第一篇：等比數(shù)列知識點及經(jīng)典習(xí)題

等比數(shù)列7.1

1等比數(shù)列

知識梳理：

1、等比數(shù)列的定義：q稱為。

2、通項公式：，首項：a1；公比：q

推廣：。

（2）若m?n?s?t(m,n,s,t?N*)，則。特別的，當(dāng)m?n?2k時，得(注：a1?an?a2?an?1?a3an?2???)（3）數(shù)列{an}，{bn}為等比數(shù)列，則數(shù)列{

3、等比中項：

零常數(shù)）均為（1）如果a,A,b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項，即：數(shù)列。

或。（5）數(shù)列{an}為等比數(shù)列，每隔k(k?N*)項取出一項(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍為等比數(shù)列

注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項，并且它們的等比中項有兩個（兩個等比中項互為相

反數(shù)）

（6）如果{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列{logaan}是等差數(shù)列

（2）數(shù)列?an?是等比數(shù)列?an2?an?1?an?1

4、等比數(shù)列的前n項和Sn公式：

（1）當(dāng)q?1時，Sn（2）當(dāng)q?1時，Sn?

5、等比數(shù)列的判定方法：

（1）用定義：對任意的n，都有an?1?qan或列

（2）等比中項：an?an?1an?1(an?1an?1?0)?{an}為等比數(shù)列（3）通項公式：an?A?B

n

2ak，{k?an}，{ank}，{k?an?bn}，{n（k為非

bnan

（7）若{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列Sn，S2n?Sn，S3n?S2n,???，成數(shù)列

（8）若{an}為等比數(shù)列，則a1?a2?????an，an?1?an?2?????a2n，a2n?1?a2n?2??????a3n成等比數(shù)列 基礎(chǔ)題練習(xí)：

1、數(shù)列?an?滿足an??an?1?n?2?，a1?

a1a

?1qn?A?A?Bn?A'Bn?A'（A,B,A',B'為常數(shù)）1?q1?q

4，則a4?_________．

322、已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3·a9=2a5a2=1，則a1= ______________．

3、若公比為

an?

1?q(q為常數(shù)，an?0)?{an}為等比數(shù)an

2的等比數(shù)列的首項為，末項為，則這個數(shù)列的項數(shù)是________。

8334、已知等比數(shù)列?an?中，a3?3，a10?384，則該數(shù)列的通項an?_________________．

5、若?an?為等比數(shù)列，且2a4?a6?a5，則公比q?________．

6、設(shè)a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，其公比為2，則

?A?B?0??{an}為等比數(shù)列

2a1?a

2的值為________．

2a3?a

4（4）前n項和公式：Sn?A?Bn?A.6、等比數(shù)列的證明方法：

依據(jù)定義：若

7、已知等差數(shù)列?an?的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2?________．

8、若a、b、c成等比數(shù)列，則函數(shù)y?ax?bx?c的圖象與x軸交點的個數(shù)為________．

9、已知數(shù)列?an?為等比數(shù)列，a3?2，a2?a4?

10、等比數(shù)列{an}中，公比q=

2an

?q?q?0??n?2,且n?N*?或an?1?qan?{an}為等比數(shù)列 an?

120，求?an?的通項公式．

37、等比數(shù)列的性質(zhì)：

（1）對任何m,n?N，在等比數(shù)列{an}中，有an?amq

*

n?m，特別的，當(dāng)m?1時，便得到

且a2+a4+…+a100=30，則a1+a2+…+a100=______________.2等比數(shù)列的通項公式。因此，此公式比等比數(shù)列的通項公式更具有一般性。

11、在等比數(shù)列?an?中，如果a6?6，a9?9，那么a3為_________.等比數(shù)列7.1112、在等比數(shù)列?an?中，a1?1，a10?3，則a2a3a4a5a6a7a8a9等于_________.13、在等比數(shù)列?an?中，a9?a10?a?a?0?，a19?a20?b，則a99?a100等于_________.14、在等比數(shù)列?an?中，a3和a5是二次方程x?kx?5?0的兩個根，則a2a4a6的值為（）

