第一篇：定義新運(yùn)算教案

四年級(jí)奧數(shù)教案

第一講

第一課時(shí) 教學(xué)時(shí)間：

教學(xué)內(nèi)容：認(rèn)識(shí)定義新運(yùn)算。定義新運(yùn)算的基本題型。教學(xué)目標(biāo)：

1、讓學(xué)生了解定義新運(yùn)算的基本模式。

2、讓學(xué)生學(xué)會(huì)解決簡(jiǎn)單定義新運(yùn)算的基本題型。教學(xué)重點(diǎn)：使學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用定義新運(yùn)算解決基本題型。教學(xué)難點(diǎn)：掌握定義新運(yùn)算的解題方法。教學(xué)過程：

一、導(dǎo)入

我們學(xué)過的常用運(yùn)算有：+、－、×、÷等，在這一講中，我們將定義一些新的運(yùn)算。對(duì)這些新的運(yùn)算符號(hào)同學(xué)們可能會(huì)感到陌生，但是解題時(shí)只在抓住新運(yùn)算的運(yùn)算法則，問題就迎刃而解了。

二、新授

1、教學(xué)例1。

【例1】定義一種運(yùn)算△： a△b=3×a－2×b,(1)求3△2，2△3；

（2）這個(gè)運(yùn)算“△”有交換律嗎？

（3）求（17△6）△2，17△（6△2）；

（4）這個(gè)運(yùn)算“△”有結(jié)合律嗎？

【分析】解這類題的關(guān)鍵是抓住新運(yùn)算的本質(zhì)，本題的本質(zhì)是：用運(yùn)算符前面的3倍減去運(yùn)算符號(hào)后面數(shù)的2倍?！窘狻浚?）3△2＝3×3－2×2＝9－4＝5 2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0（2）由（1）的運(yùn)算結(jié)果可知“△”沒有交換律。

（3）要計(jì)算（17△6）△2，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，有：

17△6＝3×17－2×6＝39 再計(jì)算第二步：39△2＝3×39－2×2＝113 所以（17△6）△2＝113 對(duì)于17△（6△2）可同樣計(jì)算: 6△2=3×6－2×2=14 17△14=3×17－2×14=23 所以17△（6△2）=23(4)由(3)的運(yùn)算結(jié)果可知“△”也沒有結(jié)合律。

2、學(xué)習(xí)例2。

【例2】定義新的運(yùn)算a◎b=a×b＋a＋b（1）求6◎2，2◎6；

（2）求（1◎2）◎3，1◎（2◎3）；（3）這個(gè)運(yùn)算有交換律和結(jié)合律嗎？

1、同桌之間互相交流，找出運(yùn)算法則。

2、學(xué)生在練習(xí)本上嘗試練習(xí)。

3、集體訂正?！痉治雠c解】

（1）6◎2＝6×2＋6＋2＝20 2◎6＝2×6＋2＋6＝20（2）（1◎2）◎3＝（1×2＋1＋2）◎3 ＝5◎3 ＝5×3＋5＋3

＝23 1◎（2◎3）＝1◎（1×2＋1＋2）

＝1◎11 ＝1×11＋1＋11 ＝23（3）由（1）的運(yùn)算結(jié)果6◎2＝2◎6＝20，可知◎滿足交換律。

由（2）的運(yùn)算結(jié)果（1◎2）◎3＝1◎（2◎3）＝23，可知◎滿足結(jié)合律。

三、鞏固練習(xí)。

1、對(duì)于數(shù)a、b定義運(yùn)算“※”為a※b＝（a＋3）×(b－5)，求5※（6※7）的值。

2、對(duì)于數(shù)x、y定義兩種運(yùn)算“?！奔啊啊酢比缦拢? x＃y＝6×x＋5×y，x□y=3×x×y，求（2＃3）□4的值。

四、課堂小結(jié)：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么新的收獲，和你的同學(xué)交流一下。

五、作業(yè)《思維訓(xùn)練》第10頁(yè)的1—3題。教學(xué)后記： 第二課時(shí) 教學(xué)時(shí)間：

教學(xué)內(nèi)容：定義新運(yùn)算

（二）教學(xué)目標(biāo)：在上一節(jié)課的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)了解有關(guān)定義新運(yùn)算，使學(xué)生明白一種運(yùn)算實(shí)際就是兩個(gè)數(shù)與一個(gè)數(shù)的一種對(duì)應(yīng)方法。

重、難點(diǎn)：

重 點(diǎn)：使學(xué)生明白對(duì)應(yīng)法則不同就是不同的運(yùn)算。

難點(diǎn)：通過法則讓學(xué)生理解每個(gè)法則都有一個(gè)惟一確定的數(shù)與它們對(duì)應(yīng) 教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)

設(shè)a,b都表示數(shù)，規(guī)定a△b=3×a-2×b。（1）求4△3，3△4。這個(gè)運(yùn)算“△”有交換律嗎？

（2）求（17△6）△2，17△（6△2）。這個(gè)運(yùn)算“△”有結(jié)合律嗎？

二、新授

1、學(xué)習(xí)例3 【例3】對(duì)于任意的兩個(gè)整數(shù)a、b，定義兩種運(yùn)算“※”，“◎”： a※b=a＋b－1,a◎b=a×b－1，計(jì)算4◎［（6※8）※（3※5）］的值。（1）引導(dǎo)學(xué)生審題。分析題意。

（2）同桌之間互相交流，在練習(xí)本上嘗試練習(xí)。（3）師詳細(xì)講解。

【解】4◎［（6※8）※（3※5）］

＝4◎［（6＋8－1）※（3+5－1）］

＝4◎[13※7] ＝4◎[13+7-1] ＝4◎19 ＝4×19－1 ＝75 【例4】定義x*y=a×x＋2×y,并且已知5*6＝6*5，求a是幾？

1、讓學(xué)生讀題，理解題意。

2、讓學(xué)生根據(jù)定義新運(yùn)算的基本模式和解題方法試著解答。

3、詳細(xì)講解

【解】根據(jù)題意，5*6＝5×a＋2×6=5a＋12 6*5=6×a＋2×5=6a＋10 且5a＋12=6a＋10 可以解出a=2

四、鞏固練習(xí)。

定義運(yùn)算“*”為a*b=a×b－(a＋b)求：（1）5*7，7*5（2）12*（3*），（12*3）*4（3）這個(gè)運(yùn)算“*”有交換律、結(jié)合律嗎？

五、課堂小結(jié)：這節(jié)課你有什么收獲？

六、作業(yè)：《思維訓(xùn)練》的第10頁(yè)5～7題。教學(xué)后記：

第三、四課時(shí)

教學(xué)時(shí)間： 教學(xué)內(nèi)容：鞏固練習(xí)

