第一篇：等差數(shù)列作業(yè)

等差數(shù)列作業(yè)

1.在等差數(shù)列?an?中,若

a4?a6?a8?a10?a12?120,則2a10?a12?__.2.等差數(shù)列?an?中,若a15?10,a45?90,則a60?_.3.在等差數(shù)列中，已知a 5 ?10a，12?31求首項與公差.4.梯子的最高一級寬33cm,最低一級寬110cm,中間還有10級.各級的寬度成等差數(shù)列,計算 中間各級的寬度.5.已知三個數(shù)成等差數(shù)列,他們的和為15,平方和為83,求這三個數(shù).6.2.成等差數(shù)列的四個數(shù)之和為26,第二個數(shù)與第三個數(shù)之積為40,求這四個數(shù).

第二篇：課時作業(yè)31 等差數(shù)列

課時作業(yè)31 等差數(shù)列

時間：45分鐘 分值：100分

一、選擇題(每小題5分，共30分)

1．已知{an}是等差數(shù)列，且a3＋a9＝4a5，a2＝－8，則該數(shù)列的公差是()

A．4

C．－4B．14 D．－14 解析：因為a3＋a9＝4a5，所以根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得a6＝2a5.所以a1＋5d＝2a1＋8d，即a1＋3d＝0.又a2＝－8，即a1＋d＝－8，所以公差d＝4.答案：A

2．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S17＝a，則a2＋a9＋a16等于()

aA.17

3aC.174aB.173aD．－17?a1＋a17?×17a解析：∵S17＝＝a，∴17a9＝a，a9＝172

3a∴a2＋a9＋a16＝3a9＝17.答案：C

3．已知公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a10＝S4，S則a等于()9

A．4

C．8B．5 D．10

4×3

解析：由a10＝S4得a1＋9d＝4a1＋2＝4a1＋6d，即a1＝d≠0.8×7

∴S8＝8a1＋2d＝8a1＋28d＝36d，S36d36d∴a＝＝＝4.a1＋8d9d9答案：A

4．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足a2 013＝S2 013＝2 013，則a1等于()

A．－2 014C．－2 012

B．－2 013 D．－2 011013－a1 007006

解析：S2 013＝2 013a1 007＝2 013，∴a1 007＝1，則d＝＝2，a1＝a2 013－2 012d＝－2 011.答案：D

5．已知等差數(shù)列{an}滿足a1>0,5a8＝8a13，則前n項和Sn取最大值時，n的值為()

A．20C．22

B．21 D．2

3解析：由5a8＝8a13得5(a1＋7d)＝8(a1＋12d)?d＝－611，由an

?3?641??＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)611≥0，得n≤3＝213{an}??

前21項都是正數(shù)，以后各項都是負(fù)數(shù)，故Sn取最大值時，n的值為21.答案：B

6．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1 007>0，則f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 012)＋f(a2 013)的值()

A．恒為正數(shù)C．恒為0

B．恒為負(fù)數(shù) D．可正可負(fù)

解析：a1＋a2 013＝2a1 007>0?a1>－a2 013?f(a1)>f(－a2 013)＝－f(a2

013)?f(a1)＋f(a2 013)>0，同理

f(a2)＋f(a2 012)>0，f(a3)＋f(a2 011)>0，…，f(a1 006)＋f(a1 008)>0，又a1 007>0?f(a1 007)>f(0)＝0，以上各式相加得f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 012)＋f(a2 013)>0.答案：A

二、填空題(每小題5分，共15分)

S7．等差數(shù)列{an}中a1＝1，前n項和Sn滿足S＝4，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝________.4a1＋6dS解析：設(shè)公差為d，則由S＝44.2a1＋d2又∵a1＝1，∴d＝2.n?n－1?d2

∴Sn＝na1＝n＋n(n－1)＝n.2答案：n2

8．已知等差數(shù)列{an}的公差為2，項數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項之和為15，所有偶數(shù)項之和為35，則這個數(shù)列的項數(shù)為________．

解析：∵項數(shù)是偶數(shù)，∴由題意知a1＋a3＋…＋an－1＝15，a2＋a4＋…＋an＝35，兩式相減得(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝35n4040

－15＝20，即2＝20，∴n＝d＝220.答案：20

9．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若(a2－1)3＋2 012(a2－1)＝1，(a2 011－1)3＋2 012·(a2 011－1)＝－1，則下列四個命題中真命題的序號為________．

①S2 011＝2 011；②S2 012＝2 012；③a2 0110，f(1)＝2 013>1知f(1)>f(a2－1)，故a2－1<1即a2<2又f(a2－1)＝－f(a2 011－1)＝1，故a2 011

