第一篇：任意角教學(xué)設(shè)計

任意角教學(xué)設(shè)計

一．內(nèi)容和內(nèi)容解析

三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型。角的概念的推廣正是這一思想的體現(xiàn)之一，是初中相關(guān)知識的自然延續(xù)。為進一步研究角的和、差、倍、半關(guān)系提供了條件，也為今后學(xué)習(xí)解析幾何、復(fù)數(shù)等相關(guān)知識提供有利的工具。本節(jié)課是三角函數(shù)的第一節(jié)課，學(xué)生正確的理解和掌握角的概念的推廣尤為重要。本節(jié)課的教學(xué)重點是：理解正角、負角和零角和象限角的定義，掌握終邊相同角、象限角的表示方法及判斷。二．目標(biāo)和目標(biāo)解析

1．結(jié)合實例體驗角的概念推廣的必要性；從運動的觀點出發(fā)，進行角的概念推廣，理解并掌握正角、負角、零角的定義；

2．能用集合和數(shù)學(xué)符號表示終邊相同的角，即掌握所有與α角終邊相同的角（包括α角）的表示方法；

3．能建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來討論任意角，理解象限角、坐標(biāo)軸上的角的概念，并能用集合和數(shù)學(xué)符號表示；

4．在角的概念的推廣的過程中，樹立運動變化觀點，學(xué)會運用運動變化的觀點認識事物；

5．通過正角、負角、零角與正數(shù)、負數(shù)、零的類比，培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能力； 6．通過畫圖和判斷角的象限，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法； 三．教學(xué)問題診斷分析

本節(jié)課的教學(xué)難點是：把終邊相同的角、象限角用集合和數(shù)學(xué)符號語言正確地表示出來。1．學(xué)生在理解終邊相同的角的表示方法上，會出現(xiàn)障礙，其原因是：剛剛將角的概念推廣，還不是很適應(yīng)終邊相同的角的“周而復(fù)始”這個現(xiàn)象的本質(zhì)；

2．學(xué)生在學(xué)習(xí)了教材例1后，做p6第4題，仍然感到困難，其原因是：當(dāng)角為負角時，在00～3600范圍內(nèi)找出終邊相同的角，不知怎樣計算，教學(xué)時應(yīng)給學(xué)生介紹計算方法； 3．學(xué)生在學(xué)習(xí)了象限角的概念后，怎樣用集合和數(shù)學(xué)符號語言正確地表示象限角（如：第一象限角），會出現(xiàn)障礙，其原因是：對第一象限角是有無數(shù)個區(qū)間構(gòu)成，它們的終邊是“周而復(fù)始”的現(xiàn)象的刻畫還不了解，教師要進一步的解釋k·3600的運用特點。四．學(xué)習(xí)行為分析

1．初中學(xué)生已經(jīng)接觸到角的定義，角的范圍僅限于00～3600。結(jié)合實際生活中的例子，由教材的“思考”問題出發(fā)，引發(fā)學(xué)生的的認知沖突，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，讓學(xué)生體會角的推廣的必要性。讓學(xué)生在好奇心的推動下，充分的調(diào)動學(xué)生的自主探究的內(nèi)在動力，利用類比和數(shù)形結(jié)合的思想，借助信息技術(shù)工具（如：幾何畫板），讓學(xué)生在動態(tài)的過程中體會“既要知道旋轉(zhuǎn)量，又要知道旋轉(zhuǎn)方向”才能準(zhǔn)確的刻畫角的形成過程的道理。學(xué)習(xí)本節(jié)角的概念的推廣困難不大。

2．“終邊相同的角之間的關(guān)系”的學(xué)習(xí)，可以從特例出發(fā)，通過填空的方式，使學(xué)生經(jīng)歷由具體數(shù)值到一般的k值的抽象過程，學(xué)生易于接受。這里可以借助信息技術(shù)工具（如：幾何畫板），建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，畫出任意角，并測出角的大小，同時旋轉(zhuǎn)角的終邊，讓學(xué)生觀察角的變化規(guī)律，從而將數(shù)與形聯(lián)系起來，使角的幾何表示和集合表示相集合。

五．教學(xué)支持條件分析

借助信息技術(shù)工具（如：幾何畫板），制作課件?！究蓞⒖既嗣窠逃霭嫔缗涮住督處熡脮泛蟮墓獗P中數(shù)學(xué)4的資源】

1．角的推廣在角的旋轉(zhuǎn)量、旋轉(zhuǎn)方向上給學(xué)生以動態(tài)的體會；

2．動態(tài)的表現(xiàn)角的終邊旋轉(zhuǎn)過程，有利于學(xué)生觀察到角的變化與終邊的位置關(guān)系，從特殊到一般，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并驗證終邊相同的角的表示方法。六．教學(xué)過程設(shè)計 1．教學(xué)程序與環(huán)節(jié)設(shè)計

