第一篇：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心得體會(huì)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心得體會(huì)

——在學(xué)習(xí)中自我成長(zhǎng)

金秋十月，我有幸參加了為期近三個(gè)月的“國(guó)培計(jì)劃”的培訓(xùn)。工作7年后又以一個(gè)學(xué)生的身份坐在教室里學(xué)習(xí)，我感到興奮、開(kāi)心，非常感謝學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)給了我這樣一個(gè)學(xué)習(xí)、鍛煉、提升自我的機(jī)會(huì)。

這次培訓(xùn)安排的扎實(shí)有序，培訓(xùn)學(xué)習(xí)的內(nèi)容主要以專(zhuān)家、特級(jí)教師的講座、報(bào)告為主，下校實(shí)踐和自我研修為輔。每周一至周五，早上八點(diǎn)半到十二點(diǎn)，下午二點(diǎn)半到五點(diǎn)半這一時(shí)間段的理論學(xué)習(xí)，每天都讓我感受到不同風(fēng)格的教師，都聽(tīng)到不同類(lèi)型的講座，幾乎每天都有思想火花的沖撞。這次培訓(xùn)可以說(shuō)對(duì)我的教育理念、教學(xué)行為、理論知識(shí)等的提升作用非常之大，開(kāi)闊了自己的教育視野，感觸頗多。現(xiàn)就自己三個(gè)月的學(xué)習(xí)談幾點(diǎn)體會(huì)，還請(qǐng)領(lǐng)導(dǎo)、老師們批評(píng)、指正。

一、教書(shū)育人，育人為先。

西安文理學(xué)院文學(xué)院副院長(zhǎng)張成武教授的講座，從法律的角度講了教師的地位及職責(zé)?，F(xiàn)代教師不僅具有職業(yè)特征，更有許多社會(huì)約束，也正是因?yàn)橛羞@一特征，我深深體會(huì)到，在今后的教學(xué)中一定要嚴(yán)格依法執(zhí)教，放平心態(tài)教書(shū)育人，處理教育上的事情要將事做的圓滿(mǎn)，將話(huà)說(shuō)得到位、說(shuō)的完整，而這往往也是最難做到的。這就需要：

1、把微笑帶進(jìn)課堂。

微笑是人的一種情態(tài)語(yǔ)言，人們?cè)谶m當(dāng)?shù)臅r(shí)候投以適度的微笑可發(fā)揮其無(wú)窮的價(jià)值。同樣，把微笑這種特殊的語(yǔ)言運(yùn)用到教育教學(xué)活動(dòng)中，會(huì)收到意想不到的效果。心理學(xué)研究表明，學(xué)生是很喜歡見(jiàn)到

教師微笑的，教師經(jīng)常把笑露在臉上，學(xué)生會(huì)對(duì)老師心懷好感，極愿親近，自然而然形成一股內(nèi)在的親師感，進(jìn)而對(duì)教師所任教的學(xué)科產(chǎn)生濃厚的興趣。經(jīng)常微笑也會(huì)減少我們自己的壓力，化憤怒為微笑教學(xué)，會(huì)減少很多不必要的沖突。實(shí)踐也充分證明了這一點(diǎn)：當(dāng)你微笑著找學(xué)生談話(huà)，用含笑的眼睛注視學(xué)生，會(huì)使學(xué)生放棄戒備心態(tài)，營(yíng)造一種融洽的氣氛；當(dāng)學(xué)生在課堂上因緊張、拘謹(jǐn)，無(wú)所適從時(shí)，你的笑是一種鼓勵(lì)；當(dāng)學(xué)生成功了，你的笑無(wú)疑是一種褒獎(jiǎng)……

2、變“尊師愛(ài)生”為“愛(ài)生尊師”。

尊師和愛(ài)生，長(zhǎng)久以來(lái)這個(gè)話(huà)題是師生所熟知的。這兩個(gè)詞并列，只是側(cè)重點(diǎn)不同造成的結(jié)果也大不相同?，F(xiàn)代教師要擺正心態(tài)，先“愛(ài)生”，如果變“尊師愛(ài)生”為“愛(ài)生尊師”，無(wú)疑“愛(ài)生”乃尊師的前提條件，如果老師不“愛(ài)生”，學(xué)生亦完全有理由不尊師，正所謂敬人者人故敬之。與變“屢戰(zhàn)屢敗”為“屢敗屢戰(zhàn)”同理。

3、對(duì)學(xué)生多鼓勵(lì)，少批評(píng)。

賞識(shí)、贊美、鼓勵(lì)，是一種巨大的精神力量，它能推動(dòng)受教育者向既定目標(biāo)迅猛沖剌。教育的本質(zhì)是喚醒人而不是改造人，要力圖讓學(xué)生的靈魂感動(dòng)，動(dòng)其筋骨而非傷其皮肉。

二、教育理念，不斷提升。

陜西省教科所的潘燏老師為我們講授的《新課程背景下小學(xué)數(shù)學(xué)有效教學(xué)策略》的講座，讓我對(duì)教材有了更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。剛畢業(yè)時(shí)也教過(guò)人教版的教材，而數(shù)學(xué)課程改革這幾年，接觸更多的是課改后的新教材（北師大版教材）。一直以來(lái)就很疑惑，為什么數(shù)學(xué)課本中 的知識(shí)點(diǎn)這么少，課本上的東西少之又少，而要給學(xué)生講的卻很多？聽(tīng)聽(tīng)專(zhuān)家的解釋?zhuān)睦锘砣婚_(kāi)朗。北師大版課本中一節(jié)課的標(biāo)題是由情境圖所命名的，情境圖是學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，而并非這節(jié)課就只講這一知識(shí)點(diǎn)。要把握好情境圖非常困難，要從圖中引出知識(shí)，從練習(xí)題中找出知識(shí)，更要靠自己的挖掘、探索，挖出知識(shí)。而這一個(gè)個(gè)的情境圖，全部都是適合我們數(shù)學(xué)教學(xué)的嗎？答案是否定的。這也是新課程改革存留的一點(diǎn)小缺憾。聽(tīng)說(shuō)新的課程標(biāo)準(zhǔn)就要頒布，希望能將課改修補(bǔ)的完美無(wú)瑕。通過(guò)培訓(xùn)，我深刻的體會(huì)到，我們的教材是死的，而教教材的人卻是活的，我們要用教材教，而不是教教材。而現(xiàn)今如何將這些情境圖合理的應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，如何去教教材，是我們應(yīng)該考慮的問(wèn)題。在今后的教學(xué)中，必須做到兩個(gè)關(guān)注：一是：關(guān)注學(xué)生，從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，關(guān)注學(xué)生的情感需求和認(rèn)知需求，關(guān)注學(xué)生的已有的知識(shí)基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)，是一節(jié)成功課堂的必要基礎(chǔ)。二是：關(guān)注數(shù)學(xué)：抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)進(jìn)行教學(xué)，注重?cái)?shù)學(xué)思維方法的滲透，讓學(xué)生在觀察、操作、推理、驗(yàn)證的過(guò)程中有機(jī)會(huì)經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)過(guò)程，使學(xué)生真正體驗(yàn)到學(xué)數(shù)學(xué)的價(jià)值，從而愛(ài)學(xué)數(shù)學(xué)并從中感受到學(xué)習(xí)的快樂(lè)。要展現(xiàn)思維力度，關(guān)注數(shù)學(xué)方法，體現(xiàn)數(shù)學(xué)課的靈魂，使數(shù)學(xué)課上出“數(shù)學(xué)味”！