×2 012＝2 012，S2 011＝S2 012－a2 012＝2 012－(2－a2＋d)＝2 2010＋a1>a1＋a2＝S2，又假設(shè)S2 011＝2 011，則a1＝1，a2 011＝1矛盾．綜上，正確的為②③.答案：②③

三、解答題(共55分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程)

10．(15分)在等差數(shù)列{an}中，已知a2＋a7＋a12＝12，a2·a7·a12

＝28，求數(shù)列{an}的通項公式．

解：由a2＋a7＋a12＝12，得a7＝4.又∵a2·a7·a12＝28，∴(a7－5d)(a7＋5d)·a7＝28，∴16－25d2＝7，933∴d2＝25，∴d＝5d5.3

當(dāng)d＝5時，an＝a7＋(n－7)d 331

＝4＋(n－7)×55－5； 3

當(dāng)d＝－5時，an＝a7＋(n－7)d 3341

＝4－(n－7)×55n＋5.∴數(shù)列{an}的通項公式為 31341an＝5－5an＝－5＋5.11．(20分)(2013·浙江卷)在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1

＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比數(shù)列．

(1)求d，an；

(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.解：(1)由題意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0.故d＝－1或d＝4.所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.因為d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.當(dāng)n≤11時，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an| 1221＝Sn＝－22.當(dāng)n≥12時，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an| 1221

＝－Sn＋2S11＝2－2n＋110.綜上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an| 1221?－?2＋2n，n≤11，＝?1221??2n－2n＋110，n≥12.——創(chuàng)新應(yīng)用——

12．(20分)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，Sn滿足關(guān)系式2Sn＝

?1?n－11?Sn－1－2＋2(n≥2，n為正整數(shù))，a1＝2??

(1)令bn＝2nan，求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)在(1)的條件下，求Sn的取值范圍．

?1?n－1?1?n

解：(1)由2Sn＝Sn－1－?2＋2，得2Sn＋1＝Sn－?2＋2，兩式相

?????1?n

減得2an＋1＝an＋?2，上式兩邊同乘以2n得2n＋1an＋1＝2nan＋1，即bn

??

＋1

＝bn＋1，所以bn＋1－bn＝1，故數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且公差為1.又因為b1＝2a1＝1，所以bn＝1＋(n－1)×1＝n.因此2nan＝n，從而an

?1?n??.＝n?2?

?1?n－1?1?n－1

(2)由于2Sn＝Sn－1－?2?＋2，所以2Sn－Sn－1＝2－?2，即Sn

?????1?n－1

＋an＝2－?2?.??

?1?n－1?1?n?1?n－1?1?n??????＝2Sn＝2－2－an，而an＝n，所以Sn＝2－2－n2???????2??1?n?.－(n＋?2?

n＋1?1?n＋11

??，所以Sn＋1＝2－(n＋且S－S＝>0.所以S≥Sn＋1nn1

2?2?2＋?1?n?1?n

?中，(n＋?>0，故Sn<2，即Sn的取值又因為在Sn＝2－(n＋?2??2??1?

?范圍是2，2?.??

第三篇：等差數(shù)列前n項和作業(yè)

家長簽名：

學(xué)之導(dǎo)教育中心作業(yè)

———————————————————————————————學(xué)生: 伍家濠 授課時間:________年級: 高三

教師:

廖

1.已知等差數(shù)列共有10項，其中奇數(shù)項之和15，偶數(shù)項之和為30，則其公差是（）A.5 B.4 C.3 D.2 2.在等差數(shù)列?an?中，若a4?a6?12,Sn是數(shù)列?an?的前n項和，則S9的值為()（A）48(B)54(C)60(D)66 3.設(shè)Sn是等差數(shù)列?an?的前n項和，若（A）

S31S?,則6?()S63S12311（B）

（C）8（D）

39104.已知數(shù)列{an}、其首項分別為a1、且a1?b1?5，設(shè)b1，a1,b1?N*．{bn}都是公差為1的等差數(shù)列，則數(shù)列{cn}的前10項和等于（）cn?abn（n?N*）A．55

B．70

C．85

D．100 5.設(shè)?an?是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1?a2?a3?15,a1a2a3?80，則a11?a12?a13?（）

A． 120 B． 105 C． 90 D．75 6.?an?是首項a1=1，公差為d=3的等差數(shù)列，如果an=2005，則序號n等于()（A）667（B）668（C）669（D）670 7.若等差數(shù)列?an?的前三項和S3?9且a1?1，則a2等于（）A．3 B．4 C．5 D．6 8.等差數(shù)列?an?的前n項和為Sn若a2?1,a3?3,則S4＝（）[來源:學(xué)科網(wǎng)] A．12 B．10 C．8 D．6 9．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3?9，S6?36，則a7?a8?a9?（）A．63 B．45 C．36 D．27 10.等差數(shù)列?an?的公差是正數(shù),且a3a7??12,a4?a6??4,求它的前20項的和.11.已知數(shù)列?an?為等差數(shù)列，前30項的和為50，前50項的和為30，求前80項的和。

