第一篇：關(guān)于高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心得體會(huì)

關(guān)于高考命題學(xué)習(xí)心得體會(huì)

——張相杰

本次學(xué)習(xí)主要是針對(duì)高中教師的自身提高，了解命題人的心思，出發(fā)點(diǎn)，以及如何根據(jù)課標(biāo)進(jìn)行命題。

史玉京老師根據(jù)參加今年高考閱卷，以今年的山東卷考題的立體幾何題為原型，分析了它所考查的知識(shí)點(diǎn)，如何降低難度，如何根據(jù)課標(biāo)轉(zhuǎn)化題型，以及給了同一道題的不同的突破點(diǎn)和思路。

據(jù)史老師介紹，今年的閱卷教師由三部分人員組成：高校教師，在讀研究生，中學(xué)教師。閱卷流程是：評(píng)卷、仲裁、質(zhì)檢，采用?雙評(píng)?加?仲裁?最后是?質(zhì)檢?的三重保險(xiǎn)的閱卷模式，確保了公平、公正、準(zhǔn)確的閱卷原則。每個(gè)閱卷人員都有一個(gè)用戶名和密碼，憑用戶名和密碼才能登入，登入后每個(gè)閱卷人員的一舉一動(dòng)都處在組長(zhǎng)及專家的監(jiān)控中，比如說你離線幾分幾秒，你閱卷的總量，平均速度，有效度，仲裁率等各項(xiàng)指標(biāo)在電腦里都有實(shí)時(shí)跟蹤，這增加了閱卷的透明度。每份答卷至少由兩名人員評(píng)分（雙評(píng)），而且彼此看不到對(duì)方的分?jǐn)?shù)，兩名人員不是固定組合，而是電腦隨機(jī)派送，若兩人所給分?jǐn)?shù)在一定的范圍內(nèi)（誤差不超過2分），那就是有效分?jǐn)?shù)，兩個(gè)分?jǐn)?shù)加起來取平均分，就是該答卷的最后得分。如果兩人所給分?jǐn)?shù)超出一定的范圍（誤差超過3分），由第三個(gè)人重新評(píng)閱（仲裁），也就是由小組長(zhǎng)裁定，最后給定分?jǐn)?shù)。而仲裁分?jǐn)?shù)與評(píng)卷分?jǐn)?shù)差，將記錄第一次評(píng)卷的兩個(gè)老師的有效率，如果誤差太大，將記為?惡評(píng)?，作為考評(píng)閱卷老師的重要依據(jù)，對(duì)惡評(píng)率高的老師領(lǐng)導(dǎo)會(huì)跟他們進(jìn)行談話，嚴(yán)重的予以解聘。這樣，就可以避免較大失誤，相對(duì)來說，評(píng)分更加公正準(zhǔn)確。當(dāng)然，也不能保證百分之百的準(zhǔn)確，但誤差已經(jīng)降到最低，并且有效地控制了感情分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)。

通過史老師的介紹，我有以下幾點(diǎn)體會(huì)：

一．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科閱卷評(píng)分的原則是懂多少知識(shí)就給多少分，這種方法叫做?分段得分?或?踩點(diǎn)得分?即踩上知識(shí)點(diǎn)就得分，踩的多就多得分，上下過程是不受牽連的。

二．學(xué)生答卷的教學(xué)建議

由于數(shù)學(xué)學(xué)科閱卷評(píng)分的原則是?分段得分?，所以要求學(xué)生：會(huì)做的題目力求不失分，部分理解的題目爭(zhēng)取多得分。對(duì)大多數(shù)考生來說，最重要的是如何從拿不下來的題目中通過‘分段得分’拿到寶貴的分?jǐn)?shù)。建議在以后的教學(xué)中把三種得分技巧灌輸給我們的學(xué)生：

第一種為缺步解答。如果考生遇到一個(gè)很難的問題，可以將其分解為一系列的步驟或一個(gè)個(gè)小問題，能解決多少是多少，能演算幾步是幾步，特別是那些解題步驟明顯的題目，或者是已經(jīng)程序化了的方法，每一步得分點(diǎn)的演算都可以得分，解答不圓滿也力求多寫兩步，這叫?不求全對(duì)，但求得分?。

第二種為跳步答題。按部就班解題是正確的，但解題中會(huì)經(jīng)?？ㄔ谀骋画h(huán)節(jié)上，這時(shí)可以先承認(rèn)中間結(jié)論（就當(dāng)你已經(jīng)做了），跳過去，繼續(xù)往后做。若題目有兩問，第一問想不出來，但第二問卻有思路可以把第一問當(dāng)?已知?，先做第二問，這也是跳步解答。

第三種為退步解答。如果你不能解決所提出的問題，那么，你可以從整體退到部分，退到一個(gè)你能夠解決的問題。為了不產(chǎn)生?以偏概全?的誤解，應(yīng)開門見山寫上?本題分幾種情況?，這樣還會(huì)為尋找正確的，一般性的解法提供啟發(fā)。一般情況的計(jì)算量都很大，但特殊情況的值滿足一般，所以從特殊出發(fā)去推一般就會(huì)輕松很多。

三．對(duì)以后教學(xué)的建議

1．在平時(shí)的教學(xué)中要加強(qiáng)數(shù)學(xué)的基本概念、基本知識(shí)、基本方法和基本思想的教學(xué)。學(xué)生基本概念、基本知識(shí)掌握很熟練的前提下，即使遇到一個(gè)很難解決的問題，他們也會(huì)從已知出發(fā)得到一些相關(guān)結(jié)論，這樣就抓住了得分點(diǎn)，同時(shí)也可能為解決本題找到一個(gè)突破口。

2．平時(shí)在課堂教學(xué)過程中要非常重視板書。老師要給學(xué)生做好示范，板書要工整、規(guī)范、踩好點(diǎn)，重點(diǎn)突出，詳略得當(dāng)，敘述繁冗或單薄都會(huì)導(dǎo)致失分，敘述以踩點(diǎn)、清晰、簡(jiǎn)潔、工整為佳。（同時(shí)要求學(xué)生卷面書寫要干凈整潔，簡(jiǎn)明扼要，并不是寫得越多越好，只要抓住各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，把主要過程表達(dá)出來就行了，另外，書寫只要能看得清就行，對(duì)于那些寫得比較差的同學(xué)，也不要過分擔(dān)心，當(dāng)然，還是書寫的清楚了好，那樣一定不會(huì)吃虧，如果寫的太亂，即使做對(duì)了也可能得不到滿分。）3．在平時(shí)批閱學(xué)生試卷時(shí)要倍加關(guān)注學(xué)生的解答過程，尤其是在批改立體幾何題時(shí)，要看清學(xué)生的踩點(diǎn)情況，要給足點(diǎn)子分，而不是重結(jié)果輕過程。這樣就能給學(xué)生一個(gè)好的導(dǎo)向，鼓勵(lì)學(xué)生在做題時(shí)能走多遠(yuǎn)是多遠(yuǎn)，讓學(xué)生確實(shí)體會(huì)到一個(gè)題目做對(duì)了卻得不到滿分和此題最后的結(jié)果雖不對(duì)卻得到了80%—90%的分?jǐn)?shù)的事實(shí)。要讓學(xué)生明白最后的結(jié)果錯(cuò)了并不一定可怕，最讓人擔(dān)心的就是思路不清，踩點(diǎn)不好。

4.對(duì)于解題方法，不要做過多的限制，一般來說，只要運(yùn)用正確就可得分，有時(shí)課本上沒有的結(jié)論也可以使用。

總之，通過史老師的介紹，我充分認(rèn)識(shí)到答題規(guī)范的重要性，也明確了如何指導(dǎo)學(xué)生規(guī)范答題，同時(shí)對(duì)高考評(píng)分的準(zhǔn)確性和公平性也充滿了信心，只有我們做好充分準(zhǔn)備一定能取得理想成績(jī)。

