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      高一數(shù)學(xué) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和(二)教案(最終五篇)

      時(shí)間:2019-05-12 16:44:23下載本文作者:會(huì)員上傳
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      第一篇:高一數(shù)學(xué) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和(二)教案

      湖南省師范大學(xué)附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)教案:等差數(shù)列前n項(xiàng)和

      (二)教材:等差數(shù)列前n項(xiàng)和

      (二)目的:使學(xué)生會(huì)運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式解決有關(guān)問(wèn)題,從而提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。過(guò)程:

      一、復(fù)習(xí):等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式

      二、例一 在等差數(shù)列?an?中 已知S8?48 S12?168 求a1和d;

      解:??8a1?28d?48 ?a1??8 d?4

      ?12a1?66d?168 已知a3?a5?40,求S17.

      2解:∵a1?a17?a3?a15?40

      ∴S17?17(a1?a17)17?40??340 例二 已知?an?,?bn?都成AP,且 a1?5,b1?15,a100?b100?100試求數(shù) 列?an?bn?的前100項(xiàng)之和S100.

      解:S100?100?(a1?a1?a100?b100)100?(5?15?100)??6000 例三 一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)之和為354,前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)之比為32:27,求公差。12?11?12a?d?3541?2?6?5??2d

      解一:設(shè)首項(xiàng)為a1,公差為d 則?6(a1?d)? ?d?5

      322??17?6a?6?5?2d1?2??S奇?S偶?354?S偶?192?32 解二:?S偶 ?? 由 S偶?S奇?6d ?d?5 ??S奇?162?S27?奇 例四 已知:an?1024?lg21?n(lg2?0.3010)n?N* 問(wèn)多少項(xiàng)之和為最 大?前多少項(xiàng)之和的絕對(duì)值最?。?/p>

      解:1 ??an?1024?(1?n)lg2?0

      ?an?1?1024?nlg2?010241024?n??1?3401?n?3403 ∴n?3402 lg2lg2 ? 2 Sn?1024n?n(n?1)(?lg2)?0 2 當(dāng)Sn?0或Sn近于0時(shí)其和絕對(duì)值最小

      令:Sn?0 即 1024+ 得:n?n(n?1)(?lg2)?0 22048?1?6804.99 lg2 ∵ n?N* ∴n?6805

      例五 項(xiàng)數(shù)是2n的等差數(shù)列,中央兩項(xiàng)為an和an?1是方程x2?px?q?0的 兩根,求證此數(shù)列的和是方程 lg2x?(lgn2?lgp2)lgx?(lgn?lgp)2?0 的根。(S2n?0)

      解:依題意:an?an?1?p

      ∵a1?a2n?an?an?1?p ∴S2n?2n(a1?a2n)?np ∵lg2x?(lgn2?lgp2)lgx?(lgn?lgp)2?0

      ∴(lgx?lgnp)2?0 ∴x?np?S2n(獲證)

      例六(機(jī)動(dòng),作了解)求和 1 1?111???? 1?21?2?31?2?3???n 解:an?1211??2(?)

      1?2?3???nn(n?1)nn?1 ∴ Sn?2?(1?)?(?)???(?)??2(1?)?223nn?1n?1n?1?? 2(100?99)?(98?97)???(4?3)?(2?1)22222222?11111?12n 解:原式=199?195???7?3?

      三、作業(yè) 《精編》P167-168 6、7、8、9、10

      (199?3)?50?101?50?5050 2

      第二篇:等差數(shù)列前n項(xiàng)和教案

      等差數(shù)列前n項(xiàng)和教案

      一、教材分析

      1、教材內(nèi)容:等差數(shù)列前n項(xiàng)求和過(guò)程以及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。

      2.教材所處的地位和作用:本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是等差數(shù)列前n項(xiàng)和,與前面學(xué)過(guò)

      的等差數(shù)列的定義、性質(zhì)等內(nèi)容有著密切的聯(lián)系,又能為后面等比數(shù)列前n

      項(xiàng)和以及數(shù)列求和做鋪墊。

      3、教學(xué)目標(biāo)

