第一篇：第八節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性教案

函數(shù)的單調(diào)性

北京師范大學附屬實驗中學 曹付生 張蓓

教學目標：

1．知識與技能：理解函數(shù)的單調(diào)性。學會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義。學會運用單調(diào)性的定義來判斷函數(shù)的單調(diào)性。

2．過程與方法：以基本函數(shù)的圖象為素材，由形到數(shù)，引導學生自主發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象變化規(guī)律，再推廣到一般得出單調(diào)性的概念，使學生體會由特殊到一般、具體到抽象的研究方法。培養(yǎng)學生數(shù)形結合的思想，及分析問題、解決問題的能力。

3．情感、態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生善于觀察、勇于探索的良好思維習慣和嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。

教學重點：函數(shù)的單調(diào)性概念

教學難點：函數(shù)單調(diào)性的判斷及證明 教法：引導、講授

學法：觀察、歸納、抽象、概括 媒體：幾何畫板、投影 教學過程：

一、問題情境

情境1：典型冬季日溫度變化曲線圖

問：隨時間的推移，氣溫如何變化？

1情境2：觀察y?x,y?x2,y?，回答，隨x的增大，y值如何變化？

x654321-4-3-2-101-1-2-3234y65432y4321yx2345x51-4-3-2-101-1-2-3234x5-4-3-2-101-1-2-3-4 二 形成概念

一般地，設函數(shù)y?f(x)的定義域為A，區(qū)間M?A。如果取區(qū)間M中的任意兩個值x1、x2，當改變量?x?x2?x1?0時，有?y?f(x2)?f(x1)?0，那么就稱函數(shù)y?f(x)在區(qū)間M上是增函數(shù)。

如果取區(qū)間M中的任意兩個值x1、x2，當改變量?x?x2?x1?0時，有?y?f(x2)?f(x1)?0，那么就稱函數(shù)y?f(x)在區(qū)間M上是減函數(shù)。

如果一個函數(shù)在某個區(qū)間M上是增函數(shù)或是減函數(shù)，就說這個函數(shù)在這個區(qū)間M上具有單調(diào)性（區(qū)間M稱為單調(diào)區(qū)間）三 例題分析

例1．如圖是定義在閉區(qū)間[-5,+5]上的函數(shù)y?f(x)的圖象，根據(jù)圖象說出y?f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)y?f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)。

例2．證明函數(shù)f(x)?1?x2在(??,0]上是增函數(shù)。

鞏固練習： 證明：函數(shù)y?x?探索：函數(shù)f(x)?x?1在（0,1]上是減函數(shù)。x1的定義域是{x|x?0}，我們對圖象也不太熟悉，如何尋x找這一函數(shù)的其他單調(diào)區(qū)間？（用幾何畫板畫出其圖象）

四 小結

1．一組概念：增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間

2．判斷單調(diào)性的兩個方法：

通過圖象觀察（從“形”的角度），用定義證明（從“數(shù)”的角度）3．證明函數(shù)單調(diào)性的步驟 五 作業(yè)

六 探索與研究（見課本）

第二篇：函數(shù)單調(diào)性教案(簡單)

函數(shù)單調(diào)性

一、教學目標

1、建立增（減）函數(shù)及單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的概念

2、掌握如何從函數(shù)圖象上看出單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性

3、掌握如何利用定義證明一段區(qū)間上的函數(shù)單調(diào)性

二、教學重難點

1、了解增（減）函數(shù)定義

2、用定義法證明一段區(qū)間上的函數(shù)單調(diào)性

三、教材、學情分析

單調(diào)性是處于教材《數(shù)學?必修一》B版第二章第一節(jié)，初中對單調(diào)性有著初步感性認識，到這節(jié)課我們給單調(diào)性嚴格的定義。單調(diào)性是對函數(shù)概念的延續(xù)和擴展，也是我們后續(xù)研究函數(shù)的基礎，可以說，起到了承上啟下的作用。