創(chuàng)設(shè)情境

↓ 組織探究

↓ 例題分析

↓ 嘗試練習(xí)

↓ ——

——

——

——

實際問題出發(fā)，激起學(xué)生的求知欲望。角的概念的推廣，象限角的定義、終邊相同的角的表示方法。

通過例題，進一步理解任意角、象限角和終邊相同的角。

象限角的判斷、終邊相同的角的表示方法。讓學(xué)生復(fù)習(xí)本節(jié)主要內(nèi)容，完善學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，體會數(shù)學(xué)思想方法。

作業(yè)與反饋，關(guān)注學(xué)生的能力差異。在實際生活中體驗數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。小結(jié)與反思 ——

↓ 評價設(shè)計

↓ 課外活動

——

——

2．教學(xué)過程與操作設(shè)計：

環(huán)節(jié) 創(chuàng) 教學(xué)內(nèi)容設(shè)計

設(shè)計意圖 提出問題，引發(fā)學(xué)生的認識沖突，說明角的概念擴展的必要性

師生雙邊互動

學(xué)生：針對上述問題，組織學(xué)生進行討論。學(xué)生容易回答前面一個問題，但在回答后面一個問題是會發(fā)現(xiàn)問題，從而引起認知沖突。思考:你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準(zhǔn)的？假如你的手表 快了1.25小時，你應(yīng)當(dāng)如何將它校準(zhǔn)？當(dāng)時間校準(zhǔn)以后，分針轉(zhuǎn)了設(shè)

多少度？

情

境

教師：[取出一個鐘表,實際操作]我們發(fā)現(xiàn)，校正過程中分針需要順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)，有時轉(zhuǎn)不到一周，有時轉(zhuǎn)一周以上,這就是說角已不僅僅局限于00～3600之間，這正是我們這節(jié)課要研究的主要內(nèi)容——任意角.1．任意角概念的引入

回顧已有知識 教師：提出問題

學(xué)生：回答問題

教師：[展示課件]角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位

置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖⑴.問題：過去我們是如何定義一 個角的？角的范圍是什么？

組 ⑵.舉出不在織

探

究

⑷.給出任意角的定義 例，并加以說明。

⑶.你認為刻畫這些角的關(guān)鍵是什么？

讓學(xué)生認識到的角的實

舉例，再說明所舉例的結(jié)合具體的實形.學(xué)生：

00角為什么不在0～360。例，感受角的概念推廣的必要性

教師：提供教材中的幾個例子。

學(xué)生：組織討論

刻畫這些角不教師：引導(dǎo)學(xué)生從旋轉(zhuǎn)量、旋轉(zhuǎn)僅要用旋轉(zhuǎn)量，還要用旋轉(zhuǎn)方向。

教師：引導(dǎo)學(xué)生通過類比正數(shù)、負數(shù)和零，定義角的正角、負角

利用新概念重和零角的概念。

新認識問題。

學(xué)生：觀察圖1.1－3，進一步認

方向這兩個方面進行思考。

2．象限角

通過嘗試探

識正角、負角。

教師：讓學(xué)生利用任意角的定義，究，由學(xué)生感回答本節(jié)開始的“思考”中的表受沒有統(tǒng)一標(biāo)的校正問題。

學(xué)生：畫圖探究，討論、交流，不難給出合理的放法。

（先讓學(xué)生以同一條射線為始邊作出下列角：210?/span>，－150?/span>，－660?/span>）

⑵.給出象限角的概念

3．終邊相同的角

探究：將角按照上述的方法放在直

探究終邊相同的角之間的關(guān)

⑴.問題：如果把角放在直角坐標(biāo)準(zhǔn)時，角的表系中，那么怎樣放比較方便、合示不方便。理？

系，理解并掌教師：在總結(jié)分析合理放法的基握改關(guān)系。礎(chǔ)上，給出象限角的概念，并說

從具體問題入手，了解終邊相同的角的關(guān)系。

然后通過具體例子使學(xué)生直接感受象限角的概念。

學(xué)生：思考每組角的數(shù)量關(guān)系。教師：引導(dǎo)學(xué)生用含有其中一個明在同一坐標(biāo)系下討論角的好處。

角坐標(biāo)系中后，給定一個角，就有 唯一的一條終邊與之對應(yīng)。反之，對于直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一條射線從具體到一ob（如圖1.1—5），以它為終邊的般，認識終邊角的關(guān)系式表示另外的角。角是否唯一？如果不唯一，那么終相同的角的關(guān)邊相同的角有什么關(guān)系？ ⑴.在直角坐標(biāo)系內(nèi)標(biāo)出

