第一篇：高一數(shù)學(xué) 等差數(shù)列前n項和(二)教案

湖南省師范大學(xué)附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)教案：等差數(shù)列前n項和

（二）教材：等差數(shù)列前n項和

（二）目的：使學(xué)生會運用等差數(shù)列前n項和的公式解決有關(guān)問題，從而提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。過程：

一、復(fù)習(xí)：等差數(shù)列前n項和的公式

二、例一 在等差數(shù)列?an?中 已知S8?48 S12?168 求a1和d；

解：??8a1?28d?48 ?a1??8 d?4

?12a1?66d?168 已知a3?a5?40，求S17．

2解：∵a1?a17?a3?a15?40

∴S17?17(a1?a17)17?40??340 例二 已知?an?，?bn?都成AP，且 a1?5，b1?15，a100?b100?100試求數(shù) 列?an?bn?的前100項之和S100．

解：S100?100?(a1?a1?a100?b100)100?(5?15?100)??6000 例三 一個等差數(shù)列的前12項之和為354，前12項中偶數(shù)項與奇數(shù)項之比為32：27，求公差。12?11?12a?d?3541?2?6?5??2d

解一：設(shè)首項為a1，公差為d 則?6(a1?d)? ?d?5

322??17?6a?6?5?2d1?2??S奇?S偶?354?S偶?192?32 解二：?S偶 ?? 由 S偶?S奇?6d ?d?5 ??S奇?162?S27?奇 例四 已知：an?1024?lg21?n（lg2?0.3010）n?N* 問多少項之和為最 大？前多少項之和的絕對值最?。?/p>

解：1 ??an?1024?(1?n)lg2?0

?an?1?1024?nlg2?010241024?n??1?3401?n?3403 ∴n?3402 lg2lg2 ? 2 Sn?1024n?n(n?1)(?lg2)?0 2 當(dāng)Sn?0或Sn近于0時其和絕對值最小

令：Sn?0 即 1024+ 得：n?n(n?1)(?lg2)?0 22048?1?6804.99 lg2 ∵ n?N* ∴n?6805

例五 項數(shù)是2n的等差數(shù)列，中央兩項為an和an?1是方程x2?px?q?0的 兩根，求證此數(shù)列的和是方程 lg2x?(lgn2?lgp2)lgx?(lgn?lgp)2?0 的根。（S2n?0）

解：依題意：an?an?1?p

∵a1?a2n?an?an?1?p ∴S2n?2n(a1?a2n)?np ∵lg2x?(lgn2?lgp2)lgx?(lgn?lgp)2?0

∴(lgx?lgnp)2?0 ∴x?np?S2n（獲證）

例六（機動，作了解）求和 1 1?111???? 1?21?2?31?2?3???n 解：an?1211??2(?)

1?2?3???nn(n?1)nn?1 ∴ Sn?2?(1?)?(?)???(?)??2(1?)?223nn?1n?1n?1?? 2(100?99)?(98?97)???(4?3)?(2?1)22222222?11111?12n 解：原式=199?195???7?3?

三、作業(yè) 《精編》P167-168 6、7、8、9、10

(199?3)?50?101?50?5050 2

第二篇：等差數(shù)列前n項和教案

等差數(shù)列前n項和教案

一、教材分析

1、教材內(nèi)容：等差數(shù)列前n項求和過程以及等差數(shù)列前n項和公式。

2.教材所處的地位和作用：本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是等差數(shù)列前n項和，與前面學(xué)過

的等差數(shù)列的定義、性質(zhì)等內(nèi)容有著密切的聯(lián)系，又能為后面等比數(shù)列前n

項和以及數(shù)列求和做鋪墊。

3、教學(xué)目標(biāo)

（1）知識與技能：掌握等差數(shù)列前n項和公式，理解公式的推導(dǎo)方法。同時能

熟練、靈活地應(yīng)用等差數(shù)列前n項和公式解決問題。

（2）過程與方法：經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體驗倒序相加進(jìn)行求和的過程，學(xué)會

觀察、歸納、反思。體驗從特殊到一般的研究方法。

（3）情感、態(tài)度、價值觀：通過具體、生動的現(xiàn)實問題的引入，激發(fā)學(xué)生探

究求和方法的興趣，樹立學(xué)生求知意識，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感，逐步養(yǎng)