四、教學方法

數(shù)形結合法、講解法

五、教具、參考書

三角尺、PPT、數(shù)學必修

一、教師教學用書

六、教學過程

（一）知識導入

引入廣寧縣一天氣溫變化折線圖

詢問學生今天的溫度是如何變化的？

學生答：氣溫先上升，到了14時開始不斷下降。

由此導入函數(shù)圖像的上升下降變化，給出f（x）=x和f（x）=x2的圖像，詢問學生，這兩個函數(shù)圖象是如何變化的？

學生答：前一個不斷上升，后一個在y軸左邊下降，在y軸右邊上升。再詢問學生并提醒學生回答：從上面的觀察分析，能得出什么結論？

不同的函數(shù)，其圖像的變化趨勢不同，同一函數(shù)在不同區(qū)間上的變化趨勢也不同，函數(shù)圖像的變化規(guī)律就是函數(shù)性質(zhì)的反映。

教師：那么這就是我們要研究的單調(diào)性。

（二）給出定義。

教師：首先我們來看一下一元二次函數(shù)y=x2的圖象的對應值表，當x從0到5上變化時，y是如何變化的。生：隨著x的增大而增大

教師：那么我們在這段上升區(qū)間中任取兩個x1，x2，x1

教師順勢引導出增函數(shù)的概念，再由增函數(shù)類比畫圖演示，引導出減函數(shù)的概念。強調(diào)增（減）函數(shù)概念，尤其是在區(qū)間內(nèi)任取x1，x2這句話的理解。由增（減）函數(shù)可以引出單調(diào)區(qū)間的定義，不作很詳細講解。給出例題讓學生思考作答，進一步鞏固知識點。

（三）證明方法

讓學生們思考例二（思想為用定義法證明一段區(qū)間的單調(diào)性）并嘗試解答，一段時間后教師給學生講解。

講解完例題后，引導學生歸納用定義法正明一段區(qū)間的單調(diào)性的方法：

1、設元。

2、做差。

3、變形。

4、斷號。

5、定論。

（四）鞏固深化

思考：函數(shù)y=1/x 的定義域I是什么？在定義域I上的單調(diào)性是怎樣的？

通過這道問題的講解說明，讓學生們意識到單調(diào)性是離不開區(qū)間的且單調(diào)區(qū)間不能求并。

（五）課堂小結

再次對

1、增（減）函數(shù)定義。

2、增（減）函數(shù)的圖象有什么特點？如何根據(jù)圖象指出單調(diào)區(qū)間。

3、怎樣用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？三個問題進行闡述，牢固學生記憶和理解。

（六）布置作業(yè)。

第三篇：函數(shù)單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性概念教學的三個關鍵點 ──兼談《函數(shù)單調(diào)性》的教學設計

北京教育學院宣武分院 彭 林

函數(shù)單調(diào)性是學生進入高中后較早接觸到的一個完全形式化的抽象定義，對于仍然處于經(jīng)驗型邏輯思維發(fā)展階段的高一學生來講，有較大的學習難度。一直以來，這節(jié)課也都是老師教學的難點。最近，在我區(qū)“青年教師評優(yōu)課”上，聽了多名教師對這節(jié)課不同風格的課堂教學，通過對他們教學案例的研究和思考，筆者認為，在函數(shù)單調(diào)性概念的教學中，關鍵是把握住如下三個關鍵點。

關鍵點1。學生 學習函數(shù)單調(diào)性的認知基礎是什么？

在這個內(nèi)容之前，已經(jīng)教學過一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等簡單函數(shù)，函數(shù)的變量定義和映射定義，以及函數(shù)的表示。對函數(shù)是一個刻畫某些運動變化數(shù)量關系的數(shù)學概念，也已經(jīng)形成初步認識。接踵而來的任務是對函數(shù)應該繼續(xù)研究什么。在數(shù)學研究中，建立一個數(shù)學概念的意義就是揭示它的本質(zhì)特征，即共同屬性或不變屬性。對各種函數(shù)模型而言，就是研究它們所描述的運動關系的變化規(guī)律，也就是這些運動關系在變化之中的共同屬性或不變屬性，即“變中不變”的性質(zhì)。按照這種科學研究的思維方式，使得當前來討論函數(shù)的一些性質(zhì)，就成為順理成章的、必要的和有意義的數(shù)學活動。至于在多種函數(shù)性質(zhì)中，選擇這個時機來討論函數(shù)的單調(diào)性而不是其他性質(zhì)，是因為函數(shù)的單調(diào)性是學生從已經(jīng)學習的函數(shù)中比較容易發(fā)現(xiàn)的一個性質(zhì)。