系及其表示。由幾何位置“終邊相同”210?/span>，－150?/span>角的終探討其代數(shù)特

教師：[展示課件]讓學(xué)生利用計算機在旋轉(zhuǎn)終邊的過程中發(fā)現(xiàn)

“終邊相同”的角的關(guān)系，并利邊，你有什么發(fā)現(xiàn)？它們有怎樣的征的“統(tǒng)一”。數(shù)量關(guān)系？328?/span>、－32?/span>、－392?/span>角的終邊呢？

⑵.直角坐標(biāo)系內(nèi)，角α對應(yīng)了唯一一條射線（終邊），那么是否存在與角α終邊相同的角？如果存在，如何表示？ 4．練習(xí)

教科書p6練習(xí)第1～2題 例1.在00～3600范圍內(nèi)，找出與例-950012′角終邊相同的角，并判定 題

分 它是第幾象限角.例2.寫出終邊在y軸上的角的集合.例3.寫出終邊直線在y=x上的角

通過例題，進一步理解任意角、象限角和終邊相同的角。

用集合表示出來。

學(xué)生：口答

教師：通過提問的形式向?qū)W生傳遞答案。

教師：分析、板書例1。

學(xué)生：自學(xué)例2。

教師：指出這兩個集合求并集的關(guān)鍵是把2700改寫成900+1800，然后重新組合。

師生：共同完成例3，注意k的正確取值是關(guān)鍵。析 的集合s,并把s中適合不等式-3600≤α≤7200的元素β寫出來.1．教科書p6練習(xí)第3～5題 嘗 2．補充：

學(xué)生：嘗試獨立完成練習(xí)

通過練習(xí)，掌試 ①時針經(jīng)過3小時20分，則時針握象限角的判教師：巡視，個別輔導(dǎo)

斷、終邊相同轉(zhuǎn)過的角度為，分針轉(zhuǎn)過的練 的角的表示方學(xué)生：回答結(jié)果

角度為。

法。

習(xí)教師：給出評價

②若角α是第二象限角，則180啊?i>α是第 象限角。問題：1.你知道角是如何推廣的小 嗎？象限角是如何定義的呢？

讓學(xué)生復(fù)習(xí)本學(xué)生：回答，討論交流，補充

結(jié) 2.你掌握了與角α終邊相同的角節(jié)主要內(nèi)容，的集合的表示方法嗎？

完善學(xué)生的認與

知結(jié)構(gòu)，體會3.本節(jié)課你體會到哪些數(shù)學(xué)思想教師：歸納總結(jié)，突出重點知識；

數(shù)學(xué)思想方反 方法？

解決學(xué)生的疑惑點。法。

思 4．在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，還有那些不太明白的地方？ 評 作業(yè)與反饋：

教科書p10習(xí)題1.1a組第1～3 1．題 價

2．選做題：

①.寫出終邊在坐標(biāo)軸上的角的集設(shè)

②寫出終邊在y= 合。

3．【發(fā)展要求】

上的角的集能用集合和數(shù)

2．判斷角是第幾象限角；

1．終邊相同角的表示； 關(guān)注學(xué)生的能力差異。

計 合s,并把s中適合不等式-3600≤學(xué)語言表示終α<7200的元素β寫出來.邊滿足一定條

件的角；

③若α、β的終邊關(guān)于x軸對稱，則α與β的關(guān)系是 ；若α與β的終邊關(guān)于y軸對稱，則α與β的關(guān)系是 ；若α、β的終邊關(guān)于原點對稱，則α與β的關(guān)系是。

在實際生活中1．你能舉出一些日常生活中的“大于3600的角和負角”的例子嗎？與課

同桌交流，并熟練掌握它們的表

體驗數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值

外 示，進一步理解具有相同終邊的角的特點． 活

2．【探究學(xué)習(xí)】如果角α是第二動

象限角，那么 在哪里？

探究學(xué)習(xí)，激

等角的終邊落發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

第二篇：任意角教學(xué)設(shè)計

1.1.1 任意角教學(xué)設(shè)計

設(shè)計教師 營迎

教學(xué)目標(biāo)

