第一篇：高一數(shù)學(xué) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和(二)教案

湖南省師范大學(xué)附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)教案：等差數(shù)列前n項(xiàng)和

（二）教材：等差數(shù)列前n項(xiàng)和

（二）目的：使學(xué)生會(huì)運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式解決有關(guān)問(wèn)題，從而提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式

二、例一 在等差數(shù)列?an?中 已知S8?48 S12?168 求a1和d；

解：??8a1?28d?48 ?a1??8 d?4

?12a1?66d?168 已知a3?a5?40，求S17．

2解：∵a1?a17?a3?a15?40

∴S17?17(a1?a17)17?40??340 例二 已知?an?，?bn?都成AP，且 a1?5，b1?15，a100?b100?100試求數(shù) 列?an?bn?的前100項(xiàng)之和S100．

解：S100?100?(a1?a1?a100?b100)100?(5?15?100)??6000 例三 一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)之和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)之比為32：27，求公差。12?11?12a?d?3541?2?6?5??2d

解一：設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d 則?6(a1?d)? ?d?5

322??17?6a?6?5?2d1?2??S奇?S偶?354?S偶?192?32 解二：?S偶 ?? 由 S偶?S奇?6d ?d?5 ??S奇?162?S27?奇 例四 已知：an?1024?lg21?n（lg2?0.3010）n?N* 問(wèn)多少項(xiàng)之和為最 大？前多少項(xiàng)之和的絕對(duì)值最?。?/p>

解：1 ??an?1024?(1?n)lg2?0

?an?1?1024?nlg2?010241024?n??1?3401?n?3403 ∴n?3402 lg2lg2 ? 2 Sn?1024n?n(n?1)(?lg2)?0 2 當(dāng)Sn?0或Sn近于0時(shí)其和絕對(duì)值最小

令：Sn?0 即 1024+ 得：n?n(n?1)(?lg2)?0 22048?1?6804.99 lg2 ∵ n?N* ∴n?6805

例五 項(xiàng)數(shù)是2n的等差數(shù)列，中央兩項(xiàng)為an和an?1是方程x2?px?q?0的 兩根，求證此數(shù)列的和是方程 lg2x?(lgn2?lgp2)lgx?(lgn?lgp)2?0 的根。（S2n?0）

解：依題意：an?an?1?p

∵a1?a2n?an?an?1?p ∴S2n?2n(a1?a2n)?np ∵lg2x?(lgn2?lgp2)lgx?(lgn?lgp)2?0

∴(lgx?lgnp)2?0 ∴x?np?S2n（獲證）

例六（機(jī)動(dòng)，作了解）求和 1 1?111???? 1?21?2?31?2?3???n 解：an?1211??2(?)

1?2?3???nn(n?1)nn?1 ∴ Sn?2?(1?)?(?)???(?)??2(1?)?223nn?1n?1n?1?? 2(100?99)?(98?97)???(4?3)?(2?1)22222222?11111?12n 解：原式=199?195???7?3?

三、作業(yè) 《精編》P167-168 6、7、8、9、10

(199?3)?50?101?50?5050 2

第二篇：等差數(shù)列前n項(xiàng)和教案

等差數(shù)列前n項(xiàng)和教案

一、教材分析

1、教材內(nèi)容：等差數(shù)列前n項(xiàng)求和過(guò)程以及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。

2.教材所處的地位和作用：本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是等差數(shù)列前n項(xiàng)和，與前面學(xué)過(guò)

的等差數(shù)列的定義、性質(zhì)等內(nèi)容有著密切的聯(lián)系，又能為后面等比數(shù)列前n

項(xiàng)和以及數(shù)列求和做鋪墊。

3、教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)與技能：掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，理解公式的推導(dǎo)方法。同時(shí)能

熟練、靈活地應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決問(wèn)題。

（2）過(guò)程與方法：經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過(guò)程，體驗(yàn)倒序相加進(jìn)行求和的過(guò)程，學(xué)會(huì)

觀察、歸納、反思。體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法。

（3）情感、態(tài)度、價(jià)值觀：通過(guò)具體、生動(dòng)的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的引入，激發(fā)學(xué)生探

究求和方法的興趣，樹立學(xué)生求知意識(shí)，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感，逐步養(yǎng)