北京第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)華應(yīng)龍老師的《課堂因融錯(cuò)而精彩》，更是深深的觸動(dòng)了我的心靈，讓我對(duì)課堂中生成的問(wèn)題處理有了新的認(rèn)識(shí)。以前，我總認(rèn)為一節(jié)好的公開(kāi)課，就要像行云流水，師生互動(dòng)要流暢，不能出現(xiàn)預(yù)設(shè)之外的問(wèn)題，我也因?yàn)橐恍┱n堂生成的問(wèn)題而束手無(wú)

策，責(zé)怪學(xué)生，自感丟臉，最后處理時(shí)不了了之。因此為了上好一節(jié)這樣的課，我總是在公開(kāi)課之前，反復(fù)強(qiáng)調(diào)和練習(xí)，追求課堂的完美。但這樣的課上下來(lái)，學(xué)生到底有怎樣的收獲？教師又有怎樣的發(fā)展？一堂很順利，沒(méi)有一絲錯(cuò)誤展現(xiàn)出來(lái)的課，給人的第一感覺(jué)就是“假”,第二感覺(jué)就是教學(xué)設(shè)計(jì)有問(wèn)題。一堂好課，是用學(xué)生是否聽(tīng)會(huì)，是否理解來(lái)判斷的，而并非是教師教的是否精彩來(lái)決定的！一節(jié)真正的課無(wú)錯(cuò)是要不得的，每個(gè)錯(cuò)誤都是有價(jià)值的，教師只要在課堂上關(guān)注學(xué)生的不同聲音，尊重學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中得差錯(cuò)，暴露學(xué)生錯(cuò)的根，認(rèn)真思考，巧妙引導(dǎo)和處理，變錯(cuò)為寶，激發(fā)學(xué)生的思維浪花，把課堂中的差錯(cuò)當(dāng)做一種資源而加以利用，那么，我們課堂上的差錯(cuò)，就會(huì)變成錯(cuò)不是錯(cuò)，課堂就會(huì)呈現(xiàn)智慧的火花，使學(xué)生感受到生命成長(zhǎng)的快樂(lè)。因而課堂上老師要學(xué)會(huì)裝“傻”教師越“傻”，學(xué)生就越聰明，最好的學(xué)習(xí)就是在差錯(cuò)中學(xué)習(xí)。容錯(cuò)—---錯(cuò)是錯(cuò)；融錯(cuò)-------錯(cuò)不是錯(cuò)；榮錯(cuò)------錯(cuò)還是錯(cuò)。這在我們教育教學(xué)的整個(gè)過(guò)程之中也是同樣的道理。當(dāng)學(xué)生犯了錯(cuò)誤時(shí)，老師要有一個(gè)理智的行為，從另一個(gè)角度看，這個(gè)犯錯(cuò)的學(xué)生為你的教學(xué)注入了新的血液，正如他說(shuō)的，有些錯(cuò)誤是一定要犯得，早犯比遲犯好。華老師說(shuō)要因材施教，就是要了解每一個(gè)孩子，每一個(gè)人都是不同的，不是所有的孩子都能成為數(shù)學(xué)家，而是數(shù)學(xué)家小的時(shí)候也不都是天才。而且我們的教育不是要把每一個(gè)孩子都培養(yǎng)成數(shù)學(xué)家，社會(huì)需要各種各樣的人才，數(shù)學(xué)教育重點(diǎn)是教育，以知識(shí)為載體，促進(jìn)人的發(fā)展。

三、自身素養(yǎng)，得以升華。

要想給學(xué)生一滴水，教師就必須具備源源不斷的活水。這次培訓(xùn)，除了專(zhuān)家、特級(jí)教師的講座，讓我在教書(shū)育人上有很多感悟以外，還欣賞了音樂(lè)、美術(shù)，進(jìn)行了書(shū)法訓(xùn)練，學(xué)習(xí)了計(jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。音樂(lè)、美術(shù)的欣賞，是我在學(xué)習(xí)之余舒緩了緊張的情緒，正是這樣，才讓我深深體會(huì)到雖說(shuō)教師很苦、很累，但是，我們要會(huì)在苦累時(shí)放松自己，音樂(lè)、美術(shù)欣賞無(wú)疑是個(gè)好的方法，要有一個(gè)好的心態(tài)、好的心情去教學(xué)，因?yàn)樯眢w是革命的本錢(qián)嘛！而書(shū)法和計(jì)算機(jī)的學(xué)習(xí)，更是讓我自身的基本功得到提升。我了解了如何用Word制作一張比較完整的數(shù)學(xué)試卷，如何用公式及函數(shù)在Excel中做成績(jī)統(tǒng)計(jì)表，以及簡(jiǎn)單的PS技術(shù)。這在以后的工作中都將成為我自身的寶藏，將更好的幫助我進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)。

在今后的教育教學(xué)實(shí)踐中，我將靜下心來(lái)采他山之玉，納百家之長(zhǎng)，慢慢地走，慢慢地教，在教中學(xué)，在教中研，在教和研中走出自己的一路風(fēng)彩，求得師生的共同發(fā)展，求得教學(xué)質(zhì)量的穩(wěn)步提高。在這里，我突然感到自己身上的壓力變大了。要想不被淘汰出局，要想最終成為一名合格的骨干教師，就要不斷更新自己，努力提高自身的業(yè)務(wù)素質(zhì)、理論水平、教育科研能力、課堂教學(xué)能力等。這就需要今后自己付出更多的時(shí)間和精力，努力學(xué)習(xí)各種教育理論，勇于到課堂中去實(shí)踐，相信只要通過(guò)自己不懈的努力，一定會(huì)有所收獲，有所感悟。

第二篇：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心得體會(huì)

“把課堂的精彩還給學(xué)生”

---參加國(guó)家名師高效教學(xué)觀摩研討會(huì)心得體會(huì)

2016年3月19日-20日，我有幸參加了在德州學(xué)院音樂(lè)系禮堂舉辦的“國(guó)家名師高效教學(xué)觀摩研討會(huì)”，聆聽(tīng)了吳正憲、張齊華、強(qiáng)震球、杜海良、趙震、薛錚等幾位名師的授課，一堂堂生動(dòng)的示范課讓我們領(lǐng)略到數(shù)學(xué)深邃的思想以及教學(xué)的藝術(shù)魅力，精彩的預(yù)設(shè)與生成，恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥與啟發(fā)，感動(dòng)著在場(chǎng)的每一位老師。

幾位老師的共同點(diǎn)在于總是在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候提出一些疑問(wèn)，引起學(xué)生的思考，從而突破難點(diǎn)。設(shè)計(jì)精妙，環(huán)環(huán)相扣，對(duì)知識(shí)點(diǎn)層層深入、點(diǎn)點(diǎn)剖析，并且非常注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透。下面是我學(xué)習(xí)后的感受：

一、俯下身子與孩子對(duì)話(huà)

從名師與我們平時(shí)和孩子溝通的語(yǔ)言對(duì)比中可以知道，他們與孩子對(duì)話(huà)中有一種無(wú)形的拉近距離感，能讓孩子們從乏味的教學(xué)中，主動(dòng)學(xué)習(xí)起來(lái)。每一位名師在與孩子們上課前都會(huì)親近的與他們攀談，這樣的課前交談，看似簡(jiǎn)單、平淡、多余，實(shí)際上縮短了師生心理距離，營(yíng)造了寬松和諧、自由活躍的課堂氛圍。

二、以學(xué)生的探究與交流為主，教師適當(dāng)點(diǎn)撥，營(yíng)造輕松的教學(xué)氛圍

教學(xué)過(guò)程是師生間共同參與、交流、互動(dòng)的過(guò)程，是教師指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程。因此教師不應(yīng)該把學(xué)生看成是“容器”，強(qiáng)行灌輸，而應(yīng)把學(xué)生看成是主動(dòng)的、生動(dòng)活潑的、發(fā)展著的認(rèn)識(shí)的主體。一個(gè)教師無(wú)論學(xué)識(shí)如何廣博，都必須始終站在學(xué)生這個(gè)主體位置。而不是站在演員這個(gè)角度上去表演。即使你的表演再精彩，如果學(xué)生要是學(xué)不到真正的知識(shí)，培養(yǎng)不了解決問(wèn)題的能力，也是一節(jié)失敗的課。