1．結(jié)合實例體驗角的概念推廣的必要性；能建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來論任意角，并能熟運用集合和數(shù)學(xué)符號表示終邊相同的角。

2．培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能力和形象思維能力。

3．通過任意角概念的學(xué)習(xí)，體驗角的概念擴展的必要性，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識形成過程的認識，用數(shù)學(xué)知識認識世界，從而培養(yǎng)學(xué)生善于思考，勤于動手的良好品質(zhì)。教學(xué)重難點

重點：將0～360的角的概念推廣到任意角。難點：角的概念的推廣，終邊相同角的表示。教學(xué)方法

本節(jié)教學(xué)方法采用教師引導(dǎo)下的討論法，通過多媒體課件在教師的帶領(lǐng)下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)就概念、就方法的不足之處，進而探索新的方法，形成新的概念，突出數(shù)形結(jié)合思想與方法在概念形成與形式化、數(shù)量化過程中的作用，是一節(jié)體現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯性、思想性比較強的 教學(xué)過程

00一.創(chuàng)設(shè)情境（引入）：（互動）請兩名同學(xué)起立，做由“面向黑板轉(zhuǎn)體背向黑板”的動作，在這個過程中他們各轉(zhuǎn)體了多少度？(引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的量著兩個要點)。我們會發(fā)現(xiàn)角已不僅僅局限于0～360之間，這正是我們這節(jié)課要研究的主要內(nèi)容———任意角。

二．探究新知，建立概念(1)任意角概念的引入

問題1：過去我們是如何定義一個角的？角的范圍是什么？

師生活動：教師：[展示課件]角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.問題2：你能舉出不在0～360的角的實例，并加以說明嗎

學(xué)生：舉例，再說明所舉例的角為什么不在0～360。教師：提供教材中的幾個例子。(2)概念講解

1.角的概念的推廣：

(1)定義：一條射線OA由原來的位置OA，繞著它的端點O按一定方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成了角α。其中射線OA叫角α的始邊，射線OB叫角α的終邊，O叫角α的頂點。2.正角、負角、零角概念（類比正負數(shù)的規(guī)定）

按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負角，如果一條射

00

0

四.練習(xí)

1．與-1778°的終邊相同且絕對值最小的角是___________。2．A={小于90°的角}，B={第一象限的角}則A∩B等于（）A.{銳角} C.{第一象限的角} B.{小于90°的角} D.以上說法都不對 五.小結(jié)

1.任意角的概念 2.象限角 3.終邊相同的角 4.象限角的判斷

六．思考 終邊在第一、二、三、四象限的角的集合分別如何表示？

七.作業(yè)：紅對勾訓(xùn)練1課時 八.板書設(shè)計：略 九.教學(xué)反思：

第三篇：《任意角》教學(xué)設(shè)計

《任意角》教學(xué)設(shè)計

教材分析：

本小節(jié)是人教版A版必修四第一章第一節(jié)的內(nèi)容。角的概念的考查多結(jié)合三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識進行，對求角的集合的交、并等計算技能的考查，有一定綜合性，涉及的知識點較多，不過多比較淺顯。三角函數(shù)的意義與三角函數(shù)的符號一般在最基本的層面上用選擇、填空題的形式考查。此節(jié)是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，在銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，通過具體事例，再利用單位圓進一步研究任意角的三角函數(shù)，并用集合與對應(yīng)的語言來刻畫。這樣，在研究三角函數(shù)之前，就有必要先將角的概念推廣，從而建立角的集合與實數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系。信息技術(shù)的使用可動態(tài)表現(xiàn)角的終邊旋轉(zhuǎn)的過程，有利于學(xué)生觀察到角的變化與終邊位置的關(guān)系，進而更好地了解任意角和弧度的概念，體會角的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，為

研究三角函數(shù)的周期性奠定基礎(chǔ)。

一、教學(xué)目標(biāo)：

1、知識與技能

（1）推廣角的概念、引入大于的概念；

（2）理解任意角并掌握正角、負角、零角的定義；

（3）理解象限角的概念，學(xué)會在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來討論角；并進而理解“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義；(4)掌握所有與角終邊相同的角（包括

角）的表示方法；

角和負角，要求學(xué)生掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角（5）創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度，強化學(xué)生的參與意識；（6）揭示知識背景，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；

