第一篇：2013年江蘇省高中數(shù)學(xué)優(yōu)秀課評(píng)比教案——線面垂直說課稿

《直線與平面的垂直》說課稿

各位專家評(píng)委，各位老師，大家早上好！

我是江蘇省南菁高級(jí)中學(xué)教師張琳，我今天要說課的課題是蘇教版必修2的《直線與平面的垂直》。

一、教材分析

1、地位與作用

地位：前面已經(jīng)研究了線在面內(nèi)，線面平行這兩種線面位置關(guān)系，在此基礎(chǔ)上研究線面垂直是對(duì)線面位置關(guān)系的一種延續(xù)和完善。

作用：通過研究線面垂直的位置關(guān)系，能幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)客觀世界，進(jìn)而能夠解決“數(shù)學(xué)中的空間幾何問題?！?/p>

2、教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)與技能目標(biāo)：

①探究直線與平面垂直的定義，利用定義的雙重功效，實(shí)現(xiàn)線線垂直與線面垂直關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化；

②通過實(shí)驗(yàn)探究，理解直線與平面垂直垂直的判定定理，并能運(yùn)用判定定理證明與線面垂直相關(guān)的簡(jiǎn)單命題；

③掌握性質(zhì)定理并理解其證法。（2）過程與方法目標(biāo)：

①依托對(duì)空間線面平行關(guān)系的研究流程遷移到線面垂直位置關(guān)系的研究方法，發(fā)展學(xué)生類比推理能力，幫助學(xué)生進(jìn)一步形成研究立幾問題的基本思維模式；

②在探索直線與平面垂直的判定定理的過程中發(fā)展合情推理能力，同時(shí)感悟和體驗(yàn)“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”“線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直”“無限轉(zhuǎn)化為有限”等化歸思想； ③嘗試用數(shù)學(xué)語言（文字，符號(hào)，圖形語言）對(duì)定義和定理進(jìn)行準(zhǔn)確表述和合理轉(zhuǎn)換；（3）情感，態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：

通過創(chuàng)設(shè)情境滲透愛國(guó)主義教育，通過判定定理的探索過程，提高學(xué)生動(dòng)手，觀察，分析，歸納的能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)（1）教學(xué)重點(diǎn)：

①直線與平面垂直的定義、判定定理及其探究過程； ②三種語言的互譯及規(guī)范表述。

（2）教學(xué)難點(diǎn)：性質(zhì)定理證明方法的探索與分析。

二、學(xué)情分析

學(xué)習(xí)本課前，學(xué)生已初步感知部分空間線面位置關(guān)系，但學(xué)生的抽象概括能力，空間想象力還有待提高，對(duì)研究空間元素的位置關(guān)系的思維脈絡(luò)尚未成形。

三、教法、學(xué)法分析

教法：教師設(shè)置情境，引領(lǐng)分析，總結(jié)歸納。

學(xué)法：引領(lǐng)學(xué)生探究，感悟，歸納；

四、新授內(nèi)容結(jié)構(gòu)安排

（一）情境創(chuàng)設(shè) 學(xué)生活動(dòng)

1、從線面平行的研究流程入手，引出線面垂直，讓學(xué)生進(jìn)一步感知線面位置關(guān)系的分類和研究方法。

2、引入時(shí)，我遴選了神十的發(fā)射現(xiàn)場(chǎng)和廣場(chǎng)的旗桿這兩個(gè)生活場(chǎng)景，把直觀感知線面垂直與愛國(guó)主義教育有機(jī)融合，以期進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性及民族自豪感，然后以具體的空間幾何體作為實(shí)例，引出直線與平面垂直的定義。

（二）意義建構(gòu)

1、定義建構(gòu)：由線面平行類比，讓學(xué)生體悟可以通過線與線位置關(guān)系的研究來實(shí)現(xiàn)線與面位置關(guān)系的研究。通過探究圓錐的軸與底面圓所在平面內(nèi)任一直線的垂直關(guān)系，讓學(xué)生概括出線面垂直的定義。

對(duì)于直線與平面垂直的畫法，同樣類比直線與平面平行的畫法，通過三張圖重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了圖形語言的規(guī)范性。通過對(duì)直線與平面垂直定義的進(jìn)一步解決，讓學(xué)生充分體會(huì)定義中的關(guān)鍵詞：平面內(nèi)直線的任意性，并進(jìn)一步指明定義在研究線面垂直關(guān)系問題中的雙重作用。選取例1旨在讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉定義，并運(yùn)用定于規(guī)范解決實(shí)際問題。