為了有效高效地復(fù)習(xí)，很好地掌握重點(diǎn)難點(diǎn)以及命題深度，應(yīng)該從哪些方面來復(fù)習(xí)，時(shí)間上應(yīng)該怎么來把握？ 通過學(xué)習(xí)，我覺得現(xiàn)在應(yīng)該抓住這么幾點(diǎn)：

第一，應(yīng)該回歸教材，回歸課本。緊扣考試說明，根據(jù)考試說明能力各方面的要求系統(tǒng)的把教材再過一遍。

第二，可以把近年高考試題做一遍或者是看一遍，因?yàn)檫@是最好的資料。不要再翻那些亂七八糟的復(fù)習(xí)資料了，抓住這兩點(diǎn)，實(shí)際上抓住了高考的最根本點(diǎn)。高考教材的內(nèi)容會(huì)占到80％左右。

第三，要調(diào)整好心理狀態(tài)，因?yàn)樗约旱挠^點(diǎn)，在春節(jié)的時(shí)候，能考上一流還是二流，這個(gè)成績(jī)已經(jīng)基本定型了?，F(xiàn)在主要打的還是心理戰(zhàn)，一定要把心態(tài)放平衡。這樣你才能在高考當(dāng)中取得最后的勝利。

那么也就是說現(xiàn)在復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，一方面回歸課本，另一方面要回歸到我們高考數(shù)學(xué)大綱當(dāng)中，從中間把握一些重點(diǎn)。因?yàn)榇_實(shí)考試當(dāng)中，大部分是基礎(chǔ)方面的題型。所以抓住基礎(chǔ)，就可以達(dá)到大部分的分值。另一方面還要回歸試卷。還有我們最重要的還是要擺正心態(tài)，因?yàn)樾膽B(tài)是決定這場(chǎng)戰(zhàn)役成敗的非常重要的點(diǎn)了。

另外張老師給我們講了關(guān)于數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，根據(jù)恢復(fù)高考20多年來數(shù)學(xué)命題的情況，他認(rèn)為，高考命題的重點(diǎn)大約是這么幾個(gè)方面。第一，函數(shù)。中學(xué)數(shù)學(xué)是以函數(shù)為綱的，在高考中，函數(shù)所占的比重大約是35％左右，所以大家一定要把函數(shù)方面的內(nèi)容復(fù)習(xí)得非常好。特別是應(yīng)用問題，這些都是用函數(shù)去處理。比如數(shù)列、三角函數(shù)這些都是函數(shù)。第二個(gè)重點(diǎn)是立體幾何。立體幾何中大家一定要注意三垂線定理和逆定理。這兩個(gè)定理體現(xiàn)了立體幾何處理問題的思路。三垂線定理和逆定理。所有奮戰(zhàn)在高三一線的老師們都明白，高考命題出來之后，如果沒有出現(xiàn)三垂線定理，認(rèn)為這個(gè)題目沒有水平。在立體幾何中，大部分是在二面角和平面角這個(gè)地方考。這也是立體幾何的一個(gè)難點(diǎn)，也是重點(diǎn)。現(xiàn)在咱們大部分用的是新編教材，這個(gè)新教材的特點(diǎn)是知識(shí)面廣，但是要求的淺了。所以，新加了很多內(nèi)容。比如向量，向量是高一第五章，向量在高考里，也體現(xiàn)得比較多，特別是在立體幾何這個(gè)地方。第一個(gè)題目是用向量處理的題目，第二個(gè)題目是用原始方法處理的題目。根據(jù)這多年的經(jīng)驗(yàn)，使用新教材以后，高考的這個(gè)經(jīng)驗(yàn)，第一個(gè)用向量處理的題目簡(jiǎn)單。大家在復(fù)習(xí)的時(shí)候要注意用向量處理立體幾何問題。

但向量解決立體幾何問題不是萬能的，一部分題目可以解決，一部分題目不能解決。向量處理問題簡(jiǎn)單，用向量處理所有立體幾何問題，說不定就要翻船，因?yàn)橛械念}目處理不了。先看向量怎么做，用向量做出來，這是一個(gè)容易的辦法。不再用選原來傳統(tǒng)的方法做，這是一個(gè)重點(diǎn)。不行，再用傳統(tǒng)方法做。對(duì)于我們普通班的教學(xué)工作，英愛是以向量方法為主，建立直角坐標(biāo)系之后，主要的是轉(zhuǎn)化是計(jì)算，所以在這里一些基本公式必須牢記，比如點(diǎn)到面的距離，比如線面垂直就是方向向量與法向量平行，面面垂直就是轉(zhuǎn)化為法向量垂直等等。

總而言之，此次學(xué)習(xí)對(duì)我自身提高很大，對(duì)我對(duì)高考命題的思路，對(duì)高考考點(diǎn)的把握，對(duì)難度的處理都有一定的了解，這對(duì)我今后的發(fā)展有很大的幫助，再次感謝學(xué)校的培訓(xùn)。

第二篇：關(guān)于高考數(shù)學(xué)專題講座心得體會(huì)

關(guān)于2018年高考備考復(fù)習(xí)培訓(xùn)心得體會(huì)

本次參加了山西省太原市2018屆高考數(shù)學(xué)備考教學(xué)研討會(huì)培訓(xùn)，是幸運(yùn)的，也是必需的。這次培訓(xùn)收獲頗多，也讓我從心底里對(duì)新課標(biāo)下的高考有了更深層次的理解。我僅數(shù)學(xué)學(xué)科談一點(diǎn)自己對(duì)于備考的體會(huì): 一．研究考綱考題，把握命題方向

本次學(xué)習(xí)主要是針對(duì)高中教師的自身提高，了解命題人的心思，出發(fā)點(diǎn)，以及如何根據(jù)課標(biāo)進(jìn)行命題。

首先專家以去年的北京考題的解析幾何題為原型，分析了它所考查的知識(shí)點(diǎn)，如何降低難度，如何根據(jù)課標(biāo)轉(zhuǎn)化題型，以及給了同一道題的不同的突破點(diǎn)和思路。

然而對(duì)于我們這些新教師，剛上高三，不知道如何有效高效的復(fù)習(xí)，不能很好的掌握重點(diǎn)難點(diǎn)以及命題深度，應(yīng)該從哪些方面來復(fù)習(xí)，時(shí)間上應(yīng)該怎么來把握？

對(duì)于這點(diǎn)專家覺得現(xiàn)在應(yīng)該抓住這么幾點(diǎn)，第一，應(yīng)該回歸教材，回歸課本。緊扣考試說明，根據(jù)考試說明能力各方面的要求系統(tǒng)的把教材再過一遍。第二點(diǎn)，可以把近年高考試題做一遍或者是看一遍，因?yàn)檫@是最好的資料。不要再翻那些亂七八糟的復(fù)習(xí)資料了，抓住這兩點(diǎn)，實(shí)際上抓住了高考的最根本點(diǎn)。高考教材的內(nèi)容會(huì)占到80％左右。第三點(diǎn)，要調(diào)整好心理狀態(tài)，因?yàn)樗约旱挠^點(diǎn)，在春節(jié)的時(shí)候，能考上一流還是二流，這個(gè)成績(jī)已經(jīng)基本定型了?，F(xiàn)在主要打的還是心理戰(zhàn)，一定要把心態(tài)放平衡。這樣你才能在高考當(dāng)中取得最后的勝利。

