第一篇：等腰三角形的判定教學(xué)設(shè)計

北師大版八年級下冊第一章

1.3等腰三角形判定(1)教學(xué)設(shè)計

姓 名： 呂 文 彬

單 位：鄭州航空港區(qū)八崗初級中學(xué) 1.3 等腰三角形判定(1)教學(xué)設(shè)計

教材來源：義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書，北京師范大學(xué)出版社2014年11月第二版

教學(xué)內(nèi)容來源：中學(xué)八年級數(shù)學(xué)（下冊）第一章 教學(xué)主題：等腰三角形判定 課時：第一課時 授課對象：八年級學(xué)生

設(shè)計者：鄭州航空港區(qū)八崗初級中學(xué) 呂文彬 教學(xué)目標(biāo)確定的依據(jù)：

1、課程標(biāo)準(zhǔn)要求：學(xué)生探索并掌握等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形。

2、在八年級上冊第七章《平行線的證明》，學(xué)生已經(jīng)感受了證明的必要性，并通過平行線有關(guān)命題的證明過程，習(xí)得了一些基本的證明方法和基本規(guī)范，積累了一定的證明經(jīng)驗；在七年級下，學(xué)生也已經(jīng)探索得到了有關(guān)三角形全等和等腰三角形的有關(guān)命題；而前一課時，學(xué)生剛剛證明了等腰三角形的性質(zhì)，這為本課時拓展等腰三角形的性質(zhì)、研究等要三角形的判定定理都做了很好的鋪墊。

3、本節(jié)知識在幾何證明中起著承上啟下的作用。學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、通過折紙、自主或小組合作探索等腰三角形的判定定理．

2、通過探索出等腰三角形的判定定理，進(jìn)一步體驗軸對稱的特征，發(fā)展空間觀念．

3、通過對等腰三角形的判定定理的探索，讓學(xué)生體會探索學(xué)習(xí)的樂趣，并通過等腰三角形的判定定理的簡單應(yīng)用，加深對定理的理解．從而培養(yǎng)學(xué)生利用已有知識解決實際問題的能力．

教學(xué)重點

等腰三角形的判定定理的探索和應(yīng)用。

教學(xué)難點

等腰三角形的判定與性質(zhì)的區(qū)別。教具準(zhǔn)備

作圖工具和多媒體課件。

教學(xué)方法

引導(dǎo)探索法；情景教學(xué)法 教學(xué)過程

本節(jié)課設(shè)計了六個教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)舊知，提出問題，引入新課；第二環(huán)節(jié)：自主探究；第三環(huán)節(jié)：典型例題 ；第四環(huán)節(jié)： 隨堂練習(xí)；第五環(huán)節(jié) 課時小結(jié)。第六環(huán)節(jié)：作業(yè)布置

Ⅰ．復(fù)習(xí)舊知，提出問題，引入新課

[師]上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)，現(xiàn)在大家來回憶一下，等腰三角形有些什么性質(zhì)呢？

[生甲]等腰三角形的兩底角相等．

[生乙]等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合．

[師]同學(xué)們回答得很好，我們已經(jīng)知道了等腰三角形的性質(zhì)，那么滿足了什么樣的條件就能說一個三角形是等腰三角形呢？剛才的定義能不能作為等腰三角形的一個判定方法呢？學(xué)生敘述，老師板書。

判定定理

1、有兩邊相等的三角形是等腰三角形。我們以前怎樣畫等腰三角形？哪位同學(xué)上來畫一畫。這樣所畫的三角形是不是等腰三角形呢？根據(jù)什么去判斷呢？是不是沒有依據(jù)呀！教師根據(jù)定理一用尺規(guī)演示畫等腰三角形，學(xué)生跟著畫。讓學(xué)生根據(jù)定理一來判斷。

除了這個方法外，還有沒有別的方法呢？ 這就是我們這節(jié)課要研究的問題． [師]同學(xué)們看下面的問題并討論：

思考：如圖，位于在海上A、B兩處的兩艘救生船接到O處遇險船只的報警，當(dāng)時測得∠A=∠B．如果這兩艘救生船以同樣的速度同時出發(fā)，?能不能大約同時趕到出事地點（不考慮風(fēng)浪因素）？