能力提升

1、若?an?是等比數(shù)列，且an?0，若a2a4?2a3a5?a4a6?25，那么a3?a5的值等于

2、若數(shù)列的前n項和Sn=a1+a2+…+an，滿足條件log2Sn=n，那么{an}是()A.公比為2的等比數(shù)列B.公比為的等比數(shù)列

215.等比數(shù)列?an?的前n項和為Sn，已知S1,S3,S2成等差數(shù)列.（1）求?an?的公比q；（2）若a1?a3?3，求Sn.16．已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}的通項；(2)求數(shù)列{2an

}的前n項和Sn.C.公差為2的等差數(shù)列D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列

3、等比數(shù)列前n項和Sn=2n-1，則前n項的平方和為_________.4、已知等比數(shù)列{an}中an?1?an，且a3?a7?3,a2?a8?2，則

a1

1a?（）75、已知等差數(shù)列{aan}，公差d?0,a17

1，a3，a4成等比數(shù)列，則

a1?a5?a=

2?a6?a186、等比數(shù)列{an}的公比q?0, 已知a2=1，an?2?an?1?6an，則{an}的前4項和S4。

7、設(shè)等比數(shù)列{ aS6n}的前n 項和為Sn，若

S=3，則S

9S =。36

8.等比數(shù)列{a32

n}滿足：a1＋a6＝11，a3·a4＝9

q∈(0,1)．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)若該數(shù)列前n項和Sn＝21，求n的值．

第二篇：等比數(shù)列習(xí)題及答案

等比數(shù)列習(xí)題

一．選擇題。設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且公比不為1，則a1?a8與a4?a5的大小關(guān)系為（）

A．a(chǎn)1?a8?a4?a5B．a(chǎn)1?a8?a4?a5C． a1?a8?a4?a5 D．與公比的值有關(guān)

2．已知{an}是等比數(shù)列，且an?0，a2a4?2a3a5?a4a6?25，那么a3?a5?（）

A． 10B． 15C． 5D．6

3．設(shè){an}是正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比q?2，且a1a2a3?a30?230，那么a3a6a9?a30?（）

A． 210B． 220C． 216D．2 15

4．三個數(shù)成等比數(shù)列，其和為44，各數(shù)平方和為84，則這三個數(shù)為（）

A．2，4，8B．8，4，2C．2，4，8，或8，4，2D．142856,?, 333

5．等比數(shù)列{an}的首項為1，公比為q，前n項的和為S，由原數(shù)列各項的倒數(shù)組成一個新數(shù)列{前n項的和是（）11}，由{}的anan

1A．51SqnB． nC．n?1D． qSqS

6．若等比數(shù)列{an}的前項之和為Sn?3n?a，則a等于（）

A．3B．1C．0

7．一個直角三角形三邊的長成等比數(shù)列，則（）

A．三邊邊長之比為3:4:5，D．?1 B

．三邊邊長之比為，C，D，8．等比數(shù)列a1a2a3的和為定值m(m>0)，且其公比為q<0，令t?a1a2a3，則t的取值范圍是（）

A． [?m,0)B． [?m,??)C．(0,m]D．(??,m]

9．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和Sn?P(P?R,n?N),那么{an}（）

A．是等比數(shù)列B．當(dāng)時P?0是等比數(shù)列

C．當(dāng)P?0,P?1時是等比數(shù)列D．不是等比數(shù)列

10．認(rèn)定：若等比數(shù)列{an}的公比q滿足q?1，則它的所有項的和S?n?33331212a1，設(shè)S??2?3?4??。則77771?q

S?（）

A．

4138B．C．D． 15161615

11.若數(shù)列是等比數(shù)列，下列命題正確的個數(shù)是（）①{an2}，{a2n}是等比數(shù)列②{lgan}成等差數(shù)列③1，an成等比數(shù)列 ④{can}，{an?k}(k?0)成等比an

數(shù)列。

A． 5B．4C．3D．2 12．等比數(shù)列{an}中a1?512，公比q??是（）

A． ?11B．?10C．?9D．?8

二．填空題。（本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上。）

13.有三個正數(shù)成等比數(shù)列，其和為21，若第三個數(shù)減去9，則它們成等差數(shù)列，這三個數(shù)分別為_____________。14．若不等于1的三個正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，則(2?logba)(1?logca)?_______。15．在等比數(shù)列中，a1?3，q?4，使Sn?3000的最小自然數(shù)n=________。

