第一篇：一題多變心得

一題多變在教學(xué)中的運(yùn)用心得體會

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，在課后給學(xué)生布置除書上練習(xí)題和習(xí)題以外的大量習(xí)題。使學(xué)生感到負(fù)擔(dān)很重。很多學(xué)生根本無法完成，便出現(xiàn)了抄作業(yè)的現(xiàn)象。對數(shù)學(xué)的厭惡感便油然而生。還有從網(wǎng)上尋找各種各樣的所謂的新穎題布置給學(xué)生做。這樣也只會挫傷學(xué)生的自信心。我們?yōu)槭裁床荒軓臅系牧?xí)題入手，進(jìn)行演變，逐漸加深。讓學(xué)生有規(guī)律可尋，循序漸進(jìn)。日積月累過后，學(xué)生解題能力自然提高，對于從未見過的新題也會迎刃而解。另外，我們在把變式題布置給學(xué)生的同時，便可要求學(xué)生運(yùn)用一題多解，甚至可以要求學(xué)生自己對題型進(jìn)行變式。這樣的作業(yè)方式不只可以達(dá)到復(fù)習(xí)鞏固的目的，還可以提高學(xué)生的探究能力及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中，一題多變也得循序漸進(jìn)，步子要適宜，變得自然流暢，使學(xué)生的思維得到充分發(fā)散，而又不感到突然。

從下面兩道例題，我們充分的體會一下，各種變式對基礎(chǔ)知識的鞏固要求。

f(x)?1ax2?2x?1的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍 例

1、原題：若函數(shù)解：由題意得： ax2?2x?1?0在R上恒成立，則要求

a?0且??4?4a?0 ? a?1

變式一：函數(shù)f(x)?log2(ax2?2x?1)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍

解：由題意得： ax2?2x?1?0在R上恒成立，則要求

a?0且??4?4a?0 ? a?1

變式二：函數(shù)f(x)?log2(ax2?2x?1)的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍

解：令u?ax2?2x?1能取到所有大于0的實數(shù)，則

a?0時，u?2x?1能取到所有大于0的實數(shù) a?0時，a?0且??4?4a?0 ? 0?a?1

綜上0?a?1 4例2 原題： 已知 sin??且a是第二象限角，求tan?

54解： ∵a是第二象限角，且sin??

53sin?4?? ∴cos???1?sin2???，? tan??5cos?34變式一：已知sin??，求tan?

4?0，∴a是第一或第二象限角 534若a是第一象限角，則cos??1?sin2???tan??

5334若a是第二象限角，則cos???1?sin2????tan???

53解：∵sin??變式二：已知sin??m,(m?0)，求tan?

解：由條件0?m?1，所以

當(dāng)0?m?1時，a是第一或第二象限角 若是第一象限a22角，則

m1?m2 cos??1?sin??1?m?tan???221?m1?mm若a是

2第二

2象限角，則

?m1?m2 cos??1?sin???1?m?tan???221?m?1?mm當(dāng)m?1時，tan?不存在

變式

三、sin??m,(m?0)，求tan?

解：當(dāng)m??1或m?1時，tan?不存在

當(dāng)m?0時，tan??0

m1?m2當(dāng)a是第一或第四象限角時，tan??

1?m2?m1?m2當(dāng)a是第二或第三象限角時，tan?? 21?m

總之，在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中，選用一些非加探索不能發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在聯(lián)系的習(xí)題，采用一題多解與一題多變的形式進(jìn)行教學(xué)，有助于啟發(fā)學(xué)生分析思考，逐步把學(xué)生引入勝境，從而使學(xué)生開拓知識視野，增強(qiáng)能力，發(fā)展創(chuàng)造思維，同時還可以幫助學(xué)生對知識系統(tǒng)性、特殊性、廣泛性的深刻理解。

數(shù)學(xué)題是做不完的。我認(rèn)為要使學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，還是要從提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和學(xué)習(xí)趣上下工夫。要利用書本上有限的例題和習(xí)題來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，通過利用一切有用條件，進(jìn)行對比、聯(lián)想，采取一題多解與一題多變的形式進(jìn)行教學(xué)。這對培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、深刻性、探索性、靈活性、獨創(chuàng)性無疑是一條有效的途徑。另外，能力提高的過程中，學(xué)生的成就感自然增強(qiáng)，并且在不斷的變化和解決問題的不同途徑中，興趣油然而生。

第二篇：一題多變,多題歸一

說題稿

水口中學(xué)

陳雄彬

各位評委.老師你們好：

我今天說題的題目是《一題多變，多題歸一》，我說題的內(nèi)容分為以下幾個方面：

原題再現(xiàn):

如圖△ABC 和△DCE都是等邊三角形，且點A、C、E在一條直線上，比較AD與BE的大小。你能對所得結(jié)論說明理由嗎？

B

D

E

A C

一背景和立意 :

本題主要是利用等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)及判定來進(jìn)行證明、求解.意在考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握程度,培養(yǎng)學(xué) 1