吳正憲老師執(zhí)教的“小數(shù)除法”一課，圍繞著“剩下的余數(shù)‘1’怎么辦”也就是1元錢(qián)到底怎么分的問(wèn)題，展開(kāi)了激烈的討論，有的把1元變成10角，把1角變成10分；有的把1元直接變成100分；有的同學(xué)直接看到把1元分成4份，每份就是0.25元；在激烈的討論中，學(xué)生思維迸發(fā)，學(xué)生“活了”，知識(shí)也跟著“活了”。

趙震老師執(zhí)教的“加法、乘法交換律”一課，老師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)舉例驗(yàn)證的方式得到了加法交換律，趙老師啟發(fā)學(xué)生根據(jù)剛才的學(xué)習(xí)做其他的猜想，學(xué)生猜乘法交換律、減法交換律、除法交換律，老師沒(méi)有急于給出答案，而是讓學(xué)生自己討論交流驗(yàn)證，學(xué)生通過(guò)自己的努力排除了減法和除法交換律，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不僅學(xué)到了知識(shí)，而且學(xué)到了數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法——舉例驗(yàn)證。

三、今后努力的方向

1、備課前需要思考的問(wèn)題。

課前設(shè)計(jì)教案設(shè)計(jì)課要多思考為什么教材編寫(xiě)者要以這樣的方式呈現(xiàn)這個(gè)內(nèi)容;學(xué)生之前的認(rèn)知程度;教材在整個(gè)小學(xué)教學(xué)體系中所處的位置;明白孩子在學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)的過(guò)程中的軟肋，而不是照搬別人設(shè)計(jì)精彩的環(huán)節(jié)，精彩的習(xí)題。

2、找到學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)知和數(shù)學(xué)知識(shí)增長(zhǎng)之間的連接點(diǎn)。整體把握教材中知識(shí)點(diǎn)之間本質(zhì)的聯(lián)系，站在一個(gè)整體聯(lián)系的層次去審視和處理教材，向?qū)W生傳遞一個(gè)完整的數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生建立一個(gè)融會(huì)貫通的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。還應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)會(huì)聯(lián)系看問(wèn)題的思維習(xí)慣，他們應(yīng)被鼓勵(lì)尋找聯(lián)系以幫助他們理解和解決問(wèn)題。

第三篇：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)心得體會(huì)

讀《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)》心得

北市成功高中 游經(jīng)祥老師

一、前言

數(shù)學(xué)教學(xué)可說(shuō)是一種藝術(shù)，而且也是教師一直在自我調(diào)整，自我成長(zhǎng)的一門(mén)學(xué)問(wèn)。筆者對(duì)數(shù)學(xué)教育可說(shuō)是門(mén)外漢，有幸參與研讀Richard Skemp所著的《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)》，讓筆者從中體會(huì)到一些數(shù)學(xué)教育的大略。這是一本結(jié)合心理學(xué)理論和數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的好書(shū)，在研讀討論過(guò)程中，讓筆者不時(shí)常有『心有戚戚焉』的感覺(jué)，也讓筆者感到『教學(xué)』專(zhuān)業(yè)之中，還有這麼多細(xì)密的內(nèi)涵存在，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值觀以及數(shù)學(xué)教學(xué)的意義，有更進(jìn)一步的體會(huì)。由於本書(shū)內(nèi)容豐富，筆者便以分段式的方式提出心得，並期望在每一段落中，給出高中教材的相關(guān)例子，以參照這幾年來(lái)筆者自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。換句話(huà)說(shuō)，在本文中，筆者一方面肯定本書(shū)所提出的概念，另一方面，則也要強(qiáng)調(diào)筆者教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的自我印證。在此，我很感謝同事杜雲(yún)華老師、蘇意雯老師、蘇慧珍老師的集思廣義，以及洪萬(wàn)生教授的問(wèn)題討論。

二、數(shù)學(xué)概念

我們數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)從無(wú)到有，頇經(jīng)過(guò)多少歲月學(xué)習(xí)，及許多師長(zhǎng)的引導(dǎo)啟發(fā)，再加上我們?nèi)祟?lèi)的智力行為，各方面因緣的會(huì)聚，數(shù)學(xué)方能達(dá)到如今成熟的地步。人類(lèi)由活動(dòng)中吸取經(jīng)驗(yàn)，由經(jīng)驗(yàn)中學(xué)習(xí)而化為行為；因此，人類(lèi)的智力行為乃從經(jīng)驗(yàn)，再由經(jīng)驗(yàn)、事物的分類(lèi)、歸類(lèi)之中，而產(chǎn)生心智中的『歸檔』。在這種心智活動(dòng)過(guò)程中，我們由語(yǔ)言經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)分類(lèi)、歸納，進(jìn)而將之抽象化，而這抽象化後的事物存在心中，便稱(chēng)之為『概念』。平常數(shù)學(xué)中所謂的『定義』，即是將某一數(shù)學(xué)概念的範(fàn)圍更加精確地顯示出來(lái)。因此，數(shù)學(xué)中的『定義』，乃是前人心血累積所成的數(shù)學(xué)概念。

在此，筆者提出高中數(shù)學(xué)教材中的例子，來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)概念作一印證。在高一上學(xué)期的數(shù)系中，有一單元目標(biāo)是為了幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)複數(shù)系，即C={a+bi|a，b?R，i=?1}。在此之前，高一學(xué)生的心中對(duì)於數(shù)的概念只有：自然數(shù)系Ｎ，整數(shù)系Ｚ，有理數(shù)系Ｑ，與實(shí)數(shù)系Ｒ。因此，要引進(jìn)複數(shù)系時(shí)，筆者便從國(guó)中時(shí)代的一元二次方程式ax2?bx?c?0的公式解及判別式開(kāi)始引起動(dòng)機(jī)，順便讓學(xué)生回憶一下往事，亦即，希望喚醒學(xué)生以往的數(shù)學(xué)概念。進(jìn)而對(duì)判別式D?b2?4ac的正負(fù)及實(shí)根的個(gè)數(shù)做個(gè)複習(xí)。最後，才進(jìn)入Ｄ＜０時(shí)，公式解中?b?D的D是何物？以此來(lái)引進(jìn)負(fù)數(shù)平方根的存在性。在解決這些存疑之前，筆者又2a引進(jìn)十六世紀(jì)義大利數(shù)學(xué)家卡當(dāng)（Girolamo Cardano）所提出的問(wèn)題：把10分成兩個(gè)數(shù)，使x?它們乘積是40。

當(dāng)時(shí)卡當(dāng)解出的東西為5??15，他很迷惑5??15到底是不是『數(shù)』。但是，他又大膽地『認(rèn)定』如果5??15這種東西如果可以合符『數(shù)的運(yùn)算規(guī)則』做計(jì)算，則5??15就是此問(wèn)題的解。不過(guò)，這問(wèn)題困擾數(shù)學(xué)家二百多年，到了十八世紀(jì)以後，經(jīng)過(guò)尤拉（Euler）、高斯（Gauss）等偉大數(shù)學(xué)家的努力探索，吾人才日漸揭開(kāi)複數(shù)系的神祕(mì)面紗。