成科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，提高一般公式推理的能力。

4、重點與難點

重點：等差數(shù)列前n項和公式的掌握與應(yīng)用。

難點：等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)以及其中蘊含的數(shù)學(xué)思想的掌握。

二、學(xué)情分析

學(xué)生前幾節(jié)已經(jīng)學(xué)過一些數(shù)列的概念及簡單表示法，還學(xué)了等差數(shù)列的定

義以及性質(zhì)，對等差數(shù)列已經(jīng)有了一定程度的認(rèn)識。這些知識也為這節(jié)的等差數(shù)列前n項和公式做準(zhǔn)備，讓學(xué)生能更容易理解等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程。同時也為后面的等比數(shù)列前n項和公式做鋪墊。但由于數(shù)列形式多樣，因此僅僅掌握等差數(shù)列前n項和公式還是不夠的，更應(yīng)該學(xué)會靈活應(yīng)用。

三、教學(xué)方法：啟發(fā)引導(dǎo)，探索發(fā)現(xiàn)

四、教學(xué)過程

1．教學(xué)環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境

教學(xué)過程：200多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問題： 1?2?3???100?？。據(jù)說，當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個數(shù)逐項相加時，10歲的高斯迅速得出5050這個答案。讓同學(xué)思考并討論高斯是怎么算的。

設(shè)計意圖：由著名的德國數(shù)學(xué)家高斯的例子引發(fā)同學(xué)們的思考，為下面引入倒序相加法求和做準(zhǔn)備。2．教學(xué)環(huán)節(jié)：介紹倒序相加法

教學(xué)過程：請同學(xué)將自己的計算方法在課上發(fā)表，老師接著介紹倒序相加

法。記S?1?2?3???10098???1S?100?99?，從而發(fā)現(xiàn)每一列相加都得101。

則2S?(1?100)?(2?99)?(3?98)???(100?1)?101*100

S?101*1002?5050

類似地，用同樣的方法計算1,2,3，?，n，?的前n項和，可以得到 1?2?3???n?(n?1)n。2 設(shè)計意圖：介紹倒序相加法，并用這個方法計算1,2,3，?，n，?的前n 項和，從而為下面推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式做鋪墊。

3.教學(xué)環(huán)節(jié)：推導(dǎo)公式

教學(xué)過程：首先介紹數(shù)列?an?的前n項和，用Sn來表示，即

Sn?a1?a2?a3???an。對于公差為d的等差數(shù)列，我們用兩種方法表示Sn。Sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)???[a1?(n?1)d]Sn?an?(an?d)?(an?2d)???[an?(n?1)d]

則兩式相加得：

2Sn?(a1?an)?(a1?an)?(a1?an)???(a1?an)?n(a1?an)

???????????????????n個n(a1?an)，將等差數(shù)列的通項公2n(n?1)d。式an?a1?(n?1)d代入，得到公式Sn?na1?2 推導(dǎo)出等差數(shù)列前n項和的公式為Sn? 設(shè)計意圖：用倒序相加法推導(dǎo)得到等差數(shù)列前n項和公式，由于有前面的鋪墊讓學(xué)生更容易理解等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程，對后面的應(yīng)用也有幫助。

4、教學(xué)環(huán)節(jié)：例題講解

教學(xué)過程：例1：用等差數(shù)列前n項和的公式計算1+3+5+?+99的值。

例2：a1?1,a8?6，求這個等差數(shù)列的前8項和S8以及公

差d。例3：已知數(shù)列?an?的前n項和Sn?n2?n，求這個數(shù)列 的通項公式。這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？

設(shè)計意圖：鞏固等差數(shù)列前n項和公式，加深學(xué)生對該公式的印象。6．教學(xué)環(huán)節(jié)：回顧總結(jié)

教學(xué)過程：

1、倒序相加法進(jìn)行求和的思想

2、復(fù)習(xí)等差數(shù)列前n項和公式Sn? Sn?na1?n(a1?an)和 2n(n?1)強調(diào)要根據(jù)條件選用適當(dāng)?shù)墓竭M(jìn) d，行求解。以及公式的適用范圍。7．教學(xué)環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

七、板書設(shè)計

1、問題的提出

2、倒序相加法

3、等差數(shù)列前n項和公式

4、例題

5、回顧總結(jié)