生的觀察、分析、概括、歸納及語言表達(dá)能力。

在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同知識、不同的思想方法來思考同一個問題，能使各個層次的學(xué)生都達(dá)到一定的效果，也能使學(xué)生從單一的思維模式中解放出來，達(dá)到以創(chuàng)新方式來解決問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的開闊性、發(fā)散性和靈活性。

二 設(shè)問和解法

設(shè)問：（1）度量線段AD與線段BE的大小，你得到什么樣的結(jié)論？

（2）證明線段相等的常用方法有那些呢？解題指導(dǎo)：

（1）、數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想

（2）、解題方法：主要是構(gòu)造全等三角形，等角加同角相等

（3）、解法：首先引導(dǎo)學(xué)生從條件入手，通過觀察圖形，自主探究，再進(jìn)行合作交流，小組內(nèi)、小組間充分討論后，概括得出自己的結(jié)論。本問對于學(xué)生來說，沒有障礙，由等邊三角形性質(zhì)自然聯(lián)想到三條邊相等、三個角相等，在經(jīng)過構(gòu)建的全等三角形△ADC與△BEC中，邊的相等學(xué)生可以輕松找出，而對于角的相等是解決三角形全等的關(guān)鍵

答案： AD=BE.因為 △ABC 和△CDE都是等邊三角形，所以 ∠ACB=∠DCE= 60° ,AC=BC,CD=CE.于是，∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即 ∠ACD=∠BCE，在△ACD與△BCE中,因為AC=BC, ∠ACD=∠BCE,CD=CE,根據(jù)“SAS ”可知△ACD ≌△BCE.所以AD=BE.試題評價:

本題的解決重在考察學(xué)生的基礎(chǔ)知識和基本技能，對大部分學(xué)生來說不是難題，這樣既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也增強(qiáng)了學(xué)習(xí)信心，同時又培養(yǎng)了學(xué)生推理論證能力和語言表達(dá)能力，最后，教師加以補(bǔ)充、啟發(fā)，完善本題結(jié)論和證明。如果問題就此結(jié)束就會顯得題目過于單一

三、拓展延伸：

拓展一:

若AD交BC于點N,BE交CD于點M，連接MN,圖中還有等邊三角形嗎?

B

D

N

A C E

本問的設(shè)計意圖是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察圖形，深入挖掘隱含的條件和結(jié)論，尋找知識點的聯(lián)系，轉(zhuǎn)化，激發(fā)學(xué)生積極思考，主動探索，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

本問是建立在第一問的基礎(chǔ)上，在條件沒有改變的情況下，解題時要有“回頭看”的意識，注意后生成的條件的運(yùn)用，這樣更有利于問題的解決。

拓展二:

如果A、C、E不在同一條直線上，其他條件不變，猜想BD與AE關(guān)系？設(shè)計意圖，通過學(xué)生動手操作，畫出基本圖形，輕松進(jìn)入探究角色，通過溫故體驗讓學(xué)生進(jìn)一步明晰全等三角形的判定，性質(zhì)等基本知識，并熟練用符號語言寫出表達(dá)式，主要培養(yǎng)學(xué)生幾何基本作圖能力，以及猜想、探索問題的能力。

B

C

A

D

E

若三角形ABC不動，將三角形DCE繞著點C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，BE=AD是否恒成立？

B

D

E

A C

圖形的旋轉(zhuǎn)是運(yùn)動變化的一種表現(xiàn)，通過圖形旋轉(zhuǎn)化靜為動，動靜結(jié)

合，使數(shù)學(xué)問題更具魅力。提高學(xué)生解決問題的興趣注重學(xué)生動手操作，實踐探究能力的培養(yǎng)。

變式：

如果把原題中已知條件等邊三角形ABC和等邊三角形DCE

改為等腰直角三角，且∠ ACB=90°，∠ DCE=90°結(jié)論仍然成立

B

D

C E

A

若將圖中的三角形改為等腰三角形哪幾條邊因該是腰，等腰三角形應(yīng)該滿足什么條件時，結(jié)論仍成立。

四、總結(jié)反思：

通過本題的二拓展和一變式，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生自主探索鼓勵學(xué)生合作交流，獲得廣泛的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，變式之前，先讓學(xué)生析其特點，滲透解題思想，既通過全等證線段相等的理念，從特殊到一般，運(yùn)用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想，通過不斷的變化，建立新與舊、已知與未知的聯(lián)系，有助于學(xué)生關(guān)注問題或概念的不同方面，讓他們覺得有新的理念出現(xiàn)，學(xué)會從不同的角度看問題，因而加深對題意的理解，讓學(xué)生在充分的交流與合作中加深對問題的認(rèn)識學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅是為了掌握

一些基本的知識、基本技能，更重要的是可以提高學(xué)生的發(fā)散思維能力、劃歸遷移思想能力和思維的靈活性。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)問題的解題方法，做一題，通一類，會一片。讓學(xué)生走出題海，教會學(xué)生思考、善于思考，提高學(xué)生分析問題解決問題的能力。