經(jīng)過(guò)如此介紹，在一方面，我們可讓數(shù)學(xué)史『告訴』學(xué)生，數(shù)系得之不易；另一方面，也可讓學(xué)生了解新數(shù)系要『如何』建立。根據(jù)數(shù)學(xué)史，了解一個(gè)新數(shù)系的建立，對(duì)超級(jí)數(shù)學(xué)家而言已經(jīng)不容易了，更何況是凡夫俗子呢？由此可見(jiàn)，一個(gè)數(shù)學(xué)新概念在學(xué)生的心智活動(dòng)中要明確建立，實(shí)在相當(dāng)困難。

再者，筆者想大略談數(shù)學(xué)『抽象化』的例子：在大學(xué)數(shù)中的代數(shù)學(xué)，其中的群（group），環(huán)（ring），體（field）的生成，是由日常生中的自然數(shù)系、整數(shù)系、有理數(shù)系、實(shí)數(shù)系、複數(shù)系中的運(yùn)算性質(zhì)，以及其概念中加以聯(lián)結(jié)，所提煉而成的特性及功用。但是，我們當(dāng)初很難預(yù)測(cè)，它們結(jié)合後會(huì)產(chǎn)生這麼多的特性，而再進(jìn)一步抽象化後所形成的『近世代數(shù)』之美麗光茫。我們?cè)囈韵旅胬诱f(shuō)明，當(dāng)中的提煉過(guò)程。

例如：有理數(shù)系中對(duì)『加法』、『乘法』有封閉性，這就是群（group）中的二元運(yùn)算的來(lái)源，其中的結(jié)合性、反元素、單位元素皆可由0，1的運(yùn)算性質(zhì)推廣得到。因此，經(jīng)過(guò)數(shù)系內(nèi)在蘊(yùn)涵的特性及功用，再進(jìn)一步抽象化後便得到『群』定義中的充要條件。最後，再一般化後，便得到更深入的環(huán)、體及近世代數(shù)的發(fā)展，使代數(shù)學(xué)成為現(xiàn)今數(shù)學(xué)領(lǐng)域中重要的一個(gè)分支。

由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)概念大都是經(jīng)由人類(lèi)生活活動(dòng)、經(jīng)驗(yàn)累積而形成的成果，進(jìn)而人類(lèi)將之分類(lèi)、歸檔，由變因中尋找共通性與不變性，再進(jìn)一步抽象化，最後在歷史演化的提煉形過(guò)程中，將其『不變』的特質(zhì)再留存歸檔。就如現(xiàn)在的近世代數(shù)學(xué)中的群、環(huán)、體等理論已成熟，數(shù)學(xué)家便將之視為自然的數(shù)學(xué)文化而留存歸檔。

三、基模（schema）的特性

筆者覺(jué)得『基模』是數(shù)學(xué)教育上的一個(gè)名詞，它大約說(shuō)明『心理學(xué)中的心智結(jié)構(gòu)情形』。因此，筆者在此只有將基模所具有的一些特性，作以下說(shuō)明：

?基?？梢越Y(jié)合長(zhǎng)期所學(xué)的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)及概念。

?基模可以將概念的關(guān)係加以分類(lèi)、融合、轉(zhuǎn)化。

?基模是概念之間的縱橫聯(lián)繫網(wǎng)。

?基模可以將多種概念結(jié)合、分析而發(fā)展出難以預(yù)測(cè)的特性及功用。

筆者在此以『重複組合』Ｈnm為例，對(duì)基模的特性作下列相應(yīng)的說(shuō)明。

例：袋中有a，b，c三種球，各有10個(gè)，從袋中任取5球，請(qǐng)問(wèn)有幾種不同的取法？（Ａ）對(duì)沒(méi)有Ｈnm概念的學(xué)生，他可以用以下作法，自然討論可得其解答：

a五同：aaaaa，bbbbb，ccccc，共三種。即Ｃ3種?！?3b四同：aaaab，…，有Ｃ3·○22=6種，或Ｐ2種。

3c三同二同：aaabb，…，有Ｃ3·○22=6種，或Ｐ2種。d三同二異：aaabc，…，有Ｃ3=3種?！?e二同二同一異：aabbc，…，有Ｃ3=3種。○1共21種。

n

運(yùn)用這種做法，至少學(xué)生已有Ｃn，Ｐmm的基本概念，以及對(duì)５球分類(lèi)的基本能力。就此nＣnm，Ｐm及對(duì)５球分類(lèi)的三個(gè)基本概念來(lái)說(shuō)，它們個(gè)別發(fā)揮不出解此題的作用。但當(dāng)學(xué)生的思考中將此三種基本概念結(jié)合與聯(lián)繫，則問(wèn)題將可以自然地解決。這種結(jié)合與聯(lián)繫，就是基模的特性之一。當(dāng)然，其中也用到自然數(shù)的四則運(yùn)算，這是人類(lèi)最根本的基模，就不必特別指出。以下，筆者亦是如此對(duì)待此根本基模。（Ｂ）、聰明一點(diǎn)的學(xué)生可能會(huì)這樣做：

設(shè)a類(lèi)球取x個(gè)，b類(lèi)球取y個(gè)，c類(lèi)球取z個(gè)。則x?y?z?5，0?x,y,z?5且x,y,z為整數(shù)（即此方程式之非負(fù)整數(shù)解。）此時(shí)可以列表解之：

ｘ ５ ４ ３ ３ ２

ｙ ０ １ ２ １ ２

ｚ ０ ０ ０ １ １

故共有3!3!3!?3!?3!???21種。2!2!2!n

運(yùn)用這種作法的學(xué)生至少要有Ｃn、Ｐmm、代數(shù)方程式的列式，以及解非負(fù)整數(shù)等概念，其中能將排列、組合的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)的問(wèn)題，這頇要很強(qiáng)的『反思』能力，即能跳脫問(wèn)題本身，提昇到更高階層以觀察之，而得到此一作法，這是基模結(jié)合力更強(qiáng)的展現(xiàn)。由於基模具有這種將多種概念結(jié)合、轉(zhuǎn)化的特性，難怪引導(dǎo)學(xué)生作基模式的學(xué)習(xí)，是一種很有效的數(shù)學(xué)教學(xué)法。此法的進(jìn)行，要提醒學(xué)生有『居高臨下』的視野，在跳脫問(wèn)題層次之外，能以更宏觀的思考方向思考之。這是非常難得，而且是更高一層的反思，值得學(xué)之。（Ｃ）更聰明的學(xué)生，可能會(huì)這樣做：

同（Ｂ）中的假設(shè)，而得求x?y?z?5的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)。此時(shí)這類(lèi)學(xué)生便將５個(gè)球，用５個(gè)“１”代表而將之排成一列，再用兩個(gè)加號(hào)“＋”插進(jìn)一群“１”之中，所分成的三部分就分別定為x,y,z的值，而得到

7!7373?5?1?C5，即知H5。?C5?C52!5!

