第一篇：不等式單元教學(xué)設(shè)計(jì)
不等式單元教學(xué)設(shè)計(jì)范文
在教學(xué)工作者實(shí)際的教學(xué)活動(dòng)中，時(shí)常需要編寫教學(xué)設(shè)計(jì)，教學(xué)設(shè)計(jì)是一個(gè)系統(tǒng)化規(guī)劃教學(xué)系統(tǒng)的過(guò)程。怎樣寫教學(xué)設(shè)計(jì)才更能起到其作用呢？下面是小編整理的不等式單元教學(xué)設(shè)計(jì)范文，希望對(duì)大家有所幫助。
〖教學(xué)目標(biāo)〗
在本學(xué)段，學(xué)生將經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題中建立不等關(guān)系，進(jìn)而抽象出不等式的過(guò)程，體會(huì)不等式和方程一樣，都是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中同類量之間關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，同時(shí)進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感。
（一）知識(shí)目標(biāo)
1、能夠根據(jù)具體問(wèn)題中的大小關(guān)系了解不等式的意義。
2、理解什么是不等式成立，掌握不等式是否成立的判定方法。
3、能依題意準(zhǔn)確迅速地列出相應(yīng)的不等式。體會(huì)現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的不等關(guān)系，學(xué)習(xí)不等式的有關(guān)知識(shí)是生活和工作的需要。
（二）能力目 標(biāo)
1、培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用類比方法研究相關(guān)內(nèi)容的能力。
2、訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
（三）情感目標(biāo)
1、通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，培養(yǎng)他們積極的參與意識(shí)，競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)。
2、通過(guò) 不等式的學(xué)習(xí)，滲透具有不等量關(guān)系的數(shù)學(xué)美。
〖教學(xué)重點(diǎn)〗
能依題意準(zhǔn)確迅速地列出相應(yīng)的不等式。
〖教學(xué)難點(diǎn)〗
理解符號(hào)“≥”“ ≤”的含義，理解什么是不等式成立。
〖教學(xué)過(guò)程〗
一、課前布置
1、瀏覽課本P2~21，了解本章結(jié)構(gòu)。
自學(xué)：閱讀課本P2~P4，試著做一做本節(jié)練習(xí)，提出在自學(xué)中發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題。
2、查找“不等號(hào)的由來(lái)”
備注： 不等號(hào)的由來(lái)。
①現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量的不等 關(guān)系，如何用符號(hào)表示呢？ 為了尋求一套表示“大于”或“小于”的符號(hào)，數(shù)學(xué)家們絞盡腦汁。1631年，英國(guó)數(shù)學(xué)家哈里奧特首先創(chuàng)用符號(hào)“>”表示“大于”，“<”表示“小于”，這就是現(xiàn)在通用的大于號(hào)和小于號(hào)。與哈里奧特同時(shí)代的數(shù)學(xué)家們也創(chuàng)造了一些表示大 小關(guān)系的符號(hào)，但都因書寫起來(lái)十分繁瑣而被淘汰。
②后來(lái)，人們?cè)诒磉_(dá)不等關(guān)系時(shí)，常把等式作為不等式的特殊情況來(lái)處理。在許多情況下，要用到一個(gè)數(shù)（或量）大于或等于另 一個(gè)數(shù)（或量），此時(shí)就把“>”和“＝”有機(jī)地結(jié)合起來(lái)得到符號(hào)“≥”，讀做“大于或等于”，有時(shí)也稱為“不小于”。同樣，把符號(hào)“≤”讀做“小于或等于”，有時(shí)也稱為“不大于”。
那么如何理解符號(hào)“≥”“≤”的含義呢？用“≥”表示“>”或 “＝”，即兩者必居其一，不要求同時(shí)滿足。例如 ≥0，其中只有“>”成立，“＝”就不成立。同樣“≤”也有類似的情況。