就中小學生與單調(diào)性相關的經(jīng)歷而言，學生認識函數(shù)單調(diào)性可以分為四個階段： 第一階段，經(jīng)驗感知階段（小學階段），知道一個量隨另一個量的變化而變化的具體情境，如“隨著年齡的增長，我的個子越來越高”，“我認識的字越多，我的知識就越多”等。

第二階段，形象描述階段（初中階段），能用抽象的語言描述一個量隨另一個量變化的趨勢，如“y隨著x的增大而減少”。

第三階段，抽象概括階段（高中必修1），能進行脫離具體和直觀對象的抽象化、符號化的概括，并通過具體函數(shù)，初步體會單調(diào)性在研究函數(shù)變化中的作用。

第四階段，認識提升階段（高中選修系列1、2），要求學生能初步認識導數(shù)與單調(diào)性的聯(lián)系。

基于上述認識，函數(shù)單調(diào)性教學的引入應該從學生的已有認知出發(fā)，建立在學生初中已學的一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的基礎上，即從學生熟悉的常見函數(shù)的圖象出發(fā)，直觀感知函數(shù)的單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性定義的第一次認識.。

讓學生分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函在學生畫圖的基礎上，引導學生觀察圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學生明確，對于自變量變化時，函數(shù)值具有這兩種變化規(guī)律的函數(shù)，我們分別稱為增函數(shù)和減函數(shù).第三個函數(shù)圖象的上升與下降要分段說明，通過討論使學生明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的．

在此基礎上，教師引導學生用自己的語言描述增函數(shù)的定義： 如果函數(shù)在某個區(qū)間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數(shù)

在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)．

關鍵點2。為什么要用數(shù)學的符號語言定義函數(shù)的單調(diào)性概念？

對于函數(shù)單調(diào)性概念的教學而言，有一個很重要的問題，即為什么要進一步形式化。學生在初中已經(jīng)接觸過一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，對函數(shù)的增減性已有初步的認識：隨x增大y增大是增函數(shù)，隨x增大y 減小是減函數(shù)。這個觀念對他們而言是易于接受的，很形象，他們會覺得這樣的定義很好，為什么還要費神去進行符號化呢？如果教師能通過教學設計，讓學生感受到進一步符號化、形式化的必要性，造成認知沖突，則學生研究的興趣就會大大提高，主動性也會更強。其實，數(shù)學概念就是一系列常識不斷精微化的結果，之所以要進一步形式化，完全是數(shù)學精確性、嚴密性的要求，因為只有達到這種符號化、形式化的程度，才可以進行準確的計算，進行推理論證。

所以，在教學中提出類似如下的問題是非常必要的：

右圖是函數(shù)函數(shù)嗎？ 的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)和減

對于這個問題，學生的困難是難以確定分界點的確切位置．通過討論，使學生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究,使學生體會到用數(shù)量大小關系嚴格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性，從而將函數(shù)的單調(diào)性研究從研究函數(shù)圖象過渡到研究函數(shù)的解析式.關鍵點3：如何用形式化的語言定義函數(shù)的單調(diào)性？

從數(shù)學學科這個整體來看，數(shù)學的高度抽象性造成了數(shù)學的難懂、難教、難學，解決這一問題的基本途徑是順應學習者的認知規(guī)律：在需要和可能的情況下，盡量做到從直觀入手，從具體開始，逐步抽象，即數(shù)學的思考方式。恰當運用圖形語言、自然語言和符號化的形式語言，并進行三者之間必要的轉(zhuǎn)化，可以說，這是學習數(shù)學的基本思考方式。而函數(shù)單調(diào)性這一內(nèi)容正是體現(xiàn)數(shù)學基本思考方式的一個良好載體，教學中應該充分關注到這一點。長此以往，便可使學生在學習知識的同時，學到比知識更重要的東西—學會如何思考？如何進行數(shù)學的思考？