0AB

在一般的三角形中，如果有兩個角相等，那么它們所對的邊有什么關(guān)系？ [生甲]應(yīng)該能同時趕到出事地點．因為兩艘救生船的速度相同，同時出發(fā)，?在相同的時間內(nèi)走過的路程應(yīng)該相同，也就是OA=OB，所以兩船能同時趕到出事地點．

[生乙]我認(rèn)為能同時趕到O點的位置很重要，也就是∠A如果不等于∠B，?那么同時以同樣的速度就不一定能同時趕到出事地點．

[師]現(xiàn)在我們把這個問題一般化，在一般的三角形中，如果有兩個角相等，?那么它們所對的邊有什么關(guān)系？ [生丙]我想它們所對的邊應(yīng)該相等．

[師]為什么它們所對的邊相等呢？同學(xué)們思考一下，給出一個簡單的證明． Ⅱ自主探究

A12B4

DC如圖：已知△ABC中，∠B=∠C 請問△ABC是否是等腰三角形？

（請同學(xué)們先自己畫出圖形，寫出已知和求證，然后小組合作寫出證明過程。并派代表發(fā)言。）

已知：在△ABC中，∠B=∠C（如圖）．

求證：AB=AC．

學(xué)生可以先通過折疊手中的三角形（有兩個角相等），思考應(yīng)做什么樣的輔助線，然后自主寫出證明過程。

證明：作∠BAC的平分線AD．

在△BAD和△CAD中

??1??2,? ??B??C，?AD?AD,? ∴△BAD≌△CAD（AAS）． ∴AB=AC．

提問：你還有不同的證明方法嗎？有學(xué)生提出做高，讓大家想一想行不行，用的是哪一個判定定理證明三角形的全等。老師要強(qiáng)調(diào)解題書寫的格式。

（演示課件）

等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）．

[師]下面我們通過幾個例題來初步學(xué)習(xí)等腰三角形判定定理的簡單運(yùn)用． Ⅲ 典型例題

[例1]求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形． [師]這個題是文字?jǐn)⑹龅淖C明題，?我們首先得將文字語言轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的數(shù)學(xué)語言，再根據(jù)題意畫出相應(yīng)的幾何圖形．

E 已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC（如圖）．

A12D 求證：AB=AC．

[師]同學(xué)們先思考，再分析．

BC [生]要證明AB=AC，可先證明∠B=∠C．

[師]這位同學(xué)首先想到我們這節(jié)課的重點內(nèi)容，很好![生]接下來，可以找∠B、∠C與∠

1、∠2的關(guān)系． [師]我們共同證明，注意每一步證明的理論根據(jù)．

（演示課件，括號內(nèi)部分由學(xué)生來填）

證明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等），∠2=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．

又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角對等邊）．

[師]看大屏幕，同學(xué)們試著完成這個題．

（課件演示）

AD 例2已知：如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC．

求證：AB=AD．

BC（投影儀演示學(xué)生證明過程）

證明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．

又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD（等角對等邊）． [師]下面來看另一個例題．

（演示課件）Ⅳ 隨堂練習(xí)

（一）課本P53 1、2、3．

1、判斷:滿足下列條件的三角形ABC是否是等腰三角形?

1．如圖，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分別計算∠

1、∠2的度數(shù)，?并說明圖中有哪些等腰三角形。

DA

1.∠A=∠B 2.AC=BC

3.∠A=50°，∠B=80° 4.∠A=70°，∠B=50°

B12C 2．如圖，把一張矩形的紙沿對角線折疊．重合部分是一個等腰三角形嗎？為什么？

127

3．如圖，AC和BD相交于點O，且AB∥DC，OA=OB，求證：OC=OD．

Ⅳ．課時小結(jié)

本節(jié)課我們主要探究了等腰三角形判定定理，?并對判定定理的簡單應(yīng)用作了一定的了解．在利用定理的過程中體會定理的重要性．在直觀的探索和抽象的證明中發(fā)現(xiàn)和養(yǎng)成一定的邏輯推理能力．

Ⅴ．作業(yè)布置：

必做題：教科書第56頁2、5題。

選做題：教科書第58頁12題

VI板書設(shè)計

§1．1 等腰三角的判定

（一）判定定理1：有兩邊相等的三角形是等腰三角形 例2 判定定理2：有兩角相等的三角形是等腰三角形 小結(jié)

例1

教學(xué)反思：本節(jié)應(yīng)把重點放在探究等腰三角形的判定定理上，在應(yīng)用環(huán)節(jié)，應(yīng)重在傾聽學(xué)生的思路方法上。

