第一篇：《等腰三角形》教學(xué)設(shè)計

10.2 等腰三角形（1）

一、學(xué)生知識狀況分析

在七年級下冊第八章《平行線的有關(guān)證明》，學(xué)生已經(jīng)感受了證明的必要性，并通過平行線有關(guān)命題的證明過程，習(xí)得了一些基本的證明方法和基本規(guī)范，積累了一定的證明經(jīng)驗；在七年級上，學(xué)生也已經(jīng)探索得到了有關(guān)三角形全等和等腰三角形的有關(guān)命題，這些都為證明本節(jié)有關(guān)命題做了很好的鋪墊。

二、教學(xué)任務(wù)分析

本節(jié)將進(jìn)一步利用三角形的定理、公理證明等腰三角形的有關(guān)定理，由于具備了上面所說的活動經(jīng)驗和認(rèn)知基礎(chǔ)，為此，本節(jié)可以讓學(xué)生在回顧的基礎(chǔ)上，自主地尋求命題的證明，為此，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

1、知識目標(biāo)：

理解作為證明基礎(chǔ)的幾條公理的內(nèi)容，應(yīng)用這些公理證明等腰三角形的性質(zhì)定理；

在證明過程中，進(jìn)一步感受證明過程，掌握推理證明的基本要求，明確條件和結(jié)論，能夠借助數(shù)學(xué)符號語言利用綜合法證明等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理；

熟悉證明的基本步驟和書寫格式。

2、能力目標(biāo)：

經(jīng)歷“探索－發(fā)現(xiàn)－猜想－證明”的過程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會證明是探索活動的自然延續(xù)和必要發(fā)展，發(fā)展學(xué)生的初步的演繹邏輯推理的能力；

鼓勵學(xué)生在交流探索中發(fā)現(xiàn)證明方法的多樣性，提高邏輯思維水平；

3、情感與價值目標(biāo)

啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生體會探索結(jié)論和證明結(jié)論，及合情推理與演繹的相互依賴和相互補(bǔ)充的辯證關(guān)系；

培養(yǎng)學(xué)生合作交流的能力，以及獨立思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。

4、教學(xué)重、難點

重點：探索證明等腰三角形性質(zhì)定理的思路與方法，掌握證明的基本要求和方法； 難點：明確推理證明的基本要求如明確條件和結(jié)論，能否用數(shù)學(xué)語言正確表達(dá)等。

三、教學(xué)過程分析

學(xué)生課前準(zhǔn)備：一張等腰三角形紙片（供上課折疊實驗用）； 教師課前準(zhǔn)備：制作好的幾何畫板課件。

本節(jié)課設(shè)計了六個教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：折紙活動 探索新知；第二環(huán)節(jié)：明晰結(jié)論和證明過程；第三環(huán)節(jié)：逆向思考；第四環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)

鞏固新知；第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。

第一環(huán)節(jié)：折紙活動 探索新知

活動內(nèi)容：在提問：“等腰三角形有哪些性質(zhì)？以前是如何探索這些性質(zhì)的，你能再次通過折紙活動驗證這些性質(zhì)嗎？并根據(jù)折紙過程，得到這些性質(zhì)的證明嗎？”的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生經(jīng)歷這些定理的活動驗證和證明過程。具體操作中，可以讓學(xué)生先獨自折紙觀察、探索并寫出等腰三角形的性質(zhì)，然后再以六人為小組進(jìn)行交流，互相彌補(bǔ)不足。

BDCAAA→

BCD→

B(C)D活動目的：通過折紙活動過程，獲得有關(guān)命題的證明思路，并通過進(jìn)一步的整理，再次感受證明是探索的自然延伸和發(fā)展，熟悉證明的基本步驟和書寫格式。

活動效果與注意事項：由于有了教師引導(dǎo)下學(xué)生的活動，以及具體的折紙操作，學(xué)生一般都能得到有關(guān)等腰三角形的性質(zhì)定理，當(dāng)然，可能部分學(xué)生得到的定理并不全面，在學(xué)生小組的交流中，通過同伴的互相補(bǔ)充，一般都可以得到所有性質(zhì)定理。當(dāng)然，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)注意小組的巡視，提醒學(xué)生思考多種證明思路，思考不同的輔助線之間的關(guān)系從而得到“三線合一”。第二環(huán)節(jié)：明晰結(jié)論和證明過程

活動內(nèi)容：在學(xué)生小組合作的基礎(chǔ)上，教師通過分析、提問，和學(xué)生一起完成以上兩個性質(zhì)定理的證明，注意最好讓兩至三個學(xué)生板演證明,其余學(xué)生挑選其一證明。其后，教師通過課件匯總各小組的結(jié)果以及具體證明方法，給學(xué)生明晰證明過程。

（1）等腰三角形的兩個底角相等；

（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊中線、底邊上高三條線重合

活動目的：和學(xué)生一起完成性質(zhì)定理的證明，可以讓學(xué)生自主經(jīng)歷命題的證明過程；明晰證明過程，意圖給學(xué)生明晰一定的規(guī)范，起到一種引領(lǐng)作用；

活動效果：學(xué)生一般都能得到這些定理的證明。

第三環(huán)節(jié)：逆向思考

活動過程：

上面，我們改變問題條件，得出了很多類似的結(jié)論，這是研究問題的一種常用方法，除此之外，我們還可以“反過來”思考問題，這也是獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的一條途徑。例如“等邊對等角”，反過來成立嗎?也就是：有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎?

如圖，在△ABC中，∠B=∠C，要想證明AB=AC，只要構(gòu)造兩個全等的三角形，使AB與AC成為對應(yīng)邊就可以了。

你是如何想到的?

由前面定理的證明獲得啟發(fā)，比如作BC的中線，或作A的平分線，或作BC上的高，都可以把△ABC分成兩個全等的三角形。

很好。同學(xué)們可在練習(xí)本上嘗試一下是否如此，然后分組討論。

我們組發(fā)現(xiàn)，如果作BC的中線，雖然把△ABC分成了兩個三角形，但無法用公理和已證明的定理證明它們?nèi)?。因為我們得到的條件是兩個三角形對應(yīng)兩邊及其一邊的對角分別相等，是不能夠判斷兩個三角形全等的。后兩種方法是可行的。

那么就請同學(xué)們?nèi)芜x一種方法按要求將推理證明過程書寫出來。（教師可讓兩個同學(xué)在黑板上演示，并對推理證明過程講評）

ABC（證明略）

活動效果：我們用“反過來”思考問題，獲得并證明了一個非常重要的定理——等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形。這一定理可以簡單敘述為：等角對等邊。我們不僅發(fā)現(xiàn)了幾何圖形的對稱美，也發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)語言的對稱美。

第四環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)

鞏固新知

活動內(nèi)容：學(xué)生自主完成P102習(xí)題10.4第1題：如圖（圖略）,在△ABD中,C是BD上的一點，且AC⊥BD，AC=BC=CD，（1）求證：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BAD的度數(shù)。

活動目的：鞏固全等三角形判定公理的應(yīng)用，復(fù)習(xí)等腰三角形“等邊對等角”的用法。

第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)

活動內(nèi)容：讓學(xué)生暢談收獲，包括具體結(jié)論以及其中的思想方法等。活動目的：形成及時總結(jié)語反思的意識與習(xí)慣，提高學(xué)生能力。

活動效果與注意事項：教師注意對學(xué)生的感想進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，并在學(xué)生交流的基礎(chǔ)上，明晰部分收獲供學(xué)生共享，如：