一般說，對函數(shù)單調(diào)性的建構有兩個重要過程，一是建構函數(shù)單調(diào)性的意義，二是通過思維構造把這個意義用數(shù)學的形式化語言加以描述。對函數(shù)單調(diào)性的意義，學生通過對若干函數(shù)圖象的觀察并不難認識，因此，前一過程的建構學習相對比較容易進行。后一過程的進行則有相當?shù)碾y度，其難就難在用數(shù)學的符合語言來描述函數(shù)單調(diào)性的定義時，如何才能最大限度地通過學生自己的思維活動來完成。這其中有兩個難點：

（1）“x增大”如何用符號表示；同樣，“f(x)增大”如何用符號表示。（2）“‘隨著’x增大，函數(shù)f(x)‘也’增大”，如何用符號表示。

用數(shù)學符號描述這兩種數(shù)學意義的最大要害之處，在于要用數(shù)學的符號來描述動態(tài)的數(shù)學對象。

在初中數(shù)學中，除了學習函數(shù)的初級概念，用y=f(x)表示函數(shù)y隨著自變量x的變化而變化時，接觸到一點動態(tài)數(shù)學對象的數(shù)學符號表示以外，絕大多數(shù)都是用數(shù)學符號表示靜態(tài)的數(shù)學對象。因此，從用靜態(tài)的數(shù)學符號描述靜態(tài)的數(shù)學對象，到用靜態(tài)的符號語言刻畫動態(tài)數(shù)學對象，在思維能力層次上存在重大差異，對剛剛由初中進入高中學習的學生而言，無疑是一個很大的挑戰(zhàn)！

因此，在教學中可以提出如下問題2： 如何從解析式的角度說明

在上為增函數(shù)？

這個問題是形成函數(shù)單調(diào)性概念的關鍵。在教學中，教師可以組織學生先分組探究，然后全班交流，相互補充，并及時對學生的發(fā)言進行反饋、評價，對普遍出現(xiàn)的問題組織學生討論，在辨析中達成共識.對于問題2，學生錯誤的回答主要有兩種：

①在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如1和2，因為函數(shù)． ,所以

在上為增②可以用0，1，2，3，4，5驗證： 在所以函數(shù)上是增函數(shù)。

對于這兩種錯誤，教師要引導學生進一步展開思考。例如，指出回答②試圖用自然數(shù)列來驗證結論，而且引入了不等式表示不等關系，但是，只是對有限幾個自然數(shù)驗證不行，只有當所有的比較結果都是一樣的：自變量大時，函數(shù)值也大，才可以證明它是增函數(shù)，那么怎么辦？如果有的學生提出：引入非負實數(shù)a，只要證明

就可以了，這就把驗證的范圍由有限擴大到了無限。教師應適時指出這種驗證也有局限性，然后再讓學生思考怎樣做才能實現(xiàn)“任意性”就有堅實的基礎了。也就是，從給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量,然后求差比較函數(shù)值的大小，從而得到正確的回答: 任意取在,有為增函數(shù)． ,即，所以這種回答既揭示了單調(diào)性的本質(zhì)，也讓學生領悟到兩點：(1)兩自變量的取值具有任意性；(2)求差比較它們函數(shù)值的大小。至此，學生對函數(shù)單調(diào)性有了理性的認識.在前面研究的基礎上，引導學生歸納、抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義，使學生經(jīng)歷從特殊到一般，從具體到抽象的認知過程。

教學中，教師引導學生用嚴格的數(shù)學符號語言歸納、抽象增函數(shù)的定義，并讓學生類比得到減函數(shù)的定義.然后指導學生認真閱讀教材中有關單調(diào)性的概念,對定義中關鍵的地方進行強調(diào).同時設計了一組判斷題：

判斷題：

①②若函數(shù)③若函數(shù)滿足f(2)

和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)在(1,3)上為增函數(shù)．④因為函數(shù)減函數(shù).在上都是減函數(shù)，所以在上是通過對判斷題的討論，強調(diào)三點：