      (1)知識(shí)與技能:掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,理解公式的推導(dǎo)方法。同時(shí)能

      熟練、靈活地應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決問(wèn)題。

      (2)過(guò)程與方法:經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過(guò)程,體驗(yàn)倒序相加進(jìn)行求和的過(guò)程,學(xué)會(huì)

      觀察、歸納、反思。體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法。

      (3)情感、態(tài)度、價(jià)值觀:通過(guò)具體、生動(dòng)的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的引入,激發(fā)學(xué)生探

      究求和方法的興趣,樹立學(xué)生求知意識(shí),產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感,逐步養(yǎng)

      成科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度,提高一般公式推理的能力。

      4、重點(diǎn)與難點(diǎn)

      重點(diǎn):等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的掌握與應(yīng)用。

      難點(diǎn):等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)以及其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想的掌握。

      二、學(xué)情分析

      學(xué)生前幾節(jié)已經(jīng)學(xué)過(guò)一些數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法,還學(xué)了等差數(shù)列的定

      義以及性質(zhì),對(duì)等差數(shù)列已經(jīng)有了一定程度的認(rèn)識(shí)。這些知識(shí)也為這節(jié)的等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式做準(zhǔn)備,讓學(xué)生能更容易理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程。同時(shí)也為后面的等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式做鋪墊。但由于數(shù)列形式多樣,因此僅僅掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式還是不夠的,更應(yīng)該學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用。

      三、教學(xué)方法:?jiǎn)l(fā)引導(dǎo),探索發(fā)現(xiàn)

      四、教學(xué)過(guò)程

      1.教學(xué)環(huán)節(jié):創(chuàng)設(shè)情境

      教學(xué)過(guò)程:200多年前,高斯的算術(shù)老師提出了下面的問(wèn)題: 1?2?3???100??。據(jù)說(shuō),當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí),10歲的高斯迅速得出5050這個(gè)答案。讓同學(xué)思考并討論高斯是怎么算的。

      設(shè)計(jì)意圖:由著名的德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯的例子引發(fā)同學(xué)們的思考,為下面引入倒序相加法求和做準(zhǔn)備。2.教學(xué)環(huán)節(jié):介紹倒序相加法

      教學(xué)過(guò)程:請(qǐng)同學(xué)將自己的計(jì)算方法在課上發(fā)表,老師接著介紹倒序相加

      法。記S?1?2?3???10098???1S?100?99?,從而發(fā)現(xiàn)每一列相加都得101。

      則2S?(1?100)?(2?99)?(3?98)???(100?1)?101*100

      S?101*1002?5050

      類似地,用同樣的方法計(jì)算1,2,3,?,n,?的前n項(xiàng)和,可以得到 1?2?3???n?(n?1)n。2 設(shè)計(jì)意圖:介紹倒序相加法,并用這個(gè)方法計(jì)算1,2,3,?,n,?的前n 項(xiàng)和,從而為下面推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式做鋪墊。

      3.教學(xué)環(huán)節(jié):推導(dǎo)公式

      教學(xué)過(guò)程:首先介紹數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和,用Sn來(lái)表示,即

      Sn?a1?a2?a3???an。對(duì)于公差為d的等差數(shù)列,我們用兩種方法表示Sn。Sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)???[a1?(n?1)d]Sn?an?(an?d)?(an?2d)???[an?(n?1)d]

      則兩式相加得:

      2Sn?(a1?an)?(a1?an)?(a1?an)???(a1?an)?n(a1?an)

      ???????????????????n個(gè)n(a1?an),將等差數(shù)列的通項(xiàng)公2n(n?1)d。式an?a1?(n?1)d代入,得到公式Sn?na1?2 推導(dǎo)出等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式為Sn? 設(shè)計(jì)意圖:用倒序相加法推導(dǎo)得到等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,由于有前面的鋪墊讓學(xué)生更容易理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程,對(duì)后面的應(yīng)用也有幫助。

      4、教學(xué)環(huán)節(jié):例題講解

      教學(xué)過(guò)程:例1:用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式計(jì)算1+3+5+?+99的值。

      例2:a1?1,a8?6,求這個(gè)等差數(shù)列的前8項(xiàng)和S8以及公

      差d。例3:已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn?n2?n,求這個(gè)數(shù)列 的通項(xiàng)公式。這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是,它的首項(xiàng)與公差分別是什么?