2、線面垂直判定定理的探究與認(rèn)知

從一條，兩條，無數(shù)條形成認(rèn)知沖突，從而激發(fā)學(xué)生對(duì)線面垂直判定條件的探究欲望，并形成初步的探究方向。選擇三角形折疊實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生自主探究線面垂直的判定條件。

我緊扣判定定理所需條件將折紙實(shí)驗(yàn)分解如下三步并設(shè)置了三個(gè)問題：怎么折（明確垂直關(guān)系）、怎么展（明確兩相交直線）、怎么放（明確兩相交直線在平面內(nèi)），然后請(qǐng)學(xué)生嘗試用自己的語言歸納直線與平面垂直的判定定理，經(jīng)討論后規(guī)范呈現(xiàn)。鑒于教材中沒有給予判定定理的證明，我借助平面向量基本定理讓學(xué)生加深對(duì)線面垂直判定定理的認(rèn)同感，通過例2的分析引導(dǎo)解決，讓學(xué)生進(jìn)一步感受到利用判定定理解決線面垂直問題的實(shí)用性。

同時(shí)，讓學(xué)生領(lǐng)略判定定理及定義在解決垂直問題的交互與轉(zhuǎn)化。通過對(duì)例2題設(shè)條件的弱化，訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，并進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)書寫的規(guī)范性。

3、性質(zhì)定理的引入與證明

性質(zhì)定理的證明是本節(jié)課的一大難點(diǎn)。反證法的出臺(tái)尤顯突兀，通過對(duì)教材的研讀，我體會(huì)到教材編寫者采用該種證法的合理性與設(shè)計(jì)意圖，意在通過學(xué)生對(duì)平面幾何與立體幾何的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生體會(huì)空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的研究策略。為此放物讓學(xué)生充分地探索、碰壁，經(jīng)點(diǎn)撥將學(xué)生的研究視角回歸到平面，因此我設(shè)置了兩個(gè)問題：一，怎樣形成平面；二，依據(jù)條件，矛盾沖突在哪里。

（三）數(shù)學(xué)應(yīng)用

（四）學(xué)生小結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生從三個(gè)方面進(jìn)行小結(jié)，分別是：

1、知識(shí)及其發(fā)生發(fā)展過程；

2、數(shù)學(xué)思想方法；

3、三種數(shù)學(xué)語言的互譯及解題的規(guī)范性。

（五）作業(yè)布置：我采取了必做，選做和探究三類分層布置

五、教學(xué)反思

在本堂課的定義探索環(huán)節(jié)，有這樣一個(gè)插曲：第一位學(xué)生直接把判定定理拿出來作為定義，超出了我的預(yù)期，突然想到一句廣告詞：那你的益達(dá)，于是我調(diào)侃了一下，“那是你的定義”。當(dāng)時(shí)我覺得這是一個(gè)教學(xué)契機(jī)，我不應(yīng)該回避，然后課堂小結(jié)的時(shí)候?qū)Χx與判定定理進(jìn)行比對(duì)與分析，定義具有一般性，有雙重功能，而判定定理更具有操作性。

最后，在結(jié)束之前，我還想說一下我的由衷感受。一是慶幸，我慶幸我能有這樣的寶貴機(jī)會(huì)與這么多優(yōu)秀教師同場(chǎng)競(jìng)技，受益頗豐；二是感謝，感謝輔仁中學(xué)的精心組織安排和輔仁中學(xué)學(xué)生的能力合作，讓我有這樣的一個(gè)展現(xiàn)自我的機(jī)會(huì)。謝謝大家！

第二篇：線面垂直教案

2012第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)教案

線面垂直、面面垂直

教學(xué)目標(biāo)：掌握線面垂直、面面垂直的證明方法，并能熟練解決相應(yīng)問題.（一）主要知識(shí)及主要方法：

【思考與分析】要證明線面垂直，我們可以把它轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，這道題可以通過證明A1C與平面C1BD內(nèi)兩條相交直線BD，BC1垂直即可.而要證明A1C與相交直線BD、BC1垂直，可利用三垂線定理的三步曲證明．基礎(chǔ)平面分別取下底面及右側(cè)面．

1.線面垂直的證明：?1?判定定理；?2?如果兩條平行線中一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于

這個(gè)平面；?3?一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面,它也垂直于另一個(gè)平面；?4?兩個(gè)平面垂直,在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面.?5?如果兩個(gè)相交平面都與第三個(gè)平面垂直,那么它們的交線與第三個(gè)平面垂直.P A?6?向量法：

???????????????????PQ?AB?PQ?AB?0

PQ??????? ???????????????

