第一篇：數(shù)學(xué)競(jìng)賽教案講義——數(shù)列

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第五章 數(shù)列

一、基礎(chǔ)知識(shí)

定義1 數(shù)列，按順序給出的一列數(shù)，例如1，2，3，…，n，….數(shù)列分有窮數(shù)列和無窮數(shù)列兩種，數(shù)列{an}的一般形式通常記作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做數(shù)列的首項(xiàng)，an是關(guān)于n的具體表達(dá)式，稱為數(shù)列的通項(xiàng)。

定理1 若Sn表示{an}的前n項(xiàng)和，則S1=a1, 當(dāng)n>1時(shí)，an=Sn-Sn-1.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 定義2 等差數(shù)列，如果對(duì)任意的正整數(shù)n，都有an+1-an=d（常數(shù)），則{an}稱為等差數(shù)列，d叫做公差。若三個(gè)數(shù)a, b, c成等差數(shù)列，即2b=a+c，則稱b為a和c的等差中項(xiàng)，若公差為d, 則a=b-d, c=b+d.定理2 等差數(shù)列的性質(zhì)：1）通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d；2）前n項(xiàng)和公式：Sn=n(a1?an)n(n?1)?na1?d；3）an-am=(n-m)d，其中n, m為正整數(shù)；4）若n+m=p+q，22則an+am=ap+aq；5）對(duì)任意正整數(shù)p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一個(gè)不為零，則{an}是等差數(shù)列的充要條件是Sn=An2+Bn.定義3 等比數(shù)列，若對(duì)任意的正整數(shù)n，都有

an?1 ?q，則{an}稱為等比數(shù)列，q叫做公比。

ana1(1?qn)定理3 等比數(shù)列的性質(zhì)：1）an=a1q；2）前n項(xiàng)和Sn，當(dāng)q?1時(shí)，Sn=；當(dāng)

1?qn-1q=1時(shí)，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比數(shù)列，即b2=ac(b?0)，則b叫做a, c的等比中項(xiàng)；4）若m+n=p+q，則aman=apaq。

定義4 極限，給定數(shù)列{an}和實(shí)數(shù)A，若對(duì)任意的?>0，存在M，對(duì)任意的n>M(n∈N),都有|an-A|

a1（由極限的定義可得）。1?q定理3 第一數(shù)學(xué)歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當(dāng)p(n)時(shí)n=k成立時(shí)能推出p(n)對(duì)n=k+1成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對(duì)一切自然數(shù)n≥n0成立。

競(jìng)賽常用定理

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定理4 第二數(shù)學(xué)歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當(dāng)p(n)對(duì)一切n≤k的自然數(shù)n都成立時(shí)（k≥n0）可推出p(k+1)成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對(duì)一切自然數(shù)n≥n0成立。

定理5 對(duì)于齊次二階線性遞歸數(shù)列xn=axn-1+bxn-2，設(shè)它的特征方程x2=ax+b的兩個(gè)根為α,β:(1)若α?β，則xn=c1an-1+c2βxn=(c1n+c2)αn-

1n-1，其中c1, c2由初始條件x1, x2的值確定；(2)若α=β，則，其中c1, c2的值由x1, x2的值確定。

二、方法與例題 1．不完全歸納法。

這種方法是從特殊情況出發(fā)去總結(jié)更一般的規(guī)律，當(dāng)然結(jié)論未必都是正確的，但卻是人類探索未知世界的普遍方式。通常解題方式為：特殊→猜想→數(shù)學(xué)歸納法證明。

例1 試給出以下幾個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)（不要求證明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。

例2 已知數(shù)列{an}滿足a1=

例3 設(shè)0

2迭代法。

數(shù)列的通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn中的n通常是對(duì)任意n∈N成立，因此可將其中的n換成n+1或歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。004km.cn 1,a1+a2+…+an=n2an, n≥1，求通項(xiàng)an.21，求證：對(duì)任意n∈N+,有an>1.an高考資源網(wǎng)（004km.cn），您身邊的高考專家

n-1等，這種辦法通常稱迭代或遞推。

例4 數(shù)列{an}滿足an+pan-1+qan-2=0, n≥3，q?0，求證：存在常數(shù)c，使得2n2an?1?pan?1·an+qan?cq?0.例5 已知a1=0, an+1=5an+24an?1，求證：an都是整數(shù)，n∈N+.3．?dāng)?shù)列求和法。

數(shù)列求和法主要有倒寫相加、裂項(xiàng)求和法、錯(cuò)項(xiàng)相消法等。例6 已知an=

例7 求和：Sn?

例8 已知數(shù)列{an}滿足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn為數(shù)列?

4．特征方程法。

例9 已知數(shù)列{an}滿足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an.歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。004km.cn 21(n=1, 2, …)，求S99=a1+a2+…+a99.4n?2100111?.+…+1?2?32?3?4n(n?1)(n?2)?an?的前n項(xiàng)和，求證：Sn<2。n??2?高考資源網(wǎng)（004km.cn），您身邊的高考專家

例10 已知數(shù)列{an}滿足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通項(xiàng)an.5．構(gòu)造等差或等比數(shù)列。

例11 正數(shù)列a0,a1,…,an,…滿足anan?2?an?1an?2=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通項(xiàng)。

2xn?2例12

已知數(shù)列{xn}滿足x1=2, xn+1=,n∈N+, 求通項(xiàng)。

2xn

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題

1． 數(shù)列{xn}滿足x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn為{xn}前n項(xiàng)和，當(dāng)n≥2時(shí)，xn=_________.2.數(shù)列{xn}滿足x1=

2xn1，xn+1=,則{xn}的通項(xiàng)xn=_________.23xn?21xn?1+2n-1(n≥2)，則{xn}的通項(xiàng)xn=_________.23.數(shù)列{xn}滿足x1=1，xn=4.等差數(shù)列{an}滿足3a8=5a13，且a1>0, Sn為前n項(xiàng)之和，則當(dāng)Sn最大時(shí)，n=_________.5.等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)之和記為Sn,若S10=10，S30=70，則S40=_________.6.數(shù)列{xn}滿足xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+…+ xn，則S100=_________.7.數(shù)列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1則|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。004km.cn 高考資源網(wǎng)（004km.cn），您身邊的高考專家