③因此有人把a(bǔ)>b，b
二、師生互動(dòng)
和學(xué)生一起進(jìn)行知識(shí)梳理
（一）由師生一起交流“不等號(hào)的由來(lái)”
①，引出學(xué)習(xí)目標(biāo)——認(rèn)識(shí)不等式。
1、引起動(dòng)機(jī)：
教師配合課本“觀察與思考”“一起探究”等 內(nèi)容提問(wèn)：用數(shù)學(xué)式子要如何表示小卡車趕超大卡車？
2、學(xué)生進(jìn)行討論并回 答。
3、教師舉例說(shuō)明：
數(shù)學(xué)符號(hào)“＞、＜、≥、≤、≠”稱為不等號(hào)，而含有這些符號(hào)的式子就稱為不等式。
4。結(jié)合自己的舊經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)“≤”所代表的意思。
教師說(shuō)明：
在小學(xué)時(shí)我們學(xué)過(guò)“小于”的符號(hào)，也就是說(shuō)如果“a小于b”，我們可以記為“a＜b”。而a≤b”則讀做“a小于或等于b”，也就表示“a比b小，而且a有可能等于b”。
5、仿照上面說(shuō)明由學(xué)生進(jìn)行“≥”的介紹。
6、教師舉例提問(wèn)：
如果我們要比較兩數(shù)的大小關(guān)系時(shí)，可能會(huì)有幾種情形？
（當(dāng)我們比較兩數(shù)的大小關(guān)系時(shí)，下面三種情形只有一種會(huì)成立，即 a＜b，a＝b或a＞b）
7、老師提問(wèn)：如果我們只知道“a不大于b”，那該如何用不等號(hào)來(lái)表 示呢？
（a不大于b表示a小于b且a有可能等于b，所以我們可以記錄成a≤b）
8、仿照此題，引導(dǎo)學(xué)生了解“a不小于b”及“a不等于b”所代表的意義。
教師歸納說(shuō)明：不等式的意義
不等式表示現(xiàn)實(shí)世界中同類量的不等關(guān)系。在有理數(shù)大小的比較中，我們常用不等號(hào)連接兩個(gè)或兩個(gè)以上的有理數(shù)，如—3＞—5、不等式含有不等 號(hào)，常見的不等號(hào)有五種，其讀法及意義如下：
（１）“＞”讀作“大于”，表示其左邊的量比右邊的量大。
（２）“＜”讀作“小于”，表示其左邊的量比右邊的量小。
（３）“≥”讀作“大于等于”，即“不小于”，表示其左邊的量大于或等于右邊。
（４）“≤”讀作“小于等于”，即“不大于”，表示其左邊的量小于或等于右邊。
（５）“≠”讀作“不等于”，它說(shuō)明兩個(gè)量之間的關(guān)系是不相等的，但不能明確哪個(gè)大，哪個(gè)小。
（二）用不等式表示數(shù)量關(guān)系
關(guān)鍵是明確問(wèn)題中常用的表示不等關(guān)系詞語(yǔ)的意義，并注意隱含在具體的情境中的不等關(guān)系。
補(bǔ)充例1。下面列出的不等式中，正確的是（）
（A）a不是負(fù)數(shù)，可表示成a＞0m
（B）x不大于3，可表示成x＜3
（C）m與4的差是負(fù)數(shù)，可表示成m—4＜0
（D）x與2的'和是非負(fù)數(shù)，可表示成x+2＞0
解析：用不等式表示下列數(shù)量關(guān)系，關(guān)鍵是能用代數(shù)式準(zhǔn)確地表示出有關(guān)的數(shù)量，并掌握＂不大于＂、“不超過(guò)”、“是非負(fù)數(shù)”等詞語(yǔ)的正確含義及表示符號(hào)。
因?yàn)?a不是負(fù)數(shù)，可表示成a≥0；x不大于3，應(yīng)表示成x≤3；x與2的和是非負(fù)數(shù)應(yīng)表示成x+2≥0，所以 只有（C）正確。故本題應(yīng)選（C）。
（三）不等式成立的意義
對(duì)于含有未知數(shù)的不等式來(lái)說(shuō)，當(dāng)未知數(shù)取某些值時(shí)，不等式的左、右兩邊符合不等號(hào)所表示的大小關(guān)系，我們說(shuō)不等式成立；當(dāng)未知數(shù)取某些值時(shí)，不等式的左、右兩邊 不符合不等號(hào)所表示的大小關(guān)系，我們說(shuō)不等式不成立。強(qiáng)調(diào)用“≥”表示“>”或“＝”，即兩者必居其一，不要求同時(shí)滿足。例如 ≥0，其中只有“>”成立，“＝”就不成立。
三、補(bǔ)充練習(xí)
作業(yè)：課本P4習(xí)題
5分鐘練習(xí)
1、“x的2倍與3的和是非負(fù)數(shù)”列成不等式為（）
A、2x+3≥0 B。2x+3>0 C。2x+3≤0 D。2x+3<02、幾個(gè)人分若干個(gè)蘋果，若每人3個(gè)還余5個(gè)，若去掉1人，則每人4個(gè)還有剩余。設(shè)有x個(gè)人，可列不等式為___________。