（7）樹立運動變化觀點，深刻理解推廣后的角的概念；

2、過程與方法

通過創(chuàng)設(shè)情境：“轉(zhuǎn)體三周半，逆（順）時針旋轉(zhuǎn)”，角有大于

角、零角和旋轉(zhuǎn)方向不同所形成的角等，說明角不夠用了，引入正角、負角和零角的概念；角的概念得到推廣以后，將角放入平面直角坐標(biāo)系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出幾個終邊相同的角，畫出終邊所在的位置，找出它們的關(guān)系，探索具有相同終邊的角的表示；講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí).3、情態(tài)與價值

通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對角的概念有了一個新的認識，即有正角、負角和零角之分.角的概念推廣以后，知道角之間的關(guān)系.理解掌握終邊相同角的表示方法，學(xué)會運用運動變化的觀點認識事物.二、教學(xué)重、難點

重點: 理解正角、負角和零角的定義，掌握終邊相同角的表示法；及象限角的含義.難點: 終邊相同的角的表示.三、學(xué)法與教學(xué)用具

之前的學(xué)習(xí)使我們知道最大的角是周角,最小的角是零角.通過回憶和觀察日常生活中實際例子,把對角的理解進行了推廣.把角放入坐標(biāo)系環(huán)境中以后,了解象限角的概念.通過角終邊的旋轉(zhuǎn)掌握終邊相同角的表示方法.我們在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時,首先要弄清楚角的表示符號,以及正負角的表示.另外還有相同終邊角的集合的表示等.教學(xué)用具:電腦、電子白板，粉筆，三角板

四、教學(xué)設(shè)計 【創(chuàng)設(shè)情境】

思考:

1、初中時我們是如何定義一個角的？角的范圍是多少？

2、如果你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準(zhǔn)的？假如你的手表快了1.25 小時，你應(yīng)當(dāng)如何將它校準(zhǔn)？當(dāng)時間校準(zhǔn)以后，分針轉(zhuǎn)了多少度？

學(xué)生活動：

1、①角的第一種定義是有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角.②角的第二種定義是角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形．范圍（0°,360°）

2、[實際操作]看看我們教室的時鐘，會發(fā)現(xiàn)，校正過程中分針需要順時針方向或逆時針方向旋轉(zhuǎn)，有時轉(zhuǎn)不到一周，有時轉(zhuǎn)一周以上,這就是說之前的之間的角已經(jīng)不夠用了，這就是我們這節(jié)課要研究的主要內(nèi)容——任意角 設(shè)計意圖：形象，具體的讓學(xué)生感知角可以通過終邊不停的旋轉(zhuǎn)得到，以前的角度范圍明顯不滿足現(xiàn)實要求，所以要進一步推廣 【探究新知】

1、初中時，角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點

從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.如圖1一條射線由原來的位置著它的端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點，就形成角 叫做叫，繞

.旋轉(zhuǎn)開始時的射的頂點.記做：∠AOB或說明：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以簡記為．

圖1

2、再如在體操比賽中我們經(jīng)常聽到這樣的術(shù)語：“轉(zhuǎn)體720”（即轉(zhuǎn)體2周），“轉(zhuǎn)體1080o”（即轉(zhuǎn)體3周）、自行車車輪、兩個齒輪旋轉(zhuǎn)的示意圖等都是按照不同方向旋轉(zhuǎn)時成不同的角,要準(zhǔn)確地描述這些角，不僅要知道角形成的結(jié)果，而且要知道角形成的過程，即必須要知道旋轉(zhuǎn)量，又要知道旋轉(zhuǎn)方向。為了區(qū)別起見，我們規(guī)定:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角(positive angle),按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負角(negative angle).如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個零角(zero angle).[展示課件]看圖讀角，形象的感知任意角，理解其含義 這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角（any angle）。注意：（1）零角的終邊與始邊重合，如果是零角則 =0°；

o（2）角的概過推廣后，括正角、負零角．

3、念經(jīng)已包角和在今后的學(xué)習(xí)中，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，為此我們必須了解象限角這個概念.角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合。那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角(quadrant angle).練習(xí)：①說出下列各角分別位于第幾象限。175°，225°，-300°

②那 0°，90°，180°，270°呢？（電子白板演示）

注意:如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認為這個角不屬于任何一個象限,稱為軸線角.4、探究與發(fā)現(xiàn)

①-60°，-420°，300°與-660°的終邊有什么關(guān)系？ ② 如圖，與 終邊有什么特點，并說出角的終邊落在射線OB上的角度是2多少？答案是否唯一，為什么？（演示動畫）

分析：不難發(fā)現(xiàn)，-60°，-420°，300°與-660°的終邊相同，且-420°=-60°+（-1）×360° 300°=-60°+×360°