8.若

x3xnx1x2，并且x1+x2+…+ xn=8，則x1=_________.?????x1?1x2?3x3?5xn?2n?1Sna2n，則limn=_________.?n??b3n?1Tnn9.等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，若

2007n2?n?110.若n!=n(n-1)…2·1, 則?(?1)=_________.n!n?1n11．若{an}是無窮等比數(shù)列，an為正整數(shù)，且滿足a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+ log2a5·log2a6=36，求??1??的通項(xiàng)。a?n?n12．已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列{ab}是公比為q的等比數(shù)列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q的值；（2）數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。

四、高考水平訓(xùn)練題

?1x??2??1．已知函數(shù)f(x)=?2x?1??x?1??a2006=_____________.1???x??2??7?1??x?1，若數(shù)列{a}滿足a=，an+1=f(an)(n∈N+)，則??n

13?2?(x?1)2．已知數(shù)列{an}滿足a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，則{an}的通項(xiàng)an=??1?(n?1).(n?2)3.若an=n2+?n, 且{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)?的取值范圍是__________.4.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=an=_____________.1, 前n項(xiàng)和為Sn, 且210S30-（210+1）S20+S10=0，則23n15.已知limn?1，則a的取值范圍是______________.?nn??33?(a?1)6．?dāng)?shù)列{an}滿足an+1=3an+n(n ∈N+)，存在_________個(gè)a1值，使{an}成等差數(shù)列；存在________個(gè)a1值，使{an}成等比數(shù)列。

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7．已知an?n?401n?402(n ∈N+)，則在數(shù)列{an}的前50項(xiàng)中，最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別是____________.8．有4個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和中16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，則這四個(gè)數(shù)分別為____________.9.設(shè){an}是由正數(shù)組成的數(shù)列，對(duì)于所有自然數(shù)n, an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng)，則an=____________.10.在公比大于1的等比數(shù)列中，最多連續(xù)有__________項(xiàng)是在100與1000之間的整數(shù).11．已知數(shù)列{an}中，an?0，求證：數(shù)列{an}成等差數(shù)列的充要條件是

11111（n≥2）①恒成立。??????a1a2a2a3a3a4anan?1a1an?112．已知數(shù)列{an}和{bn}中有an=an-1bn, bn=

bn?1(n≥2), 當(dāng)a1=p, b1=q(p>0, q>0)且p+q=1時(shí)，21?an?1an；（3）求數(shù)列l(wèi)imbn.n??an?1（1）求證：an>0, bn>0且an+bn=1（n∈N）；（2）求證：an+1=13．是否存在常數(shù)a, b, c，使題設(shè)等式 1·22+2·32+…+n·(n+1)2=

n(n?1)

2(an+bn+c)12對(duì)于一切自然數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論。

五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題

1．設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差均為非負(fù)整數(shù)，項(xiàng)數(shù)不少于3，且各項(xiàng)和為972，這樣的數(shù)列共有_________個(gè)。2．設(shè)數(shù)列{xn}滿足x1=1, xn=

4xn?1?2，則通項(xiàng)xn=__________.2xn?1?7253.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3, an>0，且3an?an?1，則通項(xiàng)an=__________.4.已知數(shù)列a0, a1, a2, …, an, …滿足關(guān)系式(3-an+1)·(6+an)=18，且a0=3，則1=__________.?i?0ai5.等比數(shù)列a+log23, a+log43, a+log83的公比為=__________.6.各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為4，其首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過100，這樣的歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。004km.cn n高考資源網(wǎng)（004km.cn），您身邊的高考專家

數(shù)列至多有__________項(xiàng).7.數(shù)列{an}滿足a1=2, a2=6, 且

an?2?an=2，則

an?1?1limn??a1?a2???ann2?________.8.數(shù)列{an} 稱為等差比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)此數(shù)列滿足a0=0, {an+1-qan}構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，q稱為此等差比數(shù)列的差比。那么，由100以內(nèi)的自然數(shù)構(gòu)成等差比數(shù)列而差比大于1時(shí)，項(xiàng)數(shù)最多有__________項(xiàng).?an?9．設(shè)h∈N+，數(shù)列{an}定義為：a0=1, an+1=?2?a?h?n大于0的整數(shù)n，使得an=1？

an為偶數(shù)an為奇數(shù)。問：對(duì)于怎樣的h，存在10．設(shè){ak}k≥1為一非負(fù)整數(shù)列，且對(duì)任意k≥1，滿足ak≥a2k+a2k+1，（1）求證：對(duì)任意正整數(shù)n，數(shù)列中存在n個(gè)連續(xù)項(xiàng)為0；（2）求出一個(gè)滿足以上條件，且其存在無限個(gè)非零項(xiàng)的數(shù)列。

11．求證：存在唯一的正整數(shù)數(shù)列a1,a2,…,使得 a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=

anan?23anan?2?1?1?1.六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題

1．設(shè)an為下述自然數(shù)N的個(gè)數(shù)：N的各位數(shù)字之和為n且每位數(shù)字只能取1，3或4，求證：a2n是完全平方數(shù)，這里n=1, 2,….2．設(shè)a1, a2,…, an表示整數(shù)1，2，…，n的任一排列，f(n)是這些排列中滿足如下性質(zhì)的排列數(shù)目：①a1=1;②|ai-ai+1|≤2, i=1,2,…,n-1。試問f(2007)能否被3整除？

3．設(shè)數(shù)列{an}和{bn}滿足a0=1,b0=0，且

??an?1?7an?6bn?3, ???bn?1?8an?7bn?4,n?0,1,2,?.求證：an(n=0,1,2,…)是完全平方數(shù)。

4．無窮正實(shí)數(shù)數(shù)列{xn}具有以下性質(zhì)：x0=1，xi+1

22x0xnx12（1）求證：對(duì)具有上述性質(zhì)的任一數(shù)列，總能找到一個(gè)n≥1，使?????1≥3.999

x1x2xn均成立；

22x0xnx12（2）尋求這樣的一個(gè)數(shù)列使不等式?????1<4對(duì)任一n均成立。

x1x2xn5．設(shè)x1,x2,…,xn是各項(xiàng)都不大于M的正整數(shù)序列且滿足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,…,n)①.試問這樣的序列最多有多少項(xiàng)？