①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應區(qū)間就談不上單調(diào)性． ②有的函數(shù)在整個定義域內(nèi)單調(diào)(如一次函數(shù))，有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)(如二次函數(shù))，有的函數(shù)根本沒有單調(diào)區(qū)間(如常函數(shù))．

③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)．

從而加深學生對定義的理解

北京4中常規(guī)備課

【教學目標】

1．使學生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法．

2．通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結合數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學生的推理論證能力．

3．通過知識的探究過程培養(yǎng)學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經(jīng)歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程．

【教學重點】 函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明．

【教學難點】 歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性． 【教學方法】 教師啟發(fā)講授，學生探究學習． 【教學手段】 計算機、投影儀． 【教學過程】

一、創(chuàng)設情境，引入課題 課前布置任務：

(1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內(nèi)氣溫隨時間變化的曲線圖.引導學生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學生思考． 問題：觀察圖形，能得到什么信息？

預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到；(2)在某時刻的溫度；

(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.在生活中，我們關心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對我們的生活是很有幫助的．

問題：還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎？ 預案：水位高低、燃油價格、股票價格等．

歸納：用函數(shù)觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變?。?〖設計意圖〗由生活情境引入新課，激發(fā)興趣．

二、歸納探索，形成概念

對于自變量變化時，函數(shù)值是變大還是變小，初中同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴格定義.1．借助圖象，直觀感知

問題1：

分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函

預案：(1)函數(shù)

在整個定義域內(nèi) y隨x的增大而增大；函數(shù)

在整個定義域內(nèi) y隨x的增大而減?。?/p>

(2)函數(shù)在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減?。?/p>

(3)函數(shù) 在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減?。?/p>

引導學生進行分類描述(增函數(shù)、減函數(shù))．同時明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)．

問題2：能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)? 預案：如果函數(shù)

在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)

在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們在該區(qū)間上為增函數(shù)；如果函數(shù)說函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)．

教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數(shù)單調(diào)性的直觀，描述性的認識． 【設計意圖】從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認識． 2．探究規(guī)律，理性認識

問題1：下圖是函數(shù)和減函數(shù)嗎？ 的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)

學生的困難是難以確定分界點的確切位置．

通過討論，使學生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究．

〖設計意圖〗使學生體會到用數(shù)量大小關系嚴格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性． 問題2：如何從解析式的角度說明

在為增函數(shù)？

22預案：(1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如1和2，因為1<2,所以為增函數(shù)．

(2)仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以(3)任取，所以

在,因為

為增函數(shù)．

在為增函數(shù)．

在,即對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量．

【設計意圖】把對單調(diào)性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識．事實上也給出了證明單調(diào)性的方法，為證明單調(diào)性做好鋪墊.3．抽象思維，形成概念

問題：你能用準確的數(shù)學符號語言表述出增函數(shù)的定義嗎?

師生共同探究，得出增函數(shù)嚴格的定義，然后學生類比得出減函數(shù)的定義．(1)板書定義(2)鞏固概念 判斷題：

①．

②若函數(shù)

③若函數(shù) 在區(qū)間

和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)

在區(qū)間(1,3)上為增函

．

④因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).上都是減函數(shù)，所以在

通過判斷題，強調(diào)三點：

①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應區(qū)間就談不上單調(diào)性． ②對于某個具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內(nèi)某個區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù))．

③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)．

思考：如何說明一個函數(shù)在某個區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)? 【設計意圖】讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識.三、掌握證法，適當延展

例 證明函數(shù)

在上是增函數(shù)．

1．分析解決問題

針對學生可能出現(xiàn)的問題，組織學生討論、交流．

證明：任取 ，設元

求差

變形，斷號

∴

∴

即

∴函數(shù)

2．歸納解題步驟

在上是增函數(shù)．

定論

引導學生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．

練習：證明函數(shù)

問題：要證明函數(shù)

在區(qū)間

上是增函數(shù)，除了用定義來證，如果可以證得對

在上是增函數(shù)．

任意的，且有可以嗎? 引導學生分析這種敘述與定義的等價性．讓學生嘗試用這種等價形式證明函數(shù)在

〖設計意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．等價形式進一步發(fā)展可以得到導數(shù)法，為用導數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆．