???PQ?AC?PQ?AC?0

CQ

2.面面垂直的證明：?2?如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,?1?計(jì)算二面角的平面角為90? ；

那么這兩個(gè)平面垂直;

題型講解證明線線垂直

三垂線定理與平面的位置無關(guān)，即對(duì)水平位置、豎直位置、傾斜位置的平面都能用三垂線定理．下面我們通過實(shí)例來體驗(yàn)“三步曲”的具體應(yīng)用過程．

例1(1)已知PA、PB、PC兩兩互相垂直，求證：P在平面ABC內(nèi)的射影O是△ABC的垂心．

【思考與分析】 要證O是△ABC的垂心，我們需要證明AO⊥BC、BO⊥AC、CO⊥AB.而AO、BO、CO分別是AP、BP、CP在平面ABC上的射影，因此我們想到應(yīng)用三垂線定理.分三步進(jìn)行：①定線面：即面內(nèi)直線BC與基礎(chǔ)平面為底面ABC，②找三線：即垂線PO，斜線PA，射影AO，③證垂直：即AO⊥BC．同理可證其它兩條．

證明：因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的射影為O，所以PO⊥平面ABC，連結(jié)AO且延長(zhǎng)交BC于D，則AO是PA在平面ABC上的射影．

∵ AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC=P，∴ PA⊥平面PBC，又BC平面PBC，∴ AP⊥BC．根據(jù)三垂線定理的逆定理知，AD⊥BC，所以AD是△ABC中BC邊上的高．連結(jié)CO并延長(zhǎng)交AB于F，同理可證CF⊥AB；所以CF是△ABC中AB邊上的高，AD∩CF=O，所以O(shè)是△ABC的垂心．【反思】 解這道題時(shí)，首先應(yīng)用的是線面垂直的判定定理，然后運(yùn)用三垂線定理的逆定理，所以要想快速解題，我們需要熟練掌握并能綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí).(2)正方體ABCD－A1B1C1D1中，求證：對(duì)角線A1C⊥平面C1BD．

證明：∵ A1A⊥平面ABCD，A1C是斜線，連AC，AC⊥BD，由三垂線定理知BD⊥A1C．∵ A1B1⊥平面BCC1B1，A1C是斜線，連B1C，B1C是A1C在BCC1B1內(nèi)的射影，又∵ BC1⊥B1C，由三垂線定理知BC1⊥A1C．又BD∩BC1=B，∴ A1C⊥平面DBC1．

【反思】 應(yīng)用三垂線定理解題一定要熟記這三個(gè)步驟，而且還需要我們有一定的空間立體感.例2在直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，A1B⊥AC1，求證：A1B⊥B1C

證明：取A1B1的中點(diǎn)D1，連結(jié)C1D1∵B1C1=A1C1，∴C1D1⊥ABB1A連結(jié)AD1，則AD1是AC1在平面ABB1A1內(nèi)的射影，∵A1B⊥AC1，∴A1B⊥AD11取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)CD、B1D，則B1D∥AD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1內(nèi)的射影∵B1D⊥A1B，∴A1B⊥B1C點(diǎn)評(píng)：證明異面直線垂直的常用方法有：證明其中一直線垂直于另外一直線所在的平面；利用三垂線定理及其逆定理 證明線面垂直

例3 已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點(diǎn)，過A點(diǎn)作AE⊥PC于點(diǎn)E，求證：AE⊥平面PBC

證明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC

又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC 而PC∩AC=C，∴BC⊥平面又∵AE在平面PAC內(nèi)，∴BC⊥AE∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC 點(diǎn)評(píng)：證明直線與平面垂直的常用方法有：利用線面垂直的定義；利用線面垂直的判定定理；利用“若直線a∥直線b，直線a⊥平面α，則直線b⊥平面α”

練習(xí)：

1.以AB為直徑的圓在平面?內(nèi)PA⊥?于A，C在圓上，連PB、PC過A作AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，試判斷圖中還有幾組線面垂直。

PA???

BC????

?PAAB為直徑?AC?BC

??

????AF?面PAC

??

??AF?PC

??

?AF?面PBC?PB?面PBC??AF?PB?

?AE?PB???PB?AEF

cos?BAC?

AB2?AC2?BC

22?AB?AC ?

a2?b2?a2?c2?b2?c2

2?AB?AC

?

a

a2?b2?a2?c2

?0

?BAC為銳角，同理?ABC為銳角?。

P在底面射影為?ABC垂心。

BC?面ABC??

PA?BC?

? ?BC?面APQ??AQ?面APQ???BC?AQ?

??Q為?ABC垂心

同理?AC?BQ?

?

?CQ?AB?