二．提高復(fù)習(xí)效率

現(xiàn)在復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，一方面回歸課本，另一方面要回歸到我們高考數(shù)學(xué)大綱當(dāng)中，從中間把握一些重點(diǎn)。因?yàn)榇_實(shí)考試當(dāng)中，大部分是基礎(chǔ)方面的題型。所以抓住基礎(chǔ)，就可以達(dá)到大部分的分值。另一方面專家提到了要回歸試卷。還有我們最重要的還是要擺正心態(tài)，因?yàn)樾膽B(tài)是決定這場(chǎng)戰(zhàn)役成敗的非常重要的點(diǎn)了。

另外專家還給我們講了關(guān)于數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，根據(jù)恢復(fù)高考20多年來數(shù)學(xué)命題的情況，他認(rèn)為，高考命題的重點(diǎn)大約是這么幾個(gè)方面。第一，函數(shù)。中學(xué)數(shù)學(xué)是以函數(shù)為綱的，在高考中，函數(shù)所占的比重大約是35％左右，所以大家一定要把函數(shù)方面的內(nèi)容復(fù)習(xí)得非常好。特別是應(yīng)用問題，這些都是用函數(shù)去處理。比如數(shù)列、三角函數(shù)這些都是函數(shù)。第二個(gè)重點(diǎn)是立體幾何?，F(xiàn)在咱們大部分用的是新編教材，這個(gè)新教材的特點(diǎn)是知識(shí)面廣，但是要求的淺了。所以，新加了很多內(nèi)容。比如向量，向量是高一第五章，向量在高考里，也體現(xiàn)得比較多。特別是在立體幾何這個(gè)地方。

三．反思自己的教學(xué)

根據(jù)專家們命題趨勢(shì)的分析可知，讓學(xué)生全面掌握和準(zhǔn)確理解學(xué)科主干知識(shí)是分析解決問題的前提。沒有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)儲(chǔ)備，根本無法取得理想的高考成績(jī)！針對(duì)我校學(xué)生，更不能忽略主干基礎(chǔ)知識(shí)，求深求難。對(duì)于文科來說，死記硬背行不通，不記不背也不行。弄通弄懂教材，注重培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系實(shí)際解決問題的能力。

總而言之，此次學(xué)習(xí)對(duì)我自身提高很大，對(duì)我對(duì)高考命題的思路，對(duì)高考考點(diǎn)的把握，對(duì)難度的處理都有一定的了解，這對(duì)我今后的發(fā)展有很大的幫助，再次感謝學(xué)校的培訓(xùn)。

第三篇：關(guān)于高考數(shù)學(xué)專題講座心得體會(huì)

關(guān)于高考命題講座心得體會(huì)

本次學(xué)習(xí)主要是針對(duì)高中教師的自身提高，了解命題人的心思，出發(fā)點(diǎn)，以及如何根據(jù)課標(biāo)進(jìn)行命題。

首先專家以去年的北京考題的解析幾何題為原型，分析了它所考查的知識(shí)點(diǎn)，如何降低難度，如何根據(jù)課標(biāo)轉(zhuǎn)化題型，以及給了同一道題的不同的突破點(diǎn)和思路。

然而對(duì)于我們這些新教師，剛上高三，不知道如何有效高效的復(fù)習(xí)，不能很好的掌握重點(diǎn)難點(diǎn)以及命題深度，應(yīng)該從哪些方面來復(fù)習(xí)，時(shí)間上應(yīng)該怎么來把握？

對(duì)于這點(diǎn)專家覺得現(xiàn)在應(yīng)該抓住這么幾點(diǎn)，第一，應(yīng)該回歸教材，回歸課本。緊扣考試說明，根據(jù)考試說明能力各方面的要求系統(tǒng)的把教材再過一遍。第二點(diǎn)，可以把近年高考試題做一遍或者是看一遍，因?yàn)檫@是最好的資料。不要再翻那些亂七八糟的復(fù)習(xí)資料了，抓住這兩點(diǎn)，實(shí)際上抓住了高考的最根本點(diǎn)。高考教材的內(nèi)容會(huì)占到80％左右。第三點(diǎn)，要調(diào)整好心理狀態(tài)，因?yàn)樗约旱挠^點(diǎn)，在春節(jié)的時(shí)候，能考上一流還是二流，這個(gè)成績(jī)已經(jīng)基本定型了?，F(xiàn)在主要打的還是心理戰(zhàn)，一定要把心態(tài)放平衡。這樣你才能在高考當(dāng)中取得最后的勝利。

那么也就是說現(xiàn)在復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，一方面回歸課本，另一方面要回歸到我們高考數(shù)學(xué)大綱當(dāng)中，從中間把握一些重點(diǎn)。因?yàn)榇_實(shí)考試當(dāng)中，大部分是基礎(chǔ)方面的題型。所以抓住基礎(chǔ)，就可以達(dá)到大部分的分值。另一方面專家提到了要回歸試卷。還有我們最重要的還是要擺正心態(tài)，因?yàn)樾膽B(tài)是決定這場(chǎng)戰(zhàn)役成敗的非常重要的點(diǎn)了。

另外莊家還給我們講了關(guān)于數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，根據(jù)恢復(fù)高考20多年來數(shù)學(xué)命題的情況，他認(rèn)為，高考命題的重點(diǎn)大約是這么幾個(gè)方面。第一，函數(shù)。中學(xué)數(shù)學(xué)是以函數(shù)為綱的，在高考中，函數(shù)所占的比重大約是35％左右，所以大家一定要把函數(shù)方面的內(nèi)容復(fù)習(xí)得非常好。特別是應(yīng)用問題，這些都是用函數(shù)去處理。比如數(shù)列、三角函數(shù)這些都是函數(shù)。第二個(gè)重點(diǎn)是立體幾何。立體幾何中大家一定要注意三垂線定理和逆定理。這兩個(gè)定理體現(xiàn)了立體幾何處理問題的思路。三垂線定理和逆定理。所有奮戰(zhàn)在高三一線的老師們都明白，高考命題出來之后，如果沒有出現(xiàn)三垂線定理，認(rèn)為這個(gè)題目沒有水平。在立體幾何中，大部分是在二面角和平面角這個(gè)地方考。這也是立體幾何的一個(gè)難點(diǎn)，也是重點(diǎn)?，F(xiàn)在咱們大部分用的是新編教材，這個(gè)新教材的特點(diǎn)是知識(shí)面廣，但是要求的淺了。所以，新加了很多內(nèi)容。比如向量，向量是高一第五章，向量在高考里，也體現(xiàn)得比較多。特別是在立體幾何這個(gè)地方。就用A和B兩個(gè)題，因?yàn)樵蹅兘滩挠幸粋€(gè)9A和9B，高考立體幾何在這兒出了兩個(gè)題目，第一個(gè)題目是用向量處理的題目，第二個(gè)題目是用原始方法處理的題目。根據(jù)這多年的經(jīng)驗(yàn)，使用新教材以后，高考的這個(gè)經(jīng)驗(yàn)，第一個(gè)用向量處理的題目簡(jiǎn)單。大家在復(fù)習(xí)的時(shí)候要注意用向量處理立體幾何問題。

但向量解決立體幾何問題不是萬能的，一部分題目可以解決，一部分題目不能解決。向量處理問題簡(jiǎn)單，用向量處理所有立體幾何問題，說不定就要翻船，因?yàn)橛械念}目處理不了。先看向量怎么做，用向量做出來，這是一個(gè)容易的辦法。不再用選原來傳統(tǒng)的方法做，這是一個(gè)重點(diǎn)。不行，再用傳統(tǒng)方法做。對(duì)于我們普通班的教學(xué)工作，英愛是以向量方法為主，建立直角坐標(biāo)系之后，主要的是轉(zhuǎn)化是計(jì)算，所以在這里一些基本公式必須牢記，比如點(diǎn)到面的距離，比如線面垂直就是方向向量與法向量平行，面面垂直就是轉(zhuǎn)化為法向量垂直等等。