1、具體有關(guān)性質(zhì)定理；

2、通過折紙活動獲得三個定理，均給予了嚴(yán)格的證明，為今后解決有關(guān)等腰三角形的問題提供了豐富的理論依據(jù)。

3、體會了證明一個命題的嚴(yán)格的要求，體會了證明的必要性。

第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

P102習(xí)題10.4 2、3

四、教學(xué)反思

本節(jié)關(guān)注學(xué)生已有活動經(jīng)驗的回顧過程，關(guān)注了 “探索－發(fā)現(xiàn)－猜想－證明”的活動過程，關(guān)注了學(xué)生自主探究過程，學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性發(fā)揮較好，應(yīng)該說取得了較好的教學(xué)效果。當(dāng)然，在具體活動中，如何在學(xué)生活動與規(guī)范表達(dá)之間形成一個恰當(dāng)?shù)钠胶?，具體各部分時間比例的分配可能還需要根據(jù)班級學(xué)生具體狀況進(jìn)行適度的調(diào)整。

第二篇：等腰三角形教學(xué)設(shè)計教學(xué)設(shè)計

等腰三角形

一、目標(biāo)認(rèn)知 學(xué)習(xí)目標(biāo)：

通過觀察發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)；掌握等腰三角形的識別方法，會用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行簡單的計算和證明；理解等腰三角形與等邊三角形的相互關(guān)系；能夠利用等腰三角形的識別方法判斷等腰三角形；掌握等邊三角形的特征和識別方法；掌握一般文字命題的解題方法

重點：

等腰三角形的性質(zhì)與判定。

難點：

比較復(fù)雜圖形、題目的推理證明。

二、知識要點梳理

知識點一：等腰三角形、腰、底邊

有兩邊相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的兩條邊叫腰，第三條邊叫底邊，兩腰的夾角叫頂角，底邊和腰的夾角叫底角

如圖所示，在△ABC中，AB=AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊，∠A是頂角，∠B、∠C是底角．

知識點二：等腰三角形的性質(zhì)

1、性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）．

性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）．

2、這兩個性質(zhì)證明如下：

在△ABC中，AB=AC，如圖所示．

作底邊BC的高AD，則有

∴ Rt△ABD≌Rt△ACD．

∴ ∠B=∠C，∠1=∠2．BD=CD．

于是性質(zhì)

1、性質(zhì)2均得證．

3、說明：

（1）①等腰三角形的性質(zhì)1用符號表示為：∵AB=AC，∴∠B=∠C；

②性質(zhì)1是等腰三角形的一條重要（主要）性質(zhì)，也是今后我們證明角相等的又一個重要依據(jù)．

（2）①性質(zhì)2實質(zhì)包含三條性質(zhì)，符號表示為：∵ AB=AC，AD⊥BC，∠1=∠2，∴ BD=CD；

或∵ AB=AC，BD=CD，∠l=∠2，∴ AD⊥BC．

②性質(zhì)2的用途更為廣泛，可以用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等．

（3）等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上高（頂角平分線或底邊中線）所在直線是它的對稱軸，通常情

況只有一條對稱軸．

知識點三：等腰三角形的判定定理

1、定理內(nèi)容及證明

如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”），如圖所示．

證明：在△ABC中，∠B=∠C，作AD⊥BC于D．則

所以△ABD≌△ACD（AAS）．

所以，AB=AC．

2、注意：

①本定理的符號表示為：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC．

②本定理可以判定一個三角形是等腰三角形，同時也是今后證明兩條線段相等的重要依據(jù)．

另外，等腰三角形的性質(zhì)和判定條件和結(jié)論正好相反，要注意區(qū)分，不要混淆． 知識點四：等邊三角形

1、等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形

如圖所示．

2、注意：

①由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說等腰三角形包括等邊三角形．

②等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì)．

知識點五：等邊三角形的性質(zhì)

1、等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三個內(nèi)角都相等，并且每一個內(nèi)角都等于60°

2、理由如下：如上圖所示，由AB=AC可得∠B=∠C，同樣可得∠A=∠C，所以∠A=∠B=∠C．

而∠A+∠B+∠C=180°．則有∠A=∠B=∠C=60°．

注意：這條性質(zhì)只有等邊三角形具有．

知識點六：等邊三角形的判定

1、等邊三角形的判定：

（1）三個角都相等的三角形是等邊三角形；

（2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．

2、證明如下：

(1)如下圖所示，若∠A=∠B=∠C，可由∠A=∠B得，AC=BC；由∠A=∠C得，AB=BC．所以AB=AC=BC．

于是判定（1）成立．

(2)如上圖所示，在△ABC中，AB=AC，若∠A=60°，則有∠B=∠C=60°，于是∠A=∠B=∠C．

由判定（1）得△ABC是等邊三角形；

若∠B=60°，則∠B=∠C=60°，于是∠A=60°，∠A=∠B=∠C．

由判定（1）得△ABC是等邊三角形。所以判定（2）成立．

知識點七：直角三角形性質(zhì)定理

1、定理內(nèi)容：在直角三角形中，如果有一個銳角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

2、證明：如圖所示，∠ACB=90°，∠A=30°．延長BC至垂直平分

使，則有AC，故，．又可得∠B=60°．于是△是等邊三角形，故

所以．即定理成立．

三、規(guī)律方法指導(dǎo)

1．等腰（邊）三角形是一個特殊的三角形，具有較多的特殊性質(zhì)，有時幾何圖形中不存在等腰（邊）三角形，可根據(jù)已知條件和圖形特征，適當(dāng)添加輔助線，使之構(gòu)成等腰（邊）三角形，然后利用其定義和有關(guān)性質(zhì)，快捷地證出結(jié)論。

2．常用的輔助線有：（1）作頂角的平分線、底邊上的高線、中線。（2）在三角形的中線問題上，我們常將中線延長一倍，這樣添輔助線有助于我們解決有關(guān)中線的問題。

經(jīng)典例題透析

類型一：探究型題目

1．如圖1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，請你設(shè)計三種不同的分法，把△ABC分割成兩個三角形，且要求其中有一個是等腰三角形。（在等腰三角形的兩個底角處標(biāo)明度數(shù)）

思路點撥: 在三角形中，“等邊對等角”與“等角對等邊”，本題應(yīng)從角度入手進(jìn)行考慮。下面提供四種分割方法供大家參考。

解析：

總結(jié)升華：對圖形進(jìn)行分割是近年來新出現(xiàn)的一類新題型，主要考查對基礎(chǔ)知識的掌握情況以及動手實踐能力，本類題目的答案有時不唯一。

舉一反三：

【變式1】如圖3，D是△ABC中BC邊上的一點，E是AD上的一點，EB=EC，∠1=∠2，求證：AD⊥BC。

請你先閱讀下面的證明過程。

證明：在△AEB和△AEC中，所以△ABE≌△AEC（第一步），所以AB=AC，∠3=∠4（第二步），所以AD⊥BC（等腰三角形的“三線合一”）。

上面的證明過程是否正確？如果正確，請寫出每一步的推理依據(jù)；如果不正確，請指出關(guān)鍵錯在哪一步，寫出你認(rèn)為正確的證明過程。

【答案】第一步錯誤。因為在△ABE和△AEC中有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，不能判定它們?nèi)取?/p>