??AB?面PQC?PQ?AB?AB?PC

同理A、B5.如圖，?B?AAA?//BB?確定平面?

????A?B??

??AB?????AB//AB??

?

??AB//?????AB?AA??

?

??AB?面AA?CAA??A?B?

??

??

AB?AC

??

?A?B??面CA?A?A?B??CA???CA?B?為直角

證明面面垂直

例4在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1，CD的中點(diǎn)（1）求證：AD⊥D1F；（2）求AE與D1F所成的角；（3）證明平面AED⊥平面A1FD

1分析：涉及正方體中一些特殊的點(diǎn)、線、面的問題，建立空間直角坐標(biāo)系來解，不僅容易找到解題方向，而且坐標(biāo)也簡(jiǎn)單，此時(shí)“垂直”問題轉(zhuǎn)化為“兩向量數(shù)量積為0”的問題，當(dāng)然也可用其它的證證明：建立空間直角坐標(biāo)系如圖，并設(shè)AB=2，則A(0,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2)

D1(0,2,2)，E(2,0,1),F(1,2,0)

?????????

(1)AD?(0,2,0),D1F?(1,0,?2)

?????????

? AD?D1F=0×1+2×1+0×(-2)=0, ?AD⊥D1F

??????????????????（2）AE=（2，0，1）D1F=（1，0，-2），|AE|?，|D1F|?設(shè)AE與D1F的夾角為θ，則 cosθ1?

2?1?0?0?1?(?2)

5?0

所以，直線AE與D1F所成的角為90°（3）由（1）知D1F⊥AD，由（2）知D1F⊥AE，又AD∩AE=A，?D1F⊥平面AED，∵D1F?平面A1FD1M

?平面AED⊥平面A1FDB

例5已知AB是圓O的直徑，PA垂直于?O所在的平面，C是圓周上不同于A,B的任一

點(diǎn)，求證：平面PAC?平面PBC．

分析：根據(jù)“面面垂直”的判定定理，要證明兩平面互相垂直，只要在其中一個(gè)平面中尋找一條與另解：∵AB是圓O的直徑，∴AC?BC，又∵PA垂直于?O所在的平面，∴PA?BC，∴BC?平面PAC，又BC在平面PBC中，所以，平面PAC?平面PBC． 點(diǎn)評(píng)：由于平面PAC與平面PBC相交于PC，所以如果平面PAC?平面PBC，則在平面PBC中，垂直于PC的直線一定垂直于平面PAC小結(jié):

1垂直問題來處理或在兩直線上分別取它們的方向向量，然后證它們的數(shù)量積為0

2面垂直的判定定理，證明直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，當(dāng)然再證這直線（這平面）與已知直線（或平面）重合，有時(shí)侯將線面垂直問題轉(zhuǎn)化為證面面垂直問題，也許會(huì)給你帶來意想不到的收獲 3如證面面垂直可轉(zhuǎn)化為證明一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線

用向量法證明垂直，就是證有關(guān)向量的數(shù)量積為1“直線l垂直于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線”是“l(fā)⊥α”的 AB

CD 答案：B①直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等，則此直線與平面平行②夾在兩個(gè)平行平面間的兩條異面線段的中點(diǎn)連線平行于這兩個(gè)平面③直線m⊥平面α，直線n⊥m，則n∥α④a、b是異面直線，則存在唯一的平面α，使它與a、b都平行且與a、b距離相等 ABCD 解析：①錯(cuò)誤與平面相交如下圖，平面α∥β，A∈α，C∈α，D∈β，B∈β且E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，過C作CG∥AB交平面β于G，連結(jié)BG、GD設(shè)H是CG的中點(diǎn)，則EH∥BG，HF∥GD∴EH∥平面β，HF∥平面β

∴平面EHF∥平面β∥平面α∴EF∥α，EF∥β

③錯(cuò)誤直線n可能在平面α內(nèi)④正確AB是異面直線a、b的公垂線段，E為AB的中點(diǎn)，過E作a′∥a，b′∥b，則a′、b′確定的平面即為與a、b都平行且與a、b距離相等的平面，并且它是唯一確定的答案：D

3在正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)，沿SE、SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使G1、G2、G3三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為G，那么，在四面體S—EFG中必有 A⊥平面EFGB⊥平面EFG C⊥平面SEF D⊥平面SEF

解析：注意折疊過程中，始終有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFGA答案：A

4PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A、B的任一點(diǎn)，則下列關(guān)系不正確的是 A⊥BCB⊥平面PACC⊥PB D⊥BC 解析：由三垂線定理知AC⊥PB，故選答案：C 5ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C到平面α的距離分別為2 cm、3 cm、4 cm，且它們?cè)讦恋耐瑐?cè)，則△ABC的重心到平面α的距離為解析：如下圖，設(shè)A、B、C在平面α上的射影分別為A′、B′、C′，△ABC的重心為G，連結(jié)CG交