      設(shè)計(jì)意圖:鞏固等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,加深學(xué)生對(duì)該公式的印象。6.教學(xué)環(huán)節(jié):回顧總結(jié)

      教學(xué)過(guò)程:

      1、倒序相加法進(jìn)行求和的思想

      2、復(fù)習(xí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn? Sn?na1?n(a1?an)和 2n(n?1)強(qiáng)調(diào)要根據(jù)條件選用適當(dāng)?shù)墓竭M(jìn) d,行求解。以及公式的適用范圍。7.教學(xué)環(huán)節(jié):布置作業(yè)

      七、板書設(shè)計(jì)

      1、問(wèn)題的提出

      2、倒序相加法

      3、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

      4、例題

      5、回顧總結(jié)

      6、布置作業(yè)

      第三篇:等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案

      等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

      (一)教學(xué)目標(biāo)

      1.知識(shí)與技能:通過(guò)實(shí)例,理解等差數(shù)列的概念;探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;能在具體的問(wèn)題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題;體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。

      2.過(guò)程與方法:通過(guò)對(duì)歷史有名的高斯求和的介紹,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這個(gè)規(guī)律;由學(xué)生建立等差數(shù)列模型用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題,進(jìn)行等差數(shù)列通項(xiàng)公式應(yīng)用的實(shí)踐操作并在操作過(guò)程中,通過(guò)類比函數(shù)概念、性質(zhì)、表達(dá)式得到對(duì)等差數(shù)列相應(yīng)問(wèn)題的研究。

      3.情態(tài)與價(jià)值:培養(yǎng)學(xué)生利用學(xué)過(guò)的知識(shí)解決與現(xiàn)實(shí)有關(guān)的問(wèn)題的能力。

      (二)教學(xué)重、難點(diǎn)

      重點(diǎn):探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式;學(xué)會(huì)用公式解決一些實(shí)際問(wèn)題,體會(huì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與二次函數(shù)之間的聯(lián)系。

      難點(diǎn):等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的獲得,靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單的有關(guān)問(wèn)題

      (三)學(xué)法與教學(xué)用具

      學(xué)法:講練結(jié)合 教學(xué)用具:投影儀

      (四)教學(xué)設(shè)想

      [創(chuàng)設(shè)情景]

      等差數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中比較常見,因此等差數(shù)列求和就成為我們?cè)趯?shí)際生活中經(jīng)常遇到的問(wèn)題。在200多年前,歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一,被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”的高斯就曾經(jīng)上演了迅速求出等差數(shù)列這么一出好戲。那時(shí),高斯的數(shù)學(xué)老師提出了下面的問(wèn)題:1+2+3+??+100=?當(dāng)時(shí),當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí),10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案:(1+100)+(2+99)+??+(50+51)=101×50=5050 高斯的算法實(shí)際上解決了求等差數(shù)列1,2,3,?,n,?前100項(xiàng)的和的問(wèn)題。

      今天我們就來(lái)學(xué)習(xí)如何去求等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和。

      [探索研究]

      我們先來(lái)看看人們由高斯求前100個(gè)正整數(shù)的方法得到了哪些啟發(fā)。人們從高斯那里受到啟發(fā),于是用下面的這個(gè)方法計(jì)算1,2,3,?,n,?的前n項(xiàng)的和:

      由 1 + 2 + ? + n-1 + n n + n-1 + ? + 2 + 1(n+1)+(n+1)+ ? +(n+1)+(n+1)

      可知

      上面這種加法叫“倒序相加法”

      請(qǐng)同學(xué)們觀察思考一下:高斯的算法妙在哪里?