16．若首項為a1，公比為q的等比數(shù)列{an}的前n項和總小于這個數(shù)列的各項和，則首項a1公比q的一組取值可以是，用?n?a1?a2???an表示它的前n項之積，則?1,?2,?,中最大的2

(a1,q)?_________。

三．解答題。17．（本小題10分）已知三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27，它們的平方和為91，求這三個數(shù)。18．（本小題10分）設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是其前n項和，證明

log0.5Sn?log0.5Sn?2

?log0.5Sn?1。

19．（本小題12分）{an}為等差數(shù)列(d?0)，{an}中的部分項組成的數(shù)列ak1,ak2,?akn恰為等比數(shù)列，且

k1?1,k2?5,k3?17，求k1?k2???kn。

a1?20．（本小題12分）設(shè)有數(shù)列{an}，且滿足3?????3??1。

（1）求證：數(shù)列{an?是等比數(shù)列。（2）求數(shù)列{an}的通項an以及前n項和Sn。

答案：一．1．A2．C 3．B 4．C 5．C6．D 7．C 8．C 9．D 10．C 11．D 12．C 二．13． 1，4，16或16，4，1，14。215。616。(1,)，若以a1,a2,a3,?,an為系數(shù)的二次方程an?1x2?anx?1?0都有根?,?，6

a??q?a?aq?27???????????(1)

a

三．17解：設(shè)這三個數(shù)分別為,a,aq，則?a2222-------------4分

?a?aq?91????o??(2)q??q由(1)得a?3，代入(2)得q??3或q??

-----------------------7分 3

?當(dāng)q?3時，這三個數(shù)分別為1，3，9；當(dāng)q??3時，這三個數(shù)分別為?1,3,?9；

當(dāng)q?

時，這三個數(shù)分別為9，3，1；當(dāng)q??時，這三個數(shù)分別為?9,3,?1。----------10分 33

18．證明：設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)知a1?0,q?0，當(dāng)q?1時，Sn?na1，從而Sn?Sn?2?Sn?12?na1?(n?2)a1?(n?1)2a12??a12?0?Sn?Sn?2?Sn?12------4分

a1(1?qn)a12(1?qn)(1?qn?2)a12(1?qn?1)22

當(dāng)q?1時，Sn?，從而Sn?Sn?2?Sn?1????a12qn?0 22

1?q(1?q)(1?q)

?Sn?Sn?2?Sn?12-------8分

?0.5?1?log0.5Sn?Sn?2?log0.5Sn?12即

log0.5Sn?log0.5Sn?2

?log0.5Sn?1----------------10分

19．解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等到比數(shù)列的公比為q，則題意得a52?a1a17，?(a1?4d)2?a1(a1?16d)即d?

a1aa?4d又q?5?1?3---------------4分 2a1a1

?akn?ak1?3n?1?a1?3n?1???????(1)

由{an}是等差數(shù)列，有 akn?a1?(kn?1)d?a1?(kn?1)由（1）（2）得

k?1a1

?akn?na1?????(2)---8分 22

kn?2?3

n?1

?1?k1?k2???kn?(2?3?1)?(2?3?1)???(2?3

01n?1

1?(3n?1)

?n?3n?n?1 ?1)?2

3?1

20．解：（1）????

11an1，???代入3?????3??1得an?an?1?

33an?1an?1

1111

an?1??

?1(定值)?數(shù)列{a?1}是等比數(shù)列。----------5分 ??n

1123an?1?an?1?22an?

第三篇：等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合習(xí)題

等差數(shù)列等比數(shù)列綜合練習(xí)題

一．選擇題

1.已知an?1?an?3?0，則數(shù)列?an?是（）

A.遞增數(shù)列

B.遞減數(shù)列

C.常數(shù)列

D.擺動數(shù)列

1，那么它的前5項的和S5的值是（）231333537A．

B．

C．

D．

22223.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若S7=35，則a4=（）2.等比數(shù)列{an}中，首項a1?8，公比q? A.8