正確的證明過程是：

因為EB=EC，所以∠EBD=∠ECD，所以∠EBD＋∠1=∠ECD＋∠2，即：∠ABC=∠ACB，所以AB=AC。

在△AEB和△AEC中，所以△ABE≌△AEC，所以∠3=∠4，所以AD⊥BC（等腰三角形的“三線合一”）。

【變式2】已知△ABC為等邊三角形，在圖4中，點M是線段BC上任意一點，點N是線段CA上任意一點，且BM=CN，直線BN與AM相交于Q點。

（1）請猜一猜：圖4中∠BQM等于多少度？

（2）若M、N兩點分別在線段BC、CA的延長線上，其它條件下不變，如圖5所示，（1）中的結(jié)論是否仍

然成立？如果成立，請加以證明；如果不成立，請說明理由。

【答案】（1）題通常猜想、測量或證明等方法不難發(fā)現(xiàn)∠BQM=60°，而且這一結(jié)論在圖形發(fā)生變化后仍然成立。（2）題的證明過程如下：

因為△ABC為等邊三角形，所以AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，所以∠ACM=∠BAN。

在△ACM和△BAN中，所以ΔACM≌ΔBAN，所以∠M=∠N，所以∠BQM=∠N＋∠QAN=∠M＋∠CAM=∠ACB=60°。

類型二：與度數(shù)有關(guān)的計算

2．如圖，在△ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，∠1=30°，求∠2的度數(shù)。

思路點撥: 解該題的關(guān)鍵是要找到∠2和∠1之間的關(guān)系，顯然∠2=∠1+∠C，只要再找出∠C與∠2的關(guān)系問題就好解決了，而∠C=∠B，所以把問題轉(zhuǎn)化為欲找出∠2與∠B之間有什么關(guān)系，變成△ABD的角之間的關(guān)系，問題就容易的多了。

解析：∵AB=AC

∴∠B =∠C

∵AB=BD

∴∠2=∠3

∵∠2=∠1+∠C

∴ ∠2=∠1+∠B

∵∠2+∠3+∠B=180°

∴∠B=180°－2∠2

∴∠2=∠1+180°－2∠2

∴3∠2=∠1+180°

∵∠1=30°

∴∠2=70°

總結(jié)升華：關(guān)于角度問題可以通過建立方程進(jìn)行解決。

舉一反三：

【變式1】如圖，D、E在△ABC的邊BC上，且BE=BA，CD=CA，若∠BAC=122°，求∠DAE的度數(shù)。

【答案】∵BE=BA

∴∠2=∠BAE

∵CD=CA

∴∠1=∠CAD

∵∠1+∠CAD+∠C=180°

∴∠1=

∵∠2+∠BAE+∠B=180°

∴∠2=

∴∠1+∠2=∵∠B+∠C=180°－∠BAC

∴∠1+∠2=

∵∠DAE=180°－（∠1+∠2）

∴∠DAE=90°－=90°－61°=29°。

【變式2】在△ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且AD=AE，∠BAD=30°，求∠EDC的度數(shù)。

【答案】∵ AB=AC，AD=AE

∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED

∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=∠B+∠BAD

∴∠AED+∠EDC=∠C+∠BAD

∵∠AED=∠C+∠EDC

∴∠C+2∠EDC=∠C+∠BAD

∴∠EDC=∠BAD=15°。

類型三：等腰三角形中的分類討論

3．當(dāng)腰長或底邊長不能確定時，必須進(jìn)行分類討論

（1）已知等腰三角形的兩邊長分別為8cm和10cm，求周長。

（2）等腰三角形的兩邊長分別為3cm和7cm，求周長。

思路點撥: 由等腰三角形的性質(zhì)可知我們在解此題前，必須明確所給的邊的定義，在這里哪條邊是“腰”，哪條邊是“底”不明確，而且還要考慮到三條線段能夠構(gòu)成三角形的前提，因此必須進(jìn)行分類討論。

解析：（1）因為8+8＞10，10+10＞8，則在這兩種情況下都能構(gòu)成三角形；

當(dāng)腰長為8時，周長為8+8+10=26；

當(dāng)腰長為10時，周長為10+10+8=28；

故這個三角形的周長為26cm或28cm。

（2）當(dāng)腰長為3時，因為3+3＜7，所以此時不能構(gòu)成三角形；

當(dāng)腰長為7時，因為7+7＞3，所以此時能構(gòu)成三角形，因此三角形的周長為：7+7+3=17；

故這個三角形的周長為17cm。

總結(jié)升華：對于此類題目在進(jìn)行分類討論時，必須運用三角形的三邊關(guān)系來驗證是否能構(gòu)成三角形

舉一反三：

【變式1】當(dāng)頂角或底角不能確定時，必須進(jìn)行分類討論

等腰三角形的一個角是另一個角的4倍，求它的各個內(nèi)角的度數(shù)

【答案】（1）當(dāng)?shù)捉鞘琼斀堑?倍時，設(shè)頂角為x，則底角為4x，∴ 4x+4x+x=180°，∴ x=20°，∴ 4x=80°，于是三角形的各個內(nèi)角的度數(shù)為：20°，80°，80°。

（2）當(dāng)頂角是底角的4倍時，設(shè)底角為x，則頂角為4x，∴ x+x+4x=180°，∴ x=30°，∴ 4x=120°，于是三角形的各個內(nèi)角的度數(shù)為：30°，30°，120°。

故三角形各個內(nèi)角的度數(shù)為20°，80°，80°或30°，30°，120°。

【變式2】當(dāng)高的位置關(guān)系不確定時，必須分類討論

等腰三角形一腰上的高與另一邊的夾角為25°，求這個三角形的各個內(nèi)角的度數(shù)。

【答案】設(shè)AB=AC，BD⊥AC；

（1）高與底邊的夾角為25°時，高一定在△ABC的內(nèi)部，如右圖，∵∠DBC=25°，∴∠C=90°-∠DBC=90°-25°=65°，∴ ∠ABC=∠C=65°，∠A=180°-2×65°=50°。

圖1

（2）當(dāng)高與另一腰的夾角為250時，①如圖2，高在△ABC內(nèi)部時，當(dāng)∠ABD=25°時，∠A=90°-∠ABD=65°，∴ ∠C=∠ABC=（180°-∠A）÷2=57.5°；

②如圖3，高在△ABC外部時，∠ABD=25°，圖2

∴ ∠BAD=90°-∠ABD=90°-25°=65°，∴ ∠BAC=180°-65°=115°，∴∠ABC=∠C=（180°-115°）÷2=32.5°

故三角形各內(nèi)角為：65°，65°，50°或

65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°。

圖3

【變式3】由腰的垂直平分線所引起的分類討論

在三角形ABC中，AB=AC，AB邊上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為40°，求底角B的度數(shù)。

分析：題目中AB邊上的垂直平分線與直線AC

相交有兩種情形；

解：（1）如圖，AB邊的垂直平分線與AC邊交于點D，∠ADE=40°，則∠A=900-∠ADE=50°，∵AB=AC，∴∠B=（180°-50°）÷2=65°。

（2）如圖，AB邊的垂直平分線與直線AC的反向

延長線交于點D，∠ADE=40°，則∠DAE=50°

∴∠BAC=130°，∵AB=AC，∴∠B=（180°-130°）÷2=25°，故∠B的大小為65°或25°。【變式4】由腰上的中線引起的分類討論

等腰三角形底邊長為5cm，一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3cm，求腰長。

【答案】如圖，∵BD為AC邊上的中線，∴AD=CD，（1）當(dāng)（AB+AD）-（BC+CD）=3時，則AB-BC=3，∵BC=5 ∴AB=BC+3=8；