這種做法是經(jīng)兩次反思而得，先將排列組合的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程式問(wèn)題，為了要求非

nn?m?1負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)又轉(zhuǎn)化成重複排列問(wèn)題，而得到更簡(jiǎn)便的求解方法，進(jìn)而驗(yàn)證了Hm。?Cm

筆者分析上述（Ａ），（Ｂ），（Ｃ）這三種作法，主要目的是要說(shuō)明筆者對(duì)基模所列的四種特性，從而使自己對(duì)基模的特質(zhì)，有更進(jìn)一步的理解。因此，筆者覺(jué)得基模本身已經(jīng)是離開(kāi)日常經(jīng)驗(yàn)與反應(yīng)，同時(shí)，基?？梢越y(tǒng)合已知知識(shí)，進(jìn)而加強(qiáng)對(duì)事物的了解，及對(duì)事物的批判思考力。因此，基模是產(chǎn)生真正理解事物的一種心智工具，利用它，我們可以獲取意想不到的新知。

然而萬(wàn)事萬(wàn)物，有其利亦有其弊?；Ｒ嗫赡苡衅淙秉c(diǎn)，包括建立過(guò)程所費(fèi)的時(shí)間較長(zhǎng)，基模有喜新厭舊、顧此失彼的特性，更嚴(yán)重者，乃是知識(shí)『穩(wěn)固性』建立的無(wú)形障礙。在此，筆者提出基模穩(wěn)固性的無(wú)形障礙，有一個(gè)很明確的例子，就是在畢氏發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)時(shí)，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們視畢氏的無(wú)理數(shù)論點(diǎn)為異端，不在此重述?？梢?jiàn)，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們對(duì)數(shù)學(xué)中的數(shù)系基模，只穩(wěn)固在有理數(shù)系為其最高階層的數(shù)系，至於對(duì)於非有理數(shù)的存在性，自然會(huì)有很大的懷疑。

四、思考層次的分析

x?22x2?2x?2??3。

我們先考慮這問(wèn)題：試解2x?2x?x?1(解一)、一般學(xué)生直觀解之，要先去分母；得到：(x?2)2?(x2?x?1)(2x2?2x?2)?3(x?2)(x2?x?1)

?x2?4x?4?2(x4?x2?1?2x3?2x?2x2)?3(x3?x2?x?2x2?2x?2)

?2x4?4x3?7x2?8x?6?3x3?9x2?9x?6 ?2x4?x3?2x2?x?0

?x?0，2x3?x2?2x?1?0

1?x?0,?1,?。

2(解二)、另外有一些學(xué)生先欣賞一下題目，分析問(wèn)題特性，方程式中皆有因此，學(xué)生的做法便利用符號(hào)代表a?x?2及其倒數(shù)。

x2?x?1x?2x?2，即令=，則原方程式變?yōu)閍22x?x?1x?x?12x?2x?21?3?a2?3a?2?0?a?1或2，即2＝１或2＝２，故得x?0,?1,?。a2x?x?1x?x?

1由上述的兩種解題方法，筆者試圖分析學(xué)生的心智活動(dòng)結(jié)構(gòu)的大概情形如下：（Ａ）、自動(dòng)化概念

在學(xué)習(xí)或處理新概念或問(wèn)題時(shí)，基礎(chǔ)概念或基礎(chǔ)理論必頇變得自動(dòng)化，亦即可以自動(dòng)浮現(xiàn)心頭。不必重新思考或反映的概念，皆可稱(chēng)為自動(dòng)化概念。

在『解一』中的自動(dòng)化概念，包括分式之去分母，多項(xiàng)式之加減乘及多項(xiàng)式的因式分解。因此，要用“解一”的方法，這些基礎(chǔ)概念頇要已經(jīng)自動(dòng)化了，如此解此題才方便。

至於在『解二』中的自動(dòng)化概念，就包括符號(hào)代換、分式之去分母、因式分解（十字交義相乘）、解一元二次方程式等。

因此，要運(yùn)用『解二』之法者，先要有更高層次思考，以簡(jiǎn)禦繁而得到a=

x?2的代2x?x?1換式；之後便是頇要自動(dòng)化的概念。（Ｂ）、心智模型的層次

在上述『解一』中，乃是一般性解題的自然操作活動(dòng)，也是直覺(jué)處理問(wèn)題的想法。亦即直接由自然的規(guī)律（即自動(dòng)化概念），經(jīng)過(guò)操作、抽象、推廣所蘊(yùn)育而成的心智模型。這即是Skemp書(shū)中所提到的第一型理論。

在『解二』中，頇要跳脫到問(wèn)題之外，以居高臨下的觀點(diǎn)先審題目之結(jié)構(gòu)，進(jìn)而運(yùn)用數(shù)學(xué)以簡(jiǎn)禦繁的精神，以a代表

x?2而得到簡(jiǎn)單的分式方程式，進(jìn)而如『解一』之法解之。

x2?x?1這種心智模型較『解一』更為高層次。這類(lèi)思考層次可說(shuō)是反思，自己跳脫題外，思考問(wèn)題，時(shí)時(shí)知道自己在做什麼。

接著，筆者再以大學(xué)數(shù)學(xué)中『拓樸學(xué)』（topology）的例子，來(lái)說(shuō)明『思考層次』與『思考眼界』有著高低的不同。

記得在國(guó)小、國(guó)中、高中時(shí)代，圓形和三角形是視為完全不一樣的東西，不同的幾何圖形。當(dāng)時(shí)的思考，只限於外形的表現(xiàn)，比較不注重其無(wú)形的內(nèi)涵。因此，在中學(xué)時(shí)代的數(shù)學(xué)，直觀思考，圖形的全等性、相似性乃是主要訴求的重點(diǎn)。但是到了大學(xué)數(shù)學(xué)系中的拓樸學(xué)，已經(jīng)忘記了點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，也跳脫了有形物體的局限。故在拓樸學(xué)家的眼裡，圓、三角形與皆正方形視為同一類(lèi)圖形；甚至圓與實(shí)心的輪胎也被視為同一類(lèi)的幾何圖形，而一直線(xiàn)與一點(diǎn)也被視為同樣的幾何圖形。這些觀點(diǎn)，皆已跳脫有形可想像的範(fàn)圍，已經(jīng)走到第二型的更高層的思考，難怪Skemp主張數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論皆是屬於第二型的高層反思。其實(shí)，數(shù)學(xué)高階思考大都屬於二階反思。因此，我們可以理解到，經(jīng)由數(shù)學(xué)層層抽象化過(guò)濾的高階概念，雖然已經(jīng)遠(yuǎn)離現(xiàn)實(shí)世界，走向無(wú)形抽象空間之中，但是，它卻反而引領(lǐng)我們進(jìn)入孫宙的本質(zhì)，一旦賦予科學(xué)的內(nèi)涵，就可以得到實(shí)際世界許多令人驚異的結(jié)論了。

五、代數(shù)與幾何的結(jié)合

筆者提出以下例子：

x2y2??1之兩頂點(diǎn)，Ｐ是橢圓上之一點(diǎn)，求△ＡＢＰ的例：設(shè)A(-3,0)，B(0,-2)為橢圓94最大面積。

這例題是高中數(shù)學(xué)教材中，常出現(xiàn)在圓錐曲線(xiàn)單元中的例子；而且也算是較難的例題之一。我們提出兩種解法，再進(jìn)一步分析這兩種解法過(guò)程中與Skemp書(shū)中的理論相應(yīng)之處。

解法一：利用代數(shù)方法解之。

設(shè)Ｐ（3cos?,2sin?），1|?3203cos?2sin?1021| 1則△ＡＢＰ面積＝

1|?6?6cos??6sin?| ＝|3sin??3cos??3|

＝

＝|32sin(??