成科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，提高一般公式推理的能力。

4、重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的掌握與應(yīng)用。

難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)以及其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想的掌握。

二、學(xué)情分析

學(xué)生前幾節(jié)已經(jīng)學(xué)過(guò)一些數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法，還學(xué)了等差數(shù)列的定

義以及性質(zhì)，對(duì)等差數(shù)列已經(jīng)有了一定程度的認(rèn)識(shí)。這些知識(shí)也為這節(jié)的等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式做準(zhǔn)備，讓學(xué)生能更容易理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程。同時(shí)也為后面的等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式做鋪墊。但由于數(shù)列形式多樣，因此僅僅掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式還是不夠的，更應(yīng)該學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用。

三、教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)，探索發(fā)現(xiàn)

四、教學(xué)過(guò)程

1．教學(xué)環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境

教學(xué)過(guò)程：200多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問(wèn)題： 1?2?3???100?？。據(jù)說(shuō)，當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí)，10歲的高斯迅速得出5050這個(gè)答案。讓同學(xué)思考并討論高斯是怎么算的。

設(shè)計(jì)意圖：由著名的德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯的例子引發(fā)同學(xué)們的思考，為下面引入倒序相加法求和做準(zhǔn)備。2．教學(xué)環(huán)節(jié)：介紹倒序相加法

教學(xué)過(guò)程：請(qǐng)同學(xué)將自己的計(jì)算方法在課上發(fā)表，老師接著介紹倒序相加

法。記S?1?2?3???10098???1S?100?99?，從而發(fā)現(xiàn)每一列相加都得101。

則2S?(1?100)?(2?99)?(3?98)???(100?1)?101*100

S?101*1002?5050

類似地，用同樣的方法計(jì)算1,2,3，?，n，?的前n項(xiàng)和，可以得到 1?2?3???n?(n?1)n。2 設(shè)計(jì)意圖：介紹倒序相加法，并用這個(gè)方法計(jì)算1,2,3，?，n，?的前n 項(xiàng)和，從而為下面推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式做鋪墊。

3.教學(xué)環(huán)節(jié)：推導(dǎo)公式

教學(xué)過(guò)程：首先介紹數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，用Sn來(lái)表示，即

Sn?a1?a2?a3???an。對(duì)于公差為d的等差數(shù)列，我們用兩種方法表示Sn。Sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)???[a1?(n?1)d]Sn?an?(an?d)?(an?2d)???[an?(n?1)d]

則兩式相加得：

2Sn?(a1?an)?(a1?an)?(a1?an)???(a1?an)?n(a1?an)

???????????????????n個(gè)n(a1?an)，將等差數(shù)列的通項(xiàng)公2n(n?1)d。式an?a1?(n?1)d代入，得到公式Sn?na1?2 推導(dǎo)出等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式為Sn? 設(shè)計(jì)意圖：用倒序相加法推導(dǎo)得到等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，由于有前面的鋪墊讓學(xué)生更容易理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程，對(duì)后面的應(yīng)用也有幫助。

4、教學(xué)環(huán)節(jié)：例題講解

教學(xué)過(guò)程：例1：用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式計(jì)算1+3+5+?+99的值。

例2：a1?1,a8?6，求這個(gè)等差數(shù)列的前8項(xiàng)和S8以及公

差d。例3：已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn?n2?n，求這個(gè)數(shù)列 的通項(xiàng)公式。這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？

設(shè)計(jì)意圖：鞏固等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，加深學(xué)生對(duì)該公式的印象。6．教學(xué)環(huán)節(jié)：回顧總結(jié)

教學(xué)過(guò)程：

1、倒序相加法進(jìn)行求和的思想

2、復(fù)習(xí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn? Sn?na1?n(a1?an)和 2n(n?1)強(qiáng)調(diào)要根據(jù)條件選用適當(dāng)?shù)墓竭M(jìn) d，行求解。以及公式的適用范圍。7．教學(xué)環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

七、板書設(shè)計(jì)

1、問(wèn)題的提出

2、倒序相加法

3、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

4、例題

5、回顧總結(jié)

6、布置作業(yè)

第三篇：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

（一）教學(xué)目標(biāo)

