第一篇：等差數(shù)列的證明

一、等差數(shù)列的證明 利用等差（等比）數(shù)列的定義

在數(shù)列{an}中，若an?an?1?d

二．運用等差中項性質(zhì)

an?an?2?2an?1?{an}是等差數(shù)列

三．通項與前n項和法

若數(shù)列通項an能表示成an?an?b（a，b為常數(shù)）的形式，則數(shù)列?an?是等差數(shù)列； 若數(shù)列?an?的前n項和Sn能表示成Sn?an2?bn(a，b為常數(shù))的形式，則數(shù)列?an?等差數(shù)列；

例1.若Sn是數(shù)列?an?的前n項和，Sn?n2,則?an?是().Ａ．等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列Ｂ.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列Ｃ．等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列Ｄ.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列

練習(xí)：已知數(shù)列前n項和sn?n2?2n，求通項公式an，并說明這個數(shù)列是否為等差數(shù)列。

練習(xí)：設(shè)數(shù)列?an?的前n項的和Sn?n2?2n?4,?n?N??，⑴寫出這個數(shù)列的前三項a1,a2,a3；

⑵證明：數(shù)列?an?除去首項后所成的數(shù)列a2,a3,a4?是等差數(shù)列。

例2：已知數(shù)列?an?滿足a1?1，an?2an?1?2

（Ⅰ）求證：數(shù)列?n?n?2?，?an?是等差數(shù)列； n?2??

（Ⅱ）求數(shù)列?an?的通項公式。

練習(xí)：已知數(shù)列?an?滿足a1?2，an?1?an，1?2an（Ⅰ）求證：數(shù)列??1??是等差數(shù)列； a?n?（Ⅱ）求數(shù)列?an?的通項公式。

第二篇：如何證明等差數(shù)列

如何證明等差數(shù)列

設(shè)等差數(shù)列an=a1+(n-1)d

最大數(shù)加最小數(shù)除以二即

/2=a1+(n-1)d/2

{an}的平均數(shù)為

Sn/n=/n=a1+(n-1)d/2

得證

1三個數(shù)abc成等差數(shù)列，則c-b=b-a

c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)

b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)

因c-b=b-a，則(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)

即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)

所以a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)成等差數(shù)列

等差：an-(an-1)=常數(shù)(n≥2)

等比：an/(an-1=常數(shù)(n≥2)

等差：an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)

等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).2

我們推測數(shù)列{an}的通項公式為an=5n-4

下面用數(shù)學(xué)規(guī)納法來證明：

1)容易驗證a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推測均成立

2)假設(shè)當(dāng)n≤k時，推測是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)

則Sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2

于是S(k+1)=a(k+1)+Sk

而由題意知：(5k-8)S(k+1)-(5k+2)Sk=-20k-8

即：(5k-8)*-(5k+2)Sk=-20k-8

所以(5k-8)a(k+1)-10Sk=-20k-8

即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)

所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4

即知n=k+1時，推測仍成立。

在新的數(shù)列中

An=S

=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)

A(n-1)=S

=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

An-A(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

=4d+4d+4d+4d+4d

=20d(d為原數(shù)列公差)

20d為常數(shù),所以新數(shù)列為等差數(shù)列上，an=5n-4即為數(shù)列的通項公式，故它為一等差數(shù)列。

A(n+1)-2An=2(An-2An-1)A(n+1)-2An=3*2^(n-1)兩邊同時除2^(n+1)得-An/2^n=3/4即{An/2^n}的公差為3/4An除以2的n次方為首項為1/2公差為3/4的等差數(shù)列

那么你就設(shè)直角三角形地三條邊為a，a+b,a+2b

于是它是直角三角形得到

a2+(a+b)2=(a+2b)2

所以a2+a2+2ab+b2=a2+4ab+4b2

化簡得a2=2ab+3b2

兩邊同時除以b2

解得a/b=3即a=3b

所以三邊可以寫為3b，3b+b。3b+2b

所以三邊之比為3：4：5

設(shè)等差數(shù)列an=a1+(n-1)d

最大數(shù)加最小數(shù)除以二即

/2=a1+(n-1)d/2

{an}的平均數(shù)為

Sn/n=/n=a1+(n-1)d/2

得證

第三篇：等差數(shù)列證明[推薦]

設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，若對于所有的正整數(shù)n，都有Sn=n(a1+an)/2,求證：｛an｝是等差數(shù)列

解：證法一：令d=a2－a1，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明an=a1+（n－1）d（n∈N*）①當(dāng)n=1時，上述等式為恒等式a1=a1，當(dāng)n=2時，a1+（2－1）d=a1+（a2－a1）=a2，等式成立.②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N，k≥2）時命題成立，即ak=a1+（k－1）d 由題設(shè)，有Sk?

k(a1?ak)(k?1)(a1?ak?1),Sk?1?，22

(k?1)(a1?ak?1)k(a1?ak)

?+ak+1

又Sk+1=Sk+ak+1，所以

將ak=a1+（k－1）d代入上式，得（k+1）（a1+ak+1）=2ka1+k（k－1）d+2ak+1 整理得（k－1）ak+1=（k－1）a1+k（k－1）d ∵k≥2，∴ak+1=a1+［（k+1）－1］d.即n=k+1時等式成立.由①和②，等式對所有的自然數(shù)n成立，從而{an}是等差數(shù)列.證法二：當(dāng)n≥2時，由題設(shè)，Sn?1?