（2）當(dāng)（BC+CD）-（AB+AD）=3時，則BC-AB=3，∵BC=5 ∴AB=BC-3=2；

但是當(dāng)AB=2時，三邊長為2，2，5；

而2+2＜5，不合題意，舍去；

故腰長為8。

類型四：證明題

4．已知：如圖，∠ABC，∠ACB的平分線交于F，過F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E。

求證：BD＋EC＝DE。

思路點撥: 因為DE＝DF＋FE，即結(jié)論為BD＋EC＝DF＋FE，分別證明BD＝DF，CE＝FE即可，于是運用“在同一三角形中，等角對等邊”易證結(jié)論成立。

解析：∵DE∥BC，∴∠3＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

又∵BF平分∠ABC

∴∠1＝∠2

∴∠1＝∠3

∴DB＝DF（等角對等邊）

同理：EF＝CE，∴BD＋EC＝DF＋EF

即BD＋EC＝DE。

總結(jié)升華：在三角形中，利用“等角對等邊”證明線段相等，是一種常用的方法。

舉一反三：

【變式1】如圖，C是線段AB上的一點，△ACD和△BCE是等邊三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O。

求證：（1）∠AOB＝120°；

（2）CM＝CN；

（3）MN∥AB?！敬鸢浮浚?）∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE

∠BCD＝∠BCE＋∠DCE

且∠ACD＝∠BCE＝60°

∴∠ACE＝∠BCD

在△ACE和△BCD中

∴△ACE≌△DCB（SAS）

∴∠3＝∠2

∵∠1＋∠3＝60°，∴∠1＋∠2＝60°

∴∠AOB＝∠1＋∠ADC＋∠2＝60°＋60°＝120°（2）∵∠ACD＝∠BCE＝60°

∴∠MCN＝60°

在△CMA和△CND中

∴△CMA≌△CND（ASA）

∴CM＝CN

（3）∵CM＝CN且∠MCN＝60°

∴△CMN是等邊三角形

∴∠NMC＝60°

又∵∠DCA＝60°

∴∠NMC＝∠DCA

∴MN∥AB

【變式2】已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，CD⊥AB（如圖所示）。

求證：（1）AB＝2BC；

（2）CE＝AE＝EB?！敬鸢浮浚?）∵CE、CD三等分∠ACB

∴∠1＝∠2＝∠3＝30°

又∵CD⊥AB，∴∠B＝60°，∠A＝30°

在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AB＝2BC

（2）∵∠A＝∠1＝30°

∴CE＝EA

又∵∠B＝∠BCE＝60°

∴△BCE是等邊三角形，∴EC＝EB

∴CE＝EA＝EB 學(xué)習(xí)成果測評 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：

一、填空：

1、等腰三角形的的兩邊長為2cm和5cm，則該等腰三角形的周長為______cm。

2、等腰三角形的的兩邊長為3cm和5cm，則該等腰三角形的周長為______cm。

3、等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則頂角為_____。

4、在△ABC中，AC＝BC，且∠B＝∠C，則△ABC是____________三角形。

5、若直角三角形斜邊上的中線垂直于斜邊，則它的兩個銳角的度數(shù)是____________。

6、等腰三角形的一個角是80°，則其他兩個角的度數(shù)是____________。

二、選擇題

1.若一個三角形的三個外角度數(shù)比為2：3：3，則這個三角形是（）

A.等腰三角形

B.等邊三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形

2.將兩個全等的有一個角為30°的直角三角形拼成如圖1所示形狀，兩條長直角邊在同一條直線上，則

圖中等腰三角形的個數(shù)是（）

圖1

A.4個

B.3個

C.2個

D.1個

3.在以①30°，120°；②25°，75°；③38°，52°；④55°，70°；⑤42°，96°；⑥28°，62°；⑦56°，68°；⑧45°，45°；⑨60°，60°為兩內(nèi)角可以構(gòu)成的三角形中，有等腰三角

形（）

A.3個

B.4個

C.5個

D.6個

4.具有下列條件的兩個等腰三角形，不能判斷它們?nèi)鹊氖牵ǎ?/p>

A.頂角、一腰對應(yīng)相等

B.底邊、一腰對應(yīng)相等

C.兩腰對應(yīng)相等

D.一底角、底邊對應(yīng)相等

三、解答題

1、等腰三角形的周長為12，且其各邊長均為整數(shù)，求各邊長。

2、（1）等腰三角形的一個角為50°，求另外兩個角的度數(shù)。

（2）等腰三角形的一個外角為100°，求該等腰三角形的頂角。

3、等腰三角形一腰上的中線將等腰三角形的周長分成8cm和10cm的兩部分，求該等腰三角形的各邊長。

4、如圖2所示，△ABC和△BDE都是等邊三角形。

圖2

求證：AE＝CD。

5、如圖3所示，D是△ABC的BC邊上的中點，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別是點E、F，且BF＝CE。判斷△ABC的形狀并證明。

圖

36、“有兩邊相等的兩個直角三角形全等”這個命題對與否，甲、乙、丙三位同學(xué)給出了如下論斷：

甲：正確。因為若兩邊都是直角邊，則用（SAS）全等識別法就可以證它們?nèi)取?/p>

乙：正確。因為若其中一邊是直角邊，另一邊是斜邊，則可用（HL）定理證全等。

丙：不正確。若一個三角形較長的直角邊與另一三角形斜邊相等，較短的直角邊與另一三角形較長的直角邊相等，則顯而易見兩個三角形不全等。

請你就這三個同學(xué)的見解發(fā)表自己的意見。

7、如圖所示，是城市部分街道示意圖，AB＝BC＝AC，CD＝CE＝DE，A、B、C、D、E、F、G為“公共汽車”停靠點，“甲公共汽車”從A站出發(fā)，按照A、H、G、D、E、C、F的順序到達(dá)F站，“乙公共汽車”從B站出發(fā)，沿B、F、H、E、D、C、G的順序到達(dá)G站。如果甲、乙分別同時從A、B站出發(fā)，在各站耽誤的時間相同，兩車速度也一樣，試問哪一輛公共汽車先到達(dá)指定站？為什么？

答案與解析：

一、填空題

1。12（2cm不能為腰長，只能為底邊長（2+2＜5），所以周長為2+5+5=12（cm）。）

2。13或11（3cm既能為腰長，又能為底邊長(5+5＞3、3+3＞5)，∴周長為3+5+5=13（cm）或3+3+5=11（cm）。）

3。50°或130°（等腰三角形一腰上的高可能是在三角形內(nèi)，也可能在三角形外，因此要分類討論。）

4。等邊

5。45°；45°

點撥：等腰三角形三線合一。

6。80°，20°或50°，50°

點撥：80°是銳角，即可以是頂角，也可以是底角。

二、選擇題

1.D

點撥：三個外角度數(shù)分別為

360°×

＝90°，360°×＝135°，135°，∴三角形為等腰直角三角形。2.B 3.D

點撥：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形性質(zhì)定理，排除②③⑥。4.C

點撥：本題綜合考查三角形全等識別法和等腰三角形性質(zhì)定理。

A（SAS），B（SSS），D（ASA）。

三、解答題

1、設(shè)其腰長為x，則底邊長為（12－2x），由題意得：

解得3＜x＜6 ∵x為整數(shù)