B.7

C.6

D.5 ,則2a9?a10?（）4.等差數(shù)列{an}中，a1?3a8?a15?120 A．24

B．22

C．20

D．-8 215.已知數(shù)列?an?中，a1?1,an?2an?1?3，求此數(shù)列的通項公式.16.設(shè)等差數(shù)列

?an?的前n項和公式是sn?5n2?3n,求它的前3項，并求它的通項公式.5.數(shù)列?an?的通項公式為an?3n?28n，則數(shù)列?an?各項中最小項是（）

A.第4項

B.第5項

C.第6項

D.第7項

2a?b等于（）

2c?d11

1A．1

B．

C．

D．

824a20?（）7.在等比數(shù)列?an?中,a7?a11?6,a4?a14?5,則a1023232

3A.B.C.或

D.?或 ?

3232328.已知等比數(shù)列?an?中,an>0,a2a4?2a3a5?a4a6?25,那么a3?a5=（）6.已知a，b，c，d是公比為2的等比數(shù)列，則

A.5

B.10

C.15

D.20 二．填空題

9．已知{an}為等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，則a75＝________

10.在等比數(shù)列{an}中，a2?a8?16，則a5=__________

11．在等差數(shù)列{an}中，若a7＝m，a14＝n，則a21＝__________

12.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a3+a17=10,則S19的值_________

13.已知等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，則前9項之和等于_________

三.解答題

14.設(shè)三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為6，其中最后一個數(shù)加上1后，這三個數(shù)又成等比數(shù)列，求這三個數(shù).等差數(shù)列、等比數(shù)列同步練習(xí)題

等差數(shù)列

一、選擇題

1、等差數(shù)列-6，-1，4，9，……中的第20項為（）

A、89 B、-101 C、101 D、-89

2． 等差數(shù)列{an}中，a15=33，a45=153，則217是這個數(shù)列的（）

A、第60項 B、第61項 C、第62項

D、不在這個數(shù)列中

3、在-9與3之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成和為-21的等差數(shù)列，則n為

A、4 B、5 C、6 D、不存在

4、等差數(shù)列{an}中，a1+a7=42，a10-a3=21，則前10項的S10等于（）

A、720 B、257 C、255 D、不確定

5、等差數(shù)列中連續(xù)四項為a，x，b，2x，那么 a ：b 等于（）

A、B、C、或 1 D、6、已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n2-3n，而a1，a3，a5，a7，……組成一新數(shù) 列{Cn}，其通項公式為（）

A、Cn=4n-3 B、Cn=8n-1 C、Cn=4n-5 D、Cn=8n-9

7、一個項數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列，它的奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和分別是24與30 若此數(shù)列的最后一項比第-10項為10，則這個數(shù)列共有（）

A、6項 B、8項 C、10項 D、12項

8、設(shè)數(shù)列{an}和{bn}都是等差數(shù)列，其中a1=25，b1=75，且a100+b100=100，則數(shù)列{an+bn}的前100項和為（）

A、0 B、100 C、10000 D、505000

答案1． A

2、B

3、B

4、C

5、B

6、D 7、A

8、C

二、填空題

9、在等差數(shù)列{an}中，an=m，an+m=0，則am= ______。

10、在等差數(shù)列{an}中，a4+a7+a10+a13=20，則S16= ______。11． 在等差數(shù)列{an}中，a1+a2+a3+a4=68，a6+a7+a8+a9+a10=30，則從a15到a30的和是 ______。

12． 已知等差數(shù)列 110，116，122，……，則大于450而不大于602的各項之和為 ______。

三、解答題

13． 已知等差數(shù)列{an}的公差d=，前100項的和S100=145求： a1+a3+a5+……+a99的值

14． 已知等差數(shù)列{an}的首項為a，記

(1)求證：{bn}是等差數(shù)列

(2)已知{an}的前13項的和與{bn}的前13的和之比為 3 ：2，求{bn}的公差。

15． 在等差數(shù)列{an}中，a1=25，S17=S9(1)求{an}的通項公式

(2)這個數(shù)列的前多少項的和最大？并求出這個最大值。

16、等差數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，且已知Sn的最大值為S99，且|a99|〈|a100| 求使Sn〉0的n的最大值。