〖分層作業(yè)〗
基礎(chǔ)知識(shí)
1、判斷下列各式哪些是等式、哪些是不等式、哪些既不是等式也不是不等式。
①x＋y
②3x＞7
③5＝2x＋3
④x2≥0
⑤2x－3y＝1
⑥522、用適當(dāng)符號(hào)表示下列關(guān)系。
（1）a的7 倍與15的和比b的3倍大；
（2）a是非正數(shù)；
3、在－1，0，1，3，7，100中哪些能使不等式x＋1＜2成立？
綜合運(yùn)用
4、通過(guò)測(cè)量一棵樹的樹圍，（樹干的周長(zhǎng)）可以計(jì)算出它的樹齡，通常規(guī)定以樹干離地面1.5 m的地方作為測(cè)量部位，某樹栽種時(shí)的樹圍為5 cm，以后樹圍每年增加約3 cm。這棵樹至少生長(zhǎng)多少年其樹圍才能超過(guò)2.4 m？請(qǐng)你列出關(guān)系式。
5、燃放某種禮花彈時(shí)，為了確保安全，人在點(diǎn)燃導(dǎo)火線后要在燃放前轉(zhuǎn)移到10 m以外的安全區(qū)域。已知 導(dǎo)火線的燃燒速度為0.02 m/s，人離開的速度為4 m/s，導(dǎo)火線的長(zhǎng)x（m）應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式？請(qǐng)你列出。
第二篇：不等式教學(xué)設(shè)計(jì)
9.1 不等式
教材分析：本課由實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系引出不等式的概念；類比方程的解，明確不等式解和解集的概念，以及不等式解集的兩種表示方法。
教學(xué)目標(biāo)：了解不等式概念，理解不等式的解和解集。教學(xué)重難點(diǎn)：不等式及解集概念的理解。教學(xué)過(guò)程： 一：引出新知。
現(xiàn)實(shí)世界中存在大量的數(shù)量關(guān)系，包括相等關(guān)系和不等關(guān)系。用等式（包括方程），我們可以研究相等關(guān)系，而研究不等關(guān)系需要用本章的不等式，如引言中選擇購(gòu)物商場(chǎng)問(wèn)題.二：探索新知。
問(wèn)題1 一輛勻速行駛的汽車在11：20距離A地50 km，要在12：00之前駛過(guò)A地.你能用式子表示出車速應(yīng)滿足的條件嗎？
1、汽車在12:00之前駛過(guò)A地的意思是什么？ 從時(shí)間上看，汽車要在12：00之前駛過(guò)A地，則 以這個(gè)速度行駛50 km所用的時(shí)間不到。
從路程上看，汽車要在12：00之前駛過(guò)A地，則以這個(gè)速度行駛的路程要超過(guò)50 km。
2、如何用式子表示以上不等關(guān)系？ 設(shè)：車速為x km/h． 從時(shí)間上看： 從路程上看：
（1）對(duì)于不等式 而言，車速可以是80 km/h嗎？78 km/h呢？75 km/h呢？72 km/h呢？
（2）類比方程的解，什么叫不等式的解？
使不等式成立的未知數(shù)的值.（3）不等式還有其他解嗎？如果有，這些解應(yīng)滿足什么條件？
一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個(gè)不等式的解集．求不等式的解集的過(guò)程叫做解不等式．（4）除了用不等式表示取值范圍，還有其他表示方法嗎？ 數(shù)軸
三、運(yùn)用新知。例1 請(qǐng)用不等式表示：
（1）是負(fù)數(shù)；
（2）與5的和小于-7；
（3）的一半大于3.例2 直接說(shuō)出不等式的解集，并在數(shù)軸上表
示出來(lái).四、歸納總結(jié)（1）什么叫不等式？
（2）什么叫不等式的解？不等式的解和方程的解的區(qū)別？（3）什么叫不等式的解集？不等式的解和不等式的解集的區(qū)別？
五、布置作業(yè)
教科書習(xí)題9.1 第1、2、3題。
第三篇：均值不等式教學(xué)設(shè)計(jì)
3.2均值不等式
教學(xué)目標(biāo)
（一）知識(shí)與技能：明確均值不等式及其使用條件，能用均值不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題.（二）過(guò)程與方法：通過(guò)對(duì)問(wèn)題主動(dòng)探究,實(shí)現(xiàn)定理的發(fā)現(xiàn)，體驗(yàn)知識(shí)與規(guī)律的形成過(guò)程.（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)問(wèn)題的解決以及自身的探索研究領(lǐng)略獲取新知的喜悅.教學(xué)重點(diǎn)：均值不等式的推導(dǎo)與證明，均值不等式的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：均值不等式的應(yīng)用 教學(xué)過(guò)程