AD0BC 8

第二篇：等腰三角形的判定教學(xué)設(shè)計

13.3.1等腰三角形的判定教學(xué)設(shè)計

教學(xué)目標(biāo)

（一）知識與能力：

1.理解并掌握等腰三角形的判定定理，2.綜合應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理

（二）過程與方法：

通過推理證明等腰三角形的判定定理，發(fā)展學(xué)生的推理能力，培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納問題的能力。

（三）情感、態(tài)度與價值觀：

通過引導(dǎo)學(xué)生觀察，發(fā)現(xiàn)等腰三角形的判定方法，讓學(xué)生從實踐中獲得成功體驗，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣。

教學(xué)重難點

重點：等腰三角形的判定定理的探索和應(yīng)用。難點：等腰三角形的判定與性質(zhì)的區(qū)別。

二、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)導(dǎo)課

1、復(fù)習(xí)等腰三角形的定義，等腰三角形的性質(zhì)。

設(shè)計意圖：為本節(jié)等腰三角形的判定做鋪墊,讓學(xué)生把知識很好的聯(lián)系起來.2、“等腰三角形的兩底角相等”,反過來說成立嗎？猜想。設(shè)計意圖：這樣導(dǎo)入課題，不僅可以復(fù)習(xí)相關(guān)知識，也可以激發(fā)學(xué)生不斷學(xué)習(xí)的熱情。

（二）探究新知

1、實踐

請同學(xué)們用直尺和量角器畫△ ABC，使∠ B= ∠ C，再用刻度尺量一量線段AB，AC的長，然后，把你的△ ABC剪下來，折疊，觀察線段AB，AC的長。

（學(xué)生畫圖、測量，剪紙，折疊）

想一想：你能從上面的結(jié)果中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？從實踐再次猜想

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生的動手能力，從實踐中得出等腰三角形的判定定理。

2、證明：

思考：如何證明？請根據(jù)上述命題畫出圖形，并寫出已知、求證。已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，求證：AB=AC

B C A（學(xué)生先獨立完成、再小組討論，整理證明過程。)設(shè)計意圖：探究新知采取提出問題、實踐操作、歸納驗證這一方式，體現(xiàn)了知識發(fā)生、發(fā)展和形成的過程，讓學(xué)生體會到觀察、猜想、驗證的思想方法。

3、歸納

如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等(簡稱“等角對等邊”)數(shù)學(xué)符號語言： 在△ABC中 ∵ ∠B=∠C

∴ AB=AC（等角對等邊）

設(shè)計意圖：歸納證明的結(jié)論，讓學(xué)生學(xué)會如何使用。

三、例題展示

例2 求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形。（先寫已知和求證）（學(xué)生先獨立思考，并將證明過程寫在微卡上。）

E 1 A 2 D B C 設(shè)計意圖：及時鞏固、反饋，開方式的變式訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性。

四、當(dāng)堂檢測

1．在△ABC中，∠A的相鄰?fù)饨鞘?10o，要使△ABC是等腰三角 形，則∠B=_______。

2．在一個三角形中，等角對________；等邊對___________。3．如果等腰三角形底邊上的高線和腰上的高線相等，則它的各內(nèi)角的度數(shù)是_______________。

4.先求證以下三個結(jié)論，然后歸納你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。（1）已知：OD平分∠AOB，EO=ED，求證：ED∥OB（2）已知：OD平分∠AOB，ED∥OB，求證： EO=ED（3）已知： ED∥OB，EO=ED，求證：OD平分∠AOB

E A C D

五、課堂小結(jié)：

請你談一談本節(jié)課學(xué)習(xí)的感受。

O B 本節(jié)課學(xué)習(xí)了等腰三角形的判定定理，在判定定理中，是由角相等→邊相等，在等腰三角形的性質(zhì)1中，是由邊相等→角相等

設(shè)計意圖：通過比較，加深對等腰三角形性質(zhì)定理和判定定理的認(rèn)識，正確地理解和應(yīng)用兩者。

六、課后反思

第三篇：等腰三角形的判定教學(xué)設(shè)計

等腰三角形的判定教學(xué)設(shè)計

一、教學(xué)目標(biāo)：

1．使學(xué)生掌握等腰三角形的判定定理及其推論；

2．掌握等腰三角形判定定理的運(yùn)用；

3．通過例題的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的邏輯思維能力及分析問題解決問題的能力；

4．通過自主學(xué)習(xí)的發(fā)展體驗獲取數(shù)學(xué)知識的感受；

5．通過知識的縱橫遷移感受數(shù)學(xué)的辯證特征.二、教學(xué)重點：

等腰三角形的判定定理

三、教學(xué)難點

性質(zhì)與判定的區(qū)別

四、教學(xué)流程

1、新課背景知識復(fù)習(xí)