故sin(???4)?3|

?4)??1時(shí)，得最大值 32?3。

解法二：利用幾何觀點(diǎn)解之。

△ＡＢＰ中AB底固定，故只要高最大，則△ＡＢＰ之面積就會(huì)最大。因此，利用平行線(xiàn)間之距離固定的特性；再 作Ｌ//AB且與橢圓相切於P，則可得最大的高。利用橢圓切線(xiàn)公式得：

242L:y??x??9?4??x?22

39而d(A,L)?6?6213。

16?6213?3?32。213

這個(gè)問(wèn)題屬於難題，一般學(xué)生不易求解，這是因?yàn)樗櫼S多概念的結(jié)合，才能推導(dǎo)出這題的答案，其中包括橢圓的參數(shù)化、面積的行列式表示（亦可以用面積的向量表示）、三角函數(shù)疊合性質(zhì)、最大值如何取值等。一般而言，一個(gè)問(wèn)題頇要三個(gè)或以上的概念結(jié)合才能解決，便可說(shuō)是一個(gè)難題。何況此問(wèn)題至少要用到四、五個(gè)以上的概念，難怪對(duì)學(xué)生而言，這是一難題，以上是『解法一』的計(jì)算過(guò)程分析。然而，對(duì)於『解法二』而言，它所頇要的概念有：幾何平行概念，三角形面積求法，橢圓切線(xiàn)公式，點(diǎn)到直線(xiàn)之距離等。也就是頇要四、五個(gè)以上的概念結(jié)合，才能處理這一問(wèn)題。然而『解法二』的方法是代數(shù)與幾何的結(jié)合，也就是兩個(gè)大系統(tǒng)的結(jié)合。Skemp在本書(shū)中提到視覺(jué)系統(tǒng)及言辭系統(tǒng)。言辭系統(tǒng)不只包含口中發(fā)出的聲音，還包含寫(xiě)在紙上的字；而視覺(jué)系統(tǒng)最好的例子就是圖形。然而，兩種系統(tǒng)若能結(jié)合，則處理問(wèn)題的能力便可以更具威力。難怪諾貝爾獎(jiǎng)得主Bragg在其八十歲生日時(shí)說(shuō)：他自己總是先有視覺(jué)印象然後才產(chǎn)生新靈感。從這些數(shù)學(xué)教育專(zhuān)家的言談之中，可見(jiàn)以幾何觀點(diǎn)處理代數(shù)問(wèn)題是很有幫助的，筆者提出這例題便是一例。因此，代數(shù)與幾何的結(jié)合是很重要的後射思考能力。

筆者近日對(duì)這三年來(lái)的『指定或聯(lián)考試題』作分析，發(fā)現(xiàn)九十一年指定考科有關(guān)幾何或利用幾何概念可處理的問(wèn)題佔(zhàn)了29%；九十年聯(lián)考題這種題目佔(zhàn)了52%；八十九年聯(lián)考這種題目佔(zhàn)了46%。筆者所推定的百分比，可能見(jiàn)仁見(jiàn)智，雖然可能有誤差，但是，我們相信平均而言，與幾何相關(guān)或利用幾何可以處理的問(wèn)題佔(zhàn)35%~40%是很自然的。這令筆者也深深感到，現(xiàn)今中學(xué)教材幾何的份量實(shí)在太少了。我希望數(shù)學(xué)教學(xué)家者能正視此一問(wèn)題，也希望有改善幾何教學(xué)的教材出現(xiàn)。平心而論，幾何中的作圖、作法、推論與證明，可以說(shuō)對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是很重要的訓(xùn)諫，不知為何當(dāng)今編寫(xiě)數(shù)學(xué)教材大綱的所謂『專(zhuān)家』，為何對(duì)幾何的內(nèi)容做如此的取捨？現(xiàn)今的教育『專(zhuān)家』到底在想什麼？筆者想不通！故△ＡＢＰ之面積＝

六、理解方式

在Skemp書(shū)中的理解方式分為：機(jī)械式理解、因果式理解，與邏輯式理解。本書(shū)中對(duì)此三種理解方式有大略敘述，我們分述如下。

?機(jī)械式理解：能夠?qū)⒂脖车墓?、招?shù)應(yīng)用於特定問(wèn)題，但不知背後原因、原理。?因果式理解：知道數(shù)學(xué)概念的原因、原理，並能自行推理、推廣。?邏輯式理解：能夠老練地以數(shù)學(xué)化符號(hào)、術(shù)語(yǔ)搭配邏輯推理規(guī)則，以進(jìn)行形式化的數(shù)學(xué)概念證明或推演。

為了說(shuō)明這三種不同的理解方式，筆者舉以下例子，來(lái)對(duì)照三種理解的情形。例：設(shè)二次函數(shù)f(x)?(x?1.1)2?(x?1.2)2?(x?1.3)2?(x?1.4)

2?(x?8.6)2?(x?8.7)2?(x?8.8)2?(x?8.9)2，且當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)有最小值為m，則(x0,m)＝。

（A）機(jī)械式理解的學(xué)生，可能作以下解答方式。

取 1.1，1.2，1.3，1.4，8.6，8.7，8.8，8.9的中位數(shù)得5，則f(5)?112.6，故答(5,112.6)。

此答案正確。但學(xué)生只記得老師提醒：當(dāng)遇到這種問(wèn)題時(shí)，便取以上各數(shù)之中位數(shù)代入，即得最小值。

（B）因果式理解的學(xué)生可能作以下解答方式。

將f(x)化為二次函數(shù)：

f(x)?8x2?2(1.1?1.2?1.3?1.4?8.6?8.7?8.8?8.9)x?D

?f(x)?8x2?80x?D?8(x?5)2?D?200，其中D?1.12?1.22?1.32?.142?8.62?8.72?8.82?8.92，故得當(dāng)x?5時(shí)，f(x)有最小值112.6。

在運(yùn)用這種解法時(shí)，學(xué)生一眼看出f(x)為一元二次函數(shù)，故經(jīng)化簡(jiǎn)便可以得到，且可求得最小值?？梢?jiàn)，他對(duì)二次函數(shù)、配方、求極值等基本概念皆明白在心理，而可以自行推導(dǎo)得答案。

（C）為了引進(jìn)邏輯式理解，我們提出以下例子。

1?tan??sec??tan??sec?，有學(xué)生如此證明：

1?tan??sec???nse??c(1?ta??nse?)c(?t?asne?)c

1?ta 例：求證：

22?se?c?ta??nta?n?ta?sne??cse??cta?sne??cse?c

1?ta?n2?se?c?ta

1?ta?n??nse??c(s2?e?cta?n)?se?c?1?ta?n?se? c

1?ta?n

故得證。

運(yùn)用這種證法的學(xué)生，筆者承認(rèn)他已經(jīng)對(duì)三角函數(shù)恆等式證明，已有了因果式的理解。因?yàn)?，他知道從第一等式到最後等式，其?shí)皆是一樣的意義，而最後一個(gè)等式是顯然成立，故原等式得證?？吹綄W(xué)生如此解，便可以了解其對(duì)等式證明的因果過(guò)程皆理解。因此，筆者認(rèn)為他已達(dá)到因果式理解。但是，他的數(shù)學(xué)邏輯表達(dá)卻有不當(dāng)之處。如果改寫(xiě)如下：

此一恆等式與1?tan??sec??(1?tan??sec?)(tan??sec?)同義，故我們只證明後一恆等式就行了。它的右式＝(1?tan??sec?)(tan??sec?)

=tan??tan2??tan?sec??sec??tan?sec??sec2? =tan??sec??(sec2??tan2?)=1?tan??sec?=左式

得證。

經(jīng)過(guò)如此修正，整個(gè)邏輯語(yǔ)氣才通順，而且符合敘述證明的邏輯思考理解。若學(xué)生能接受如此的訓(xùn)練，便可以得到邏輯式理解的學(xué)習(xí)目標(biāo)，而使基模或解題過(guò)程能很圓滿(mǎn)地呈現(xiàn)出來(lái)。因此，邏輯式理解有一項(xiàng)很重要的誘因，就是來(lái)自同儕或師長(zhǎng)的批評(píng)與建議，如此，方能達(dá)到數(shù)學(xué)完美的邏輯式理解與因果式理解的效應(yīng)與動(dòng)力，而達(dá)到追求更廣泛、更有力、更一致、更完備的數(shù)學(xué)知識(shí)。