2(1?2an?2)an1?16．設(shè)a1=a2=，且當(dāng)n=3,4,5,…時(shí)，an=, 2232an?1?4an?2an?1?an?2(ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(ⅱ)求證：

1?2是整數(shù)的平方。an7．整數(shù)列u0,u1,u2,u3,…滿足u0=1，且對(duì)每個(gè)正整數(shù)n, un+1un-1=kuu，這里k是某個(gè)固定的正整數(shù)。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。

8．求證：存在無窮有界數(shù)列{xn}，使得對(duì)任何不同的m, k，有|xm-xk|≥

1.m?k9.已知n個(gè)正整數(shù)a0,a1,…，an和實(shí)數(shù)q，其中0

第二篇：數(shù)學(xué)競(jìng)賽教案講義——數(shù)列

第五章 數(shù)列

一、基礎(chǔ)知識(shí)

定義1 數(shù)列，按順序給出的一列數(shù)，例如1，2，3，…，n，….數(shù)列分有窮數(shù)列和無窮數(shù)列兩種，數(shù)列{an}的一般形式通常記作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做數(shù)列的首項(xiàng)，an是關(guān)于n的具體表達(dá)式，稱為數(shù)列的通項(xiàng)。

定理1 若Sn表示{an}的前n項(xiàng)和，則S1=a1, 當(dāng)n>1時(shí)，an=Sn-Sn-1.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 定義2 等差數(shù)列，如果對(duì)任意的正整數(shù)n，都有an+1-an=d（常數(shù)），則{an}稱為等差數(shù)列，d叫做公差。若三個(gè)數(shù)a, b, c成等差數(shù)列，即2b=a+c，則稱b為a和c的等差中項(xiàng)，若公差為d, 則a=b-d, c=b+d.定理2 等差數(shù)列的性質(zhì)：1）通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d；2）前n項(xiàng)和公式：Sn=n(a1?an)n(n?1)?na1?d；3）an-am=(n-m)d，其中n, m為正整數(shù)；4）若n+m=p+q，22則an+am=ap+aq；5）對(duì)任意正整數(shù)p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一個(gè)不為零，則{an}是等差數(shù)列的充要條件是Sn=An2+Bn.定義3 等比數(shù)列，若對(duì)任意的正整數(shù)n，都有

an?1?q，則{an}稱為等比數(shù)列，q叫做公比。ana1(1?qn)定理3 等比數(shù)列的性質(zhì)：1）an=a1q；2）前n項(xiàng)和Sn，當(dāng)q?1時(shí)，Sn=；當(dāng)

1?qn-1q=1時(shí)，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比數(shù)列，即b2=ac(b?0)，則b叫做a, c的等比中項(xiàng)；4）若m+n=p+q，則aman=apaq。

定義4 極限，給定數(shù)列{an}和實(shí)數(shù)A，若對(duì)任意的?>0，存在M，對(duì)任意的n>M(n∈N),都有|an-A|

a1（由極限的定義可得）。1?q定理3 第一數(shù)學(xué)歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當(dāng)p(n)時(shí)n=k成立時(shí)能推出p(n)對(duì)n=k+1成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對(duì)一切自然數(shù)n≥n0成立。

競(jìng)賽常用定理 定理4 第二數(shù)學(xué)歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當(dāng)p(n)對(duì)一切n≤k的自然數(shù)n都成立時(shí)（k≥n0）可推出p(k+1)成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對(duì)一切自然數(shù)n≥n0成立。

定理5 對(duì)于齊次二階線性遞歸數(shù)列xn=axn-1+bxn-2，設(shè)它的特征方程x2=ax+b的兩個(gè)根為α,β:(1)若α?β，則xn=c1an-1+c2βxn=(c1n+c2)αn-

1n-1，其中c1, c2由初始條件x1, x2的值確定；(2)若α=β，則，其中c1, c2的值由x1, x2的值確定。

二、方法與例題 1．不完全歸納法。

這種方法是從特殊情況出發(fā)去總結(jié)更一般的規(guī)律，當(dāng)然結(jié)論未必都是正確的，但卻是人類探索未知世界的普遍方式。通常解題方式為：特殊→猜想→數(shù)學(xué)歸納法證明。

例1 試給出以下幾個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)（不要求證明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。

例2 已知數(shù)列{an}滿足a1=

例3 設(shè)0

2迭代法。

數(shù)列的通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn中的n通常是對(duì)任意n∈N成立，因此可將其中的n換成n+

11,a1+a2+…+an=n2an, n≥1，求通項(xiàng)an.21，求證：對(duì)任意n∈N+,有an>1.an或n-1等，這種辦法通常稱迭代或遞推。

例4 數(shù)列{an}滿足an+pan-1+qan-2=0, n≥3，q?0，求證：存在常數(shù)c，使得22nan?1?pan?1·an+qan?cq?0.2例5 已知a1=0, an+1=5an+24an?1，求證：an都是整數(shù)，n∈N+.3．?dāng)?shù)列求和法。

數(shù)列求和法主要有倒寫相加、裂項(xiàng)求和法、錯(cuò)項(xiàng)相消法等。例6 已知an=

例7 求和：Sn?

例8 已知數(shù)列{an}滿足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn為數(shù)列?

4．特征方程法。

例9 已知數(shù)列{an}滿足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an.1(n=1, 2, …)，求S99=a1+a2+…+a99.4n?2100111+…+.?n(n?1)(n?2)1?2?32?3?4?an?的前n項(xiàng)和，求證：Sn<2。n??2?

例10 已知數(shù)列{an}滿足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通項(xiàng)an.5．構(gòu)造等差或等比數(shù)列。

例11 正數(shù)列a0,a1,…,an,…滿足anan?2?