教學(xué)目的：使學(xué)生正確熟練地解決新運(yùn)算定義問題，培養(yǎng)學(xué)生理解能力的多樣化和解題的靈活性。

教學(xué)過程：

一、專項(xiàng)練習(xí)。

一、專項(xiàng)練習(xí)。

1、對(duì)于數(shù)a、b定義運(yùn)算“※”為a※b＝6×a－2×b，求4※（5※6）的值。

2、對(duì)于數(shù)x、y定義兩種運(yùn)算“?！奔啊啊酢比缦拢? x＃y＝8×x－4×y，x□y=6×x×y，求（5＃7）□8的值。

3、定義運(yùn)算“*”為a*b=a×b－(a＋b)求：（1）5*7，7*5

（2）12*（3*），（12*3）*4

（3）這個(gè)運(yùn)算“*”有交換律、結(jié)合律嗎？

4、設(shè)a,b都表示數(shù)，規(guī)定a△b=3×a-2×b。

（1）求4△3，3△4。這個(gè)運(yùn)算“△”有交換律嗎？

（2）求（17△6）△2，17△（6△2）。這個(gè)運(yùn)算“△”有結(jié)合律嗎？

（3）如果已知5△b=5，求b。

5、設(shè)a▽b=a×b+a-b,求5▽8。

第二篇：定義新運(yùn)算教案

定義新運(yùn)算

知識(shí)要點(diǎn)

基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號(hào)（“﹡”“＃”“△”等），新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基

本（混合）運(yùn)算。

基本思路：嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按

照基本運(yùn)算過程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。關(guān)鍵問題：正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。

注意事項(xiàng)：①新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。②每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。算式中有括號(hào)的，要先算括號(hào)里面的。但它在沒有轉(zhuǎn)化前，是不適合各種運(yùn)算定律的。

典題解析

例1：設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定：a△b表示a的3倍減去b的2倍，即：a△b = a×3－b×2。試計(jì)算：（1）5△6；（2）6△5；（3）5△（5△6）

練習(xí)：

1，設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定：a○b=6×a－2×b。試計(jì)算3○4。

2，設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定：a*b=3×a＋2×b。試計(jì)算：（1）（5*6）*7（2）5*（6*7）

3，如果a※b=6×a+7×b，那么7※8=？ 10※5=？

例2：對(duì)于兩個(gè)數(shù)a與b，規(guī)定a⊕b=a×b＋a＋b，試計(jì)算6⊕2。

練習(xí)：1，對(duì)于兩個(gè)數(shù)a與b，規(guī)定：a⊕b=a×b－（a＋b）。計(jì)算3⊕5。

2，對(duì)于兩個(gè)數(shù)A與B，規(guī)定：A☆B=A×B÷2。試算6☆4。

3，規(guī)定：a＃b=2×a＋a×b，那么1＃2＃3=？

例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此規(guī)律計(jì)算3△5。

練習(xí)：1，如果5▽2=5×6，2▽3=2×3×4，計(jì)算：3▽4。

2，如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），計(jì)算8▽4。

3、規(guī)定：1 △ 5=1×2×3×4×5 ； 6 △ 4=6×7×8×9 ；求4 △ 6=？

例

4、如果 1※2＝1＋11；2※3＝2＋22＋222；3※4＝3＋33＋333＋333＋3333 計(jì)算（3※2）×5。

練習(xí)：1，如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，按此規(guī)律計(jì)算5！。

2，規(guī)定:6※2=6+66=72；2※3=2+22+222=246；1※4=1+11+111+1111=1234.7※5=

例5： 2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25。按此規(guī)律計(jì)算：7▽3。

練習(xí)：1，有一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)“▽”，使下列算式成立：6▽2=12，4▽3=13，3▽4=15，5▽1=8。按此規(guī)律計(jì)算：8▽4。

2、有一種數(shù)學(xué)符號(hào)◎，使下列算式成立：,8◎4=28 ； 7◎6=27 ；10◎8=38 ；求：12◎8=？

3，如果：4※5=18，9※10=38，11※22=66，20※20=80，那么199※200=？

綜合練習(xí)

1、設(shè)m、n是兩個(gè)數(shù)，規(guī)定m※n=4×n－（m+n）÷2，這里加減乘除是通常的四則運(yùn)算符號(hào)，括號(hào)的作用也是通常的含義。※是新的運(yùn)算符號(hào)。計(jì)算：3※（4※6）＝（）

2、有一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)◎，是下列算式成立：2◎4=8 5◎3=13 9◎7=25，那么6◎4=（育苗杯小學(xué)數(shù)學(xué)通訊賽預(yù)賽）

3、□表示一種新的數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，已知2□3=2+3+4，7□2=7+8 3□5=3+4+5+6+7，按此規(guī)則n□8=68，那么n的值是多少？（第九屆“祖沖之杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）

4、如果：4＃5=13, 5＃5=15，12＃10=34那么2007＃2008＝（）。

5、x、y表示兩個(gè)數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算·※及◎如下：x※y=4×x+3×y x◎y=2×x×y。求（3※4）◎5的值。

6、※是一種新運(yùn)算符號(hào)，規(guī)定a※b=a×c+b×d，（其中c、d為常數(shù)），如5※7=5×c+7×d，如果1※2=5，1※3=7；那么：6※1000的計(jì)算結(jié)果是多少？（第四屆小學(xué)“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題）

第三篇：四年級(jí)定義新運(yùn)算測(cè)試題

四年級(jí)定義新運(yùn)算測(cè)試題

姓名:

分?jǐn)?shù):

1、找規(guī)律，求得數(shù) 2★10=6 4★6=5 1★17=9 2★4=？

2、、對(duì)于兩個(gè)數(shù)A與B，規(guī)定：A☆B=A×B×2。試算5☆8。

3、設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定： a⊙b = a×3+b×2。試計(jì)算：5△6，6△7

4、設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定：a*b=3×a＋2×b。試計(jì)算：4*（5*6）

5、有一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)“□”，使下列算式成立：6□2=6×7，4□3=4×5×6，計(jì)算：4□3。

第1講

第四篇：小學(xué)奧數(shù)1-3-1 定義新運(yùn)算．教師版

定義新運(yùn)算

教學(xué)目標(biāo)

定義新運(yùn)算這類題目是在考驗(yàn)我們的適應(yīng)能力，我們大家都習(xí)慣四則運(yùn)算，定義新運(yùn)算就打破了運(yùn)算規(guī)則，要求我們要嚴(yán)格按照題目的規(guī)定做題．新定義的運(yùn)算符號(hào)，常見的如△、◎、※等等，這些特殊的運(yùn)算符號(hào)，表示特定的意義，是人為設(shè)定的．解答這類題目的關(guān)鍵是理解新定義，嚴(yán)格按照新定義的式子代入數(shù)值，把定義的新運(yùn)算轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的四則運(yùn)算。