1．知識(shí)與技能:通過(guò)實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念；探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題；體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。

2.過(guò)程與方法:通過(guò)對(duì)歷史有名的高斯求和的介紹，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這個(gè)規(guī)律；由學(xué)生建立等差數(shù)列模型用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，進(jìn)行等差數(shù)列通項(xiàng)公式應(yīng)用的實(shí)踐操作并在操作過(guò)程中，通過(guò)類比函數(shù)概念、性質(zhì)、表達(dá)式得到對(duì)等差數(shù)列相應(yīng)問(wèn)題的研究。

3．情態(tài)與價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生利用學(xué)過(guò)的知識(shí)解決與現(xiàn)實(shí)有關(guān)的問(wèn)題的能力。

（二）教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；學(xué)會(huì)用公式解決一些實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與二次函數(shù)之間的聯(lián)系。

難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的獲得，靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單的有關(guān)問(wèn)題

（三）學(xué)法與教學(xué)用具

學(xué)法：講練結(jié)合 教學(xué)用具：投影儀

（四）教學(xué)設(shè)想

[創(chuàng)設(shè)情景]

等差數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中比較常見，因此等差數(shù)列求和就成為我們?cè)趯?shí)際生活中經(jīng)常遇到的問(wèn)題。在200多年前，歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”的高斯就曾經(jīng)上演了迅速求出等差數(shù)列這么一出好戲。那時(shí)，高斯的數(shù)學(xué)老師提出了下面的問(wèn)題：1+2+3+??+100=？當(dāng)時(shí)，當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí)，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：（1+100）+（2+99）+??+（50+51）=101×50=5050 高斯的算法實(shí)際上解決了求等差數(shù)列1，2，3，?，n，?前100項(xiàng)的和的問(wèn)題。

今天我們就來(lái)學(xué)習(xí)如何去求等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和。

[探索研究]

我們先來(lái)看看人們由高斯求前100個(gè)正整數(shù)的方法得到了哪些啟發(fā)。人們從高斯那里受到啟發(fā)，于是用下面的這個(gè)方法計(jì)算1，2，3，?，n，?的前n項(xiàng)的和：

由 1 + 2 + ? + n-1 + n n + n-1 + ? + 2 + 1（n+1）+（n+1）+ ? +（n+1）+（n+1）

可知

上面這種加法叫“倒序相加法”

請(qǐng)同學(xué)們觀察思考一下：高斯的算法妙在哪里？

高斯的算法很巧妙，他發(fā)現(xiàn)了整個(gè)數(shù)列的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和與首項(xiàng)與尾項(xiàng)的和是相等的這個(gè)規(guī)律并且把這個(gè)規(guī)律用于求和中。這種方法是可以推廣到求一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的。

[等差數(shù)列求和公式的教學(xué)]

一般地，稱

1、思考：受高斯的啟示，我們這里可以用什么方法去求和呢？

思考后知道，也可以用“倒序相加法”進(jìn)行求和。我們用兩種方法表示

：

為數(shù)列的前n項(xiàng)的和，用

表示，即 ①

②

由①+②，得

由此得到等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式

對(duì)于這個(gè)公式，我們知道：只要知道等差數(shù)列首項(xiàng)、尾項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)就可以求等差數(shù)列前n項(xiàng)和了。

2、除此之外，等差數(shù)列還有其他方法（讀基礎(chǔ)教好學(xué)生要介紹）

當(dāng)然，對(duì)于等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，也可以有其他的推導(dǎo)途徑。例如：

=

=

=

=

這兩個(gè)公式是可以相互轉(zhuǎn)化的。把代入中，就可以得到 引導(dǎo)學(xué)生思考這兩個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特征得到：第一個(gè)公式反映了等差數(shù)列的任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這個(gè)內(nèi)在性質(zhì)。第二個(gè)公式反映了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與它的首項(xiàng)、公差之間的關(guān)系，而且是關(guān)于n的“二次函數(shù)”，可以與二次函數(shù)進(jìn)行比較。這兩個(gè)公式的共同點(diǎn)都是知道點(diǎn)是第一個(gè)公式還需知道條件決定選用哪個(gè)公式。

[公式運(yùn)用]

