S?q2k?a1?1?qk?a1qk?1?qk?2k?Sk?

a1?11?q

?

1?q

?

1?q 3kSa1?1?q?1?1?q2k?a1q2k?1?qk?3k?S2k?

1?q

?

a1?q

?

1?q

2kk2

??S2

1q2?1?q?Sa1?1?qk?a1q2k?1?qk?a22k1q?1?2k?Sk??

a(1?q)2

k?(S3k?S2k)?1?q?1?q

?qk?

(1?q)2

∴?S2

2k?Sk?

=Sk?(S3k?S2k)

∴Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等比數(shù)列.則

證明二：S2k－Sk=(a1?a2?a3??a2k)－(a1?a2?a3??ak)=ak?1?ak?2?ak?3??a2k=qk(a1?a2?a3??ak)=qkSk?0 同理，S3k－S2k=a2k?1?a2k?2?a2k?3??a3k= q2kSk?0 ∴Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等比數(shù)列。

二、中項法

(1).(充要條件)

若2an?1?an?an?2??an?是等差數(shù)列

(注：三個數(shù)a,b,c為等差數(shù)列的充要條件是:2b?a?c)(充分條件)2an

?an?1?an?1(n?2)?{an}是等差數(shù)列，（2）.(充要條件)

若 anan?2?an?12(an?0)?{an}是等比數(shù)列(充分條件)

2an?an?1?an?1（n≥1）

?{an}是等比數(shù)列，注:

b?(a?c?0)?是a、b、c等比數(shù)列的充分不必要條件

b??是a、b、c等比數(shù)列的必要不充分條件

.b?(a?c?0)?是a、b、c等比數(shù)列的充要條件.任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項，除非有ac＞0，則等比中項一定有兩個.三、通項公式與前n項和法

1.通項公式法

（1）.若數(shù)列通項an能表示成an?an?b（a，b為常數(shù)）的形式，則數(shù)列?an?是等差數(shù)列。(充要條件)

(2).若通項an能表示成an?cqn(c，q均為不為0的常數(shù)，n?N?)的形式，則數(shù)列?an?是等比數(shù)列．(充要條件)

2.前n項和法

(1).若數(shù)列?an?的前n項和Sn能表示成Sn?an2?bn(a，b為常數(shù))的形式，則數(shù)列?an?是等差數(shù)列；(充要條件)

(2).若Sn能表示成Sn?Aqn?A(A，q均為不等于0的常數(shù)且q≠1)的形式，則數(shù)列?an?是公比不為1的等比數(shù)列．(充要條件)

四、歸納—猜想---數(shù)學歸納證明法

先根據(jù)遞推關(guān)系求出前幾項，觀察數(shù)據(jù)特點，猜想、歸納出通項公式，再用數(shù)學歸納法給出證明。

這種方法關(guān)鍵在于猜想要正確，用數(shù)學歸納法證明的步驟要熟練，從“n?k時命題成立”到“n?k?1時命題成立”要會過渡．

五、反證法

解決數(shù)學問題的思維過程，一般總是從正面入手，即從已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列的推理和運算，最后得到所要求的結(jié)論，但有時會遇到從正面不易入手的情況，這時可從反面去考慮．

六、等差數(shù)列與等比數(shù)列的一些常規(guī)結(jié)論

若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，則

（1）數(shù)列{an}{?an}（?為不等于零的常數(shù)）仍是公比為q的等比數(shù)列；（2）若{bn}是公比為q?的等比數(shù)列，則數(shù)列{an?bn}是公比為qq?的等比數(shù)列；（3）數(shù)列?

?1?1

?是公比為的等比數(shù)列；

q?an?