AB于中點(diǎn)E，又設(shè)E、G在平面α上的射影分別為E′、G′，則E′∈A′B，G′∈C′E，EE′=A′

A+B′B）=，CC′=4，CG∶GE=2∶1，在直角梯形EE′C′C中可求得GG′=3答案：3 cm

6ABCD—A1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_______時(shí)，有A1C⊥B1D1認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）答案：A1C1⊥B1D1或四邊形A1B1C1D1為菱形等 7ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則（1）A點(diǎn)到CD1的距離為________；（2）A點(diǎn)到BD1的距離為________；

（3）A點(diǎn)到面BDD1B1的距離為_____________；（4）A點(diǎn)到面A1BD的距離為_____________；（5）AA1與面BB1D1D的距離為__________6622（2）（3）（4）（5）232

328△ABC在平面α內(nèi)的射影是△A1B1C1，設(shè)直角邊AB∥α，則△A1B1C1的形狀是_____________三角形答案：（1）

解析：根據(jù)兩平行平面的性質(zhì)及平行角定理，知△A1B1C的形狀仍是Rt△答案：直角 4ABCD—A1B1C1D1中，M為CC1的中點(diǎn)，AC交BD于點(diǎn)O，求證：A1O⊥平面MBD證明：連結(jié)MO ∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC1又A1O?平面A1ACC1，∴A1O⊥DB

（1）解：當(dāng)a=2時(shí)，ABCD為正方形，則BD⊥AC又∵PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA∴BD⊥平面故當(dāng)a=2時(shí)，BD⊥平面PAC（2）證明：當(dāng)a=4時(shí)，取BC邊的中點(diǎn)M，AD邊的中點(diǎn)N，連結(jié)AM、DM、BMN∵ABMN和DCMN都是正方形，∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°，即DM⊥AM又PA⊥底面ABCD，由三垂線定理得，PM⊥DM，故當(dāng)a=4時(shí)，BC邊的中點(diǎn)M使PM⊥DM（3）解：設(shè)M是BC邊上符合題設(shè)的點(diǎn)M，∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM因此，M點(diǎn)應(yīng)是以AD為直徑的圓和BC邊的一個(gè)公共點(diǎn)，則AD≥2AB，即a≥4點(diǎn)評(píng)：本題的解決中充分運(yùn)用了平面幾何的相關(guān)知識(shí)因此，立體幾何解題中，要注意有關(guān)的平面幾何知識(shí)的運(yùn)用事實(shí)上，立體幾何問題最終是在一個(gè)或幾個(gè)平面中得以解決的在矩形A1ACC1中，tan∠AA1O=

22，tan∠MOC=，22

∴∠AA1O=∠MOC，則∠A1OA+∠MOC=90A1O⊥OM∵OM∩DB=O，∴A1O⊥平面9S—ABC中，N是S在底面ABC上的射影，且N在△ABC的AB邊的高CD上，點(diǎn)M∈SC，截面MAB和底面ABC所成的二面角M—AB—C等于∠NSC，求證：SC⊥截面證明：∵CD是SC在底面ABC上的射影，AB⊥CD，∴AB⊥SCMD∵∠MDC=∠NSC，∴DM⊥SCAB∩DM=D，∴SC⊥截面MABABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PM的最小值解：∵P是定點(diǎn)，要使PM的值最小，只需使PM⊥AB即可 要使PM⊥AB，由于PC⊥平面ABC，∴只需使CM⊥AB即可

∵∠BAC=60°，AB=8，∴AC=AB·cos60°=4

∴CM=AC·sin60°=4·

=2

B

∴PM=PC2?CM2=?

12P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又側(cè)棱PA⊥底面ABCD（1）當(dāng)a為何值時(shí)，BD⊥平面PAC?試證明你的結(jié)論（2）當(dāng)a=4時(shí)，求證：BC邊上存在一點(diǎn)M，使得PM⊥（3）若在BC邊上至少存在一點(diǎn)M，使PM⊥DM，求a的取值范圍分析：本題第（1）問是尋求BD⊥平面PAC的條件，即BD垂直平面PAC內(nèi)兩相交直線，易知BD⊥PA，問題歸結(jié)為a為何值時(shí)，BD⊥AC，從而知ABCD為正方形-4-