四、歸納小結，提高認識

學生交流在本節(jié)課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結．

1．小結

(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．(3)數(shù)學思想方法和思維方法：數(shù)形結合，等價轉(zhuǎn)化，類比等． 2．作業(yè)

書面作業(yè)：課本第60頁習題2.3 第4，5，6題． 課后探究：(1)證明：函數(shù)

在區(qū)間

上是增函數(shù)的充要條件是對任意的上是增函數(shù)．，且

有．

(2)研究函數(shù)的單調(diào)性，并結合描點法畫出函數(shù)的草圖．

《函數(shù)的單調(diào)性》教學設計說明

一、教學內(nèi)容的分析

函數(shù)的單調(diào)性是學生在了解函數(shù)概念后學習的函數(shù)的第一個性質(zhì)，是函數(shù)學習中第一個用數(shù)學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函數(shù)其它性質(zhì)提供了方法依據(jù)． 對于函數(shù)單調(diào)性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）要求用準確的數(shù)學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學生是比較困難的；（2）單調(diào)性的證明是學生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據(jù)以上的分析和教學大綱的要求，確定了本節(jié)課的重點和難點．

二、教學目標的確定

根據(jù)本課教材的特點、教學大綱對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學目標，重視單調(diào)性概念的形成過程和對概念本質(zhì)的認識；強調(diào)判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法的落實以及數(shù)形結合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習慣的養(yǎng)成．

三、教學過程的設計

為達到本節(jié)課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下的措施：（1）在探索概念階段, 讓學生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對單調(diào)性定義的三次認識,使得學生對概念的認識不斷深入．

（2）在應用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．

（3）考慮到我校學生數(shù)學基礎較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進行適當?shù)难诱梗由顚Χx的理解，同時也為用導數(shù)研究單調(diào)性埋下伏筆．

第四篇：函數(shù)的單調(diào)性教案

函數(shù)的單調(diào)性

教學目標

知識目標：初步理解增函數(shù)、減函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的概念，并掌握判斷一些簡單函數(shù)單調(diào)性的方法。

能力目標：啟發(fā)學生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，學會分析問題和創(chuàng)造地解決問題；通過觀察——猜想——推理——證明這一重要的思想方法，進一步培養(yǎng)學生的邏輯推理能力和創(chuàng)新意識。

德育目標：在揭示函數(shù)單調(diào)性實質(zhì)的同時進行辯證唯物主義思想教育。：

教學重點：函數(shù)單調(diào)性的有關概念的理解

教學難點：利用函數(shù)單調(diào)性的概念判斷或證明函數(shù)單調(diào)性

教 具： 多媒體課件、實物投影儀

教學過程：

一、創(chuàng)設情境，導入課題

[引例1]如圖為2006年黃石市元旦24小時內(nèi)的氣溫變化圖．觀察這張氣溫變化圖：

問題1：氣溫隨時間的增大如何變化？

問題2：怎樣用數(shù)學語言來描述“隨著時間的增大氣溫逐漸升高”這一特征？

[引例2]觀察二次函數(shù)的圖象，從左向右函數(shù)圖象如何變化？并總結歸納出函數(shù)圖象中自變量x和 y值之間的變化規(guī)律。

結論：（1）y軸左側：逐漸下降； y軸右側：逐漸上升；

（2）左側 y隨x的增大而減小；右側y隨x的增大而增大。

上面的結論是直觀地由圖象得到的。還有很多函數(shù)具有這種性質(zhì)，因此，我們有必要對函數(shù)這種性質(zhì)作更進一步的一般性的討論和研究。

二、給出定義，剖析概念

①定義：對于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值

⑴若當圖3）；

⑵若當圖4）。<時，都有f（）>f（）,則f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)（如<時，都有f（）

②單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.此時也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).由此可知單調(diào)區(qū)間分為單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間。

注意：

（1）函數(shù)單調(diào)性的幾何特征：在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的。