12.在等差數(shù)列?an?中，已知a2?a5?a12?a15?36，求S1613、若a1>0,S15=S20,它的前幾項和最大？

第四篇：等差數(shù)列專題

等差數(shù)列的運(yùn)算和性質(zhì)專題復(fù)習(xí)

【方法總結(jié)1】

(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題．

(2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法．

【方法總結(jié)2】

1.一般地，運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，可以化繁為簡、優(yōu)化解題過程．但要注意性質(zhì)運(yùn)用的條件，如m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，需要當(dāng)序號之和相等、項數(shù)相同時才成立．

2.將性質(zhì)m?n?p?q?am?an?ap?aq與前n項和公式Sn?

題過程．

3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)若{an}為等差數(shù)列，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．

(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．

(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．

(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)若n為偶數(shù)，則S偶－S奇ndn為奇數(shù)，則S奇－S偶＝a中(中間項)． 2n(a1?an)結(jié)合在一起，采用整體思想，簡化解

2【方法總結(jié)3】

1.公差不為0的等差數(shù)列，求其前n項和的最值，一是把Sn轉(zhuǎn)化成n的二次函數(shù)求最值；二是由an≥0或an≤0找到使等差數(shù)列的前n項和取得最小值或最大值的項數(shù)n，代入前n項和公式求最值．求等差數(shù)列前n項和的最值，2.常用的方法：

(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項；

(2)利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項，便可求得和的最值；

(3)利用等差數(shù)列的前n項和Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值． 與其他知識點(diǎn)結(jié)合則以解答題為主.【規(guī)律總結(jié)】

一個推導(dǎo)：利用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式：

Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②①＋②得：Sn?

n(a1?an)

.2

兩個技巧：已知三個或四個數(shù)組成等差數(shù)列的一類問題，要善于設(shè)元．

(1)若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設(shè)為…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設(shè)為…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各項再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對稱設(shè)元．

四種方法：等差數(shù)列的判斷方法

(1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù)，驗證an－an－1為同一常數(shù)；(2)等差中項法：驗證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；(3)通項公式法：驗證an＝pn＋q；(4)前n項和公式法：驗證Sn＝An2＋Bn.注：后兩種方法只能用來判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來證明等差數(shù)列．

熱點(diǎn)一 等差數(shù)列基本量的計算

1.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（安徽卷文科）】設(shè)Sn為等差數(shù)列?an?的前n項和，S8?4a3,a7??2，則a9=（）

（A）?6（B）?4（C）?2（D）2

2,【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）理】 在等差數(shù)列?an?中,已知a3?a8?10,則3a5?a7? _____.3．（2012年高考遼寧文）在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則a2+a10=（）A．12

B．16

C．20

D．24

4．（2012年高考北京文）已知{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項和.若a1?,S?a3,則 22

a2?________;Sn=________.5.（2012年高考重慶理）在等差數(shù)列{an}中,a2?1,a4?5,則{an}的前5項和S5=（）A．7B．15C．20D．25

6．（2012年高考福建理）等差數(shù)列?an?中,a1?a5?10,a4?7,則數(shù)列?an?的公差為

A．1

B．2C．3

D．4

（）

27．（2012年高考廣東理）已知遞增的等差數(shù)列?an?滿足a1?1,a3?a2?4,則an?______________.8.【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題大綱全國理科】

2等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知S3?a2，且S1,S2,S4成等比數(shù)列，求{an}的通項公式.9.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（福建卷）文科】已知等差數(shù)列an?的公差d=1，前n項和為Sn(I)若1,a1,a3成等比數(shù)列，求a1；

10．（2012年高考（山東文））已知等差數(shù)列{an}的前5項和為105,且a20?2a5.(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;

(Ⅱ)對任意m?N*,將數(shù)列{an}中不大于72m的項的個數(shù)記為bm.求數(shù)列{bm}的前m項和Sm.?

(II)若S5?a1a9，求a1的取值范圍。

熱點(diǎn)二 等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用

11.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（上海卷）文】在等差數(shù)列?an?中，若a1?a2?a3?a4?30，則

a2?a3?．

12．（2012年高考遼寧理）在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項和S11=（）

A．58

B．88

C．143

D．176

13．（2012年高考江西理）設(shè)數(shù)列?an?,?bn?都是等差數(shù)列,若a1?b1?7,a3?b3?21,則a5?b5?__________ 14．（2012年高考四川文）設(shè)函數(shù)f(x)?(x?3)?x?1,{an}是公差不為0的等差數(shù)列,f(a1)?f(a2)?????f(a7)?14,則a1?a2??a7?（）

A．0 B．7 C．14 D．21

15.（2012年高考大綱理）已知等差數(shù)列?an?的前n項和為Sn,a5?5,S5?15,則數(shù)列?（）A．

?