創(chuàng)設(shè)情境如圖,AB是圓的直徑，D是CAB上與A、B不重合的一點(diǎn)，AD=a,DB=b,過(guò)點(diǎn)D作垂直于AB的弦CD，連AC,BC,AaODbB則CD=＿＿,半徑OC=＿＿＿＿E 討論 :(1)CD OC(2)文字?jǐn)⑹觯◣缀我饬x）：(3)試用含a、b的表達(dá)式來(lái)表示上述關(guān)系 注意：（1）當(dāng) 時(shí)，(2)a、b的取值范圍
探求新知：均值不等式的內(nèi)容及證明
均值定理：
證明：（比較作差法）
變形應(yīng)用：（1）
（2）
討論釋疑：
牛刀小試：已知x?0,則x?1x? 例
1、已知ab?0，求證：baa?b?2并推導(dǎo)出式中等號(hào)成立的條件
例
2、求函數(shù)f(x)?x2?2x?3x(x?0)的最值，以及此時(shí)x的值
精煉鞏固：
?t2 1.設(shè)t?0,則函數(shù)f(t)?4t?1的最小值為此時(shí)t的值 2.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則ab有最值為
點(diǎn)撥提高：
總結(jié)本節(jié)課的你的收獲。
課堂小測(cè)：.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。2.設(shè)x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時(shí)x的值3.已知a、b?R?,求證：(a?11a)(b?b)?4
課堂小測(cè)：.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。2.設(shè)x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時(shí)x的值3.已知a、b?R?,求證：(a?11a)(b?b)?4
課堂小測(cè)：
.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。2.設(shè)x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時(shí)x的值3.已知a、b?R?,求證：(a?11a)(b?b)?4
課堂小測(cè)：
.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。2.設(shè)x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時(shí)x的值3.已知a、b?R?,求證：(a?11a)(b?b)?4
第四篇：基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)
基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)
10141510244 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 鐘林
課題：人教A版必修5第3章4節(jié)，基本不等式
【教學(xué)目標(biāo)】
1.通過(guò)兩個(gè)探究實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形中獲得兩個(gè)基本不等式，了解基本不等式的幾何背景，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。
2.進(jìn)一步提煉、完善基本不等式，并從代數(shù)角度給出不等式的證明，組織學(xué)生分析證明方法，加深對(duì)基本不等式的認(rèn)識(shí)，提高邏輯推理論證能力。3.結(jié)合課本的探究圖形，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究基本不等式的幾何解釋，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的思想。
4.借助例1嘗試用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題，通過(guò)例2及其變式引導(dǎo)學(xué)生
a?b領(lǐng)會(huì)運(yùn)用基本不等式ab?的三個(gè)限制條件（一正二定三相等）在解決最
2值中的作用，提升解決問(wèn)題的能力，體會(huì)方法與策略。
【重點(diǎn)難點(diǎn)】