（課本52頁(yè)練習(xí)1、2）

1、根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和S.和n，不同，而第二個(gè)公式是要知道d，解題時(shí)還需要根據(jù)已知⑴

⑵

[例題分析]

例1、2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的統(tǒng)治》.某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng).據(jù)測(cè)算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬(wàn)元.為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬(wàn)元.那么從2001年起的未來(lái)10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？

⑴、先閱讀題目；

⑵、引導(dǎo)學(xué)生提取有用的信息，構(gòu)件等差數(shù)列模型；

⑶、寫這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，并根據(jù)首項(xiàng)和公差選擇前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解。

解：根據(jù)題意，從2001-2010年，該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)都比上一年增加50萬(wàn)元.所以，可以建立一個(gè)等差數(shù)列投入的資金，其中，表示從2001年起各年，d=50.那么，到2010年（n=10），投入的資金總額為

（萬(wàn)元）

答：從2001~2010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬(wàn)元.例2．已知一個(gè)等差數(shù)列

前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220.由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式嗎？

引導(dǎo)學(xué)生分析得到：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式就是一個(gè)關(guān)于的方程。若要確定其前n項(xiàng)求和公式，則要確定關(guān)系式，從而求得。

分析：將已知條件代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式后，可得到兩個(gè)關(guān)于的二元一次方程，由此可以求得

與d，從而得到所求前n項(xiàng)和的公式.與d的 解：由題意知，將它們代入公式

得到

解這個(gè)關(guān)于與d的方程組，得到=4，d=6，所以

另解：

得

所以

②

②-①，得，所以

代入①得：

所以有

例題評(píng)述：此例題目的是建立等差數(shù)列前n項(xiàng)和與解方程之間的聯(lián)系.已知幾個(gè)量，通過(guò)解方程，得出其余的未知量.例3 已知數(shù)列的前n項(xiàng)為，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？

解：根據(jù)

＞

與 可知，當(dāng)n＞1時(shí)，①

當(dāng)n=1時(shí)，也滿足①式.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.由此可知，數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列。

這個(gè)例題還給出了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的一個(gè)求法.已知前n項(xiàng)和出通項(xiàng)，可求

（n＞1）

用這種數(shù)列的不一定滿足由足已求出的.來(lái)確定的方法對(duì)于任何數(shù)列都是可行的，而且還要注意求出的通項(xiàng)表達(dá)式，所以最后要驗(yàn)證首項(xiàng)

是否滿

思考：結(jié)合例3，思考課本51頁(yè)“探究”：一般地，如果一個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和為的其中p、q、r為常數(shù)，且p≠0，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？ 引導(dǎo)分析得出：觀察等差數(shù)列兩個(gè)前n項(xiàng)和公式，和，公式本身就不含常數(shù)項(xiàng)。

所以得到：如果一個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0，且關(guān)于n的二次型函數(shù)，則這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列.例4 已知等差數(shù)列的值.的前n項(xiàng)和為，求使得最大的序號(hào)n 分析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可以寫成，所以可以看成函數(shù)當(dāng)x=n時(shí)的函數(shù)值.另一方面，容易知道關(guān)于n的圖象是一條拋物線上的一些點(diǎn).因此，我們可以利用二次函數(shù)來(lái)求n的值.解：由題意知，等差數(shù)列的公差為，所以

=

于是，當(dāng)n取與最接近的整數(shù)即7或8時(shí)，取最大值.[隨堂練習(xí)]課本52頁(yè)“練習(xí)”第1、2、3、4題

[補(bǔ)充練習(xí)]

1、已知數(shù)列差數(shù)列，設(shè)