最后請經(jīng)驗豐富的教師進(jìn)行點評和總結(jié)

第三篇：一題多變在教學(xué)中的運(yùn)用

一題多變在教學(xué)中的運(yùn)用

利用基本不等式求最值，體現(xiàn)“一題多變”對學(xué)生發(fā)散思維的啟迪。

“一題多變”是題目結(jié)構(gòu)的變式，將一題演變成多題，而題目實質(zhì)不變，讓學(xué)生解答這樣的問題，能隨時根據(jù)變化的情況思考，從中找出它們之間的區(qū)別和聯(lián)系，以及特殊和一般的關(guān)系。使學(xué)生不僅能復(fù)習(xí)、回顧、綜合應(yīng)用所學(xué)的知識，而且使學(xué)生把所學(xué)的知識、技能、方法、技巧學(xué)牢、學(xué)活，培養(yǎng)思維的靈活性和解決問題的應(yīng)變能力。

1(x?2)在x=a處去最小值，求a的值。例、若函數(shù)f(x)?x?x?2a?bab?(a?0,b?0)本題考查的是“基本不等式”的簡單應(yīng)用，即可利用2將問題解決，但它不能夠充分發(fā)揮此題的作用，學(xué)生易忽視“基本不等式”應(yīng)用前提“一正二定三相等”。所以我們教學(xué)時應(yīng)在學(xué)生易錯、易混淆出進(jìn)行變式教學(xué)，進(jìn)而促進(jìn)對“基本不等式”應(yīng)用的深刻體會。

2變式

1、若x<0，求x+的最大值。x

對于初學(xué)者而言，拿到此題不得不仔細(xì)推敲它是否可以直接運(yùn)用“基本不等式”求解。顯然它違背了“基本不等式”中“一正”這樣一個大前提。因此，這一題必須先將變量x化到正數(shù)區(qū)間，然后運(yùn)用“基本不等式”進(jìn)行求解。

1變式

2、若x>2，求f(x)=x+的最小值。x?2

通過觀察此題，當(dāng)x>2時通過變形可得到x-2>0，將此作為整體，能夠保證其形式與“基本不等式”結(jié)構(gòu)大體上不變，即滿足其前提中的“二定”中形式一致性，從而可運(yùn)用“基本不等式”將問題解決。

4變式

3、若x>2，求函數(shù)f(x)=x+的最值域。x

不難看出當(dāng)x>2時，是的不等式應(yīng)用時，等號無法取到，即“三相等”無法滿足，所以只好另尋他法，當(dāng)我們嘗試研究函數(shù)的圖像利用其單調(diào)性求函數(shù)最值時，即可輕而易舉得到次函數(shù)在該題設(shè)條件下的值域。

14變式

4、已知a?0,b?0，a?b?2求y??的最小值。ab

對于此題，光從表面是無法看出它與“基本不等式”有什么關(guān)聯(lián)，但是題設(shè)中給出a?b?2這樣一個條件，為此我們將1和4用含有a和b的代數(shù)式替換掉，b2a5??，這樣一個式子能夠淺顯的體現(xiàn)“基本不2ab2等式”中“一正二定”這兩個特點，從而就可以利用基本不等式輕易的將其解答。變形整理后可以得到y(tǒng)?以上是“一題多變”的教學(xué)模式，這種模式運(yùn)用到以后的課堂教學(xué)的機(jī)會很大。因為它對提升學(xué)生的運(yùn)算能力是大有幫助的，油漆在運(yùn)算合理性、準(zhǔn)確性兩方面都有極大提高，學(xué)生也能更好的加深對“基本不等式”運(yùn)用前提的理解記憶②。一題多解在教學(xué)中的運(yùn)用

一題多解在高考中的展示。體現(xiàn)“一題多解”訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維。

由于新課標(biāo)課程改革，課時少，習(xí)題課大幅減少。怎樣才能高效地利用習(xí)題課，更好地讓學(xué)生掌握知識要領(lǐng)、培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生創(chuàng)新思維能力，這些問題一直困擾著教師。從教師實習(xí)崗位走過來的我發(fā)覺上習(xí)題課時，不求多講，只求精講。通過一題多解，引導(dǎo)學(xué)生就不同角度、不同方位、不同觀點分析思考同一問題，從而達(dá)到擴(kuò)充思維的機(jī)遇，使學(xué)生不滿足固定的解題方法，進(jìn)而去追求新方法。3.1 對于2011年高考山東卷立體幾何題問題一的思考