（4）{an}是公比為q的等比數(shù)列；

（5）在數(shù)列{an}中，每隔k(k?N?)項取出一項，按原來順序排列，所得新數(shù)列仍

為等比數(shù)列且公比為qk?1；

（6）若m，n，p(m，n，p?N?)成等差數(shù)列時，am，an，ap成等比數(shù)列；（7）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n均不為零時，則Sn，S2n?Sn，S3n?S2n成等比數(shù)列；（8）若{logban}是一個等差數(shù)列，則正項數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列．

若數(shù)列{an}是公差為d等差數(shù)列，則

（1）{kan?b}成等差數(shù)列，公差為kd（其中k?0，k，b是實常數(shù)）；（2）{S(n?1)k?Skn}，（k?N，k為常數(shù)），仍成等差數(shù)列，其公差為k2d；（3）若{an}{，bn}都是等差數(shù)列，公差分別為d1，d2，則{an?bn}是等差數(shù)列，公差為d1?d2；

（4）當數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列時，數(shù)列{lgan}是公差為lgq的等差數(shù)列；

（5）m，n，p(m，n，p?N?)成等差數(shù)列時，am，an，ap成等差數(shù)列．

第二篇：等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明

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等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明

作者：劉春建

來源：《高考進行時·高三數(shù)學》2013年第03期

一、考綱要求

1.理解等差數(shù)列的遞推關(guān)系，并能夠根據(jù)遞推關(guān)系證明等差數(shù)列。

2.理解等比數(shù)列的遞推關(guān)系，并能夠根據(jù)遞推關(guān)系證明等比數(shù)列。

3.能夠利用等差中項和等比中項證明等差數(shù)列和等比數(shù)列。

二、難點疑點

1.在證明等差數(shù)列和等比數(shù)列的過程中，部分學生只是求出了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，而沒有利用遞推關(guān)系或者等差、等比中項進行證明。

2.在用等比中項證明等比數(shù)列的時候，沒有交代各項均不為零。

3.要注意整體思想在證明等差數(shù)列和等比數(shù)列中的靈活運用。

第三篇：deng等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明方法

等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明方法

高考題中，有關(guān)證明、判斷數(shù)列是等差（等比）數(shù)列的題型比比皆是，如何處理這些題目呢？

證明或判斷等差（等比）數(shù)列的方法常有四種：定義法、等差或等比中項法、數(shù)學歸納法、反證法。

一、定義法

10.證明數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件的方法：

an?1?an?d(常數(shù))??an?是等差數(shù)列

20.證明數(shù)列是等差數(shù)列的充分條件的方法：

an?an?1?d(n?2)??an?是等差數(shù)列

an?1?an?an?an?1(n?2)??an?是等差數(shù)列

典型案例：

1.（2012江蘇）已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列{an}和{bn}滿足:an?1?

?bn??b??1?,n?N*,求證:數(shù)列??n?an??an??2an?bnan?bn22,n?N*,(1)設(shè)bn?1

???是等差數(shù)列;??

2.（本題滿分14分）已知f(x)??4?11P(a,?)在曲線y?f(x)上(n?N*)且a1?1,an?0.,點nn2an?1x

?1?（Ⅰ）求證:數(shù)列?2?為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式；

?an?

{an}中,a1?1,an?1?1?

3.在數(shù)列

（1）求證：數(shù)列12,bn?,其中n?N*4an2an?1． {bn}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式an；

30.證明數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件的方法：

an?1

?q(q?0且為常數(shù)，a1?0)??an?為等比數(shù)列 anan

?q（n>2，q為常數(shù)且≠0）??an?為等比數(shù)列 an?1

注意事項：用定義法時常采用的兩個式子an?an?1?d和an?1?an?d有差別，前者必須加上“n≥2”，否則n?1時a0無意義，等比中一樣有：n≥2時，有（常數(shù)?0）；②n?N?時，有典型案例：

1.已知數(shù)列(1)證明：

n?2

2.數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，已知a1=1,an+1=nSn(n=1,2,3，?)．

an

???qan?1

an?1

． ???q（常數(shù)?0）

an

?an?的前n項和為Sn，且Sn?n?5an?85，n?N*

?an?1?是等比數(shù)列；

證明：(1)．數(shù)列{

Snn

}是等比數(shù)列；

3.在各項均為負數(shù)的數(shù)列（1）求證：數(shù)列（2）若數(shù)列

?an?中，已知點?an,an?1?(n?N

*)

在函數(shù)

y?