重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索不等式a?bab?的證明過(guò)程。
2難點(diǎn)：在幾何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式。
【教學(xué)設(shè)計(jì)】
（一）問(wèn)題導(dǎo)入
欣賞2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽，會(huì)徽是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。你能發(fā)現(xiàn)它是什么圖形構(gòu)成的嗎？請(qǐng)根據(jù)會(huì)徽探索一些常見相等或不等關(guān)系。
探究一：在這張“弦圖”中能找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？ 在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形．設(shè)直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)為，a,b。
22a?b那么正方形的邊長(zhǎng)為。
于是，4個(gè)直角三角形的面積之和S1?2ab。正方形的面積S2?a2?b2。由圖可知S2?S1，即a2?b2?2ab。
當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí) a2?b2?2ab
所以a2?b2?2ab。
探究二：如下圖所示的梯形中，EF是梯形ABCD的中位線，梯形ABGH相似于梯 形GHDC。
梯形ABCD的上底是a，下底是b。讓同學(xué)們自主研究GH和EF的大小關(guān)系。
a?b因?yàn)镋F是中位線，所以EF?，2由相似，可以得出GH?ab，同樣因?yàn)橄嗨?，?/p>
AGABa，??GDGHb又因?yàn)閍?b，所以AG?GD，即AG?AE，a?b。2顯然，當(dāng)AB逐漸趨近CD的時(shí)候，GH也逐漸向EF靠近，當(dāng)AB=CD的時(shí)候，即ABCD是矩形的時(shí)候，GH與EF重合。
a?b即，當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)，ab?。
2a?b所以，ab?，當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)，等號(hào)成立。
2所以GH?EF,即ab?
（二）概念深入
根據(jù)上述兩個(gè)幾何背景，初步形成不等式結(jié)論：
若a,b?R?，則a2?b2?2ab。（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）
a?b。（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）2請(qǐng)同學(xué)們運(yùn)用代數(shù)法證明： 作法一（作差法）： 若a,b?R?，則ab?a2?b2?2ab?(a?b)2?0a?b?2ab22
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。且發(fā)現(xiàn)這里且a和b可以是全體實(shí)數(shù)、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式。
作法二（分析法）：
要證明a?b?ab，2只需證明a?b?2ab，即證a?b-2ab?0，即為?a-b?2?0，該式顯然成立，所以，當(dāng)a?b時(shí)取等號(hào)。
于是有這樣的結(jié)論：
稱ab為a,b的幾何平均數(shù)；稱基本不等式ab?a?b為a,b的算術(shù)平均數(shù)，2a?b又可敘述為： 2兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)
作法三（幾何法）：
如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a，BC=b．過(guò)點(diǎn)C作 垂直于AB的弦DE，連接AD,BD。從而有CD?ab,OD?a?b。2a?b。2a?b當(dāng)且僅當(dāng)C點(diǎn)與圓心O點(diǎn)重合時(shí)，即a=b時(shí)，ab?
2故再次證明：
a?ba?0,b?0,ab?，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。
2a?b也說(shuō)明了ab?的幾何意義：半徑不小于半弦。
2由于直角三角形COD中，直角邊CD<斜邊OD，即ab?