知識(shí)點(diǎn)撥

一

定義新運(yùn)算

基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基本（混合）運(yùn)算。

基本思路：嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按照基本運(yùn)算過程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。

關(guān)鍵問題：正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。

注意事項(xiàng)：①新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。

②每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。

我們學(xué)過的常用運(yùn)算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5

2×3＝6

都是2和3，為什么運(yùn)算結(jié)果不同呢？主要是運(yùn)算方式不同，實(shí)際是對(duì)應(yīng)法則不同.可見一種運(yùn)算實(shí)際就是兩個(gè)數(shù)與一個(gè)數(shù)的一種對(duì)應(yīng)方法，對(duì)應(yīng)法則不同就是不同的運(yùn)算.當(dāng)然，這個(gè)對(duì)應(yīng)法則應(yīng)該是對(duì)任意兩個(gè)數(shù)，通過這個(gè)法則都有一個(gè)唯一確定的數(shù)與它們對(duì)應(yīng).只要符合這個(gè)要求，不同的法則就是不同的運(yùn)算.在這一講中，我們定義了一些新的運(yùn)算形式，它們與我們常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”運(yùn)算不相同.二

定義新運(yùn)算分類

1.直接運(yùn)算型

2.反解未知數(shù)型

3.觀察規(guī)律型

4.其他類型綜合例題精講

模塊一、直接運(yùn)算型

【例

1】

若表示，求的值。

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【解析】

A*B是這樣結(jié)果這樣計(jì)算出來：先計(jì)算A＋3B的結(jié)果，再計(jì)算A＋B的結(jié)果，最后兩個(gè)結(jié)果求乘積。

由

A*B＝（A＋3B）×（A＋B）

可知：

5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）

＝（5＋21）×12

＝

26×12

＝

312

【答案】

【鞏固】

定義新運(yùn)算為a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【解析】

所求算式是兩重運(yùn)算，先計(jì)算括號(hào)，所得結(jié)果再計(jì)算。由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7

【答案】

【鞏固】

設(shè)△，那么，5△______，(5△2)

△_____.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【解析】,【答案】

【鞏固】、表示數(shù)，表示，求3(68)

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【解析】

【答案】

【鞏固】

已知a,b是任意自然數(shù),我們規(guī)定:

a⊕b=

a+b-1，那么

.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

原式

【答案】

【鞏固】

表示

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級(jí)，初賽

【解析】

原式

【答案】

【鞏固】

規(guī)定運(yùn)算“☆”為：若a>b，則a☆b=a＋b；若a=b，則a☆b=a－b＋1；若a

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試

【解析】

【答案】

【例

2】

“△”是一種新運(yùn)算，規(guī)定：a△b＝a×c＋b×d(其中c，d為常數(shù))，如5△7＝5×c＋7×d。如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO的計(jì)算結(jié)果是________。

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級(jí)，二試

【解析】

1△2＝1×c＋2×d=5，2△3＝2×c＋3×d=8，可得c=1,d=2

6△1000＝6×c＋1000×d=2006

【答案】

【鞏固】

對(duì)于非零自然數(shù)a和b，規(guī)定符號(hào)的含義是：ab＝（m是一個(gè)確定的整數(shù)）。如果14＝23，那么34等于________。

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級(jí)，二試

【解析】

根據(jù)14=23，得到，解出m=6。所以。

【答案】

【例

3】

對(duì)于任意的整數(shù)x與y定義新運(yùn)算“△”：,求2△9。

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】北京市，迎春杯

【解析】

根據(jù)定義

于是有

【答案】

【鞏固】

“*”表示一種運(yùn)算符號(hào)，它的含義是：，已知，求。

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【解析】

根據(jù)題意得，所以

【答案】

【例

4】

[A]表示自然數(shù)A的約數(shù)的個(gè)數(shù).例如4有1,2,4三個(gè)約數(shù),可以表示成[4]=3.計(jì)算:

=

.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

因?yàn)橛袀€(gè)約數(shù),所以[18]=6,同樣可知[22]=4,[7]=2.原式.【答案】

【鞏固】

x為正數(shù),表示不超過x的質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù),如<5.1>=3,即不超過5.1的質(zhì)數(shù)有2,3,5共3個(gè).那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是

.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

<19>為不超過19的質(zhì)數(shù),有2,3,5,7,11,13,17,19共8個(gè).<93>為不超過的質(zhì)數(shù),共24個(gè),易知<1>=0,所以，原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.【答案】

【鞏固】

定義運(yùn)算“△”如下:對(duì)于兩個(gè)自然數(shù)a和b,它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和記為a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根據(jù)上面定義的運(yùn)算,18△12=

.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42.【答案】

【例

5】

我們規(guī)定：符號(hào)表示選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運(yùn)算，例如：53=35=5，符號(hào)△表示選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運(yùn)算，例如：5△3=3△5=3，計(jì)算：的結(jié)果是多少？

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

【答案】

【鞏固】

規(guī)定：符號(hào)“&”為選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運(yùn)算，“◎”為選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運(yùn)算。計(jì)算下式：[（7◎3）&

5]×[

5◎（3

&

7）]

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

新定義運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算時(shí)如果遇到有括號(hào)的，要先計(jì)算小括號(hào)里的，再計(jì)算中括號(hào)里的。

[（7◎6）&

5]×[

5◎（3

&

9）]＝[

&

5]

×[

5◎9

]＝6×5＝30

【答案】

【鞏固】

我們規(guī)定：AB表示A、B中較大的數(shù)，A△B表示A、B中較小的數(shù)。則

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級(jí)，決賽

【解析】

根據(jù)題目要求計(jì)算如下：

【答案】

【例

6】

如果規(guī)定a※b

=13×a-b

÷8，那么17※24的最后結(jié)果是______。

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試

【解析】

17※24=13×17-24÷8=221-3=218

【答案】

【鞏固】

若用G（a）表示自然數(shù)a的約數(shù)的個(gè)數(shù)，如：自然數(shù)6的約數(shù)有1、2、3、6，共4個(gè)，記作G（6）=4，則G(36)+G(42)=。

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試

【解析】

36的約數(shù)有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。42的約數(shù)有：1、2、3、6、7、14、21、42。所以有。

【答案】

【鞏固】

如果,那么。

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試

【解析】

2&5=2+5÷10=2.5

【答案】

【例

7】

“華”、“杯”、“賽”三個(gè)字的四角號(hào)碼分別是“2440”、“4199”和“3088”，將“華杯賽”的編碼取為244041993088，如果這個(gè)編碼從左起的奇數(shù)位的數(shù)碼不變，偶數(shù)位的數(shù)碼改變?yōu)殛P(guān)于9的補(bǔ)碼，例如：0變9，1變8等，那么“華杯賽”新的編碼是________.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】華杯賽，六年級(jí)，決賽