1?

?的前100項和為

?anan?1?

B．

101

C．

100

D．

16．（2012年高考山東理）在等差數(shù)列?an?中,a3?a4?a5?84,a9?73.(Ⅰ)求數(shù)列?an?的通項公式;

(Ⅱ)對任意m?N*,將數(shù)列?an?中落入?yún)^(qū)間(9,9)內(nèi)的項的個數(shù)記為bm,求數(shù)列?bm? 的前m項和Sm.m

2m

17.【2013年高考新課標(biāo)Ⅱ數(shù)學(xué)（文）卷】已知等差數(shù)列｛an｝的公差不為零，a1=25，且a1，a11，a13成等比數(shù)列.（Ⅰ）求?an?的通項公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n-2.熱點(diǎn)三 等差數(shù)列的定義與應(yīng)用

18.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）理科】下面是關(guān)于公差d?0的等差數(shù)列?an?的四個命題：

p2:數(shù)列?nan?是遞增數(shù)列； p1:數(shù)列?an?是遞增數(shù)列；

?a?

p4:數(shù)列?an?3nd?是遞增數(shù)列； p3:數(shù)列?n?是遞增數(shù)列；

?n?

其中的真命題為（）

（A）p1,p2（B）p3,p4（C）p2,p3（D）p1,p4 19．（2012年高考四川理）設(shè)函數(shù)f(x)?2x?cosx,{an}是公差為

f(a1)?f(a2)?????f(a5)?5?,則[f(a3)]?a1a3?（）

?的等差數(shù)列, 8

A．0

B．

? 16

C．?

D．

132

? 16

20．（2012年高考浙江理）設(shè)S n是公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列{a n}的前n項和,則下列命題錯誤的是（）．．A．若d<0,則數(shù)列{S n}有最大項B．若數(shù)列{S n}有最大項,則d<0

C．若數(shù)列{S n}是遞增數(shù)列,則對任意的n?N*,均有S n>0D．若對任意的n?N*,均有S n>0,則數(shù)列{S n}是遞增數(shù)列

21.【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題新課標(biāo)Ⅱ數(shù)學(xué)（理）卷】等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S10=0，S15 =25，則nSn 的最小值為________.

第五篇：如何證明等差數(shù)列

如何證明等差數(shù)列

設(shè)等差數(shù)列an=a1+(n-1)d

最大數(shù)加最小數(shù)除以二即

/2=a1+(n-1)d/2

{an}的平均數(shù)為

Sn/n=/n=a1+(n-1)d/2

得證

1三個數(shù)abc成等差數(shù)列，則c-b=b-a

c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)

b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)

因c-b=b-a，則(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)

即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)

所以a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)成等差數(shù)列

等差：an-(an-1)=常數(shù)(n≥2)

等比：an/(an-1=常數(shù)(n≥2)

等差：an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)

等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).2

我們推測數(shù)列{an}的通項公式為an=5n-4

下面用數(shù)學(xué)規(guī)納法來證明：

1)容易驗證a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推測均成立

2)假設(shè)當(dāng)n≤k時，推測是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)

則Sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2

于是S(k+1)=a(k+1)+Sk

而由題意知：(5k-8)S(k+1)-(5k+2)Sk=-20k-8

即：(5k-8)*-(5k+2)Sk=-20k-8

所以(5k-8)a(k+1)-10Sk=-20k-8

即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)

所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4

即知n=k+1時，推測仍成立。

在新的數(shù)列中

An=S

=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)

A(n-1)=S

=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

An-A(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

=4d+4d+4d+4d+4d

=20d(d為原數(shù)列公差)

20d為常數(shù),所以新數(shù)列為等差數(shù)列上，an=5n-4即為數(shù)列的通項公式，故它為一等差數(shù)列。

A(n+1)-2An=2(An-2An-1)A(n+1)-2An=3*2^(n-1)兩邊同時除2^(n+1)得-An/2^n=3/4即{An/2^n}的公差為3/4An除以2的n次方為首項為1/2公差為3/4的等差數(shù)列

那么你就設(shè)直角三角形地三條邊為a，a+b,a+2b

于是它是直角三角形得到

a2+(a+b)2=(a+2b)2

所以a2+a2+2ab+b2=a2+4ab+4b2

化簡得a2=2ab+3b2

兩邊同時除以b2

解得a/b=3即a=3b

所以三邊可以寫為3b，3b+b。3b+2b

所以三邊之比為3：4：5

設(shè)等差數(shù)列an=a1+(n-1)d

最大數(shù)加最小數(shù)除以二即

/2=a1+(n-1)d/2

{an}的平均數(shù)為

Sn/n=/n=a1+(n-1)d/2

得證