28xa2?a5?3的圖像上，且27．

?an?是等比數(shù)列，并求出其通項；

?bn?的前n項和為Sn，且bn?an?n，求Sn

4.已知f(x)=ln(1+x)-x.（Ⅰ）求f(x)的最大值；

a?1= bn,（Ⅱ）數(shù)列{an}滿足：an+1= 2f '(an)+2,且a1=2.5，n

⑴數(shù)列{ bn+3}是等比數(shù)列⑵判斷{an}是否為無窮數(shù)列。

5.數(shù)列

?an?(n?N

*)

中，11

fn(x)?x3?(3an?n2)x2?3n2anx

32是函數(shù)的極小值點；

（Ⅰ）當a=0時，求通項

an

（Ⅱ）是否存在a，使數(shù)列

?an?是等比數(shù)列？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由。

2n?1an

6.數(shù)列?an?滿足a1?2，an?1?（n?N?）.(n?)an?2n

22n

（1）設(shè)bn?，求數(shù)列?bn?的通項公式bn；

an

．

7.已知{

an

}是整數(shù)組成的數(shù)列，a1 = 1，且點

(an,an?1)(n?N*)

y?x?1的圖象上，在函數(shù)

（1）求數(shù)列{（2）若數(shù)列{

anbn

}的通項公式；

bn?bn?2?bnbn?1?bn?2anb?1 1}滿足 = 1，求證：

第四篇：等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)

第24課 等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)

●考試目標主詞填空

1.等差數(shù)列的性質(zhì).

①等差數(shù)列遞增的充要條件是其公差大于0，②在有窮等差數(shù)列中，與首末兩端距離相等的和相等.即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=?=ak+an+1-k，③在等差數(shù)列{an}中，使am+a0=ap+aq成立的充要條件是是等差數(shù)列，⑤若數(shù)列{an}與{bn}均為等差數(shù)列，且m，k為常數(shù)，則{man+kbn}Sn=an2+bn+c能表示等差數(shù)列前n項和的充要條件是2.等比數(shù)列的性質(zhì).①在等比數(shù)列{an}中，公比為q，其單調(diào)性的考察應(yīng)視a1及q的取值范圍而定.②在有窮的等比數(shù)列{an}即：a1an=a2·an-1=a3·an-2=?=ak·an+1-k.

③在等比數(shù)列{an}中，使am·a0=ap·ak成立的充要條件是m+n=p+k. ④在等比數(shù)列中，每隔相同的項抽出來，依原來的順序構(gòu)成一個新數(shù)列，則此新數(shù)列仍是等比數(shù)列.?man?⑤若數(shù)列{an}與{bn}均為等比數(shù)列，m是不等于零的常數(shù)，則{m·an·bn}與??仍為等比數(shù)列.b?n?

●題型示例點津歸納

【例1】證明下列論斷：

(1)從等差數(shù)列中每隔相同的項抽取一些項依原順序構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列.(2)從等比數(shù)列中每隔相同的項抽取一些項依原順序構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列.

【解前點津】等差數(shù)列的公差以及等比數(shù)列的公比都是已知常數(shù)，且每隔k項抽取一個數(shù)中的k邊應(yīng)視為已知正整數(shù)，按定義證明即可.【規(guī)范解答】(1)設(shè){xn}是公差為d的等差數(shù)列，抽取的第一個數(shù)為xm，隔k項抽取的第二個數(shù)為xm+k，再隔k項抽取的第三個數(shù)為xm+2k，依次類推，則新數(shù)列的第p項(p≥1)必為xm+(p-1)k ·第p+1項為xm+pk.由通項公式：