      高斯的算法很巧妙,他發(fā)現(xiàn)了整個(gè)數(shù)列的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和與首項(xiàng)與尾項(xiàng)的和是相等的這個(gè)規(guī)律并且把這個(gè)規(guī)律用于求和中。這種方法是可以推廣到求一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的。

      [等差數(shù)列求和公式的教學(xué)]

      一般地,稱

      1、思考:受高斯的啟示,我們這里可以用什么方法去求和呢?

      思考后知道,也可以用“倒序相加法”進(jìn)行求和。我們用兩種方法表示

      為數(shù)列的前n項(xiàng)的和,用

      表示,即 ①

      由①+②,得

      由此得到等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式

      對(duì)于這個(gè)公式,我們知道:只要知道等差數(shù)列首項(xiàng)、尾項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)就可以求等差數(shù)列前n項(xiàng)和了。

      2、除此之外,等差數(shù)列還有其他方法(讀基礎(chǔ)教好學(xué)生要介紹)

      當(dāng)然,對(duì)于等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo),也可以有其他的推導(dǎo)途徑。例如:

      =

      =

      =

      =

      這兩個(gè)公式是可以相互轉(zhuǎn)化的。把代入中,就可以得到 引導(dǎo)學(xué)生思考這兩個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特征得到:第一個(gè)公式反映了等差數(shù)列的任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這個(gè)內(nèi)在性質(zhì)。第二個(gè)公式反映了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與它的首項(xiàng)、公差之間的關(guān)系,而且是關(guān)于n的“二次函數(shù)”,可以與二次函數(shù)進(jìn)行比較。這兩個(gè)公式的共同點(diǎn)都是知道點(diǎn)是第一個(gè)公式還需知道條件決定選用哪個(gè)公式。

      [公式運(yùn)用]

      (課本52頁(yè)練習(xí)1、2)

      1、根據(jù)下列各題中的條件,求相應(yīng)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和S.和n,不同,而第二個(gè)公式是要知道d,解題時(shí)還需要根據(jù)已知⑴

      [例題分析]

      例1、2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的統(tǒng)治》.某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo):從2001年起用10年時(shí)間,在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng).據(jù)測(cè)算,2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬(wàn)元.為了保證工程的順利實(shí)施,計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬(wàn)元.那么從2001年起的未來(lái)10年內(nèi),該市在“校校通”工程中的總投入是多少?

      ⑴、先閱讀題目;

      ⑵、引導(dǎo)學(xué)生提取有用的信息,構(gòu)件等差數(shù)列模型;

      ⑶、寫這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差,并根據(jù)首項(xiàng)和公差選擇前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解。

      解:根據(jù)題意,從2001-2010年,該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)都比上一年增加50萬(wàn)元.所以,可以建立一個(gè)等差數(shù)列投入的資金,其中,表示從2001年起各年,d=50.那么,到2010年(n=10),投入的資金總額為

      (萬(wàn)元)

      答:從2001~2010年,該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬(wàn)元.例2.已知一個(gè)等差數(shù)列

      前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和是1220.由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式嗎?

      引導(dǎo)學(xué)生分析得到:等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式就是一個(gè)關(guān)于的方程。若要確定其前n項(xiàng)求和公式,則要確定關(guān)系式,從而求得。

      分析:將已知條件代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式后,可得到兩個(gè)關(guān)于的二元一次方程,由此可以求得

      與d,從而得到所求前n項(xiàng)和的公式.與d的 解:由題意知,將它們代入公式

      得到

      解這個(gè)關(guān)于與d的方程組,得到=4,d=6,所以

      另解:

      所以

      ②-①,得,所以

      代入①得:

      所以有

      例題評(píng)述:此例題目的是建立等差數(shù)列前n項(xiàng)和與解方程之間的聯(lián)系.已知幾個(gè)量,通過(guò)解方程,得出其余的未知量.例3 已知數(shù)列的前n項(xiàng)為,求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是,它的首項(xiàng)與公差分別是什么?