（1）請同學(xué)們說出互逆命題和互逆定理的概念

估計學(xué)生能用自己的語言說出，這里重點復(fù)習(xí)怎樣分清題設(shè)和結(jié)論。

（2）等腰三角形的性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么？并檢驗它的逆命題是否為真命題？

啟發(fā)學(xué)生用自己的語言敘述上述結(jié)論，教師稍加整理后給出規(guī)范敘述：

1．等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.(簡稱“等角對等邊”)．

由學(xué)生說出已知、求證，使學(xué)生進(jìn)一步熟悉文字轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的方法.已知：如圖，△ABC中，∠B=∠C．

求證：AB=AC．

教師可引導(dǎo)學(xué)生分析：

聯(lián)想證有關(guān)線段相等的知識知道，先需構(gòu)成以AB、AC為對應(yīng)邊的全等三角形．因為已知∠B=∠C，沒有對應(yīng)相等邊，所以需添輔助線為兩個三角形的公共邊，因此輔助線應(yīng)從A點引起．再讓學(xué)生回想等腰三角形中常添的輔助線，學(xué)生可找出作∠BAC的平分線AD或作BC邊上的高AD等證三角形全等的不同方法，從而推出AB=AC．

注意：(1)要弄清判定定理的條件和結(jié)論，不要與性質(zhì)定理混淆．

（2）不能說“一個三角形兩底角相等，那么兩腰邊相等”，因為還未判定它是一個等腰三角形．

（3）判定定理得到的結(jié)論是三角形是等腰三角形，性質(zhì)定理是已知三角形是等腰三角形，得到邊邊和角角關(guān)系.2．推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形． 推論2：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．

要讓學(xué)生自己推證這兩條推論．

小結(jié)：證明三角形是等腰三角形的方法：①等腰三角形定義；②等腰三角形判定定理．

證明三角形是等邊三角形的方法：①等邊三角形定義；②推論1；③推論2．

3．應(yīng)用舉例

例1.求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形．

分析:讓學(xué)生畫圖，寫出已知求證，啟發(fā)學(xué)生遇到已知中有外角時，常?？紤]應(yīng)用外角的兩個特性①它與相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)；②它等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．要證AB=AC，可先證明∠B=∠C，因為已知∠1=∠2，所以可以設(shè)法找出∠B、∠C與∠

1、∠2的關(guān)系．

已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．

求證：AB=AC．

證明：(略)由學(xué)生板演即可．

補(bǔ)充例題：(投影展示)

1.已知：如圖，AB=AD，∠B=∠D．

求證：CB=CD．

分析：解具體問題時要突出邊角轉(zhuǎn)換環(huán)節(jié)，要證CB=CD，需構(gòu)造一個以 CB、CD為腰的等腰三角形，連結(jié)BD，需證∠CBD=∠CDB，但已知∠B=∠D，由AB=AD可證∠ABD=∠ADB，從而證得∠CDB=∠CBD，推出CB=CD．

證明：連結(jié)BD，在 中，（已知）

（等邊對等角）

（已知）

即

（等角對等邊）

小結(jié)：求線段相等一般在三角形中求解，添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造三角形，找出邊角關(guān)系.2．已知，在 中，的平分線與

的外角平分線交于D，過D作DE//BC交AC與F，交AB于E，求證：EF=BE-CF.分析：對于三個線段間關(guān)系，盡量轉(zhuǎn)化為等量關(guān)系，由于本題有兩個角平分線和平行線，可以通過角找邊的關(guān)系，BE=DE,DF=CF即可證明結(jié)論.證明： DE//BC（已知）

，BE=DE,同理DF=CF.EF=DE-DF EF=BE-CF 小結(jié)：

(1)等腰三角形判定定理及推論．

(2)等腰三角形和等邊三角形的證法．

七．練習(xí)