答案：

二、填空題

9、n10、80

11、-368 12、13702

13、∵{an}為等差數(shù)列∴ an+1-an=d

∴ a1+a3+a5+…+a99=a2+a4+a6+…+a100-50d

又（a1+a3+a5+…+a99）+（a2+a4+a6+…+a100）=S100=145 ∴ a1+a3+a5+…+a99=

=60

14、(1)證：設(shè){an}的公差為d則an=a+（n-1）d

當(dāng)n≥0時 b n-bn-1=

d 為常數(shù)∴ {bn}為等差數(shù)列

（2）記{an}，{bn}的前n項和分別為A13，B13則，∴{bn}的公差為

15、S17=S9 即 a10+a11+…+a17=

∴ an=27-2n

=169-（n-13）2

當(dāng)n=13時，Sn最大，Sn的最大值為169

16、S198=（a1+a198）=99(a99+a100)<0 S197=

(a1+a197)=

(a99+ a99)>0

又 a99>0，a100<0則 d<0

∴當(dāng)n<197時，Sn>0 ∴ 使 Sn>0 的最大的n為197

等比數(shù)列

一、選擇題

1、若等比數(shù)列的前3項依次為A、1 B、C、D、，……，則第四項為（）

2、等比數(shù)列{an}的公比q>1，其第17項的平方等于第24項，求：使a1+a2+a3+……+an>

成立的自然數(shù)n的取值范圍。

2、公比為的等比數(shù)列一定是（）

A、遞增數(shù)列 B、擺動數(shù)列 C、遞減數(shù)列 D、都不對

3、在等比數(shù)列{an}中，若a4·a7=-512，a2+a9=254，且公比為整數(shù)，則a12=（）

A、-1024 B、-2048 C、1024 D、2048

4、已知等比數(shù)列的公比為2，前4項的和為1，則前8項的和等于（）

A、15 B、17 C、19 D、21

5、設(shè)A、G分別是正數(shù)a、b的等差中項和等比中項，則有（）

3、已知等比數(shù)列{an}，公比q>0，求證：SnSn+2

6、{an}為等比數(shù)列，下列結(jié)論中不正確的是（）

A、{an2}為等比數(shù)列 B、為等比數(shù)列

C、{lgan}為等差數(shù)列 D、{anan+1}為等比數(shù)列

7、a≠0，b≠0且b≠1，a、b、c為常數(shù)，b、c必須滿足（）

一個等比數(shù)列前幾項和Sn=abn+c，那么a、A、a+b=0

B、c+b=0

C、c+a=0

D、a+b+c=0

8、若a、b、c成等比數(shù)列，a，x，b和b，y，c都成等差數(shù)列，且xy≠0，則 的值為（）

A、1 B、2 C、3 D、4

4、數(shù)列{an}的前幾項和記為An，數(shù)列{bn}的前幾項和為Bn，已知答案：

一、1、A

2、D

3、B

4、B

5、D

6、C

7、C

8、B 求Bn及數(shù)列{|bn|}的前幾項和Sn。

二、填空題

1、在等比數(shù)列{an}中，若S4=240，a2+a4=180，則a7= _____,q= ______。

2、數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1=-，則an = ______，Sn= ______。

3、等比數(shù)列a，-6，m，-54，……的通項an = ___________。

4、{an}為等差數(shù)列，a1=1，公差d=z，從數(shù)列{an}中，依次選出第1，3，32……3n-1項，組成數(shù)