七、數(shù)學(xué)教學(xué)的省思

回想起十多年來(lái)的數(shù)學(xué)教學(xué)情況，可說(shuō)是『教學(xué)相長(zhǎng)』的最佳寫(xiě)照。在最初教學(xué)之時(shí)，筆者比較愛(ài)教理論，亦即常以定義方式，直接引入數(shù)學(xué)概念，這種方法最簡(jiǎn)捷。但是，學(xué)生卻不易了解，易生枯燥之感。因?yàn)?，筆者在大學(xué)數(shù)學(xué)系時(shí)專(zhuān)業(yè)上的訓(xùn)練，常以定義、性質(zhì)、引理、定理、推理，一連串的引出數(shù)學(xué)的概念；因此，剛開(kāi)始教學(xué)之時(shí)，亦承襲此一教學(xué)方式。後來(lái)，筆者日漸了解學(xué)生吸收不良的情形，也體會(huì)到中學(xué)生不比大學(xué)數(shù)學(xué)系的學(xué)生。因此，漸漸了解引起動(dòng)機(jī)的重要，而在教學(xué)之時(shí)，慢慢轉(zhuǎn)變成以例子為起頭，引用日常生活化的例子，來(lái)引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，然後，再進(jìn)一步抽象化，而教授一般化的數(shù)學(xué)概念。經(jīng)過(guò)Skemp這本書(shū)的啟示，筆者覺(jué)得一位好老師至少要具備以下的特質(zhì)：

? 提出問(wèn)題，解答問(wèn)題。

? 體察出學(xué)生基模進(jìn)展的方式，並適時(shí)提出適當(dāng)實(shí)物以供參考。? 幫助學(xué)生更深入掌握其所學(xué)。? 逐步減低學(xué)生對(duì)老師的依賴(lài)。? 培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析事物的能力。

? 教材之選取，以及問(wèn)題之提出，要合符學(xué)生的思考方式。? 培養(yǎng)學(xué)生反映內(nèi)涵能力及推理綜合能力。? 確時(shí)掌握學(xué)生心智自我建設(shè)之過(guò)程及特徵。

由於Skemp的概念啟發(fā)，筆者也提議下列一套『數(shù)學(xué)教學(xué)的原則』，筆者覺(jué)得它們是一位數(shù)學(xué)教師至少應(yīng)該具備的共識(shí)：

?先引起學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，以例子為起頭說(shuō)明。

?舉例子要確定學(xué)生已經(jīng)形成例子所應(yīng)該具備的預(yù)先概念。?定義不可超過(guò)已知的高階概念。?以好例子引出定義。

?對(duì)所要教的例子要有充分了解，要有創(chuàng)造力、啟發(fā)力。?概念結(jié)構(gòu)分析過(guò)程中，不可錯(cuò)一步。?先前概念必頇回顧複習(xí)，使學(xué)生隨手可得。

?引導(dǎo)學(xué)生揭開(kāi)數(shù)學(xué)的發(fā)展結(jié)果，並加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思考。?加強(qiáng)智慧學(xué)習(xí)的過(guò)程。

這些有關(guān)教師特質(zhì)與教學(xué)原則的自我省思，將是往後筆者在數(shù)學(xué)教學(xué)上的重點(diǎn)參考，更是筆者自我期許至少要達(dá)成的目標(biāo)。

八、結(jié)論

數(shù)學(xué)教育對(duì)筆者而言千頭萬(wàn)緒，只是從經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)過(guò)程，偶而拾獲的一些心得而已。有幸能得到Skemp書(shū)中的許多啟發(fā)，也印證了許多教學(xué)過(guò)程中所體會(huì)的理念與原則。筆者覺(jué)得數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)該著重在要求這些數(shù)學(xué)結(jié)果是如何一步一步被揭開(kāi)、發(fā)展出來(lái)，以及其來(lái)龍去脈的全盤(pán)了解，而不只是邏輯推理的說(shuō)服懷疑者，此外，也不只是教授數(shù)學(xué)技巧，而不教數(shù)學(xué)的思考內(nèi)涵而已。

因此，數(shù)學(xué)教學(xué)為了簡(jiǎn)捷、精確，而直接以定義方式引導(dǎo)學(xué)生，對(duì)學(xué)生而言，這是一種不智之舉。如果能從日常生活經(jīng)驗(yàn)中，引進(jìn)一些美好的例子，加強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，這將是年輕學(xué)子之福。

學(xué)生學(xué)習(xí)的包袱，會(huì)隨著學(xué)習(xí)理解方式而不同。機(jī)械式理解者將累積無(wú)數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)則、公式，而包袱日漸加重，以至達(dá)到無(wú)法負(fù)荷的困境。但對(duì)因果式及邏輯式理解的學(xué)生而言，將可以大幅減輕其包袱的負(fù)擔(dān)。故此，對(duì)學(xué)生的教學(xué)過(guò)程中，時(shí)時(shí)引導(dǎo)其對(duì)數(shù)學(xué)的理解規(guī)定的理由為何？目的何在？這是一種減輕學(xué)生學(xué)習(xí)包袱的重大關(guān)鍵。

我們皆明白分析能力、邏輯論證、社會(huì)化思考在數(shù)學(xué)中是相當(dāng)重要的學(xué)習(xí)目標(biāo)。然而，在此之外，我們更需要有個(gè)人的思考、內(nèi)在的洞察力以及綜合能力。在某種程度上而言，前者較容易教給學(xué)生，後者只能靠學(xué)生自力開(kāi)發(fā)?？梢?jiàn)，學(xué)生個(gè)人思考、洞察力、綜合能力的引導(dǎo)不易。所以，我們只能從旁啟發(fā)，至於達(dá)到何種程度，只有靠學(xué)生自己的造化了。

學(xué)生的學(xué)習(xí)是可以啟發(fā)的，教師本身的角色扮演也相當(dāng)重要。原則上，一個(gè)教師既要是軍隊(duì)中的訓(xùn)練班長(zhǎng)（管理學(xué)生），又要是交響樂(lè)團(tuán)的指揮者（以自己的學(xué)識(shí)風(fēng)範(fàn)贏得學(xué)生的敬愛(ài)），並且必頇在這兩個(gè)角色之間取得平衡。

在數(shù)學(xué)教育環(huán)環(huán)相扣的情形下，筆者也深深體認(rèn)到：數(shù)學(xué)是經(jīng)由層層抽象過(guò)濾的高階概念，雖然這些高階概念遠(yuǎn)離現(xiàn)實(shí)世界，但它們卻反而引領(lǐng)我們接觸孫宙的本質(zhì)。一旦將這些賦予科學(xué)的內(nèi)涵，就可以得到實(shí)際世界中許許多多令人驚異的結(jié)論。現(xiàn)今數(shù)學(xué)教育理論雖然還在蘊(yùn)育之中，但是，顯然也建立了許多值得參考的理論。期待將來(lái)我們對(duì)於學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)在心智活動(dòng)及其內(nèi)在自我建構(gòu)的探索，能有更進(jìn)一步的理解。這也是當(dāng)今許多數(shù)學(xué)教育專(zhuān)家要探討的中心問(wèn)題：教學(xué)時(shí)如何兼顧學(xué)習(xí)者心智自我建設(shè)性的特徵？如何理解學(xué)習(xí)者內(nèi)在心智活動(dòng)的所有過(guò)程？

第四篇：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心得體會(huì)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心得體會(huì)

南萬(wàn)小學(xué) 6.2班 矯彤菲

從小時(shí)候?qū)W數(shù)數(shù)，到現(xiàn)在的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，無(wú)不是數(shù)學(xué)的范疇?，F(xiàn)在我向大家介紹一下我學(xué)數(shù)學(xué)的方法。