∴x=4或5 ∴該等腰三角形的三邊長分別為：4、4、4或5、5、2。

2、(1)分兩種情況：

①若已知的角為頂角，則另外兩個角均為底角，設(shè)其度數(shù)為x,則2x+50=180，解得：x=65；

②若已知的角為底角，可設(shè)頂角為y，則50×2+y=180, 解得：y=80

綜上所述：另兩個角分別為65°、65°或50°、80°。

注意該題的變式：題中有可能把問題變成要求頂角的度數(shù)，也要注意分類討論。

(2)分兩種情況：

①若已知的角為頂角的外角，則頂角=180°－100°=80°；

②若已知的角為底角的外角，則底角=180°－100°=80°，所以頂角=180°－80°×2=20°。

綜上所述：該等腰三角形的頂角=80°或20°。

3、解：設(shè)腰長為xcm，底邊長為ycm,則：

或解得或

∵，∴以上兩解均合乎題意。

∴該等腰三角形的各邊長分別為cm、cm、cm或cm、cm、cm。

4.證明：∵△ABC是等邊三角形

∴AB＝BC，∠ABC＝60°

∵△BDE是等邊三角形

∴BE＝BD，∠DBC＝60°

由（SAS）全等識別法可知△ABE≌△CBD，∴AE＝CD（全等三角形對應(yīng)邊相等）

5．解：△ABC是等腰三角形

證明：∵DF⊥AB，DE⊥AC

∴∠BFD＝∠CED＝90°

∵D是BC邊上的中點，∴BD＝CD

又∵BF＝CE，由（HL）全等識別法可知△BFD≌△CED。

∴∠B＝∠C，即△ABC是等腰三角形。

6.解：甲、乙兩同學(xué)的回答都是片面的。他們都想當(dāng)然地理解成兩邊是對應(yīng)的。

恰恰原命題中丟掉了“對應(yīng)”二字，丙同學(xué)的論斷是正確的。

所以我們一定要重視全等三角形中的“對應(yīng)”二字。

點撥：本題恰又是一個易錯題，甲、乙兩同學(xué)的錯誤常出現(xiàn)在日常學(xué)習(xí)中，需引起注意。

7.答：同時到達(dá)。理由如下：

∵AB＝BC＝AC，CD＝CE＝DE

∴△ABC和△ECD都是正三角形

∴∠ACB＝∠ECD＝60°

∴∠ACE＝60°

∴∠BCE＝∠ACD＝120°

∴△BCE≌△ACD（SAS）

∴BE＝AD。∠CBE＝∠CAD

在△BCF與△ACG中，∠CBF＝∠CAG

BC＝AC，∠BCA＝∠ACE＝60°

∴△BCF≌△ACG（ASA）

∴CF＝CG

又甲公共汽車的路程和為AD＋DE＋EC＋CF

乙公共汽車的路程和為BE＋ED＋DC＋CG，∴兩車同時到達(dá)指定站。

能力提升：

1.已知C、D兩點在線段AB的中垂線上，且∠ACB=50°，∠ADB=80°，求∠CAD的度數(shù)。

2.如圖，已知△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB=40°，如果D、E是直線

AB上的兩點，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度數(shù)。

3.已知等邊△ABC和點P，設(shè)點P到△ABC三邊AB，AC，BC的距離分別為，△ABC的高為h?！叭酎cP在一邊BC上（如圖（1）），此時結(jié)論：”。，可得

（1）請直接應(yīng)用上述信息解決下列問題：

當(dāng)點P在△ABC內(nèi)（如圖（2））、點P在△ABC外（如圖（3））這兩種情況時，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請寫出你的猜想，不需證明。

與h之間又有怎樣的關(guān)系？ 16

（2）若不用上述信息，你能用其他方法證明猜想結(jié)論嗎？

答案與解析：

1．（1）如圖，當(dāng)C、D兩點在線段AB的同側(cè)時，∵C、D兩點在線段AB的垂直平分線上，∴CA=CB，△CAB是等腰三角形，又CE⊥AB，∴CE是∠ACB的角平分線，∴∠ACE=∠BCE，而∠ACB=50°，∴∠ACE=25°，同理可得∠ADE=40°，∴∠CAD=∠ADE-∠ACE=40°-25°=15°。

（2）如圖，當(dāng)C、D兩點在線段AB的兩側(cè)時，同（1）的方法可得∠ACE=25°，∠ADE=40°，于是∠CAD=180°-（∠ADE+∠ACE）

=180°-（40°+25°）=180°-65°=115°。

故∠CAD的度數(shù)為15°或115°。

2.（1）當(dāng)點D、E在點A的同側(cè)，且都在BA的延長線上時，如圖1，圖

1圖2

∵BE=BC，∴∠BEC=（180°-∠ABC）÷2，∵AD=AC，∴∠ADC=（180°-∠DAC）÷2=∠BAC÷2，∵∠DCE=∠BEC-∠ADC，∴∠DCE=（180°-∠ABC）÷2-∠BAC÷2=（180°-∠ABC-∠BAC）÷2

=∠ACB÷2=40°÷2=20°。

（2）當(dāng)點D、E在點A的同側(cè)，且點D在D’的位置，E在E’的位置時，如圖2，＝∠ACB÷2=20°。

與（1）類似地也可以求得

（3）當(dāng)點D、E在點A的兩側(cè)，且E點在E’的位置時，如圖3，圖圖4

∵BE’=BC，∴

∵AD=AC，∴∠ADC=（180°-∠DAC）÷2=∠BAC÷2，又∵

∴，=180°-（180°-∠ACB）÷2，=90°+∠ACB÷2=90°+40°÷2=110°。（4）當(dāng)點D、E在點A的兩側(cè)，且點D在D’的位置時，如圖4，∵AD’=AC，∴

∵BE=BC，∴∠BEC=（180°-∠ABC）÷2，∴

=180°-〔（180°-∠ABC）÷2+（180°-∠BAC）÷2〕

=（∠BAC+∠ABC）÷2=（180°-∠ACB）÷2

=（180°-40°）÷2=70°，故∠DCE的度數(shù)為20°或110°或70°。，3.（1）如圖（2），當(dāng)P在△ABC內(nèi)時，結(jié)論

仍成立，過P作NQ∥BC分別交AB、AC、AM于N、Q、K。

依題意，有

∴

當(dāng)P在△ABC外時，結(jié)論

（2）如圖（3），連接PA、PB、PC，易知KM＝PF＝

不成立，它們的關(guān)系是

又，由AB＝BC＝AC得，

第三篇： 《等腰三角形》教學(xué)設(shè)計

《等腰三角形》教學(xué)設(shè)計

教材分析：

《等腰三角形》是冀教版八年級數(shù)學(xué)上冊第十七章第一節(jié)內(nèi)容。是在學(xué)習(xí)了軸對稱之后編排的，是軸對稱知識的延伸和應(yīng)用。等腰三角形的性質(zhì)及判定是探究線段相等、角相等、及兩條直線互相垂直的重要工具，在教材中起著承上啟下的作用。

學(xué)情分析

學(xué)生在本節(jié)課學(xué)習(xí)之前，已經(jīng)知道了全等三角形和軸對稱相關(guān)知識，那么等腰三角形又有怎樣性質(zhì)呢？鑒于八年級學(xué)生的年齡、心理特點及認(rèn)知水平，有進(jìn)一步探究新知的愿望。本節(jié)課采用層層遞進(jìn)的問題啟發(fā)學(xué)生的思考，讓學(xué)生自主探究、合作交流中獲取知識。

教學(xué)目標(biāo)：

知識目標(biāo)：掌握等腰三角形的有關(guān)概念和相關(guān)性質(zhì)。并能用其解決有關(guān)問題。

能力目標(biāo)：通過對性質(zhì)的探究活動和例題的分析，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