生：分析題意，解決問(wèn)題.解：設(shè)首項(xiàng)是，公差為d

是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，且S6，S12-S6，S18-S12成等

成等差數(shù)列嗎？

則：

成等差數(shù)列.同理可得

2、求集合的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和。

解由m=100，得

滿足此不等式的正整數(shù)n共有14個(gè)，所以集合m中的元素共有14個(gè)，從小到大可列為：

7，7×2，7×3，7×4，?7×14

即：7，14，21，28，?98

這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，記為

其中

解由m=100，得

滿足此不等式的正整數(shù)n共有14個(gè)，所以集合m中的元素共有14個(gè)，從小到大可列為：

7，7×2，7×3，7×4，?7×14 即：7，14，21，28，?98

這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，記為

答：集合m中共有14個(gè)元素，它們和等于735

其中

[課堂小結(jié)] 等差數(shù)列 的前n項(xiàng)和的公式和

也成等差數(shù)列.（五）評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

課本52頁(yè)A組第1、3、6

思考：課本53頁(yè)B組第4題

第四篇：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

一：教材分析

本節(jié)課內(nèi)容位于高中人教版必修五第二章第三節(jié)。它是在學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的基礎(chǔ)上來(lái)研究和討論的，是繼等差數(shù)列之后的又一重要的概念。主要利用倒序相加的方法來(lái)求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。本節(jié)內(nèi)容與函數(shù)也有著密切的聯(lián)系。通過(guò)對(duì)公式的推導(dǎo)讓學(xué)生進(jìn)一步了解與掌握從特殊到一般的研究問(wèn)題的方法，這對(duì)學(xué)生的觀察、分析、歸納、概括問(wèn)題的能力有著重要的作用。而且本節(jié)的公式推導(dǎo)為后面的等比數(shù)列前n項(xiàng)求和奠定了基礎(chǔ)。通過(guò)上一節(jié)的內(nèi)容不難知道等差數(shù)列在日常生活中比較常見，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)也就比較得心應(yīng)手。

二：學(xué)情分析

學(xué)生通過(guò)上一節(jié)課的學(xué)習(xí)已經(jīng)了解的等差數(shù)列的定義，基本掌握了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其基本性質(zhì)，能簡(jiǎn)單的對(duì)其運(yùn)用和計(jì)算。對(duì)高斯算法也有一定的了解，他們已具備一定的抽象邏輯思維能力，能在老師的引導(dǎo)下獨(dú)立的完成一些問(wèn)題。

三：教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)

難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的獲得以及滲透倒序相加的方法。四：教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與過(guò)程：能說(shuō)出并寫出等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式，掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和運(yùn)用。

技能與方法：從公式證明的推導(dǎo)過(guò)程體會(huì)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的好奇心及求知欲，增強(qiáng)學(xué)生喜歡并熱愛數(shù)學(xué)的情感。

五：教法

老師不僅是知識(shí)的傳授者，而且也是組織者、引導(dǎo)者與合作者，所以我采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法和講授法，通過(guò)實(shí)際生活中的具體例子創(chuàng)設(shè)情境，然后建立模型并對(duì)其探究。

六：學(xué)法

引導(dǎo)學(xué)生自主探索，觀察分析與歸納概括，創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生合作、探究、交流。在教學(xué)中，讓學(xué)生在問(wèn)題情境中，經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展，讓學(xué)生在觀察、操作、歸納、思考、探索、交流、反思參與的活動(dòng)中學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，發(fā)展能力。

七：教學(xué)過(guò)程

創(chuàng)設(shè)情境，問(wèn)題引入

在一個(gè)建筑工地上堆放這樣一

堆大小一樣的鋼管，共123層，第1層有一根鋼管，第2層有2根鋼管，…，第123層有123，求這堆鋼管共有多少？若在旁邊放上同樣多的鋼管，又該怎么計(jì)算呢？

mmn'n

nm'

通過(guò)分析對(duì)比，并不是所有的等差數(shù)列利用首尾配對(duì)都剛好合適的。經(jīng)過(guò)同學(xué)們的觀察比較發(fā)現(xiàn)，若n為偶數(shù)時(shí)兩兩剛好完全配對(duì)，若n為奇數(shù)時(shí)不能完全配對(duì)。

通過(guò)觀察引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)利用倒敘相加法計(jì)算求此等差數(shù)列前123項(xiàng)的和。S123= 2 + 3 + … + 124

S123=124+ 123 + …+

S123=123(2?124)兩式相加得

高斯的算法蘊(yùn)涵著求等差數(shù)列前n項(xiàng)和一般的規(guī)律性。教學(xué)時(shí)，應(yīng)給學(xué)生提供充裕的時(shí)間和空間，讓學(xué)生自己去觀察、探索發(fā)現(xiàn)這種數(shù)列的內(nèi)在規(guī)律。學(xué)生對(duì)高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配對(duì)的方法來(lái)求和，但估計(jì)學(xué)生對(duì)這種方法的認(rèn)識(shí)可能處于記憶階段，為了促進(jìn)學(xué)生對(duì)這種算法的進(jìn)一步理解，設(shè)計(jì)題時(shí)應(yīng)由易到難的． 引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，公式探究