      解:根據(jù)

      與 可知,當(dāng)n>1時(shí),①

      當(dāng)n=1時(shí),也滿足①式.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.由此可知,數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為,公差為2的等差數(shù)列。

      這個(gè)例題還給出了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的一個(gè)求法.已知前n項(xiàng)和出通項(xiàng),可求

      (n>1)

      用這種數(shù)列的不一定滿足由足已求出的.來(lái)確定的方法對(duì)于任何數(shù)列都是可行的,而且還要注意求出的通項(xiàng)表達(dá)式,所以最后要驗(yàn)證首項(xiàng)

      是否滿

      思考:結(jié)合例3,思考課本51頁(yè)“探究”:一般地,如果一個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和為的其中p、q、r為常數(shù),且p≠0,那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎?如果是,它的首項(xiàng)與公差分別是什么? 引導(dǎo)分析得出:觀察等差數(shù)列兩個(gè)前n項(xiàng)和公式,和,公式本身就不含常數(shù)項(xiàng)。

      所以得到:如果一個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0,且關(guān)于n的二次型函數(shù),則這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列.例4 已知等差數(shù)列的值.的前n項(xiàng)和為,求使得最大的序號(hào)n 分析:等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可以寫成,所以可以看成函數(shù)當(dāng)x=n時(shí)的函數(shù)值.另一方面,容易知道關(guān)于n的圖象是一條拋物線上的一些點(diǎn).因此,我們可以利用二次函數(shù)來(lái)求n的值.解:由題意知,等差數(shù)列的公差為,所以

      =

      于是,當(dāng)n取與最接近的整數(shù)即7或8時(shí),取最大值.[隨堂練習(xí)]課本52頁(yè)“練習(xí)”第1、2、3、4題

      [補(bǔ)充練習(xí)]

      1、已知數(shù)列差數(shù)列,設(shè)

      生:分析題意,解決問(wèn)題.解:設(shè)首項(xiàng)是,公差為d

      是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和,且S6,S12-S6,S18-S12成等

      成等差數(shù)列嗎?

      則:

      成等差數(shù)列.同理可得

      2、求集合的元素個(gè)數(shù),并求這些元素的和。

      解由m=100,得

      滿足此不等式的正整數(shù)n共有14個(gè),所以集合m中的元素共有14個(gè),從小到大可列為:

      7,7×2,7×3,7×4,?7×14

      即:7,14,21,28,?98

      這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列,記為

      其中

      解由m=100,得

      滿足此不等式的正整數(shù)n共有14個(gè),所以集合m中的元素共有14個(gè),從小到大可列為:

      7,7×2,7×3,7×4,?7×14 即:7,14,21,28,?98

      這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列,記為

      答:集合m中共有14個(gè)元素,它們和等于735

      其中

      [課堂小結(jié)] 等差數(shù)列 的前n項(xiàng)和的公式和

      也成等差數(shù)列.(五)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

      課本52頁(yè)A組第1、3、6

      思考:課本53頁(yè)B組第4題

      第四篇:等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案

      等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

      一:教材分析

      本節(jié)課內(nèi)容位于高中人教版必修五第二章第三節(jié)。它是在學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的基礎(chǔ)上來(lái)研究和討論的,是繼等差數(shù)列之后的又一重要的概念。主要利用倒序相加的方法來(lái)求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。本節(jié)內(nèi)容與函數(shù)也有著密切的聯(lián)系。通過(guò)對(duì)公式的推導(dǎo)讓學(xué)生進(jìn)一步了解與掌握從特殊到一般的研究問(wèn)題的方法,這對(duì)學(xué)生的觀察、分析、歸納、概括問(wèn)題的能力有著重要的作用。而且本節(jié)的公式推導(dǎo)為后面的等比數(shù)列前n項(xiàng)求和奠定了基礎(chǔ)。通過(guò)上一節(jié)的內(nèi)容不難知道等差數(shù)列在日常生活中比較常見,學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)也就比較得心應(yīng)手。