-660°=-60°+×360° 一般地,我們有:所有與角終邊相同的角的表示：

所有與角終邊相同的角，連同在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合終邊相同的角,連同角

在內(nèi),可構(gòu)成一個集合

S={ β | β = + k·360 °，k∈Z}，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和． 注意： ⑴

k∈Z ⑵ α是任一角；

⑶ 終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同．終邊相同的角有無限個，它們相差360°的整數(shù)倍；

⑷ 角 + k·720 °與角終邊相同，但不能表示與角終邊相同的所有角．

5、[展示投影]例題講評

例

1、下列說法是否正確，為什么？請舉例說明。（1）第二象限的角一定比第一象限的角大；（2）銳角是第一象限的角，第一象限的角是銳角 ；（3）小于90°的角是銳角；

（4）終邊相同的角有無數(shù)個，在0°～360°范圍內(nèi)與已知角β終邊相同的角有且只有一個。

分析：不要混淆“銳角”“ 第一象限的角”“小于90°的角“等概念；注意終邊在第一象限和第二象限的角，均可正可負，所以不能直接比較大小。例

2、在0°～360°范圍內(nèi)，找出與－950°12′角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角.分析：（1）用所給的角除以360，將余角作為β；（2）負角除以360，要保證余角為正角。

解：∵－950°12‘‘= 129048‘‘－3×360°

∴在0°~360°范圍內(nèi), 與－950°12‘‘角終邊相同的角是129°48‘‘, 它是第二象限角.練習(xí)①在0°到360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相等的角，并判斷它們是第幾象限角．

⑴－120° ⑵ 640 °

例

3、寫出終邊在y軸上的角的集合(用0°到360°的角表示).解：在0°~360°范圍內(nèi),在終邊在y軸上的角有兩個，90°，270° ∴與90°角終邊相同的角構(gòu)成的集合

S1={β|β=90°+k?360°，k?Z} ∴與270°角終邊相同的角構(gòu)成的集合

S2={β|β=270°+k?360°，k?Z}

={β|β=90°+180°+2k?180°，k?Z} 所以，終邊落在y軸上的角的集合為

S=S1∪S2={β|β=90°+2k?180°，k?Z}∪{β| β=90°+(2k+1)180°k?Z}

={β|β=90°+n?180°，n?Z} 例

4、寫出終邊在直線y = x上的角的集合S，并把S中適合不等式-360°≤ β <720°的元素寫出來.分析：用終邊相同的角表示集合S,然后求解不等式，取整數(shù)解。

6、[展示投影]練習(xí)

教材P5第1、2、3、4、5題.7、課堂小結(jié) ①角的定義； ②角的分類： 負角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

③象限角；

④終邊相同的角的表示法．

8、經(jīng)驗交流

1.角的概念推廣后，角的大小可以任意取值.把角放在直角坐標(biāo)系中進行研究，對于一個給定的角，都有唯一的一條終邊與之對應(yīng)，并使得角具有代數(shù)和幾何雙重意義.2.終邊相同的角有無數(shù)個，在0°～360°范圍內(nèi)與已知角β終邊相同的角有且只有一個.用β除以360°，若所得的商為整數(shù)k，余數(shù)為α（α必須是正數(shù)），則α即為所找的角.五、作業(yè)：

教材P9習(xí)題1.1 A組 1、2、3 思考題：

（1）終邊落在軸正半軸上的角的集合如何表示？終邊落在軸正半軸上的角的集合如何表示？

（2）終邊落在坐標(biāo)軸上的角的角的集合如何表示？（3）各象限角的范圍如何表示？

第四篇：高任意角教學(xué)設(shè)計

任意角教學(xué)設(shè)計 一．學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角的概念，理解并掌握正角，負角以，零角以及終邊相同角的概念

2.掌握終邊相同角的表示方法。

3.理解推廣過后的角的概念 二．教學(xué)重點，難點

重點：理解并掌握正角負角零角的概念和終邊相同角的表示方法。

難點：終邊相同角的表示 三．教學(xué)方法

講授法，討論法，課件演示法 四．教學(xué)過程

教師問：1.初中我們所學(xué)的角是怎么定義的？角的范圍為多少？

2.在實際生活中是否所有的角的范圍都在我們所定義的范圍內(nèi)？

學(xué)生答：1.從一個點出發(fā)引出的兩條射線構(gòu)成的幾何圖形,范圍00,3600

教師引入：現(xiàn)實中其它角

1.體操上有直體后空翻轉(zhuǎn)體720度的高難度動作,直體前空翻轉(zhuǎn)體360o接直體前空翻轉(zhuǎn)體540度,俄式挺身轉(zhuǎn)體1080度,“程菲跳”。