展示“一題多解”訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維。

由于新課標(biāo)課程改革，課時少，習(xí)題課大幅減少。怎樣才能高效地利用習(xí)題課，更好地讓學(xué)生掌握知識要領(lǐng)、培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生創(chuàng)新思維能力，這些問題一直困擾著教師。從教師實習(xí)崗位走過來的我發(fā)覺上習(xí)題課時，不求多講，只求精講。通過一題多解，引導(dǎo)學(xué)生就不同角度、不同方位、不同觀點分析思考同一問題，從而達(dá)到擴(kuò)充思維的機(jī)遇，使學(xué)生不滿足固定的解題方法，進(jìn)而去追求新方法③。

第四篇：變式教學(xué)：一題多問、一題多解、一題多變教學(xué)模式

變式教學(xué)：一題多問、一題多解、一題多變教學(xué)模式

——“利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的解題課”教學(xué)設(shè)計

【課例解析】 教材的地位與作用

本節(jié)課是人教版《數(shù)學(xué)（選修2-2）》第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，§1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的第二課時解題課．

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心內(nèi)容之一，它有極其豐富的實際背景和廣泛應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)更是研究函數(shù)性質(zhì)的強(qiáng)有力的工具，在解決函數(shù)單調(diào)性、最大值和最小值等問題時，不但避開了初等函數(shù)變形的難點，證明的繁雜，而且使解法程序化，變“巧法”為“通法”，優(yōu)化解題策略、簡化運(yùn)算，具有較強(qiáng)的工具性作用．在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性教學(xué)的過程中，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵． 2 學(xué)情分析

在本節(jié)之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的實際背景和基本概念．學(xué)生能理解導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)意義、物理意義及幾何意義．掌握了常函數(shù)、冪函數(shù)、正余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．掌握了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則．已經(jīng)初步了解了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，并能利用導(dǎo)數(shù)解決簡單的函數(shù)單調(diào)性問題．本節(jié)課此基礎(chǔ)上進(jìn)一步運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決和函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題，對大多數(shù)學(xué)生來說，有足夠的能力掌握本節(jié)知識．學(xué)生已經(jīng)初步具有對數(shù)學(xué)問題自主探究的意識和能力，當(dāng)然也存在較大的個體差異．需要在教學(xué)過程中加以個別指導(dǎo)．

【方法闡釋】

采用心智數(shù)學(xué)教育方式中變式教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)：主要分“創(chuàng)設(shè)情景、引入新課，自主探究、成果展示，變式訓(xùn)練、鞏固落實，歸納總結(jié)、提升拓展”四個教學(xué)環(huán)節(jié)．

對探究性問題，教師要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生按照“弄清題意—擬訂計劃—執(zhí)行計劃—反思回顧”四個解題環(huán)節(jié)獨立完成．

指導(dǎo)學(xué)生通過小組交流、成果展示等形式檢查自己的思維方式和對解題步驟格式．通過問題變式，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)問題及解決方法的推廣和運(yùn)用．學(xué)生已經(jīng)了解和掌握了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，并能利用導(dǎo)數(shù)的知識解決簡單的函數(shù)單調(diào)性問題的方法，但是對含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題（確定單調(diào)區(qū)間問題或已知函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)范圍問題等），由于教材中沒有涉及，因此是一個盲點，本節(jié)課教學(xué)設(shè)計旨在搭設(shè)臺階，降低坡度，通過對問題的不斷變化，進(jìn)行不斷探索和比較，引導(dǎo)學(xué)生從基礎(chǔ)入手，通過分析、對比辨析、歸納、推理、變式教學(xué)反例分析來探究解題方法，進(jìn)行問題解決，使學(xué)生形成正確的解題方法，在學(xué)習(xí)中讓學(xué)生學(xué)會探究、分析，并學(xué)會合作學(xué)習(xí)．

【目標(biāo)定位】

1知識與技能目標(biāo)

理解函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用求導(dǎo)的方法探求函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間． 2過程與方法目標(biāo)

經(jīng)歷使用導(dǎo)數(shù)解決求函數(shù)單調(diào)區(qū)間和已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍問題的求解過程．通過分析、歸納、推理、對比辨析、變式教學(xué)來探究解題方法，并能通過各類問題的解法對比，感受和掌握導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性問題解決過程中的應(yīng)用． 3 情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo)

感受導(dǎo)數(shù)為解決單調(diào)性問題提供的新思路、方法和途徑，激發(fā)學(xué)生探究知識的興趣和欲望． 2 教學(xué)的重點與難點

本節(jié)課的重點是理解函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)解決求函數(shù)單調(diào)區(qū)間和已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍問題．難點是解決含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問題中參數(shù)范圍的確定及分類討論等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用．

【課堂設(shè)計】

一、創(chuàng)設(shè)情景、引入新課

教師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算方法和運(yùn)算法則，并且知道利用導(dǎo)數(shù)可以求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，請同學(xué)們自己動手以下探究性問題.探究性問題：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 1．函數(shù)f(x)=x-3x+1的單調(diào)遞減區(qū)間． 2．函數(shù)f(x)=x e的單調(diào)區(qū)間．

