質量管理統(tǒng)計結課論文

題目： 貝葉斯估計對可靠性的分析

學 院 統(tǒng)計學院

專 業(yè) 經(jīng)濟統(tǒng)計學

班 級 經(jīng)濟統(tǒng)計學1903

學 號 20191724320

姓 名 董君澤

二Ｏ二一年十二月

貝葉斯估計對可靠性的分析---------------------------從先驗概率和后驗概率來對產(chǎn)品可靠性的分析

摘要

貝葉斯對產(chǎn)品可靠性的估計在企業(yè)中有著重要的應用，我們需要用貝葉斯估計來檢驗一個產(chǎn)品是否可靠，我們可以通過對可靠性的檢驗淘汰不可靠的設備、產(chǎn)品，保留可靠的設備產(chǎn)品，從而使得企業(yè)的效益最大化。

關鍵詞：貝葉斯估計，產(chǎn)品的可靠性，企業(yè)的效益

ABSTRACT

Bayesian estimation have an important role in company,we need to use Bayesian estimation to examine wheather a product is reliable.Key words:Bayesian estimation,the raliance of products,theeconomic efficiency of commecial enterprises

目錄

一、有關可靠性的基本知識

（一）可靠性工程概論

（二）可靠性的度量

二、可靠性中常用的壽命分布

三、系統(tǒng)可靠性模型

（一）串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性模型

（二）并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性模型

（三）串并聯(lián)模型

（四）并串聯(lián)模型

（五）可靠性檢驗的必要性

四、基于貝葉斯網(wǎng)絡的多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性評估

（一）簡述貝葉斯網(wǎng)絡

（二）貝葉斯推斷

（三）貝葉斯假定

（四）貝葉斯估計的核心思想

五、結語

六、參考文獻

一、有關可靠性的基本知識

（一）可靠性工程概論

1.1可靠性工程概論

（二）可靠性的度量

1.1.2影響可靠性的因素

所謂可靠性就是“不易發(fā)生故障的程度”

影響產(chǎn)品的可靠性因素有很多，我們了解了可靠性因素，就能從這些方面來提高產(chǎn)品的可靠性

1.2.1可靠度

產(chǎn)品在規(guī)定的條件下、規(guī)定的時間內能完成規(guī)定功能概率叫做產(chǎn)品的可靠度，有時也可成為生存概率，對于一種產(chǎn)品來說，它在規(guī)定的條件和功能下，其可靠度是時間的函數(shù)，1.2.2可靠性的度量

1、可靠性的估計量R(t)=Ns(t)/N

2、累積失效概率F（t)=N-Ns(t)/N

3、失效概率f(t)=ΔNf(t)/NΔt

4、失效率 入(t)=Nf(t+Δt)-Nf(t)/Ns(t)Δt=ΔNf(t)/Ns(t)Δt

失效率的三種類型：1、早期失效

1、偶然失效

2、耗散失效

平均壽命：1、不可維修產(chǎn)品

2、可維修產(chǎn)品

可靠壽命：給定可靠度R，從R(t)=P(T＞t）中反解出t的1值

中位壽命：給定可靠度為50%時的壽命

二、可靠性中常用的壽命分布

1、正態(tài)分布

2、對數(shù)正態(tài)分布

3、I型極小值分布

三、系統(tǒng)可靠性模型

（一）串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性模型

RR 日日日日日日日日R1

R1

----------------------------------------事件As和Ai的關系

As=A1A2......An

事件As系統(tǒng)正常工作的事件

事件Ai第i個單元正常工作的事件

若各事件相互獨立P（As)=P（A1A2.....An)=P(A1)P(A2).....P（An)

（二）并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性模型

時間As和Ai為系統(tǒng)和單元正常工作

時間AS’和Ai’為系統(tǒng)和單元不正常工作

As=A1∪A2∪....∪An

P（As)=P(A1∪A2U.....∪An）

（三）串并聯(lián)系統(tǒng)

（四）并串聯(lián)系統(tǒng)