2xn?2例12

已知數(shù)列{xn}滿足x1=2, xn+1=,n∈N+, 求通項(xiàng)。

2xnan?1an?2=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通項(xiàng)。

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題

1． 數(shù)列{xn}滿足x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn為{xn}前n項(xiàng)和，當(dāng)n≥2時(shí)，xn=_________.2.數(shù)列{xn}滿足x1=

2xn1，xn+1=,則{xn}的通項(xiàng)xn=_________.3xn?223.數(shù)列{xn}滿足x1=1，xn=

1xn?1+2n-1(n≥2)，則{xn}的通項(xiàng)xn=_________.24.等差數(shù)列{an}滿足3a8=5a13，且a1>0, Sn為前n項(xiàng)之和，則當(dāng)Sn最大時(shí)，n=_________.5.等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)之和記為Sn,若S10=10，S30=70，則S40=_________.6.數(shù)列{xn}滿足xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+…+ xn，則S100=_________.7.數(shù)列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1則|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.8.若

x3xnx1x2?????，并且x1+x2+…+ xn=8，則x1=_________.x1?1x2?3x3?5xn?2n?1Sna2n?，則limn=_________.n??b3n?1Tnn9.等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，若

2007n2?n?110.若n!=n(n-1)…2·1, 則?(?1)=_________.n!n?1n11．若{an}是無窮等比數(shù)列，an為正整數(shù)，且滿足a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+ log2a5·log2a6=36，求??1??的通項(xiàng)。a?n?n12．已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列{ab}是公比為q的等比數(shù)列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q的值；（2）數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。

四、高考水平訓(xùn)練題

?1x??2??1．已知函數(shù)f(x)=?2x?1??x?1??則a2006=_____________.1???x??2??7?1?+

??x?1?，若數(shù)列{an}滿足a1=，an+1=f(an)(n∈N)，3?2?(x?1)2．已知數(shù)列{an}滿足a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，則{an}的通項(xiàng)an=??1?(n?1)(n?2).3.若an=n2+?n, 且{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)?的取值范圍是__________.4.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=an=_____________.1, 前n項(xiàng)和為Sn, 且210S30-（210+1）S20+S10=0，則23n1?5.已知limn?1，則a的取值范圍是______________.n??3?(a?1)n36．?dāng)?shù)列{an}滿足an+1=3an+n(n ∈N+)，存在_________個(gè)a1值，使{an}成等差數(shù)列；存在________個(gè)a1值，使{an}成等比數(shù)列。7．已知an?n?401n?402(n ∈N+)，則在數(shù)列{an}的前50項(xiàng)中，最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別是____________.8．有4個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和中16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，則這四個(gè)數(shù)分別為____________.9.設(shè){an}是由正數(shù)組成的數(shù)列，對(duì)于所有自然數(shù)n, an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng)，則an=____________.10.在公比大于1的等比數(shù)列中，最多連續(xù)有__________項(xiàng)是在100與1000之間的整數(shù).11．已知數(shù)列{an}中，an?0，求證：數(shù)列{an}成等差數(shù)列的充要條件是

11111??????（n≥2）①恒成立。a1a2a2a3a3a4anan?1a1an?112．已知數(shù)列{an}和{bn}中有an=an-1bn, bn=

bn?1(n≥2), 當(dāng)a1=p, b1=q(p>0, q>0)且p+q=1時(shí)，21?an?1an；（3）求數(shù)列l(wèi)imbn.n??an?1（1）求證：an>0, bn>0且an+bn=1（n∈N）；（2）求證：an+1=13．是否存在常數(shù)a, b, c，使題設(shè)等式 1·22+2·32+…+n·(n+1)2=

n(n?1)

2(an+bn+c)12對(duì)于一切自然數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論。

五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題

1．設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差均為非負(fù)整數(shù)，項(xiàng)數(shù)不少于3，且各項(xiàng)和為972，這樣的數(shù)列共有_________個(gè)。2．設(shè)數(shù)列{xn}滿足x1=1, xn=

4xn?1?2，則通項(xiàng)xn=__________.2xn?1?7253.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3, an>0，且3an?an?1，則通項(xiàng)an=__________.4.已知數(shù)列a0, a1, a2, …, an, …滿足關(guān)系式(3-an+1)·(6+an)=18，且a0=3，則?ai?0n1i=__________.5.等比數(shù)列a+log23, a+log43, a+log83的公比為=__________.6.各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為4，其首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過100，這樣的數(shù)列至多有__________項(xiàng).7.數(shù)列{an}滿足a1=2, a2=6, 且

an?2?an=2，則

an?1?1lima1?a2???ann2n???________.8.數(shù)列{an} 稱為等差比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)此數(shù)列滿足a0=0, {an+1-qan}構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，q稱為此等差比數(shù)列的差比。那么，由100以內(nèi)的自然數(shù)構(gòu)成等差比數(shù)列而差比大于1時(shí)，項(xiàng)數(shù)最多有__________項(xiàng).?an?9．設(shè)h∈N+，數(shù)列{an}定義為：a0=1, an+1=?2?a?h?n在大于0的整數(shù)n，使得an=1？

an為偶數(shù)an為奇數(shù)。問：對(duì)于怎樣的h，存10．設(shè){ak}k≥1為一非負(fù)整數(shù)列，且對(duì)任意k≥1，滿足ak≥a2k+a2k+1，（1）求證：對(duì)任意正整數(shù)n，數(shù)列中存在n個(gè)連續(xù)項(xiàng)為0；（2）求出一個(gè)滿足以上條件，且其存在無限個(gè)非零項(xiàng)的數(shù)列。

11．求證：存在唯一的正整數(shù)數(shù)列a1,a2,…,使得 a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=

anan?23anan?2?1?1?1.六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題

1．設(shè)an為下述自然數(shù)N的個(gè)數(shù)：N的各位數(shù)字之和為n且每位數(shù)字只能取1，3或4，求證：a2n是完全平方數(shù)，這里n=1, 2,….2．設(shè)a1, a2,…, an表示整數(shù)1，2，…，n的任一排列，f(n)是這些排列中滿足如下性質(zhì)的排列數(shù)目：①a1=1;②|ai-ai+1|≤2, i=1,2,…,n-1。試問f(2007)能否被3整除？

3．設(shè)數(shù)列{an}和{bn}滿足a0=1,b0=0，且

??an?1?7an?6bn?3, ???bn?1?8an?7bn?4,n?0,1,2,?.求證：an(n=0,1,2,…)是完全平方數(shù)。

4．無窮正實(shí)數(shù)數(shù)列{xn}具有以下性質(zhì)：x0=1，xi+1

x1x2xn均成立；

22x0xnx12?????1<4對(duì)任一n均成立。（2）尋求這樣的一個(gè)數(shù)列使不等式

x1x2xn5．設(shè)x1,x2,…,xn是各項(xiàng)都不大于M的正整數(shù)序列且滿足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,…,n)①.試問這樣的序列最多有多少項(xiàng)？