列{bn},則數(shù)列{bn}的通項公式是__________，它的前幾項之和是_________。

二、計算題

1、有四個數(shù)，前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和為37，第

二個數(shù)與第三個數(shù)的和為36，求這四個數(shù)。，答案

一、1、6；32、3、-2·3n-1或an=2（-3）n-1 4、2·3n-1-1；3n-n-1

二、1、解：由題意，設(shè)立四個數(shù)為a-d，a，a+d，則

由（2）d=36-2a（3）

把（3）代入（1）得 4a2-73a+36×36=0（4a-81）（a-16）=0 ∴所求四數(shù)為或12，16，20，25。

2、解：設(shè){an}的前幾項和Sn，的前幾項的和為Tn an=a1qn-1

∵Sn>Tn ∴即>0 又

∴a12qn-1>1（1）

又a172=a24即a12q32>a1q23 ∴a1=q-9（2）由（1）（2）

∴n≥0且n∈N

3、證一：（1）q=1 Sn=na1 SnSn+2-Sn+12=（na1）[（n+2）a1]-[（n+1）a1]2=-a12（2）q≠1

=-a12qn<0

∴SnSn+2

SnSn+2-Sn+12=Sn（a1+qSn+1）-Sn+1（a1+qSn）=a1（Sn-Sn+1）

=-a1a n+1=-a12qn<0 ∴SnSn+2

4、解：n=1

n≥2時，∴

bn=log2an=7-2n

∴{bn}為首項為5，公比為（-2）的等比數(shù)列

令bn>0，n≤3

∴當(dāng)n≥4時，bn〈0

1≤n≤3時，bn〉0 ∴當(dāng)n≤3時，Sn=Bn=n（6-n），B3=9

當(dāng)n≥4時，Sn=b1+b2+b3-（b4+b5+…+bn）=2B3-Bn=18-n（6-n）=n2-6n+18

第四篇：等差數(shù)列、等比數(shù)列知識點梳理

等差數(shù)列和等比數(shù)列知識點梳理

第一節(jié)：等差數(shù)列的公式和相關(guān)性質(zhì)

1、等差數(shù)列的定義：對于一個數(shù)列，如果它的后一項減去前一項的差為一個定值，則稱這個數(shù)列為等差數(shù)列，記：an?an?1?d（d為公差）（n?2，n?N*）注：下面所有涉及n，n?N*省略，你懂的。

2、等差數(shù)列通項公式：

an?a1?(n?1)d，a1為首項，d為公差

推廣公式：an?am?(n?m)d

變形推廣：d?

3、等差中項

（1）如果a，A，那么A叫做a與b的等差中項．即：b成等差數(shù)列，A?a?b2an?am n?m或2A?a?b

（2）等差中項：數(shù)列?an?是等差數(shù)列

?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2

4、等差數(shù)列的前n項和公式：

Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22d212 ?n2?(a1?d)n?An2?Bn

（其中A、B是常數(shù)，所以當(dāng)d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0）

特別地，當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)2n?1時，an?1是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項

S2n?1??2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1（項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項和等于項數(shù)乘以中間項）

5、等差數(shù)列的判定方法（1）定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N?)? ?an?是等差數(shù)列．

（2）等差中項：數(shù)列?an?是等差數(shù)列

?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2

（3）數(shù)列?an?是等差數(shù)列?an?kn?b（其中k,b是常數(shù)）。

（4）數(shù)列?an?是等差數(shù)列?Sn?An2?Bn,（其中A、B是常數(shù)）。

6、等差數(shù)列的證明方法

定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數(shù)n?N?)? ?an?是等差數(shù)列．

7、等差數(shù)列相關(guān)技巧：

（1）等差數(shù)列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。

（2）設(shè)項技巧：

①一般可設(shè)通項an?a1?(n?1)d

②奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差為d）；

③偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（注意；公差為2d）

8、等差數(shù)列的性質(zhì)：

（1）當(dāng)公差d?0時，等差數(shù)列的通項公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前n和Sn?na1?n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為2220。

（2）若公差d?0，則為遞增等差數(shù)列，若公差d?0，則為遞減等差數(shù)列，若公差d?0，則為常數(shù)列。

（3）當(dāng)m?n?p?q時,則有am?an?ap?aq，特別地，當(dāng)m?n?2p時，則有am?an?2ap。（注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2????，）當(dāng)然擴(kuò)充到3項、4項??都是可以的，但要保證等號兩邊項數(shù)相同，下標(biāo)系數(shù)之和相等。

（4）?an?、?bn?為等差數(shù)列，則??an?b?，??1an??2bn?都為等差數(shù)列

(5)若{an}是等差數(shù)列，則Sn,S2n?Sn,S3n?S2n，?也成等差數(shù)列

(6)數(shù)列{an}為等差數(shù)列,每隔k(k?N*)項取出一項(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍為等差數(shù)列

（7）?an?、{bn}的前n和分別為An、Bn，則an?A2n?1

bnB2n?1（8）等差數(shù)列{an}的前n項和Sm?n，前m項和Sn?m，則前m+n項和Sm?n???m?n?，當(dāng)然也有an?m,am?n，則am?n?0