【解析】

偶數(shù)位自左至右依次為4、0、1、9、0、8，它們關(guān)于9的補(bǔ)碼自左至右依次為5、9、8、0、9、1，所以“華杯賽”新的編碼是：254948903981

【答案】

【例

8】

羊和狼在一起時(shí)，狼要吃掉羊.所以關(guān)于羊及狼，我們規(guī)定一種運(yùn)算，用符號(hào)△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上運(yùn)算的意思是：羊與羊在一起還是羊，狼與狼在一起還是狼，但是狼與羊在一起便只剩下狼了。小朋友總是希望羊能戰(zhàn)勝狼.所以我們規(guī)定另一種運(yùn)算，用符號(hào)☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，這個(gè)運(yùn)算的意思是：羊與羊在一起還是羊，狼與狼在一起還是狼，但由于羊能戰(zhàn)勝狼，當(dāng)狼與羊在一起時(shí)，它便被羊趕走而只剩下羊了。對(duì)羊或狼，可以用上面規(guī)定的運(yùn)算作混合運(yùn)算，混合運(yùn)算的法規(guī)是從左到右，括號(hào)內(nèi)先算.運(yùn)算的結(jié)果或是羊，或是狼．求下式的結(jié)果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】華杯賽，復(fù)賽

【解析】

因?yàn)槔恰骼?狼，所以原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼無論前面結(jié)果如何，最后一步羊△狼或者狼△狼總等于狼，所以

原式=狼

【答案】狼

【例

9】

一般我們都認(rèn)為手槍指向誰，誰好像是有危險(xiǎn)的，下面的規(guī)則同學(xué)們能看懂嗎

規(guī)定：警察小偷警察，警察小偷小偷．

那么：（獵人小兔）（山羊白菜）

．

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4年級(jí)

【解析】

誰握著槍就留下誰，結(jié)果應(yīng)該是

白菜

【答案】白菜

模塊二、反解未知數(shù)型

【例

10】

如果a△b表示,例如3△4,那么,當(dāng)a△5=30時(shí),a=

.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

依題意,得,解得.【答案】

【鞏固】

規(guī)定新運(yùn)算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,則x=

.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

因?yàn)?※1=,所以x※(4※1)=

x※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.【答案】

【鞏固】

如果a⊙b表示,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,當(dāng)x⊙5比5⊙x大5時(shí),x=

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

根據(jù)題意x⊙5-5⊙x=(3x-2×5)-(3×5-2x)=5x-25,由5x-25=5,解得x=6.【答案】

【鞏固】

對(duì)于數(shù)a、b、c、d，規(guī)定，<

a、b、c、d

>＝2ab－c＋d，已知<1、3、5、x

>＝7，求x的值。

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

根據(jù)新定義的算式，列出關(guān)于x的等式，解出x即可。

將1、3、5、x代入新定義的運(yùn)算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根據(jù)已知<1、3、5、x

>＝7，故1＋x＝7，x＝6。

【答案】

【例

11】

定義新運(yùn)算為，⑴求的值；⑵若則x的值為多少？

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

⑴因?yàn)?，所?/p>

⑵，所以x的值為4.4.【答案】⑴

⑵

【鞏固】

對(duì)于任意的兩個(gè)自然數(shù)和，規(guī)定新運(yùn)算：，其中、表示自然數(shù).如果，那么等于幾？

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)

【難度】4星

【題型】計(jì)算

【解析】

方法一：由題中所給定義可知，為多少，則就有多少個(gè)乘數(shù)．，即：602，則；，即33,所以．

方法二：可以先將（x3）看作一個(gè)整體，那么就是2，2,所以，那么也就有x3，即33，所以．

【答案】

【例

12】

定義為與之間（包含、）所有與奇偶性相同的自然數(shù)的平均數(shù)，例如：，．在算術(shù)的方格中填入恰當(dāng)?shù)淖匀粩?shù)后可使等式成立，那么所填的數(shù)是多少？

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)

【難度】4星

【題型】計(jì)算

【解析】，所以方格中填的數(shù)一定大于80．如果填的是個(gè)奇數(shù)，那么只能是；如果填的是個(gè)偶數(shù)，那么這個(gè)數(shù)與60的平均數(shù)應(yīng)該是80，所以只能是．因此所填的數(shù)可能是100和101．

【答案】和

【鞏固】

如有#新運(yùn)算，#表示、中較大的數(shù)除以較小數(shù)后的余數(shù).例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.如（21#（21#））=5，則可以是________（小于50）

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)

【難度】4星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】101中學(xué)，入學(xué)測(cè)試

【解析】

這是一道把數(shù)論、定義新運(yùn)算、倒推法、解方程等知識(shí)結(jié)合在一起的綜合題.可采用枚舉與篩選的方法.第一步先把（21#）看成一個(gè)整體.對(duì)于21#5，這個(gè)式子，一方面可把21作被除數(shù)，則等

于（21-5）16的大于5的約數(shù)，有兩個(gè)解8與16；另一方面可把21作除數(shù)，這樣滿足要求的數(shù)為26，47…，即形如21N+5這樣的數(shù)有無數(shù)個(gè).但必須得考慮，這些解都是由所

代表的式子（21#）運(yùn)算得來，而這個(gè)運(yùn)算的結(jié)果是必須小于其中的每一個(gè)數(shù)的，也就是余數(shù)必須

比被除數(shù)與除數(shù)都要小才行，因此大于21的那些的值都得舍去.現(xiàn)在只剩下8，與16.第二步求：（21#）8與（21#）16.對(duì)于（21#）8可分別解得，把21作被除數(shù)時(shí)：13，把21作除數(shù)時(shí)為：29，50，…形如21N+8的整數(shù)（N是正整數(shù)）.對(duì)于（21#）16，把21作被除數(shù)無解，21作除數(shù)時(shí)同理可得：37，58……所有形如21N+16

這樣的整數(shù).（N是正整數(shù)）.所以符合條件的答案是13,29,37．

【答案】13,29,37．

【例

13】

已知、滿足，；其中表示不大于的最大整數(shù)，表示的小數(shù)部分，即，那么。

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6年級(jí)，第3題

【解析】

根據(jù)題意，是整數(shù)，所以也是整數(shù)，那么，由此可得，所以。

【答案】

【例

14】

規(guī)定：A○B(yǎng)表示A、B中較大的數(shù)，A△B表示A、B中較小的數(shù)．若（A○5＋B△3）×（B○5+

A△3）＝96，且A、B均為大于0的自然數(shù)，A×B的所有取值為

．（8級(jí)）

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】走美杯，6年級(jí)，決賽

【解析】

分類討論，由于題目中所要求的定義新運(yùn)算的符號(hào)是較大的數(shù)與較大的數(shù)，則對(duì)于A或者B有3類不同的范圍，A小于3，A大于等于3，小于5，A大于等于5。對(duì)于B也有類似，兩者合起來共有3×3=9種不同的組合，我們分別討論。