2(1?2an?2)an1?16．設(shè)a1=a2=，且當(dāng)n=3,4,5,…時(shí)，an=, 222an?1?4an?2an?1?an?23(ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(ⅱ)求證：

1?2是整數(shù)的平方。an7．整數(shù)列u0,u1,u2,u3,…滿足u0=1，且對(duì)每個(gè)正整數(shù)n, un+1un-1=kuu，這里k是某個(gè)固定的正整數(shù)。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。

8．求證：存在無窮有界數(shù)列{xn}，使得對(duì)任何不同的m, k，有|xm-xk|≥

1.m?k9.已知n個(gè)正整數(shù)a0,a1,…，an和實(shí)數(shù)q，其中0

第三篇：數(shù)學(xué)競(jìng)賽教案講義(9)——不等式

第九章 不等式

一、基礎(chǔ)知識(shí)

不等式的基本性質(zhì)：

（1）a>b?a-b>0；

（2）a>b, b>c?a>c；（3）a>b?a+c>b+c；

（4）a>b, c>0?ac>bc；

（5）a>b, c<0?ac

（6）a>b>0, c>d>0?ac>bd;（7）a>b>0, n∈N+?an>bn;

（8）a>b>0, n∈N+?na?nb;（9）a>0, |x|a?x>a或x<-a;（10）a, b∈R，則|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;（11）a, b∈R，則(a-b)2≥0?a2+b2≥2ab;（12）x, y, z∈R+，則x+y≥

2xy, x+y+z?33xyz.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 前五條是顯然的，以下從第六條開始給出證明。（6）因?yàn)閍>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd，所以ac>bd；重復(fù)利用性質(zhì)（6），可得性質(zhì)（7）；

nn再證性質(zhì)（8），用反證法，若na?nb，由性質(zhì)（7）得(na)?(nb)，即a≤b，與a>b矛盾，所以假設(shè)不成立，所以na?nb；由絕對(duì)值的意義知（9）成立；-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再證（10）的左邊，因?yàn)閨a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）顯然成立；下證（12），因?yàn)閤+y-2xy?(x?一不等式，令3y)2≥0，所以x+y≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立，再證另x?a,3y?b,3z?c，因?yàn)閤3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= 1(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a3+b3+c3≥3abc，即x+y+z≥33xyz，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z2時(shí)成立。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

二、方法與例題

1．不等式證明的基本方法。

（1）比較法，在證明A>B或A

例1 設(shè)a, b, 22

2A（A，B>0）與1Bx，y，z，有

c∈R+，試證：對(duì)任意實(shí)數(shù)

?a?babcb?cc?a??xy?yz?xz?x+y+z?2??.(a?b)(b?c)(c?a)?cab?

例2 若a

例3 已知a, b, c∈R+，求證：a+b+c-33abc≥a+b?2ab.（3）數(shù)學(xué)歸納法。

例5 對(duì)任意正整數(shù)n(≥3)，求證：nn+1>(n+1)n.（4）反證法。

例6 設(shè)實(shí)數(shù)a0, a1,?,an滿足a0=an=0，且a0-2a1+a2≥0, a1-2a2+a3≥0,?, an-2-2an-1+an≥0，求證ak≤0(k=1, 2,?, n-1).（5）分類討論法。

x2?y2y2?z2z2?x2???0.例7 已知x, y, z∈R，求證：

y?zz?xx?y+

（6）放縮法，即要證A>B，可證A>C1, C1≥C2,?,Cn-1≥Cn, Cn>B(n∈N+).例8 求證：1?

例9 已知a, b, c是△ABC的三條邊長(zhǎng)，m>0，求證：111????n?n(n?2).232?1abc??.a?mb?mc?m

（7）引入?yún)⒆兞糠ā?/p>

b3例10 已知x, y∈R, l, a, b為待定正數(shù)，求f(x, y)=2?2的最小值。

xy+

a3

例11 設(shè)x1≥x2≥x3≥x4≥2, x2+x3+x4≥x1，求證：(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4.（8）局部不等式。

例12 已知x, y, z∈R+，且x2+y2+z2=1，求證：

例13 已知0≤a, b, c≤1，求證：

（9）利用函數(shù)的思想。

例14 已知非負(fù)實(shí)數(shù)a, b, c滿足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)=值。

2．幾個(gè)常用的不等式。

33xyz?.??21?x21?y21?z2abc≤2。??bc?1ca?1ab?1111的最小??a?bb?cc?a（1）柯西不等式：若ai∈R, bi∈R, i=1, 2, ?, n，則(?a)(?b2ii?1i?1nn2i)?(?aibi)2.i?1n等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)存在λ∈R，使得對(duì)任意i=1, 2, , n, ai=λbi，ai2變式1：若ai∈R, bi∈R, i=1, 2, ?, n，則(?)?bi?1in(?ai)2(?bi)2i?1i?1nn.等號(hào)成立條件為ai=λbi,(i=1, 2, ?, n)。

變式2：設(shè)ai, bi同號(hào)且不為0(i=1, 2, ?, n)，則

ai??bi?1in(?ai)2n?abii?1i?1n.i等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)b1=b2=?=bn.（2）平均值不等式：設(shè)a1, a2,?,an∈R+，記Hn=

n111????a1a2an, Gn=na1a2?an, a?a2???an,Qn?An=1n22a12?a2???an，則Hn≤Gn≤An≤Qn.即調(diào)和平均≤幾何平均≤

n算術(shù)平均≤平方平均。

其中等號(hào)成立的條件均為a1=a2=?=an.【證明】

由柯西不等式得An≤Qn，再由Gn≤An可得Hn≤Gn，以下僅證Gn≤An.1）當(dāng)n=2時(shí)，顯然成立；

2）設(shè)n=k時(shí)有Gk≤Ak，當(dāng)n=k+1時(shí)，記1?ka1a2?akak?1=Gk+1.k?1因?yàn)閍1+a2+?+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥kka1a2?ak?kkak?1?Gk?1 k?12k≥2k2ka1a2?ak?1Gk?1?2k2kGk?1?2kGk+1，所以a1+a2+?+ak+1≥(k+1)Gk+1，即Ak+1≥Gk+1.所以由數(shù)學(xué)歸納法，結(jié)論成立。

（3）排序不等式：若兩組實(shí)數(shù)a1≤a2≤?≤an且b1≤b2≤?≤bn，則對(duì)于b1, b2, ?, bn的任意排列bi,bi,?,bi，有a1bn+a2bn-1+?+anb1≤a1bi?a2bi???anbi≤a1b1+a2b2+?+anbn.12n12n【證明】

引理：記

A0=0，Ak=

?ai?1ki(1?k?n)，則

?abii?1ni?