∵xm+pk-xm+(p-1)k=x1+(m+pk-1)d-［x1+(m+pk-k-1)d］=(k-1)d是一個p無關(guān)的常數(shù)，故新數(shù)列是一個公差為kd的等差數(shù)列.(2)設(shè){yn}是一個公比為q的等比數(shù)列，抽取的第一個數(shù)為ym，隔k項抽取的第二個數(shù)為ym+k，再隔k項抽取的第三個數(shù)為ym+2k，依次類推，則新數(shù)列的第p項(p≥1)必為ym+(p-1)k，第p+1項為ym+pk.由等比數(shù)列通項公式： ∵ym?pk

ym?(p?1)ky1?qm?pk?1k==q是一個與p無關(guān)的常數(shù).m?pk?k?1y1?q

故新數(shù)列是一個公比為qk的一個等比數(shù)列.【解后歸納】證明{xn}是一個等差數(shù)列，只須證明xn-xn-1=常數(shù)即可，類似地，證明{yn}是一個等比數(shù)列，只證明yn=常數(shù)即可. yn?

1【例2】設(shè)x，y，z∈R，3x，4y，5z成等比數(shù)列，且

111xz，成等差數(shù)列，求?的值.xzxyz

【解前點津】依條件列方程組，從方程組中推導

xz

?之值. zx

?(4y)2?(3x)?(5z)

2xz?

?y=【規(guī)范解答】由題意得：?211代入第一個方程消去y得：

x?z?y?x?z

?2xz2xz34(x?z)26416()=15xz?=，故?=.x?z15zx15xz

【解后歸納】因（xz

?)中不含y，故在方程組中，y成為消去的對象.zx

【例3】已知數(shù)列{an}滿足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n項之和為Sn，求滿足不等式|Sn-n-6|<的最小正整數(shù)n. 12

5【解前點津】構(gòu)造“新數(shù)列”，求出通項公式，注意到3(an+1-1)=-(an-1).【規(guī)范解答】由條件得：3(an+1-1)=-(an-1).視為3xn+1=-xn，∵a1-1=8，故新數(shù)列{an-1}是首項為8，公比為-的一個等比數(shù)列.故：

3??1?n?8?1????

?3???1n-11n-1???=6-6×(-1)n，an-1=8(-)，即an=1+8(-)Sn-n=

333?1?

?1???3?

11?n-1

∴|Sn-n-6|=6×()n <3>250>35?n-1>5.3125

∴n>6從而n≥7.故n=7是所求的最小正整數(shù).

【解后歸納】將一個簡單的遞推公式進行變形，從而轉(zhuǎn)化為一個等差數(shù)列，或一個等比數(shù)列的模型.這是一種“化歸”的數(shù)學思想.【例4】設(shè){an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，且b1=a1，b2=a2，b3=a3(a1

n??

2+bn)=2+1,試求{an}的首項與公差.【解前點津】設(shè)

b2b

=q，則1=2+1.1?qb1

【規(guī)范解答】設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，則由條件知，b2=b1b3?(a2)2=(a1)·(a3)

a2

=(1+2)(2+1)

a1

(a1+d)

4=a22，a12a22=a1

·(a1+2d)?(a1+d)=|a1(a1+2d)|又b1=(1+q)（22

2+1),故

2a1

42即a1=［a1+(a1+d)2］(2+1)，解關(guān)于a1及d的方程組得：a1=-2，d=22-2.

【解后歸納】將所列方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于基本量a1，d的方程，是常規(guī)思路.此題是否有另外思路?讀者可自己尋找.●對應(yīng)訓練分階提升

一、基礎(chǔ)夯實

1.在等比數(shù)列{an}中，a9+a10=a(a≠0)，a19+a20=b，則a99+a100等于()

bbb9b10

A.8B.()C.9D.()10

aaaa

2.已知等差數(shù)列{an}中，|a3|=|a9|,公差d<0，則使前n項和Sn取得最大值的自然數(shù)n是()

A.4和5B.5或6C.6或7D.不存在3.若{an}為一個遞減等比數(shù)列，公比為q，則該數(shù)列的首項a1和公比q一定為()A.q<0，a1≠0B.a1>0，01 C.q>1，a1<0D.00