2.教室里的鐘表分針，時針轉(zhuǎn)過的角度。

總結(jié)：上面的實例中，已經(jīng)形成了更大范圍內(nèi)的角，這些角顯然超過了我們的認識范圍，那

么我們應(yīng)該怎樣重新定義角，并研究這些角的分類？這將是我們這節(jié)課所要學(xué)習(xí)的。角的定義：

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形.如課件上所示。

角的分類：

正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角.零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)形成的角.負角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

??注意：⑴在不引起混淆的情況下，“角?a ”或“∠?a ”可以簡寫成“?a ”；

⑵零角的終邊與始邊重合，如果a角是零角，則?a= 0°；

⑶角的概念經(jīng)過推廣后，已包括正角、負角和零角． 練習(xí)：課件所示填一填 第二個內(nèi)容： 象限角的概念：

定義：若將角頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么角的終邊(端點除外)在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角．(注：若角的終邊落于坐標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個象限稱為軸線角）例1．圖⑴中的角分別表示多少度，并屬于第幾象限角？

練習(xí)1．在同一直角坐標(biāo)系中，畫出圖形并指出它們是第幾象限的角 終邊相同的角：觀察上面練習(xí)的角390°，-330°和30°的角有什么關(guān)系？ 兩個角和30°的角的終邊相同

思考：終邊相同的角有什么特點？（都相差整數(shù)個周角）

終邊相同的角都可以表示成一個0°到360°的角與k個周角的和 390°=30°+360°

-330°=30°-360°

30°=30°-0*360°

1470°=30°+4*360°

終邊相同的角的表示：所有與角a終邊相同的角，連同?在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{b| b?=a+k·360 °, k∈Z }，即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和

注意：⑴

k∈Z，⑵ a是任意角⑶ 終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同．終邊相同的角有無限個，它們相差360°的整數(shù)倍；

例2．在0°到360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相等的角，并判斷它們是第幾象限角．

練習(xí)2：1.在0°到360°的范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角.（1）-1050 °；

（2）395°；

2.在-720°到720°的范圍內(nèi)，找出與45°終邊相同的角 五．課堂小結(jié)

1.角的定義2.角的分類：正角、零角、負角3.象限角4.終邊相同的角的表示法．

第五篇：任意角的三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計

《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)設(shè)計

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課是三角函數(shù)這一章里最重要的一節(jié)課，它是本章的基礎(chǔ)，主要是從通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數(shù)的定義。在《課程標(biāo)準(zhǔn)》中：三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》還要求我們借助單位圓去理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。

二、學(xué)生情況分析

本課時研究的是任意角的三角函數(shù)，學(xué)生在初中階段曾經(jīng)研究過銳角三角函數(shù)，其研究范圍是銳角；其研究方法是幾何的，沒有坐標(biāo)系的參與；其研究目的是為解直角三角形服務(wù)。以上三點都是與本課時不同的，因此在教學(xué)過程中要發(fā)展學(xué)生的已有認知經(jīng)驗，發(fā)揮其正遷移。

三、教學(xué)目標(biāo)

知識與技能目標(biāo):借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義；能根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出具體的角的各三角函數(shù)值；能根據(jù)定義探究出三角函數(shù)值在各個象限的符號。

方法與過程目標(biāo):在定義的學(xué)習(xí)及概念同化和精致的過程中培養(yǎng)學(xué)生類比、分析以及研究問題的能力。

情感態(tài)度與價值觀: 在定義的學(xué)習(xí)過程中滲透數(shù)形結(jié)合的思想。

四、教學(xué)重、難點分析：

重點：理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。難點：引導(dǎo)學(xué)生將任意角的三角函數(shù)的定義同化，幫助學(xué)生真正理解定義。

五、教學(xué)方法與策略：

教學(xué)中注意用新課程理念處理教材，采用學(xué)生自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)，師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用，引導(dǎo)學(xué)生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程.根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容、高一學(xué)生認知特點，本節(jié)課采用“啟發(fā)探索、講練結(jié)合”的方法組織教學(xué).六、教具、教學(xué)媒體準(zhǔn)備：

為了加強學(xué)生對三角函數(shù)定義的理解，幫助學(xué)生克服在理解定義過程中可能遇到的障礙，本節(jié)課準(zhǔn)備在計算機的支持下，利用幾何畫板動態(tài)地研究任意角三角函數(shù)與它的終邊上點的坐標(biāo)的關(guān)系，構(gòu)建有利于學(xué)生建立概念的“多元聯(lián)系表示”的教學(xué)情境，使學(xué)生能夠更好地數(shù)形結(jié)合地進行思維．