?(si?1ni?si?1)bi=?si(bi?bi?1)?snbn（阿貝爾求和法）。

i?1n?1證法一：因?yàn)閎1≤b2≤?≤bn，所以bi?bi???bi≥b1+b2+?+bk.12k記sk=bi?bi???bi-(b1+b2+?+bk)，則sk≥0(k=1, 2, ?, n)。

12k所以a1bi?a2bi???anbi12k-(a1b1+a2b2+?+anbn)=

?aj?1nj(bi?bj)?

j?sj?1nj(aj?aj?1)+snan≤0.最后一個(gè)不等式的理由是aj-aj+1≤0(j=1, 2, ?, n-1, sn=0), 所以右側(cè)不等式成立，同理可證左側(cè)不等式。

證法二：（調(diào)整法）考察a1bi?a2bi???anbi，若bi?bn，則存在。

12kj若bi?bn(j≤n-1)，則將bi與bi互換。

jnj因?yàn)?/p>

banbn?ajbi?(anbi?ajbn)?(an?aj)bn?(aj?an)bi?(an?aj)(bn?bi)≥0，nnnn所 調(diào)整后，和是不減的，接下來若bin?1?bn?1，則繼續(xù)同樣的調(diào)整。至多經(jīng)n-1次調(diào)整就可將亂序和調(diào)整為順序和，而且每次調(diào)整后和是不減的，這說明右邊不等式成立，同理可得左邊不等式。

222anana12a2?1??????a1+a2+?+an.例15 已知a1, a2,?,an∈R，求證；

a2a3ana1+

注：本講的每種方法、定理都有極廣泛的應(yīng)用，希望讀者在解題中再加以總結(jié)。

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題

a2b2?1．已知0m，則m的最小值是____________.6．“a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|<8的解集是{x|-2

11；②≤a3+b3<1；8411112③2?2?；④a??b??2；⑤a22abab8．已知0

b?1lga?blga.2?2(1?cos?)?43，則?=____________.99．已知x?x1?x2???xn，p=(x1-x)2+(x2-x)2+?+(xn-x)2, q=(x1-a)2+(x2-a)2+?

n+(xn-a)2, 若a?x，則比較大小：p___________q.10．已知a>0, b>0且a?b, m=aabb, n=abba, 則比較大?。簃_________n.113n????.22n22n?1112．已知0

四、高考水平訓(xùn)練題

1．已知A=asin2x+bcos2x, B=acos2x+bsin2x(a, b, x∈R)，設(shè)m=AB, n=ab, P=A2+B2, q=a2+b2，則下列結(jié)論成立的有]__________.（1）m≥n, p≥q;（2）m≤n, p≤q；（3）m+p≥n+q；（4）m+q≥n+p.2．已知a, b, c, d∈R，M=4(a-b)(c-d), N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d)，則比較大?。篗________N.3．若a?b,a,b?R+，且a?3，b?________.4．已知△ABC的三邊長(zhǎng)a, b, c滿足b+c≤2a, a+c≤2b，則

a?3a?b，將3,a,b,從小到大排列為a?12b的取值范圍是________.a5．若實(shí)數(shù)x, y滿足|x|+|y|≤1，則z=x2-xy+y2的最大值與最小值的和為________.6．設(shè)函數(shù)f(x)=2?x?3x?12(x∈[-4,2])，則f(x)的值域是________.7．對(duì)x1>x2>0, 1>a>0，記y1?x1x2________y1y2.8．已知函數(shù)y?x1axaxx?2,y2?1?2，比較大?。??a1?a1?a1?aa?sinx?4?的值域是??,???，則實(shí)數(shù)a的值為________.1?cosx?3?9．設(shè)a≤b

五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題

1．已知a1, a2, b1, b2, c1, c∈R，a1c1-b1=a2c2?b2>0, P=(a1-a2)(c1-c2), Q=(b1-b2)2，比較大?。篜_______Q.2已知x2+y2-xy=1，則|x+y-3|+|x+y+2|=__________.3．二次函數(shù)f(x)=x2+ax+b，記M=max{|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|}，則M的最小值為__________.4．設(shè)實(shí)數(shù)a, b, c, d滿足a≤b≤c≤d或者a≥b≥c≥d，比較大?。?4(a+c+d)(a+b+d)__________(2a+3d+c)(2a+2b+c+d).5．已知xi∈R, i=1, 2, ?,n且+

22xy?2yz的最大值。222x?y?z1?1，則x1x2?xn的最小值為__________（這里?1?xi?1inn>1）.6．已知x, y∈R, f(x, y)=x2+6y2-2xy-14x-6y+72的最小值為__________.7．已知0≤ak≤1(k=1, 2, ?,2n)，記a2n+1=a1, a2n+2=a2，則__________.8．已知0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1，則

?(ak?12nk?ak?1ak?2)的最大值為

xyz的最大值為__________.??yz?1zx?1xy?19．已知3≤x≤5，求證：2x?1?2x?3?15?3x?219.2a?b?c310?abc?.327=1。又0<λ1≤λ2≤?≤λn，求證：10．對(duì)于不全相等的正整數(shù)a, b, c，求證：

n11．已知ai>0(i=1, 2, ?, n)，且

?ai?1i?nai(??iai)????i?1?i?1in?(?1??n)2?≤.?4?1?n?

