第一篇：等比數(shù)列的證明

等比數(shù)列的證明

數(shù)列an前n項和為Sn已知a1=1a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......)證明

(1)(Sn/n)是等比數(shù)列

(2)S(n+1)=4an1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn

即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn

nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn

nS(n+1)=(2n+2)Sn

S(n+1)/(n+1)=2Sn/n

即S/=

2S1/1=A1=

1所以Sn/n是以2為公比1為首項的等比數(shù)列

2、由1有Sn/n是以2為公比1為首項的等比數(shù)列

所以Sn/n的通項公式是Sn/n=1*2^(n-1)

即Sn=n2^(n-1)

那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)

An=Sn-S(n-1)

=n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2)

=n*2*2^(n-2)-(n-1)2^(n-2)

=*2^(n-2)

=(n+1)2^(n-2)

=(n+1)*2^n/2^

2=(n+1)2^n/

4=S(n+1)/4

所以有S(n+1)=4An

a(n)-a(n-1)=2(n-1)

上n-1個式子相加得到：

an-a1=2+4+6+8+.....2(n-1)

右邊是等差數(shù)列，且和=(n-1)/2=n(n-1)

所以：

an-2=n^2-n

an=n^2-n+24、已知數(shù)列{3*2的N此方}，求證是等比數(shù)列

根據(jù)題意，數(shù)列是3*2^n(^n表示肩膀上的方次),n=1,2,3,...為了驗證它是等比數(shù)列只需要比較任何一項和它相鄰項的比值是一個不依賴項次的固定比值就可以了.所以第n項和第n+1項分別是3*2^n和3*2^(n+1),相比之后有:

/(3*2^n)=

2因為比值是2,不依賴n的選擇,所以得到結(jié)論.5數(shù)列an前n項和為Sn已知a1=1a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......)證明

(1)(Sn/n)是等比數(shù)列

(2)S(n+1)=4an1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn

即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn

nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn

nS(n+1)=(2n+2)Sn

S(n+1)/(n+1)=2Sn/n

即S/=

2S1/1=A1=

1所以Sn/n是以2為公比1為首項的等比數(shù)列

2、由1有Sn/n是以2為公比1為首項的等比數(shù)列

所以Sn/n的通項公式是Sn/n=1*2^(n-1)

即Sn=n2^(n-1)

那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)

An=Sn-S(n-1)

第二篇：證明等比數(shù)列

證明等比數(shù)列

記Cn=an*a(n+1)

cn/c(n-1)=an*a(n+1)/an*a(n-1)=a(n+1)/a(n-1)=

3a(2n-1)=3*a(2n-3)

a(2n)=3*a(2n-2)

bn=a(2n-1)+a(2n)=3*a(2n-3)+3*a(2n-2)=3(bn-1)

因此bn/b(n-1)=3，所以bn為等比數(shù)列，公比為3。

2設(shè)數(shù)列{a的第n項}的前n項和Sn=1/3(a的第n項-1)，n屬于自然數(shù)

求證：數(shù)列{a的第n項}為等比數(shù)列

Sn=1/3(an-1)

S(n-1)=1/3(a(n-1)-1)

Sn-S(n-1)=an=1/3(an-1-a(n-1)+1)=(an-a(n-1)/3

3an=an-a(n-1)

2an=-a(n-1)

an/a(n-1)=-1/

2所以數(shù)列{an}為等比數(shù)列

3已知前三項是2，4,8，數(shù)列滿足a(n+1)=a(n)+2n(就是第n+1項等于第n項加上2n)，求數(shù)列的通項公式。這兒沒有告訴你數(shù)列是等比數(shù)列，求通項公式之前必須證明它是等比數(shù)列，請問怎么證明?

因為：

a(n+1)-an=2n

所以：

a2-a1=2

a3-a2=

4a4-a3=6

a5-a4=8

.....a(n)-a(n-1)=2(n-1)

上n-1個式子相加得到：

an-a1=2+4+6+8+.....2(n-1)

右邊是等差數(shù)列，且和=(n-1)/2=n(n-1)

所以：

an-2=n^2-n

an=n^2-n+24、已知數(shù)列{3*2的N此方}，求證是等比數(shù)列

根據(jù)題意，數(shù)列是3*2^n(^n表示肩膀上的方次),n=1,2,3,...為了驗證它是等比數(shù)列只需要比較任何一項和它相鄰項的比值是一個不依賴項次的固定比值就可以了.所以第n項和第n+1項分別是3*2^n和3*2^(n+1),相比之后有:

/(3*2^n)=

2因為比值是2,不依賴n的選擇,所以得到結(jié)論.5數(shù)列an前n項和為Sn已知a1=1a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......)證明

(1)(Sn/n)是等比數(shù)列

(2)S(n+1)=4an1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn

即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn

nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn

nS(n+1)=(2n+2)Sn

S(n+1)/(n+1)=2Sn/n

即S/=

2S1/1=A1=

1所以Sn/n是以2為公比1為首項的等比數(shù)列

2、由1有Sn/n是以2為公比1為首項的等比數(shù)列

所以Sn/n的通項公式是Sn/n=1*2^(n-1)

即Sn=n2^(n-1)

那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)

An=Sn-S(n-1)

=n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2)

=n*2*2^(n-2)-(n-1)2^(n-2)

=*2^(n-2)

=(n+1)2^(n-2)

=(n+1)*2^n/2^2

=(n+1)2^n/4

=S(n+1)/4

所以有S(n+1)=4An

第三篇：等差等比數(shù)列的證明

專題：等差（等比）數(shù)列的證明

1.已知數(shù)列{a}中，anan1?5且?2an?1?2n?1（n?2且n?N*）.?an?1?（Ⅰ）證明：數(shù)列?2n?為等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{an}的前n??

項和S.n

2.已知數(shù)列{a}中，an1?2且an?1?an?2n?3?0（n?2且n?N*）.證明：數(shù)列?an?2n?為等差數(shù)列；

3.已知數(shù)列{a}中，an1?4且2an?1?an?2n?5?0（n?2且n?N*）.證明：數(shù)列?an?2n?1?為等比數(shù)列；

4．?dāng)?shù)列{an}滿足a1?2,a2?5,an?2?3an?1?2an.（1）求證：數(shù)列{an?1?an}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項公式；

5.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列?an?前n項和為

1a且n是和S2Sn，首項為a1，n的等差中項.求數(shù)列?a?的通項公式； n

6.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且對任意的n∈N*有an＋Sn＝

n.(1)設(shè)bn＝an－1，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列； 7.設(shè)數(shù)列?an?的各項都是正數(shù)，且對任意

n?N*，都有

a?a?a????????a?S

為數(shù)列的前n項和.3132333n2n，其中S

n

（I）求證：

a?2Sn?an;

n

（II）求數(shù)列?an?的通項公式；

8.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，a(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，求證：{bn}是等比數(shù)列；（2）.證明數(shù)列{n－2}

是等差數(shù)列

(3)設(shè)cn＝

9.已知正項數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足 2Sn＝an＋1.求證：{an}是等差數(shù)列．

10.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，a{cn}是等比數(shù)列． 3n－1

Sn*

an＝2(n－1)(n∈N)．

n

(1)

求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列,并求{an}的通項公式；

(2)求數(shù)列{的前n項和Tn，an·an+1

11.設(shè)Sn是數(shù)列{an}（n?N*）的前n項和，已知a1?4，an?1?Sn?3n，設(shè)bn?Sn?3n.（Ⅰ）證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式；（Ⅱ）令cn

12.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1?，an＋2SnSn?1＝0(n?2)． 問：數(shù)列{1是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論；

Sn

?2log2bn?

n

?2，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.bn

13.已知等差數(shù)列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2?14x?45?0的兩根，數(shù)列{bn}的前n項的和為Sn，且Sn=

an·bn。求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；

1?bn

(n∈N*),Cn=

14.已知數(shù)列{an}與{bn}滿足

n1

3＋?－1?

bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝n∈N*，且a1＝2.－

設(shè)cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，證明{cn}是等比數(shù)列

15.已知在正項數(shù)列{an}中，a1＝2，點An(an，an＋1)在雙曲線y－x＝1上，數(shù)列{bn}中，點(bn，Tn)在直線y＝－x＋1上，其

中Tn是數(shù)列{bn}的前n項和．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；

第四篇：等差、等比數(shù)列的判斷和證明

等差、等比數(shù)列的判斷和證明

一、1、等差數(shù)列的定義：如果數(shù)列?an?從第二項起每一項與它的前一項的差

等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫等差數(shù)列的公差。即an?an?1?d(n?N*,且n?2).(或an?1?an?d(n?N*)).2、等差數(shù)列的判斷方法：