情感目標(biāo)：在探究對等腰三角形性質(zhì)活動中，讓學(xué)生多動手、多思考，培養(yǎng)學(xué)生之間的合作精神。

教學(xué)重難點：

教學(xué)重點：探索等腰三角形“等邊對等角”和“三線合一”的性質(zhì)。

教學(xué)難點：利用等腰三角形的性質(zhì)解決有關(guān)問題。

教學(xué)方法：

本課立足于學(xué)生的“學(xué)”，采用小組合作探究,師生互動,突出“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體”,讓他們在感受知識的過程中,提高他們的知識運用能力。學(xué)習(xí)中要求學(xué)生多動手、多觀察、多思考，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，更好的讓學(xué)生處在“做中學(xué)”“學(xué)中做”的良好學(xué)習(xí)氛圍之中。

教學(xué)過程：

課前準(zhǔn)備:課前安排學(xué)生帶著五個問題預(yù)習(xí)課本140頁和141頁的教材內(nèi)容，同時讓學(xué)生做一個等腰三角形的紙片，各小組長負(fù)責(zé)預(yù)習(xí)等工作。

（一）、導(dǎo)入

先復(fù)習(xí)“軸對稱圖形”的相關(guān)知識，根據(jù)本節(jié)課的特點，讓學(xué)生帶著問觀察圖片，找出圖片里面的軸對稱圖形。

(二)、思考

1、自主學(xué)習(xí)，獨立思考問題：

（1）什么是等腰三角形？

（2）等腰三角形各邊都叫什么名稱？各角呢？

（3）等腰三角形的性質(zhì)？

（4）如何證明等腰三角形的性質(zhì)？

（5）等邊三角形的概念及性質(zhì)？

2、動手操作、演示探究

——等腰三角形的性質(zhì)

請同學(xué)們把等腰三角形紙片對折,讓兩腰重合!(電腦演示)發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象? 請盡可能多的寫出結(jié)論.（從構(gòu)成要素：邊、角；相關(guān)要素：線、對稱性方面考慮）

(三)、議展

1、探討交流、得出結(jié)論：

由這些重合的部分，猜想等腰三角形的性質(zhì)。

構(gòu)成要素：

邊：等腰三角形的兩邊相等.角：等腰三角形的兩底角相等.簡稱“等邊對等角”

相關(guān)要素：

線：等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合.簡稱“三線合一”

對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形

2、學(xué)生展示

證明“等邊對等角”（學(xué)生展示）

三種方法證明等腰三角形性質(zhì) “等邊對等角”

已知：在△ABC 中，AB＝AC，求證：∠B＝∠C

方法一：

證明：作底邊BC上的中線AD。

在△ABD與△ACD中：

BD＝DC（作圖）

AD＝AD（公共邊）

∴△ABD≌△ACD（SSS）

∴∠B＝∠C（全等三角形對應(yīng)角相等）

方法二：

作頂角∠BAC的平分線AD。

∵AD平分∠BAC

∴∠1＝∠2

在△ABD與△ACD中

AB＝AC（已知）

∠1＝∠2（已證）

AD＝AD（公共邊）

∴ △ABD ≌ △ACD（SAS）

∴ ∠B＝∠C

方法三：

作底邊BC的高AD。

∵AD⊥BC

∴∠ADB ＝∠ADC＝90°

在RT△ABD與RT△ACD中

AB＝AC（已知）

AD＝AD（公共邊）

∴ △ABD ≌ △ACD（HL）

∴ ∠B＝∠C

（四）、點評

找各小組代表分別展示答案之后，其他小組進(jìn)行評價，查漏補(bǔ)缺。然后通過老師講解，再指出其實這作三種輔助線的位置根本沒有發(fā)生改變，從而自然的過度到“三線合一”從中得出結(jié)論，達(dá)到對知識點的理解和掌握。

等腰三角形性質(zhì)的幾何語言

∵ AB=AC（已知）

∴ ∠B=∠C（等邊對等角）

（1）等腰三角形的頂角的平分線，既是底邊上的中線，又是底邊上的高。

幾何語言：

在△ABC 中，∵AB＝AC , ∠1＝∠2（已知）

∴BD＝DC , AD⊥BC（等腰三角形三線合一）

（2）等腰三角形的底邊上中線，既是底邊上的高，又是頂角平分線。

幾何語言：

在△ABC 中，∵AB＝AC , BD＝DC（已知）

∴AD⊥BC , ∠1＝∠2（等腰三角形三線合一）

（3）等腰三角形的底邊上的高，既是底邊上的中線，又是頂角平分線。

幾何語言：

在△ABC 中，∵AB＝AC , AD⊥BC（已知）

∴BD＝DC , ∠1＝∠2（等腰三角形三線合一）

在學(xué)生掌握了等腰三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)之后，引出等邊三角形的教學(xué)。

等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形

等邊三角形的性質(zhì)定理：等邊三角形的三個角都相等，并且每一個角都等于60°.等邊三角形性質(zhì)的證明：（學(xué)生在練習(xí)本完成后，再用課件展示證明過程）

例題：

已知：在△ABC中，AB=AC，BD，CE分別為∠ABC，∠ACB的平分線。

求證：BD=CE.（五）、練習(xí)

為了檢測學(xué)生對本課教學(xué)目標(biāo)的完成情況，進(jìn)一步加強(qiáng)知識的應(yīng)用訓(xùn)練，我設(shè)計了三組練習(xí)由易到難，由簡單到復(fù)雜，滿足不同層次學(xué)生需求。

練習(xí)1：知識點：（邊：等腰三角形的兩邊相等.）

1、在等腰△ABC中，AB=3，AC=4，則 △ABC的周長=________

2、在等腰△ABC中，AB=3，AC=7，則△ABC的周長=________

練習(xí)2：知識點：（角：“等邊對等角”）

1、在等腰△ABC中，AB=AC, ∠B=50°,則∠A=__，∠C =_

2、在等腰△ABC中，∠A =100°, 則∠B=___，∠C=___

練習(xí)3：（判斷）知識點：（“三線合一”）

1、等腰三角形的頂角一定是銳角。（）

2、等腰三角形的底角可能是銳角或者直角、鈍角都可以。（）

3、等腰三角形的頂角平分線一定垂直底邊。（）

4、等腰三角形底邊上的中線一定平分頂角。（）

5、等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合。（）

（六）、總結(jié)

師生合作，共同歸納：

1.等腰三角形的兩底角相等（簡寫成“等邊對等角”）

2.等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合（簡稱“三線合一”）

3.等邊三角形的性質(zhì)定理：等邊三角形的三個角都相等，并且每一 個角都等于60°.布置作業(yè)

鞏固性作業(yè)：143頁習(xí)題 1、2、（必做），143頁習(xí)題3、4、（選做）

拓展性作業(yè)：

1、如圖，在△ABC中，AB=AC，BD，CE分別為AB,AC邊上的中線，試判斷BD、CE相等嗎？并說明理由。

2、如圖，在△ABC中，AB=AC，BD，CE分別為AB,AC邊上的高線，試判斷BD、CE相等嗎？并說明理由。

板書設(shè)計

17.1等腰三角形

等腰三角形相關(guān)概念： 證明 例題

等腰三角形的性質(zhì)：

“等邊對等角”

“三線合一”

等邊三角形相關(guān)知識 布置作業(yè)