（三）例題講解
例1.（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100平方米的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？
（2）一段長(zhǎng)為36米的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？
（通過(guò)例1的講解，總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問(wèn)題的特征,實(shí)現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化）
對(duì)于x,y?R?，（1）若xy?p（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)x?y時(shí)，x?y有最小值2p；
s2（2）若x?y?s（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)x?y時(shí)，xy有最大值。
4（鼓勵(lì)學(xué)生自己探索推導(dǎo)，不但可使他們加深基本不等式的理解，還鍛煉了他們的思維，培養(yǎng)了勇于探索的精神。）
1例2.求y?x?(x?0)的值域。
x1變式1.若x?2，求x?的最小值．
x?21在運(yùn)用基本不等式解題的基礎(chǔ)上，利用幾何畫板展示y?x?(x?0)的函數(shù)
x圖象，使學(xué)生再次感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。
a?b并通過(guò)例2及其變式引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)運(yùn)用基本不等式ab?的三個(gè)限制
2條件（一正二定三相等）在解決最值問(wèn)題中的作用，提升解決問(wèn)題的能力，體會(huì)方法與策略。
（四）歸納小結(jié)&課后作業(yè) 基本不等式：
若a,b?R?，則a2?b2?2ab。（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）
a?b。（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）2（1）基本不等式的幾何解釋（數(shù)形結(jié)合思想）；（2）運(yùn)用基本不等式解決簡(jiǎn)單最值問(wèn)題的基本方法。
作業(yè)：A組第4題，B組第1題，第2題
若a,b?R?，則ab?
第五篇：基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)
《基本不等式》教學(xué)設(shè)計(jì)
3.4.1基本不等式
開江中學(xué) 魏江蘭
目標(biāo)分析
依據(jù)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)《不等式》學(xué)段的目標(biāo)要求和學(xué)生的實(shí)際情況，特確定如下目標(biāo)：
1、知識(shí)與能力目標(biāo)：理解掌握基本不等式，并能運(yùn)用基本不等式解決一些簡(jiǎn)單的求最值問(wèn)題；理解算數(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念，學(xué)會(huì)構(gòu)造條件使用基本不等式；培養(yǎng)學(xué)生探究能力以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。
2、過(guò)程與方法目標(biāo)：按照創(chuàng)設(shè)情景，提出問(wèn)題→ 剖析歸納證明→ 幾何解釋→ 應(yīng)用（最值的求法、實(shí)際問(wèn)題的解決）的過(guò)程呈現(xiàn)。啟動(dòng)觀察、分析、歸納、總結(jié)、抽象概括等思維活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，體會(huì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方法，通過(guò)運(yùn)用多媒體的教學(xué)手段，引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)探索基本不等式性質(zhì)，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，體驗(yàn)成功的樂(lè)趣。
3、情感與態(tài)度目標(biāo)：通過(guò)問(wèn)題情境的設(shè)置，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是從實(shí)際中來(lái)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界，通過(guò)數(shù)學(xué)思維認(rèn)知世界，從而培養(yǎng)學(xué)生善于思考、勤于動(dòng)手的良好品質(zhì)。
教學(xué)重、難點(diǎn)分析
重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式ab?a?b的證明過(guò)程及應(yīng)用。2難點(diǎn)：
1、基本不等式成立時(shí)的三個(gè)限制條件（簡(jiǎn)稱一正、二定、三相等）；
2、利用基本不等式求解實(shí)際問(wèn)題中的最大值和最小值。
教法分析
本節(jié)課采用觀察——感知——抽象——?dú)w納——探究；啟發(fā)誘導(dǎo)、講練結(jié)合的教學(xué)方法，以學(xué)生為主體，以基本不等式為主線，從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，放手讓學(xué)生探究思索。以現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件作為教學(xué)輔助手段，加深學(xué)生對(duì)基本不等式的理解。
《基本不等式》教學(xué)設(shè)計(jì)
教學(xué)準(zhǔn)備
多媒體課件、板書
教學(xué)過(guò)程
教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)以問(wèn)題為中心，以探究解決問(wèn)題的方法為主線展開。這種安排強(qiáng)調(diào)過(guò)程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程成為學(xué)生對(duì)知識(shí)的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。具體過(guò)程安排如下：
一、創(chuàng)設(shè)情景，提出問(wèn)題；