6、布置作業(yè)

第三篇：等差數(shù)列的前n項和教案

等差數(shù)列的前n項和

（一）教學(xué)目標(biāo)

1．知識與技能:通過實例，理解等差數(shù)列的概念；探索并掌握等差數(shù)列的通項公式；能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題；體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。

2.過程與方法:通過對歷史有名的高斯求和的介紹，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的第k項與倒數(shù)第k項的和等于首項與末項的和這個規(guī)律；由學(xué)生建立等差數(shù)列模型用相關(guān)知識解決一些簡單的問題，進(jìn)行等差數(shù)列通項公式應(yīng)用的實踐操作并在操作過程中，通過類比函數(shù)概念、性質(zhì)、表達(dá)式得到對等差數(shù)列相應(yīng)問題的研究。

3．情態(tài)與價值：培養(yǎng)學(xué)生利用學(xué)過的知識解決與現(xiàn)實有關(guān)的問題的能力。

（二）教學(xué)重、難點

重點：探索并掌握等差數(shù)列的前n項和公式；學(xué)會用公式解決一些實際問題，體會等差數(shù)列的前n項和與二次函數(shù)之間的聯(lián)系。

難點：等差數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)思路的獲得，靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項公式解決一些簡單的有關(guān)問題

（三）學(xué)法與教學(xué)用具

學(xué)法：講練結(jié)合 教學(xué)用具：投影儀

（四）教學(xué)設(shè)想

[創(chuàng)設(shè)情景]

等差數(shù)列在現(xiàn)實生活中比較常見，因此等差數(shù)列求和就成為我們在實際生活中經(jīng)常遇到的問題。在200多年前，歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被譽為“數(shù)學(xué)王子”的高斯就曾經(jīng)上演了迅速求出等差數(shù)列這么一出好戲。那時，高斯的數(shù)學(xué)老師提出了下面的問題：1+2+3+??+100=？當(dāng)時，當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個數(shù)逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：（1+100）+（2+99）+??+（50+51）=101×50=5050 高斯的算法實際上解決了求等差數(shù)列1，2，3，?，n，?前100項的和的問題。

今天我們就來學(xué)習(xí)如何去求等差數(shù)列的前n項的和。

[探索研究]

我們先來看看人們由高斯求前100個正整數(shù)的方法得到了哪些啟發(fā)。人們從高斯那里受到啟發(fā)，于是用下面的這個方法計算1，2，3，?，n，?的前n項的和：

由 1 + 2 + ? + n-1 + n n + n-1 + ? + 2 + 1（n+1）+（n+1）+ ? +（n+1）+（n+1）

可知

上面這種加法叫“倒序相加法”

請同學(xué)們觀察思考一下：高斯的算法妙在哪里？

高斯的算法很巧妙，他發(fā)現(xiàn)了整個數(shù)列的第k項與倒數(shù)第k項的和與首項與尾項的和是相等的這個規(guī)律并且把這個規(guī)律用于求和中。這種方法是可以推廣到求一般等差數(shù)列的前n項和的。

[等差數(shù)列求和公式的教學(xué)]

一般地，稱

1、思考：受高斯的啟示，我們這里可以用什么方法去求和呢？

思考后知道，也可以用“倒序相加法”進(jìn)行求和。我們用兩種方法表示

：

為數(shù)列的前n項的和，用

表示，即 ①

②

由①+②，得

由此得到等差數(shù)列的前n項和的公式

對于這個公式，我們知道：只要知道等差數(shù)列首項、尾項和項數(shù)就可以求等差數(shù)列前n項和了。

2、除此之外，等差數(shù)列還有其他方法（讀基礎(chǔ)教好學(xué)生要介紹）

當(dāng)然，對于等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，也可以有其他的推導(dǎo)途徑。例如：

=

=

=

=

這兩個公式是可以相互轉(zhuǎn)化的。把代入中，就可以得到 引導(dǎo)學(xué)生思考這兩個公式的結(jié)構(gòu)特征得到：第一個公式反映了等差數(shù)列的任意的第k項與倒數(shù)第k項的和等于首項與末項的和這個內(nèi)在性質(zhì)。第二個公式反映了等差數(shù)列的前n項和與它的首項、公差之間的關(guān)系，而且是關(guān)于n的“二次函數(shù)”，可以與二次函數(shù)進(jìn)行比較。這兩個公式的共同點都是知道點是第一個公式還需知道條件決定選用哪個公式。