3．（05年北京）已知函數(shù)f(x)=-x+3x+9x+a，求f(x)的單調(diào)減區(qū)間.322x

3二、自主探究、成果展示

學(xué)生獨立解決后，小組內(nèi)學(xué)生交流，相互糾正解題中出現(xiàn)的問題． 教師：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有哪幾個步驟？

學(xué)生1：第一步，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)；第二步，建立導(dǎo)函數(shù)不等式，使f(x)>0的區(qū)間為原函數(shù)的增區(qū)間，使f(x)<0的區(qū)間為函數(shù)的減區(qū)間；第三步，回答單調(diào)區(qū)間．

教師利用實物投影展示在巡視的過程中發(fā)現(xiàn)的格式步驟不全、格式步驟規(guī)范、格式步驟較多但混亂無序等學(xué)生解題過程，規(guī)范學(xué)生解題思維和書寫格式．

教師：第3題中的參數(shù)a對函數(shù)的增減性會不會產(chǎn)生影響？為什么？

學(xué)生2:對函數(shù)增減性不會產(chǎn)生影響．從函數(shù)圖像變換看，常數(shù)項a的影響就是圖像形狀不改變，只進(jìn)行上下平移；從函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)看，參數(shù)a是常數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為0.不會對其導(dǎo)函數(shù)產(chǎn)生任何影響．

我的思考：設(shè)計探究性問題，主要目的是使學(xué)生進(jìn)一步熟練導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性的方法，規(guī)范解題格式步驟；其次，三個導(dǎo)函數(shù)題都與二次函數(shù)有關(guān)，且用到指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)一步強(qiáng)化二次不等式的解法和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，讓學(xué)生體會導(dǎo)數(shù)問題的綜合性．再次，第3題中設(shè)置了參數(shù)a，在此不需單獨討論，但在老師的追問下，有些學(xué)生已經(jīng)意識到有時要對a進(jìn)行討論，為下面針對參數(shù)的分類討論埋下伏筆．

三、變式訓(xùn)練、鞏固落實

適當(dāng)改變探究性問題的形式，提出新的問題，進(jìn)行變式訓(xùn)練

我的思考：學(xué)生在解決這類問題時往往容易忽視函數(shù)的定義域以及使導(dǎo)數(shù)為零的點的處理，因此針對以上可能出現(xiàn)的問題，設(shè)計幾個變式習(xí)題，讓學(xué)生首先獨立思考，出現(xiàn)問題，然后通過生生和師生的交流，共同分析正確的解題方法，完善對問題的全面和完整解決．

2變式1：求函數(shù)f(x)=0.5x-ln x的單調(diào)區(qū)間.這是針對容易忽視定義域而設(shè)計的問題，很多學(xué)生沒有考慮到定義域出現(xiàn)錯誤答案：單調(diào)增區(qū)間為(-1,0),(1,+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(-∞,-1),(0,1)；還有同學(xué)得出單調(diào)增區(qū)間為(-1,0)∪(1,+∞)．

師生剖析錯因：（1）解決函數(shù)的解析式、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等問題時，必須首先求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的解析式和定義域是函數(shù)的兩大要素.(2)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須是單個的區(qū)間不能使區(qū)間的并集，也不能寫成集合的形式{x|x<-1}． 正確解法：原函數(shù)的定義域為(0,+∞)，單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0,1).2ax變式2：將前面第2題改編為：求函數(shù)f(x)=x e的單調(diào)區(qū)間.學(xué)生在獨立解決問題時，容易忽視討論或討論不全，或不會進(jìn)行討論，讓學(xué)生分組合作交流，各組選出代表在黑板上展示，教師可結(jié)合學(xué)生板演情況進(jìn)行又針對性地講解． 正確的解答過程應(yīng)為：

函數(shù)的定義域為R.ax2axax2對函數(shù)求導(dǎo)f’(x)=2xe+axe=e(ax+2x)，當(dāng)a=0時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0)；

當(dāng)a>0時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-2/a)和(0,+∞)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(-2/a,0)； 當(dāng)a<0時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(0,-2/a)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0)和(-2/a,+∞).我的思考:含有參數(shù)的數(shù)學(xué)問題既是重點又是難點，也是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，通過解決這類問題，鍛煉學(xué)生的運(yùn)算能力和分類討論思想的運(yùn)用能力，教學(xué)中從簡單到復(fù)雜，循序漸進(jìn)，學(xué)生能通過類比和對比，更容易理解和掌握．另外，a>0和a<0兩種情況下，0與-2/a的大小變化學(xué)生容易忽視，教師點評時也要特別強(qiáng)調(diào)．

變式3：求函數(shù)f(x)=√x-ln(x+1)的單調(diào)增區(qū)間.針對學(xué)生易錯點：忽視使導(dǎo)數(shù)為零的點的討論而造成解題不完整而設(shè)計的．還是首先讓學(xué)生自己解決，交流解題方法．