一、不要怕數(shù)學(xué)。在我們的生活中，數(shù)學(xué)是無(wú)處不在的：我們買(mǎi)東西，付錢(qián)要用數(shù)學(xué)；看球賽，比分也是數(shù)學(xué)；勾股定理、黃金分割與優(yōu)選法在我們生活中的應(yīng)用更是比比皆是。其實(shí)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的范圍已大大擴(kuò)大了，包括數(shù)論、圖論、概率、悖論等多方面的內(nèi)容，而圖論、遞推關(guān)系在計(jì)算機(jī)中的應(yīng)用也是非常廣泛的。所以，數(shù)學(xué)與我們的生活有著緊密的聯(lián)系，可以說(shuō)：數(shù)學(xué)是無(wú)處不在的。

二、學(xué)數(shù)學(xué)要學(xué)習(xí)什么。一句話(huà)，就是學(xué)習(xí)它的思維方法。在我們的現(xiàn)階段，以及我們工作以后，很少能用到具體的數(shù)學(xué)題，但是，數(shù)學(xué)的思維方法是指導(dǎo)我們學(xué)習(xí)、工作的思想，所以，數(shù)學(xué)的思維方法是非常重要的。舉個(gè)例子：數(shù)論中有一個(gè)著名的問(wèn)題，就是歌德巴赫猜想。許多科學(xué)家都表示，用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)方法無(wú)法解決這個(gè)問(wèn)題。這樣，要想解決歌德巴赫猜想必須用一種新的方法，而這種方法就是我們需要的。這也就是數(shù)學(xué)的精髓所在。

三、打好基礎(chǔ)，吃透課本。課本的題目是比較簡(jiǎn)單、比較基礎(chǔ)的，卻也不能忽視，這是因?yàn)檎n本的題目為我們提供了一種簡(jiǎn)捷的思維方式和比較嚴(yán)密的解題步驟。數(shù)學(xué)是一門(mén)要求嚴(yán)密的科學(xué)，需要思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，課本就為我們提供了一個(gè)范例。這是一個(gè)平行四邊形，求證它的對(duì)邊相等。我們想容易想到，連接對(duì)角線(xiàn)，用兩個(gè)三角形全等來(lái)證明。這就提供了一個(gè)思路：遇到平行線(xiàn)，可以做截這兩條平行線(xiàn)的直線(xiàn)，把平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為角相等的關(guān)系。這也用到了一種轉(zhuǎn)化思想。掌握簡(jiǎn)單題的思路，難題也就能變得簡(jiǎn)單了。

四、拓展知識(shí)，提高能力?，F(xiàn)在，計(jì)算機(jī)非常熱門(mén)，而計(jì)算機(jī)編程就能用到圖論、遞推關(guān)系等數(shù)學(xué)知識(shí)，提前了解一下是很有幫助的。我們是21世紀(jì)的學(xué)生，應(yīng)當(dāng)具有寬廣的知識(shí)面和較強(qiáng)的綜合能力。學(xué)習(xí)上在課前必須預(yù)習(xí)老師所要講解的內(nèi)容，對(duì)于簡(jiǎn)單的要自己理解掌握，公理、公式和推論要有意識(shí)的去記憶，并劃出自己不懂得地方；（2）客商要認(rèn)真聽(tīng)講，絕對(duì)不能開(kāi)小差，更要著重聽(tīng)你在預(yù)習(xí)時(shí)感到困惑的地方，并記下經(jīng)典例題；（3）課后認(rèn)真做練習(xí)。對(duì)自己把握得不好的地方要加大訓(xùn)練，記熟公式。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要方法就是加深理解，在理解之上記憶。總之，數(shù)學(xué)是一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科，它的應(yīng)用是非常廣泛的。我一定會(huì)用心去學(xué)好。

第五篇：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心得體會(huì)

小學(xué)數(shù)學(xué)外出聽(tīng)課心得體會(huì)

上周二我們?cè)诮萄惺业闹x老師和劉老師的帶領(lǐng)下在靈寶二小和實(shí)小聽(tīng)了4節(jié)非常精彩的數(shù)學(xué)課，讓我感到收獲很大。不僅領(lǐng)略了各位教師出類(lèi)拔萃的教學(xué)風(fēng)采，也讓我從中感受到小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的靈活多變。下面就從一下幾點(diǎn)談?wù)劚救诉@幾節(jié)課感受最為深刻的地方。

尹娜老師的《平行與垂直》，語(yǔ)言簡(jiǎn)潔，思路清晰，引導(dǎo)到位，注重讓學(xué)生動(dòng)手做，動(dòng)腦想，動(dòng)嘴說(shuō)，給了學(xué)生充分的空間，注重對(duì)學(xué)生能力的全面培養(yǎng)，課堂教學(xué)效果很好。

吳香玲老師的《倒數(shù)的認(rèn)識(shí)》，語(yǔ)言流暢，干脆利落，問(wèn)題的指向性強(qiáng)，課堂教學(xué)靈活，讓學(xué)生既學(xué)到了新知識(shí)又鍛煉了能力。肖云云老師的《用字母表示數(shù)》，教法靈活，把字母的認(rèn)識(shí)與實(shí)際生活相聯(lián)系，加深了學(xué)生對(duì)用字母表示數(shù)的認(rèn)識(shí)，充實(shí)了課堂教學(xué)內(nèi)容。

李芳老師的《線(xiàn)段﹑直線(xiàn)和射線(xiàn)》，語(yǔ)言精練，思路清晰，注重了學(xué)生的動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)嘴的能力，尤其是游戲的運(yùn)用把這節(jié)課推上了高潮。

這些授課的優(yōu)秀教師的教學(xué)讓我學(xué)到了很多，對(duì)我以后的教學(xué)幫助很大，我的課堂教學(xué)需要改善的還很多。

⒈扎實(shí)的基本功和駕馭課堂的能力感染了我，俗話(huà)說(shuō)“冰凍三尺，非一日之寒”我們就要有滴水穿石的精神，從點(diǎn)滴做起，堅(jiān)持不懈積累經(jīng)驗(yàn)。

⒉創(chuàng)設(shè)的情境真正為教學(xué)服務(wù)，如果只是為了情境而情境，那就是一種假的教學(xué)情境。在分析教材時(shí)，要適當(dāng)舍取一些教材內(nèi)容，做到靈活運(yùn)用教材，而不是教教材。

⒊教學(xué)課件制作精良，充分發(fā)揮了多媒體技術(shù)在課堂教學(xué)中的重要作用。無(wú)論從課題材料的搜集上還是從視聽(tīng)效果上，都非常富有創(chuàng)意，引人入勝，既形象又生動(dòng)，吸引著學(xué)生的注意力。充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣更有利于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)得牢固掌握。

⒋練習(xí)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)實(shí)效，新課過(guò)后的練習(xí)要及時(shí)鞏固基礎(chǔ)。只有及時(shí)鞏固才能更好的使學(xué)生牢記掌握所學(xué)知識(shí)。

⒌注重對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，將課堂還給學(xué)生，教師只是起到引導(dǎo)作用，使學(xué)生聯(lián)系實(shí)際和利用生活經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)觀察﹑操作﹑讓學(xué)生在探索，思考中學(xué)習(xí)，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。⒍加強(qiáng)自己組織語(yǔ)言的能力，既能做到簡(jiǎn)潔干脆，又能起到正確引導(dǎo)的作用。

總之，此次的學(xué)習(xí)讓我對(duì)自己平時(shí)的教學(xué)有了更深刻的反省和更高的要求?！奥仿湫捱h(yuǎn)兮，吾將上下而求索?！痹谝院蟮慕虒W(xué)中，我將不斷地提升自身的素質(zhì)，不斷地向有經(jīng)驗(yàn)的老師學(xué)習(xí)，博采眾長(zhǎng)，充分利用一切學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，多對(duì)比，多反思，提高自己駕馭課堂教學(xué)的能力，并真正地達(dá)到教育的理想境界——“寓教于樂(lè)”。2016、10﹑16