[公式運用]

（課本52頁練習(xí)1、2）

1、根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列的前n項和S.和n，不同，而第二個公式是要知道d，解題時還需要根據(jù)已知⑴

⑵

[例題分析]

例1、2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實施“校校通”工程的統(tǒng)治》.某市據(jù)此提出了實施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年時間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng).據(jù)測算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費為500萬元.為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？

⑴、先閱讀題目；

⑵、引導(dǎo)學(xué)生提取有用的信息，構(gòu)件等差數(shù)列模型；

⑶、寫這個等差數(shù)列的首項和公差，并根據(jù)首項和公差選擇前n項和公式進(jìn)行求解。

解：根據(jù)題意，從2001-2010年，該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費都比上一年增加50萬元.所以，可以建立一個等差數(shù)列投入的資金，其中，表示從2001年起各年，d=50.那么，到2010年（n=10），投入的資金總額為

（萬元）

答：從2001~2010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元.例2．已知一個等差數(shù)列

前10項的和是310，前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？

引導(dǎo)學(xué)生分析得到：等差數(shù)列前n項和公式就是一個關(guān)于的方程。若要確定其前n項求和公式，則要確定關(guān)系式，從而求得。

分析：將已知條件代入等差數(shù)列前n項和的公式后，可得到兩個關(guān)于的二元一次方程，由此可以求得

與d，從而得到所求前n項和的公式.與d的 解：由題意知，將它們代入公式

得到

解這個關(guān)于與d的方程組，得到=4，d=6，所以

另解：

得

所以

②

②-①，得，所以

代入①得：

所以有

例題評述：此例題目的是建立等差數(shù)列前n項和與解方程之間的聯(lián)系.已知幾個量，通過解方程，得出其余的未知量.例3 已知數(shù)列的前n項為，求這個數(shù)列的通項公式.這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？

解：根據(jù)

＞

與 可知，當(dāng)n＞1時，①

當(dāng)n=1時，也滿足①式.所以數(shù)列的通項公式為.由此可知，數(shù)列是一個首項為，公差為2的等差數(shù)列。

這個例題還給出了等差數(shù)列通項公式的一個求法.已知前n項和出通項，可求

（n＞1）

用這種數(shù)列的不一定滿足由足已求出的.來確定的方法對于任何數(shù)列都是可行的，而且還要注意求出的通項表達(dá)式，所以最后要驗證首項

是否滿

思考：結(jié)合例3，思考課本51頁“探究”：一般地，如果一個數(shù)列前n項和為的其中p、q、r為常數(shù)，且p≠0，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？ 引導(dǎo)分析得出：觀察等差數(shù)列兩個前n項和公式，和，公式本身就不含常數(shù)項。

所以得到：如果一個數(shù)列前n項和公式是常數(shù)項為0，且關(guān)于n的二次型函數(shù)，則這個數(shù)列一定是等差數(shù)列.例4 已知等差數(shù)列的值.的前n項和為，求使得最大的序號n 分析：等差數(shù)列的前n項和公式可以寫成，所以可以看成函數(shù)當(dāng)x=n時的函數(shù)值.另一方面，容易知道關(guān)于n的圖象是一條拋物線上的一些點.因此，我們可以利用二次函數(shù)來求n的值.解：由題意知，等差數(shù)列的公差為，所以

=

于是，當(dāng)n取與最接近的整數(shù)即7或8時，取最大值.[隨堂練習(xí)]課本52頁“練習(xí)”第1、2、3、4題

[補充練習(xí)]

1、已知數(shù)列差數(shù)列，設(shè)