很多學(xué)生會出現(xiàn)錯誤答案：單調(diào)增區(qū)間為(0,1)和(1,+∞)為了說明問題，把問題特殊化．提出新的問題：我們通過函數(shù)圖像或利用函數(shù)單調(diào)性的定義已3經(jīng)證實了函數(shù)y=x在R上為單調(diào)增函數(shù)，請同學(xué)們利用導(dǎo)數(shù)再探求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，看有什么發(fā)現(xiàn)．

部分同學(xué)得到單調(diào)增區(qū)間是(-∞,0),(0,+∞)，這與以前學(xué)習(xí)的結(jié)論出現(xiàn)矛盾，怎樣解決呢？

再思考問題：我們已證明了反比例函數(shù)y=1/x的單調(diào)性，請同學(xué)們利用導(dǎo)數(shù)再探求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，看有什么發(fā)現(xiàn)．

所得的單調(diào)減區(qū)間是(-∞,0),(0,+∞)，與以前學(xué)習(xí)的結(jié)論相同.我的思考：遇到難以解決的問題時，往往要把問題特殊化，與我們已掌握的熟悉問題進(jìn)行對比分析．

比較以上兩個問題，請各小組討論，對比、總結(jié)一下規(guī)律.師生共同分析得到：當(dāng)使導(dǎo)數(shù)等于零的解存在時，需對導(dǎo)數(shù)等于零的點進(jìn)行如下處理：若在該點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號相同，且函數(shù)在該點處連續(xù)，則將兩個增減性相同的區(qū)間合并；若在該點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號相同，而函數(shù)在該點處函數(shù)不連續(xù)，則不能將將兩個區(qū)間合并．

此題中函數(shù)在x=1處是連續(xù)的，且在x=1兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號相同，因此，該函數(shù)的遞增區(qū)間為(0,+∞).我的思考：這一組變式訓(xùn)練主要是通過對基礎(chǔ)題組的解題方法、步驟的變式設(shè)置的．通過以上這組變式問題，學(xué)生注意到易錯的忽視定義域、在導(dǎo)數(shù)為0點左右符號相同時的處理方式等方面，并能對含參數(shù)的函數(shù)進(jìn)行合理的分類討論，增加解題的正確率，鍛煉學(xué)生的分析能力和解題能力．

教師：我們再對問題進(jìn)一步深化，采用逆向思維方式，交換題目的條件和結(jié)論，來看根據(jù)已知函數(shù)的單調(diào)性來確定參數(shù)范圍．

322變式4:已知函數(shù)f(x)=（1/3）x-(4a-1)x+(15a-2a-7)x+2在R上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.我的思考：解決這類問題易錯點是忽視參數(shù)端點的取舍，為此設(shè)計變式4，使學(xué)生在在出錯體驗后進(jìn)行問題解決，加深對知識的掌握．在問題給出后，鼓勵學(xué)生獨立思考后將各自的解題思路進(jìn)行交流，再在全班進(jìn)行交流．

教師巡視后發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解題思路有以下幾種：

思路一：求f(x)?x?2(4a?1)x?(15a?2a?7)，解不等式f(x)?0 ?x?2(4a?1)x?(15a?2a?7)?0

由于該不等式不會解，從而受阻.思路二：

函數(shù)f(x)?22'22'13x?(4a?1)x2?(15a2?2a?7)x?2在R上是增函數(shù)?f'(x)?0在R上恒3成立???0恒成立，解得實數(shù)a的取值范圍為（2，4）.通過投影對比展示學(xué)生兩種解答后，大部分學(xué)生能看到解法一不正確，解法二思路是正確的． 教師：反思一下我們的解法二，發(fā)現(xiàn)當(dāng)a < 2或 a > 4時，??0，問題不成立．但a = 2或a = 4時?= 0，情況又會怎樣？

學(xué)生進(jìn)一步計算后發(fā)現(xiàn)：a = 2或a = 4時?= 0，導(dǎo)函數(shù)除在一點為0外，其余各區(qū)間均大于0．同以上變式3可知，這時函數(shù)單調(diào)區(qū)間可以連續(xù)起來．

解：若函數(shù)f(x)?13x?(4a?1)x2?(15a2?2a?7)x?2在R上是增函數(shù)，3則f'(x)大于或等于零在R上恒成立

???0恒成立，解得實數(shù)a的取值范圍為[2，4].針對變式4中學(xué)生出現(xiàn)的兩種思路，教師再提出問題：請同學(xué)們思考下面這個問題： 變式

5、（1）若函數(shù)f(x)?x3?3ax?2的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,2）求實數(shù)a的取值范圍．

（2）若函數(shù)f(x)?x?3ax?2的在區(qū)間（0,2）上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍． 我的思考：“單調(diào)遞減區(qū)間為（0,2）”與“在區(qū)間（0,2）上單調(diào)遞減”是兩個截然不同的問題情境．設(shè)計這個變式題組，一是讓學(xué)生辨析這兩種不同敘述的含義，二是對變式4兩種思路的進(jìn)一步明晰．