4.由公差為d的等差數(shù)列a1，a2，a3，?，重新組成的數(shù)列a1+a4，a2+a5，a3+a6，?是()A.公差為d的等差數(shù)列B.公差為2d的等差數(shù)列 C.公差為3d的等差數(shù)列D.非等差

5.設(shè)2a=3，2b=6，2c=12，則a、b、c()A.是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列B.是等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列D.既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列

6.若{an}是等比數(shù)列，a4a7=-512，a3+a8=124，且公比q為整數(shù)，則a10的值是()A.256B.-256C.512D.-51

27.設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a5·a6=81，那么log3a1+log3a2+log3a3+?+log3a10的值是()A.5B.10C.20D.30

8.在3和9之間插入兩個正數(shù)，使前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，則這兩個數(shù)的和是()A.1

11111B.12C.13D.14 444

49.在等比數(shù)列{an}中，已知對任意自然數(shù)n，a1+a2+?+an=2n-1，則a1+a2+?+a2n=()A.(2n-1)2B.1n2n1

(2-1)C.4-1D.(4n-1)3

310.上一個n級的臺階，若每次可上一級或兩級，設(shè)上法的總數(shù)為f(n)，則下列猜想中正確的是()

A.f(n)=nB.f(n)=f(n-1)+f(n-2)

?n(n?1,2)

C.f(n)=f(n-1)·f(n-2)D.f(n)=?

f(n?1)?f(n?2)(n?3)?

二、思維激活

11.在等差數(shù)列{an}中，若Sm=n，Sn=m(Sn為前n項和)且m≠n，則Sm+n

三、能力提高

12.在等差數(shù)列{an}中，a1，a4，a25三個數(shù)依次成等比數(shù)列，且a1+a4+a25=114,求這三個數(shù).13.已知{an}為等差數(shù)列，(公差d≠0)，{an}中的部分項組成的數(shù)列ak1，ak2，ak13，?，ak，?，n

恰好為等比數(shù)列，其中k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+k3+?+kn.14.設(shè)f(x)=a1x+a2x2+?+anxn(n為正偶數(shù))，{an}是等差數(shù)列，若f(1)=(1)求an；(2)求證：f（1nn(n+1)，f(-1)=. 22)<2. 2

15.數(shù)列{an}的前n項和Sn=100n-n2(n∈N).(1){an}是什么數(shù)列?

(2)設(shè)bn=|an|，求數(shù)列|bn|的前n項和.第3課等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)習題解答

1.A先求a1與公比q.2.B∵d<0，∴a3>a9，∴a3=-a9.3.B分別考察a1>0與a1<0兩種情況.4.B∵(an+an+3)-(an-1+an+2)=(an-an-1)+(an+3-an+2)=d+d=2d.5.A∵62=3×12，∴(2b)2=2a·2c?2b=a+c且b2≠ac.6.C∵a4a7=a3a8=-512，a3+a8=124，∴a3，a8是x2-124x-512=0的兩根.解之：a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4?q=-2或-

但q=-不合題意，∴a10=a8·q2=512.22

7.C其值為log3(a1a2?a10)=log3(a1a10)·(a2a9)?(a5a6)=log3(a5a6)5=5log3(a5·a6)=5log381=20.9?

x???x2?3y?2??8.A設(shè)這兩個正數(shù)為x，y，由題意可得：?.272y?x?9??y??4?

9.D∵Sn=2n-1，∴an+1=Sn+1-Sn=2n+1-1-(2n-1)=2n，又a1=S1=21-1=1=21-1，∴an=2n-1.10.D每次可上一級或兩級，故需分段考慮.11.Sm+n=-(m+n)運用公式求和.2?a4?(a1?3d)2?a1(a1?24d)?a1?a25

??12.設(shè)公差d，依題意得：??

?a1?a4?a25?114?3a1?27d?114

?a4?38?a4?a1?3d?2?3?4?14?a1?38?a1?2

或?，或????

a?38a?a?24d?2?24?4?98d?0d?4?25??1?25

∴這三個數(shù)是38，38，38或2，14，98.