問(wèn)題1： 1，2,3，…, n,… 的前n項(xiàng)和為多少？

學(xué)生分組探究，老師收集學(xué)生得出的不同方法并由學(xué)生講解，盡可能地展示分類討論的倒序相加法。

+ 2 + … + n n +（n-1）+ … + 1 ___________________________________(n+1)+(n+1)+ … +(n+1)可知 1+2++3…+n=n(n+1)/2 問(wèn)題2：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d,求這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 ,則

Sn?a1?a2???an?1?an

由高斯算法的啟示，對(duì)于公差為d的等差數(shù)列，我們可以用以下式子表示：

推導(dǎo): Sn?a1?a2??an?1?an

Sn?an?an?1???a2?a1

相加得：2Sn?n(a1?an)

n Sn?(a1?an)2n公式一：Sn?(a1?an)

2由an?a1?(n?1)d

n得Sn?[a1?a1?(n?1)d]

2n所以Sn?(a1?an)

2n公式二：Sn?(a1?an)

2我們將這種方法稱為倒序相加法。

類比記憶，例題練習(xí)

問(wèn)題3：能否給求和公式一個(gè)幾何解釋呢？

（提示：與梯形聯(lián)系起來(lái)）

學(xué)生通過(guò)作圖并建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)解釋

nan?(a1?an)得a1為梯形的上底，an為梯形的下底，n為梯形的高.2同理比較Sn?na1?n((n?1)d 2 例題：根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列前n項(xiàng)的和（1）a1?100,d=-2,n=50;（2）a??4，a8??18，n=8;例題：

1:已知一個(gè)等差數(shù)列{an}前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和嗎？ 練習(xí)

12: 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn?n?n，求這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)

22列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？

3:已知等差數(shù)列5,4，3，…的前n項(xiàng)和為sn，求使得n最大

2747s的序號(hào)n的值。

知識(shí)梳理，歸納總結(jié) 1：體會(huì)倒序相加的算法.2：掌握等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式，領(lǐng)會(huì)方程（組）思 想。3：將等差數(shù)列前n項(xiàng)和與梯形面積聯(lián)系記憶。

第五篇：高一數(shù)學(xué)《2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(一)》

湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教案

第二章 數(shù)列

2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

（一）一、教學(xué)目標(biāo)

1、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式．

2、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其獲取思路；

3、會(huì)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些簡(jiǎn)單的與前n項(xiàng)和有關(guān)的問(wèn)題．

二、教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的理解、推導(dǎo)及應(yīng)用．

教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單的有關(guān)問(wèn)題．

三、教學(xué)過(guò)程

（一）、復(fù)習(xí)引入：

1．等差數(shù)列的定義： an－an?1=d，（n≥2，n∈N）2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：

（1）an?a1?(n?1)d

（2）an?am?(n?m)d

（3）an=pn+q(p、q是常數(shù))3．幾種計(jì)算公差d的方法：① d?an－an?

1② 4．等差中項(xiàng)：A?a?b2?a,b,成等差數(shù)列

d?an?a1n?1?

③

d?an?amn?m

5．等差數(shù)列的性質(zhì)： m+n=p+q ?am?an?ap?aq(m, n, p, q ∈N)6．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和：數(shù)列?an?中，a1?a2?a3???an稱為數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，記為Sn.“小故事”1、2、3 高斯是偉大的數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，高斯十歲時(shí),有一次老師出了一道題目,老師說(shuō): “現(xiàn)在給大家出道題目:

1+2+…100=?”