(9)求Sn的最值

法一：因等差數(shù)列前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性n?N*。

法二：（1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項和的最大值是所有非負(fù)項之和

即當(dāng)a1?0，d?0，由??an?0可得Sn達(dá)到最大值時的n值． a?0?n?1（2）“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前n項和的最小值是所有非正項之和。

即 當(dāng)a1?0，d?0，由??an?0可得Sn達(dá)到最小值時的n值． a?0?n?1或求?an?中正負(fù)分界項

法三：直接利用二次函數(shù)的對稱性：由于等差數(shù)列前n項和的圖像是過原點的二次函數(shù)，故n取離二次函數(shù)對稱軸最近的整數(shù)時，Sn取最大值（或最小值）。若S p = S q則其對稱軸為n?

注意：Sn?Sn?1?an(n?2)，對于任何數(shù)列都適用，但求通項時記住討論當(dāng)n?1的情況。

p?q 2解決等差數(shù)列問題時，通?？紤]兩類方法：

①基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d的方程； ②巧妙運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡，減少運(yùn)算量。（以上加上藍(lán)色的性質(zhì)希望讀者能夠自己證明，不是很難，并能夠?qū)W會運(yùn)用）

第二節(jié)：等比數(shù)列的相關(guān)公式和性質(zhì)

1、等比數(shù)列的定義：

2、通項公式：

an?a1qn?1，a1為首項，q為公比

an?q?q?0??n?2?，q為公比 an?1推廣公式：an?amqn?m，從而得qn?m?

3、等比中項

an am（1）如果a,A,b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項．即：A2?ab或A??ab 注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項，并且它們的等比中項有兩個（兩個等比中項互為相反數(shù)）

（2）數(shù)列?an?是等比數(shù)列?an2?an?1?an?1

4、等比數(shù)列的前n項和Sn公式：(1)當(dāng)q?1時，Sn?na1(2)當(dāng)q?1時，Sn?

?a1?1?qn?1?q?a1?anq 1?qa1a?1qn?A?A?Bn?A'Bn?A（'A,B,A',B'為常數(shù)）1?q1?q5、等比數(shù)列的判定方法（1）用定義：對任意的n,都有an?1?qan或為等比數(shù)列

an?1?q(q為常數(shù)，an?0)?{an}an（2）等比中項：an2?an?1an?1（an?1an?1?0）?{an}為等比數(shù)列（3）通項公式：an?A?Bn?A?B?0??{an}為等比數(shù)列（4）前n項和公式：

Sn?A?A?Bn或Sn?A'Bn?A'?A,B,A',B'為常數(shù)??{an}為等比數(shù)列

6、等比數(shù)列的證明方法 依據(jù)定義：若an?q?q?0??n?2,且n?N*?或an?1?qan?{an}為等比數(shù)列 an?

17、等比數(shù)列相關(guān)技巧：

（1）等比數(shù)列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。

（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)項的技巧，一般可設(shè)為通項：an?a1qn?1

如奇數(shù)個數(shù)成等比，可設(shè)為?，aa2?（公比為q，中間項，a,aq,aq2qq用a表示）；注意隱含條件公比q的正負(fù)

8、等比數(shù)列的性質(zhì)：(1)當(dāng)q?1時

①等比數(shù)列通項公式an?a1qn?1?a1nq?A?Bn?A?B?0?是關(guān)于n的帶有系q數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比q ②前n項和Sn?a1?1?qn?1?qa1?a1qna1a??1qn?A?A?Bn?A'Bn?A'，系1?q1?q1?q數(shù)和常數(shù)項是互為相反數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比q

(2)對任何m,n?N*,在等比數(shù)列{an}中,有an?amqn?m,特別的,當(dāng)m=1時,便得到等比數(shù)列的通項公式。因此,此公式比等比數(shù)列的通項公式更具有一般性。

(3)若m?n?s?t(m,n,s,t?N*),則an?am?as?at。特別的,當(dāng)m?n?2k時,得an?am?ak2

注：a1?an?a2?an?1?a3an?2???