1)

當(dāng)A＜3，B＜3，則（5+B）×（5+A）=96=6×16=8×12，無解；

2)

當(dāng)3≤A＜5，B＜3時(shí)，則有（5+B）×（5+3）=96，顯然無解；

3)

當(dāng)A≥5，B＜3時(shí)，則有（A+B）×（5+3）=96，則A+B=12.所以有A=10，B=2，此時(shí)乘積為20或者A=11,B=1,此時(shí)乘積為11。

4)

當(dāng)A＜3，3≤B＜5，有（5+3）×（5+A）=96，無解；

5)

當(dāng)3≤A＜5，3≤B＜5，有（5+3）×（5+3）=96，無解；

6)

當(dāng)A≥5，3≤B＜5，有（A+3）×（5+3）=27，則A=9.此時(shí)B=3后者B=4。則他們乘積有27與36兩種；

7)

當(dāng)A＜3，B≥5時(shí)，有（5+3）×（B+A）=96。此時(shí)A+B=12。A與B的乘積有11與20兩種；

8)

當(dāng)3≤A＜5，B≥5，有（5+3）×（B+3）=96。此時(shí)有B=9.不符；

9)

當(dāng)A≥5，B≥5，有（A+3）×（B+3）=96=8×12。則A=5,B=9，乘積為45。

所以A與B的乘積有11,20,27，36,45共五種

【答案】11,20,27,36,45

模塊三、觀察規(guī)律型

【例

15】

如果

1※2＝1＋11

2※3＝2＋22＋222

3※4＝3＋33＋333＋333＋3333

計(jì)算

（3※2）×5。

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之找規(guī)律

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

通過觀察發(fā)現(xiàn)：a※b中的b表示加數(shù)的個(gè)數(shù)，每個(gè)加數(shù)數(shù)位上的數(shù)字都由a組成，都由一個(gè)數(shù)位，依次增加到b個(gè)數(shù)位。（5※3）×5

＝（5＋55＋555）×5＝3075

【答案】

【鞏固】

規(guī)定:6※2=6+66=72

2※3=2+22+222=246,1※4=1+11+111+1111=1234.7※5=

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之找規(guī)律

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

7※5=7+77+777+7777+77777=86415.【答案】

【例

16】

有一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，使下列算式成立：，，求

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之找規(guī)律

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

通過對(duì)，，這幾個(gè)算式的觀察，找到規(guī)律：，因此

【答案】

【鞏固】

規(guī)定△,計(jì)算：（2△1）（11△10）______.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之找規(guī)律

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

這個(gè)題目直接套用定義給的公式非常麻煩，需要套用10次，然后再求和．但是我們注意到要求的10項(xiàng)值有一個(gè)共同的特點(diǎn)就是在要我們求得這個(gè)式子中b＝a－1，所以，我們不妨把b＝a－1代入原定義．

a△b就變成了a△b．所以2△1，3△2，……，3△2，則原式＋＋＋…＋．

這里需要補(bǔ)充一個(gè)公式：．

【答案】

【例

17】

一個(gè)數(shù)n的數(shù)字中為奇數(shù)的那些數(shù)字的和記為，為偶數(shù)的那些數(shù)字的和記為，例如，．

；＝

．

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之找規(guī)律

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】走美杯，5年級(jí)，決賽

【解析】

可以換個(gè)方向考慮。數(shù)字1在個(gè)位出現(xiàn)10次，在十位出現(xiàn)10次，在百位出現(xiàn)1次，共21次。數(shù)字2到9中的每一個(gè)在個(gè)位出現(xiàn)10次，在十位也出現(xiàn)10次，共20次。

所以，1到100中所有奇數(shù)數(shù)字的和等于(1+3+5+7+9)×20+1=501；

所有偶數(shù)數(shù)字的和等于(2+4+6+8)×20=400。

【答案】

模塊四、綜合型題目

【例

18】

已知：10△3=14，8△7=2，△，根據(jù)這幾個(gè)算式找規(guī)律，如果

△=1，那么=

.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】華杯賽，五年級(jí)，決賽

【解析】

規(guī)律是

a△b=(a－b)×2,所以

△x=，即

【答案】

【例

19】

如果、、是3個(gè)整數(shù)，則它們滿足加法交換律和結(jié)合律，即

⑴；⑵。

現(xiàn)在規(guī)定一種運(yùn)算“*“，它對(duì)于整數(shù)

a、b、c、d

滿足：。

例：

請(qǐng)你舉例說明，“*“運(yùn)算是否滿足交換律、結(jié)合律。

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試

【解析】

(2,1)*(4,3)=(2×4+1×3,2×4－1×3)=(11,5)

(4,3)*(2,1)=(4×3+2×1,4×3－2×1)=(11,5)

所以“*”滿足交換律

[(2,1)*

(6,5)]*(4,3)=(17,7)=(11,5)*

(4,3)=

(89,47)

(2,1)*[

(6,5)*(4,3)]=(2,1)

*

(39,9)=

(87,69)

所以“*”不滿足結(jié)合律

【答案】

“*”滿足交換律

“*”不滿足結(jié)合律

【例

20】

用表示的小數(shù)部分，表示不超過的最大整數(shù)。例如：記，請(qǐng)計(jì)算的值。

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試

【解析】

代入計(jì)算結(jié)果分別為：0.4，1，0，1

【答案】0.4，1，0，1

【例

21】

在計(jì)算機(jī)中，對(duì)于圖中的數(shù)據(jù)(或運(yùn)算)的讀法規(guī)則是：先讀第一分支圓圈中的，再讀與它相連的第二分支左邊的圓圈中的，最后讀與它相連的第二分支右邊的圓圈中的，也就是說，對(duì)于每一個(gè)圓圈中的數(shù)據(jù)(或運(yùn)算)都是按“中→左→右“的順序。如：圖A表示：2+3，B表示2+3×2－1。圖C中表示的式子的運(yùn)算結(jié)果是________。

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試

【解析】

“教研龍”認(rèn)為第2個(gè)圖最上面的圓圈應(yīng)該有個(gè)2，原題卻沒有。第3個(gè)圖從上到下第3行第3個(gè)圈為2，第四個(gè)圈為42+[(3+5)÷2]-4=2

【答案】

【例

22】

表示成;表示成.試求下列的值:

(1)

(2)

(3);

(4)如果x,y分別表示若干個(gè)2的數(shù)的乘積,試證明:.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

(1);

(2);

(3)因?yàn)?所以;

(4)略

【答案】(1)

(2)81

(3)

(4)