生：分析題意，解決問題.解：設(shè)首項是，公差為d

是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，且S6，S12-S6，S18-S12成等

成等差數(shù)列嗎？

則：

成等差數(shù)列.同理可得

2、求集合的元素個數(shù)，并求這些元素的和。

解由m=100，得

滿足此不等式的正整數(shù)n共有14個，所以集合m中的元素共有14個，從小到大可列為：

7，7×2，7×3，7×4，?7×14

即：7，14，21，28，?98

這個數(shù)列是等差數(shù)列，記為

其中

解由m=100，得

滿足此不等式的正整數(shù)n共有14個，所以集合m中的元素共有14個，從小到大可列為：

7，7×2，7×3，7×4，?7×14 即：7，14，21，28，?98

這個數(shù)列是等差數(shù)列，記為

答：集合m中共有14個元素，它們和等于735

其中

[課堂小結(jié)] 等差數(shù)列 的前n項和的公式和

也成等差數(shù)列.（五）評價設(shè)計

課本52頁A組第1、3、6

思考：課本53頁B組第4題

第四篇：等差數(shù)列的前n項和教案

等差數(shù)列的前n項和

一：教材分析

本節(jié)課內(nèi)容位于高中人教版必修五第二章第三節(jié)。它是在學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的基礎(chǔ)上來研究和討論的，是繼等差數(shù)列之后的又一重要的概念。主要利用倒序相加的方法來求等差數(shù)列的前n項和。本節(jié)內(nèi)容與函數(shù)也有著密切的聯(lián)系。通過對公式的推導(dǎo)讓學(xué)生進(jìn)一步了解與掌握從特殊到一般的研究問題的方法，這對學(xué)生的觀察、分析、歸納、概括問題的能力有著重要的作用。而且本節(jié)的公式推導(dǎo)為后面的等比數(shù)列前n項求和奠定了基礎(chǔ)。通過上一節(jié)的內(nèi)容不難知道等差數(shù)列在日常生活中比較常見，學(xué)生學(xué)習(xí)起來也就比較得心應(yīng)手。

二：學(xué)情分析

學(xué)生通過上一節(jié)課的學(xué)習(xí)已經(jīng)了解的等差數(shù)列的定義，基本掌握了等差數(shù)列的通項公式及其基本性質(zhì)，能簡單的對其運用和計算。對高斯算法也有一定的了解，他們已具備一定的抽象邏輯思維能力，能在老師的引導(dǎo)下獨立的完成一些問題。

三：教學(xué)重、難點

重點：等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)

難點：等差數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)思路的獲得以及滲透倒序相加的方法。四：教學(xué)目標(biāo)

知識與過程：能說出并寫出等差數(shù)列前n項和的公式，掌握等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)和運用。

技能與方法：從公式證明的推導(dǎo)過程體會從特殊到一般的研究方法，學(xué)會觀察、歸納、總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生靈活運用公式的能力。

情感態(tài)度與價值觀：通過生動具體的現(xiàn)實問題，激發(fā)學(xué)生的好奇心及求知欲，增強學(xué)生喜歡并熱愛數(shù)學(xué)的情感。

五：教法

老師不僅是知識的傳授者，而且也是組織者、引導(dǎo)者與合作者，所以我采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法和講授法，通過實際生活中的具體例子創(chuàng)設(shè)情境，然后建立模型并對其探究。

六：學(xué)法

引導(dǎo)學(xué)生自主探索，觀察分析與歸納概括，創(chuàng)造機會讓學(xué)生合作、探究、交流。在教學(xué)中，讓學(xué)生在問題情境中，經(jīng)歷知識的形成和發(fā)展，讓學(xué)生在觀察、操作、歸納、思考、探索、交流、反思參與的活動中學(xué)習(xí)，認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)知識，學(xué)會學(xué)習(xí)，發(fā)展能力。

七：教學(xué)過程

創(chuàng)設(shè)情境，問題引入

在一個建筑工地上堆放這樣一

堆大小一樣的鋼管，共123層，第1層有一根鋼管，第2層有2根鋼管，…，第123層有123，求這堆鋼管共有多少？若在旁邊放上同樣多的鋼管，又該怎么計算呢？

mmn'n

nm'

通過分析對比，并不是所有的等差數(shù)列利用首尾配對都剛好合適的。經(jīng)過同學(xué)們的觀察比較發(fā)現(xiàn)，若n為偶數(shù)時兩兩剛好完全配對，若n為奇數(shù)時不能完全配對。

通過觀察引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)利用倒敘相加法計算求此等差數(shù)列前123項的和。S123= 2 + 3 + … + 124