總而言之，此次學(xué)習(xí)對(duì)我自身提高很大，對(duì)我對(duì)高考命題的思路，對(duì)高考考點(diǎn)的把握，對(duì)難度的處理都有一定的了解，這對(duì)我今后的發(fā)展有很大的幫助，再次感謝學(xué)校的培訓(xùn)。

第四篇：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心得體會(huì)

“把課堂的精彩還給學(xué)生”

---參加國(guó)家名師高效教學(xué)觀摩研討會(huì)心得體會(huì)

2016年3月19日-20日，我有幸參加了在德州學(xué)院音樂系禮堂舉辦的“國(guó)家名師高效教學(xué)觀摩研討會(huì)”，聆聽了吳正憲、張齊華、強(qiáng)震球、杜海良、趙震、薛錚等幾位名師的授課，一堂堂生動(dòng)的示范課讓我們領(lǐng)略到數(shù)學(xué)深邃的思想以及教學(xué)的藝術(shù)魅力，精彩的預(yù)設(shè)與生成，恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥與啟發(fā)，感動(dòng)著在場(chǎng)的每一位老師。

幾位老師的共同點(diǎn)在于總是在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候提出一些疑問，引起學(xué)生的思考，從而突破難點(diǎn)。設(shè)計(jì)精妙，環(huán)環(huán)相扣，對(duì)知識(shí)點(diǎn)層層深入、點(diǎn)點(diǎn)剖析，并且非常注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透。下面是我學(xué)習(xí)后的感受：

一、俯下身子與孩子對(duì)話

從名師與我們平時(shí)和孩子溝通的語(yǔ)言對(duì)比中可以知道，他們與孩子對(duì)話中有一種無形的拉近距離感，能讓孩子們從乏味的教學(xué)中，主動(dòng)學(xué)習(xí)起來。每一位名師在與孩子們上課前都會(huì)親近的與他們攀談，這樣的課前交談，看似簡(jiǎn)單、平淡、多余，實(shí)際上縮短了師生心理距離，營(yíng)造了寬松和諧、自由活躍的課堂氛圍。

二、以學(xué)生的探究與交流為主，教師適當(dāng)點(diǎn)撥，營(yíng)造輕松的教學(xué)氛圍

教學(xué)過程是師生間共同參與、交流、互動(dòng)的過程，是教師指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的過程。因此教師不應(yīng)該把學(xué)生看成是“容器”，強(qiáng)行灌輸，而應(yīng)把學(xué)生看成是主動(dòng)的、生動(dòng)活潑的、發(fā)展著的認(rèn)識(shí)的主體。一個(gè)教師無論學(xué)識(shí)如何廣博，都必須始終站在學(xué)生這個(gè)主體位置。而不是站在演員這個(gè)角度上去表演。即使你的表演再精彩，如果學(xué)生要是學(xué)不到真正的知識(shí)，培養(yǎng)不了解決問題的能力，也是一節(jié)失敗的課。

吳正憲老師執(zhí)教的“小數(shù)除法”一課，圍繞著“剩下的余數(shù)‘1’怎么辦”也就是1元錢到底怎么分的問題，展開了激烈的討論，有的把1元變成10角，把1角變成10分；有的把1元直接變成100分；有的同學(xué)直接看到把1元分成4份，每份就是0.25元；在激烈的討論中，學(xué)生思維迸發(fā)，學(xué)生“活了”，知識(shí)也跟著“活了”。

趙震老師執(zhí)教的“加法、乘法交換律”一課，老師引導(dǎo)學(xué)生通過舉例驗(yàn)證的方式得到了加法交換律，趙老師啟發(fā)學(xué)生根據(jù)剛才的學(xué)習(xí)做其他的猜想，學(xué)生猜乘法交換律、減法交換律、除法交換律，老師沒有急于給出答案，而是讓學(xué)生自己討論交流驗(yàn)證，學(xué)生通過自己的努力排除了減法和除法交換律，在這個(gè)過程中，學(xué)生不僅學(xué)到了知識(shí)，而且學(xué)到了數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法——舉例驗(yàn)證。

三、今后努力的方向

1、備課前需要思考的問題。

課前設(shè)計(jì)教案設(shè)計(jì)課要多思考為什么教材編寫者要以這樣的方式呈現(xiàn)這個(gè)內(nèi)容;學(xué)生之前的認(rèn)知程度;教材在整個(gè)小學(xué)教學(xué)體系中所處的位置;明白孩子在學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)的過程中的軟肋，而不是照搬別人設(shè)計(jì)精彩的環(huán)節(jié)，精彩的習(xí)題。

2、找到學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)知和數(shù)學(xué)知識(shí)增長(zhǎng)之間的連接點(diǎn)。整體把握教材中知識(shí)點(diǎn)之間本質(zhì)的聯(lián)系，站在一個(gè)整體聯(lián)系的層次去審視和處理教材，向?qū)W生傳遞一個(gè)完整的數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生建立一個(gè)融會(huì)貫通的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。還應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)會(huì)聯(lián)系看問題的思維習(xí)慣，他們應(yīng)被鼓勵(lì)尋找聯(lián)系以幫助他們理解和解決問題。

第五篇：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)心得體會(huì)

讀《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)》心得

北市成功高中 游經(jīng)祥老師

一、前言

數(shù)學(xué)教學(xué)可說是一種藝術(shù)，而且也是教師一直在自我調(diào)整，自我成長(zhǎng)的一門學(xué)問。筆者對(duì)數(shù)學(xué)教育可說是門外漢，有幸參與研讀Richard Skemp所著的《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)》，讓筆者從中體會(huì)到一些數(shù)學(xué)教育的大略。這是一本結(jié)合心理學(xué)理論和數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的好書，在研讀討論過程中，讓筆者不時(shí)常有『心有戚戚焉』的感覺，也讓筆者感到『教學(xué)』專業(yè)之中，還有這麼多細(xì)密的內(nèi)涵存在，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值觀以及數(shù)學(xué)教學(xué)的意義，有更進(jìn)一步的體會(huì)。由於本書內(nèi)容豐富，筆者便以分段式的方式提出心得，並期望在每一段落中，給出高中教材的相關(guān)例子，以參照這幾年來筆者自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。換句話說，在本文中，筆者一方面肯定本書所提出的概念，另一方面，則也要強(qiáng)調(diào)筆者教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的自我印證。在此，我很感謝同事杜雲(yún)華老師、蘇意雯老師、蘇慧珍老師的集思廣義，以及洪萬生教授的問題討論。

二、數(shù)學(xué)概念

我們數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)從無到有，頇經(jīng)過多少歲月學(xué)習(xí)，及許多師長(zhǎng)的引導(dǎo)啟發(fā)，再加上我們?nèi)祟惖闹橇π袨椋鞣矫嬉蚓壍臅?huì)聚，數(shù)學(xué)方能達(dá)到如今成熟的地步。人類由活動(dòng)中吸取經(jīng)驗(yàn)，由經(jīng)驗(yàn)中學(xué)習(xí)而化為行為；因此，人類的智力行為乃從經(jīng)驗(yàn)，再由經(jīng)驗(yàn)、事物的分類、歸類之中，而產(chǎn)生心智中的『歸檔』。在這種心智活動(dòng)過程中，我們由語(yǔ)言經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)分類、歸納，進(jìn)而將之抽象化，而這抽象化後的事物存在心中，便稱之為『概念』。平常數(shù)學(xué)中所謂的『定義』，即是將某一數(shù)學(xué)概念的範(fàn)圍更加精確地顯示出來。因此，數(shù)學(xué)中的『定義』，乃是前人心血累積所成的數(shù)學(xué)概念。