（五）可靠性檢驗的必要性

1.首先是高科技的需要

2.政治的需要

3.經(jīng)濟效益的需要，如果在一家企業(yè)的運營過程中，產(chǎn)品的可靠性出現(xiàn)了問題，這樣不僅對企業(yè)的經(jīng)濟效益造成了損失，并且對企業(yè)的名譽也會造成很大的損傷，眾所周知，金杯銀杯不如老百姓的口碑，只有樹立起口碑，一個企業(yè)才有了立根之本。

四、基于貝葉斯網(wǎng)絡的多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性評估

（一）簡述貝葉斯網(wǎng)絡：BN是一種對概率關系的有向圖解描述，他提供了一種將知識直覺地圖解圖解可視化的方法。BN是一個有向無環(huán)圖，該圖由代表變量的結點及鏈接這些結點的有向邊構成。其中結點代表論域中的變量，有向弧代表變量間的關系（即影響概率），通過圖形表達不確定性知識，通過CPD的注釋，可以在模型中表達局部條件的依賴性。按照貝葉斯公式給出的條件概率定義P(AlB)=P(BlA)P(A)/P(B)，在此式中，P（B)為先驗概率，P(AlB)為后驗概率。BN具有條件獨立性，能夠雙向推理，它不但可以實現(xiàn)正向推理，由先驗概率推導出后驗概率，即由原因導出結果，還可利用公式由后驗概率推導出先驗概率，即由原因導出結果。

（二）貝葉斯推斷:從貝葉斯觀點看，后驗分布集總體信息、樣本信息和先驗信息于一體，全面描述了參數(shù)的概率分布，因此有關參數(shù)的點估計、區(qū)間估計、假設檢驗等統(tǒng)計推斷應該從后驗按需要提取有關的信息。

1.貝葉斯點估計

參數(shù)的點估計可選用后驗分布的某個位置的特征數(shù)。常用的由如下三種形式：

1.后驗期望

2.后驗中位數(shù)

3.后驗眾數(shù)

2.對貝葉斯估計的評價

評價一個貝葉斯估計的好壞，最好的方法是考察參數(shù)的均方誤差。MSE(參數(shù)的估計lx)=E參數(shù)lx(參數(shù)的估計-參數(shù))平方，成為后驗均方差。

評價貝葉斯估計的時候不需要“無偏性”，因為貝葉斯推斷是基于后驗分布的統(tǒng)計推斷，這意味著只考慮已出現(xiàn)的數(shù)據(jù)（樣本觀測值），而推斷與未出現(xiàn)的數(shù)據(jù)無關

3.貝葉斯區(qū)間估計

P（a≤θ≤bIx）=1-α若給定概率1-α，要找一個區(qū)間[a,b] 使上式成立，這樣求得的區(qū)間就是貝葉斯區(qū)間估計，又稱為可信區(qū)間。

（三）貝葉斯假定

1.在產(chǎn)品的使用壽命服從指數(shù)分布的情況下，進行I型截尾的步進應力加速壽命實驗，而指數(shù)分布參數(shù)入的先驗分布為服從伽馬函數(shù)，研究了在二次損失函數(shù)下的貝葉斯估計及在歷史樣本的條件下的經(jīng)驗貝葉斯估計。

2.基本假定:在正常應力So和加速應力S1＜S2....＜Sk下，產(chǎn)品頂點壽命服從指數(shù)分布

產(chǎn)品平均壽命Q與所加應力水平之間S有如下關系lnθ=a+bo(S)

由Nelson原理，產(chǎn)品的剩余壽命僅依賴于當時已累積的部分和當時的應力水平，而與累積方式無關。即在應力水平Si下產(chǎn)品的工作時間ti內的累積失效概率相當于此種產(chǎn)品在應力水平Si下產(chǎn)品工作某一時間內的累積失效概率

設總體分布（產(chǎn)品的使用壽命）服從指數(shù)分布

假定5 由對入進行貝葉斯估計，引起的損失函數(shù)取平方損失函數(shù)