①定義法：an?1?an?d(常數(shù))??an?為等差數(shù)列。

②中項法：等差中項：若a,A,b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且

A?a?b。

22an?1?an?an?2??an?為等差數(shù)列。

③通項公式法：等差數(shù)列的通項：an?a1?(n?1)d或an?am?(n?m)d。公式變形為:an?an?b.其中a=d, b= a1－d.an?an?b（a,b為常數(shù)）??an?為等差數(shù)列。

④前n項和公式法：等差數(shù)列的前n和：Sn?d

公式變形為Sn=An2+Bn其中A=，B=a1n(a1?an)n(n?1)d。，Sn?na1?22?d.2

sn?An2?Bn（A,B為常數(shù)）??an?為等差數(shù)列。

3.等差數(shù)列的性質(zhì)：

（1）當(dāng)公差d?0時，等差數(shù)列的通項公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；

n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.前n項和Sn?na1?222

（2）若公差d?0，則為遞增等差數(shù)列，若公差d?0，則為遞減等差數(shù)列，若公差d?0，則為常數(shù)列。

（3）對稱性：若?an?是有窮數(shù)列，則與首末兩項等距離的兩項之和都等于首末兩項之和.當(dāng)m?n?p?q時,則有am?an?ap?aq，特別地，當(dāng)m?n?2p時，則有am?an?2ap

(4)①項數(shù)成等差,則相應(yīng)的項也成等差數(shù)列.即ak,ak?m,ak?2m,...(k,m?N*)成等

差，公差為md；②若{an}是等差數(shù)列，則﹛kan+p﹜(k、p是非零常數(shù))為等差數(shù)列，公差為kd.③若{an}、{bn}是等差數(shù)列，則{kan?pbn}(k、p是非零常數(shù))為等差數(shù)列，公差為kd1+pd2（d1、d2 分別為{an}、{bn}的公差）④

Sn,S2n?Sn,S3n?S2n 也成等差數(shù)列.⑤{aan}成等比數(shù)列；若{an}是等比數(shù)列，且

an?0，則{lgan}是等差數(shù)列.（5）在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)2n時，sn?n(an?an?1)；s偶?s奇?nd；

s偶an?1s偶n?

1.當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)2n?1時，s2n?1?(2n?1)an；s偶?s奇??a1 ??

奇n奇an

（6）項數(shù)間隔相等或連續(xù)等長的片段和仍構(gòu)成等差數(shù)列，eg：a1，a3，a5…構(gòu)成等差數(shù)列，a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9…也構(gòu)成等差數(shù)列.二、1、等比數(shù)列的定義：如果數(shù)列?an?從第二項起每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫等比數(shù)列的公比，即

anan?

1?q(n?N*,n?2)

2、等比數(shù)列的判斷方法： ①定義法：

an?

1?q(q為常數(shù)），其中q?0,an?0??an?為等比數(shù)列。an

②中項法：如果a、G、b三個數(shù)成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，即G=?ab.提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項。an2=an-12an+12（n?N*，n?2）??an?為等比數(shù)列。③通項公式法：等比數(shù)列的通項：anan=Aq??an?為等差數(shù)列。

n

?a1qn?1或an?amqn?m

④前n項和法：等比數(shù)列的前n和：當(dāng)q?1時，Sn?na1；當(dāng)q?1時，a1(1?qn)a1?anq

?=Aqn-A Sn?

1?q1?qSn=Aqn-A??an?為等差數(shù)列。

特別提醒：等比數(shù)列前n項和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前n項和時，首先要判斷公比q是否為1，再由q的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比q是否為1時，要對q分q?1和q?1兩種情形討論求解。

3、等比數(shù)列的性質(zhì)：﹛ an﹜是公比為q的等比數(shù)列

（1）對稱性：若?an?是有窮數(shù)列，則與首末兩項等距離的兩項之積都等于首末兩項之積.即當(dāng)m?n?p?q時，則有am.an?ap.aq，特別地，當(dāng)m?n?2p時，則有am.an?ap.(2)單調(diào)性：若a1?0,q?1，或a1?0,0?q?1則{an}為遞增數(shù)列；若a1?0,q?1,或a1?0,0?q?1 則{an}為遞減數(shù)列；若q?0，則{an}為擺動數(shù)列；若q?1，則{an}為常數(shù)列.（3）①﹛?an﹜(?不等于0)公比=q；若﹛bn﹜公比為q

1則②﹛anbn﹜公比為q q1③﹛1/an﹜公比為1/q④﹛an﹜公比為q

（4）在數(shù)列{an}中，每隔k項（k? N*）取出一項，按原來的順序排列，所得數(shù)列仍為等比數(shù)列，公比為qk+1

（5）在數(shù)列{an}中，相鄰k項的和或積構(gòu)成公比為qk或qk2的等比數(shù)列 方法1：定義法

Eg：已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝

2??1??