S123=124+ 123 + …+

S123=123(2?124)兩式相加得

高斯的算法蘊涵著求等差數(shù)列前n項和一般的規(guī)律性。教學(xué)時，應(yīng)給學(xué)生提供充裕的時間和空間，讓學(xué)生自己去觀察、探索發(fā)現(xiàn)這種數(shù)列的內(nèi)在規(guī)律。學(xué)生對高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配對的方法來求和，但估計學(xué)生對這種方法的認(rèn)識可能處于記憶階段，為了促進(jìn)學(xué)生對這種算法的進(jìn)一步理解，設(shè)計題時應(yīng)由易到難的． 引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，公式探究

問題1： 1，2,3，…, n,… 的前n項和為多少？

學(xué)生分組探究，老師收集學(xué)生得出的不同方法并由學(xué)生講解，盡可能地展示分類討論的倒序相加法。

+ 2 + … + n n +（n-1）+ … + 1 ___________________________________(n+1)+(n+1)+ … +(n+1)可知 1+2++3…+n=n(n+1)/2 問題2：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d,求這個等差數(shù)列的前n項和 ,則

Sn?a1?a2???an?1?an

由高斯算法的啟示，對于公差為d的等差數(shù)列，我們可以用以下式子表示：

推導(dǎo): Sn?a1?a2??an?1?an

Sn?an?an?1???a2?a1

相加得：2Sn?n(a1?an)

n Sn?(a1?an)2n公式一：Sn?(a1?an)

2由an?a1?(n?1)d

n得Sn?[a1?a1?(n?1)d]

2n所以Sn?(a1?an)

2n公式二：Sn?(a1?an)

2我們將這種方法稱為倒序相加法。

類比記憶，例題練習(xí)

問題3：能否給求和公式一個幾何解釋呢？

（提示：與梯形聯(lián)系起來）

學(xué)生通過作圖并建立一一對應(yīng)關(guān)系來解釋

nan?(a1?an)得a1為梯形的上底，an為梯形的下底，n為梯形的高.2同理比較Sn?na1?n((n?1)d 2 例題：根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列前n項的和（1）a1?100,d=-2,n=50;（2）a??4，a8??18，n=8;例題：

1:已知一個等差數(shù)列{an}前10項的和是310，前20項的和是1220，由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和嗎？ 練習(xí)

12: 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn?n?n，求這個數(shù)列是等差數(shù)

22列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？

3:已知等差數(shù)列5,4，3，…的前n項和為sn，求使得n最大

2747s的序號n的值。

知識梳理，歸納總結(jié) 1：體會倒序相加的算法.2：掌握等差數(shù)列的兩個求和公式，領(lǐng)會方程（組）思 想。3：將等差數(shù)列前n項和與梯形面積聯(lián)系記憶。

第五篇：高一數(shù)學(xué)《2.3等差數(shù)列的前n項和(一)》

湖南省長沙市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教案

第二章 數(shù)列

2.3等差數(shù)列的前n項和

（一）一、教學(xué)目標(biāo)

1、等差數(shù)列前n項和公式．

2、等差數(shù)列前n項和公式及其獲取思路；

3、會用等差數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的與前n項和有關(guān)的問題．

二、教學(xué)重點：等差數(shù)列前n項和公式的理解、推導(dǎo)及應(yīng)用．

教學(xué)難點：靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項公式解決一些簡單的有關(guān)問題．

三、教學(xué)過程

（一）、復(fù)習(xí)引入：

1．等差數(shù)列的定義： an－an?1=d，（n≥2，n∈N）2．等差數(shù)列的通項公式：

（1）an?a1?(n?1)d

（2）an?am?(n?m)d

（3）an=pn+q(p、q是常數(shù))3．幾種計算公差d的方法：① d?an－an?

1② 4．等差中項：A?a?b2?a,b,成等差數(shù)列

d?an?a1n?1?

③

d?an?amn?m

5．等差數(shù)列的性質(zhì)： m+n=p+q ?am?an?ap?aq(m, n, p, q ∈N)6．?dāng)?shù)列的前n項和：數(shù)列?an?中，a1?a2?a3???an稱為數(shù)列?an?的前n項和，記為Sn.“小故事”1、2、3 高斯是偉大的數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，高斯十歲時,有一次老師出了一道題目,老師說: “現(xiàn)在給大家出道題目:

1+2+…100=?”