      二:學(xué)情分析

      學(xué)生通過(guò)上一節(jié)課的學(xué)習(xí)已經(jīng)了解的等差數(shù)列的定義,基本掌握了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其基本性質(zhì),能簡(jiǎn)單的對(duì)其運(yùn)用和計(jì)算。對(duì)高斯算法也有一定的了解,他們已具備一定的抽象邏輯思維能力,能在老師的引導(dǎo)下獨(dú)立的完成一些問(wèn)題。

      三:教學(xué)重、難點(diǎn)

      重點(diǎn):等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)

      難點(diǎn):等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的獲得以及滲透倒序相加的方法。四:教學(xué)目標(biāo)

      知識(shí)與過(guò)程:能說(shuō)出并寫出等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式,掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和運(yùn)用。

      技能與方法:從公式證明的推導(dǎo)過(guò)程體會(huì)從特殊到一般的研究方法,學(xué)會(huì)觀察、歸納、總結(jié),培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力。

      情感態(tài)度與價(jià)值觀:通過(guò)生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題,激發(fā)學(xué)生的好奇心及求知欲,增強(qiáng)學(xué)生喜歡并熱愛數(shù)學(xué)的情感。

      五:教法

      老師不僅是知識(shí)的傳授者,而且也是組織者、引導(dǎo)者與合作者,所以我采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法和講授法,通過(guò)實(shí)際生活中的具體例子創(chuàng)設(shè)情境,然后建立模型并對(duì)其探究。

      六:學(xué)法

      引導(dǎo)學(xué)生自主探索,觀察分析與歸納概括,創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生合作、探究、交流。在教學(xué)中,讓學(xué)生在問(wèn)題情境中,經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展,讓學(xué)生在觀察、操作、歸納、思考、探索、交流、反思參與的活動(dòng)中學(xué)習(xí),認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)知識(shí),學(xué)會(huì)學(xué)習(xí),發(fā)展能力。

      七:教學(xué)過(guò)程

      創(chuàng)設(shè)情境,問(wèn)題引入

      在一個(gè)建筑工地上堆放這樣一

      堆大小一樣的鋼管,共123層,第1層有一根鋼管,第2層有2根鋼管,…,第123層有123,求這堆鋼管共有多少?若在旁邊放上同樣多的鋼管,又該怎么計(jì)算呢?

      mmn'n

      nm'

      通過(guò)分析對(duì)比,并不是所有的等差數(shù)列利用首尾配對(duì)都剛好合適的。經(jīng)過(guò)同學(xué)們的觀察比較發(fā)現(xiàn),若n為偶數(shù)時(shí)兩兩剛好完全配對(duì),若n為奇數(shù)時(shí)不能完全配對(duì)。

      通過(guò)觀察引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)利用倒敘相加法計(jì)算求此等差數(shù)列前123項(xiàng)的和。S123= 2 + 3 + … + 124

      S123=124+ 123 + …+

      S123=123(2?124)兩式相加得

      高斯的算法蘊(yùn)涵著求等差數(shù)列前n項(xiàng)和一般的規(guī)律性。教學(xué)時(shí),應(yīng)給學(xué)生提供充裕的時(shí)間和空間,讓學(xué)生自己去觀察、探索發(fā)現(xiàn)這種數(shù)列的內(nèi)在規(guī)律。學(xué)生對(duì)高斯的算法是熟悉的,知道采用首尾配對(duì)的方法來(lái)求和,但估計(jì)學(xué)生對(duì)這種方法的認(rèn)識(shí)可能處于記憶階段,為了促進(jìn)學(xué)生對(duì)這種算法的進(jìn)一步理解,設(shè)計(jì)題時(shí)應(yīng)由易到難的. 引導(dǎo)發(fā)現(xiàn),公式探究

      問(wèn)題1: 1,2,3,…, n,… 的前n項(xiàng)和為多少?