13.∵a1，a5，a17成等比數(shù)列，∴(a1+4d)2=a1(a1+16d)?d=

aa11，an=a1(n+1)，a5=a1+4d=3a1，∴q=5

22a1

=3，akn=

k?11

a1(kn+1)?akn=a1·qn-1=a1×3n-1，∴na1=a1×3n-1，∴kn=2×3n-1-1?k1+k2+k3+?22

n-1

2(1?3n)

+kn=2(1+3+9+?+3)-n= =3n-n-1.(1?3)?n

14.(1)設(shè){an}的公差為d，則f(1)=a1+a2+?+an=d=1，由na1+

1nn

n(n+1)，f(-1)=-a1+a2-a3+a4+?-an-1+an=d=，∴222

n(n?1)n(n?1)

?得a1=1，∴an=n. 22

2n

1123111111?n(2)f()=+2+3+?+?(1-)]f()=+2+3+?+n+n?1

22222222222

兩式相減：

1??

1???1n

1111n?2n?nf()=1++2+?+n?1-n=-n=2-2n?1-2n<2. 22222?1?2

?1???2?

15.(1)an=Sn-Sn-1=(100n-n2)-［100(n-1)-(n-1)2］=101-2n(n≥2)，∵a1=S1=100×1-12=99=101-2×1，∴數(shù)列{an}的通項公式為an=101-2n又∵an+1-an=-2為常數(shù).∴數(shù)列{an}是首項為a1=99，公差d=-2的等差數(shù)列.(2)令an=101-2n≥0得n≤50(n∈N*)，①當1≤n≤50時，an>0，此時bn=|an|=an，所以{bn}的前n項和Sn′=100n-n2且S50′=100×50-502=2500，②當n≥51時，an<0，此時bn=|an|=-an由b51+b52+?+bn=-(a51+a52+?+an)=-(Sn-S50)=S50-Sn得數(shù)列{bn}前n項和為Sn′=S50+(S50-Sn)=2S50-Sn=2×2500-(100n-n2)=5000-100n+n2.?(n?N*,1?n?50)?100n?n

由①②得數(shù)列{bn}的前n項和為Sn′=?.2*

?(n?N,n?51)?5000?100n?n

第五篇：等差數(shù)列、等比數(shù)列知識點梳理

等差數(shù)列和等比數(shù)列知識點梳理

第一節(jié)：等差數(shù)列的公式和相關(guān)性質(zhì)

1、等差數(shù)列的定義：對于一個數(shù)列，如果它的后一項減去前一項的差為一個定值，則稱這個數(shù)列為等差數(shù)列，記：an?an?1?d（d為公差）（n?2，n?N*）注：下面所有涉及n，n?N*省略，你懂的。

2、等差數(shù)列通項公式：

an?a1?(n?1)d，a1為首項，d為公差

推廣公式：an?am?(n?m)d

變形推廣：d?

3、等差中項

（1）如果a，A，那么A叫做a與b的等差中項．即：b成等差數(shù)列，A?a?b2an?am n?m或2A?a?b

（2）等差中項：數(shù)列?an?是等差數(shù)列

?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2

4、等差數(shù)列的前n項和公式：

Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22d212 ?n2?(a1?d)n?An2?Bn

（其中A、B是常數(shù)，所以當d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0）

特別地，當項數(shù)為奇數(shù)2n?1時，an?1是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項

S2n?1??2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1（項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項和等于項數(shù)乘以中間項）

5、等差數(shù)列的判定方法（1）定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N?)? ?an?是等差數(shù)列．

（2）等差中項：數(shù)列?an?是等差數(shù)列

?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2

（3）數(shù)列?an?是等差數(shù)列?an?kn?b（其中k,b是常數(shù)）。

（4）數(shù)列?an?是等差數(shù)列?Sn?An2?Bn,（其中A、B是常數(shù)）。

6、等差數(shù)列的證明方法

定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N?)? ?an?是等差數(shù)列．

7、等差數(shù)列相關(guān)技巧：

（1）等差數(shù)列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。

（2）設(shè)項技巧：

①一般可設(shè)通項an?a1?(n?1)d

②奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差為d）；

③偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（注意；公差為2d）

8、等差數(shù)列的性質(zhì)：

（1）當公差d?0時，等差數(shù)列的通項公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前n和Sn?na1?n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為2220。