在此，筆者提出高中數(shù)學(xué)教材中的例子，來對(duì)數(shù)學(xué)概念作一印證。在高一上學(xué)期的數(shù)系中，有一單元目標(biāo)是為了幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)複數(shù)系，即C={a+bi|a，b?R，i=?1}。在此之前，高一學(xué)生的心中對(duì)於數(shù)的概念只有：自然數(shù)系Ｎ，整數(shù)系Ｚ，有理數(shù)系Ｑ，與實(shí)數(shù)系Ｒ。因此，要引進(jìn)複數(shù)系時(shí)，筆者便從國(guó)中時(shí)代的一元二次方程式ax2?bx?c?0的公式解及判別式開始引起動(dòng)機(jī)，順便讓學(xué)生回憶一下往事，亦即，希望喚醒學(xué)生以往的數(shù)學(xué)概念。進(jìn)而對(duì)判別式D?b2?4ac的正負(fù)及實(shí)根的個(gè)數(shù)做個(gè)複習(xí)。最後，才進(jìn)入Ｄ＜０時(shí)，公式解中?b?D的D是何物？以此來引進(jìn)負(fù)數(shù)平方根的存在性。在解決這些存疑之前，筆者又2a引進(jìn)十六世紀(jì)義大利數(shù)學(xué)家卡當(dāng)（Girolamo Cardano）所提出的問題：把10分成兩個(gè)數(shù)，使x?它們乘積是40。

當(dāng)時(shí)卡當(dāng)解出的東西為5??15，他很迷惑5??15到底是不是『數(shù)』。但是，他又大膽地『認(rèn)定』如果5??15這種東西如果可以合符『數(shù)的運(yùn)算規(guī)則』做計(jì)算，則5??15就是此問題的解。不過，這問題困擾數(shù)學(xué)家二百多年，到了十八世紀(jì)以後，經(jīng)過尤拉（Euler）、高斯（Gauss）等偉大數(shù)學(xué)家的努力探索，吾人才日漸揭開複數(shù)系的神祕(mì)面紗。

經(jīng)過如此介紹，在一方面，我們可讓數(shù)學(xué)史『告訴』學(xué)生，數(shù)系得之不易；另一方面，也可讓學(xué)生了解新數(shù)系要『如何』建立。根據(jù)數(shù)學(xué)史，了解一個(gè)新數(shù)系的建立，對(duì)超級(jí)數(shù)學(xué)家而言已經(jīng)不容易了，更何況是凡夫俗子呢？由此可見，一個(gè)數(shù)學(xué)新概念在學(xué)生的心智活動(dòng)中要明確建立，實(shí)在相當(dāng)困難。

再者，筆者想大略談數(shù)學(xué)『抽象化』的例子：在大學(xué)數(shù)中的代數(shù)學(xué)，其中的群（group），環(huán)（ring），體（field）的生成，是由日常生中的自然數(shù)系、整數(shù)系、有理數(shù)系、實(shí)數(shù)系、複數(shù)系中的運(yùn)算性質(zhì)，以及其概念中加以聯(lián)結(jié)，所提煉而成的特性及功用。但是，我們當(dāng)初很難預(yù)測(cè)，它們結(jié)合後會(huì)產(chǎn)生這麼多的特性，而再進(jìn)一步抽象化後所形成的『近世代數(shù)』之美麗光茫。我們?cè)囈韵旅胬诱f明，當(dāng)中的提煉過程。

例如：有理數(shù)系中對(duì)『加法』、『乘法』有封閉性，這就是群（group）中的二元運(yùn)算的來源，其中的結(jié)合性、反元素、單位元素皆可由0，1的運(yùn)算性質(zhì)推廣得到。因此，經(jīng)過數(shù)系內(nèi)在蘊(yùn)涵的特性及功用，再進(jìn)一步抽象化後便得到『群』定義中的充要條件。最後，再一般化後，便得到更深入的環(huán)、體及近世代數(shù)的發(fā)展，使代數(shù)學(xué)成為現(xiàn)今數(shù)學(xué)領(lǐng)域中重要的一個(gè)分支。

由此可見，數(shù)學(xué)概念大都是經(jīng)由人類生活活動(dòng)、經(jīng)驗(yàn)累積而形成的成果，進(jìn)而人類將之分類、歸檔，由變因中尋找共通性與不變性，再進(jìn)一步抽象化，最後在歷史演化的提煉形過程中，將其『不變』的特質(zhì)再留存歸檔。就如現(xiàn)在的近世代數(shù)學(xué)中的群、環(huán)、體等理論已成熟，數(shù)學(xué)家便將之視為自然的數(shù)學(xué)文化而留存歸檔。

三、基模（schema）的特性

筆者覺得『基?！皇菙?shù)學(xué)教育上的一個(gè)名詞，它大約說明『心理學(xué)中的心智結(jié)構(gòu)情形』。因此，筆者在此只有將基模所具有的一些特性，作以下說明：

?基?？梢越Y(jié)合長(zhǎng)期所學(xué)的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)及概念。

?基?？梢詫⒏拍畹年P(guān)係加以分類、融合、轉(zhuǎn)化。

?基模是概念之間的縱橫聯(lián)繫網(wǎng)。

?基?？梢詫⒍喾N概念結(jié)合、分析而發(fā)展出難以預(yù)測(cè)的特性及功用。

筆者在此以『重複組合』Ｈnm為例，對(duì)基模的特性作下列相應(yīng)的說明。

例：袋中有a，b，c三種球，各有10個(gè)，從袋中任取5球，請(qǐng)問有幾種不同的取法？（Ａ）對(duì)沒有Ｈnm概念的學(xué)生，他可以用以下作法，自然討論可得其解答：

a五同：aaaaa，bbbbb，ccccc，共三種。即Ｃ3種。○13b四同：aaaab，…，有Ｃ3·○22=6種，或Ｐ2種。

3c三同二同：aaabb，…，有Ｃ3·○22=6種，或Ｐ2種。d三同二異：aaabc，…，有Ｃ3=3種?！?e二同二同一異：aabbc，…，有Ｃ3=3種?！?共21種。

n

運(yùn)用這種做法，至少學(xué)生已有Ｃn，Ｐmm的基本概念，以及對(duì)５球分類的基本能力。就此nＣnm，Ｐm及對(duì)５球分類的三個(gè)基本概念來說，它們個(gè)別發(fā)揮不出解此題的作用。但當(dāng)學(xué)生的思考中將此三種基本概念結(jié)合與聯(lián)繫，則問題將可以自然地解決。這種結(jié)合與聯(lián)繫，就是基模的特性之一。當(dāng)然，其中也用到自然數(shù)的四則運(yùn)算，這是人類最根本的基模，就不必特別指出。以下，筆者亦是如此對(duì)待此根本基模。（Ｂ）、聰明一點(diǎn)的學(xué)生可能會(huì)這樣做：

設(shè)a類球取x個(gè)，b類球取y個(gè)，c類球取z個(gè)。則x?y?z?5，0?x,y,z?5且x,y,z為整數(shù)（即此方程式之非負(fù)整數(shù)解。）此時(shí)可以列表解之：

ｘ ５ ４ ３ ３ ２

ｙ ０ １ ２ １ ２

ｚ ０ ０ ０ １ １

故共有3!3!3!?3!?3!???21種。2!2!2!n

運(yùn)用這種作法的學(xué)生至少要有Ｃn、Ｐmm、代數(shù)方程式的列式，以及解非負(fù)整數(shù)等概念，其中能將排列、組合的問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)的問題，這頇要很強(qiáng)的『反思』能力，即能跳脫問題本身，提昇到更高階層以觀察之，而得到此一作法，這是基模結(jié)合力更強(qiáng)的展現(xiàn)。由於基模具有這種將多種概念結(jié)合、轉(zhuǎn)化的特性，難怪引導(dǎo)學(xué)生作基模式的學(xué)習(xí)，是一種很有效的數(shù)學(xué)教學(xué)法。此法的進(jìn)行，要提醒學(xué)生有『居高臨下』的視野，在跳脫問題層次之外，能以更宏觀的思考方向思考之。這是非常難得，而且是更高一層的反思，值得學(xué)之。（Ｃ）更聰明的學(xué)生，可能會(huì)這樣做：

同（Ｂ）中的假設(shè)，而得求x?y?z?5的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)。此時(shí)這類學(xué)生便將５個(gè)球，用５個(gè)“１”代表而將之排成一列，再用兩個(gè)加號(hào)“＋”插進(jìn)一群“１”之中，所分成的三部分就分別定為x,y,z的值，而得到

7!7373?5?1?C5，即知H5。?C5?C52!5!