      學(xué)生分組探究,老師收集學(xué)生得出的不同方法并由學(xué)生講解,盡可能地展示分類討論的倒序相加法。

      + 2 + … + n n +(n-1)+ … + 1 ___________________________________(n+1)+(n+1)+ … +(n+1)可知 1+2++3…+n=n(n+1)/2 問(wèn)題2:設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,求這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 ,則

      Sn?a1?a2???an?1?an

      由高斯算法的啟示,對(duì)于公差為d的等差數(shù)列,我們可以用以下式子表示:

      推導(dǎo): Sn?a1?a2??an?1?an

      Sn?an?an?1???a2?a1

      相加得:2Sn?n(a1?an)

      n Sn?(a1?an)2n公式一:Sn?(a1?an)

      2由an?a1?(n?1)d

      n得Sn?[a1?a1?(n?1)d]

      2n所以Sn?(a1?an)

      2n公式二:Sn?(a1?an)

      2我們將這種方法稱為倒序相加法。

      類比記憶,例題練習(xí)

      問(wèn)題3:能否給求和公式一個(gè)幾何解釋呢?

      (提示:與梯形聯(lián)系起來(lái))

      學(xué)生通過(guò)作圖并建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)解釋

      nan?(a1?an)得a1為梯形的上底,an為梯形的下底,n為梯形的高.2同理比較Sn?na1?n((n?1)d 2 例題:根據(jù)下列條件,求相應(yīng)的等差數(shù)列前n項(xiàng)的和(1)a1?100,d=-2,n=50;(2)a??4,a8??18,n=8;例題:

      1:已知一個(gè)等差數(shù)列{an}前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和是1220,由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和嗎? 練習(xí)

      12: 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn?n?n,求這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)

      22列嗎?如果是,它的首項(xiàng)與公差分別是什么?

      3:已知等差數(shù)列5,4,3,…的前n項(xiàng)和為sn,求使得n最大

      2747s的序號(hào)n的值。

      知識(shí)梳理,歸納總結(jié) 1:體會(huì)倒序相加的算法.2:掌握等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式,領(lǐng)會(huì)方程(組)思 想。3:將等差數(shù)列前n項(xiàng)和與梯形面積聯(lián)系記憶。

      第五篇:高一數(shù)學(xué)《2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(一)》

      湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教案

      第二章 數(shù)列

      2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

      (一)一、教學(xué)目標(biāo)

      1、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

      2、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其獲取思路;

      3、會(huì)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些簡(jiǎn)單的與前n項(xiàng)和有關(guān)的問(wèn)題.

      二、教學(xué)重點(diǎn):等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的理解、推導(dǎo)及應(yīng)用.

      教學(xué)難點(diǎn):靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單的有關(guān)問(wèn)題.

      三、教學(xué)過(guò)程

      (一)、復(fù)習(xí)引入:

      1.等差數(shù)列的定義: an-an?1=d,(n≥2,n∈N)2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:

      (1)an?a1?(n?1)d

      (2)an?am?(n?m)d

      (3)an=pn+q(p、q是常數(shù))3.幾種計(jì)算公差d的方法:① d?an-an?

      1② 4.等差中項(xiàng):A?a?b2?a,b,成等差數(shù)列

      d?an?a1n?1?

      d?an?amn?m

      5.等差數(shù)列的性質(zhì): m+n=p+q ?am?an?ap?aq(m, n, p, q ∈N)6.?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和:數(shù)列?an?中,a1?a2?a3???an稱為數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和,記為Sn.“小故事”1、2、3 高斯是偉大的數(shù)學(xué)家,天文學(xué)家,高斯十歲時(shí),有一次老師出了一道題目,老師說(shuō): “現(xiàn)在給大家出道題目:

      1+2+…100=?”

      過(guò)了兩分鐘,正當(dāng)大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10…算得不亦樂(lè)乎時(shí),高斯站起來(lái)回答說(shuō): “1+2+3+…+100=5050.” 教師問(wèn):“你是如何算出答案的?” 高斯回答說(shuō):“因?yàn)?+100=101;

      2+99=101;…50+51=101,所以

      101×50=5050”

      這個(gè)故事告訴我們:

      (1)作為數(shù)學(xué)王子的高斯從小就善于觀察,敢于思考,所以他能從一些簡(jiǎn)單的事物中發(fā)現(xiàn)和尋找出某些規(guī)律性的東西.(2)該故事還告訴我們求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的一種很重要的思想方法,這就是下面我們要介紹的“倒序相加”法.