教材 P．75中1、2、3．

八．作業(yè)

教材 P．83 中 1．1)、2)、3)；2、3、4、5．

五、板書設(shè)計

第四篇：《13.3.2等腰三角形的判定》教學(xué)設(shè)計（范文）

13.3.2等腰三角形的判定

一、教學(xué)目的

1．通過探索一個三角形是等腰三角形的條件，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力．

2．能利用一個三角形是等腰三角形的條件，正確判斷某個三角形是否為等腰三角形．

二、重點難點

重點：讓學(xué)生掌握一個三角形是等腰三角形的條件和正確應(yīng)用．

難點：一個三角形是等腰三角形的條件的正確文字?jǐn)⑹觯?/p>

三、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)引入

等腰三角形具有哪些性質(zhì)?

等腰三角形的兩底角相等，底邊上的高、中線及頂角平分線“三線合一”． 等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°．

（二）新課

對于一個三角形，怎樣識別它是不是等腰三角形呢?我們已經(jīng)知道的方法是看它是否有兩條邊相等．這一節(jié)，我們再學(xué)習(xí)另一種識別方法．

我們已學(xué)過，等腰三角形的兩個底角相等，反過來，在一個三角形中，如果有兩個角相等，那么它是等腰三角形嗎?

為了回答這個問題，請同學(xué)們分別拿出一張半透明紙，做一個實驗，按以下方法進(jìn)行操作：

1．在半透明紙上畫一個線段BC．

2．以BC為始邊，分別以點B和點C為頂點，用量角器畫兩個相等的角，兩角終邊的交點為A．

3．用刻度尺找出BC的中點D，連接AD，然后沿AD對折．

問題1：AB與AC是否重合?

問題2：本實驗的條件與結(jié)論如何用文字語言加以敘述?

如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等，簡寫成“等角對等邊”．

也就是說，如果一個三角形中有兩個角相等，那么它就是等腰三角形．一個三角形是等腰三角形的條件，可以用來判定一個三角形是否為等腰三角形．

例3．在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°，求證：AB=AC．

問題3：三個角都是60°的三角形是等邊三角形嗎?你能說明理由嗎? 由等角對等邊可得：三個角都相等的三角形是等邊三角形； 有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形． 例4．如圖，AB∥CD，∠1=∠2． 求證：AB=AC．

例5．如圖，在Rt△ABC和Rt△AˊBˊCˊ中，∠ACB=∠AˊCˊBˊ=90°，AB=AˊBˊ，AC=AˊCˊ．

求證：Rt△ABC≌Rt△AˊBˊCˊ

（三）練習(xí)鞏固

P84 練習(xí)l、2、3．

（四）小結(jié)

這節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了一個三角形是等腰三角形的條件：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”)，此條件可以做為判斷一個三角形是等腰三角形的依據(jù)．因此，要牢記并能熟練應(yīng)用它．

（五）作業(yè)

P84習(xí)題第6、7、8題．

第五篇：等腰三角形的性質(zhì)和判定教學(xué)設(shè)計

等腰三角形的性質(zhì)和判定

等腰三角形是一種特殊三角形，它除具有一般三角形所有的性質(zhì)外，還有許多特殊性，正是由于它的這些特殊性，使得它比一般三角形的應(yīng) 用更廣泛。因此，我們有必要把這部分內(nèi)容學(xué)得更扎實些。

【重點、難點】

重點：等腰三角形的性質(zhì)與判定。

難點：靈活利用等腰三角形的性質(zhì)與判定。

關(guān)鍵：掌握好等腰三角形的性質(zhì)及判定。

【知識要點】

1、等腰三角形的一些重要性質(zhì)：

①等腰三角形的兩底角相等。這一性質(zhì)是今后論證兩角相等的常用依據(jù)之一。

②等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合(“三合一”)。這一性質(zhì)是今后論證兩條線段相等，兩角相等及兩直線垂直的重要依據(jù)。

2、以上的兩條重要性質(zhì)在教科書中被當(dāng)作兩條重要定理。除此外，根據(jù)等腰三角形的對稱性還應(yīng)有如下重要的性質(zhì)，雖在證明中不能直接引用，但對于填空、選擇則可直接運(yùn)用，并且這些性質(zhì)對今后的推理證明都有非常重要的作用。