六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題

1．設(shè)正實(shí)數(shù)x, y, z滿足x+y+z=1，求證：

xyxy?yz?yzyz?xz?xzxz?xy?2.22．設(shè)整數(shù)x1, x2, ?,xn與y1, y2, ?, yn滿足1y1+y2+?+ym，求證：x1x2xn>y1y2?ym.3．設(shè)f(x)=x2+a，記f'(x)?f(x), fn(x)=f(fn-1(x))(n=2, 3, ?)，M={a∈R|對(duì)所有正整數(shù)n, |fn(0)| ≤2}，求證：M???2,?。

4??1??4．給定正數(shù)λ和正整數(shù)n(n≥2)，求最小的正數(shù)M（λ），使得對(duì)于所有非負(fù)數(shù)x1, x2,?,xn，有M(λ)(?xk?1nk)??x???xk.nnkk?1k?1nn?111?9???.5．已知x, y, z∈R，求證：(xy+yz+zx)?222?(y?z)(z?x)?4?(x?y)+6．已知非負(fù)實(shí)數(shù)a, b, c滿足a+b+c=1，求證：2≤(1-a2)2+(1-b2)2+(1-c2)2≤(1+a)(1+b)(1+c)，并求出等號(hào)成立的條件。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

第四篇：小學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義

小學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽

上海市小學(xué)生競(jìng)賽簡(jiǎn)介

?

1、小機(jī)靈杯 ?

2、中環(huán)杯 ?

3、走美杯 ?

4、華羅庚杯 ?

5、希望杯 小機(jī)靈杯

? 小機(jī)靈杯介紹：

? 小機(jī)靈杯，是一項(xiàng)難度比較高的思維能力競(jìng)賽，從某種程度上來說難度較大，與中環(huán)杯相比，題目難度更深，但是靈活性沒有中環(huán)杯大，中環(huán)杯的題目更具獨(dú)創(chuàng)性，尤其是最后的圖形的切拼割，更是考察學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。小機(jī)靈杯的考試的題型來說，相對(duì)比較集中不零散，歷年題目的類型都不會(huì)怎么改變，都是填空題型，不會(huì)對(duì)圖形的切拼割進(jìn)行考察。小機(jī)靈杯的復(fù)習(xí)主要還是分板塊進(jìn)行，不宜過高的難度，也不能太簡(jiǎn)單，主要還是要學(xué)生自己能夠比較好的舉一反三。

? 競(jìng)賽特色：小機(jī)靈杯考試從某種程度上來說難度較大，與中環(huán)杯相比，題目難度更深，但是靈活性沒有中環(huán)杯大。

? 參加對(duì)象：全市各小學(xué)三至五年級(jí)學(xué)生；分三年級(jí)、四年級(jí)、五年級(jí)三個(gè)組別。

? 賽程時(shí)間：初賽：每年12月；決賽：每年2月。

中環(huán)杯

? 中環(huán)杯介紹

中環(huán)杯是一項(xiàng)難度較大的中小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，在江浙和上海受到廣泛認(rèn)可。分為初賽和復(fù)賽兩個(gè)階段，初賽主要考察奧數(shù)水平，復(fù)賽考察動(dòng)手能力和思維能力等綜合實(shí)力。

? 參賽人群：小學(xué)四年級(jí)~中學(xué)八年級(jí)，愛好科學(xué)、數(shù)學(xué)的學(xué)生。

? 競(jìng)賽時(shí)間：區(qū)選拔賽： 12月左右（四、五年級(jí)）

? 市決賽： 3月左右 希望杯

? 希望杯

這一邀請(qǐng)賽自1990年以來，已經(jīng)連續(xù)舉行了二一屆。21年來，主辦單位始終堅(jiān)持比賽面向多數(shù)學(xué)校、多數(shù)學(xué)生，從命題、評(píng)獎(jiǎng)到組織工作的每個(gè)環(huán)節(jié)，都圍繞著一個(gè)宗旨：激發(fā)廣大中學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)他們的自信，不斷提高他們的能力和素質(zhì)。希望杯不涉及初

三、高三，不與奧賽重復(fù)。其他杯賽介紹

? 走美杯：走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園比賽的簡(jiǎn)稱。

? “走美”始創(chuàng)于2003年（第一屆沒有筆試，僅僅是活動(dòng)），現(xiàn)在已舉行過7屆，“走美”作為數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的后起之秀，憑借其新穎的考試形式以及較高的競(jìng)賽難度取得了非常迅速的發(fā)展，近年來在重點(diǎn)中學(xué)選拔中引起了廣泛的關(guān)注。客觀地說“走美”

一、二等獎(jiǎng)對(duì)小升初作用非常大，三等獎(jiǎng)作用不大。

? 華羅庚杯：

? “華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽（簡(jiǎn)稱“華杯賽”）是以“華羅庚”名字命名的數(shù)學(xué)競(jìng)賽。始于1986年是紀(jì)念我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚始創(chuàng)的，“華杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)至2010年以有16屆。

競(jìng)賽時(shí)間安排及順序

? 小機(jī)靈杯

? 2月28號(hào)左右 ? 走美杯

? 3月7號(hào)左右 ? 中環(huán)杯 ? 3月20日 ? 華杯賽 ? 4月10日 ? 希望杯 ? 4月11日 各杯賽?？紗栴}

? 數(shù)字問題：包括奇數(shù)偶數(shù)問題、整除余數(shù)問題、質(zhì)（素)數(shù)問題、數(shù)列等問題等。? 邏輯推理問題：包括數(shù)陣問題、說謊問題、邏輯判斷問題等。

? 應(yīng)用問題：路程問題、行船問題、過橋問題、盈虧問題、牛吃草問題雞兔同籠問題等。

? 幾何問題：數(shù)圖形個(gè)數(shù)問題、周長(zhǎng)面積問題、立體圖形問題、圖形切割問題等。? 其他問題：時(shí)鐘問題、定義新運(yùn)算問題、十進(jìn)制和二進(jìn)制問題、抽屜原理、分類討論問題等。

各杯賽試題分析：

? 關(guān)于流水問題： ? 甲、乙兩個(gè)景點(diǎn)相距15千米，一艘觀光游船從甲景點(diǎn)出發(fā)，抵達(dá)乙景點(diǎn)后立即返回，共用了3個(gè)小時(shí)。已知第三小時(shí)比第一小時(shí)少行了12千米，那么這條河的水流速度為每小時(shí)多少千米？（五年級(jí)試題）? 邏輯推理問題：