這種做法是經(jīng)兩次反思而得，先將排列組合的問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程式問題，為了要求非

nn?m?1負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)又轉(zhuǎn)化成重複排列問題，而得到更簡(jiǎn)便的求解方法，進(jìn)而驗(yàn)證了Hm。?Cm

筆者分析上述（Ａ），（Ｂ），（Ｃ）這三種作法，主要目的是要說明筆者對(duì)基模所列的四種特性，從而使自己對(duì)基模的特質(zhì)，有更進(jìn)一步的理解。因此，筆者覺得基模本身已經(jīng)是離開日常經(jīng)驗(yàn)與反應(yīng)，同時(shí)，基模可以統(tǒng)合已知知識(shí)，進(jìn)而加強(qiáng)對(duì)事物的了解，及對(duì)事物的批判思考力。因此，基模是產(chǎn)生真正理解事物的一種心智工具，利用它，我們可以獲取意想不到的新知。

然而萬事萬物，有其利亦有其弊?；Ｒ嗫赡苡衅淙秉c(diǎn)，包括建立過程所費(fèi)的時(shí)間較長(zhǎng)，基模有喜新厭舊、顧此失彼的特性，更嚴(yán)重者，乃是知識(shí)『穩(wěn)固性』建立的無形障礙。在此，筆者提出基模穩(wěn)固性的無形障礙，有一個(gè)很明確的例子，就是在畢氏發(fā)現(xiàn)無理數(shù)時(shí)，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們視畢氏的無理數(shù)論點(diǎn)為異端，不在此重述?？梢姡?dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們對(duì)數(shù)學(xué)中的數(shù)系基模，只穩(wěn)固在有理數(shù)系為其最高階層的數(shù)系，至於對(duì)於非有理數(shù)的存在性，自然會(huì)有很大的懷疑。

四、思考層次的分析

x?22x2?2x?2??3。

我們先考慮這問題：試解2x?2x?x?1(解一)、一般學(xué)生直觀解之，要先去分母；得到：(x?2)2?(x2?x?1)(2x2?2x?2)?3(x?2)(x2?x?1)

?x2?4x?4?2(x4?x2?1?2x3?2x?2x2)?3(x3?x2?x?2x2?2x?2)

?2x4?4x3?7x2?8x?6?3x3?9x2?9x?6 ?2x4?x3?2x2?x?0

?x?0，2x3?x2?2x?1?0

1?x?0,?1,?。

2(解二)、另外有一些學(xué)生先欣賞一下題目，分析問題特性，方程式中皆有因此，學(xué)生的做法便利用符號(hào)代表a?x?2及其倒數(shù)。

x2?x?1x?2x?2，即令=，則原方程式變?yōu)閍22x?x?1x?x?12x?2x?21?3?a2?3a?2?0?a?1或2，即2＝１或2＝２，故得x?0,?1,?。a2x?x?1x?x?

1由上述的兩種解題方法，筆者試圖分析學(xué)生的心智活動(dòng)結(jié)構(gòu)的大概情形如下：（Ａ）、自動(dòng)化概念

在學(xué)習(xí)或處理新概念或問題時(shí)，基礎(chǔ)概念或基礎(chǔ)理論必頇變得自動(dòng)化，亦即可以自動(dòng)浮現(xiàn)心頭。不必重新思考或反映的概念，皆可稱為自動(dòng)化概念。

在『解一』中的自動(dòng)化概念，包括分式之去分母，多項(xiàng)式之加減乘及多項(xiàng)式的因式分解。因此，要用“解一”的方法，這些基礎(chǔ)概念頇要已經(jīng)自動(dòng)化了，如此解此題才方便。

至於在『解二』中的自動(dòng)化概念，就包括符號(hào)代換、分式之去分母、因式分解（十字交義相乘）、解一元二次方程式等。

因此，要運(yùn)用『解二』之法者，先要有更高層次思考，以簡(jiǎn)禦繁而得到a=

x?2的代2x?x?1換式；之後便是頇要自動(dòng)化的概念。（Ｂ）、心智模型的層次

在上述『解一』中，乃是一般性解題的自然操作活動(dòng)，也是直覺處理問題的想法。亦即直接由自然的規(guī)律（即自動(dòng)化概念），經(jīng)過操作、抽象、推廣所蘊(yùn)育而成的心智模型。這即是Skemp書中所提到的第一型理論。

在『解二』中，頇要跳脫到問題之外，以居高臨下的觀點(diǎn)先審題目之結(jié)構(gòu)，進(jìn)而運(yùn)用數(shù)學(xué)以簡(jiǎn)禦繁的精神，以a代表

x?2而得到簡(jiǎn)單的分式方程式，進(jìn)而如『解一』之法解之。

x2?x?1這種心智模型較『解一』更為高層次。這類思考層次可說是反思，自己跳脫題外，思考問題，時(shí)時(shí)知道自己在做什麼。

接著，筆者再以大學(xué)數(shù)學(xué)中『拓樸學(xué)』（topology）的例子，來說明『思考層次』與『思考眼界』有著高低的不同。

記得在國(guó)小、國(guó)中、高中時(shí)代，圓形和三角形是視為完全不一樣的東西，不同的幾何圖形。當(dāng)時(shí)的思考，只限於外形的表現(xiàn)，比較不注重其無形的內(nèi)涵。因此，在中學(xué)時(shí)代的數(shù)學(xué)，直觀思考，圖形的全等性、相似性乃是主要訴求的重點(diǎn)。但是到了大學(xué)數(shù)學(xué)系中的拓樸學(xué)，已經(jīng)忘記了點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，也跳脫了有形物體的局限。故在拓樸學(xué)家的眼裡，圓、三角形與皆正方形視為同一類圖形；甚至圓與實(shí)心的輪胎也被視為同一類的幾何圖形，而一直線與一點(diǎn)也被視為同樣的幾何圖形。這些觀點(diǎn)，皆已跳脫有形可想像的範(fàn)圍，已經(jīng)走到第二型的更高層的思考，難怪Skemp主張數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論皆是屬於第二型的高層反思。其實(shí)，數(shù)學(xué)高階思考大都屬於二階反思。因此，我們可以理解到，經(jīng)由數(shù)學(xué)層層抽象化過濾的高階概念，雖然已經(jīng)遠(yuǎn)離現(xiàn)實(shí)世界，走向無形抽象空間之中，但是，它卻反而引領(lǐng)我們進(jìn)入孫宙的本質(zhì)，一旦賦予科學(xué)的內(nèi)涵，就可以得到實(shí)際世界許多令人驚異的結(jié)論了。

五、代數(shù)與幾何的結(jié)合

筆者提出以下例子：

x2y2??1之兩頂點(diǎn)，Ｐ是橢圓上之一點(diǎn)，求△ＡＢＰ的例：設(shè)A(-3,0)，B(0,-2)為橢圓94最大面積。

這例題是高中數(shù)學(xué)教材中，常出現(xiàn)在圓錐曲線單元中的例子；而且也算是較難的例題之一。我們提出兩種解法，再進(jìn)一步分析這兩種解法過程中與Skemp書中的理論相應(yīng)之處。

解法一：利用代數(shù)方法解之。

設(shè)Ｐ（3cos?,2sin?），1|?3203cos?2sin?1021| 1則△ＡＢＰ面積＝

1|?6?6cos??6sin?| ＝|3sin??3cos??3|

＝

＝|32sin(??