過(guò)了兩分鐘,正當(dāng)大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦樂(lè)乎時(shí)，高斯站起來(lái)回答說(shuō)： “1+2+3+…+100=5050．” 教師問(wèn)：“你是如何算出答案的？” 高斯回答說(shuō)：“因?yàn)?+100=101；

2+99=101；…50+51=101，所以

101×50=5050”

這個(gè)故事告訴我們：

（1）作為數(shù)學(xué)王子的高斯從小就善于觀察，敢于思考，所以他能從一些簡(jiǎn)單的事物中發(fā)現(xiàn)和尋找出某些規(guī)律性的東西．（2）該故事還告訴我們求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的一種很重要的思想方法，這就是下面我們要介紹的“倒序相加”法．

二、講解新課：

1．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1：Sn?n(a1?an)2

證明：

Sn?a1?a2?a3???an?1?an

①

Sn?an?an?1?an?2???a2?a

1②

①+②：2Sn?(a1?an)?(a2?an?1)?(a3?an?2)???(an?an)湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教案

第二章 數(shù)列

∵a1?an?a2?an?1?a3?an?2???

n(a1?an)

2∴2Sn?n(a1?an)

由此得：Sn?．

．

2． 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2：Sn?na1?n(n?1)d2

用上述公式要求Sn必須具備三個(gè)條件：n,a1,an．

但an?a1?(n?1)d

代入公式1即得： Sn?na1?

此公式要求Sn必須已知三個(gè)條件：n,a1,d

總之：兩個(gè)公式都表明要求Sn必須已知n,a1,d,an中三個(gè)． 公式二又可化成式子： Sn?d2n?(a1?2n(n?1)d2

d2)n，當(dāng)d≠0，是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式．

三、例題講解

例

1、(1)已知等差數(shù)列{an}中, a1 =4, S8 =172,求a8和d;(2)等差數(shù)列-10，-6，-2，2，…前多少項(xiàng)的和是54？ 解：(1)172?8(4?a8)2?a8?39

39?4?(8?1)d?d?5

(2)設(shè)題中的等差數(shù)列為?an?，前n項(xiàng)為Sn

則 a1??10,d?(?6)?(?10)?4,Sn?54 由公式可得?10n?n(n?1)2?4?54.解之得：n1?9,n2??3（舍去）

∴等差數(shù)列-10，-6，-2，2…前9項(xiàng)的和是54． 例

2、教材P43面的例1 解：

例3．求集合M??m|m?7n,n?N*且m?100?的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和．

解：由7n?100得 n?1007?1427

∴正整數(shù)n共有14個(gè)即M中共有14個(gè)元素

即：7，14，21，…，98 是a1?7為首項(xiàng)a14?98等差數(shù)列．

∴ Sn?14?(7?98)2?73

5答：略．

例

4、等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，若S12?84,S20?460，求S28.（學(xué)生練?學(xué)生板書?教師點(diǎn)評(píng)及規(guī)范）

練習(xí)：⑴在等差數(shù)列?an?中，已知a3?a99?200，求S101.⑵在等差數(shù)列?an?中，已知a15?a12?a9?a6?20，求S20.湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教案

第二章 數(shù)列

例4．已知等差數(shù)列{an}前四項(xiàng)和為21,最后四項(xiàng)的和為67,所有項(xiàng)的和為286,求項(xiàng)數(shù)n.?a1?a2?a3?a4?21,解：依題意，得?

a?a?a?a?67,n?1n?2n?3?n

兩式相加得(a1?an)?(a2?an?1)?(a3?an?2)?(a4?an?3)?88, 又a1?an?a2?an?1?a3?an?2?a4?an?3,所以a1?an?22

n(a1?an)又Sn??286，所以n=26．

例5．已知一個(gè)等差數(shù)列{an}前10項(xiàng)和為310,前20項(xiàng)的和為1220,由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)

列的前n項(xiàng)的和嗎？.思考：（1）等差數(shù)列中S10,S20?S10,S30?S20，成等差數(shù)列嗎？

（2）等差數(shù)列前m項(xiàng)和為Sm,則Sm、S2m?Sm.、S3m?S2m是等差數(shù)列嗎？

練習(xí)：教材第118頁(yè)練習(xí)第1、3題．

三、課堂小結(jié)：

1.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1：Sn?n(a1?an)2 ；

． 2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2：Sn?na1?

四、課外作業(yè)：

1.閱讀教材第42～44頁(yè)； 2.《習(xí)案》作業(yè)十三．

n(n?1)d2