設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)教育必須基于學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，現(xiàn)實(shí)情境問(wèn)題是數(shù)學(xué)教學(xué)的平臺(tái)，數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一就是幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)．基于此,設(shè)置如下情境: 上圖是在北京召開的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。
[問(wèn)]你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？
本背景意圖在于利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系，抽象出不等式a2?b2?2ab。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)基本不等式。
二、抽象歸納：
一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b，有a2?b2?2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立。[問(wèn)] 你能給出它的證明嗎？
證明：因?yàn)閍2?b2?2ab?(a?b)2?0，即a2?b2?2ab.（當(dāng)a?b時(shí)取等號(hào)）
特別地，當(dāng)a>0,b>0時(shí)，在不等式a2?b2?2ab中，以a、b分別代替a、b，得到什么？
設(shè)計(jì)依據(jù)：類比是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方法，此環(huán)節(jié)不僅讓學(xué)生理解了基本不等式不等式的來(lái)源，突破了重點(diǎn)和難點(diǎn)，而且感受了其中的函數(shù)思想，為今后學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).《基本不等式》教學(xué)設(shè)計(jì)
答案： ab?a?b(a,b?0)。2你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)這個(gè)不等式嗎？ 證明：（分析法）：由于a,b?R?，于是要證明 a?b?2ab，只要證明 a?b?2即證
2ab，a?b?2ab?0，即(a?b)2?0，所以a?b?ab，（當(dāng)a?b時(shí)取等號(hào)）
【歸納總結(jié)】
如果a,b都是正數(shù)，那么ab?a?b，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。2a?b稱為a,b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱2我們稱此不等式為基本不等式。其中為a,b的幾何平均數(shù)。
文字語(yǔ)言敘述：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。
探究基本不等式的幾何意義：借助初中階段學(xué)生熟知的幾何圖形，引導(dǎo)學(xué)生探究ab?a?b(a,b?0)2的幾何解釋，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，賦予不等式不等式ab?a?b(a,b?0)2幾何直觀。進(jìn)一步領(lǐng)悟不等式中等號(hào)成立的條件。
如圖：AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，CD⊥AB，AC=a,CB=b，CD
D?ab
aba?b2abOCAB幾何解釋實(shí)質(zhì)可認(rèn)為是：在同一半圓中，半徑不小于半弦（直徑是最長(zhǎng)的弦）；或者認(rèn)為是，直角三角形斜邊的一半不小于斜邊上的高。
《基本不等式》教學(xué)設(shè)計(jì)
4．應(yīng)用舉例，鞏固提高
我們可以用兩個(gè)重要不等式來(lái)解決什么樣的問(wèn)題呢？
例1（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100平方米的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？（2）一段長(zhǎng)為36米的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？
（通過(guò)例1的講解，總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問(wèn)題的特征,實(shí)現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化）對(duì)于（1）若（2）若，（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)，時(shí)，有最小值有最大值
； ．
（鼓勵(lì)學(xué)生自己探索推導(dǎo)，不但可使他們加深基本不等式的理解，還鍛煉了他們的思維，培養(yǎng)了勇于探索的精神．）
1例 2：當(dāng)x?0時(shí)，求y?x?的最小值？x1變式1：當(dāng)x?0時(shí)，y?x?有最值嗎？
x1變式2：當(dāng)x?1時(shí)，y?x?有最值嗎？
x通過(guò)例2及其變式引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)運(yùn)用基本不等式的三個(gè)限制條件（一正二定三相等）在解決最值問(wèn)題中的作用，提升解決問(wèn)題的能力，體會(huì)方法與策略．
練一練（自主練習(xí)）：課本練習(xí)5．歸納小結(jié)，反思提高
《基本不等式》教學(xué)設(shè)計(jì)
基本不等式：若若，則，則
（當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)，等號(hào)成立）時(shí)，等號(hào)成立）
（1）基本不等式的幾何解釋（數(shù)形結(jié)合思想）；（2）運(yùn)用基本不等式解決簡(jiǎn)單最值問(wèn)題的基本方法（一正二定三相等）． 6．布置作業(yè)，課后延拓
（1）基本作業(yè)：課本P100習(xí)題組1、2、3題
（2）拓展作業(yè)：請(qǐng)同學(xué)們課外到閱覽室或網(wǎng)上查找基本不等式的其他幾何解釋，整理并相互交流．
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