故sin(???4)?3|

?4)??1時(shí)，得最大值 32?3。

解法二：利用幾何觀點(diǎn)解之。

△ＡＢＰ中AB底固定，故只要高最大，則△ＡＢＰ之面積就會(huì)最大。因此，利用平行線間之距離固定的特性；再 作Ｌ//AB且與橢圓相切於P，則可得最大的高。利用橢圓切線公式得：

242L:y??x??9?4??x?22

39而d(A,L)?6?6213。

16?6213?3?32。213

這個(gè)問題屬於難題，一般學(xué)生不易求解，這是因?yàn)樗櫼S多概念的結(jié)合，才能推導(dǎo)出這題的答案，其中包括橢圓的參數(shù)化、面積的行列式表示（亦可以用面積的向量表示）、三角函數(shù)疊合性質(zhì)、最大值如何取值等。一般而言，一個(gè)問題頇要三個(gè)或以上的概念結(jié)合才能解決，便可說是一個(gè)難題。何況此問題至少要用到四、五個(gè)以上的概念，難怪對(duì)學(xué)生而言，這是一難題，以上是『解法一』的計(jì)算過程分析。然而，對(duì)於『解法二』而言，它所頇要的概念有：幾何平行概念，三角形面積求法，橢圓切線公式，點(diǎn)到直線之距離等。也就是頇要四、五個(gè)以上的概念結(jié)合，才能處理這一問題。然而『解法二』的方法是代數(shù)與幾何的結(jié)合，也就是兩個(gè)大系統(tǒng)的結(jié)合。Skemp在本書中提到視覺系統(tǒng)及言辭系統(tǒng)。言辭系統(tǒng)不只包含口中發(fā)出的聲音，還包含寫在紙上的字；而視覺系統(tǒng)最好的例子就是圖形。然而，兩種系統(tǒng)若能結(jié)合，則處理問題的能力便可以更具威力。難怪諾貝爾獎(jiǎng)得主Bragg在其八十歲生日時(shí)說：他自己總是先有視覺印象然後才產(chǎn)生新靈感。從這些數(shù)學(xué)教育專家的言談之中，可見以幾何觀點(diǎn)處理代數(shù)問題是很有幫助的，筆者提出這例題便是一例。因此，代數(shù)與幾何的結(jié)合是很重要的後射思考能力。

筆者近日對(duì)這三年來的『指定或聯(lián)考試題』作分析，發(fā)現(xiàn)九十一年指定考科有關(guān)幾何或利用幾何概念可處理的問題佔(zhàn)了29%；九十年聯(lián)考題這種題目佔(zhàn)了52%；八十九年聯(lián)考這種題目佔(zhàn)了46%。筆者所推定的百分比，可能見仁見智，雖然可能有誤差，但是，我們相信平均而言，與幾何相關(guān)或利用幾何可以處理的問題佔(zhàn)35%~40%是很自然的。這令筆者也深深感到，現(xiàn)今中學(xué)教材幾何的份量實(shí)在太少了。我希望數(shù)學(xué)教學(xué)家者能正視此一問題，也希望有改善幾何教學(xué)的教材出現(xiàn)。平心而論，幾何中的作圖、作法、推論與證明，可以說對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是很重要的訓(xùn)諫，不知為何當(dāng)今編寫數(shù)學(xué)教材大綱的所謂『專家』，為何對(duì)幾何的內(nèi)容做如此的取捨？現(xiàn)今的教育『專家』到底在想什麼？筆者想不通！故△ＡＢＰ之面積＝

六、理解方式

在Skemp書中的理解方式分為：機(jī)械式理解、因果式理解，與邏輯式理解。本書中對(duì)此三種理解方式有大略敘述，我們分述如下。

?機(jī)械式理解：能夠?qū)⒂脖车墓?、招?shù)應(yīng)用於特定問題，但不知背後原因、原理。?因果式理解：知道數(shù)學(xué)概念的原因、原理，並能自行推理、推廣。?邏輯式理解：能夠老練地以數(shù)學(xué)化符號(hào)、術(shù)語(yǔ)搭配邏輯推理規(guī)則，以進(jìn)行形式化的數(shù)學(xué)概念證明或推演。

為了說明這三種不同的理解方式，筆者舉以下例子，來對(duì)照三種理解的情形。例：設(shè)二次函數(shù)f(x)?(x?1.1)2?(x?1.2)2?(x?1.3)2?(x?1.4)

2?(x?8.6)2?(x?8.7)2?(x?8.8)2?(x?8.9)2，且當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)有最小值為m，則(x0,m)＝。

（A）機(jī)械式理解的學(xué)生，可能作以下解答方式。

取 1.1，1.2，1.3，1.4，8.6，8.7，8.8，8.9的中位數(shù)得5，則f(5)?112.6，故答(5,112.6)。

此答案正確。但學(xué)生只記得老師提醒：當(dāng)遇到這種問題時(shí)，便取以上各數(shù)之中位數(shù)代入，即得最小值。

（B）因果式理解的學(xué)生可能作以下解答方式。

將f(x)化為二次函數(shù)：

f(x)?8x2?2(1.1?1.2?1.3?1.4?8.6?8.7?8.8?8.9)x?D

?f(x)?8x2?80x?D?8(x?5)2?D?200，其中D?1.12?1.22?1.32?.142?8.62?8.72?8.82?8.92，故得當(dāng)x?5時(shí)，f(x)有最小值112.6。

在運(yùn)用這種解法時(shí)，學(xué)生一眼看出f(x)為一元二次函數(shù)，故經(jīng)化簡(jiǎn)便可以得到，且可求得最小值?？梢?，他對(duì)二次函數(shù)、配方、求極值等基本概念皆明白在心理，而可以自行推導(dǎo)得答案。

（C）為了引進(jìn)邏輯式理解，我們提出以下例子。

1?tan??sec??tan??sec?，有學(xué)生如此證明：

1?tan??sec???nse??c(1?ta??nse?)c(?t?asne?)c

1?ta 例：求證：

22?se?c?ta??nta?n?ta?sne??cse??cta?sne??cse?c

1?ta?n2?se?c?ta

1?ta?n??nse??c(s2?e?cta?n)?se?c?1?ta?n?se? c

1?ta?n

故得證。

運(yùn)用這種證法的學(xué)生，筆者承認(rèn)他已經(jīng)對(duì)三角函數(shù)恆等式證明，已有了因果式的理解。因?yàn)?，他知道從第一等式到最後等式，其?shí)皆是一樣的意義，而最後一個(gè)等式是顯然成立，故原等式得證?？吹綄W(xué)生如此解，便可以了解其對(duì)等式證明的因果過程皆理解。因此，筆者認(rèn)為他已達(dá)到因果式理解。但是，他的數(shù)學(xué)邏輯表達(dá)卻有不當(dāng)之處。如果改寫如下：

此一恆等式與1?tan??sec??(1?tan??sec?)(tan??sec?)同義，故我們只證明後一恆等式就行了。它的右式＝(1?tan??sec?)(tan??sec?)