(n?1)(a1?an?1)n(a1?an),Sn?

所以an?Sn?Sn?1?

n(a1?a2)(n?1)(a1?an?1)

? 22

(n?1)(a1?an?1)n(a1?an)

?同理有an?1?

從而an?1?an?

(n?1)(a1?an?1)(n?1)(a1?an?1)

?n(a1?an)?

整理得：an+1－an=an－an－1，對任意n≥2成立.從而{an}是等差數(shù)列.評述：本題考查等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識，數(shù)學(xué)歸納法及推理論證能力，教材中是由等差數(shù)列的通項公式推出數(shù)列的求和公式，本題逆向思維，由數(shù)列的求和公式去推數(shù)列的通項公式，有一定的難度.考生失誤的主要原因是知道用數(shù)學(xué)歸納法證，卻不知用數(shù)學(xué)歸納法證什么，這里需要把數(shù)列成等差數(shù)列這一文字語言，轉(zhuǎn)化為數(shù)列通項公式是an=a1+（n－1）d這一數(shù)學(xué)符號語言.證法二需要一定的技巧.

第四篇：等差數(shù)列的證明

等差數(shù)列的證明

1三個數(shù)abc成等差數(shù)列，則c-b=b-a

c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)

b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)

因c-b=b-a，則(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)

即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)

所以a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)成等差數(shù)列

等差：an-(an-1)=常數(shù)(n≥2)

等比：an/(an-1=常數(shù)(n≥2)

等差：an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)

等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).2

我們推測數(shù)列{an}的通項公式為an=5n-4

下面用數(shù)學(xué)規(guī)納法來證明：

1)容易驗證a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推測均成立

2)假設(shè)當(dāng)n≤k時，推測是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)

則Sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2

于是S(k+1)=a(k+1)+Sk

而由題意知：(5k-8)S(k+1)-(5k+2)Sk=-20k-8

即：(5k-8)*-(5k+2)Sk=-20k-8

所以(5k-8)a(k+1)-10Sk=-20k-8

即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)

所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4

即知n=k+1時，推測仍成立。

在新的數(shù)列中

An=S

=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)

A(n-1)=S

=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

An-A(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

=4d+4d+4d+4d+4d

=20d(d為原數(shù)列公差)

20d為常數(shù),所以新數(shù)列為等差數(shù)列上，an=5n-4即為數(shù)列的通項公式，故它為一等差數(shù)列。

A(n+1)-2An=2(An-2An-1)A(n+1)-2An=3*2^(n-1)兩邊同時除2^(n+1)得-An/2^n=3/4即{An/2^n}的公差為3/4An除以2的n次方為首項為1/2公差為3/4的等差數(shù)列

證明：

an=Sn-Sn-1=n(a1+an)/2-(n-1)(a1+an-1)/2

2an=na1+nan-na1-nan-1+a1+an-1

(n-2)an=(n-1)*(an-1)-a1(1)

同理

(n-1)*(an+1)=nan-a1(2)

(1)-(2)

得到

(2n-2)an=(n-1)*(an-1)+(n-1)(an+1)

2an=an-1+an+1

所以an+1-an=an-an-1

所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列

那么你就設(shè)直角三角形地三條邊為a，a+b,a+2b

于是它是直角三角形得到

a2+(a+b)2=(a+2b)2

所以a2+a2+2ab+b2=a2+4ab+4b2

化簡得a2=2ab+3b2

兩邊同時除以b2

解得a/b=3即a=3b

所以三邊可以寫為3b，3b+b。3b+2b

所以三邊之比為3：4：5

設(shè)等差數(shù)列an=a1+(n-1)d

最大數(shù)加最小數(shù)除以二即

/2=a1+(n-1)d/2

{an}的平均數(shù)為

Sn/n=/n=a1+(n-1)d/2

得證

第五篇：證明等比等差數(shù)列

1．已知數(shù)列滿足a1=1，an＋1=2an＋1(n∈N*)(1)求證數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；(2)求{an}的通項公式．

2.已知數(shù)列{an}中，a13?5，an?2?1an?1(n?2,n?N)?，數(shù)列{bn}滿足

bn?1(n?N?)an?1；

（1）求證：數(shù)列（2）求數(shù)列

{bn}是等差數(shù)列；

{an}的通項公式

na?1,a?2a?2??3.在數(shù)列an中，1 n?1n（1）設(shè)bn?an,n?1證明2?bn?是等差數(shù)列;（2）求數(shù)列?an?的通項公式。

4.設(shè)數(shù)列

{lgan}是等差數(shù)列；{an}的前n項和為Sn,a1?10,an?1?9Sn?10。

求證：

5.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an+2Sn·Sn－1=0(n≥2),a1=1/2.（1）求證：{1/Sn}是等差數(shù)列；（2）求an表達(dá)式；