當x1 f(x2)y隨x增大而減小。

幾何解釋：遞增 函數(shù)圖象從左到右逐漸上升；遞減 函數(shù)圖象從左到右逐漸下降。

（2）函數(shù)單調(diào)性是針對某一個區(qū)間而言的，是一個局部性質(zhì)。

有些函數(shù)在整個定義域內(nèi)是單調(diào)的；有些函數(shù)在定義域內(nèi)的部分區(qū)間上是增函數(shù)，在部分區(qū)間上是減函數(shù)；有些函數(shù)是非單調(diào)函數(shù)，如常數(shù)函數(shù)。

判斷2：定義在R上的函數(shù) f(x)滿足 f(2)> f(1)，則函數(shù) f(x)在R上是增函數(shù)。（×）

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在一個單調(diào)區(qū)間上的“整體”性質(zhì)，不能用特殊值代替。

訓練：畫出下列函數(shù)圖像，并寫出單調(diào)區(qū)間：

三、范例講解，運用概念

具有任意性，例1、如圖，是定義在閉區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)出函數(shù)。的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象說

是增函數(shù)還減

注意：

（1）函數(shù)的單調(diào)性是對某一個區(qū)間而言的，對于單獨的一點，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，因而沒有增減變化，所以不存在單調(diào)性問題。

（2）在區(qū)間的端點處若有定義，可開可閉，但在整個定義域內(nèi)要完整。

例2 判斷函數(shù) f(x)=3x+2 在R上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明你的結論。

引導學生進行分析證明思路，同時展示證明過程：

證明：設任意的 由

于是

即

所以。

在R上是增函數(shù)。，得，且，則

分析證明中體現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性的定義。

利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：

①任意取值：即設x1、x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且x1

②作差變形：作差f(x1)－f(x2)，并因式分解、配方、有理化等方法將差式向有利于判斷差的符號的方向變形

③判斷定號：確定f(x1)－f(x2)的符號

④得出結論：根據(jù)定義作出結論（若差0，則為增函數(shù)；若差

0，則為減函數(shù)）

即“任意取值——作差變形——判斷定號——得出結論”

例

3、證明函數(shù)

證明：設，且

在(0,+)上是減函數(shù).，則

由

又由

于是

即。，得，得即

（*）。

所以，函數(shù)

問題1 ：

在區(qū)間

在上是單調(diào)減函數(shù)。

上是什么函數(shù)？(減函數(shù))在定義域

上是減函數(shù)？（學生討論

問題2 ：能否說函數(shù)得出）

四、課堂練習，知識鞏固

課本59頁 練習：第1、3、4題。

五、課堂小結，知識梳理

1、增、減函數(shù)的定義。

函數(shù)單調(diào)性是對定義域的某個區(qū)間而言的，反映的是在這一區(qū)間上函數(shù)值隨自變量變化的性質(zhì)。

2、函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：（1）利用圖象觀察；（2）利用定義證明：

證明的步驟：任意取值——作差變形——判斷符號——得出結論。

六、布置作業(yè)，教學延伸

課本60頁習題2.3 ：第4、5、6題。

第五篇：函數(shù)的單調(diào)性(教案)

函數(shù)的單調(diào)性（教案）

一、教學目標

1、使學生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法。

2、通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學生的推理論證能力。

3、通過知識的探究過程培養(yǎng)學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經(jīng)歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程。

二、重點、難點分析

1、重點：函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明。

2、難點：歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性。

三、教學過程

1、學生動手作圖，引入課題：結合函數(shù)圖像畫法的相關知識，讓學生實際動手操作，分別畫出函數(shù)f(x)?x,f(x)??x,f(x)?x2,f(x)??x2的圖像。如下：

圖1 圖2

圖3 圖4

2、借助圖像，直觀感知：引導學生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學生思考。并讓學生回答以下兩個問題：

（1）以上4個函數(shù)圖像中，隨自變量x的變化，函數(shù)值f(x)發(fā)生了怎樣的變化？

① 圖1中，函數(shù)值f(x)隨自變量x的增大而增大，減小而減?。?② 圖2中，函數(shù)值f(x)隨自變量x的增大而減小，減小而增大；

③ 圖3中，對于y軸的左半部分而言，函數(shù)值f(x)隨自變量x的增大而減小，減小而增大。對于y軸的右半部分而言，函數(shù)值f(x)隨自變量x的增大而增大，減小而減小。