(4)列{an},{bn}為等比數(shù)列,則數(shù)列{},{k?an},{ank},{k?an?bn}{n}(k為非零常數(shù))均為等比數(shù)列。

(5)數(shù)列{an}為等比數(shù)列,每隔k(k?N*)項取出一項(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍為等比數(shù)列

(6)如果{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,則數(shù)列{logaan}是等差數(shù)列(7)若{an}為等比數(shù)列,則數(shù)列Sn，S2n?Sn，S3n?S2n,???，成等比數(shù)列(8)若{an}為等比數(shù)列,則數(shù)列a1?a2?????an,an?1?an?2?????a2n，a2n?1?a2n?2??????a3n成等比數(shù)列

kanabn(9)①當(dāng)q?1時，②當(dāng)0

③當(dāng)q=1時,該數(shù)列為常數(shù)列（此時數(shù)列也為等差數(shù)列）;④當(dāng)q<0時,該數(shù)列為擺動數(shù)列。

(10)在等比數(shù)列{an}中, 當(dāng)項數(shù)為2n(n?N*)時,S奇S偶?1,。

q(11)若{an}是公比為q的等比數(shù)列,則Sn?m?Sn?qn?Sm

注意：在含有參數(shù)的數(shù)列時，若是等比數(shù)列，一定要考慮到公比q?1的特殊情況。

解決等比數(shù)列問題時，通常考慮兩類方法：

①基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和q的方程； ②巧妙運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡，減少運(yùn)算量。

關(guān)于等差、等比兩個引申：an?kan?1?b模式（其中k,b為常數(shù)，；an?pan?1?pn模式（其中p為常數(shù)，n?2）n?2）在這里我們以具體的例子給出，使其更容易理解：

例1

已知數(shù)列?an?，有an?3an?1?4（n?2），則求該數(shù)列的通項公式

解題大致思路：先設(shè)an?b?3(an?1?b)，則對于an?3an?1?4?an?2?3(an?1?2)，那么我們就可以構(gòu)造數(shù)列?an?2?為等比數(shù)列，利用等比的相關(guān)性質(zhì)去解決，注意：構(gòu)造新數(shù)列的首項和公比分別是多少？還有你考慮到當(dāng)n?1的這種情況了嗎？

例2

已知數(shù)列?bn?，有bn?2bn?1?2（n?2），求該數(shù)列的通項公式

n解題的大致思路：bn?2bn?1?2（n?2）?nbn2bn?1bnbn?1??1?n?1?1，相信你已?nnn2222經(jīng)知道構(gòu)造什么數(shù)列了吧，這兩個模式考試中喜歡考，也比較基礎(chǔ)，當(dāng)然也希望通過這兩個模式能讓你意識到求數(shù)列中的構(gòu)造思想。

第五篇：等比數(shù)列等差數(shù)列前n項和習(xí)題。（精選）

一.選擇題

1.若等比數(shù)列?an?的前n項和Sn?3n?a則a等于（）A.3B.1C.0D.?1

2.等比數(shù)列?an?的首項為1，公比為q，前n項和為S，則數(shù)列?（）

A.1S

?1?的前n項之和為n??a?

B.SC.Sq

n?1

D.1q

n?1

S

3.等比數(shù)列?an?中，S2?7，S6?91，則S4等于（）A.28B.28或?21C.?21D.49 4.已知?an?是公比為

12的等比數(shù)列，若a1?a4?a7???a97?100，則

a3?a6?a9???a99的值是（）

A.25B.50C.75D.125

二.填空題

1.等比數(shù)列?an?中，a1?a3?10，a4?a6?

則a4?，S5?。

2.等比數(shù)列?an?中，S4?2，S8?6，則a17?a18?a19?a20?。3.等比數(shù)列?an?中，a1??1，S10S5

?3132

則公比q?。

n

4.一個數(shù)列的通項為an?2?2n?1，那么它的前9項的和S9?。

三.解答題

n

1.已知等比數(shù)列?an?和等差數(shù)列?bn?，且an?2，bn?3n?2，設(shè)數(shù)列?an?、?bn?中

共同項由小到大排列組成數(shù)列?cn?。

（1）求cn的通項公式（2）求出?cn?的前2001項的和S2001 2.數(shù)列?an?滿足a1?1，an?

an?1?1（n?2）

（1）若bn?an?2，求證：?bn?為等比數(shù)列（2）求?an?的通項公式