學(xué)生獨立思考，然后進(jìn)行生生交流，最后統(tǒng)一答案．

'（1）解：令導(dǎo)數(shù)f(x)?0，即3x?3a?0?x?a，再討論a的符號，223當(dāng)a>0時，解得?a?x?a，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(?a,a)，函數(shù)f(x)?x?3ax?2的減區(qū)間為（0,2），則（0,2）?(?a,a)，所以a?2，即a?4；

當(dāng)a=0時，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)?0恒成立．

所以a = 0時函數(shù)f(x)?x?3ax?2不存在單調(diào)減區(qū)間；

'當(dāng)a?0時，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)?0總成立．

3所以a?0時函數(shù)f(x)?x?3ax?2不存在單調(diào)減區(qū)間，3綜上所述，若函數(shù)f(x)?x?3ax?2的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,2）則a?4.33'3（2）函數(shù)f(x)?x?3ax?2的在區(qū)間（0,2）上單調(diào)遞減函數(shù)

?f'(x)?0在區(qū)間（0,2）內(nèi)恒成立

?3x2?3a?0在區(qū)間（0,2）內(nèi)恒成立?3x2?3a在區(qū)間（0,2）內(nèi)恒成立，?3x2在區(qū)間（0,2）內(nèi)的最大值小于等于3a，即12?3a

所以 a?4.該題是前面變式問題的綜合展現(xiàn)．所以學(xué)生能很快完成問題的求解．對個別仍存在模糊認(rèn)識的同學(xué)，在教師引導(dǎo)下，學(xué)生會很快發(fā)現(xiàn)問題進(jìn)行糾正．

我的思考：此題旨在鍛煉學(xué)生的審題能力和對數(shù)學(xué)語言精確性和嚴(yán)密性的考查.“函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)”和“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是某區(qū)間”，前者說明所給區(qū)間是該函數(shù)單調(diào)區(qū)間的子集，后者說明所給區(qū)間恰好是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．因此在解題中一定要養(yǎng)成認(rèn)真審題的好習(xí)慣．

四、歸納總結(jié)、提升拓展

最后，反思解題方法，歸納總結(jié)解題規(guī)律：

1.如何確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？在運(yùn)算過程中，注意哪幾個注意事項？ 2.函數(shù)單調(diào)的充要條件是什么？

3.已知單調(diào)區(qū)間或在某個區(qū)間上單調(diào)時如何計算參數(shù)的值或范圍？

讓學(xué)生自己通過對所解問題進(jìn)行總結(jié)歸納，反思自己的問題.課外思考作業(yè): 教師設(shè)計相應(yīng)的習(xí)題，進(jìn)一步鞏固本節(jié)課所學(xué)知識和方法．

1、（05.湖南）若函數(shù)f(x)?lnx?

2、若函數(shù)f(x)?12ax?2x,(a?0)存在單調(diào)減區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍.21312x?ax?(a?1)x?1在區(qū)間（1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(4,??)上為增函321312x?ax?(a?1)x?1在區(qū)間（1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(6,??)32數(shù)，求實數(shù)a的值.3、（04年全國）若函數(shù)f(x)?上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.4、（1）求函數(shù)f(x)?x?ax?2的單調(diào)區(qū)間.（2）（06年山東）求函數(shù)f(x)?ax?(a?1)ln(x?1)，其中a??1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.3【教學(xué)鏈接】

微分學(xué)的中心問題是求曲線的切線和運(yùn)動物體的瞬時速度．兩者殊途同歸，都導(dǎo)致了微分學(xué)的產(chǎn)生．費(fèi)馬是較早研究曲線切線的數(shù)學(xué)家，早在1629年他已有初步設(shè)想．1637年在手稿《最大值和最小值的方法》中具體給出了求切線的方法．費(fèi)馬應(yīng)用它的方法，解決了許多難題．雖然其方法缺乏嚴(yán)密性，但它具有微分學(xué)的現(xiàn)代標(biāo)準(zhǔn)方法形式．

費(fèi)馬的研究給后來牛頓發(fā)明系統(tǒng)的微積分理論奠定了基礎(chǔ)．牛頓曾說：“我從費(fèi)馬的切線作法中得到這個方法的啟示，我推廣了它，把它直接地并且反過來應(yīng)用于抽象的方程．”牛頓于1665年11月發(fā)明正流數(shù)術(shù)（微分法），1666年5月建立反流數(shù)術(shù)（積分法）．1666年10月寫成一篇總結(jié)性論文，在朋友與同事中傳閱，現(xiàn)以《1666年10月流數(shù)簡論》著稱．這是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)．將正反微分運(yùn)算用于16類問題，展示了牛頓算法的普遍性與系統(tǒng)性．1687年，牛頓的名著《自然哲學(xué)及數(shù)學(xué)原理》出版，首次公開表述了他的微積分方法．此時距他創(chuàng)造微積分已過去22年．