七、教學(xué)過程

（一）教學(xué)情景

1．復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)的定義

問題1：在初中，我們已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)．如圖（課件2）在直角△ABC中，∠B是直角，那么根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，銳角A的正弦、余弦和正切分別是什么？

設(shè)計意圖：幫助學(xué)生回顧初中銳角三角函數(shù)的定義．

師生活動：教師提出問題，學(xué)生回答． 2．認識任意角三角函數(shù)的定義

問題2：在上節(jié)教科書的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)將角的概念推廣到了任意角，現(xiàn)在所說的角可以是任意大小的正角、負角和零角．那么任意角的三角函數(shù)又該怎樣定義呢？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生將銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù)．

師生活動：在教學(xué)中，可以根據(jù)學(xué)生的實際情況，利用下列問題引導(dǎo)學(xué)生進行思考：

（1）能不能繼續(xù)在直角三角形中定義任意角的三角函數(shù)？ 以此來引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)定義任意角的三角函數(shù)．

（2）在上節(jié)教科書中，將銳角的概念推廣到任意角時，我們是把角放在哪里進行研究的？

進一步引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)定義任意角的三角函數(shù)．在此基礎(chǔ)上，組織學(xué)生討論。

（3）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，如何定義任意角的三角函數(shù)呢？

（4）終邊是OP的角一定是銳角嗎？如果不是，能利用直角三角形的邊長來定義嗎？如圖3，如果角θ的終邊不在第I象限又該怎么辦？

問題3：大家現(xiàn)在能不能給出任意角三角函數(shù)的定義了？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生在定義銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，進一步給出任意角三角函數(shù)的定義．

師生活動：由學(xué)生給出任意角三角函數(shù)的定義，教師進行整理．

問題4：你能否給出正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域？ 設(shè)計意圖：通過利用定義求定義域，既完善了三角函數(shù)概念的內(nèi)容，同時又可幫助學(xué)生進一步理解三角函數(shù)的概念．

師生活動：學(xué)生求出定義域，教師進行整理． 例1：（題目在課件8中）

設(shè)計意圖：從最簡單的問題入手，通過變式，讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何利用定義求不同情況下函數(shù)值的問題，進而加深對定義的理解，加強定義應(yīng)用中與幾何的聯(lián)系，體會數(shù)形結(jié)合的思想．

3．練習(xí)（在課件9中）

設(shè)計意圖：通過應(yīng)用三角函數(shù)的定義，加強對三角函數(shù)概念的理解． 4．小結(jié)

問題5：銳角三角函數(shù)與解直角三角形直接相關(guān)，初中我們是利用直角三角形邊的比值來表示其銳角的三角函數(shù)．通過今天的學(xué)習(xí)，我們知道任意角的三角函數(shù)雖然是銳角三角函數(shù)的推廣，但它與解三角形已經(jīng)沒有什么關(guān)系了．你能再回顧一下任意角三角函數(shù)的定義嗎？

設(shè)計意圖：回顧和總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容．

八、作業(yè)設(shè)計：

教科書P106習(xí)題1.2題．

設(shè)計意圖：根據(jù)本節(jié)課所涉及到的三角函數(shù)定義應(yīng)用的幾個方面，從教科書中選擇作業(yè)題．試圖通過作業(yè)，讓學(xué)生進一步理解三角函數(shù)的概念，并從中評價學(xué)生對三角函數(shù)概念理解的情況．

九、教學(xué)反思：

上述教學(xué)設(shè)計及具體教學(xué)實施過程我認為有以下幾點意義：

1.教學(xué)設(shè)計緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，重點放在任意角的三角函數(shù)的理解上。背景創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生的認知特點和學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律——具體到抽象，現(xiàn)象到本質(zhì)，特殊到一般，這樣有利學(xué)生的思考。

2.情景設(shè)計的數(shù)學(xué)模型很好地融合初中對三角函數(shù)的定義，也能很好引入在直角坐標(biāo)系中，很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡，同時能夠揭示函數(shù)的本質(zhì)。

3.通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，讓學(xué)生在情境中活動，在活動中體驗數(shù)學(xué)與自然和社會的聯(lián)系、新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，在體驗中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的價值，它滲透了蘊涵在知識中的思想方法和研究性學(xué)習(xí)的策略，使學(xué)生在理解數(shù)學(xué)的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展。這和課程標(biāo)準(zhǔn)的理念是一致的。