=tan??tan2??tan?sec??sec??tan?sec??sec2? =tan??sec??(sec2??tan2?)=1?tan??sec?=左式

得證。

經(jīng)過如此修正，整個(gè)邏輯語(yǔ)氣才通順，而且符合敘述證明的邏輯思考理解。若學(xué)生能接受如此的訓(xùn)練，便可以得到邏輯式理解的學(xué)習(xí)目標(biāo)，而使基?；蚪忸}過程能很圓滿地呈現(xiàn)出來。因此，邏輯式理解有一項(xiàng)很重要的誘因，就是來自同儕或師長(zhǎng)的批評(píng)與建議，如此，方能達(dá)到數(shù)學(xué)完美的邏輯式理解與因果式理解的效應(yīng)與動(dòng)力，而達(dá)到追求更廣泛、更有力、更一致、更完備的數(shù)學(xué)知識(shí)。

七、數(shù)學(xué)教學(xué)的省思

回想起十多年來的數(shù)學(xué)教學(xué)情況，可說是『教學(xué)相長(zhǎng)』的最佳寫照。在最初教學(xué)之時(shí)，筆者比較愛教理論，亦即常以定義方式，直接引入數(shù)學(xué)概念，這種方法最簡(jiǎn)捷。但是，學(xué)生卻不易了解，易生枯燥之感。因?yàn)?，筆者在大學(xué)數(shù)學(xué)系時(shí)專業(yè)上的訓(xùn)練，常以定義、性質(zhì)、引理、定理、推理，一連串的引出數(shù)學(xué)的概念；因此，剛開始教學(xué)之時(shí)，亦承襲此一教學(xué)方式。後來，筆者日漸了解學(xué)生吸收不良的情形，也體會(huì)到中學(xué)生不比大學(xué)數(shù)學(xué)系的學(xué)生。因此，漸漸了解引起動(dòng)機(jī)的重要，而在教學(xué)之時(shí)，慢慢轉(zhuǎn)變成以例子為起頭，引用日常生活化的例子，來引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，然後，再進(jìn)一步抽象化，而教授一般化的數(shù)學(xué)概念。經(jīng)過Skemp這本書的啟示，筆者覺得一位好老師至少要具備以下的特質(zhì)：

? 提出問題，解答問題。

? 體察出學(xué)生基模進(jìn)展的方式，並適時(shí)提出適當(dāng)實(shí)物以供參考。? 幫助學(xué)生更深入掌握其所學(xué)。? 逐步減低學(xué)生對(duì)老師的依賴。? 培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析事物的能力。

? 教材之選取，以及問題之提出，要合符學(xué)生的思考方式。? 培養(yǎng)學(xué)生反映內(nèi)涵能力及推理綜合能力。? 確時(shí)掌握學(xué)生心智自我建設(shè)之過程及特徵。

由於Skemp的概念啟發(fā)，筆者也提議下列一套『數(shù)學(xué)教學(xué)的原則』，筆者覺得它們是一位數(shù)學(xué)教師至少應(yīng)該具備的共識(shí)：

?先引起學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，以例子為起頭說明。

?舉例子要確定學(xué)生已經(jīng)形成例子所應(yīng)該具備的預(yù)先概念。?定義不可超過已知的高階概念。?以好例子引出定義。

?對(duì)所要教的例子要有充分了解，要有創(chuàng)造力、啟發(fā)力。?概念結(jié)構(gòu)分析過程中，不可錯(cuò)一步。?先前概念必頇回顧複習(xí)，使學(xué)生隨手可得。

?引導(dǎo)學(xué)生揭開數(shù)學(xué)的發(fā)展結(jié)果，並加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思考。?加強(qiáng)智慧學(xué)習(xí)的過程。

這些有關(guān)教師特質(zhì)與教學(xué)原則的自我省思，將是往後筆者在數(shù)學(xué)教學(xué)上的重點(diǎn)參考，更是筆者自我期許至少要達(dá)成的目標(biāo)。

八、結(jié)論

數(shù)學(xué)教育對(duì)筆者而言千頭萬緒，只是從經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)過程，偶而拾獲的一些心得而已。有幸能得到Skemp書中的許多啟發(fā)，也印證了許多教學(xué)過程中所體會(huì)的理念與原則。筆者覺得數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)該著重在要求這些數(shù)學(xué)結(jié)果是如何一步一步被揭開、發(fā)展出來，以及其來龍去脈的全盤了解，而不只是邏輯推理的說服懷疑者，此外，也不只是教授數(shù)學(xué)技巧，而不教數(shù)學(xué)的思考內(nèi)涵而已。

因此，數(shù)學(xué)教學(xué)為了簡(jiǎn)捷、精確，而直接以定義方式引導(dǎo)學(xué)生，對(duì)學(xué)生而言，這是一種不智之舉。如果能從日常生活經(jīng)驗(yàn)中，引進(jìn)一些美好的例子，加強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，這將是年輕學(xué)子之福。

學(xué)生學(xué)習(xí)的包袱，會(huì)隨著學(xué)習(xí)理解方式而不同。機(jī)械式理解者將累積無數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)則、公式，而包袱日漸加重，以至達(dá)到無法負(fù)荷的困境。但對(duì)因果式及邏輯式理解的學(xué)生而言，將可以大幅減輕其包袱的負(fù)擔(dān)。故此，對(duì)學(xué)生的教學(xué)過程中，時(shí)時(shí)引導(dǎo)其對(duì)數(shù)學(xué)的理解規(guī)定的理由為何？目的何在？這是一種減輕學(xué)生學(xué)習(xí)包袱的重大關(guān)鍵。

我們皆明白分析能力、邏輯論證、社會(huì)化思考在數(shù)學(xué)中是相當(dāng)重要的學(xué)習(xí)目標(biāo)。然而，在此之外，我們更需要有個(gè)人的思考、內(nèi)在的洞察力以及綜合能力。在某種程度上而言，前者較容易教給學(xué)生，後者只能靠學(xué)生自力開發(fā)?？梢姡瑢W(xué)生個(gè)人思考、洞察力、綜合能力的引導(dǎo)不易。所以，我們只能從旁啟發(fā)，至於達(dá)到何種程度，只有靠學(xué)生自己的造化了。

學(xué)生的學(xué)習(xí)是可以啟發(fā)的，教師本身的角色扮演也相當(dāng)重要。原則上，一個(gè)教師既要是軍隊(duì)中的訓(xùn)練班長(zhǎng)（管理學(xué)生），又要是交響樂團(tuán)的指揮者（以自己的學(xué)識(shí)風(fēng)範(fàn)贏得學(xué)生的敬愛），並且必頇在這兩個(gè)角色之間取得平衡。

在數(shù)學(xué)教育環(huán)環(huán)相扣的情形下，筆者也深深體認(rèn)到：數(shù)學(xué)是經(jīng)由層層抽象過濾的高階概念，雖然這些高階概念遠(yuǎn)離現(xiàn)實(shí)世界，但它們卻反而引領(lǐng)我們接觸孫宙的本質(zhì)。一旦將這些賦予科學(xué)的內(nèi)涵，就可以得到實(shí)際世界中許許多多令人驚異的結(jié)論?，F(xiàn)今數(shù)學(xué)教育理論雖然還在蘊(yùn)育之中，但是，顯然也建立了許多值得參考的理論。期待將來我們對(duì)於學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)在心智活動(dòng)及其內(nèi)在自我建構(gòu)的探索，能有更進(jìn)一步的理解。這也是當(dāng)今許多數(shù)學(xué)教育專家要探討的中心問題：教學(xué)時(shí)如何兼顧學(xué)習(xí)者心智自我建設(shè)性的特徵？如何理解學(xué)習(xí)者內(nèi)在心智活動(dòng)的所有過程？