①等腰三角形兩腰上的中線相等

已知：在ΔABC 中，AB＝AC，若BD，CE分別是AC，AB邊上的中線，則有BD＝CE。

證明：∵BD，CE是AB，AC邊上的中線(已知)

∴AD＝AC，AE＝AB(中線定義)

∵AB＝AC(已知)

∴AD＝AE

在ΔABD和ΔACE中，∴ΔABD≌ΔACE(SAS)

∴BD＝CE(全等三角形對應(yīng)邊相等)。

②等腰三角形兩腰上的高相等

已知：在ΔABC中，AB＝AC，如果BD，CE分別是AC，AB邊上的高，那么BD＝CE。

同學(xué)可以試著證明一下，還用全等三角形去證。

③等腰三角形兩底角的平分線相等

已知：在ΔABC中，AB＝AC，如果BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的平分線，那么BD＝CE。

同學(xué)可利用全等三角形法證明。

3、等腰三角形的判定

判定定理：如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡稱“等角對等邊”)。

已知：如圖，在ΔABC中，∠B＝∠C，求證：AB＝AC。

分析：要想證出AB＝AC需構(gòu)造全等三角形?？紤]學(xué)過等腰三角形性質(zhì)中的“三合一”，我們不妨作頂角的平分線，或過A作AD⊥BC于D。

證明：過A作AD⊥BC于D

∴∠ADB＝∠ADC＝90°(垂直定義)

在ΔABD和ΔACD中，∴ΔABD≌ΔACD(AAS)

∴AB＝AC(全等三角形對應(yīng)邊相等)。

4、等腰三角形分類

等腰三角形

5、有關(guān)等腰三角形周長的計算

給出三角形中兩邊的數(shù)據(jù)求周長時，一定要考慮對某一邊有兩種可能情況：一它可能是腰，二它可能是底。最后確定具體是腰還是底，就要看得出的三邊關(guān)系是否符合：任兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

如：已知等腰三角形的兩邊分別是3cm，5cm，則周長此時有兩種情況：11cm或13cm。當(dāng)腰長為3cm時，周長為：3cm+3cm+5cm=11cm；當(dāng)腰長為5cm時，周長為：3cm+5cm+5cm=13cm。

若兩邊分別是4cm，8cm，則周長只有一種結(jié)果，長為20cm（8cm做腰，4cm做底）。另一種可能是以4cm做腰，8cm做底，此時，4cm+4cm=8cm，不符合任兩邊之和大于第三邊的三角形三邊關(guān)系，故不能考慮在內(nèi)。

【例題講解】

例1：已知：如圖，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，求證：CE＝CB。

分析：要想CE＝CB故可完成證明。

∠CEB＝∠B

∠A＝∠CEB

CE∥DA(已知條件)，證明：∵CE∥DA(已知)

∴∠A＝∠CEB(兩直線平行，同位角相等)

又∵∠A＝∠B(已知)

∴∠CEB＝∠B(等量代換)

∴CE＝CB(等角對等邊)

例2：如圖，已知點D，E在BC上，AB＝AC，AD＝AE，求證：BD＝CE。

分析：這道題證法很多，如果要找全等三角形來證，證明ΔABD≌ΔACE，缺少條件，需首先推出相 等的條件，學(xué)習(xí)了等腰三角形，可以用等腰三角形的性質(zhì)來考慮，為了把等腰三角形的性質(zhì)揭示出來，需添加輔助線，作BC上的高，即平分BC又平分DE，證明如下：

證明：作AF⊥BC于F，∵AB＝AC(已知)

AD＝AE(已知)

AF⊥BC(輔助線作法)

∴BF＝CF，DF＝EF(等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合)

∴BD＝CE(等式性質(zhì))

說明：在證題時要注意選擇方法和依據(jù)，以簡捷為目的，若學(xué)習(xí)了線段的垂直平分線的性質(zhì)，角的平分線的性質(zhì)能直接用這些定理證明線段相等就不需再證一遍三角形全等。

例3：如圖，點D，E在AC上，∠ABD＝∠CBE，∠A＝∠C，求證：BD＝BE。

分析：本題只需證出∠BDE＝∠BED即可，要證∠BDE＝∠BED，而∠BDE＝∠A＋∠ABD，∠BED＝∠C＋∠CBE，條件已給出∠A＝∠C，∠ABD＝∠CBE。

證明：∵D，E在AC上(已知)