令則..【例

23】

對(duì)于任意有理數(shù)x,y,定義一種運(yùn)算“※”，規(guī)定:x※y=,其中的表示已知數(shù),等式右邊是通常的加、減、乘運(yùn)算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),則m的數(shù)值是

_________。

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題

【難度】4星

【題型】計(jì)算

【解析】

由題設(shè)的等式x※y=及x※m=x(m≠0),得,所以bm=0,又m≠0,故b=0.因此x※y=ax-cxy.由1※2=3,2※3=4,得

解得a=5,c=1.所以x※y=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.【答案】

【鞏固】

x、y表示兩個(gè)數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中

m、n、k均為自然數(shù)，已知

1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題

【難度】4星

【題型】計(jì)算

【解析】

x、y表示兩個(gè)數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中

m、n、k均為自然數(shù)，已知

1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析

我們采用分析法，從要求的問題入手，題目要求（1△2）*3的值，首先我們要計(jì)算1△2，根

據(jù)“△”的定義：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要計(jì)算出k的值.k值求出后，l△2的值也就計(jì)算出來了，我們?cè)O(shè)1△2=a.(1△2）*3=a*3，按“*”的定義：

a*3=ma+3n，在只有求出m、n時(shí)，我們才能計(jì)算a*3的值.因此

要計(jì)算（1△2）*

3的值，我們就要先求出

k、m、n的值.通過1*2

=5可以求出m、n的值，通過（2*3）△4=64求出

k的值.因?yàn)?**2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因?yàn)閙、n均為自然數(shù)，所以解出：，（舍去）

①當(dāng)m=1，n=2時(shí)：

（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k

有32k=64，解出k=2.②當(dāng)m=3，n=1時(shí)：

（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k

有36k=64，解出，這與k

是自然數(shù)矛盾，因此m=3，n=1，這組值應(yīng)舍去。

所以m=l，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3　=1×4+2×3=10.【答案】

【例

24】

對(duì)于任意的兩個(gè)自然數(shù)和，規(guī)定新運(yùn)算：，其中、表示自然數(shù).⑴求1100的值；⑵已知1075，求為多少？⑶如果（3）2121，那么等于幾？

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

⑴1100

⑵x1075,解得x3

⑶方法一：由題中所給定義可知，b為多少，則就有多少個(gè)加數(shù)．，即：602121，則x360；，即19360,所以x19．

方法二：可以先將（x3）看作一個(gè)整體y，那么就是y2121，y2,所以y60，那么也就有x360，即19360，所以x19．

【答案】

【鞏固】

兩個(gè)不等的自然數(shù)a和b,較大的數(shù)除以較小的數(shù),余數(shù)記為a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.（8級(jí)）

(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;

(2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;

(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

(1)1991☉2000=9;

由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;

由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.(2)我們不知道11和x哪個(gè)大(注意,x≠11),即哪個(gè)作除數(shù),哪個(gè)作被除數(shù),這樣就要分兩種情況討論.1)

x<11,這時(shí)x除11余2,x整除11-2=9.又x≥3(因?yàn)閤應(yīng)大于余數(shù)2),所以x=3或9.2)

x>11,這時(shí)11除x余2,這說明x是11的倍數(shù)加2,但x<20,所以x=11+2=13.因此(2)的解為x=3,9,13.(3)這個(gè)方程比(2)又要復(fù)雜一些,但我們可以用同樣的方法來解.用y表示19☉x,不管19作除數(shù)還是被除數(shù),19☉x都比19小,所以y應(yīng)小于19.方程y☉19=5,說明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y≥6,所以y=7,14.當(dāng)y=7時(shí),分兩種情況解19☉x=7.1)

x<19,此時(shí)x除19余7,x整除19-7=12.由于x≥8,所以x=12.2)

x>19,此時(shí)19除x余7,x是19的倍數(shù)加7,由于x<50,所以x=19+7=26=45.當(dāng)y=14時(shí),分兩種情況解19☉x=14.1)

x<19,這時(shí)x除19余14,x整除19-14=5,但x大于14,這是不可能的.2)x>19,此時(shí)19除x余14,這就表明x是19的倍數(shù)加14,因?yàn)閤<50,所以x=19+14=33.總之,方程(19☉x)☉19=5有四個(gè)解,x=12,26,33,45.【答案】(1)；；

(2)

x=3,9,13.(3)

x=12,26,33,45.【例

25】

設(shè)a,b是兩個(gè)非零的數(shù),定義a※b.(1)計(jì)算(2※3)※4與2※(3※4).(2)如果已知a是一個(gè)自然數(shù),且a※3=2,試求出a的值.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

(1)按照定義有2※3,3※4.于是(2※3)※4※4=.2※(3※4)=2※.(2)由已知得①

若a≥6,則≥2,從而與①矛盾.因此a≤5,對(duì)a=1,2,3,4,5這5個(gè)可能的值,一一代入①式中檢查知,只有a=3符合要求.【答案】(1)

(2※3)※4；2※(3※4).(2)

a=3

【鞏固】

定義運(yùn)算“⊙”如下:

對(duì)于兩個(gè)自然數(shù)a和b,它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的差記為a⊙b.比如:10和14,最小公倍數(shù)為70,最大公約數(shù)為2,則10⊙14=70-2=68.(1)求12⊙21,5⊙15;

(2)說明,如果c整除a和b,則c也整除a⊙b;如果c整除a和a⊙b,則c也整除b;

(3)已知6⊙x=27,求x的值.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

(1)為求12⊙21,先求出12與21的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別為84,3,因此12⊙21=84-3=81,同樣道理5⊙15=15-5=10.(2)略

(3)由于運(yùn)算“⊙”沒有直接的表達(dá)式,解這個(gè)方程有一些困難,我們?cè)O(shè)法逐步縮小探索范圍.因?yàn)?/p>

6與x的最小公倍數(shù)不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之間,只有30是6的倍數(shù),可見

6和x的最小公倍數(shù)是30,因此它們的最大公約數(shù)是30-27=3.由“兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的積=這兩個(gè)數(shù)的積”,得到.所以.【答案】(1)；

(2)

如果c整除a和b,那么c是a和b的公約數(shù),則c整除a,b的最大公約數(shù),顯然c也整除a,b最小

公倍數(shù),所以c整除最小公倍數(shù)與最大公約的差,即c整除a⊙b.如果c整除a和a⊙b,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍數(shù),再由c整除a⊙b推知,整除a,b的最大公約數(shù),而這個(gè)最大公約數(shù)整除b,所以

c整除b.(3)

【鞏固】

“⊙”表示一種新的運(yùn)算符號(hào)，已知：2⊙3；7⊙2：3⊙5，……按此規(guī)則，如果n⊙868，那么，n

____.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

因?yàn)閺囊阎獥l件可歸納出的運(yùn)算規(guī)則：⊙表示幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和，⊙前面的數(shù)表示第一個(gè)加數(shù)，⊙后面的數(shù)表示加數(shù)的個(gè)數(shù)，于是，即