第三篇：線面垂直教案

課題：直線與平面垂直

授課教師：伍良云

【教學(xué)目標(biāo)】

知識(shí)與技能

1、掌握直線與平面垂直的定義及判定定理.2、使學(xué)生掌握判定直線與平面垂直的方法.過程與方法

培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，使他們?cè)谥庇^感知，操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)歸納、概括結(jié)論.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

在體驗(yàn)數(shù)學(xué)美的過程中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，從而培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、勤于動(dòng)手的良好品質(zhì).培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)從“感性認(rèn)識(shí)”到“理性認(rèn)識(shí)”過程中獲取新知.教學(xué)重點(diǎn)

直線與平面垂直的定義及判定定理.教學(xué)難點(diǎn)

直線與平面垂直的定義及判定定理

教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)式與試驗(yàn)探究式相結(jié)合。

教學(xué)手段：PPT、實(shí)物?！窘虒W(xué)過程】

一、實(shí)例引入，理解概念

1．通過復(fù)習(xí)空間直線與平面的位置關(guān)系，讓學(xué)生舉例感知生活中直線與平面相交的位置關(guān)系，其中最特殊、最常見的一種就是線面的垂直關(guān)系，從而引出課題． 2．讓學(xué)生從與生活有關(guān)的直線與平面垂直現(xiàn)象的實(shí)例中抽象歸納出直線與平面垂直的定義，并給出學(xué)生非常熟悉的旗桿，引導(dǎo)他們觀察旗桿與地面位置關(guān)系，驗(yàn)證直線與平面垂直的定義，引出直線與平面垂直的定義．即：如果直線l與平面?內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面?互相垂直．記作：l⊥?.直線l叫做平面?的垂線，平面?叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足。

二．剖析概念，運(yùn)用定義：

例1． 求證：如果兩條平行直線中的一條垂直與一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面．

學(xué)生動(dòng)筆練習(xí)，投影，學(xué)生分析：欲證b??，需證直線b與面?內(nèi)任意一條直線垂直；通過直線a轉(zhuǎn)化。

通過例1，讓學(xué)生知道直線與平面垂直的定義既可以用來證明直線與平面垂直，又可以用來證明直線與直線垂直。

三：通過試驗(yàn)，探究直線與平面垂直的判定定理

準(zhǔn)備一個(gè)三角形紙片，三個(gè)頂點(diǎn)分別記作A，B，C．如圖，過△ABC的頂點(diǎn)A折 疊紙片，得到折痕AD，將折疊后的紙片打開豎起放置在桌面上．（使BD、DC邊與桌面接觸）

問題1：折痕AD與桌面一定垂直嗎？

問題2：如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面?垂直？ 問題3：為什么這樣折折痕與桌面是垂直的？

問題4：如果改變紙片打開的角度，折痕能與桌面保持垂直嗎？

問題5：我們就可以固定平面ABD，另一個(gè)平面繞AD旋轉(zhuǎn)，由此，你能總結(jié)出什么樣的結(jié)論？

讓學(xué)生在操作過程中，通過不斷的追問，最終確認(rèn)并理解判定定理的條件． 最后，引導(dǎo)學(xué)生從文字語言、符號(hào)語言、圖形語言三個(gè)方面歸納直線和平面垂直的判定定理．

AABD圖1CB圖2DC

文字語言：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．

符號(hào)語言：l?a，l?b，a??，b??，a?b?A?l??．

圖形語言：

四．運(yùn)用定理，加深理解：

例2:在正方體ABCD?A'B'C'D'中，證明：棱BB'和底面ABCD垂直．

五、課堂練習(xí)

1．已知平面?與?外一直線l，下列命題中:(1)若l垂直?內(nèi)兩直線，則l⊥?(2)若l垂直?內(nèi)所有直線，則l⊥?(3)若l垂直?內(nèi)兩相交直線，則l⊥?(4)若l垂直?內(nèi)無數(shù)條直線，則l⊥?(5)若l垂直?內(nèi)任一條直線，則l⊥? 其中正確的個(gè)數(shù)為

l ? a b D'A'B'C'DAB

C

六、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識(shí)

1．學(xué)習(xí)小結(jié)：從知識(shí)和方法兩個(gè)方面進(jìn)行．

知識(shí)方面：線面垂直的定義、線面垂直的判定定理及線面垂直的性質(zhì)定理．

方法方面：轉(zhuǎn)化思想

七．布置作業(yè)：

（1）閱讀課本相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)；（2）學(xué)海導(dǎo)航

第四篇：教案《線面垂直的判定》

陜西省西安中學(xué)附屬遠(yuǎn)程教育學(xué)校

線面垂直的判定

教學(xué)目標(biāo)