過了兩分鐘,正當(dāng)大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦樂乎時，高斯站起來回答說： “1+2+3+…+100=5050．” 教師問：“你是如何算出答案的？” 高斯回答說：“因為1+100=101；

2+99=101；…50+51=101，所以

101×50=5050”

這個故事告訴我們：

（1）作為數(shù)學(xué)王子的高斯從小就善于觀察，敢于思考，所以他能從一些簡單的事物中發(fā)現(xiàn)和尋找出某些規(guī)律性的東西．（2）該故事還告訴我們求等差數(shù)列前n項和的一種很重要的思想方法，這就是下面我們要介紹的“倒序相加”法．

二、講解新課：

1．等差數(shù)列的前n項和公式1：Sn?n(a1?an)2

證明：

Sn?a1?a2?a3???an?1?an

①

Sn?an?an?1?an?2???a2?a

1②

①+②：2Sn?(a1?an)?(a2?an?1)?(a3?an?2)???(an?an)湖南省長沙市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教案

第二章 數(shù)列

∵a1?an?a2?an?1?a3?an?2???

n(a1?an)

2∴2Sn?n(a1?an)

由此得：Sn?．

．

2． 等差數(shù)列的前n項和公式2：Sn?na1?n(n?1)d2

用上述公式要求Sn必須具備三個條件：n,a1,an．

但an?a1?(n?1)d

代入公式1即得： Sn?na1?

此公式要求Sn必須已知三個條件：n,a1,d

總之：兩個公式都表明要求Sn必須已知n,a1,d,an中三個． 公式二又可化成式子： Sn?d2n?(a1?2n(n?1)d2

d2)n，當(dāng)d≠0，是一個常數(shù)項為零的二次式．

三、例題講解

例

1、(1)已知等差數(shù)列{an}中, a1 =4, S8 =172,求a8和d;(2)等差數(shù)列-10，-6，-2，2，…前多少項的和是54？ 解：(1)172?8(4?a8)2?a8?39

39?4?(8?1)d?d?5

(2)設(shè)題中的等差數(shù)列為?an?，前n項為Sn

則 a1??10,d?(?6)?(?10)?4,Sn?54 由公式可得?10n?n(n?1)2?4?54.解之得：n1?9,n2??3（舍去）

∴等差數(shù)列-10，-6，-2，2…前9項的和是54． 例

2、教材P43面的例1 解：

例3．求集合M??m|m?7n,n?N*且m?100?的元素個數(shù)，并求這些元素的和．

解：由7n?100得 n?1007?1427

∴正整數(shù)n共有14個即M中共有14個元素

即：7，14，21，…，98 是a1?7為首項a14?98等差數(shù)列．

∴ Sn?14?(7?98)2?73

5答：略．

例

4、等差數(shù)列?an?的前n項和為Sn，若S12?84,S20?460，求S28.（學(xué)生練?學(xué)生板書?教師點評及規(guī)范）

練習(xí)：⑴在等差數(shù)列?an?中，已知a3?a99?200，求S101.⑵在等差數(shù)列?an?中，已知a15?a12?a9?a6?20，求S20.湖南省長沙市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教案

第二章 數(shù)列

例4．已知等差數(shù)列{an}前四項和為21,最后四項的和為67,所有項的和為286,求項數(shù)n.?a1?a2?a3?a4?21,解：依題意，得?

a?a?a?a?67,n?1n?2n?3?n

兩式相加得(a1?an)?(a2?an?1)?(a3?an?2)?(a4?an?3)?88, 又a1?an?a2?an?1?a3?an?2?a4?an?3,所以a1?an?22

n(a1?an)又Sn??286，所以n=26．

例5．已知一個等差數(shù)列{an}前10項和為310,前20項的和為1220,由這些條件能確定這個等差數(shù)

列的前n項的和嗎？.思考：（1）等差數(shù)列中S10,S20?S10,S30?S20，成等差數(shù)列嗎？

（2）等差數(shù)列前m項和為Sm,則Sm、S2m?Sm.、S3m?S2m是等差數(shù)列嗎？

練習(xí)：教材第118頁練習(xí)第1、3題．

三、課堂小結(jié)：

1.等差數(shù)列的前n項和公式1：Sn?n(a1?an)2 ；

． 2.等差數(shù)列的前n項和公式2：Sn?na1?

四、課外作業(yè)：

1.閱讀教材第42～44頁； 2.《習(xí)案》作業(yè)十三．

n(n?1)d2