萊布尼茲與牛頓有許多相似之處，都是留名青史的哲學(xué)家，都是對多種學(xué)科有重大科學(xué)貢獻(xiàn)的學(xué)者．其中最相似的貢獻(xiàn)就是幾乎同時各自獨立發(fā)明了微積分．1666年萊布尼茲寫成《論組合術(shù)》，討論平方序列的性質(zhì)．1675年發(fā)明了不定積分符號，同時注意到微分與積分必定是相反的過程，斷定作為求和過程的積分是微分的逆．這一結(jié)果的得出雖稍晚于牛頓的同類結(jié)果，但是獨立得到的．二者使用的方法也不同，故后人將此稱為牛頓—萊布尼茲公式． 隨著17世紀(jì)末懸鏈問題（1690年），最速降線問題（1696年）以及等周問題的提出與解決．令數(shù)學(xué)界耳目一新．很快顯示出微積分作為一種數(shù)學(xué)方法的強(qiáng)大功效．

[資料來源] 梁宗巨、王青建、孫宏安.世界數(shù)學(xué)通史（下冊·二）.沈陽：遼寧教育出版社.2005,1.【教有所思】

（1）結(jié)合學(xué)生的實際情況，設(shè)計問題從基礎(chǔ)入手，逐步加深難度，針對在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性問題中常見的幾類問題和解題中常見的錯誤設(shè)計一系列問題，環(huán)環(huán)連接，使學(xué)生始終處于積極思考和探索討論中，形成良好的課堂氛圍，為良好的課堂效果打下基礎(chǔ)．

（2）本節(jié)課中，教師始終針對學(xué)生的問題進(jìn)行變換和引導(dǎo)，總是讓學(xué)生考慮，學(xué)生討論，鍛煉學(xué)生獨立解決問題的能力和合作學(xué)習(xí)的能力，形成自己的數(shù)學(xué)思想方法，更觸發(fā)了學(xué)生積極思考、勤奮探索的動力，開發(fā)學(xué)生的智慧源泉，實現(xiàn)了舉一反三的效果，同時也符合新教材課堂理念，以培養(yǎng)學(xué)生能力為主，學(xué)生是課堂的主體；突出數(shù)學(xué)課的特點——教會學(xué)生如何解題．

（3）對問題情景的設(shè)計和對學(xué)生出現(xiàn)的問題進(jìn)行分析研究時所采用的方式方法，仍然是教師應(yīng)該進(jìn)一步改善和探索研究的主題.6

第五篇：在習(xí)題教學(xué)中注意一題多解、一題多變、 一題多問

在習(xí)題教學(xué)中注意一題多解、一題多變、一題多問 “ 一題多解 ” 是指通過不同的思維途徑，采用多種解題方法解決同一個實際問題的教學(xué)方法。它有利于培養(yǎng)學(xué)生辨證思維能力，加深對概念、規(guī)律的理解和應(yīng)用，提高學(xué)生的應(yīng)變能力，啟迪學(xué)生的發(fā)散性思維。在物理解題過程中，我們可以通過 “ 一題多解 ” 訓(xùn)練拓寬自己的思路，在遇到新的問題時能順利挖掘出物理量間的相互關(guān)系和物理規(guī)律間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)求異思維，使自己的思維具有流暢性。注意一題多變誘導(dǎo)學(xué)生思路

在習(xí)題課中的 “ 一題多變 ” 是指從多角度、多方位對例題進(jìn)行變化，引出一系列與本例題相關(guān)的題目，形成多變導(dǎo)向，使知識進(jìn)一步精化的教學(xué)方法． 思維的變通性是指擺脫定勢的消極影響，不局限于問題的某一方面，能夠隨機(jī)應(yīng)變，舉一反三，觸類旁通。在二輪復(fù)習(xí)的解題過程中主動出擊，運(yùn)用變式，通過 “ 一題多變 ” 演繹問題的產(chǎn)生過程，能夠擺脫由生活習(xí)慣中原有思維方式和平時解題所帶來的思維定勢，使思維具有變通性。

“ 一題多問 ” 培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性

思維的嚴(yán)密性，主要表現(xiàn)在通過細(xì)致縝密的分析，從錯綜復(fù)雜的聯(lián)系與關(guān)系中認(rèn)識事物的本質(zhì)。在題目解完后再通過 “ 一題多問 ” 自己考慮問題更全面細(xì)致，讓自己的思維具有嚴(yán)密性。

這種 “ 多題歸一 ” 的方法還可以培養(yǎng)思維的概括性。思維的概括性是指思維能夠反映一類事物的共同的本質(zhì)的特征，以及事物之間的本質(zhì)聯(lián)系和規(guī)律。許多物理習(xí)題具有物理過程、規(guī)律和性質(zhì)類似的問題，它們間只有不同程度的量的差異而無質(zhì)的區(qū)別，在復(fù)習(xí)過程中做過一定量的習(xí)題后進(jìn)行反思，通過 “ 多題歸一 ”，進(jìn)行有的放矢的精解和拓寬，可以使思維具有概括性。