(1)求證：為等差數(shù)列；

?Sn???

(2)求an的表達(dá)式．

解析：(1)證明 ∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，∴Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0.11

∵Sn≠0，∴＝2(n≥2)．

SnSn－1

??1??11

由等差數(shù)列的定義，可知??是以＝2為首項，以2為公差的等差數(shù)列．

S1a1??Sn??

由(1)，知＝(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，SnS1

∴Sn＝.2n

當(dāng)n≥2時，有an＝－2Sn·Sn－1＝－

2n

當(dāng)n＝1，a1＝

21??2

故a＝?

??－2n

n

n－

1n－

n＝n，方法2：等差、等比中項法

Eg：已知數(shù)列{cn}，其中cn=2n+3n，且數(shù)列{cn+1-pcn}為等比數(shù)列，求常數(shù)p 解析：=即，整理得，解得p=2或p=3．，

第五篇：證明數(shù)列是等比數(shù)列

證明數(shù)列是等比數(shù)列

an=(2a-6b)n+6b

當(dāng)此數(shù)列為等比數(shù)列時，顯然是常數(shù)列，即2a-6b=0

這個是顯然的東西，但是我不懂怎么證明

常數(shù)列嗎.所以任何一個K和M都應(yīng)該有ak=amak=(2a-6b)k+6bam=(2a-6b)m+6bak-am=(2a-6b)(k-m)因為ak-am恒為0km任意所以一定有2a-6b=0即a=3b

補(bǔ)充回答：題目條件看錯,再證明當(dāng)此數(shù)列為等比數(shù)列時

2a-6b=0

因為等比a3:a2=a2:a

1即(6a-12b)*2a=(4a-6b)^

2a^2-6ab+9b^2=0

即(a-3b)^2=0

所以肯定有a=3b成立

2數(shù)列an前n項和為Sn已知a1=1a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......)證明

(1)(Sn/n)是等比數(shù)列

(2)S(n+1)=4an1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn

即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn

nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn

nS(n+1)=(2n+2)Sn

S(n+1)/(n+1)=2Sn/n

即S/=

2S1/1=A1=

1所以Sn/n是以2為公比1為首項的等比數(shù)列

2、由1有Sn/n是以2為公比1為首項的等比數(shù)列

所以Sn/n的通項公式是Sn/n=1*2^(n-1)

即Sn=n2^(n-1)

那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)

An=Sn-S(n-1)

=n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2)

=n*2*2^(n-2)-(n-1)2^(n-2)

=*2^(n-2)

=(n+1)2^(n-2)

=(n+1)*2^n/2^

2=(n+1)2^n/

4=S(n+1)/4

所以有S(n+1)=4An

a(n)-a(n-1)=2(n-1)

上n-1個式子相加得到：

an-a1=2+4+6+8+.....2(n-1)

右邊是等差數(shù)列，且和=(n-1)/2=n(n-1)

所以：

an-2=n^2-n

an=n^2-n+24、已知數(shù)列{3*2的N此方}，求證是等比數(shù)列

根據(jù)題意，數(shù)列是3*2^n(^n表示肩膀上的方次),n=1,2,3,...為了驗證它是等比數(shù)列只需要比較任何一項和它相鄰項的比值是一個不依賴項次的固定比值就可以了.所以第n項和第n+1項分別是3*2^n和3*2^(n+1),相比之后有:

/(3*2^n)=

2因為比值是2,不依賴n的選擇,所以得到結(jié)論.5數(shù)列an前n項和為Sn已知a1=1a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......)證明

(1)(Sn/n)是等比數(shù)列

(2)S(n+1)=4an1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn

即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn

nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn

nS(n+1)=(2n+2)Sn

S(n+1)/(n+1)=2Sn/n

即S/=

2S1/1=A1=

1所以Sn/n是以2為公比1為首項的等比數(shù)列

2、由1有Sn/n是以2為公比1為首項的等比數(shù)列

所以Sn/n的通項公式是Sn/n=1*2^(n-1)

即Sn=n2^(n-1)

那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)

An=Sn-S(n-1)