? 例：四對(duì)夫妻，分為四組進(jìn)行圍棋比賽，設(shè)A、B、C、D為男士，E、F、G、H為女士，如果比賽的對(duì)決有下面的描述：B對(duì)H，A對(duì)C的妻子，E對(duì)F的丈夫，D對(duì)A的妻子，F(xiàn)對(duì)H的丈夫。那么B的妻子是誰？（五年級(jí)試題）? 數(shù)字運(yùn)算問題：

? 例：如果6*2=6+7，5*3=5+6+7，4*4=4+5+6+7,…...,那么5*5+6*5+……+10*5等于多少？（四年級(jí)試題）

? 余數(shù)問題：

? 例：求4321×3275+2983-19×876除以17的余數(shù)（五年級(jí)試題）? 數(shù)列問題：

? 例：.小青蟲由幼蟲長(zhǎng)成成蟲，每天長(zhǎng)大一倍，20能長(zhǎng)到32cm。問長(zhǎng)到4cm時(shí)要用幾天？（三年級(jí)試題）? 應(yīng)用問題：

? 例：.乙丙三組工人參加鋸圓木勞動(dòng)，他們領(lǐng)取的分別是4米、3米和2米長(zhǎng)的圓木，要求把這3中木材都鋸成長(zhǎng)為1米的木斷，已知每組工人將一根木材鋸成兩段所需? ?

? ? ? ? 的時(shí)間是6分鐘，且甲乙丙3組最后分別鋸出了28段、27段、34段，那么工作量最少的的一組共鋸木多少分鐘？（三年級(jí)試題）火車問題：

例：兩列火車相向而行，甲車每小時(shí)行50千米，乙車每小時(shí)行58千米，兩車交錯(cuò)時(shí)，甲車上一乘客從看見乙車的車頭到車尾一共經(jīng)過10秒鐘，乙車全長(zhǎng)為幾米？（四年級(jí)試題）時(shí)鐘問題：

例：8點(diǎn)——分的時(shí)候，分針與時(shí)針第一次形成75°角。（五年級(jí)試題）幾何問題：

例題：下圖是五個(gè)同樣大小的小長(zhǎng)方形（單位：厘米），則一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米？（四年級(jí)試題）

? 總結(jié)：各杯賽其實(shí)是課本知識(shí)的一個(gè)延伸和拓展，參加杯賽能夠使學(xué)生的思維開闊。杯賽題目難度相對(duì)較大，但是每種類型的題目都有其比較固定的方法，在學(xué)習(xí)時(shí)需要學(xué)生多加積累和總計(jì)，這些方法不僅僅用在參加競(jìng)賽上面，在以后的學(xué)習(xí)中很多地方都可以應(yīng)用。

第五篇：高一數(shù)學(xué) 數(shù)列求和教案

湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)教案：數(shù)列求和

教材：數(shù)列求和

目的：小結(jié)數(shù)列求和的常用方法，尤其是要求學(xué)生初步掌握用拆項(xiàng)法、裂項(xiàng)法和錯(cuò)位法求一些特殊的數(shù)列。

過程：

一、提出課題：數(shù)列求和——特殊數(shù)列求和

常用數(shù)列的前n項(xiàng)和：1?2?3????n?n(n?1)21?3?5????(2n?1)?n2

n(n?1)(2n?1)

6n(n?1)213?23?33????n3?[]

212?22?32????n2?

二、拆項(xiàng)法：

例

一、（《教學(xué)與測(cè)試》P91 例二）

1111?4,2?7,3?10,??,n?1?(3n?2),??的前n項(xiàng)和。aaaa1 解：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為an，前n項(xiàng)和為Sn，則 an?n?1?(3n?2)

a111?Sn?(1??2????n?1)?[1?4?7????(3n?2)]

aaa求數(shù)列1?1,(1?3n?2)n3n2?n?當(dāng)a?1時(shí)，Sn?n?

221n(1?3n?2)nan?1(3n?1)na

當(dāng)a?1時(shí)，Sn? ??n?n?1122a?a1?a1?

三、裂項(xiàng)法：

例

二、求數(shù)列6666，,??，??前n項(xiàng)和 1?22?33?4n(n?1)?11?6(?)

n(n?1)nn?1解：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為bn，則bn?

11111?Sn?b1?b2????bn?6[(1?)?(?)????(?)]223nn?1?6(1?16n)?n?1n?1 例

三、求數(shù)列111，??，??前n項(xiàng)和 1?21?2?31?2????(n?1)1211??2(?)

1?2????(n?1)(n?1)(n?2)n?1n?211111111n?)?(?)????(?)]?2(?)? 2334n?1n?22n?2n?2 解：?an? ?Sn?2[（四、錯(cuò)位法：

1}前n項(xiàng)和 n21111 解：Sn?1??2??3???????n?n ①

2482111111Sn?1??2??3????(n?1)?n?n?n?1 ② 248162211(1?n)1111112?n 兩式相減：Sn???????n?n?n?1?212248222n?11?21n1n?Sn?2(1?n?n?1)?2?n?1?n

2222例

四、求數(shù)列{n?例

五、設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn?(求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和

解：取n =1，則a1?(an?12)(n?N*)，2a1?12)?a1?1 2又： Sn?n(a1?an)n(a1?an)a?12?(n)

可得：222?an??1(n?N*)?an?2n?1

?Sn?1?3?5????(2n?1)?n2

五、作業(yè)：《教學(xué)與測(cè)試》P91—92 第44課 練習(xí)3，4，5，6，7 補(bǔ)充：1.求數(shù)列?1,4,?7,10,??,(?1)(3n?2),??前n項(xiàng)和

n??3n?1n為奇數(shù)?2(Sn??)

3n?n為偶數(shù)?22n?32n?1 2.求數(shù)列{n?3}前n項(xiàng)和(8?n?3)3.求和：(1002?992)?(982?972)????(22?12)(5050)4.求和：1×4 + 2×5 + 3×6 + ……+ n×(n + 1)(5.求數(shù)列1，(1+a)，(1+a+a)，……，(1+a+a+……+a

22n(n?1)(n?5))

3n

1)，……前n項(xiàng)和

a?0時(shí)，Sn?n a?1時(shí)，Sn?n(n?1)2

n(n?1)a?an?1a?1、0時(shí)，Sn?(1?a)2