.【答案】

【例

26】

喜羊羊喜歡研究數(shù)學(xué)，它用計(jì)算器求個(gè)正整數(shù)的值。當(dāng)它依次按了得到數(shù)字。而當(dāng)它依次按時(shí)，驚訝地發(fā)現(xiàn)得到的數(shù)值卻是。這時(shí)喜羊羊才明白計(jì)算器先做除法再做加法。于是，她依次按，得到了正確的結(jié)果為

。（填出所有可能情況）

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級(jí)，初賽，第14題

【解析】，則，則，則，或，或

【答案】或

【例

27】

國(guó)際統(tǒng)一書號(hào)ISBN由10個(gè)數(shù)字組成，前面9個(gè)數(shù)字分成3組，分別用來表示區(qū)域、出版社和書名，最后一個(gè)數(shù)字則作為核檢之用。核檢碼可以根據(jù)前9個(gè)數(shù)字按照一定的順序算得。如：某書的書號(hào)是ISBN

7-107-17543-2，它的核檢碼的計(jì)算順序是：

①7×10＋1×9＋0×8＋7×7＋1×6＋7×5＋5×4＋4×3＋3×2＝207；

②207÷11＝18……9；

③11－9＝2。這里的2就是該書號(hào)的核檢碼。

依照上面的順序，求書號(hào)ISBN-7-303-07618-□的核檢碼。

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級(jí)，二試

【解析】

7×10＋3×9＋0×

8＋3×7＋0×6＋7×5＋6×4＋1×3＋8×2＝196；

。

所以該書號(hào)的核檢碼是2.【答案】

【例

28】

如圖2一只甲蟲從畫有方格的木板上的A點(diǎn)出發(fā)，沿著一段一段的橫線、豎線爬行到B，圖1中的路線對(duì)應(yīng)下面的算式：.請(qǐng)?jiān)趫D2中用粗線畫出對(duì)應(yīng)于算式：的路線．

【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】2003年，希望杯

【解析】

如圖3所示，通過圖1分析知道向上前進(jìn)一格要加上1，向下前進(jìn)一格要減1，向左前進(jìn)一格要減去2，向右前進(jìn)一格要加上2.【答案】

第五篇：5第1講 定義新運(yùn)算教師用

第1講 定義新運(yùn)算

（一）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過加、減、乘、除運(yùn)算，這些運(yùn)算，即四則運(yùn)算是數(shù)學(xué)中最基本的運(yùn)算，它們的意義、符號(hào)及運(yùn)算律已被同學(xué)們熟知。除此之外，還會(huì)有什么別的運(yùn)算嗎？這兩講我們就來研究這個(gè)問題。這些新的運(yùn)算及其符號(hào)，在中、小學(xué)課本中沒有統(tǒng)一的定義及運(yùn)算符號(hào)，但學(xué)習(xí)討論這些新運(yùn)算，對(duì)于開拓思路及今后的學(xué)習(xí)都大有益處。

例1 對(duì)于任意數(shù)a，b，定義運(yùn)算“*”：a*b=a×b-a-b。求12*4的值。

分析與解：根據(jù)題目定義的運(yùn)算要求，直接代入后用四則運(yùn)算即可。

12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。

根據(jù)以上的規(guī)定，求10△6的值。

3，x>=2，求x的值。

分析與解：按照定義的運(yùn)算，<1，2，3，x>=2，x=6。

由上面三例看出，定義新運(yùn)算通常是用某些特殊符號(hào)表示特定的運(yùn)算意義。新運(yùn)算使用的符號(hào)應(yīng)避免使用課本上明確定義或已經(jīng)約定俗成的符號(hào)，如+，-，×，÷，＜，＞等，以防止發(fā)生混淆，而表示新運(yùn)算的運(yùn)算意義部分，應(yīng)使用通常的四則運(yùn)算符號(hào)。如例1中，a*b=a×b-a-b，新運(yùn)算符號(hào)使用“*”，而等號(hào)右邊新運(yùn)算的意義則用四則運(yùn)算來表示。

分析與解：按新運(yùn)算的定義，符號(hào)“⊙”表示求兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)。

四則運(yùn)算中的意義相同，即先進(jìn)行小括號(hào)中的運(yùn)算，再進(jìn)行小括號(hào)外面的運(yùn)算。

按通常的規(guī)則從左至右進(jìn)行運(yùn)算。

分析與解：從已知的三式來看，運(yùn)算“”表示幾個(gè)數(shù)相加，每個(gè)加數(shù)各數(shù)位上的數(shù)都是符號(hào)前面的那個(gè)數(shù)，而符號(hào)后面的數(shù)是幾，就表示幾個(gè)數(shù)之和，其中第1個(gè)數(shù)是1位數(shù)，第2個(gè)數(shù)是2位數(shù)，第3個(gè)數(shù)是3位數(shù)??按此規(guī)定，得

35=3+33+333+3333+33333=37035。

從例5知，有時(shí)新運(yùn)算的規(guī)定不是很明顯，需要先找規(guī)律，然后才能進(jìn)行運(yùn)算。

例6 對(duì)于任意自然數(shù)，定義：n！=1×2×? ×n。

例如 4！=1×2×3×4。那么1！+2！+3！+?+100！的個(gè)位數(shù)字是幾？

分析與解：1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，4！=1×2×3×4=24，5！=1×2×3×4×5=120，6！=1×2×3×4×5×6=720，??

由此可推知，從5！開始，以后6！，7！，8！，?，100！的末位數(shù)字都是0。

所以，要求1！+2！+3！+?+100！的個(gè)位數(shù)字，只要把1！至4！的個(gè)位數(shù)字相加便可求得：1+2+6+4=13。所求的個(gè)位數(shù)字是3。

例7 如果m，n表示兩個(gè)數(shù)，那么規(guī)定：m¤n=4n-（m+n）÷2。

求3¤（4¤6）¤12的值。

解：3¤（4¤6）¤12

=3¤[4×6-（4+6）÷2]¤12

=3¤19¤12

=[4×19-（3+19）÷2]¤12

=65¤12

=4×12-（65+12）÷2 =9.5。

練習(xí)1

1.對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù)a和b，規(guī)定a*b=3×a-b÷3。求8*9的值。

2.已知a3.已知a

b表示a除以3的余數(shù)再乘以b，求13b表示（a-b）÷（a+b），試計(jì)算：（54的值。3）

（10

6）。

4.規(guī)定a◎b表示a與b的積與a除以b所得的商的和，求8◎2的值。5.假定m◇n表示m的3倍減去n的2倍，即 m◇n=3m-2n。

（2）已知x◇（4◇1）=7，求x的值。

7.對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù)P，Q，規(guī)定 P☆Q=（P×Q）÷4。例如：2☆8=（2×8）÷4。已知x☆（8☆5）=10，求x的值。

8.定義： a△b=ab-3b，ab=4a-b/a。計(jì)算：（4△3）△（2b）。

9.已知： 23=2×3×4，45=4×5×6×7×8，??