（2）若公差d?0，則為遞增等差數(shù)列，若公差d?0，則為遞減等差數(shù)列，若公差d?0，則為常數(shù)列。

（3）當m?n?p?q時,則有am?an?ap?aq，特別地，當m?n?2p時，則有am?an?2ap。（注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2????，）當然擴充到3項、4項??都是可以的，但要保證等號兩邊項數(shù)相同，下標系數(shù)之和相等。

（4）?an?、?bn?為等差數(shù)列，則??an?b?，??1an??2bn?都為等差數(shù)列

(5)若{an}是等差數(shù)列，則Sn,S2n?Sn,S3n?S2n，?也成等差數(shù)列

(6)數(shù)列{an}為等差數(shù)列,每隔k(k?N*)項取出一項(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍為等差數(shù)列

（7）?an?、{bn}的前n和分別為An、Bn，則an?A2n?1

bnB2n?1（8）等差數(shù)列{an}的前n項和Sm?n，前m項和Sn?m，則前m+n項和Sm?n???m?n?，當然也有an?m,am?n，則am?n?0

(9)求Sn的最值

法一：因等差數(shù)列前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性n?N*。

法二：（1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項和的最大值是所有非負項之和

即當a1?0，d?0，由??an?0可得Sn達到最大值時的n值． a?0?n?1（2）“首負”的遞增等差數(shù)列中，前n項和的最小值是所有非正項之和。

即 當a1?0，d?0，由??an?0可得Sn達到最小值時的n值． a?0?n?1或求?an?中正負分界項

法三：直接利用二次函數(shù)的對稱性：由于等差數(shù)列前n項和的圖像是過原點的二次函數(shù)，故n取離二次函數(shù)對稱軸最近的整數(shù)時，Sn取最大值（或最小值）。若S p = S q則其對稱軸為n?

注意：Sn?Sn?1?an(n?2)，對于任何數(shù)列都適用，但求通項時記住討論當n?1的情況。

p?q 2解決等差數(shù)列問題時，通?？紤]兩類方法：

①基本量法：即運用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d的方程； ②巧妙運用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運用性質(zhì)可以化繁為簡，減少運算量。（以上加上藍色的性質(zhì)希望讀者能夠自己證明，不是很難，并能夠?qū)W會運用）

第二節(jié)：等比數(shù)列的相關(guān)公式和性質(zhì)

1、等比數(shù)列的定義：

2、通項公式：

an?a1qn?1，a1為首項，q為公比

an?q?q?0??n?2?，q為公比 an?1推廣公式：an?amqn?m，從而得qn?m?

3、等比中項

an am（1）如果a,A,b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項．即：A2?ab或A??ab 注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項，并且它們的等比中項有兩個（兩個等比中項互為相反數(shù)）

（2）數(shù)列?an?是等比數(shù)列?an2?an?1?an?1

4、等比數(shù)列的前n項和Sn公式：(1)當q?1時，Sn?na1(2)當q?1時，Sn?

?a1?1?qn?1?q?a1?anq 1?qa1a?1qn?A?A?Bn?A'Bn?A（'A,B,A',B'為常數(shù)）1?q1?q5、等比數(shù)列的判定方法（1）用定義：對任意的n,都有an?1?qan或為等比數(shù)列

an?1?q(q為常數(shù)，an?0)?{an}an（2）等比中項：an2?an?1an?1（an?1an?1?0）?{an}為等比數(shù)列（3）通項公式：an?A?Bn?A?B?0??{an}為等比數(shù)列（4）前n項和公式：

Sn?A?A?Bn或Sn?A'Bn?A'?A,B,A',B'為常數(shù)??{an}為等比數(shù)列

6、等比數(shù)列的證明方法 依據(jù)定義：若an?q?q?0??n?2,且n?N*?或an?1?qan?{an}為等比數(shù)列 an?