      二、講解新課:

      1.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1:Sn?n(a1?an)2

      證明:

      Sn?a1?a2?a3???an?1?an

      Sn?an?an?1?an?2???a2?a

      1②

      ①+②:2Sn?(a1?an)?(a2?an?1)?(a3?an?2)???(an?an)湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教案

      第二章 數(shù)列

      ∵a1?an?a2?an?1?a3?an?2???

      n(a1?an)

      2∴2Sn?n(a1?an)

      由此得:Sn?.

      2. 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2:Sn?na1?n(n?1)d2

      用上述公式要求Sn必須具備三個(gè)條件:n,a1,an.

      但an?a1?(n?1)d

      代入公式1即得: Sn?na1?

      此公式要求Sn必須已知三個(gè)條件:n,a1,d

      總之:兩個(gè)公式都表明要求Sn必須已知n,a1,d,an中三個(gè). 公式二又可化成式子: Sn?d2n?(a1?2n(n?1)d2

      d2)n,當(dāng)d≠0,是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式.

      三、例題講解

      1、(1)已知等差數(shù)列{an}中, a1 =4, S8 =172,求a8和d;(2)等差數(shù)列-10,-6,-2,2,…前多少項(xiàng)的和是54? 解:(1)172?8(4?a8)2?a8?39

      39?4?(8?1)d?d?5

      (2)設(shè)題中的等差數(shù)列為?an?,前n項(xiàng)為Sn

      則 a1??10,d?(?6)?(?10)?4,Sn?54 由公式可得?10n?n(n?1)2?4?54.解之得:n1?9,n2??3(舍去)

      ∴等差數(shù)列-10,-6,-2,2…前9項(xiàng)的和是54. 例

      2、教材P43面的例1 解:

      例3.求集合M??m|m?7n,n?N*且m?100?的元素個(gè)數(shù),并求這些元素的和.

      解:由7n?100得 n?1007?1427

      ∴正整數(shù)n共有14個(gè)即M中共有14個(gè)元素

      即:7,14,21,…,98 是a1?7為首項(xiàng)a14?98等差數(shù)列.

      ∴ Sn?14?(7?98)2?73

      5答:略.

      4、等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn,若S12?84,S20?460,求S28.(學(xué)生練?學(xué)生板書?教師點(diǎn)評(píng)及規(guī)范)

      練習(xí):⑴在等差數(shù)列?an?中,已知a3?a99?200,求S101.⑵在等差數(shù)列?an?中,已知a15?a12?a9?a6?20,求S20.湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教案

      第二章 數(shù)列

      例4.已知等差數(shù)列{an}前四項(xiàng)和為21,最后四項(xiàng)的和為67,所有項(xiàng)的和為286,求項(xiàng)數(shù)n.?a1?a2?a3?a4?21,解:依題意,得?

      a?a?a?a?67,n?1n?2n?3?n

      兩式相加得(a1?an)?(a2?an?1)?(a3?an?2)?(a4?an?3)?88, 又a1?an?a2?an?1?a3?an?2?a4?an?3,所以a1?an?22

      n(a1?an)又Sn??286,所以n=26.

      例5.已知一個(gè)等差數(shù)列{an}前10項(xiàng)和為310,前20項(xiàng)的和為1220,由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)

      列的前n項(xiàng)的和嗎?.思考:(1)等差數(shù)列中S10,S20?S10,S30?S20,成等差數(shù)列嗎?

      (2)等差數(shù)列前m項(xiàng)和為Sm,則Sm、S2m?Sm.、S3m?S2m是等差數(shù)列嗎?

      練習(xí):教材第118頁(yè)練習(xí)第1、3題.

      三、課堂小結(jié):

      1.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1:Sn?n(a1?an)2 ;

      . 2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2:Sn?na1?

      四、課外作業(yè):

      1.閱讀教材第42~44頁(yè); 2.《習(xí)案》作業(yè)十三.

      n(n?1)d2

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