四、課后反思

這節(jié)課從學(xué)生的實際認(rèn)知出發(fā)，以“學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”，課堂活動中充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，在整個教學(xué)過程中我以 “啟發(fā)學(xué)生,挖掘?qū)W生潛力,培養(yǎng)學(xué)生能力”為主旨而進(jìn)行!充分地發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性。突出了重點，突破了難點，達(dá)到了知識能力情感的三合一，達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)效果。不足之處的是，習(xí)題練習(xí)有限，未設(shè)置限時小測等等

第四篇：等腰三角形教學(xué)設(shè)計

《等腰三角形》教學(xué)設(shè)計

[教學(xué)內(nèi)容]：義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書（魯教版）七年級數(shù)學(xué)上冊第二章 第三節(jié)《等腰三角形》第一課時，課本49頁~51頁。[教材分析]：

分析教材：教材從具體到抽象，從感性到理性，從實踐到理論，再用實踐檢驗理論，層次分明，循序

本課時教學(xué)內(nèi)容的地位和作用

本節(jié)是在探索了兩個三角形全等的條件及軸對稱性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，進(jìn)一步認(rèn)識特殊的軸對稱圖形──等腰三角形，主要探索等腰三角形“等邊對等角”和“等腰三角形的三線合一”的性質(zhì)。本節(jié)內(nèi)容既是前面知識的深化和應(yīng)用，又是今后學(xué)習(xí)等邊三角形的預(yù)備知識，還是證明角相等、線段相等及兩直線互相垂直的重要依據(jù)，具有承上啟下的重要作用。

學(xué)情分析

學(xué)生小學(xué)接觸過等腰三角形，對等腰三角形有初步的認(rèn)識，前段時間探究過兩個三角形全等的條件及軸對稱的性質(zhì)，比較習(xí)慣用三角形全等證明線段相等和角相等，一、教材依據(jù)

魯教版七年級上冊第二章 第三節(jié)

二、設(shè)計思想

本節(jié)內(nèi)容在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中起著比較重要的作用，我采取啟發(fā)式、探究式以及討論式的教學(xué)方法。通過學(xué)生動手操作、觀察猜想、推理論證的方法，借助全等三角形為推理工具，來得出等腰三角形的三條性質(zhì)。首先通過學(xué)生對等腰三角形的折疊操作，得出等腰三角形的性質(zhì)1：等腰三角形是軸對稱圖形，在折疊過程中同時發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)2和性質(zhì)3，性質(zhì)2：“等邊對等角“是今后證明兩角相等常用方法之一，而性質(zhì)3：等腰三角形的“三線合一”是今后證明兩條線段相等、兩個角相等及兩條線段互相垂直的重要依據(jù)。我在教學(xué)過程中嚴(yán)格遵循學(xué)校“四部六環(huán)節(jié)”教學(xué)模式，體現(xiàn)活力新課堂的理念，通過多種方法改變學(xué)生的角色，聽、說、讀、寫交互轉(zhuǎn)換，培養(yǎng)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的品質(zhì)，充分進(jìn)行賞識教育，培養(yǎng)孩子的自信心。

三、教學(xué)目標(biāo)

1、知識與能力目標(biāo)：

①掌握等腰三角形的3條性質(zhì)

②運用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)證明和計算。

2、過程與方法目標(biāo)：

①讓學(xué)生體驗等腰三角形是一個軸對稱性圖形。

②經(jīng)歷操作、發(fā)現(xiàn)、猜想、證明的過程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

3、情感、態(tài)度、價值觀目標(biāo)：

培養(yǎng)學(xué)生小組合作意識，使學(xué)生理解轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生變通的能力。

四、教學(xué)重點

等腰三角形的性質(zhì)定理及其證明

五、教學(xué)難點

“三線合一”的理解及其應(yīng)用

六、教學(xué)準(zhǔn)備

自制等腰三角形紙片

七、教學(xué)過程

（一）、復(fù)習(xí)回顧，課前展示（1）等腰三角形的定義（2）等腰三角形的要素：

腰、底邊、頂角、底角（3）軸對稱圖形的定義

（二）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

我們生活在一個圖形世界當(dāng)中，用數(shù)學(xué)的眼光觀察四副圖片，你發(fā)現(xiàn)了哪種熟悉的圖形？

引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形特點，如埃及金字塔、通過觀察得知，每幅圖形中都有等腰三角形出示等腰三角形（通過觀察，學(xué)生對等腰三角形有了初步的感知。學(xué)生對等腰三角形在小學(xué)已經(jīng)學(xué)過，軸對稱圖形上節(jié)課學(xué)過，所以引入即可）

三、明確目標(biāo)，互助探究

1、明確目標(biāo)，自學(xué)自練

活動1： 學(xué)生動手折疊自制的等腰三角形 教師提出問題：已知：等腰△ABC中，AB=AC（1）等腰三角形是軸對稱圖形嗎？（2）如果是，作出它的對稱軸。

（3）你能發(fā)現(xiàn)重合的線段和重合的角嗎？

學(xué)生動手折疊等腰三角形，把邊AB疊合到邊AC上，這時點B與C重合，并出現(xiàn)折痕AD 教師鼓勵學(xué)生在操作中盡可能多的探索等腰三角形的特征，并盡量運用自己的語言說明理由。既可以根據(jù)折疊過程中某些線段或角重合說明，也可以運用全等來說明。電腦形象的演示，教師適時的引導(dǎo)，學(xué)生的動手操作，有利于培養(yǎng)學(xué)生的觀察和概括能力；充分體現(xiàn)了教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的教學(xué)思想。

學(xué)生觀察并思考發(fā)表自已的看法

學(xué)生回答：∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠CDA，BD=CD，AD=AD,AB=AC 師生歸納： 性質(zhì)1：等腰三角形是軸對稱圖形，教師說明：對稱軸是一條直線，而三角形的中線是線段，因此不能說等腰三角形底邊上的中線是它的對稱軸。

設(shè)計意圖：通過學(xué)生動手操作，觀察猜想，由教師的引導(dǎo)，歸納出等腰三角形的第一條性質(zhì)，形成感性認(rèn)識，重視知識的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生自主探究的學(xué)習(xí)方法。

2、組內(nèi)交流，問題反饋 已知：在△ABC中，AB=AC 求證：∠B=∠C

ABC

教師引導(dǎo)學(xué)生分析回答：要證兩個角相等可以轉(zhuǎn)化前面所學(xué)過的三角形全等，而圖形只有一個三角形，需要如何添加輔助線使它轉(zhuǎn)化為兩個三角形?