1．知識(shí)與技能

掌握直線和平面、平面和平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，并能應(yīng)用．

2．過程與方法

通過“觀察”“認(rèn)識(shí)”“畫出”空間圖形及垂直關(guān)系相關(guān)定理的學(xué)習(xí)過程，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力及合情推理能力．

3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀

垂直關(guān)系在日常生活中有廣泛的實(shí)例，通過本節(jié)的教學(xué)，可讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)原理的廣泛應(yīng)用．

教材分析

教材以旗桿與地面、書脊與桌面等日常生活中學(xué)生熟悉的實(shí)例人手，讓學(xué)生在直觀感知的基礎(chǔ)上借助直角三角板形成直線與平面垂直的概念．然后以長(zhǎng)方體模型為基礎(chǔ)，讓學(xué)生思考：如何判定一條直線與一個(gè)平面垂直呢?結(jié)合長(zhǎng)方體模型中具體的線面關(guān)系，讓學(xué)生進(jìn)行操作確認(rèn)，從而得到直線與平面垂直的判定定理．突出了長(zhǎng)方體模型在幫助學(xué)生思考垂直關(guān)系中的作用．

在平面與平面垂直的判定這一節(jié)中，教材的展開思路與

教學(xué)目標(biāo)

1．知識(shí)與技能

掌握直線和平面、平面和平面垂直的判定定理，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用．

2．過程與方法

在合作探究中，逐步構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)；在實(shí)踐操作中進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力和空間想象能力．

3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀

垂直關(guān)系在日常生活中有廣泛的實(shí)例，通過本節(jié)的教學(xué)，可讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)原理的廣泛應(yīng)用．

教材分析

本節(jié)課是第6節(jié)的第一課時(shí)，是立體幾何的核心內(nèi)容之一．在學(xué)生學(xué)習(xí)了線面平行關(guān)

系之后，仍以長(zhǎng)方體為載體，是對(duì)學(xué)生“直觀感知、操作確認(rèn)、歸納總結(jié)、初運(yùn)用”的認(rèn)知過程的一個(gè)再?gòu)?qiáng)化．

學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線和平面、平面和平面平行的判定及性質(zhì)，學(xué)習(xí)了兩直線(共面或異面)互相垂直的位置關(guān)系，有了“通過觀察、操作并抽象概括等活動(dòng)獲得數(shù)學(xué)結(jié)論”的體會(huì)，有了一定的空間想象能力、幾何直觀能力和推理論證能力． 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

本節(jié)的重點(diǎn)：垂直關(guān)系的判定定理．

本節(jié)的難點(diǎn)：對(duì)直線和平面垂直判定定理的理解．

教學(xué)過程

問題提出

問題1空間一條直線與平面有哪幾種位置關(guān)系?

問題2在直線與平面相交的位置關(guān)系中，哪種相交最特殊?

在我們的生活中，隨處可見線、面的垂直：在操場(chǎng)上豎立的國(guó)旗桿與地面、豎直的墻角線與地面、燈塔與海平面.思考

1如何用語言表述直線和平面的垂直關(guān)系?

直線和平面垂直的定義：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個(gè)平面垂直．

用符號(hào)記作： l

用圖形表示： ?a．

思考

2怎樣判定直線與平面垂直呢?

思考

3? 如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的一

條直線，那么這條直線是否與這個(gè)平面垂直?

? 如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條條直線，那么這條直線是否與這個(gè)平

面垂直?

? 如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個(gè)平

面垂直?

? 如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線是否與這個(gè)

平面垂直?

抽象概括

直線和平面垂直判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面．

關(guān)鍵：線不在多，相交則行

符號(hào)語言表示：若a?,b?,a?b?P,且l?a,l?b，則l??

圖形語言表示：

動(dòng)手實(shí)踐

過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，再將翻折后的紙片豎起放置在桌面上

（BD、DC與桌面接觸），進(jìn)行觀察并思考：

（1）折痕AD與桌面垂直嗎？

（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？若不過頂點(diǎn)A翻折紙片呢？

（3）翻折前后垂直關(guān)系發(fā)生變化了嗎？由此你能得到什么結(jié)論？

知識(shí)應(yīng)用

例1如圖所示，在Rt△ABC中，?B?90，P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA?平0

面ABC問：四面體P—ABC中有幾個(gè)直角三角形?