④ 圖4中，對于y軸的左半部分而言，函數(shù)值f(x)隨自變量x的增大而增大，減小而減小。對于y軸的右半部分而言，函數(shù)值f(x)隨自變量x的增大而減小，減小而增大。

（2）如何用數(shù)學語言描述上述函數(shù)中，函數(shù)值f(x)隨自變量x的變化情況？

① 對于函數(shù)f(x)?x而言，?x1,x2?(??,??)，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)。

② 對于函數(shù)f(x)??x而言，?x1,x2?(??,??)，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)。

③ 對于函數(shù)f(x)?x2而言，?x1,x2?(??,0)，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)。而?x1,x2?(0,??)，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)。

④ 對于函數(shù)f(x)??x2而言，?x1,x2?(??,0)，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)。而?x1,x2?(0,??)，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)。

3、歸納探索，形成概念：引導學生歸納總結出增函數(shù)和減函數(shù)的定義：

（1）增函數(shù)：I為函數(shù)f(x)的定義域，D?I，若?x1,x2?D，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)，則函數(shù)f(x)在D上是增函數(shù)。

（2）減函數(shù)：I為函數(shù)f(x)的定義域，D?I，若?x1,x2?D，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)，則函數(shù)f(x)在D上是增函數(shù)。

4、例題講解，鞏固定義；歸納總結，尋求一般證明步驟：講解例題，引導學生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟（設元、求差、變形、斷號，定論）。

k例題1：證明波意耳定律P?,(k為正常數(shù))為減函數(shù)。

Vk 證明：按題意，只要證明函數(shù)P?在區(qū)間(0,??)上是減函數(shù)即可。

V ??V1,V2?(0,??)，當V1?V2時，有：

設元

P(V1)?P(V2)?kk?

求差 V1V2V2?V

1變形 VV1 ?k

又?V1,V2?(0,??)，V1?V2

?VV12?0,V1?V2?0，同時，k?0，斷號

?P(V1)?P(V2)?0

即，P(V1)?P(V2).所以，函數(shù)P?k在區(qū)間(0,??)上是減函數(shù)。定論 V3

5、通過例題，強調(diào)關鍵點：提出課文中容易誤解和忽略指出，予以提醒。

1（1）例題2：“已知f(x)?，因為f(?1)?f(2)，所以函數(shù)f(x)是增函數(shù)。”

x這種說法對嗎？

解析：單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應區(qū)間就談不上單調(diào)性。

2（2）例題3：能否直接觀察函數(shù)f(x)?x?,(x?0)的圖像（如下），說出這

x個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)和減函數(shù)？

圖5

解析：學生難以確定分界點的確切位置。從而，使學生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究。

（3）例題4：如何從解析式的角度說明f(x)?x2在[0,??)為增函數(shù)？

222法一： 在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如1和2，因為1?2,所以f(x)?x[0,??)為增函數(shù)。

法二：仿法一，取很多組驗證均滿足，所以f(x)?x2在[0,??)為增函數(shù)。法三：任取x1,x2?[0,??)且x1?x2，因為x12?x22?(x1?x2)(x1?x2)?0,即x12?x22，所以f(x)?x2在[0,??)為增函數(shù)。

解析：自變量不可能被窮舉，證明函數(shù)的單調(diào)性時，要在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量。

（4）例題5：“若函數(shù)f(x)滿足f(2)?f(3)，則函數(shù)在區(qū)間[2,3]上為增函數(shù)?！边@種說法對嗎？

解析：對于某個具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內(nèi)某個區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù))。

（5）例題6：“若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2]和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù)。”與“因為函數(shù)f(x)?減函數(shù)，所以f(x)?1在區(qū)間(??,0]和(0,??)上都是x1在(??,0]和(0,??)上是減函數(shù)”這兩種種說法對嗎？ x解析：函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認為函數(shù)在A?b上是增（或減）函數(shù)。

四、作業(yè)布置

教材p39 A組：第2題、第5題、第6題； B組：第1題、第3題。