求（44）÷（33）的值。

第2講 定義新運(yùn)算

（二）例1 已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。

分析與解：這是一道很簡(jiǎn)單的題，把a(bǔ)=9，b=2代入新運(yùn)算式，即可算出結(jié)果。但是，根據(jù)四則運(yùn)算的法則，我們可以先把新運(yùn)算“※”化簡(jiǎn)，再求結(jié)果。

a※b=（a+b）-（a-b）

=a+b-a+b=2b。

所以，9※2=2×2=4。

由例1可知，如果定義的新運(yùn)算是用四則混合運(yùn)算表示，那么在符合四則混合運(yùn)算的性質(zhì)、法則的前提下，不妨先化簡(jiǎn)表示式。這樣，可以既減少運(yùn)算量，又提高運(yùn)算的準(zhǔn)確度。

例2 定義運(yùn)算：a⊙b=3a+5ab+kb，其中a，b為任意兩個(gè)數(shù)，k為常數(shù)。比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k。

（1）已知5⊙2=73。問：8⊙5與5⊙8的值相等嗎？

（2）當(dāng)k取什么值時(shí)，對(duì)于任何不同的數(shù)a，b，都有a⊙b=b⊙a(bǔ)，即新運(yùn)算“⊙”符合交換律？

分析與解：（1）首先應(yīng)當(dāng)確定新運(yùn)算中的常數(shù)k。因?yàn)?⊙2=3×5+5×5×2+k×2

=65+2k，所以由已知 5⊙2=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）÷2=4。定義的新運(yùn)算是：a⊙b=3a+5ab+4b。

8⊙5=3×8+5×8×5+4×5=244，5⊙8=3×5+5×5×8+4×8=247。

因?yàn)?44≠247，所以8⊙5≠5⊙8。

（2）要使a⊙b=b⊙a(bǔ)，由新運(yùn)算的定義，有

3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb-3b-ka=0，3×(a-b)-k(a-b)=0，(3-k)(a-b)=0。

對(duì)于兩個(gè)任意數(shù)a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。

當(dāng)新運(yùn)算是a⊙b=3a+5ab+3b時(shí)，具有交換律，即 a⊙b=b⊙a(bǔ)。

例3 對(duì)兩個(gè)自然數(shù)a和b，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差，定義為a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。

比如，10和14的最小公倍數(shù)是70，最大公約數(shù)是2，那么10☆14=70-2=68。

（1）求12☆21的值；

（2）已知6☆x=27，求x的值。

分析與解：（1）12☆21=[12，21]-（12，21）=84-3=81；

（2）因?yàn)槎x的新運(yùn)算“☆”沒有四則運(yùn)算表達(dá)式，所以不能直接把數(shù)代入表達(dá)式求x，只能用推理的方法。

因?yàn)?☆x=[6，x]-（6，x）=27，而6與x的最大公約數(shù)（6，x）只能是1，2，3，6。所以6與x的最小公倍數(shù)[6，x]只能是28，29，30，33。這四個(gè)數(shù)中只有 30是 6的倍數(shù)，所以 6與x的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別是30和3。因?yàn)閍×b=[a，b]×（a，b），所以6×x=30×3，由此求得x=15。

例4 a表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，b表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，c表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，d表示不轉(zhuǎn)。定義運(yùn)算“◎”表示“接著做”。求：a◎b；b◎c；c◎a。

分析與解： a◎b表示先順時(shí)針轉(zhuǎn)90°，再順時(shí)針轉(zhuǎn)180°，等于順時(shí)針轉(zhuǎn)270°，也等于逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°，所以a◎b=c。

b◎c表示先順時(shí)針轉(zhuǎn)180°，再逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°，等于順時(shí)針轉(zhuǎn)90°，所以b◎c=a。

c◎a表示先逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°，再順時(shí)針轉(zhuǎn)90°，等于沒轉(zhuǎn)動(dòng)，所以c◎a=d。

對(duì)于a，b，c，d四種運(yùn)動(dòng)，可以做一個(gè)關(guān)于“◎”的運(yùn)算表（見下表）。比如c◎b，由c所在的行和b所在的列，交叉處a就是c◎b的結(jié)果。因?yàn)檫\(yùn)算◎符合交換律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的結(jié)果。

例5 對(duì)任意的數(shù)a，b，定義：f（a）=2a+1，g（b）=b×b。

（1）求f（5）-g（3）的值；

（2）求f（g（2））+g（f（2））的值；

（3）已知f（x+1）=21，求x的值。

解：（1）f（5）-g（3）=（2×5+1）-（3×3）=2；

（2）f（g（2））+g（f（2））

=f（2×2）+g（2×2+1）

=f（4）+g（5）=（2×4+1）+（5×5）=34；

（3）f（x+1）=2×（x+1）+1=2x+3，由f（x+1）=21，知2x+3=21，解得x=9。

練習(xí)2

2.定義兩種運(yùn)算“※”和“△”如下：

a※b表示a，b兩數(shù)中較小的數(shù)的3倍，a△b表示a，b兩數(shù)中較大的數(shù)的2.5倍。

比如：4※5=4×3=12，4△5=5×2.5=12.5。

計(jì)算：[(0.6※0.5)+(0.3△0.8)]÷[(1.2※0.7)-(0.64△0.2)]。

4.設(shè)m，n是任意的自然數(shù)，A是常數(shù)，定義運(yùn)算m⊙n=（A×m-n）÷4，并且2⊙3=0.75。試確定常數(shù)A，并計(jì)算：（5⊙7）×（2⊙2）÷（3⊙2）。5.用a，b，c表示一個(gè)等邊三角形圍繞它的中心在同一平面內(nèi)所作的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)：

a表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn)240°，b表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，c表示不旋轉(zhuǎn)。

運(yùn)算“∨”表示“接著做”。試以a，b，c為運(yùn)算對(duì)象做運(yùn)算表。

6.對(duì)任意兩個(gè)不同的自然數(shù)a和b，較大的數(shù)除以較小的數(shù)，余數(shù)記為a73=1，529=4，4

20=0。

b。比如

（1）計(jì)算：19982000，（519）19，5（195）；

（2）已知11x=4，x小于20，求x的值。

7.對(duì)于任意的自然數(shù)a，b，定義：f（a）=a×a-1，g（b）=b÷2+1。

（1）求f（g（6））-g（f（3））的值；

（2）已知f（g（x））=8，求x的值。