活動2： 小組合作思考添加輔助線的方法，通過剛才的折疊等腰三角形的實驗，學(xué)生很容易想到輔助線，想到兩種方法：作頂角的平分線AD或作BC邊的作中線AD，可找兩位學(xué)生板演，教師巡視，給予訂正。

師生歸納： 性質(zhì)2：等腰三角形的兩個底角相等，簡稱：等邊對等角 并指出它的幾何符號語言的書寫： ∵ AB=AC（已知）

∴∠B=∠C（等邊對等角）

3、梳理問題，分配任務(wù)

在等腰△ABC中，AB=AC，你能發(fā)現(xiàn)折痕AD有哪些作用嗎？ 學(xué)生總結(jié)：(1)AD是頂角∠BAC的平分線

(2)AD是底邊BC的中線(3)AD是底邊BC的高線

教師歸納：以上就是等腰三角形的“三線合一”，強(qiáng)調(diào)是哪三條線段 性質(zhì)3：等腰三角形的“三線合一”

4、教師講解，歸納深化

等腰三角形的性質(zhì)：

（1）等腰三角形是軸對稱圖形。

（2）等腰三角形的兩個底角相等。(簡寫為“等邊對等角”)（3）等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線重合（也稱“三線合一”），它們所在的直線都是等腰三角形的對稱軸?！叭€合一”的幾何語言：

① ∵AB=AC,∠BAD=∠CAD ∴BD=CD,AD⊥BC ② ∵AB=AC,BD=CD ∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC ③ ∵AB=AC,AD⊥BC ∴∠BAD=∠CAD,BD=CD 設(shè)計意圖：利用小組合作的特點，激發(fā)每個學(xué)生的參與意識，培養(yǎng)學(xué)生的語言轉(zhuǎn)換能力，有助于規(guī)范學(xué)生對性質(zhì)的符號表述，增強(qiáng)理性認(rèn)識，體驗性質(zhì)的正確性，逐步提高學(xué)生的邏輯思維能力。

5、鞏固訓(xùn)練

活動3：（1）墻上釘了一根木條，小明想檢驗這根木條是否水平，他拿來一個如圖所示的測平儀。在這個測平儀中，AB=AC，BC邊的中點D處掛了一個重錘。小明將BC邊與木條重合，觀察此時重錘是否通過點A。如果重錘過點A，那么這根木條就是水平的。你能說明其中的道理嗎？

BDAC

（2）已知：如圖，某房屋屋頂是三角形支架，AB=AC,立柱AD⊥BC,若∠BAC=130°, 則∠BAD= ,∠CAD= ,∠B= ,∠C=

ABDC

（3）如圖，在下面的等腰三角形中，∠A是頂角，分別求出它們的底角的度數(shù)

A60°A90°A120°B①CB②CBC③

學(xué)生歸納：等腰三角形中頂角與底角的關(guān)系：頂角十 2 ×底角=180° 設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生正確應(yīng)用所學(xué)的知識的應(yīng)用能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識，參與意識，鞏固所學(xué)的等 腰三角形的性質(zhì)．

活動4： 變式訓(xùn)練 變式訓(xùn)練

（1）已知等腰三角形的一個內(nèi)角為80°，則它的另兩個角的度數(shù)為

（2）已知等腰三角形的一個內(nèi)角為100°，則它的另兩個角的度數(shù)為 教師提出討論問題，引導(dǎo)學(xué)生思考可能的情況，由學(xué)生總結(jié)情況和相應(yīng)結(jié)果，教師從而歸納分類討論的數(shù)學(xué)思想

（3）等腰三角形的腰長為3cm，底邊為4cm，則它的周長等于 變式1：等腰三角形的一邊為3cm，另一邊為4cm，則它的周長等于 變式2：等腰三角形的一邊為3cm，另一邊為8cm，則它的周長等于

設(shè)計意圖：運用變式練習(xí)，及時鞏固所學(xué)知識，了解學(xué)生學(xué)習(xí)效果，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用知識的能力，培養(yǎng)學(xué)生分類討論的思想。

活動5： 拓展提高

（1）、已知:如圖，在等腰ΔABC中，AB=AC，∠A=20°,AB的垂直平分線交AB于點D,交AC于點E,連接BE,則∠CBE=

ADE

2）已知:如圖，在等腰ΔABC中，AB=AC，DE垂直平分AC,且交AB于點D,連接CD, △BCD的周長為7cm，△ABC的周長為11cm,則AB=

BCAEDC6、精選習(xí)題，快樂過關(guān)

（1）等腰三角形的一個內(nèi)角為70°，則它的另兩個角的度數(shù)為(2)等腰三角形的一邊長為5cm，另一邊為8cm，則它的周長等于(2)等腰三角形的一邊長為5cm，另一邊為10cm，則它的周長等于

四、總結(jié)歸納，當(dāng)堂反饋

活動6： 本節(jié)課你有哪些新收獲？

師生活動：學(xué)生用自己語言歸納，教師適時點評，并關(guān)注以下幾個問題：

1、“等邊對等角”；

2、等腰三角形的“三線合一”；

3、等腰三角形的對稱軸；

4、等腰三角形常用輔助線作法

作業(yè)：

必做題：《伴你學(xué)》P33 1-10 選做題：《伴你學(xué)》P34 12 設(shè)計意圖：總結(jié)回顧，培養(yǎng)學(xué)生的知識整理能力與語言表達(dá)能力，這種發(fā)自內(nèi)心的問題，幫助學(xué)生歸納和反思自我，通過課后獨立思考，自我評價學(xué)習(xí)效果。板書設(shè)計

等腰三角形

（一）等腰三角形的性質(zhì)

性質(zhì)1：等腰三角形是軸對稱圖形。

性質(zhì)2：等腰三角形的兩個底角相等。(簡寫為“等邊對等角”)性質(zhì)3：等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線重合（也稱“三線合一”），它們所在的直線都是等腰三角形的對稱軸。

第五篇：等腰三角形教學(xué)設(shè)計

提出問題，創(chuàng)設(shè)情境 活動

1、實踐觀察，認(rèn)識等腰三角形： 把一張長方形的紙片對折，并剪下陰影部分（如教科書圖12.3-1），再把它展開，得到一個什么圖形？這個圖形有什么特點？（學(xué)生動手剪紙，觀察，討論，教師在學(xué)生充分發(fā)表自己的想法基礎(chǔ)上給出畫圖方法，并畫出圖形，介紹腰、底邊、底角、頂角）

二、合作探究 活動

2、探索等腰三角形的性質(zhì)

（1）、活動1 中剪出的等腰三角形是軸對稱圖形嗎？把剪出的等腰三角形△ABC 沿折痕對折，找出 其中重合的線段和角。（學(xué)生動手折紙、觀察，找出重合的線段和角，填寫下列表格）。重合的線段 重合的角（2）、猜一猜等腰三角形有哪些性質(zhì)。（學(xué)生根據(jù)重合的線段和重合的角，先獨立思考等腰三角形有 哪些性質(zhì)，然后小組內(nèi)討論交流自己的意見，形成最終結(jié)果。）（3）、等腰三角形的性質(zhì)： A．等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）． B．等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高互相重合（通常稱作“三線合一”）．（教師總結(jié)每個小組的討論意見，最終得出等腰三角形的性質(zhì)，并板書在黑板上。）活動

3、等腰三角形的性質(zhì)定理的證明。（學(xué)生在教師的引導(dǎo)下利用全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)對稱性尋找輔助線的添加辦法，學(xué)生分小組討論 交流，得出證明過程，教師播放幻燈片，讓學(xué)生感性上認(rèn)識等腰三角形性質(zhì)〔等腰三角形三線合一〕，既 鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維能力，又可提高學(xué)生的表述水平。）活動

4、等腰三角形性質(zhì)定理的運用（1）如果等腰三角形的頂角是30°，那么它的兩個底角的度數(shù)是。（2）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°AD是底邊BC上的高，則∠B=、∠C=、∠BAD=、∠DAC= ,BD= =.(3)如圖，在△ABC 中，AB=AC，點D 在AC 上，且BD=BC=AD，求：△ABC 各角的度數(shù)．

三、當(dāng)堂訓(xùn)練

1、等腰三角形的一個角是36°，它的另外兩個角是。

2、等腰三角形的一個角是110°，它的另外兩個角是.3.如右圖，在△ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B 和∠C 的度數(shù)．

四、小結(jié)與作業(yè)