(四）貝葉斯估計的核心思想

如果要用貝葉斯估計來估計產(chǎn)品的可靠性，我們用實際的例子來說明

目的：通過貝葉斯估計來估計產(chǎn)品的可靠性

我們對于人的可靠的認知是：這個人能夠說到做到，言必信，行必果。同樣一臺機器設備，當人們要求它工作時，它就會工作則說他是可靠的；而當人們要求它工作時，它不按照人們的意愿工作，則說明它是不可靠的。對產(chǎn)品而言，產(chǎn)品的可靠性越高，產(chǎn)品可以無故障工作的時間就越長。我們需要用貝葉斯估計來檢驗一個產(chǎn)品是否可靠，我們可以通過對可靠性的檢驗淘汰不可靠的設備、產(chǎn)品，保留可靠的設備產(chǎn)品，從而使得企業(yè)的效益最大化。產(chǎn)品是否可靠，這是一個企業(yè)最關心的問題，如果產(chǎn)品可靠，那么企業(yè)可以繼續(xù)生產(chǎn)該商品，消費者對產(chǎn)品的使用體驗也是很滿足的；如果產(chǎn)品不可靠，那么企業(yè)可以挑選出這些不可靠的產(chǎn)品，避免產(chǎn)品流入市場，被消費者購買，從而造成不好的購物體驗，這樣也會提升一個企業(yè)的口碑，使企業(yè)的效益最大化。

步驟一:設定先驗概率

現(xiàn)在假設你是企業(yè)產(chǎn)品可靠性的檢驗者，有一批產(chǎn)品到你手中需要經(jīng)過能打檢驗才能投入市場，此時你就要去判斷這批產(chǎn)品是否是可靠的。我們通過考察可靠度來判斷產(chǎn)品的可靠性。通過對大量產(chǎn)品進行可靠度的檢測，產(chǎn)品在規(guī)定的時間內，在規(guī)定的條件下完成預定功能的能力，我們從耐久度入手研究。我們需要通過對產(chǎn)品耐久的分析，將產(chǎn)品分為耐久產(chǎn)品即可靠的產(chǎn)品和非耐久產(chǎn)品即非可靠的產(chǎn)品，然后判斷產(chǎn)品是可靠產(chǎn)品和非可靠產(chǎn)品的概率各是多少，在貝葉斯估計中，這種屬于某種類別的概率叫做“先驗概率”，先驗的意思是：在獲得某種信息之前。也就是說在我們對產(chǎn)品的耐久度做測驗這件事沒有發(fā)生之前，對產(chǎn)品類型做一個預先判斷。通常先驗概率可以通過經(jīng)驗進行判斷。根據(jù)工作人員的經(jīng)驗，平均每五個產(chǎn)品里面就有一個是非可靠產(chǎn)品，也就是說非可靠產(chǎn)品占總產(chǎn)品的0.2，那么剩下的可靠產(chǎn)品的部分就占0.8.這兩個數(shù)字就是產(chǎn)品類型的“先驗概率”。

步驟二：設置“能夠連續(xù)工作超過24小時”事件的條件概率

這里我們要做的是：為可靠產(chǎn)品和不可靠產(chǎn)品分別設定“能夠連續(xù)工作超過24小時”事件的概率，上一步提到，即使沒有相關經(jīng)驗，我們也可以設定先驗概率。但是此時的“能夠連續(xù)工作超過24小時”事件必須是經(jīng)過測試統(tǒng)計出來的數(shù)據(jù)

從上圖可以看出，“可靠產(chǎn)品”能夠連續(xù)工作24小時的概率是0.9，而“不可靠產(chǎn)品”能夠連續(xù)工作24小時的概率只有0.3，表格中的數(shù)字表示“某一特定類別（A和B）采取某種行動的概率”這個概率就是我們提到的條件概率。接著我們將兩種類別的產(chǎn)品，進一步按照能否連續(xù)工作24小時的條件進行分類，可以分成四個小類別1、可靠產(chǎn)品能夠連續(xù)工作2

4小時2、可靠產(chǎn)品不能夠連續(xù)工作24小時3、不可靠產(chǎn)品連續(xù)工作24小時4、不可靠產(chǎn)品不能連續(xù)工作24小時