17、等比數(shù)列相關(guān)技巧：

（1）等比數(shù)列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。

（2）為減少運算量，要注意設(shè)項的技巧，一般可設(shè)為通項：an?a1qn?1

如奇數(shù)個數(shù)成等比，可設(shè)為?，aa2?（公比為q，中間項，a,aq,aq2qq用a表示）；注意隱含條件公比q的正負

8、等比數(shù)列的性質(zhì)：(1)當q?1時

①等比數(shù)列通項公式an?a1qn?1?a1nq?A?Bn?A?B?0?是關(guān)于n的帶有系q數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比q ②前n項和Sn?a1?1?qn?1?qa1?a1qna1a??1qn?A?A?Bn?A'Bn?A'，系1?q1?q1?q數(shù)和常數(shù)項是互為相反數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比q

(2)對任何m,n?N*,在等比數(shù)列{an}中,有an?amqn?m,特別的,當m=1時,便得到等比數(shù)列的通項公式。因此,此公式比等比數(shù)列的通項公式更具有一般性。

(3)若m?n?s?t(m,n,s,t?N*),則an?am?as?at。特別的,當m?n?2k時,得an?am?ak2

注：a1?an?a2?an?1?a3an?2???

(4)列{an},{bn}為等比數(shù)列,則數(shù)列{},{k?an},{ank},{k?an?bn}{n}(k為非零常數(shù))均為等比數(shù)列。

(5)數(shù)列{an}為等比數(shù)列,每隔k(k?N*)項取出一項(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍為等比數(shù)列

(6)如果{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,則數(shù)列{logaan}是等差數(shù)列(7)若{an}為等比數(shù)列,則數(shù)列Sn，S2n?Sn，S3n?S2n,???，成等比數(shù)列(8)若{an}為等比數(shù)列,則數(shù)列a1?a2?????an,an?1?an?2?????a2n，a2n?1?a2n?2??????a3n成等比數(shù)列

kanabn(9)①當q?1時，②當0

③當q=1時,該數(shù)列為常數(shù)列（此時數(shù)列也為等差數(shù)列）;④當q<0時,該數(shù)列為擺動數(shù)列。

(10)在等比數(shù)列{an}中, 當項數(shù)為2n(n?N*)時,S奇S偶?1,。

q(11)若{an}是公比為q的等比數(shù)列,則Sn?m?Sn?qn?Sm

注意：在含有參數(shù)的數(shù)列時，若是等比數(shù)列，一定要考慮到公比q?1的特殊情況。

解決等比數(shù)列問題時，通常考慮兩類方法：

①基本量法：即運用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和q的方程； ②巧妙運用等比數(shù)列的性質(zhì)，一般地運用性質(zhì)可以化繁為簡，減少運算量。

關(guān)于等差、等比兩個引申：an?kan?1?b模式（其中k,b為常數(shù)，；an?pan?1?pn模式（其中p為常數(shù)，n?2）n?2）在這里我們以具體的例子給出，使其更容易理解：

例1

已知數(shù)列?an?，有an?3an?1?4（n?2），則求該數(shù)列的通項公式

解題大致思路：先設(shè)an?b?3(an?1?b)，則對于an?3an?1?4?an?2?3(an?1?2)，那么我們就可以構(gòu)造數(shù)列?an?2?為等比數(shù)列，利用等比的相關(guān)性質(zhì)去解決，注意：構(gòu)造新數(shù)列的首項和公比分別是多少？還有你考慮到當n?1的這種情況了嗎？

例2

已知數(shù)列?bn?，有bn?2bn?1?2（n?2），求該數(shù)列的通項公式

n解題的大致思路：bn?2bn?1?2（n?2）?nbn2bn?1bnbn?1??1?n?1?1，相信你已?nnn2222經(jīng)知道構(gòu)造什么數(shù)列了吧，這兩個模式考試中喜歡考，也比較基礎(chǔ)，當然也希望通過這兩個模式能讓你意識到求數(shù)列中的構(gòu)造思想。