解：因?yàn)镻A?平面ABC，所以 PA?AB，PA?AC，PA?BC．

所以△PAB，△PAC為直角三角形．

又PA?BC，AB?BC，且PA?AB?A，所以BC?平面PAB．

又PB平面PAB，于是BC?PB，所以△PBC也為直角三角形．

所以四面體PABC中的四個(gè)面都是

直角三角形．

例2如圖所示，已知三棱錐A-BCD中，CA?CB,DA?DB,BE?CD,AH?BE,且F為棱AB的中點(diǎn)，求證：AH?平面BCD.證明：取AB的中點(diǎn)F，連接CF，DF，因?yàn)镃A=CB，DA=DB，所以CF?AB,DF?AB,又CF?DF

又CD?F,所以AB?平面CDF.平面CDF，于是AB?CD,由已知BE?CD,且AB?BE?B,所以CD?平面ABH.又AH平面ABH，于是CD?AH,已知AH?BE,且BE?CD?E,所以AH?平面BCD.課堂小結(jié)

判定直線和平面是否垂直，有兩種方法：

(1)定義：強(qiáng)調(diào)是“任何一條直線”；

(2)判定定理：必須是“兩條相交直線”．

線線垂直線面垂直

布置作業(yè)

課本習(xí)題1—6 A組5、6（1）B組2（1）

思考交流

如圖，直線m、n都是線段AA/的垂直平分線，設(shè)m、n確定的平面為?，能否證明：AA/⊥g，其中g(shù)為平面內(nèi)過點(diǎn)B的任意直線.

第五篇：2013年江蘇省高中數(shù)學(xué)優(yōu)秀課評(píng)比教案——對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)的概念設(shè)計(jì)的幾點(diǎn)說明

對(duì)數(shù)的概念設(shè)計(jì)的幾點(diǎn)說明

江蘇省泰州中學(xué) 周花香

1.對(duì)數(shù)既是一個(gè)重要的概念，又是一種重要的運(yùn)算，而且它是與指數(shù)概念緊密相連的．它們是對(duì)同一關(guān)系從不同角度的刻畫，表示為當(dāng)a(a?1,a?1)的b次冪等于N，即ab?N，那么就稱b是以a為底N的對(duì)數(shù)，記作logaN?b,a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。在關(guān)系的指導(dǎo)下完成指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化．

2.本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是對(duì)數(shù)的定義，難點(diǎn)是對(duì)數(shù)的概念．對(duì)于對(duì)數(shù)概念的學(xué)習(xí)，一定要緊緊抓住與指數(shù)之間的關(guān)系，首先從指數(shù)式中理解底a和真數(shù)N的意義，其次對(duì)于對(duì)數(shù)的性質(zhì)及零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)的理解也可以通過指數(shù)式來證明，驗(yàn)證． 3.對(duì)數(shù)首先作為一種運(yùn)算，由 ab?N引出的，在這個(gè)式子中已知一個(gè)數(shù)a和它的指數(shù)求冪的運(yùn)算就是指數(shù)運(yùn)算，而已知一個(gè)數(shù)和它的冪求指數(shù)就是對(duì)數(shù)運(yùn)算(而已知指數(shù)和冪求這個(gè)數(shù)的運(yùn)算就是開方運(yùn)算)，所以從方程角度來看待的話，這個(gè)式子有三個(gè)量，知二求一．恰好可以構(gòu)成以上三種運(yùn)算，所以引入對(duì)數(shù)運(yùn)算是很自然的，也是很重要的，也就完成了對(duì) ab?N的全面認(rèn)識(shí)．此外對(duì)數(shù)作為一種運(yùn)算除了認(rèn)識(shí)運(yùn)算符號(hào)log以外，更重要的是把握運(yùn)算法則，以便正確完成各種運(yùn)算，由于對(duì)數(shù)與指數(shù)在概念上相通，使得對(duì)數(shù)法則的推導(dǎo)可借助指數(shù)運(yùn)算法則來完成，推到過程又加深了指對(duì)關(guān)系的認(rèn)識(shí)，自然應(yīng)成為本節(jié)的重點(diǎn)，特別予以關(guān)注．

4.對(duì)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)的認(rèn)識(shí)與理解是學(xué)生認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)的一個(gè)障礙，其實(shí)log與+、-、*、/，,等符號(hào)一樣表示一種運(yùn)算，不過對(duì)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)寫在前面，學(xué)生不習(xí)慣，所以在認(rèn)識(shí)上感到有些困難．

5.對(duì)于對(duì)數(shù)恒等式的探究，對(duì)層次較高的學(xué)生可以采用“概念形成”的學(xué)習(xí)方式通過對(duì)具體例子的提出，讓形式的認(rèn)識(shí)由感性上升到理性，由特殊到一般歸納出法則，再利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系完成證明，而其他法則的證明應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用已證結(jié)論完成，強(qiáng)化“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)．