第一種類別的概率為:0.2X0.9=0.18

第二種類別的概率為：0.2X0.1=0.02

第三種類別的概率為：0.8X0.3=0.24

第四種類別的概率為:0.8X0.7=0.56

四種類別的概率總和為1

步驟三：通過實驗的情況，排除不可能行為

現(xiàn)在你就是檢驗員，你此時面臨的情況是：產(chǎn)品能夠連續(xù)工作24小時，這也意味著你觀察到了產(chǎn)品的情況，這就為“可能的情況”添加了一種限制條件。這條限制條件的影響就是，你可以不用考慮那些沒有連續(xù)工作24小時的產(chǎn)品了。上一個步驟提到，產(chǎn)品可以分為可靠產(chǎn)品和不可靠產(chǎn)品兩類，而這兩種產(chǎn)品可以有兩種情況，即能夠連續(xù)工作24小時和不能夠連續(xù)工作24小時，這樣我們一開始構建的可能事件就由兩種情況擴展到四種情況了。而此時的你又檢測到了能夠連續(xù)工作24小時這一情況，因此你可以無視掉那些不能夠連續(xù)工作24小時的可能性了，可能事件由于限制條件的改變，四種情況就變成了兩種情況。這樣消失了兩種可能性，那伴隨著這種可能性的消失，帶來的影響就是：概率會發(fā)生變化。

步驟四：推導合格產(chǎn)品的貝葉斯逆概率

上一步驟中，檢測到能夠連續(xù)工作24小時這一情況以后，我們從四種可能情況變成了兩種情況即：現(xiàn)在的產(chǎn)品要么是可靠產(chǎn)品能夠連續(xù)工作24小時和不可靠產(chǎn)品能夠連續(xù)工作24小時，只剩下這兩種可能性了，可靠產(chǎn)品能夠連續(xù)工作24小時的概率為0.24，不可靠產(chǎn)品能夠連續(xù)工作24小時0.18。我們要對概率數(shù)值進行標準化處理，即所有概率和為1，所以合格產(chǎn)品能夠連續(xù)工作24小時為4/7，不合格能夠連續(xù)工作24小時3/7。我們可以看出，不合格產(chǎn)品能夠連續(xù)工作24小時的概率為3/7。這個概率被稱為貝葉斯逆概率，也成為后驗概率，逆概率是從最終的概率結果來反推原因，所以被稱為逆改率。

一開始我們對產(chǎn)品是可靠產(chǎn)品還是不可靠產(chǎn)品的概率判斷2：8，而我們經(jīng)過貝葉斯統(tǒng)計方法，并且觀察到能夠連續(xù)工作24小時這一行為后，可靠產(chǎn)品的概率的概率就提升至原來的兩倍以上，這種更新操作就叫做貝葉斯更新。所以，貝葉斯推理可以簡單的總結為：通過觀察到的某個“行為”，將先驗概率轉換為后驗概率的一種操作。

五、總結

我們需要用貝葉斯估計來檢驗一個產(chǎn)品是否可靠，我們可以通過對可靠性的檢驗淘汰不可靠的設備、產(chǎn)品，保留可靠的設備產(chǎn)品，從而使得企業(yè)的效益最大化。產(chǎn)品是否可靠，這是一個企業(yè)最關心的問題，如果產(chǎn)品可靠，那么企業(yè)可以繼續(xù)生產(chǎn)該商品，消費者對產(chǎn)品的使用體驗也是很滿足的；如果產(chǎn)品不可靠，那么企業(yè)可以挑選出這些不可靠的產(chǎn)品，避免產(chǎn)品流入市場，被消費者購買，從而造成不好的購物體驗，這樣也會提升一個企業(yè)的口碑，使企業(yè)的效益最大化。

六、文獻

[1]對系統(tǒng)可靠性工程的再認識.侯海梅.寧云暉，20102010中國電子學會可靠性分會第十五屆可靠性學術年會

[2]可靠性工程的發(fā)展與應用.楊艷妮.薛蓮.殷維剛.宋亞男.王首臻，2010中國國防科技質量與可靠性高峰

[3]可靠性工程簡史——兼論“誰是我國可靠性工程奠基人”.盛志森，2008中國電子學會可靠性分會第十四屆學術年會

[4]推進以故障解決為中心的裝備可靠性工程.王華.向剛.張桂元，20102010中國電子學會可靠性分會第十五屆可靠性學術年會

可靠度的度量引用有針對性的可靠性工程實驗.胡林忠