∴∠BDE＝∠A＋∠ABD，∠BED＝∠C＋∠CBE(三角形的外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角的和)

∵∠A＝∠C(已知)

∠ABD＝∠CBE(已知)

∴∠BDE＝∠BED(等式性質(zhì))

∴BD＝BE(等角對等邊)

例4：求證：有兩條高相等的三角形是等腰三角形。

分析：這是一文字?jǐn)⑹龅淖C明題，首先要根據(jù)題意畫出草圖，結(jié)合圖形寫出已知、求證，再給予證明。

已知：如圖，ΔABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E且CD＝BE，求證：AB＝AC 4

證明：∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E(已知)

∴∠ADC＝∠AEB＝90°(垂直定義)

在ΔABE和ΔACD中，∴ΔABE≌ΔACD(AAS)

∴AB＝AC(全等三角形對應(yīng)邊相等)

例5：已知：在ΔABC中，AB＝AC，O是ΔABC內(nèi)一點，且OB＝OC，求證：AO⊥BC。

“三合一”性質(zhì)定理證明。

分析：因為ΔABC為等腰三角形，只需證出AO平分頂角(∠1＝∠2)即可，利用等腰三角形

證明：在ΔABO和ΔACO中，∴ΔABO≌ΔACO(SSS)

∴∠1＝∠2(全等三角形對應(yīng)角相等)

∴AO平分∠BAC，又∵AB＝AC(已知)

∴AO⊥BC(等腰三角形頂角平分線與底邊上的高互相重合)

例6：已知：如圖，ΔABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC到E，使CE＝CD，求證：DB＝DE。

分析：只需證∠DBE＝∠E，由于ΔABC為等邊三角形，故∠DBE＝30°，又CD＝CE，故∠CDE＝∠E，又∠ACB＝∠E＋∠CDE＝60°，故∠E＝30°。

證明：∵ΔABC是等邊三角形(已知)

∴∠ABC＝∠ACB＝60°

∵BD是中線(已知)

∴BD平分∠ABC(等腰三角形底邊上的中線與頂角平分線互相重合)

∴∠DBC＝30°

又∵CE＝CD(已知)

∴∠CDE＝∠E(等邊對等角)

∵∠DCB＝∠CDE＋∠E＝60°(三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角的和)

∴∠E＝30°(等式性質(zhì))

∴∠DBE＝∠E

∴DB＝DE(等角對等邊)

【鞏固練習(xí)】

1、填空。

①等腰三角形中，兩腰上的中線

，頂角的平分線

底邊。

②若等腰三角形的一個角是

時，則這個角可以是頂角，也可以是底角。若有一個角是

時，則這個角一定是頂角。

2、已知：如圖，AB＝AC，DB＝DC，AD的延長線交BC于點E，求證：BE＝EC。

3、已知：如圖，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，F(xiàn)是CD的中點，求證：AF⊥CD。

三角形。

4、已知：如圖，CD平分∠ACB，AE∥DC，交BC的延長線于點E，求證：ΔACE是等腰

5、已知：如圖，AD＝BC，AC＝BD，求證：AE＝EB。

6、已知：如圖，在ΔABC中，AB＝AC，E，F(xiàn)分別是AB邊和AC邊延長線上的點，且BE＝CF，EF與BC交于點D，求證：DE＝DF。

7、已知：如圖，ΔABC中，∠A＝2∠C，BD是∠B的平分線，求證：BC＝AB＋AD。

【鞏固練習(xí)答案與提示】

1、①相等，垂直平分

②銳角，鈍角。

2、提示：因ΔABC中，AB＝AC，只需證AE平分∠BAC即可，可證ΔABD≌ΔACD。

3、由CF＝FD和等腰三角形“三合一”的性質(zhì)，易想到要證AF⊥CD，可連結(jié)AC，AD，然后證AC＝AD，要證 AC＝AD，可證ΔABC≌ΔAED。

4、∠CAE＝∠E

AC＝EC

ΔACE是等腰三角形。5、6、ΔABD≌ΔBAC ∠ABD＝∠BAC AE＝EB。

過E作EG∥AF，∠B＝∠EGB 8

ΔEDG≌ΔFDC DE＝DF。

7、ΔABD≌ΔEBD AD＝ED，∠A＝∠BED ∠C＝∠EDC ED＝EC

BC＝AB＋AD